एक गोला जिसका आयतन 8π है, एक घन में अंकित है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान

माना a घन की भुजा है। तब घन का आयतन V = a 3 है।

चूँकि गेंद एक घन में अंकित है, गेंद की त्रिज्या घन के आधे किनारे के बराबर है, अर्थात R = a/2 (चित्र देखें)।

गेंद का आयतन V w = (4/3)πR 3 और 8π के बराबर है, इसलिए

(4/3)πR 3 = 8π,

और घन का आयतन V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48 के बराबर है।

कार्य B9 (विशिष्ट विकल्प 2015)

शंकु का आयतन 32 है। ऊँचाई के मध्य से, शंकु के आधार के समानांतर, एक खंड खींचा गया है, जो समान शीर्ष वाले एक छोटे शंकु का आधार है। छोटे शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए कार्यों पर विचार करें:

72353. शंकु का आयतन 10 है। शंकु के आधार के समानांतर ऊंचाई के बीच से एक खंड खींचा गया है, जो समान शीर्ष वाले एक छोटे शंकु का आधार है। छोटे शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

आइए तुरंत ध्यान दें कि मूल और कटे हुए शंकु समान हैं और यदि हम मूल शंकु के सापेक्ष कटे हुए शंकु पर विचार करते हैं, तो हम यह कह सकते हैं: छोटा शंकु बड़े शंकु के समान होता है जिसका गुणांक एक आधे या 0.5 के बराबर होता है। . हम लिख सकते हैं:

कोई लिख सकता है:

कोई ऐसा सोच सकता है!

आइए कटे हुए शंकु के सापेक्ष मूल शंकु पर विचार करें। हम कह सकते हैं कि बड़ा शंकु दो के बराबर गुणांक वाले कटे हुए शंकु के समान है, आइए लिखें:

अब समानता गुणों का उपयोग किए बिना समाधान को देखें।

एक शंकु का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है:

संकेतित क्रॉस-सेक्शन के साथ पार्श्व प्रक्षेपण (साइड व्यू) पर विचार करें:

मान लीजिए कि बड़े शंकु की त्रिज्या R के बराबर है, ऊंचाई H के बराबर है। खंड (छोटे शंकु का आधार) ऊंचाई के मध्य से होकर गुजरता है, जिसका अर्थ है कि इसकी ऊंचाई H/2 के बराबर होगी। और आधार की त्रिज्या R/2 के बराबर है, यह त्रिभुजों की समानता से पता चलता है।

आइए मूल शंकु का आयतन लिखें:

कटे हुए शंकु का आयतन बराबर होगा:

ऐसे विस्तृत समाधान प्रस्तुत किए गए हैं ताकि आप देख सकें कि तर्क कैसे बनाया जा सकता है। किसी भी तरह से कार्य करें - मुख्य बात यह है कि आप निर्णय का सार समझें। भले ही आपके द्वारा चुना गया मार्ग तर्कसंगत न हो, परिणाम (सही परिणाम) महत्वपूर्ण है।

उत्तर: 1.25

318145. शंकु के आकार के बर्तन में तरल स्तर उसकी आधी ऊंचाई तक पहुंच जाता है। तरल की मात्रा 70 मिलीलीटर है. कंटेनर को पूरी तरह भरने के लिए कितने मिलीलीटर तरल मिलाया जाना चाहिए?

यह कार्य पिछले वाले के समान ही है. भले ही हम यहां एक तरल के बारे में बात कर रहे हैं, समाधान का सिद्धांत वही है।

हमारे पास दो शंकु हैं - यह स्वयं बर्तन है और "छोटा" शंकु (तरल से भरा हुआ) है, वे समान हैं। यह ज्ञात है कि ऐसे निकायों की मात्राएँ निम्नानुसार संबंधित हैं:

प्रारंभिक शंकु (पोत) 2 के बराबर गुणांक वाले तरल से भरे शंकु के समान है, क्योंकि ऐसा कहा जाता है कि तरल स्तर आधी ऊंचाई तक पहुंचता है। आप अधिक विस्तार से लिख सकते हैं:

हम गणना करते हैं:

इस प्रकार, आपको जोड़ना होगा:

तरल पदार्थों से जुड़ी अन्य समस्याएं.

