पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड, जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड के सभी किनारे आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- मात्रा;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- ऊंचाई;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। ऊंचाई काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले ठिकानों के क्षेत्र;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- ऊंचाई;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार एक समबाहु त्रिभुज है और सभी भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएऔर ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है ए. दूरसंचार विभाग हेरेखा खंड बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

जवाब:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

फेसला।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

जवाब: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी आधार भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व भाग एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

जवाब:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एऔर बी (ए> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ऐ बी सी डी.

हम इस कथन का उपयोग करते हैं कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी तरह, इसका मतलब है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ऐ बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ऐ बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग हेएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है

उन पिरामिडों के गुणों पर विचार करें जिनमें भुजाएँ आधार के लंबवत होती हैं।

यदि एक एक पिरामिड के दो आसन्न पार्श्व फलक आधार के लंबवत हैं, तब इन फलकों का सामान्य पार्श्व किनारा पिरामिड की ऊंचाई है. यदि कार्य कहता है कि पिरामिड का किनारा इसकी ऊंचाई हैतो हम इस प्रकार के पिरामिडों के बारे में बात कर रहे हैं।

आधार के लंबवत पिरामिड के फलक समकोण त्रिभुज हैं।

यदि पिरामिड का आधार त्रिभुज है

ऐसे पिरामिड की पार्श्व सतह को आम तौर पर सभी पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों के योग के रूप में मांगा जाता है।

पिरामिड का आधार एक चेहरे का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है जो आधार के लंबवत नहीं है (इस मामले में, SBC)। तो, ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन एरिया प्रमेय के अनुसार, आधार क्षेत्र इस चेहरे के क्षेत्र के उत्पाद के बराबर है जो इसके और बेस प्लेन के बीच के कोण के कोसाइन द्वारा होता है।

यदि पिरामिड का आधार समकोण त्रिभुज है

इस मामले में पिरामिड के सभी फलक समकोण त्रिभुज हैं.

त्रिभुज SAB और SAC समकोण हैं, क्योंकि SA पिरामिड की ऊँचाई है। त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है।

तथ्य यह है कि त्रिभुज SBC समकोण है, तीन लंबों पर प्रमेय का अनुसरण करता है (AB आधार के तल पर तिरछी SB का प्रक्षेपण है। चूंकि AB शर्त से BC पर लंबवत है, तो SB भी BC पर लंबवत है) )

इस मामले में SBC साइड फेस और बेस के बीच का कोण ABS कोण है।

पार्श्व सतह का क्षेत्रफल समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है:

चूंकि इस मामले में

यदि पिरामिड का आधार एक समद्विबाहु त्रिभुज है

इस मामले में, भुजा के तल के बीच का कोण BCS का सामना करता है और आधार का तल कोण AFS है, जहाँ AF समद्विबाहु त्रिभुज ABC की ऊँचाई, माध्यिका और द्विभाजक है।

इसी प्रकार - यदि पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज ABC है।

यदि पिरामिड का आधार एक समांतर चतुर्भुज है

इस मामले में, पिरामिड का आधार पार्श्व चेहरों का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है जो आधार के लंबवत नहीं हैं।

यदि हम आधार को दो त्रिभुजों में विभाजित करें, तो

जहाँ α और β क्रमशः ADS और CDS तलों और आधार तल के बीच के कोण हैं।

यदि बीएफ और बीके समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई हैं, तो कोण बीएफएस आधार तल पर सीडीएस पक्ष के झुकाव का कोण है, और कोण बीकेएस एडीएस चेहरे का झुकाव कोण है।

(ड्राइंग उस स्थिति के लिए बनाई गई है जब B एक अधिक कोण है)।

यदि पिरामिड का आधार समचतुर्भुज ABCD है, तो कोण BFS और BKS बराबर हैं। इस मामले में त्रिभुज ABS और CBS, साथ ही ADS और CDS भी बराबर हैं।

यदि पिरामिड का आधार एक आयत है

इस मामले में, पक्ष के तल के बीच का कोण SAD का सामना करता है और आधार का तल कोण SAB है,

