1. एक दिन के कार्यक्रम में 5 पाठ होते हैं। ग्यारह विषयों में से चुनते समय ऐसे अनुसूचियों की संख्या निर्धारित करें।
2. आयोग में एक अध्यक्ष, उसका डिप्टी और पांच अन्य लोग होते हैं। आयोग के सदस्य आपस में कर्तव्यों का वितरण कितने प्रकार से कर सकते हैं?
3. 20 लोगों के समूह में से तीन परिचारकों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
4. दस चयनित पियानो कुंजियों पर कितने भिन्न ध्वनि संयोजन लिए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक ध्वनि संयोजन में तीन से दस ध्वनियाँ हो सकती हैं।
5. एक फूलदान में 10 लाल और 5 गुलाबी रंग के कार्नेशन्स हैं। एक फूलदान से एक ही रंग के पांच कार्नेशन्स को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
6. ट्राम मार्ग संख्या कभी-कभी दो रंगीन रोशनी द्वारा इंगित की जाती है। आठ रंगों की लालटेनों का प्रयोग करके कितने विभिन्न मार्गों को चिन्हित किया जा सकता है।
7. 15 लोगों के समूह में से 800 + 400 + 200 + 100 रिले दौड़ में चार प्रतिभागियों का चयन किया जाता है। रिले के चरणों में एथलीटों को कितने तरीकों से रखा जा सकता है।
8. पांच लोगों की एक टीम 20 अन्य एथलीटों के साथ तैराकी प्रतियोगिता में भाग लेती है। इस टीम के सदस्यों के कब्जे वाले स्थानों को कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है।
9. 12 लोगों के समूह में से प्रतिदिन 6 दिनों के लिए दो परिचारकों का चयन किया जाता है। विभिन्न कर्तव्य सूचियों की संख्या निर्धारित करें यदि प्रत्येक व्यक्ति एक बार ड्यूटी पर है।
मंच पर चर्चा के लिए प्रश्न
1. कॉम्बिनेटरिक्स की समस्याओं को हल करना।
अतिरिक्त साहित्य की सूची:
1. गोर्बतोव वी.ए. असतत गणित की मूल बातें। एम.: हायर स्कूल, 2000. - 544 पी।
2. वी.ए. कोफमैन, एप्लाइड कॉम्बिनेटरिक्स का परिचय। एम.: रेडियो और संचार, 1982. 431s।
संगोष्ठी 7. ग्राफ सिद्धांत
कार्यशाला का उद्देश्य:
निर्णय लेने में ग्राफ सिद्धांत के व्यावहारिक अनुप्रयोग से संबंधित मुद्दों पर विचार करें।
शिक्षण योजना:
सेमिना ग्राफ थ्योरी को समर्पित है। पहला विषय बुनियादी अवधारणाओं और ग्राफ़ पर संचालन है, फिर विषय मार्गों और पेड़ों को समर्पित है। कार्यशाला 2 घंटे की है।
कार्य 1।चित्र 7.1 ग्राफ़ दिखाता है - प्रत्येक में चार शीर्षों के साथ। रेखांकन की तुलना करें।
चावल। 7.1 मायने रखता है -
समाधान.
ग्राफ तुलना के परिणाम इस प्रकार हैं:
उन्मुख नहीं;
उन्मुखी;
पूर्ण, और =;
यह पूर्ण नहीं है, क्योंकि यद्यपि प्रत्येक युग्म एक किनारे से जुड़ा हुआ है, फिर भी एक लूप है। कभी-कभी एक पूर्ण ग्राफ एक ग्राफ होता है जिसमें सभी शीर्षों पर लूप होते हैं, जिनमें से प्रत्येक जोड़ी एक किनारे से जुड़ी होती है। ग्राफ इस परिभाषा को पूरा नहीं करता है।
इस ग्राफ के सभी कोने अलग-थलग हैं (किनारों के एक खाली सेट के साथ एक ग्राफ, यानी 0);
और वे एक दूसरे के पूरक हैं: = और =;
मल्टीग्राफ क्योंकि इसमें कई किनारे होते हैं एकतथा बी, साथ ही इतथा एफ;
निर्देशित, विहित रूप से एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के अनुरूप;
और बराबर नहीं है, क्योंकि उनके पास अलग-अलग किनारे हैं (4,1) - और (1,4) in ;
निर्देशित मल्टीग्राफ: किनारे एकतथा बीगुणज हैं, जबकि यह मल्टीग्राफ नहीं है, क्योंकि इसमें किनारे हैं एकतथा बीअलग उन्मुख।
कार्य 2.चित्र 7.2 में आलेखों के शीर्षों की डिग्री क्या हैं?
चावल। 7.2. मायने रखता है और
समाधान.
दोनों ग्राफ़ में चार शीर्ष होते हैं: . एक अप्रत्यक्ष ग्राफ के कोने की डिग्री: , , , , अगर हम शीर्ष की डिग्री के लिए लूप के योगदान पर विचार करने के लिए सहमत हैं। ग्राफ के सभी शीर्षों की घातों का योग 14 है, अर्थात्। ग्राफ़ में किनारों की संख्या का दोगुना:
कहाँ पे एम=7 ग्राफ़ किनारों की संख्या है।
एक निर्देशित ग्राफ के कोने की डिग्री:
पहले और दूसरे प्रकार के ग्राफ के शीर्षों की डिग्री का योग संपाती होता है और संख्या के बराबर होता है एमग्राफ किनारों:।
कार्य 3.अंजीर पर। 7.3 एक निश्चित कार्यक्रम के संचालन (कार्य) के एक सेट को करने के लिए एक नेटवर्क ग्राफ (नेटवर्क मॉडल) दिखाता है। इसमें, तीर संचालन, शिखर - घटनाओं को इंगित करते हैं जो कुछ काम के अंत और दूसरों की शुरुआत की विशेषता रखते हैं। तीरों की दिशा इन घटनाओं के क्रम को दर्शाती है। नेटवर्क ग्राफ को विभिन्न तरीकों से परिभाषित करें।
चावल। 7.3. नेटवर्क ग्राफ
समाधान.
