माइनस से माइनस जोड़ने पर क्या मिलता है। गुणन और योग के नियमों पर हस्ताक्षर करें

"दुश्मन का दुश्मन, मेरा दोस्त है"

माइनस वन गुना माइनस वन बराबर प्लस वन क्यों होता है? माइनस वन गुना प्लस वन बराबर माइनस वन क्यों होता है? सबसे आसान उत्तर है: "क्योंकि ये ऋणात्मक संख्याओं के साथ कार्य करने के नियम हैं।" नियम जो हम स्कूल में सीखते हैं और जीवन भर लागू होते हैं। हालाँकि, पाठ्यपुस्तकें यह नहीं बताती हैं कि नियम जिस तरह से हैं, वे क्यों हैं। इसे हम पहले अंकगणित के विकास के इतिहास से समझने का प्रयास करेंगे और फिर इस प्रश्न का उत्तर आधुनिक गणित की दृष्टि से देंगे।

बहुत समय पहले, केवल प्राकृतिक संख्याएँ ही लोगों को ज्ञात थीं: उनका उपयोग बर्तन, शिकार, शत्रु आदि गिनने के लिए किया जाता था। लेकिन संख्याएँ अपने आप में बेकार हैं - आपको उन्हें संभालने में सक्षम होने की आवश्यकता है। जोड़ स्पष्ट और समझ में आता है, इसके अलावा, दो प्राकृतिक संख्याओं का योग भी एक प्राकृतिक संख्या है (एक गणितज्ञ कहेगा कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट जोड़ के संचालन के तहत बंद है)। गुणन, वास्तव में, वही जोड़ है यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं। जीवन में, हम अक्सर इन दो कार्यों से संबंधित क्रियाएं करते हैं (उदाहरण के लिए, खरीदारी करते समय, हम जोड़ते हैं और गुणा करते हैं), और यह सोचना अजीब है कि हमारे पूर्वजों ने उन्हें कम बार सामना किया - मानव जाति द्वारा जोड़ और गुणा को बहुत लंबे समय तक महारत हासिल थी पहले। अक्सर एक मात्रा को दूसरे से विभाजित करना आवश्यक होता है, लेकिन यहां परिणाम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है - इस तरह भिन्नात्मक संख्याएं दिखाई देती हैं।

घटाव, ज़ाहिर है, भी अनिवार्य है। लेकिन व्यवहार में, हम बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाते हैं, और ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। (यदि मेरे पास कैंडी है और मैं अपनी बहन को देता हूं, तो मेरे पास कैंडी होगी, लेकिन मैं उसे अपनी पूरी इच्छा से कैंडी नहीं दे सकता।) यह समझा सकता है कि लोगों ने लंबे समय तक नकारात्मक संख्याओं का उपयोग क्यों नहीं किया।

7वीं शताब्दी ईस्वी से भारतीय दस्तावेजों में ऋणात्मक संख्याएँ दिखाई देती हैं; चीनी, जाहिरा तौर पर, उन्हें थोड़ा पहले इस्तेमाल करना शुरू कर दिया था। समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए उनका उपयोग ऋणों या मध्यवर्ती गणनाओं के लिए किया जाता था - यह केवल सकारात्मक उत्तर प्राप्त करने का एक उपकरण था। तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याएं, सकारात्मक संख्याओं के विपरीत, किसी भी इकाई की उपस्थिति को व्यक्त नहीं करती हैं, मजबूत अविश्वास पैदा करती हैं। शब्द के शाब्दिक अर्थों में लोगों ने नकारात्मक संख्याओं से परहेज किया: यदि समस्या का नकारात्मक उत्तर मिला, तो उनका मानना था कि कोई उत्तर नहीं था। यह अविश्वास बहुत लंबे समय तक बना रहा, और यहां तक कि डेसकार्टेस - आधुनिक गणित के "संस्थापकों" में से एक - ने उन्हें "झूठा" कहा (17 वीं शताब्दी में!)

आइए समीकरण को एक उदाहरण के रूप में लें। इसे इस तरह हल किया जा सकता है: अज्ञात के साथ शर्तों को बाईं ओर ले जाएं, और बाकी को दाईं ओर ले जाएं, यह निकलेगा, , । इस समाधान से हमें ऋणात्मक संख्याएँ भी नहीं मिलीं।

लेकिन यह संयोग से एक अलग तरीके से किया जा सकता है: अज्ञात के साथ शर्तों को दाईं ओर ले जाएं और प्राप्त करें। अज्ञात को खोजने के लिए, आपको एक ऋणात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करना होगा: . लेकिन सही उत्तर ज्ञात है, और यह निष्कर्ष निकाला जाना बाकी है।

यह सरल उदाहरण क्या प्रदर्शित करता है? सबसे पहले, यह तर्क स्पष्ट हो जाता है कि नकारात्मक संख्याओं पर कार्यों के लिए नियम निर्धारित किए गए हैं: इन क्रियाओं के परिणाम उन उत्तरों से मेल खाना चाहिए जो नकारात्मक संख्याओं के बिना अलग तरीके से प्राप्त होते हैं। दूसरे, ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग की अनुमति देकर, हम थकाऊ से छुटकारा पाते हैं (यदि समीकरण अधिक जटिल हो जाता है, तो बड़ी संख्या में शब्दों के साथ) समाधान पथ की खोज करें जिसमें सभी क्रियाएं केवल प्राकृतिक संख्याओं पर की जाती हैं। इसके अलावा, हम अब हर बार मात्राओं के परिवर्तित होने की सार्थकता के बारे में नहीं सोच सकते हैं - और यह पहले से ही गणित को एक अमूर्त विज्ञान में बदलने की दिशा में एक कदम है।

नकारात्मक संख्याओं पर कार्रवाई के नियम तुरंत नहीं बनाए गए थे, लेकिन लागू समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होने वाले कई उदाहरणों का सामान्यीकरण बन गया। सामान्य तौर पर, गणित के विकास को सशर्त रूप से चरणों में विभाजित किया जा सकता है: प्रत्येक अगला चरण पिछले एक से वस्तुओं के अध्ययन में अमूर्तता के एक नए स्तर से भिन्न होता है। इसलिए, 19वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने महसूस किया कि पूर्णांक और बहुपद, उनकी सभी बाहरी असमानताओं के लिए, बहुत कुछ समान हैं: दोनों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है। ये संक्रियाएँ समान नियमों का पालन करती हैं - संख्याओं के मामले में और बहुपदों के मामले में। लेकिन पूर्णांकों को एक दूसरे से विभाजित करना, ताकि परिणाम फिर से पूर्णांक हो, हमेशा संभव नहीं होता है। बहुपदों के लिए भी यही सच है।

