दूसरे क्रम की पंक्तियाँ।
दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण। घेरा

गहन अध्ययन के बाद विमान पर सीधी रेखाएंहम द्वि-आयामी दुनिया की ज्यामिति का अध्ययन करना जारी रखते हैं। दांव को दोगुना कर दिया गया है और मैं आपको दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलयों की सुरम्य गैलरी में जाने के लिए आमंत्रित करता हूं, जो कि विशिष्ट प्रतिनिधि हैं दूसरे क्रम की पंक्तियाँ. दौरा पहले ही शुरू हो चुका है, और सबसे पहले, संग्रहालय की विभिन्न मंजिलों पर पूरी प्रदर्शनी के बारे में एक संक्षिप्त जानकारी:

बीजीय रेखा की अवधारणा और उसका क्रम

समतल पर एक रेखा कहलाती है बीजगणितीय, मैं फ़िन एफ़िन समन्वय प्रणालीइसके समीकरण का रूप है , जहां एक बहुपद है जिसमें रूप की शर्तें शामिल हैं (एक वास्तविक संख्या है, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बीजीय रेखा के समीकरण में साइन, कोसाइन, लॉगरिदम और अन्य कार्यात्मक ब्यू मोंडे नहीं होते हैं। केवल "x" और "y" in पूर्णांक गैर-ऋणात्मकडिग्री।

लाइन ऑर्डरइसमें शामिल शर्तों के अधिकतम मूल्य के बराबर है।

संबंधित प्रमेय के अनुसार, बीजीय रेखा की अवधारणा, साथ ही उसका क्रम, पसंद पर निर्भर नहीं करता है एफ़िन समन्वय प्रणाली, इसलिए, होने में आसानी के लिए, हम मानते हैं कि बाद की सभी गणनाएँ होती हैं कार्तीय निर्देशांक.

सामान्य समीकरणदूसरे क्रम की रेखा का रूप है, जहाँ मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं (यह एक गुणक के साथ लिखने के लिए प्रथागत है - "दो"), और गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

यदि , तो समीकरण सरल हो जाता है , और यदि गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, तो यह ठीक है एक "सपाट" सीधी रेखा का सामान्य समीकरण, जो दर्शाता है पहली ऑर्डर लाइन.

कई लोगों ने नई शर्तों का अर्थ समझा, लेकिन, फिर भी, सामग्री को 100% आत्मसात करने के लिए, हम अपनी उंगलियों को सॉकेट में चिपका देते हैं। पंक्ति क्रम निर्धारित करने के लिए, पुनरावृति करें सभी शर्तेंइसके समीकरण और उनमें से प्रत्येक के लिए खोजें शक्तियों का योगआने वाले चर।

उदाहरण के लिए:

शब्द में "x" से पहली डिग्री शामिल है;
शब्द में "Y" से पहली डिग्री शामिल है;
पद में कोई चर नहीं हैं, इसलिए उनकी शक्तियों का योग शून्य है।

अब आइए जानें कि समीकरण रेखा को क्यों सेट करता है दूसरागण:

शब्द में दूसरी डिग्री में "x" शामिल है;
शब्द में चरों की डिग्री का योग है: 1 + 1 = 2;
शब्द में दूसरी डिग्री में "y" शामिल है;
अन्य सभी शर्तें - कमतरडिग्री।

अधिकतम मूल्य: 2

यदि हम इसके अतिरिक्त अपने समीकरण में जोड़ते हैं, कहते हैं, तो यह पहले से ही निर्धारित करेगा तीसरी क्रम पंक्ति. यह स्पष्ट है कि तीसरे क्रम रेखा समीकरण के सामान्य रूप में शब्दों का "पूर्ण सेट" होता है, चर की डिग्री का योग जिसमें तीन के बराबर होता है:
, जहां गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

इस घटना में कि एक या अधिक उपयुक्त शब्द जोड़े जाते हैं जिनमें शामिल हैं , तो हम बात करेंगे चौथी क्रम पंक्तियाँ, आदि।

हमें तीसरी, चौथी और उच्च कोटि की बीजगणितीय रेखाओं को एक से अधिक बार देखना होगा, विशेष रूप से, जब हम उनसे परिचित हों ध्रुवीय समन्वय प्रणाली.