दर्शाया गया नेटवर्क मॉडल एक निर्देशित ग्राफ है जिसे विभिन्न तरीकों से पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है:
1) ग्राफिक रूप से (ऊपर चित्र देखें);
2) दो सेट निर्दिष्ट करके: तथा ;
3) आपतन मैट्रिक्स (तालिका 7.1)। नेटवर्क मॉडल की एक विशेषता यह है कि तीर प्रारंभिक ईवेंट 1 से बाहर निकलते हैं और केवल अंतिम ईवेंट 6 में प्रवेश करते हैं। इसलिए, घटना मैट्रिक्स की पहली पंक्ति में केवल एक ऋण चिह्न के साथ इकाइयाँ होती हैं, और अंतिम पंक्ति में केवल एक प्लस चिह्न होता है;
तालिका 7.1। घटना मैट्रिक्स
4) आसन्न मैट्रिक्स (तालिका 7.2)। पैराग्राफ 3 में बताए गए कारण के लिए, आसन्न मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति में केवल शून्य रखा गया है;
तालिका 7.2। सहखंडज मैट्रिक्स
5) किनारों की सूची स्पष्ट रूप से एक नेटवर्क ग्राफ को परिभाषित करती है, क्योंकि ग्राफ के किनारों को उनके अंतिम कोने से दर्शाया जाता है। इस मामले में, "किनारों" कॉलम में इंगित शिखर की संख्या सूची के "कोने" कॉलम में दोहराई जाएगी, और उस क्रम में जिसमें तीर - किनारों को इस मामले में इंगित किया गया है।
कार्य 4.अंजीर में रेखांकन करें। 7.4 नीचे हैमिल्टनियन चक्र, श्रृंखलाएं हैं।
चावल। 7.4. मायने रखता है और
समाधान.
ग्राफ के सभी शीर्षों से गुजरने वाले एक सरल चक्र के रूप में एक हैमिल्टनियन चक्र ग्राफ पर मौजूद है - यह किनारों के साथ जाता है ( ए, बी, सी, डी, ई, एफ, जी, क्यू, एन, एम, एल, एच, ए) बी में एक हैमिल्टनियन श्रृंखला भी है, जिसके लिए यह हैमिल्टनियन चक्र में किसी भी किनारे को हटाने के लिए पर्याप्त है।
ग्राफ में कोई हैमिल्टनियन चक्र नहीं है: शीर्षों से गुजरने के लिए ए, बी, सीग्राफ़ के बाहरी त्रिभुज में इन पक्षों पर स्थित सभी किनारे होने चाहिए, लेकिन तब यह त्रिभुज के केंद्र में स्थित शीर्ष से नहीं गुजरता है डीहालांकि, ग्राफ में एक हैमिल्टनियन श्रृंखला मौजूद है, उदाहरण के लिए, शीर्ष पर शुरुआत के साथ एक, समाप्त डीऔर कोने को जोड़ने वाले किनारों का एक क्रम ए, एफ, बी, जी, सी, ई, डी.
कार्य 5.सबसे छोटा पथ समस्या। एक ग्राफ़ वर्टेक्स से दूसरे में जाने का सबसे छोटा तरीका क्या है। उत्पादन प्रबंधन के संदर्भ में: बिंदु ए से बिंदु बी तक कम से कम कैसे प्राप्त करें (और, इसलिए, कम से कम ईंधन और समय की खपत के साथ)। शीर्ष से अंत तक शुरू करें। अंजीर में दिखाए गए ग्राफ पर विचार करें। 7.5.
चावल। 7.5. ग्राफ़
स्थिति का वर्णन न केवल एक निर्देशित ग्राफ द्वारा किया जा सकता है जिसमें चापों को दिए गए भार होते हैं, बल्कि एक तालिका (नीचे तालिका देखें) द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। इस तालिका में, दो शीर्ष - पथ की शुरुआत और पथ का अंत - यात्रा के समय से जुड़े हैं। तालिका में। 7.3 मध्यवर्ती स्टॉप के बिना पथों पर विचार करता है। अधिक जटिल मार्ग तालिका में सूचीबद्ध प्राथमिक खंडों से बने होते हैं।
तालिका 7.3। सबसे छोटी पथ समस्या के लिए प्रारंभिक डेटा।
समस्या में प्रश्न पूछा जाता है: सबसे कम समय में शीर्ष 1 से शीर्ष 4 तक कैसे पहुंचे।
समाधान।आइए संकेतन का परिचय दें: से(टी) - शीर्ष 1 से शीर्ष तक सबसे छोटे पथ की लंबाई टी. (चूंकि विचार किए जाने वाले किसी भी पथ में चाप होते हैं, और चापों की एक सीमित संख्या होती है, और प्रत्येक चाप एक बार में प्रवेश करता है, सबसे छोटे पथ के लिए अंतिम रूप से कई दावेदार होते हैं, और तत्वों की एक सीमित संख्या हमेशा तक पहुंच जाती है। ।) विचाराधीन समस्या की गणना करना है से(4) और उस पथ का संकेत जिस पर यह न्यूनतम पहुँच गया है।
अंजीर में प्रस्तुत प्रारंभिक डेटा के लिए। ऊपर और तालिका में। ऊपर, केवल एक तीर शीर्ष 3 में प्रवेश करता है, केवल शीर्ष 1 से, और इस तीर के पास इसकी लंबाई 1 के बराबर है, इसलिए से(3) = 1. इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि से(1) = 0.