फिर गणितीय वस्तुओं के अन्य संग्रह खोजे गए जिन पर इस तरह के संचालन किए जा सकते हैं: औपचारिक शक्ति श्रृंखला, निरंतर कार्य ... अंत में, समझ में आया कि यदि आप स्वयं संचालन के गुणों का अध्ययन करते हैं, तो परिणाम इन सभी पर लागू हो सकते हैं वस्तुओं का संग्रह (यह दृष्टिकोण सभी आधुनिक गणित के लिए विशिष्ट है)।

नतीजतन, एक नई अवधारणा दिखाई दी: अंगूठी। यह केवल तत्वों और उन पर की जाने वाली क्रियाओं का एक समूह है। यहां मूल नियम केवल नियम हैं (उन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है), जो क्रियाओं के अधीन हैं, न कि सेट के तत्वों की प्रकृति (यहाँ यह है, अमूर्तता का एक नया स्तर!)। इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि यह संरचना है जो महत्वपूर्ण है जो स्वयंसिद्धों की शुरूआत के बाद उत्पन्न होती है, गणितज्ञ कहते हैं: पूर्णांकों का वलय, बहुपदों का वलय, आदि। स्वयंसिद्धों से शुरू होकर, कोई वलय के अन्य गुणों को प्राप्त कर सकता है।

हम वलय के अभिगृहीत तैयार करेंगे (जो, निश्चित रूप से, पूर्णांक के साथ संचालन के नियमों के समान हैं), और फिर हम यह साबित करेंगे कि किसी भी रिंग में, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस में परिणाम होता है।

एक अंगूठी दो द्विआधारी संचालन के साथ एक सेट है (अर्थात, अंगूठी के दो तत्व प्रत्येक ऑपरेशन में शामिल होते हैं), जिसे परंपरागत रूप से जोड़ और गुणा कहा जाता है, और निम्नलिखित स्वयंसिद्ध:

ध्यान दें कि छल्ले, सबसे सामान्य निर्माण में, गुणा करने योग्य होने के लिए गुणा की आवश्यकता नहीं होती है, न ही यह उलटा होता है (अर्थात, इसे विभाजित करना हमेशा संभव नहीं होता है), और न ही इसे एक इकाई के अस्तित्व की आवश्यकता होती है - सम्मान के साथ एक तटस्थ तत्व गुणा करने के लिए। यदि इन अभिगृहीतों का परिचय दिया जाए, तो अन्य बीजीय संरचनाएँ प्राप्त होती हैं, लेकिन वलयों के लिए सिद्ध सभी प्रमेय उनमें सत्य होंगे।

अब हम साबित करते हैं कि किसी भी तत्व और एक मनमाना वलय के लिए, पहला, और दूसरा, . इससे, इकाइयों के बारे में कथन आसानी से अनुसरण करते हैं: और।

ऐसा करने के लिए, हमें कुछ तथ्यों को स्थापित करने की आवश्यकता है। पहले हम सिद्ध करते हैं कि प्रत्येक तत्व का केवल एक विपरीत हो सकता है। दरअसल, मान लीजिए कि एक तत्व के दो विपरीत तत्व हैं: तथा । अर्थात । आइए राशि पर विचार करें। साहचर्य और कम्यूटेटिव कानूनों और शून्य की संपत्ति का उपयोग करके, हम पाते हैं कि, एक तरफ, योग के बराबर है, और दूसरी तरफ, यह बराबर है। माध्यम, ।

अब ध्यान दें कि तथा , तथा एक ही तत्व के विपरीत हैं, इसलिए उन्हें बराबर होना चाहिए।

पहला तथ्य इस प्रकार प्राप्त होता है: अर्थात्, इसके विपरीत, जिसका अर्थ है कि यह बराबर है।

गणितीय रूप से कठोर होने के लिए, आइए यह भी समझाएं कि किसी भी तत्व के लिए क्यों . वास्तव में, । अर्थात्, जोड़ योग को नहीं बदलता है। तो यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

और यह तथ्य कि रिंग में बिल्कुल एक शून्य है (आखिरकार, स्वयंसिद्ध कहते हैं कि ऐसा तत्व मौजूद है, लेकिन इसकी विशिष्टता के बारे में कुछ भी नहीं कहा गया है!), हम एक साधारण अभ्यास के रूप में पाठक को छोड़ देंगे।

एवगेनी एपिफ़ानोव
"तत्व"

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जैक्स सेसियानो

दो सहस्राब्दियों में संख्यात्मक डोमेन के तीन महत्वपूर्ण विस्तार हुए हैं। सबसे पहले, लगभग 450 ई.पू. पाइथागोरस स्कूल के वैज्ञानिकों ने अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व को सिद्ध किया। उनका प्रारंभिक लक्ष्य इकाई वर्ग के विकर्ण को संख्यात्मक रूप से व्यक्त करना था। दूसरे, XIII-XV सदियों में, यूरोपीय वैज्ञानिकों ने रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते हुए, एक नकारात्मक समाधान की संभावना को स्वीकार किया। और तीसरा, 1572 में इतालवी बीजगणित विज्ञानी राफेल बॉम्बेली ने एक निश्चित घन समीकरण का वास्तविक हल प्राप्त करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग किया।

प्रोस्कुर्यकोव आई.वी.