74257. एक शंकु का आयतन V ज्ञात कीजिए, जिसका जनरेटर 44 के बराबर है और आधार के तल पर 30 0 के कोण पर झुका हुआ है। कृपया अपने उत्तर में V/Pi इंगित करें।

शंकु आयतन:

हम समकोण त्रिभुज के गुण का उपयोग करके शंकु की ऊँचाई ज्ञात करते हैं।

30° के कोण के विपरीत स्थित पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है। इस मामले में कर्ण, शंकु का जनक है। अतः शंकु की ऊंचाई 22 है।

हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार की त्रिज्या का वर्ग ज्ञात करते हैं:

*हमें त्रिज्या का वर्ग चाहिए, त्रिज्या नहीं।

शंकु. छिन्नक

शंक्वाकार सतहकिसी दिए गए वक्र के प्रत्येक बिंदु और वक्र के बाहर एक बिंदु से गुजरने वाली सभी सीधी रेखाओं द्वारा बनाई गई सतह है (चित्र 32)।

इस वक्र को कहा जाता है मार्गदर्शक , प्रत्यक्ष - उत्पादक , बिंदु - बैठक शंक्वाकार सतह.

सीधी गोलाकार शंक्वाकार सतहकिसी दिए गए वृत्त के प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली सभी सीधी रेखाओं और एक सीधी रेखा पर एक बिंदु से बनी सतह है जो वृत्त के तल के लंबवत है और इसके केंद्र से होकर गुजरती है। निम्नलिखित में हम संक्षेप में इस सतह को नाम देंगे शंक्वाकार सतह (अंजीर.33).

कोन (सीधा गोलाकार शंकु ) एक शंक्वाकार सतह और एक विमान से घिरा एक ज्यामितीय निकाय है जो गाइड सर्कल के विमान के समानांतर है (चित्र 34)।

चावल। 32 चित्र. 33 चित्र. 34

एक शंकु को त्रिभुज के एक पैर वाली धुरी के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज को घुमाने से प्राप्त पिंड के रूप में माना जा सकता है।

शंकु को घेरने वाला वृत्त उसका कहलाता है आधार . शंक्वाकार सतह का शीर्ष कहलाता है बैठक कोन शंकु के शीर्ष को उसके आधार के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है ऊंचाई कोन शंक्वाकार सतह बनाने वाले खंड कहलाते हैं उत्पादक कोन एक्सिस शंकु के शीर्ष और उसके आधार के केंद्र से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। अक्षीय खंड शंकु के अक्ष से गुजरने वाला भाग कहलाता है। पार्श्व सतह का विकास शंकु एक त्रिज्यखंड कहलाता है, जिसकी त्रिज्या शंकु के जेनरेट्रिक्स की लंबाई के बराबर होती है, और त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर होती है।

शंकु के लिए सही सूत्र हैं:

कहाँ आर- आधार त्रिज्या;

एच- ऊंचाई;

एल- जेनरेटर की लंबाई;

एस आधार- आधार क्षेत्र;

एस ओर

एस भरा हुआ

वी– शंकु का आयतन.

छोटा शंकुशंकु के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे शंकु के भाग को कहा जाता है (चित्र 35)।

एक काटे गए शंकु को एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड को आधारों के लंबवत ट्रेपेज़ॉइड के किनारे वाले अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त शरीर के रूप में माना जा सकता है।

शंकु को घेरने वाले दो वृत्त इसके कहलाते हैं कारण . ऊंचाई एक काटे गए शंकु की माप उसके आधारों के बीच की दूरी है। काटे गए शंकु की शंक्वाकार सतह बनाने वाले खंड कहलाते हैं उत्पादक . आधारों के केन्द्रों से गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है एक्सिस छोटा शंकु। अक्षीय खंड काटे गए शंकु की धुरी से गुजरने वाला अनुभाग कहा जाता है।

काटे गए शंकु के लिए सही सूत्र हैं:

(8)