आप शीर्ष 4 तक पहुंच सकते हैं या तो शीर्ष 2 से, 4 के बराबर पथ की यात्रा करके, या शीर्ष 5 से, 5 के बराबर पथ की यात्रा करके। इसलिए, संबंध
से(4) = मिनट (С(2) + 4; से(5) + 5}.
इस प्रकार, समस्या का पुनर्गठन (सरलीकरण) किया गया है - (4) खोजने को घटाकर С(2) और से(5).
आप शीर्ष 5 तक या तो शीर्ष 3 से प्राप्त कर सकते हैं, 2 के बराबर पथ की यात्रा कर सकते हैं, या शीर्ष 6 से, 3 के बराबर पथ की यात्रा कर सकते हैं। इसलिए, संबंध
से(5) = मिनट ( से(3) + 2; से(6) + 3}.
हम जानते हैं कि से(3) = 1. इसलिए
से(5) = मिनट(3; से(6) + 3}.
चूंकि यह स्पष्ट है कि से(6) एक धनात्मक संख्या है, तो यह अंतिम संबंध से अनुसरण करती है कि से(5) = 3.
आप शीर्ष 2 तक पहुंच सकते हैं या तो शीर्ष 1 से, 7 के बराबर पथ की यात्रा करके, या शीर्ष 3 से, 5 के बराबर पथ की यात्रा करके, या शीर्ष 5 से, 2 के बराबर पथ की यात्रा करके। इसलिए, संबंध
से(2) = मिनट (С(1) + 7; (3) + 5; से(5) + 2}.
हम जानते हैं कि से(1) = 0, से(3) = 1, से(5) = 3. इसलिए
से(2) = मिनट (0 + 7; 1 + 5; 3 + 2) = 5।
अब हम पा सकते हैं से(4):
से(4) = मिनट ( से(2) + 4; से(5) + 5) = मिनट (5 + 4; 3 + 5) = 8.
इस प्रकार, सबसे छोटे पथ की लंबाई 8 है। पिछले संबंध से यह स्पष्ट है कि किसी को शीर्ष 4 से शीर्ष 5 पर जाना होगा। गणना पर वापस आना से(5) हम देखते हैं कि हमें शीर्ष 5 से शीर्ष 3 तक जाना चाहिए। और हम केवल शीर्ष 1 से शीर्ष 3 तक पहुँच सकते हैं। इसलिए, सबसे छोटा रास्ता इस प्रकार है:
1 → 3 → 5 → 4 .
कार्य 6.अधिकतम प्रवाह की समस्या। बिंदुओं के बीच पथ की क्षमता सीमित होने पर, प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक अधिकतम संभव मात्रा में माल कैसे (यानी, किन मार्गों पर) भेजा जाए।
इस समस्या को हल करने के लिए, परिवहन प्रणाली के अनुरूप निर्देशित ग्राफ के प्रत्येक चाप को एक संख्या के साथ जोड़ा जाना चाहिए - इस चाप की क्षमता। अंजीर में ग्राफ पर विचार करें। 7.6.
चावल। 7.6. ग्राफ़
परिवहन प्रणाली पर प्रारंभिक डेटा, उदाहरण के लिए, इन-प्लांट, अंजीर में दिखाया गया है। 7.6., आप तालिका 7.4 में भी तालिका सेट कर सकते हैं।
तालिका 7.4. सबसे छोटी पथ समस्या के लिए प्रारंभिक डेटा।
समाधान।
अधिकतम प्रवाह समस्या का समाधान निम्नलिखित विचारों से प्राप्त किया जा सकता है।
जाहिर है, परिवहन प्रणाली की अधिकतम क्षमता 6 से अधिक नहीं है, क्योंकि शुरुआती बिंदु 0 से 6 इकाइयों से अधिक कार्गो नहीं भेजा जा सकता है, अर्थात् 2 इकाइयों से बिंदु 1, 3 इकाइयों से बिंदु 2 और 1 इकाई से बिंदु 3 तक .
इसके बाद, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि बिंदु 0 छोड़ने वाली सभी 6 इकाइयां अंतिम बिंदु 4 तक पहुंचें। जाहिर है, बिंदु 1 पर पहुंचे कार्गो की 2 इकाइयों को सीधे बिंदु 4 पर भेजा जा सकता है। बिंदु 2 पर आने वाले सामान में होगा विभाजित किया जाना है: 2 इकाइयां तुरंत बिंदु 4 पर भेजी जाती हैं, और 1 इकाई - मध्यवर्ती बिंदु 3 तक (अंक 2 और 4 के बीच अनुभाग की सीमित क्षमता के कारण)। निम्नलिखित कार्गो को बिंदु 0 से बिंदु 3: 1 इकाई और बिंदु 2 से 1 इकाई तक पहुंचाया गया। हम उन्हें बिंदु 4 पर भेजते हैं।
तो, विचाराधीन परिवहन प्रणाली की अधिकतम क्षमता 6 यूनिट कार्गो है। इसी समय, अंक 1 और 2 के बीच के आंतरिक खंड (शाखाएं), साथ ही अंक 1 और 3 के बीच का उपयोग नहीं किया जाता है। अंक 1 और 4 के बीच की शाखा पूरी तरह से भरी हुई नहीं है - 2 यूनिट कार्गो इसके साथ भेजा जाता है 3 इकाइयों का थ्रूपुट।
समाधान को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। 7.5.