और पक्ष के तल के बीच का कोण SCD का सामना करता है और आधार का तल कोण SCB . है

(तीन लंबवत प्रमेय द्वारा)।

याद रखें: एपोथेम पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई है, जो ऊपर से आधार के किनारे तक खींचा जाता है।
प्रमेय 5 . यदि पिरामिड के सभी पक्ष एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो ऐसे पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और ऊपर से आधार तक की ऊँचाई नीचे के केंद्र में आती है आधार में अंकित वृत्त।
इस प्रमेय को इस प्रकार भी तैयार किया जा सकता है:
प्रमेय 5.1 . यदि किसी पिरामिड के सभी एपोथेम समान हैं, तो ऐसे पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और ऊपर से आधार तक की ऊँचाई को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में गिरता है।
आइए हम एक चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके प्रमेय को सिद्ध करें। बता दें कि पिरामिड KABCD दिया गया है, K सबसे ऊपर है, ABCD आधार है। पिरामिड के KO की ऊँचाई खींचिए। प्रत्येक पक्ष के चेहरे में, हम पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक की ऊँचाई खींचते हैं। आधार के तल में, हम बिंदु O (ऊंचाई का आधार) को इन ऊंचाइयों के आधारों के बिंदु से जोड़ते हैं - एपोथेम। OP, OT, OM और OE क्रमशः AB, BC, CD और AD (तीन लंबवत प्रमेय) के लंबवत हैं। परिभाषा के अनुसार, कोण KRO, KTO, KMO, KEO संगत भुजाओं के फलकों और आधार ABCD के बीच के द्विफलकीय कोणों के रैखिक कोण हैं। KO की ऊंचाई आधार के लंबवत है, इसलिए यह इस तल में किसी भी सीधी रेखा के लंबवत है, अर्थात। सीधी रेखाओं OR, OT, OM और OE के लंबवत। यह कहता है कि त्रिभुज KRO, KTO, KMO, KEO आयताकार हैं।
शर्त के अनुसार (प्रमेय 5), कोण KRO, KTO, KMO, KEO बराबर हैं। त्रिकोण केआरओ, केटीओ, केएमओ, केईओ पर विचार करें, वे आयताकार और बराबर हैं (पैर और न्यून कोण के साथ, केओ - सामान्य और कोण केआरओ, केटीओ, केएमओ, केईओ स्थिति के बराबर हैं)।
शर्त के अनुसार (प्रमेय 5.1) केआर, केटी, केएम और केई बराबर हैं, इसलिए त्रिकोण केआरओ, केटीओ, केएमओ, केईओ आयताकार और पैर और कर्ण में बराबर हैं।
इन त्रिभुजों की समानता से यह पता चलता है कि उनकी संबंधित भुजाएँ OR, OT, OM और OE बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि चतुर्भुज ABCD में एक ऐसा बिंदु है जो इसकी भुजाओं से समान दूरी पर है, अर्थात इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। .

प्रमेय 6 . यदि पिरामिड के सभी किनारे एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो ऐसे पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और ऊपर से आधार तक की ऊँचाई नीचे के केंद्र में गिरती है आधार के पास वर्णित वृत्त।
इस प्रमेय को इस प्रकार भी तैयार किया जा सकता है:
प्रमेय 6.1 . यदि पिरामिड के सभी किनारे समान हैं, तो इस तरह के पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त को परिचालित किया जा सकता है, और ऊपर से आधार तक की ऊँचाई आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र तक गिरती है।
आइए हम एक चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके प्रमेय को सिद्ध करें। बता दें कि पिरामिड KABCD दिया गया है, K सबसे ऊपर है, ABCD आधार है। पिरामिड के KO की ऊँचाई खींचिए। आधार के तल में, बिंदु O (ऊंचाई का आधार) को आधार A, B, C और D के सभी शीर्षों से जोड़ें। कोण KBO, KB के किनारे और आधार के तल के बीच का कोण है। रेखा और तल के बीच का कोण इस रेखा और इस तल पर इसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है)। इसी तरह, हम यह साबित करते हैं कि कोण KSO, KAO और KDO आधार तल के साथ संगत किनारों KS, KA और KD द्वारा बनाए गए कोण हैं। KO की ऊंचाई आधार के लंबवत है, इसलिए यह इस तल में किसी भी सीधी रेखा के लंबवत है, अर्थात। OA, OB, OC और OD रेखाओं के लंबवत। यह कहता है कि त्रिभुज KAO, KBO, KCO, KDO आयताकार हैं।
कोण KVO, KSO, KAO और KDO बराबर हैं (प्रमेय 6 की शर्तों के अनुसार)। त्रिभुजों केएओ, केबीओ, केसीओ, केडीओ पर विचार करें, वे आयताकार और बराबर हैं (पैर और न्यून कोण के साथ, केओ सामान्य है और कोण केएओ, केवीओ, केएसओ, केडीओ स्थिति के बराबर हैं)।
प्रमेय 6.1 को सिद्ध करते हुए, हम त्रिभुजों केएओ, केबीओ, केसीओ, केडीओ पर भी विचार करते हैं, वे आयताकार और पैर और कर्ण में बराबर होते हैं (केओ - सामान्य, केए = केवी = केएस = केडी प्रमेय की परिकल्पना के अनुसार)।
इन त्रिभुजों की समानता से यह पता चलता है कि उनकी संबंधित भुजाएँ OA, OB, OS और OD समान हैं, जिसका अर्थ है कि आधार पर एक बिंदु है जो चतुर्भुज ABCD के शीर्षों से समान दूरी पर है, अर्थात एक वृत्त को परिबद्ध किया जा सकता है। इसके आसपास।