हालांकि, आइए हम सामान्य समीकरण पर लौटते हैं और इसकी सरलतम स्कूल विविधताओं को याद करते हैं। उदाहरण परवलय हैं, जिनके समीकरण को एक सामान्य रूप में आसानी से कम किया जा सकता है, और एक समान समीकरण के साथ अतिपरवलय। हालाँकि, सब कुछ इतना सहज नहीं है ....

सामान्य समीकरण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि यह लगभग हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि यह किस रेखा को परिभाषित करता है। सरलतम मामले में भी, आपको तुरंत पता नहीं चलेगा कि यह अतिशयोक्ति है। इस तरह के लेआउट केवल एक बहाना पर अच्छे होते हैं, इसलिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान, एक विशिष्ट समस्या पर विचार किया जाता है द्वितीय क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में घटाना.

समीकरण का विहित रूप क्या है?

यह समीकरण का आम तौर पर स्वीकृत मानक रूप है, जब कुछ ही सेकंड में यह स्पष्ट हो जाता है कि यह किस ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित करता है। इसके अलावा, कई व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए विहित रूप बहुत सुविधाजनक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, विहित समीकरण के अनुसार "फ्लैट" सीधे, सबसे पहले, यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक सीधी रेखा है, और दूसरी बात, इससे संबंधित बिंदु और दिशा वेक्टर बस दिखाई दे रहे हैं।

जाहिर है, कोई भी पहली ऑर्डर लाइनएक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरी मंजिल पर, अब कोई चौकीदार नहीं हमारी प्रतीक्षा कर रहा है, बल्कि नौ मूर्तियों की एक और अधिक विविध कंपनी है:

दूसरे क्रम की पंक्तियों का वर्गीकरण

क्रियाओं के एक विशेष सेट की मदद से, किसी भी द्वितीय-क्रम रेखा समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाता है:

(और सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं)

1) दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है;

2) अतिपरवलय का विहित समीकरण है;

3) परवलय का विहित समीकरण है;

4) – काल्पनिकअंडाकार;

5) - प्रतिच्छेदन रेखाओं की एक जोड़ी;

6) - युगल काल्पनिकप्रतिच्छेदन रेखाएं (मूल बिंदु पर प्रतिच्छेदन का एकमात्र वास्तविक बिंदु);

7) - समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी;

8) - युगल काल्पनिकसमानांतर रेखाएं;

9) मेल खाने वाली रेखाओं का एक युग्म है।

कुछ पाठकों को यह आभास हो सकता है कि सूची अधूरी है। उदाहरण के लिए, पैराग्राफ संख्या 7 में, समीकरण युग्म सेट करता है सीधे, अक्ष के समानांतर, और प्रश्न उठता है: समीकरण कहाँ है जो y-अक्ष के समानांतर रेखाओं को निर्धारित करता है? यह जवाब कैनन नहीं माना जाता है. सीधी रेखाएं 90 डिग्री घुमाए गए समान मानक मामले का प्रतिनिधित्व करती हैं, और वर्गीकरण में एक अतिरिक्त प्रविष्टि बेमानी है, क्योंकि इसमें कुछ भी मौलिक रूप से नया नहीं है।

इस प्रकार, नौ और केवल नौ विभिन्न प्रकार की दूसरी क्रम रेखाएं हैं, लेकिन व्यवहार में सबसे आम हैं दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय.

आइए पहले दीर्घवृत्त को देखें। हमेशा की तरह, मैं उन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करता हूं जो समस्याओं को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और यदि आपको सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति, प्रमेयों के प्रमाण की आवश्यकता है, तो कृपया देखें, उदाहरण के लिए, बाज़िलेव / अतानासियन या अलेक्जेंड्रोव की पाठ्यपुस्तक।

दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण

वर्तनी ... कृपया कुछ यैंडेक्स उपयोगकर्ताओं की गलतियों को न दोहराएं, जो "एक दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे करें", "एक दीर्घवृत्त और एक अंडाकार के बीच का अंतर" और "एलीब्स सनकीपन" में रुचि रखते हैं।

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है , जहाँ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तथा । मैं बाद में एक दीर्घवृत्त की परिभाषा तैयार करूंगा, लेकिन अभी के लिए बात करने से विराम लेने और एक सामान्य समस्या को हल करने का समय है:

कैसे एक अंडाकार बनाने के लिए?