तालिका 7.5. अधिकतम प्रवाह समस्या का समाधान
ओम्निबस एन 9-10 2007।
मार्ग रोशनी की समुद्री आत्मा।
रहस्यमय चीज है परंपरा। सबसे पहले, वे इसे ध्यान से देखते हैं, सभी बारीकियों का सामना करने की कोशिश करते हैं, इसे अंधविश्वास में लाते हैं, फिर उन्हें अचानक पता चलता है कि यह उस पर रखी गई अपेक्षाओं पर खरा नहीं उतरता है, तर्क को पूरा नहीं करता है, इसका कोई वैज्ञानिक औचित्य नहीं है - और वे टूट जाते हैं परंपरा के साथ, और बाद में दुख के साथ ध्यान दें कि उसके साथ कुछ सुंदर और आवश्यक खो दिया। . .
हाल ही में, ट्राम मार्गों को न केवल एक डिजिटल, बल्कि एक रंग पदनाम देने की परंपरा थी - मार्ग संख्या के दोनों किनारों पर, कार के आगे और पीछे मार्ग रोशनी जलाई गई थी। ट्राम यातायात वाली सड़कों को एक विशेष, उत्सवपूर्ण लालित्य द्वारा प्रतिष्ठित किया गया था, ड्राइवर, यात्री, ट्रैक कर्मचारी, डिस्पैचर और स्विचमैन ट्राम प्रवाह में मार्ग रोशनी द्वारा निर्देशित थे, कई रंगीन रोशनी के बिना ट्राम की कल्पना नहीं कर सकते थे। मॉस्को रूट लाइट सिस्टम संख्याओं और रंगों के बीच एक-से-एक पत्राचार पर बनाया गया था। "1" हमेशा लाल होता है, "2" हरा होता है, "5" जैतून होता है, "7" नीला होता है, इत्यादि। लेकिन लेनिनग्राद में, रोशनी एक अलग भाषा में "बात" करती थी,और उनके "मॉस्को में" पढ़ने से अक्सर बकवास होता था, क्योंकि मॉस्को में 10 रोशनी नहीं थीं, लेकिन केवल पांच। वे अच्छी तरह से भिन्न थे, और उनका संयोजन हमेशा बहुत सुंदर दिखता था। हालांकि, पांच रोशनी में से, दो के 25 अलग-अलग संयोजन संभव हैं, जबकि सेंट पीटर्सबर्ग-लेनिनग्राद में मार्ग अंततः लगभग 70 हो गए, इसलिए मार्गों के संकेत दोहराए जा सकते थे। उदाहरण के लिए, दो गोरे - 9, 43; लाल और पीला - 1, 51, 64; नीला और लाल - 33, 52, 54; दो लाल वाले - 5, 36, 39, 45, 47। और केवल मार्ग N 20 को उसी तरह से मास्को और सेंट पीटर्सबर्ग सिस्टम के अनुसार नामित किया गया था: हरा और सफेद।
ऐसा हुआ कि सेंट पीटर्सबर्ग में रूट लाइट बदल गई। यदि ऐसा हुआ कि किसी एक मार्ग को बदलने के बाद उसने एक ही रंग के दूसरे मार्ग के साथ पर्याप्त लंबे खंड पर काम किया, तो इन मार्गों में से एक को रोशनी की संरचना को बदलना पड़ा।
रूट एन 4 डीसेम्ब्रिस्ट्स के द्वीप से वोल्कोव कब्रिस्तान तक जाता था और दो पीली (नारंगी) रोशनी से संकेत मिलता था। फिर मार्ग बंद कर दिया गया था और उसी नंबर के तहत इसे दूसरी जगह पर अलग-अलग रोशनी के साथ खोला गया था: नीला + नीला, क्योंकि इसमें 35 वें ट्राम (दो पीले वाले) के साथ एक सामान्य खंड था।
रूट एन 43 में मूल रूप से रोशनी थी: लाल + सफेद। जब 1985 में बंदरगाह तक बढ़ाया गया, तो रोशनी बदल गई: सफेद + सफेद, क्योंकि मार्ग ने ट्राम एन 28 (लाल + सफेद) के साथ एक खंड साझा करना शुरू किया। रूट 3 को हरे और सफेद रंगों से चिह्नित किया गया था। जब 2007 में रोशनी बहाल की गई, तो संयोजन को पीले + हरे रंग में बदल दिया गया। इसी समय, कई अन्य मार्गों पर संयोजन भी बदल गए: 48 (था: सफेद + सफेद, अब: नीला + नीला); 61 (था: सफेद + सफेद, अब: सफेद + पीला), आदि।
मार्ग रोशनी की सेंट पीटर्सबर्ग प्रणाली, दिखने में इतनी सरल और इतनी जटिल, परंपरा से जुड़ी हुई है, सबसे पहले, यूरोपीय ट्राम शहरों की। इसलिए, पहले से ही 1907 में, नोवॉय वर्मा अखबार को लिखे एक पत्र में "वासिलिव्स्की द्वीप के निवासियों" से ट्राम पर रंगीन रोशनी शुरू करने का अनुरोध था, "जैसा कि वे विदेशों में करते हैं, विशेष रूप से फ्रैंकफर्ट एम मेन में।" वर्तमान में, पूर्व प्रणालियों के अवशेषों को एम्स्टर्डम में ट्राम के मार्ग संकेतों पर रंगीन विकर्ण रोशनी के रूप में संरक्षित किया गया है। यह परंपरा, बदले में, संभवतः नौवहन रोशनी पर वापस जाती है। रेलवे को बिल्कुल समुद्र के लिए क्यों, और नहीं, कहते हैं? हां, क्योंकि मार्ग रोशनी, समुद्री रोशनी की तरह, कुछ भी प्रतिबंधित नहीं करते हैं, किसी को मजबूर नहीं करते हैं, बल्कि अंधेरे में खुद को उन्मुख करने में मदद करते हैं।