इस पुस्तक का उद्देश्य संख्याओं, बहुपदों और बीजगणितीय भिन्नों को कड़ाई से परिभाषित करना और स्कूल से पहले से ज्ञात उनके गुणों को सही ठहराना है, न कि पाठक को नए गुणों से परिचित कराना। इसलिए, पाठक को यहां ऐसे तथ्य नहीं मिलेंगे जो उसके लिए नए हैं (कुछ गुणों, वास्तविक और जटिल संख्याओं के संभावित अपवाद के साथ), लेकिन सीखेंगे कि चीजें कैसे साबित होती हैं जो उसे अच्छी तरह से ज्ञात हैं, "दो बार दो - चार" से शुरू ” और बहुपद और बीजीय भिन्नों के साथ संचालन के नियमों के साथ समाप्त होता है। दूसरी ओर, पाठक कई सामान्य अवधारणाओं से परिचित होंगे जो बीजगणित में मुख्य भूमिका निभाते हैं।

इल्या शचुरोव

गणितज्ञ इल्या शुचुरोव दशमलव अंशों, पारगमन और पाई की तर्कहीनता के बारे में।

लियोन तख्तज्यान

ये चार लघु कथाएँ होंगी। हम संख्याओं से शुरू करेंगे, फिर हम गति के बारे में, परिवर्तन के बारे में बात करेंगे, फिर हम आकृतियों और आकारों के बारे में बात करेंगे, और फिर हम शुरुआत और अंत के बारे में बात करेंगे। इस तरह की कुछ एन्क्रिप्टेड शैली में, हम गणित को अंदर और बाहर से देखने की कोशिश करेंगे, और ठीक एक वस्तु के रूप में। गणितज्ञ किस बारे में सोचते हैं और वे किस बारे में जीते हैं - इस बारे में हम बाद में बात कर सकते हैं।

व्लादलेन तिमोरिन

गणितज्ञ व्लाडेन तिमोरिन जटिल संख्याओं के लाभों पर, हैमिल्टन चतुर्भुज, आठ-आयामी केली संख्याएँ और ज्यामिति में संख्याओं की विविधता।

जैक्स सेसियानो

हम डायोफैंटस के बारे में बहुत कम जानते हैं। ऐसा लगता है कि वह अलेक्जेंड्रिया में रहता था। चौथी शताब्दी से पहले किसी यूनानी गणितज्ञ ने उसका उल्लेख नहीं किया है, इसलिए वह शायद तीसरी शताब्दी के मध्य में रहता था। डायोफैंटस का सबसे महत्वपूर्ण काम, "अंकगणित" (Ἀριθμητικά), 13 "किताबों" (βιβλία), यानी अध्यायों की शुरुआत में हुआ था। आज हमारे पास उनमें से 10 हैं, अर्थात्: 6 ग्रीक पाठ में और 4 अन्य मध्यकालीन अरबी अनुवाद में, जिनका स्थान ग्रीक पुस्तकों के मध्य में है: पुस्तकें I-III ग्रीक में, IV-VII अरबी में, VIII-X ग्रीक में। डायोफैंटस का "अंकगणित" मुख्य रूप से समस्याओं का एक संग्रह है, कुल मिलाकर लगभग 260। सच में, कोई सिद्धांत नहीं है; पुस्तक के परिचय में केवल सामान्य निर्देश हैं, और आवश्यकता पड़ने पर कुछ समस्याओं में विशिष्ट टिप्पणियाँ हैं। "अंकगणित" में पहले से ही एक बीजीय ग्रंथ की विशेषताएं हैं। सबसे पहले, डायोफैंटस अज्ञात और उसकी डिग्री, कुछ गणनाओं को व्यक्त करने के लिए विभिन्न संकेतों का उपयोग करता है; मध्य युग के सभी बीजगणितीय प्रतीकों की तरह, इसका प्रतीकवाद गणितीय शब्दों से आता है। फिर, डायोफैंटस बताते हैं कि बीजगणितीय तरीके से समस्या को कैसे हल किया जाए। लेकिन डायोफैंटाइन की समस्याएं सामान्य अर्थों में बीजगणितीय नहीं हैं, क्योंकि उनमें से लगभग सभी अनिश्चित समीकरण या ऐसे समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए कम हो जाती हैं।

उनके बिना गणित की दुनिया अकल्पनीय है - अभाज्य संख्याओं के बिना। अभाज्य संख्याएँ क्या हैं, उनमें क्या विशेष है, और दैनिक जीवन में उनका क्या महत्व है? इस फिल्म में ब्रिटिश गणित के प्रोफेसर मार्कस डु सोटॉय अभाज्य संख्याओं के रहस्य का खुलासा करेंगे।

जॉर्ज शबात

स्कूल में, हम सभी गलत विचार से भरे हुए हैं कि तर्कसंगत संख्या क्यू के सेट पर एक अद्वितीय प्राकृतिक दूरी (अंतर का मापांक) है, जिसके संबंध में सभी अंकगणितीय संचालन निरंतर हैं। हालांकि, अनंत संख्या में दूरियां भी हैं, तथाकथित p-adic वाले, प्रत्येक संख्या p के लिए एक। ओस्ट्रोवस्की के प्रमेय के अनुसार, "साधारण" दूरी, सभी पी-एडिक दूरियों के साथ, वास्तव में सभी उचित दूरियों को समाप्त कर देती है। क्यू। एडेल लोकतंत्र शब्द यू। आई। मैनिन द्वारा पेश किया गया था। एडेल लोकतंत्र के सिद्धांत के अनुसार, क्यू पर सभी उचित दूरियां गणित के नियमों से पहले समान हैं (शायद केवल पारंपरिक "थोड़ा = थोड़ा अधिक बराबर ..."। पाठ्यक्रम एक एडेल रिंग पेश करेगा जो आपको सभी के साथ काम करने की अनुमति देता है एक ही समय में इन दूरियों।