हाँ, इसे ले लो और बस इसे खींचो। असाइनमेंट सामान्य है, और छात्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा ड्राइंग के साथ पूरी तरह से सामना नहीं करता है:

उदाहरण 1

समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त की रचना कीजिए

फेसला: पहले हम समीकरण को विहित रूप में लाते हैं:

क्यों लाए? विहित समीकरण के फायदों में से एक यह है कि यह आपको तुरंत निर्धारित करने की अनुमति देता है अंडाकार शिखर, जो बिंदुओं पर हैं। यह देखना आसान है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

इस मामले में :


रेखा खंडबुलाया प्रमुख धुरीअंडाकार;
रेखा खंड – छोटी धुरी;
संख्या बुलाया सेमीमेजर एक्सिसअंडाकार;
संख्या – अर्ध-मामूली धुरी.
हमारे उदाहरण में:।

जल्दी से यह कल्पना करने के लिए कि यह या वह दीर्घवृत्त कैसा दिखता है, बस इसके विहित समीकरण के "ए" और "बी" के मूल्यों को देखें।

सब कुछ ठीक, साफ और सुंदर है, लेकिन एक चेतावनी है: मैंने प्रोग्राम का उपयोग करके ड्राइंग को पूरा किया। और आप किसी भी आवेदन के साथ आकर्षित कर सकते हैं। हालाँकि, कठोर वास्तविकता में, कागज का एक चेकर का टुकड़ा मेज पर पड़ा होता है, और चूहे हमारे हाथों के चारों ओर नृत्य करते हैं। कलात्मक प्रतिभा वाले लोग, निश्चित रूप से बहस कर सकते हैं, लेकिन आपके पास चूहे भी हैं (यद्यपि छोटे वाले)। यह व्यर्थ नहीं है कि मानव जाति ने एक शासक, एक कंपास, एक चांदा और ड्राइंग के लिए अन्य सरल उपकरणों का आविष्कार किया।

इस कारण से, हम केवल शीर्षों को जानकर, एक दीर्घवृत्त को सटीक रूप से खींचने में सक्षम होने की संभावना नहीं रखते हैं। फिर भी ठीक है, अगर दीर्घवृत्त छोटा है, उदाहरण के लिए, अर्ध-अक्षों के साथ। वैकल्पिक रूप से, आप पैमाने को कम कर सकते हैं और तदनुसार, ड्राइंग के आयाम। लेकिन सामान्य मामले में अतिरिक्त अंक खोजना अत्यधिक वांछनीय है।

दीर्घवृत्त के निर्माण के दो दृष्टिकोण हैं - ज्यामितीय और बीजीय। छोटे एल्गोरिदम और ड्राइंग के महत्वपूर्ण अव्यवस्था के कारण मुझे कंपास और शासक के साथ निर्माण करना पसंद नहीं है। आपात स्थिति में, कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन वास्तव में बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करना कहीं अधिक तर्कसंगत है। मसौदे पर दीर्घवृत्त समीकरण से, हम जल्दी से व्यक्त करते हैं:

तब समीकरण को दो कार्यों में विभाजित किया जाता है:
- दीर्घवृत्त के ऊपरी चाप को परिभाषित करता है;
- दीर्घवृत्त के निचले चाप को परिभाषित करता है।

विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त समन्वय अक्षों के साथ-साथ मूल के संबंध में सममित है। और यह बहुत अच्छा है - समरूपता लगभग हमेशा एक फ्रीबी का अग्रदूत होता है। जाहिर है, यह पहली समन्वय तिमाही से निपटने के लिए पर्याप्त है, इसलिए हमें एक फ़ंक्शन की आवश्यकता है . यह एब्सिस्सा के साथ अतिरिक्त अंक खोजने का सुझाव देता है . हमने कैलकुलेटर पर तीन एसएमएस किए:

बेशक, यह भी सुखद है कि यदि गणना में कोई गंभीर त्रुटि होती है, तो यह निर्माण के दौरान तुरंत स्पष्ट हो जाएगा।

ड्राइंग (लाल) पर अंक चिह्नित करें, अन्य चापों (नीला) पर सममित बिंदु और पूरी कंपनी को एक लाइन से सावधानीपूर्वक कनेक्ट करें:


प्रारंभिक स्केच को पतला और पतला बनाना बेहतर है, और उसके बाद ही पेंसिल पर दबाव डालें। परिणाम काफी सभ्य अंडाकार होना चाहिए। वैसे, क्या आप जानना चाहेंगे कि यह वक्र क्या है?