समुद्री नौवहन की रोशनी को विशेष समुद्री पुस्तकों - समुद्रों की नौकायन दिशाओं में समझा जाता है। शहर की गाइडबुक में रूट लाइट का भी वर्णन किया गया है। इनमें से पहला पब्लिशिंग हाउस ई.आई. द्वारा प्रकाशित "सेंट पीटर्सबर्ग ट्राम का मोबाइल गाइड" था। मार्कस (1910)।
सेंट पीटर्सबर्ग मार्ग रोशनी (सफेद, लाल, नारंगी या पीला, हरा, नीला) में प्रयुक्त रंगों की संरचना समुद्री रोशनी (सफेद, लाल, नारंगी, हरा, नीला, बैंगनी) के रंगों से बहुत कम भिन्न होती है।
बारीकी से देखने पर, आप अन्य समानताएं पा सकते हैं, लेकिन यह समझना बहुत अधिक महत्वपूर्ण है कि रूट लाइट्स की ऐसी गैर-सख्त प्रणाली ने विवेकपूर्ण पीटर्सबर्ग में जड़ क्यों ली है, जिसके लिए निरंतर समायोजन की आवश्यकता होती है। उत्तर सरल है: आखिरकार, सेंट पीटर्सबर्ग एक समुद्र तटीय शहर है, और स्थापत्य रूपों की गंभीरता और कार्निवल की तुच्छता समान रूप से इसकी विशेषता है, जिसका अर्थ है कि मार्ग रोशनी के हंसमुख रंग भी विशेषता हैं।
2007 में, परंपरा ने एक नया मोड़ लिया। अब कारें रूट लाइट के लिए एलईडी लैंप से लैस हैं। वे न केवल शाम को, बल्कि दिन के उजाले में भी चमकेंगे।
टास्क नंबर 3. तालिका 26 विकल्प संख्या नौकरी
तालिका 26
ग) मेट्रो ट्रेन 16 स्टॉप बनाती है जहां सभी यात्री उतरते हैं। अंतिम स्टॉप पर ट्रेन में सवार 100 यात्रियों को इन स्टॉप के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है?
कॉम्बिनेटोरिक्स के तत्व।
योग और उत्पाद नियम।
कॉम्बिनेटरिक्स (या कंपाउंड थ्योरी) गणित की एक शाखा है जो प्रश्नों का अध्ययन करती है कि दिए गए वस्तुओं से कितने अलग-अलग संयोजन जो कुछ शर्तों को पूरा करते हैं, बनाए जा सकते हैं।
मामले में जब सेट ए और बी का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है, तो निम्नलिखित समानता है: n(AÈB) = n(A) + n(B) – n(AÇB)।
तीन समुच्चयों के संघ में तत्वों की संख्या सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती है
n(AÈBÈC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AÇB) -n(AÇC) - n(BÇC) - - n(AÇBÇC)
उदाहरण।समूह के 40 छात्रों में से 35 ने गणित में और 37 रूसी भाषा में सफलतापूर्वक परीक्षा उत्तीर्ण की। दोनों विषयों में दो छात्रों ने असंतोषजनक ग्रेड प्राप्त किया। कितने छात्रों पर शैक्षणिक ऋण है?
समाधान।मान लीजिए कि गणित में असंतोषजनक ग्रेड प्राप्त करने वाले छात्रों का समूह A है, तो n(A) = 40 - 35 = 5; और बी रूसी भाषा में असंतोषजनक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों का समूह है, फिर n(B) = 40 - 37 = 3. फिर शैक्षणिक ऋण वाले छात्रों की संख्या n(AÈB) है। इसलिए, n(AÈB) = n(A) + n(B) - n(AÇB) = 5 + 3 - 2 = 6।
यदि AÇB = , तो n(AÈB) = n(A) + n(B)
योग नियमऔर निम्नानुसार तैयार किया गया है: यदि तत्व x को k तरीकों से चुना जा सकता है, और तत्व y को m तरीकों से चुना जा सकता है, और तत्व x को चुनने का कोई भी तरीका तत्व y को चुनने के किसी भी तरीके के समान नहीं है, तो "x" का विकल्प या y" को k + m तरीके से बनाया जा सकता है।
सेट के लिए, हमारे पास n(А´В) = n(А) × n(В) भी है
कॉम्बिनेटरिक्स में, इस नियम को कहा जाता है प्रॉडक्ट नियमऔर निम्नानुसार तैयार किया गया है: यदि तत्व x को k तरीकों से चुना जा सकता है, और यदि ऐसी प्रत्येक पसंद के बाद तत्व y को m तरीकों से चुना जा सकता है, तो एक क्रमबद्ध जोड़ी (x, y) का विकल्प, अर्थात, पसंद "और x, और y" k × m तरीके से किया जा सकता है।
उदाहरण।शहर A से शहर B तक 3 सड़कें हैं, और B से C तक 2 सड़कें हैं। A से C होते हुए B तक कितने रास्ते हैं?