कहाँ आर- निचले आधार की त्रिज्या;

आर- ऊपरी आधार की त्रिज्या;

एच- ऊंचाई, एल - जेनरेटर की लंबाई;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्रफल;

वी- काटे गए शंकु का आयतन।

उदाहरण 1।आधार के समानांतर शंकु का क्रॉस सेक्शन ऊंचाई को ऊपर से गिनती करते हुए 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है। यदि आधार की त्रिज्या और शंकु की ऊंचाई 9 सेमी और 12 सेमी है तो एक काटे गए शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 36)।

काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम सूत्र (8) का उपयोग करते हैं। आइए आधारों की त्रिज्या ज्ञात करें लगभग 1 एऔर लगभग 1 वीऔर गठन एबी.

समरूप त्रिभुजों पर विचार करें SO2Bऔर एसओ 1 ए, समानता गुणांक, फिर

यहाँ से

के बाद से

एक काटे गए शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर होता है:

उत्तर: .

उदाहरण 2.त्रिज्या का एक चौथाई वृत्त एक शंक्वाकार सतह में मुड़ा हुआ है। आधार की त्रिज्या और शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान।वृत्त का चतुर्थांश शंकु की पार्श्व सतह का विकास है। चलो निरूपित करें आर– इसके आधार की त्रिज्या, एच -ऊंचाई। आइए सूत्र का उपयोग करके पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करें:। यह एक चौथाई वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है: . हमें दो अज्ञात के साथ एक समीकरण मिलता है आरऔर एल(शंकु बनाना). इस मामले में, जेनरेटर क्वार्टर सर्कल की त्रिज्या के बराबर है आर, जिसका अर्थ है कि हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है: , जहां से आधार और जनरेटर की त्रिज्या को जानकर, हम शंकु की ऊंचाई पाते हैं:

उत्तर: 2 सेमी, .

उदाहरण 3. 45 O के न्यून कोण, 3 सेमी के छोटे आधार और के बराबर झुकी हुई भुजा वाला एक आयताकार समलम्बाकार, आधारों के लंबवत एक भुजा के चारों ओर घूमता है। घूर्णन के परिणामी पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 37)।

घूर्णन के परिणामस्वरूप, हमें एक छोटा शंकु प्राप्त होता है; इसका आयतन ज्ञात करने के लिए, हम बड़े आधार की त्रिज्या और ऊँचाई की गणना करते हैं। जाल में ओ 1 ओ 2 एबीहम आचरण करेंगे एसी^ओ 1 बी. बी हमारे पास है: इसका मतलब है कि यह त्रिभुज समद्विबाहु है एसी।=ईसा पूर्व=3 सेमी.

उत्तर:

उदाहरण 4. 13 सेमी, 37 सेमी और 40 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज एक बाहरी अक्ष के चारों ओर घूमता है, जो बड़ी भुजा के समानांतर है और उससे 3 सेमी की दूरी पर स्थित है (अक्ष त्रिभुज के तल में स्थित है)। क्रांति के परिणामी पिंड का सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

समाधान . आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 38)।

क्रांति के परिणामी पिंड की सतह में दो कटे हुए शंकु की पार्श्व सतह और एक सिलेंडर की पार्श्व सतह होती है। इन क्षेत्रों की गणना करने के लिए, शंकु और सिलेंडर के आधारों की त्रिज्या जानना आवश्यक है ( होनाऔर ओसी), शंकु बनाना ( ईसा पूर्वऔर एसी।) और सिलेंडर की ऊंचाई ( अब). एकमात्र अज्ञात है सीओ. यह त्रिभुज की भुजा से घूर्णन अक्ष तक की दूरी है। हम ढूंढ लेंगे डीसी. त्रिभुज ABC का एक तरफ का क्षेत्रफल भुजा AB के आधे भाग और उस पर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है डीसीदूसरी ओर, त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानते हुए, हम हेरोन के सूत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