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा। दीर्घवृत्त foci और दीर्घवृत्त विलक्षणता

एक अंडाकार अंडाकार का एक विशेष मामला है। शब्द "अंडाकार" को परोपकारी अर्थ में नहीं समझा जाना चाहिए ("बच्चे ने एक अंडाकार खींचा", आदि)। यह एक विस्तृत सूत्रीकरण वाला गणितीय शब्द है। इस पाठ का उद्देश्य अंडाकारों के सिद्धांत और उनके विभिन्न प्रकारों पर विचार करना नहीं है, जिन पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मानक पाठ्यक्रम में व्यावहारिक रूप से ध्यान नहीं दिया जाता है। और, अधिक वर्तमान जरूरतों के अनुसार, हम तुरंत एक दीर्घवृत्त की सख्त परिभाषा पर जाते हैं:

अंडाकार- यह समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक के लिए दिए गए दो बिंदुओं से दूरियों का योग कहलाता है चालदीर्घवृत्त, एक स्थिर मान है, संख्यात्मक रूप से इस दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लंबाई के बराबर: .
इस मामले में, foci के बीच की दूरी इस मान से कम है: .

अब यह स्पष्ट हो जाएगा:

कल्पना कीजिए कि नीला बिंदु एक दीर्घवृत्त पर "सवारी" करता है। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम दीर्घवृत्त का कौन सा बिंदु लेते हैं, खंडों की लंबाई का योग हमेशा समान रहेगा:

आइए सुनिश्चित करें कि हमारे उदाहरण में योग का मूल्य वास्तव में आठ के बराबर है। मानसिक रूप से बिंदु "em" को दीर्घवृत्त के दाहिने शीर्ष पर रखें, फिर: , जिसे जाँचना आवश्यक था।

दीर्घवृत्त खींचने का दूसरा तरीका दीर्घवृत्त की परिभाषा पर आधारित है। उच्च गणित, कभी-कभी, तनाव और तनाव का कारण होता है, इसलिए यह एक और सत्र उतारने का समय है। कृपया कागज का एक टुकड़ा या कार्डबोर्ड की एक बड़ी शीट लें और इसे टेबल पर दो कीलों से पिन करें। ये तरकीबें होंगी। उभरे हुए नाखून के सिरों पर एक हरे रंग का धागा बांधें और एक पेंसिल से इसे पूरी तरह से खींचे। पेंसिल की गर्दन किसी बिंदु पर होगी, जो दीर्घवृत्त से संबंधित है। अब हरे धागे को बहुत तना हुआ रखते हुए, पेंसिल को कागज़ की शीट पर चलाना शुरू करें। प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक आप प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आ जाते ... उत्कृष्ट ... ड्राइंग को डॉक्टर द्वारा सत्यापन के लिए शिक्षक को प्रस्तुत किया जा सकता है =)

दीर्घवृत्त का फोकस कैसे ज्ञात करें?

उपरोक्त उदाहरण में, मैंने "तैयार" फोकस बिंदुओं को चित्रित किया है, और अब हम सीखेंगे कि उन्हें ज्यामिति की गहराई से कैसे निकाला जाए।

यदि दीर्घवृत्त को विहित समीकरण द्वारा दिया जाता है, तो इसके नाभियों में निर्देशांक होते हैं , वह कहां है दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र में प्रत्येक foci से दूरी.

उबले हुए शलजम की तुलना में गणना आसान है:

! अर्थ "सीई" के साथ चाल के विशिष्ट निर्देशांक की पहचान करना असंभव है!मैं दोहराता हूं, यह है प्रत्येक फोकस से केंद्र की दूरी(जो सामान्य स्थिति में बिल्कुल मूल स्थान पर स्थित होना आवश्यक नहीं है)।
और, इसलिए, foci के बीच की दूरी को दीर्घवृत्त की विहित स्थिति से भी नहीं जोड़ा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, दीर्घवृत्त को दूसरी जगह ले जाया जा सकता है और मान अपरिवर्तित रहेगा, जबकि फ़ॉसी स्वाभाविक रूप से अपने निर्देशांक बदल देगा। कृपया इसे ध्यान में रखें क्योंकि आप इस विषय को और अधिक एक्सप्लोर करते हैं।