समाधान।यदि हम संख्या 1, 2, 3, और बी से सी तक की सड़कों - अक्षरों x और y को निरूपित करते हैं, तो A से C तक के पथ का प्रत्येक विकल्प संख्याओं और अक्षरों के एक क्रमित युग्म द्वारा दिया जाता है। लेकिन हम एक संख्या को तीन तरीकों से और एक अक्षर को दो तरह से चुन सकते हैं, इसलिए ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या 3 × 2 = 6 है।
आवास।
मान लीजिए n(A) = m. लंबाई k (k £m) का एक टपल, जिसके घटक समुच्चय A के अवयव हैं, और सभी घटक जोड़ीवार भिन्न हैं, कहलाते हैं पुनरावृत्ति के बिना नियुक्ति
किसी भी समुच्चय A के लिए जैसे कि n(A) = m, m तत्वों की संभावित व्यवस्थाओं की संख्या k द्वारा निरूपित की जाती है
और इसकी गणना सूत्र के अनुसार की जाती है
उदाहरण।शतरंज टूर्नामेंट में 5 स्कूली बच्चे और 15 छात्र भाग लेते हैं। टूर्नामेंट में स्कूली बच्चों के कब्जे वाले स्थानों को कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है यदि यह ज्ञात हो कि किसी भी दो प्रतिभागियों ने समान अंक प्राप्त नहीं किए हैं?
समाधान।टूर्नामेंट में कुल 20 प्रतिभागी हैं। नतीजतन, 20 स्थानों में से, स्कूली बच्चे 5 के हैं। इसलिए, समस्या का समाधान सेट के तत्वों से लंबाई 5 के सभी संभावित टुपल्स के गठन से जुड़ा है, जिसमें 20 तत्व हैं, यानी हम हैं 5 तत्वों के 20 तत्वों की पुनरावृत्ति के बिना प्लेसमेंट के बारे में बात करना।
मान लीजिए n(A) = m. लंबाई k का एक टपल, जिसके घटक समुच्चय A के अवयव हैं, कहलाते हैं दोहराव के साथ प्लेसमेंट m तत्वों से k तत्वों तक।
किसी भी समुच्चय A के लिए जैसे कि n(A) = m, m तत्वों की k द्वारा पुनरावृत्ति के साथ संभावित व्यवस्थाओं की संख्या को सूत्र द्वारा निरूपित और परिकलित किया जाता है।
उदाहरण।अलग-अलग रंगों में 5 अलग-अलग कुर्सियाँ और 7 रोल अपहोल्स्ट्री हैं। कुर्सियों को कितने प्रकार से उभारा जा सकता है?
समाधान।चूंकि कुर्सियां अलग-अलग हैं, इसलिए प्रत्येक असबाब लंबाई 5 का एक टपल है, जो कपड़े के रंगों के दिए गए सेट के तत्वों से बना है, जिसमें 7 तत्व हैं। इसका मतलब यह है कि कुर्सियों के असबाब के कई तरीके हैं जैसे कि ऐसे टुपल्स हैं, जो कि 5 से 7 तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ प्लेसमेंट हैं। हमें मिलता है।
क्रमपरिवर्तन।
मान लीजिए n(A) = m. दोहराव के बिना क्रमपरिवर्तन m तत्वों से कोई भी क्रमित m-तत्व समुच्चय कहलाता है।
m तत्वों के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या 1 से m समावेशी तक की क्रमागत प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात्।
उदाहरण।अंक 0, 1, 2, 3, 4 का उपयोग करके कितनी अलग-अलग पांच अंकों की संख्याएं लिखी जा सकती हैं यदि संख्या में कोई अंक दो बार दोहराया नहीं जाता है?
समाधान।पाँच अंकों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों की संख्या P 5 = 5! है। और चूंकि संख्या शून्य पहला स्थान नहीं ले सकती है, वांछित संख्या है:
पी 5 - पी 4 \u003d 5! - चार! = 120 - 24 = 96।
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तनतत्वों से ए, बी, ..., एल,जिसमें इन तत्वों को क्रमशः m 1, m 2, ..., m k बार दोहराया जाता है, m = m 1 + m 2 + ... + m k लंबाई का टपल कहलाता है, जिसके घटकों में से एकमी 1 बार होता है, बी-मी 2 बार वगैरह मैं- एमके टाइम्स।
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या प्रतीक द्वारा निरूपित की जाती है
तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या ए, बी, ..., एल,जिसमें इन तत्वों को क्रमशः m 1 , m 2 , ..., m k बार दोहराया जाता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
उदाहरण।संख्या 1, 3, 5 का उपयोग करके आठ अंकों की कितनी संख्याएँ लिखी जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्या 1 को प्रत्येक संख्या में चार बार दोहराया जाए, संख्याएँ 3 और 5 - 2 बार प्रत्येक संख्या?
समाधान।वांछित संख्या संख्या 1, 3, 5 की पुनरावृत्ति के साथ विभिन्न क्रमपरिवर्तन की संख्या है, जिसमें संख्या 1 को चार बार दोहराया जाता है, और संख्या 3 और 5 को दो बार दोहराया जाता है। इसलिए, सूत्र के अनुसार, हमारे पास है: 
.
संयोजन।
एम-तत्व सेट (के £ एम) के किसी भी के-तत्व उपसमुच्चय को कहा जाता है दोहराव के बिना संयोजन m तत्वों से k.
k द्वारा m तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है
उदाहरण।आप 30 विद्यार्थियों में से तीन परिचारकों को कितने तरीकों से चुन सकते हैं?