व्लादिमीर अर्नोल्ड

जेएल लैग्रेंज ने साबित किया कि अपूर्ण भागफलों का एक क्रम (किसी स्थान से शुरू होता है) आवधिक होता है यदि और केवल यदि संख्या x एक द्विघात अपरिमेयता है। R. O. Kuzmin ने साबित किया कि लगभग किसी भी वास्तविक संख्या के अपूर्ण भागफलों के अनुक्रम में, d_m बराबर m अपूर्ण भागफल समान होता है (विशिष्ट वास्तविक संख्याओं के लिए)। अंश d_m घट जाता है m→∞ के रूप में 1/m^2 और इसके मूल्य की भविष्यवाणी गॉस द्वारा की गई थी (जिसने कुछ भी साबित नहीं किया)। वी. आई. अर्नोल्डा (20 साल पहले) ने अनुमान लगाया कि गॉस-कुज़मिन आंकड़ा d_m भी द्विघात समीकरणों की जड़ों के निरंतर अंशों की अवधि के लिए रखता है x^2+px+q=0 (पूर्णांक p और q के साथ): यदि हम एक साथ लिखते हैं अपूर्ण भागफल, p^2+q^2≤R^2 के साथ ऐसे समीकरणों की जड़ों के सभी निरंतर अंशों की अवधि बनाते हैं, फिर अपूर्ण भागफल m का अंश उनके बीच संख्या d_m के रूप में R→ हो जाएगा . V. A. Bykovsky और खाबरोवस्क के उनके छात्रों ने हाल ही में इस लंबे समय से चली आ रही परिकल्पना को साबित किया। इसके बावजूद, अक्षरों के नहीं, बल्कि उनसे बने शब्दों के आँकड़ों का सवाल, जो समीकरणों के किसी भी मूल x के निरंतर अंशों की अवधि है x^2+px+q=0, हल होने से बहुत दूर है।

रीड माइल्स

मैं शीर्षक और सार को यथासंभव अस्पष्ट छोड़ देता हूं, ताकि मैं उस दिन जो कुछ भी महसूस करूं उसके बारे में बात कर सकूं। किस्मों के वर्गीकरण में रुचि की कई किस्में गोरेनस्टीन रिंग के स्पेक या प्रोज के रूप में प्राप्त की जाती हैं। कोडिमेंशन ⩽3 में, प्रसिद्ध संरचना सिद्धांत गोरेनस्टीन के छल्ले के साथ गणना करने के स्पष्ट तरीके प्रदान करता है। इसके विपरीत, कोडिमेशन 4 के छल्ले के लिए कोई उपयोग योग्य संरचना सिद्धांत नहीं है। फिर भी, कई मामलों में, गोरेनस्टीन प्रोजेक्शन (और इसके विपरीत, कुस्टिन-मिलर अनप्रोजेक्शन) इन रिंगों पर हमला करने के तरीके प्रदान करते हैं। ये विधियां नियमित बीजगणितीय सतहों के कैनोनिकल रिंगों के छिटपुट वर्गों पर लागू होती हैं, और क्यू-फ़ानो 3-फोल्ड के अधिक व्यवस्थित निर्माण, इनके बीच सरकिसोव लिंक और मोरी सिद्धांत के टाइप ए के 3-फोल्ड फ़्लिप पर लागू होते हैं।

माइनस गुना माइनस प्लस के बराबर क्यों होता है?

- (1 स्टिक) - (2 स्टिक्स) = ((1 स्टिक)+(2 स्टिक))= 2 स्टिक (और दो स्टिक + हैं क्योंकि डंडे पर 2 स्टिक हैं)))

माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है क्योंकि यह स्कूल का नियम है। फिलहाल, मेरी राय में, इसका कोई सटीक उत्तर नहीं है। यह नियम है और यह कई वर्षों से है। आपको बस एक ज़ुल्फ़ याद रखने की ज़रूरत है क्योंकि एक ज़ुल्फ़ एक कपड़ेपिन देता है।

स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से, हम जानते हैं कि माइनस गुणा माइनस एक प्लस देता है। इस नियम की एक सरल, चंचल व्याख्या भी है: माइनस एक लाइन है, दो माइनस दो लाइन हैं, साथ ही इसमें सिर्फ 2 लाइन हैं। इसलिए, माइनस टाइम्स माइनस एक प्लस चिन्ह देता है।

मुझे ऐसा लगता है: ऋण एक छड़ी है - एक और माइनस स्टिक quot जोड़ें; - तब आपको दो छड़ें मिलती हैं, और यदि आप उन्हें क्रॉसवाइज जोड़ते हैं, तो साइन + सीखेंगे, इस तरह मैंने इस सवाल पर अपनी राय दी: माइनस माइनस डेट्स प्लस।

माइनस टाइम्स माइनस हमेशा गणित में भी प्लस नहीं देता है। लेकिन मूल रूप से, मैं इस कथन की तुलना गणित से करता हूँ, जहाँ यह सबसे अधिक पाया जाता है। वे यह भी कहते हैं कि वे एक क्राउबर के साथ स्क्रैप को बाहर निकालते हैं - यह भी किसी तरह माइनस से जुड़ा है।

कल्पना कीजिए कि आपने 100 रूबल उधार लिए हैं। अब आपका खाता: -100 रूबल। तब तुमने यह कर्ज चुका दिया। तो यह पता चला है कि आपने (-) अपने कर्ज (-100) को उसी राशि से कम कर दिया है। हमें मिलता है: -100-(-100)=0

माइनस विपरीत इंगित करता है: 5 का विपरीत -5 है। परंतु -(-5) विपरीत के विपरीत संख्या है, अर्थात। 5.

एक मजाक के रूप में:

पहला - गली के विपरीत दिशा कहाँ है?

2 - दूसरी तरफ

पहला - और उन्होंने कहा कि इस पर...

दो कटोरे के साथ एक पैमाने की कल्पना करो। तथ्य यह है कि दाहिने कटोरे पर हमेशा एक प्लस चिन्ह होता है, बाएं कटोरे पर - माइनस। अब, किसी संख्या को धन चिह्न से गुणा करने का अर्थ यह होगा कि वह उसी कटोरे पर होती है, और किसी संख्या को ऋण चिह्न से गुणा करने का अर्थ यह होगा कि परिणाम दूसरे कटोरे में ले जाया जाता है। उदाहरण। हम 5 सेबों को 2 से गुणा करते हैं। हमें 10 सेब दाहिने कटोरे में मिलते हैं। हम गुणा करते हैं - 5 सेब 2 से, हमें बाएं कटोरे पर 10 सेब मिलते हैं, यानी -10। अब -5 को -2 से गुणा करें। इसका मतलब है कि बाएं कटोरे पर 5 सेब को 2 से गुणा किया जाता है और दाएं कटोरे में स्थानांतरित किया जाता है, यानी उत्तर 10 है। दिलचस्प बात यह है कि प्लस को माइनस से गुणा करना, यानी दाएं कटोरे पर सेब का नकारात्मक परिणाम है, अर्थात, सेब बाईं ओर जाते हैं। और माइनस लेफ्ट सेब को प्लस से गुणा करने पर वह माइनस में बायीं कटोरी पर रह जाता है।