शंकु आयतन. अब हम शंकु और बेलन तक पहुंच गये हैं। जो पहले ही प्रकाशित हो चुके हैं, उनके अलावा लगभग नौ लेख होंगे, हम सभी प्रकार के कार्यों पर विचार करेंगे। यदि वर्ष के दौरान खुले बैंक में नए कार्य जोड़े जाते हैं, तो निश्चित रूप से उन्हें ब्लॉग पर भी पोस्ट किया जाएगा। यह आलेख उस सिद्धांत और उदाहरण प्रस्तुत करता है जिसमें इसका उपयोग किया जाता है। शंकु के आयतन का सूत्र जानना पर्याप्त नहीं है; वैसे, यह यहाँ है:

हम लिख सकते हैं:

कुछ उदाहरणों को हल करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि समान निकायों के आयतन कैसे संबंधित हैं। इसे समझना है, न कि केवल सूत्र सीखना:

अर्थात्, यदि हम पिंड के रैखिक आयामों को k गुना बढ़ाते (घटाते) हैं, तो परिणामी पिंड के आयतन और मूल आयतन का अनुपात k 3 के बराबर होगा।

टिप्पणी! इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप वॉल्यूम को कैसे परिभाषित करते हैं:

तथ्य यह है कि समान निकायों पर विचार करते समय समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, कुछ लोग गुणांक k के साथ भ्रमित हो सकते हैं। प्रश्न उठ सकता है - यह किसके बराबर है?

(शर्त में निर्दिष्ट मूल्य के आधार पर)

यह सब इस पर निर्भर करता है कि आप "किस तरफ" देखते हैं। ये समझना जरूरी है! आइए एक उदाहरण देखें: एक घन दिया गया है, दूसरे घन का किनारा तीन गुना बड़ा है:

इस मामले में, समानता गुणांक तीन है (किनारे को तीन गुना बढ़ाया गया है), जिसका अर्थ है कि अनुपात इस तरह दिखेगा:

अर्थात्, परिणामी (बड़े) घन का आयतन 27 गुना बड़ा होगा।

आप दूसरी तरफ से देख सकते हैं.

एक घन दिया गया है, दूसरे घन का किनारा तीन गुना छोटा है:

समानता गुणांक एक तिहाई के बराबर है (किनारे को तीन गुना कम करना), जिसका अर्थ है कि अनुपात इस तरह दिखेगा:

अर्थात् परिणामी घन का आयतन 27 गुना कम होगा।

निष्कर्ष! वॉल्यूम दर्शाते समय सूचकांक महत्वपूर्ण नहीं हैं; यह समझना महत्वपूर्ण है कि निकायों को एक दूसरे के सापेक्ष कैसे देखा जाता है।

यह स्पष्ट है कि:

— यदि मूल शरीर बढ़ता है, तो गुणांक एक से अधिक होगा।

— यदि मूल पिंड घटता है, तो गुणांक एक से कम होगा।

आयतन अनुपात के बारे में निम्नलिखित कहा जा सकता है:

— यदि समस्या में हम बड़े पिंड के आयतन को छोटे पिंड से विभाजित करते हैं, तो हमें समानता गुणांक का घन प्राप्त होगा, और गुणांक स्वयं एक से अधिक होगा।

— यदि हम एक छोटे पिंड के आयतन को बड़े पिंड से विभाजित करते हैं, तो हमें समानता गुणांक का घन मिलेगा, और गुणांक स्वयं एक से कम होगा।

याद रखने वाली सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब समान निकायों की मात्रा की बात आती है, तो समानता गुणांक में तीसरी डिग्री होती है, न कि दूसरी डिग्री, जैसा कि क्षेत्रों के मामले में होता है।

संबंधित एक और बात.

इस स्थिति में शंकु के जेनरेट्रिक्स जैसी अवधारणा शामिल है। यह शंकु के शीर्ष को आधार वृत्त के बिंदुओं से जोड़ने वाला एक खंड है (आकृति में अक्षर L द्वारा दर्शाया गया है)।

यहां यह ध्यान देने योग्य है कि हम समस्याओं का विश्लेषण केवल एक सीधे शंकु (इसके बाद केवल एक शंकु) के साथ करेंगे। लम्ब शंकु के जनक बराबर होते हैं

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।