समाधान।चूंकि परिचारकों को चुनने का क्रम कोई भूमिका नहीं निभाता है, समस्या एक ऐसे सेट से चयन करने के बारे में है जिसमें उपसमुच्चय के 30 तत्व होते हैं जिनमें प्रत्येक में तीन तत्व होते हैं, अर्थात तीन के तीस तत्वों की पुनरावृत्ति के बिना संयोजन।
फलस्वरूप, 
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दोहराव के साथ संयोजन k तत्वों द्वारा दिए गए m विभिन्न प्रकार के तत्वों से, k तत्वों वाले किसी भी संग्रह को कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक निर्दिष्ट प्रकार के तत्वों में से एक है।
k तत्वों द्वारा m तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ विभिन्न संयोजनों की संख्या को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा।
k तत्वों के लिए m प्रकार के तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ विभिन्न संयोजनों की संख्या सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है
उदाहरण। डाकघर चार प्रकार के पोस्टकार्ड बेचता है। यहाँ 9 पोस्टकार्ड कितने प्रकार से खरीदे जा सकते हैं?
समाधान। पोस्टकार्ड खरीदने के तरीकों की संख्या 4 तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ विभिन्न संयोजनों की संख्या के बराबर है, जो कि बराबर है 
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एक परिमित समुच्चय के उपसमुच्चय की संख्या।
मान लीजिए n(A) = m.
समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों की संख्या 2 n है।
व्यायाम 6
1. कक्षा में 30 लोग भौतिकी और गणित की वैकल्पिक कक्षाओं में भाग ले रहे हैं। यह ज्ञात है कि 10 लोग दोनों विषयों का गहराई से अध्ययन करते हैं, और 25 लोग गणित का अध्ययन करते हैं।कितने लोग केवल भौतिकी में वैकल्पिक कक्षाओं में भाग लेते हैं?
2. 50 छात्रों में से 20 जर्मन बोलते हैं और 15 अंग्रेजी बोलते हैं। दोनों भाषाओं को जानने वाले छात्रों की संख्या क्या हो सकती है; कम से कम एक भाषा जानना?
3. 100 लोगों में से 28 अंग्रेजी, 30 - जर्मन, 10 - फ्रेंच, 5 - जर्मन और फ्रेंच, 15 - जर्मन और अंग्रेजी, 6 - अंग्रेजी और फ्रेंच पढ़ते हैं। तीनों भाषाओं का अध्ययन 3 छात्र करते हैं। कितने विद्यार्थी केवल एक भाषा पढ़ते हैं? कितने छात्र किसी भी भाषा का अध्ययन नहीं करते हैं?
"कॉम्बिनेटरिक्स" विषय पर स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य .
1. एक दिन के कार्यक्रम में विभिन्न विषयों के 5 पाठ हैं। 11 विषयों में से चुनते समय ऐसे अनुसूचियों की संख्या निर्धारित करें।
2. आयोग में एक अध्यक्ष, उसका डिप्टी और पांच और लोग होते हैं। आयोग के सदस्य कितने तरीकों से अध्यक्ष और डिप्टी के कर्तव्यों को आपस में बांट सकते हैं?
3. 20 लोगों के समूह में से तीन परिचारकों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
4. दस चयनित पियानो कुंजियों पर कितने अलग-अलग ध्वनि संयोजन लिए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक ध्वनि संयोजन में तीन से दस ध्वनियाँ हो सकती हैं?
5. एक फूलदान में 10 लाल और 5 गुलाबी रंग के कार्नेशन्स हैं। एक फूलदान से एक ही रंग के पांच कार्नेशन्स को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
6. ट्राम रूट नंबर कभी-कभी दो रंगीन रोशनी से संकेतित होते हैं। आठ रंगों के लालटेन का उपयोग करके कितने अलग-अलग मार्गों को चिह्नित किया जा सकता है?
7. चैंपियनशिप, जिसमें 16 टीमें भाग लेती हैं, दो राउंड में आयोजित की जाती है (यानी प्रत्येक टीम हर दूसरे से दो बार मिलती है)। आयोजित होने वाली बैठकों की संख्या निर्धारित करें।
8. लॉक तभी खुलता है जब एक निश्चित तीन अंकों की संख्या डायल की जाती है। प्रयास में दिए गए पांच अंकों में से यादृच्छिक रूप से तीन अंक टाइप करना शामिल है। सभी संभावित प्रयासों में से अंतिम पर ही संख्या का अनुमान लगाना संभव था। एक सफल से पहले कितने प्रयास थे?
9. 15 लोगों के समूह से, चार रिले प्रतिभागियों का चयन 800 + 400 + 200 + 100 किया जाता है। एथलीटों को रिले के चरणों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है?
10. पांच लोगों की एक टीम 20 अन्य एथलीटों के साथ तैराकी प्रतियोगिता में भाग लेती है। इस टीम के सदस्यों के कब्जे वाले स्थानों को कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है?
11. शतरंज की बिसात पर दो बदमाशों को कितने तरीकों से रखा जा सकता है ताकि एक दूसरे को पकड़ न सके? (एक बदमाश दूसरे को पकड़ सकता है यदि वह उसी रैंक पर है या उसके साथ शतरंज की बिसात पर फाइल है।)
12. अलग-अलग रंगों के दो बदमाशों को एक बिसात पर रखा जाता है ताकि प्रत्येक दूसरे को पकड़ सके। ऐसे कितने स्थान मौजूद हैं?
13. प्रतियोगिता में आठ प्रतिभागियों के प्रदर्शन का क्रम लॉट द्वारा निर्धारित किया जाता है। ड्रा के कितने भिन्न परिणाम संभव हैं?
14. तीस लोगों को दस-दस लोगों के तीन समूहों I, II और III में बांटा गया है। कितनी भिन्न समूह रचनाएँ हो सकती हैं?
15. संख्या 0, 1, 3, 5, 7 से 5 से विभाज्य चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि प्रत्येक संख्या में समान अंक नहीं होने चाहिए?
16. एक वृत्त के चारों ओर 10 बहुरंगी प्रकाश बल्ब रखकर कितने अलग-अलग चमकदार वलय बनाए जा सकते हैं (यदि रंग एक ही क्रम में हों तो छल्ले समान माने जाते हैं)?