मुझे लगता है कि इसे निम्नलिखित तरीके से प्रदर्शित किया जा सकता है। यदि आप पाँच सेबों को पाँच टोकरियों में डाल दें, तो कुल मिलाकर 25 सेब होंगे। टोकरियों में। और माइनस पांच सेब का मतलब है कि मैंने उनकी रिपोर्ट नहीं की, लेकिन उन्हें पांच टोकरियों में से प्रत्येक में से निकाल लिया। और उस से वही 25 सेब निकले, परन्तु टोकरियोंमें नहीं। इसलिए, टोकरियाँ माइनस के रूप में जाती हैं।

आप इसे निम्न उदाहरण से भी अच्छी तरह से प्रदर्शित कर सकते हैं। अगर आपके घर में आग लगी है, तो वह माइनस है। लेकिन अगर आप नहाने के नल को बंद करना भूल गए हैं, और आपको बाढ़ आने लगी है, तो यह भी एक माइनस है। लेकिन ये अलग है. लेकिन अगर यह सब एक ही समय में हुआ, तो माइनस बाय माइनस एक प्लस देता है, और आपके अपार्टमेंट में जीवित रहने का मौका है।

1) माइनस वन गुना माइनस वन बराबर प्लस वन क्यों होता है?
2) माइनस वन गुणा प्लस वन बराबर माइनस वन क्यों होता है?

"दुश्मन का दुश्मन, मेरा दोस्त है।"

सबसे आसान उत्तर है: "क्योंकि ये ऋणात्मक संख्याओं के साथ कार्य करने के नियम हैं।" नियम जो हम स्कूल में सीखते हैं और जीवन भर लागू होते हैं। हालाँकि, पाठ्यपुस्तकें यह नहीं बताती हैं कि नियम जिस तरह से हैं, वे क्यों हैं। इसे हम पहले अंकगणित के विकास के इतिहास से समझने का प्रयास करेंगे और फिर इस प्रश्न का उत्तर आधुनिक गणित की दृष्टि से देंगे।

बहुत समय पहले, केवल प्राकृतिक संख्याएँ ही लोगों को ज्ञात थीं: 1, 2, 3, ... उनका उपयोग बर्तन, शिकार, शत्रु आदि गिनने के लिए किया जाता था। लेकिन संख्याएँ स्वयं बेकार हैं - आपको संभालने में सक्षम होने की आवश्यकता है उन्हें। जोड़ स्पष्ट और समझ में आता है, और इसके अलावा, दो प्राकृतिक संख्याओं का योग भी एक प्राकृतिक संख्या है (एक गणितज्ञ कहेगा कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट जोड़ के संचालन के तहत बंद है)। गुणन, वास्तव में, वही जोड़ है यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं। जीवन में, हम अक्सर इन दो कार्यों से संबंधित क्रियाएं करते हैं (उदाहरण के लिए, खरीदारी करते समय, हम जोड़ते हैं और गुणा करते हैं), और यह सोचना अजीब है कि हमारे पूर्वजों ने उन्हें कम बार सामना किया - मानव जाति द्वारा जोड़ और गुणा को बहुत लंबे समय तक महारत हासिल थी पहले। अक्सर एक मात्रा को दूसरे से विभाजित करना आवश्यक होता है, लेकिन यहां परिणाम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है - इस तरह भिन्नात्मक संख्याएं दिखाई देती हैं।

7वीं शताब्दी ईस्वी से भारतीय दस्तावेजों में ऋणात्मक संख्याएँ दिखाई देती हैं; चीनी, जाहिरा तौर पर, उन्हें थोड़ा पहले इस्तेमाल करना शुरू कर दिया था। समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए उनका उपयोग ऋणों या मध्यवर्ती गणनाओं के लिए किया जाता था - यह केवल सकारात्मक उत्तर प्राप्त करने का एक उपकरण था। तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याएं, सकारात्मक संख्याओं के विपरीत, किसी भी इकाई की उपस्थिति को व्यक्त नहीं करती हैं, मजबूत अविश्वास पैदा करती हैं। शब्द के शाब्दिक अर्थों में लोगों ने नकारात्मक संख्याओं से परहेज किया: यदि समस्या का नकारात्मक उत्तर मिला, तो उनका मानना था कि कोई उत्तर नहीं था। यह अविश्वास बहुत लंबे समय तक बना रहा, और यहां तक कि डेसकार्टेस, आधुनिक गणित के "संस्थापकों" में से एक, ने उन्हें "झूठा" कहा (17 वीं शताब्दी में!)

उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें 7x - 17 = 2x - 2. इसे इस तरह हल किया जा सकता है: अज्ञात के साथ शर्तों को बाईं ओर ले जाएं, और बाकी को दाईं ओर ले जाएं, यह निकल जाएगा 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , एक्स = 3. इस समाधान से हमें ऋणात्मक संख्याएँ भी नहीं मिलीं।

लेकिन कोई गलती से इसे अलग तरीके से कर सकता है: अज्ञात के साथ शर्तों को दाईं ओर ले जाएं और प्राप्त करें 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. अज्ञात को खोजने के लिए, आपको एक ऋणात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करना होगा: एक्स = (-15)/(-5). लेकिन सही उत्तर ज्ञात है, और यह निष्कर्ष निकालना बाकी है कि (-15)/(-5) = 3 .