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता और उसका ज्यामितीय अर्थ

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता एक ऐसा अनुपात है जो मूल्यों को भीतर ले जा सकता है।

हमारे मामले में:

आइए जानें कि दीर्घवृत्त का आकार उसकी उत्केन्द्रता पर कैसे निर्भर करता है। इसके लिए बाएँ और दाएँ कोने को ठीक करेंविचाराधीन दीर्घवृत्त का, अर्थात् अर्ध-प्रमुख अक्ष का मान स्थिर रहेगा। तब विलक्षणता सूत्र रूप लेगा:।

आइए एकता के लिए विलक्षणता के मूल्य का अनुमान लगाना शुरू करें। यह तभी संभव है जब . इसका क्या मतलब है? ...याद करने की तरकीबें . इसका मतलब यह है कि अंडाकार का फॉसी एब्सिस्सा अक्ष के साथ साइड शिखर तक "फैलाएगा"। और, चूंकि "हरे खंड रबर नहीं हैं", दीर्घवृत्त अनिवार्य रूप से चपटा होना शुरू हो जाएगा, अक्ष पर पतले और पतले सॉसेज में बदल जाएगा।

इस प्रकार, दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता एक के जितनी करीब होती है, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक तिरछा होता है.

अब विपरीत प्रक्रिया का अनुकरण करते हैं: दीर्घवृत्त का फोकस केंद्र की ओर बढ़ते हुए एक दूसरे की ओर गए। इसका मतलब है कि "सीई" का मान छोटा हो रहा है और तदनुसार, विलक्षणता शून्य हो जाती है:।
इस मामले में, "ग्रीन सेगमेंट", इसके विपरीत, "भीड़ बन जाएगा" और वे दीर्घवृत्त की रेखा को ऊपर और नीचे "धक्का" देना शुरू कर देंगे।

इस प्रकार, विलक्षणता मान शून्य के जितना करीब होगा, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक दिखाई देगा... सीमित मामले को देखें, जब मूल रूप से फ़ॉसी सफलतापूर्वक फिर से जुड़ जाते हैं:

एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है

वास्तव में, अर्ध-अक्षों की समानता के मामले में, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण रूप लेता है, जो रिफ्लेक्सिव रूप से "ए" त्रिज्या के मूल में केंद्र के साथ स्कूल से जाने-माने सर्कल समीकरण में बदल जाता है।

व्यवहार में, "बोलने वाले" अक्षर "एर" के साथ अंकन का अधिक बार उपयोग किया जाता है:। त्रिज्या को खंड की लंबाई कहा जाता है, जबकि वृत्त के प्रत्येक बिंदु को त्रिज्या की दूरी से केंद्र से हटा दिया जाता है।

ध्यान दें कि एक दीर्घवृत्त की परिभाषा पूरी तरह से सही रहती है: फ़ॉसी का मिलान होता है, और वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए मिलान किए गए खंडों की लंबाई का योग एक स्थिर मान होता है। चूँकि foci के बीच की दूरी है किसी भी वृत्त की उत्केन्द्रता शून्य होती है.

एक सर्कल आसानी से और जल्दी से बनाया जाता है, यह अपने आप को एक कंपास के साथ बांटने के लिए पर्याप्त है। फिर भी, कभी-कभी इसके कुछ बिंदुओं के निर्देशांक का पता लगाना आवश्यक होता है, इस मामले में हम परिचित तरीके से चलते हैं - हम समीकरण को एक हंसमुख मतन के रूप में लाते हैं:

ऊपरी अर्धवृत्त का कार्य है;
निचले अर्धवृत्त का कार्य है।

तब हम वांछित मान पाते हैं, विभेदक, एकीकृतऔर अन्य अच्छे काम करें।

बेशक, लेख केवल संदर्भ के लिए है, लेकिन दुनिया में कोई प्यार के बिना कैसे रह सकता है? स्वतंत्र समाधान के लिए रचनात्मक कार्य

उदाहरण 2

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की रचना करें यदि उसका एक नाभ और अर्ध-लघु अक्ष ज्ञात हो (केंद्र मूल में है)। शीर्ष, अतिरिक्त बिंदु ज्ञात कीजिए और रेखाचित्र पर एक रेखा खींचिए। विलक्षणता की गणना करें।