17. एक बुकशेल्फ़ पर 30 खंड हैं। उन्हें कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि पहले और दूसरे खंड एक साथ न खड़े हों?
18. चार निशानेबाजों को आठ निशाने लगाने होंगे (प्रत्येक में दो)। वे लक्ष्यों को आपस में कितने तरीकों से बाँट सकते हैं?
19. 12 लोगों के समूह में से 6 दिनों के लिए प्रतिदिन दो ड्यूटी अधिकारियों का चयन किया जाता है। विभिन्न कर्तव्य सूचियों की संख्या निर्धारित करें यदि प्रत्येक व्यक्ति एक बार ड्यूटी पर है।
20. 0, 1, 2, 3, 4, 5 से बनी चार अंकों की कितनी संख्या में संख्या 3 है (संख्याओं में संख्याएँ दोहराई नहीं जाती हैं)?
21. दस समूह लगातार दस कक्षाओं में लगे हुए हैं। ऐसे कितने शेड्यूल विकल्प हैं जिनमें समूह 1 और 2 आसन्न कक्षाओं में होंगे?
22. 16 शतरंज खिलाड़ी टूर्नामेंट में भाग लेते हैं। पहले दौर के लिए अलग-अलग शेड्यूल की संख्या निर्धारित करें (शेड्यूल को अलग माना जाता है यदि वे कम से कम एक गेम के प्रतिभागियों में भिन्न होते हैं; टुकड़ों के रंग और बोर्ड की संख्या को ध्यान में नहीं रखा जाता है)।
23. निर्माण स्थल की पांच मंजिलों तक विभिन्न सामग्रियों के छह बॉक्स डिलीवर किए जाते हैं। फर्श द्वारा सामग्री को कितने तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है? पाँचवीं मंजिल पर किसी एक सामग्री को कितने रूपों में पहुँचाया जाता है?
24. दो डाकियों को 10 पतों पर 10 पत्र भेजने होंगे। वे कितने प्रकार से कार्य का वितरण कर सकते हैं?
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पेज बनाने की तारीख: 2016-08-20
पहले, ट्राम नंबर दो रंगीन लालटेन के साथ चिह्नित किए गए थे। रोशनी के आठ अलग-अलग रंगों का उपयोग करके कितने अलग-अलग मार्गों को चिह्नित किया जा सकता है?
उत्तर:
सूत्र होगा: 8²=64 64 विभिन्न मार्ग।
इसी तरह के प्रश्न
- पुनर्जागरण की स्थापत्य इमारतों और मूर्तियों को याद करें, जिनमें पुनर्जागरण के कैथेड्रल और वेरोकियो की मूर्ति के समान कुछ है। उनके नाम लिखिए।
- अंतराल के बजाय प्रस्तावित सूची से संबंधित शब्दों की क्रम संख्या डालें। शब्द सूची में एकवचन में, नाममात्र के मामले में दिए गए हैं। कृपया ध्यान दें: पाठ में अंतराल की तुलना में सूची में अधिक शब्द हैं! एक वर्गीकरण, जो ____ सदस्यता प्राप्त करने के आधार और शर्तों के आधार पर ____ में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, ____ पार्टियों में कर्मियों को अलग करता है। पूर्व इस तथ्य से प्रतिष्ठित हैं कि वे राजनीतिक ___ के एक समूह के आसपास बने हैं, और उनकी संरचना का आधार कार्यकर्ताओं की एक समिति है। कार्मिक दल आमतौर पर "ऊपर से" विभिन्न ___ गुटों, पार्टी नौकरशाही के संघों के आधार पर बनते हैं। ऐसे दल आमतौर पर केवल ___काल के लिए ही अपनी गतिविधियों को तेज करते हैं। अन्य दल केंद्रीकृत, अनुशासित संगठन हैं। वे पार्टी के सदस्यों की एकता को बहुत महत्व देते हैं। इस तरह की पार्टियां अक्सर ट्रेड यूनियन और अन्य ___ आंदोलनों के आधार पर "नीचे से" बनती हैं, जो विभिन्न सामाजिक हितों को दर्शाती हैं। समूह 1) समाजशास्त्र 10) चुनाव 2) सार्वजनिक 11) मानदंड 3 कारक 12) पार्टी 4) चुनावी 13) संसदीय 5) राष्ट्रीय 14) आम सहमति 6) समाज 15) विचारधारात्मक 7) जन 16) प्रणाली 8) महाभियोग 17) नेता 9) राजनीति विज्ञान
- नंबर 1 हल करें: 28/5 * 4 नंबर 2 नंबर a को निर्देशांक रेखा _______o____|___|___|___________> a -1 0 1 1) पर चिह्नित किया गया है; a -1;\frac(1)(a) 2) a;\frac(1)(a);a-1 3) a-1;\frac(1)(a);a 4)a-1; ए;\फ्रैक(1)(ए)
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- नवनिर्मित भवन में 300 अपार्टमेंट हैं। पहले दिन, 120 अपार्टमेंट पर कब्जा कर लिया गया था, दूसरे दिन - बाकी का एक तिहाई। कितने अपार्टमेंट पर कब्जा करना बाकी है?
- टोलिक ने पांच अंकों की संख्या को उसके अंकों के योग से गुणा किया। फिर टोलिक ने परिणाम को उसके (परिणाम) अंकों के योग से गुणा किया। हैरानी की बात यह है कि यह फिर से पांच अंकों का नंबर निकला। तोलिक ने पहली बार किस संख्या को गुणा किया? (सभी संभावित उत्तर खोजें।)