यह सरल उदाहरण क्या प्रदर्शित करता है? सबसे पहले, यह तर्क स्पष्ट हो जाता है कि नकारात्मक संख्याओं पर कार्रवाई के नियम निर्धारित करते हैं: इन क्रियाओं के परिणाम नकारात्मक संख्याओं के बिना, भिन्न तरीके से प्राप्त उत्तरों से मेल खाना चाहिए. दूसरे, ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग की अनुमति देकर, हम थकाऊ से छुटकारा पाते हैं (यदि समीकरण अधिक जटिल हो जाता है, तो बड़ी संख्या में शब्दों के साथ) समाधान पथ की खोज करें जिसमें सभी क्रियाएं केवल प्राकृतिक संख्याओं पर की जाती हैं। इसके अलावा, हम अब हर बार मात्राओं के परिवर्तित होने की सार्थकता के बारे में नहीं सोच सकते हैं - और यह पहले से ही गणित को एक अमूर्त विज्ञान में बदलने की दिशा में एक कदम है।

नतीजतन, एक नई अवधारणा दिखाई दी: अँगूठी. यह केवल तत्वों और उन पर की जाने वाली क्रियाओं का एक समूह है। यहां मूल नियम केवल नियम हैं (उन्हें कहा जाता है सूक्तियों) जिसके लिए क्रियाएं विषय हैं, सेट के तत्वों की प्रकृति नहीं (यहाँ यह है, अमूर्तता का एक नया स्तर!)। इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि यह संरचना है जो महत्वपूर्ण है जो स्वयंसिद्धों की शुरूआत के बाद उत्पन्न होती है, गणितज्ञ कहते हैं: पूर्णांकों का वलय, बहुपदों का वलय, आदि। स्वयंसिद्धों से शुरू होकर, कोई वलय के अन्य गुणों को प्राप्त कर सकता है।

अँगूठीदो बाइनरी ऑपरेशंस वाला एक सेट है (अर्थात, रिंग के दो तत्व प्रत्येक ऑपरेशन में शामिल होते हैं), जिन्हें पारंपरिक रूप से जोड़ और गुणा कहा जाता है, और निम्नलिखित स्वयंसिद्ध:

वलय तत्वों का योग क्रमविनिमेय का पालन करता है ( ए + बी = बी + एकिसी भी तत्व के लिए एऔर बी) और सहयोगी ( ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी) कानून; वलय में एक विशेष तत्व 0 (अतिरिक्त द्वारा एक तटस्थ तत्व) होता है जैसे कि ए + 0 = ए, और किसी भी तत्व के लिए एएक विपरीत तत्व है (निरूपित (-ए)), क्या ए + (-ए) = 0 ;
गुणन संयोजन नियम का पालन करता है: ए (बी सी) = (ए बी) सी ;
जोड़ और गुणा निम्नलिखित कोष्ठक विस्तार नियमों से संबंधित हैं: (ए + बी) सी = ए सी + बी सीऔर ए (बी + सी) = ए बी + ए सी .

हम ध्यान दें कि छल्ले, सबसे सामान्य निर्माण में, गुणा करने योग्य होने के लिए गुणा की आवश्यकता नहीं होती है, न ही यह उलटा होता है (अर्थात, इसे विभाजित करना हमेशा संभव नहीं होता है), न ही इसे एक इकाई के अस्तित्व की आवश्यकता होती है, एक तटस्थ तत्व के साथ गुणन के संबंध में। यदि इन अभिगृहीतों का परिचय दिया जाए, तो अन्य बीजीय संरचनाएँ प्राप्त होती हैं, लेकिन वलयों के लिए सिद्ध सभी प्रमेय उनमें सत्य होंगे।

अब हम सिद्ध करते हैं कि किन्हीं तत्वों के लिए एऔर बीमनमाना वलय सत्य है, सबसे पहले, (-ए) बी = -(ए बी), और दूसरी बात (-(-ए)) = ए. इससे, इकाइयों के बारे में कथन आसानी से अनुसरण करते हैं: (-1) 1 = -(1 1) = -1और (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .

ऐसा करने के लिए, हमें कुछ तथ्यों को स्थापित करने की आवश्यकता है। पहले हम सिद्ध करते हैं कि प्रत्येक तत्व का केवल एक विपरीत हो सकता है। दरअसल, चलो तत्व एदो विपरीत हैं: बीऔर साथ में. अर्थात ए + बी = 0 = ए + सी. राशि पर विचार करें ए+बी+सी. साहचर्य और कम्यूटेटिव कानूनों और शून्य की संपत्ति का उपयोग करके, हम पाते हैं कि, एक तरफ, योग के बराबर है बी: बी = बी + 0 = बी + (ए + सी) = ए + बी + सी, और दूसरी ओर, यह बराबर है सी: ए + बी + सी = (ए + बी) + सी = 0 + सी = सी. माध्यम, बी = सी .

आइए अब ध्यान दें कि ए, और (-(-ए))एक ही तत्व के विपरीत हैं (-ए), इसलिए उन्हें बराबर होना चाहिए।

पहला तथ्य इस प्रकार है: 0 = 0 बी = (ए + (-ए)) बी = ए बी + (-ए) बी, अर्थात (-ए) बीविलोम ए बी, तो यह के बराबर है -(ए बी) .

गणितीय रूप से कठोर होने के लिए, आइए बताते हैं कि क्यों 0 बी = 0किसी भी तत्व के लिए बी. वास्तव में, 0 बी = (0 + 0) बी = 0 बी + 0 बी. यानी जोड़ 0 बीराशि नहीं बदलता है। तो यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

एवगेनी एपिफानोव, अर्थ (सोल III)।

दरअसल, क्यों? सबसे आसान उत्तर है: "क्योंकि ये ऋणात्मक संख्याओं के साथ कार्य करने के नियम हैं।" नियम जो हम स्कूल में सीखते हैं और जीवन भर लागू होते हैं। हालाँकि, पाठ्यपुस्तकें यह नहीं बताती हैं कि नियम जिस तरह से हैं, वे क्यों हैं। हमें याद आया - बस इतना ही, और अब सवाल नहीं पूछते।

और चलो पूछते हैं...