पाठ के अंत में समाधान और ड्राइंग

आइए एक क्रिया जोड़ें:

किसी दीर्घवृत्त को घुमाएँ और अनुवाद करें

आइए दीर्घवृत्त के विहित समीकरण पर लौटते हैं, अर्थात्, उस स्थिति पर, जिसकी पहेली इस वक्र के पहले उल्लेख के बाद से जिज्ञासु मन को पीड़ा दे रही है। यहाँ हमने एक दीर्घवृत्त पर विचार किया है , लेकिन व्यवहार में समीकरण नहीं हो सकता ? आखिरकार, यहाँ, हालांकि, यह एक दीर्घवृत्त की तरह भी लगता है!

ऐसा समीकरण दुर्लभ है, लेकिन यह सामने आता है। और यह एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है। आइए रहस्यवादी को दूर भगाएं:

निर्माण के परिणामस्वरूप, हमारा मूल अंडाकार प्राप्त होता है, जिसे 90 डिग्री घुमाया जाता है। अर्थात, - यह गैर-विहित प्रविष्टिअंडाकार . अभिलेख!- समीकरण किसी अन्य अंडाकार को निर्दिष्ट नहीं करता है, क्योंकि धुरी पर कोई बिंदु (फोसी) नहीं है जो अंडाकार की परिभाषा को पूरा करेगा।

आइए हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली स्थापित करें और दूसरी डिग्री के सामान्य समीकरण पर विचार करें

जिसमें
.

समतल में उन सभी बिंदुओं का समुच्चय, जिनके निर्देशांक समीकरण (8.4.1) को संतुष्ट करते हैं, कहलाता है कुटिल (रेखा) द्वितीय आदेश.

दूसरे क्रम के किसी भी वक्र के लिए, एक आयताकार समन्वय प्रणाली होती है, जिसे विहित कहा जाता है, जिसमें इस वक्र के समीकरण का निम्न में से एक रूप होता है:

1)
(दीर्घवृत्त);

2)
(काल्पनिक अंडाकार);

3)
(काल्पनिक प्रतिच्छेदन रेखाओं की एक जोड़ी);

4)
(हाइपरबोला);

5)
(प्रतिच्छेदन रेखाओं की एक जोड़ी);

6)
(परवलय);

7)
(समानांतर रेखाओं की जोड़ी);

8)
(काल्पनिक समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी);

9)
(मिलती-जुलती पंक्तियों की एक जोड़ी)।

समीकरण 1)–9) कहलाते हैं दूसरे क्रम के वक्रों के विहित समीकरण।

दूसरे क्रम के वक्र के समीकरण को विहित रूप में कम करने की समस्या के समाधान में वक्र के विहित समीकरण और विहित समन्वय प्रणाली को खोजना शामिल है। विहित रूप में कमी आपको वक्र के मापदंडों की गणना करने और मूल समन्वय प्रणाली के सापेक्ष इसके स्थान का निर्धारण करने की अनुमति देती है। मूल आयताकार समन्वय प्रणाली से संक्रमण
विहित करने के लिए
बिंदु के चारों ओर मूल समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियों को घुमाकर किया जाता है हेएक निश्चित कोण  और बाद में समन्वय प्रणाली के समानांतर स्थानांतरण।

दूसरे क्रम के वक्र अपरिवर्तनीय(8.4.1) इसके समीकरण के गुणांकों के ऐसे कार्य कहलाते हैं, जिनके मान एक आयताकार समन्वय प्रणाली से दूसरे समान प्रणाली में जाने पर नहीं बदलते हैं।

दूसरे क्रम (8.4.1) के वक्र के लिए, वर्ग निर्देशांक पर गुणांकों का योग

,

प्रमुख पदों के गुणांकों से बना निर्धारक

और तीसरा क्रम निर्धारक

अपरिवर्तनीय हैं।

अपरिवर्तनीयों के मान s, , का उपयोग दूसरे क्रम के वक्र के प्रकार को निर्धारित करने और विहित समीकरण की रचना करने के लिए किया जा सकता है (तालिका 8.1)।