घटाव, ज़ाहिर है, भी अनिवार्य है। लेकिन व्यवहार में, हम बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाते हैं, और ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। (यदि मेरे पास 5 कैंडीज हैं और मैं अपनी बहन को 3 देता हूं, तो मेरे पास 5 - 3 = 2 कैंडीज होंगी, लेकिन मैं अपनी पूरी इच्छा से उसे 7 कैंडी नहीं दे सकता।) यह समझा सकता है कि लोगों ने नकारात्मक संख्याओं का उपयोग क्यों नहीं किया लंबे समय के लिए।

7वीं शताब्दी ईस्वी से भारतीय दस्तावेजों में ऋणात्मक संख्याएँ दिखाई देती हैं; चीनी, जाहिरा तौर पर, उन्हें थोड़ा पहले इस्तेमाल करना शुरू कर दिया था। समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए उनका उपयोग ऋणों या मध्यवर्ती गणनाओं के लिए किया जाता था - यह केवल सकारात्मक उत्तर प्राप्त करने का एक उपकरण था। तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याएं, सकारात्मक संख्याओं के विपरीत, किसी भी इकाई की उपस्थिति को व्यक्त नहीं करती हैं, मजबूत अविश्वास पैदा करती हैं। शब्द के शाब्दिक अर्थों में लोगों ने नकारात्मक संख्याओं से परहेज किया: यदि समस्या का नकारात्मक उत्तर मिला, तो उनका मानना था कि कोई उत्तर नहीं था। यह अविश्वास बहुत लंबे समय तक बना रहा, और यहां तक कि डेसकार्टेस, आधुनिक गणित के "संस्थापकों" में से एक, ने उन्हें "झूठा" कहा (17 वीं शताब्दी में!)

उदाहरण के लिए समीकरण 7x - 17 \u003d 2x - 2 पर विचार करें। इसे निम्नानुसार हल किया जा सकता है: अज्ञात के साथ शर्तों को बाईं ओर ले जाएं, और बाकी को दाईं ओर, आपको 7x - 2x \u003d 17 - 2 मिलता है, 5x \u003d 15, x \u003d 3. इससे हमें समाधान में ऋणात्मक संख्याएँ भी नहीं मिलीं।

लेकिन यह संयोग से अलग तरीके से किया जा सकता था: अज्ञात के साथ शब्दों को दाईं ओर ले जाएं और 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x प्राप्त करें। अज्ञात को खोजने के लिए, आपको एक ऋणात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करना होगा: x = (-15)/(-5)। लेकिन सही उत्तर ज्ञात है, और यह निष्कर्ष निकालना बाकी है कि (-15)/(-5) = 3.

वलय तत्वों का योग कम्यूटेटिव (ए + बी = बी + ए किसी भी तत्व ए और बी के लिए) और संयोजन (ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी) कानूनों का पालन करता है; अंगूठी में एक विशेष तत्व 0 (अतिरिक्त तटस्थ) होता है जैसे कि ए + 0 = ए, और ए के किसी भी तत्व के लिए एक विपरीत तत्व (निरूपित (-ए)) ऐसा होता है कि ए + (-ए) = 0;
- गुणन संयोजन कानून का पालन करता है: ए (बी सी) = (ए बी) सी;
जोड़ और गुणा निम्नलिखित ब्रैकेट विस्तार नियमों से संबंधित हैं: (ए + बी) सी = ए सी + बी सी और ए (बी + सी) = ए बी + ए सी।

आइए अब हम सिद्ध करें कि किसी भी अवयव A और B के लिए एक मनमाना वलय, सबसे पहले, (-A) B = -(A B), और दूसरा (-(-A)) = A। यह आसानी से इकाइयों के बारे में बयानों को दर्शाता है: 1) 1 = -(1 1) = -1 और (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

ऐसा करने के लिए, हमें कुछ तथ्यों को स्थापित करने की आवश्यकता है। पहले हम सिद्ध करते हैं कि प्रत्येक तत्व का केवल एक विपरीत हो सकता है। वास्तव में, मान लें कि तत्व A के दो विपरीत तत्व हैं: B और C। अर्थात्, A + B = 0 = A + C। योग A + B + C पर विचार करें। साहचर्य और कम्यूटेटिव कानूनों और शून्य की संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करें, एक तरफ, योग बी के बराबर है: बी = बी + 0 = बी + (ए + सी) = ए + बी + सी, और दूसरी तरफ, यह सी के बराबर है: ए + बी + सी = (ए + बी) + सी = 0 + सी = सी। इसलिए, बी = सी।

अब ध्यान दें कि ए और (-(-ए)) दोनों एक ही तत्व (-ए) के विपरीत हैं, इसलिए उन्हें बराबर होना चाहिए।

पहला तथ्य इस प्रकार प्राप्त होता है: 0 = 0 बी = (ए + (-ए)) बी = ए बी + (-ए) बी, यानी (-ए) बी, ए बी के विपरीत है, इसलिए यह बराबर है - (ए बी)।

गणितीय रूप से कठोर होने के लिए, आइए यह भी बताएं कि B के किसी भी तत्व के लिए 0·B = 0 क्यों है। दरअसल, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. यानी 0 B जोड़ने से योग नहीं बदलता है। तो यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

एवगेनी एपिफ़ानोव

गणित के शिक्षक को सुनते समय, अधिकांश छात्र सामग्री को एक स्वयंसिद्ध के रूप में देखते हैं। उसी समय, कुछ लोग नीचे तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाते हैं कि "माइनस" से "प्लस" क्यों "माइनस" का संकेत देता है, और जब दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो एक सकारात्मक निकलता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क स्वयं को या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ होते हैं कि ऐसा क्यों होता है। उन्होंने इस सामग्री को स्कूल में अच्छी तरह से आत्मसात कर लिया था, लेकिन उन्होंने यह पता लगाने की कोशिश भी नहीं की कि ऐसे नियम कहां से आए हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भोला नहीं होते हैं, उन्हें मामले की तह तक जाने और समझने की जरूरत है, कहते हैं, "माइनस" पर "प्लस" "माइनस" क्यों देता है। और कभी-कभी टोमबॉय जानबूझकर मुश्किल सवाल पूछते हैं ताकि उस पल का आनंद लिया जा सके जब वयस्क एक समझदार जवाब नहीं दे सकते। और अगर एक युवा शिक्षक मुसीबत में पड़ जाए तो यह वास्तव में एक आपदा है ...

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऊपर वर्णित नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है। एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल एक "ऋण" देगा। यदि हम "-" चिह्न वाले दो अंकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक धनात्मक संख्या होगी। यही बात विभाजन पर भी लागू होती है। यदि इनमें से कोई एक संख्या ऋणात्मक है, तो भागफल भी "-" चिह्न के साथ होगा।

गणित के इस नियम की सत्यता की व्याख्या करने के लिए वलय के अभिगृहीत बनाना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि यह क्या है। गणित में, रिंग को एक सेट कहने की प्रथा है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन इसे एक उदाहरण से समझना बेहतर है।

अंगूठी स्वयंसिद्ध

कई गणितीय नियम हैं।

उनमें से पहला विस्थापन योग्य है, उनके अनुसार, सी + वी = वी + सी।
दूसरे को साहचर्य (वी + सी) + डी = वी + (सी + डी) कहा जाता है।

वे गुणन (V x C) x D = V x (C x D) का भी पालन करते हैं।

किसी ने उन नियमों को रद्द नहीं किया जिनके द्वारा कोष्ठक खोले जाते हैं (V + C) x D = V x D + C x D, यह भी सत्य है कि C x (V + D) = C x V + C x D।

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया है कि एक विशेष, अतिरिक्त-तटस्थ तत्व को रिंग में पेश किया जा सकता है, जिसके उपयोग से निम्नलिखित सत्य होंगे: सी + 0 = सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जो कर सकता है (-सी) के रूप में निरूपित किया जा सकता है। इस मामले में, सी + (-सी) \u003d 0।

ऋणात्मक संख्याओं के लिए अभिगृहीतों की व्युत्पत्ति

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: "माइनस" पर "प्लस" क्या संकेत देता है? ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के अभिगृहीत को जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V = - (C x V) है। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (-(-C)) = C.

ऐसा करने के लिए, हमें पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व में केवल एक विपरीत "भाई" है। निम्नलिखित प्रमाण उदाहरण पर विचार करें। आइए कल्पना करने की कोशिश करें कि सी - वी और डी के लिए दो संख्याएं विपरीत हैं। इससे यह पता चलता है कि सी + वी = 0 और सी + डी = 0, यानी सी + वी = 0 = सी + डी। विस्थापन कानूनों को याद करते हुए और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम तीनों संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: C, V और D। आइए V का मान निकालने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि V = V + 0 = V + (C + डी) = वी + सी + डी, क्योंकि सी + डी का मान, जैसा कि ऊपर स्वीकार किया गया था, 0 के बराबर है। इसलिए, वी = वी + सी + डी।

D का मान इसी प्रकार निकाला जाता है: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. इसके आधार पर यह स्पष्ट हो जाता है कि V = D.

यह समझने के लिए कि, फिर भी, "माइनस" पर "प्लस" "माइनस" क्यों देता है, आपको निम्नलिखित को समझने की आवश्यकता है। तो, तत्व (-सी) के लिए, विपरीत सी और (-(-सी)) हैं, यानी वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V। इससे यह पता चलता है कि C x V, (-) C x V के विपरीत है। , जिसका अर्थ है (- सी) एक्स वी = - (सी एक्स वी)।

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए किसी भी तत्व के लिए 0 x V = 0 की पुष्टि करना भी आवश्यक है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V जोड़ने से किसी भी तरह से निर्धारित राशि नहीं बदलती है। आखिरकार, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

इन सभी स्वयंसिद्धों को जानकर, न केवल "शून्य" द्वारा "प्लस" देना संभव है, बल्कि यह भी पता चलता है कि जब नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है तो क्या होता है।

"-" चिन्ह वाली दो संख्याओं का गुणा और भाग

यदि आप गणितीय बारीकियों में तल्लीन नहीं करते हैं, तो आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ क्रिया के नियमों को सरल तरीके से समझाने का प्रयास कर सकते हैं।

मान लीजिए कि सी - (-वी) = डी, इसके आधार पर, सी = डी + (-वी), यानी सी = डी - वी। हम वी को स्थानांतरित करते हैं और हमें वह सी + वी = डी मिलता है। यानी सी + वी = सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "माइनस" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में क्यों बदला जाना चाहिए। अब चलो गुणा से निपटते हैं।

(-सी) एक्स (-वी) \u003d डी, दो समान उत्पादों को जोड़ा और घटाया जा सकता है, जो इसके मूल्य को नहीं बदलेगा: (-सी) एक्स (-वी) + (सी एक्स वी) - (सी एक्स वी) \u003d डी।

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

1) (-सी) एक्स (-वी) + (सी एक्स वी) + (-सी) एक्स वी = डी;

2) (-सी) एक्स ((-वी) + वी) + सी एक्स वी = डी;

3) (-सी) एक्स 0 + सी एक्स वी = डी;

यह इस प्रकार है कि सी एक्स वी \u003d (-सी) एक्स (-वी)।

इसी तरह, हम साबित कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम सकारात्मक होगा।

सामान्य गणितीय नियम

बेशक, इस तरह की व्याख्या प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए उपयुक्त नहीं है जो अभी-अभी अमूर्त ऋणात्मक संख्याएँ सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए यह बेहतर है कि वे दिखने वाले कांच के माध्यम से परिचित शब्द में हेरफेर करते हुए, दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करें। उदाहरण के लिए, आविष्कार किए गए, लेकिन मौजूदा खिलौने वहां स्थित नहीं हैं। उन्हें "-" चिह्न के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दिखने वाली काँच की वस्तुओं का गुणन उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित कर देता है, जो वर्तमान के बराबर है, अर्थात, हमारे पास सकारात्मक संख्याएँ हैं। लेकिन एक अमूर्त ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ही सभी को परिचित परिणाम मिलता है। आखिरकार, "प्लस" को "माइनस" से गुणा करने पर "माइनस" मिलता है। यह सच है कि बच्चे गणित की सभी बारीकियों को जानने की बहुत कोशिश नहीं करते हैं।

हालांकि अगर आप सच्चाई का सामना करते हैं, तो कई लोगों के लिए, उच्च शिक्षा के साथ भी, कई नियम एक रहस्य बने हुए हैं। शिक्षक जो पढ़ाते हैं, उसे हर कोई मान लेता है, न कि उन सभी जटिलताओं की गहराई में जाने के लिए, जिनसे गणित भरा हुआ है। "माइनस" पर "माइनस" एक "प्लस" देता है - बिना किसी अपवाद के हर कोई इसके बारे में जानता है। यह पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए सत्य है।

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गणित के नियम

अंगूठी स्वयंसिद्ध

ऋणात्मक संख्याओं के लिए अभिगृहीतों की व्युत्पत्ति

"-" चिन्ह वाली दो संख्याओं का गुणा और भाग

सामान्य गणितीय नियम

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