तालिका 8.1

अपरिवर्तनीयों के आधार पर दूसरे क्रम के वक्रों का वर्गीकरण

आइए दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय पर करीब से नज़र डालें।

अंडाकार(चित्र 8.1) तल में बिंदुओं का वह बिंदुपथ है जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं की दूरी का योग होता है
यह विमान, कहा जाता है अंडाकार चाल, एक स्थिर मान है (foci के बीच की दूरी से अधिक)। यह दीर्घवृत्त के foci के संयोग को बाहर नहीं करता है। यदि नाभियाँ समान हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है।

एक दीर्घवृत्त के एक बिंदु से उसके नाभि तक की दूरी का आधा योग द्वारा दर्शाया जाता है ए, फोकस के बीच की आधी दूरी - साथ. यदि समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली को चुना जाता है ताकि दीर्घवृत्त अक्ष पर केंद्रित हो हेएक्समूल के बारे में सममित, तो इस समन्वय प्रणाली में अंडाकार समीकरण द्वारा दिया जाता है

, (8.4.2)

बुलाया दीर्घवृत्त का विहित समीकरण, कहाँ पे
.

चावल। 8.1

एक आयताकार समन्वय प्रणाली की निर्दिष्ट पसंद के साथ, अंडाकार समन्वय अक्ष और मूल के बारे में सममित है। एक दीर्घवृत्त की सममिति के अक्ष इसे कहते हैं कुल्हाड़ियों, और समरूपता का केंद्र है दीर्घवृत्त का केंद्र. वहीं, अंक 2 को अक्सर दीर्घवृत्त की कुल्हाड़ी कहा जाता है। एऔर 2 बी, और संख्या एऔर बी – विशालऔर अर्ध-मामूली धुरीक्रमश।

एक दीर्घवृत्त का उसकी कुल्हाड़ियों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाते हैं दीर्घवृत्त के शीर्ष. दीर्घवृत्त के शीर्षों में निर्देशांक होते हैं ( ए, 0), (–ए, 0), (0, बी), (0, –बी).

अंडाकार विलक्षणताएक नंबर कहा जाता है

. (8.4.3)

क्योंकि 0 सी < ए, अंडाकार विलक्षणता 0< 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

इससे पता चलता है कि विलक्षणता दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता है:  के करीब शून्य, जितना अधिक दीर्घवृत्त एक वृत्त की तरह दिखता है; जैसे-जैसे बढ़ता है, दीर्घवृत्त अधिक लम्बा होता जाता है।

रहने दो
दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है,
और
- बिंदु से दूरी एमचाल से पहले एफ 1 और एफ 2 क्रमशः। नंबर आर 1 और आर 2 कहा जाता है बिंदु फोकल त्रिज्या एम अंडाकारऔर सूत्रों द्वारा गणना की जाती है

प्रधानाध्यापिकासर्कल के अलावा अंडाकारविहित समीकरण (8.4.2) के साथ दो रेखाएँ कहलाती हैं

.

दीर्घवृत्त की दिशाएँ दीर्घवृत्त के बाहर स्थित होती हैं (चित्र 8.1)।

फोकल त्रिज्या अनुपात अंकएमदीर्घवृत्त से दूरी  इस अंडाकार के (फोकस और डायरेक्ट्रिक्स को मेल माना जाता है यदि वे अंडाकार के केंद्र के एक ही तरफ स्थित हैं)।

अतिशयोक्ति(चित्र 8.2) समतल के बिंदुओं का बिंदुपथ है जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं की दूरी के अंतर का मापांक है और यह विमान, कहा जाता है अतिशयोक्ति का फोकस, एक स्थिर मान है (शून्य के बराबर नहीं और फ़ॉसी के बीच की दूरी से कम)।

मान लीजिए कि foci के बीच की दूरी 2 . है साथ, और दूरी अंतर का निर्दिष्ट मापांक 2 . है ए. हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली को उसी तरह चुनते हैं जैसे एक अंडाकार के लिए। इस समन्वय प्रणाली में, अतिपरवलय समीकरण द्वारा दिया जाता है

, (8.4.4)

बुलाया अतिपरवलय का विहित समीकरण, कहाँ पे
.

चावल। 8.2

एक आयताकार समन्वय प्रणाली की इस पसंद के साथ, समन्वय अक्ष अतिपरवलय की समरूपता की कुल्हाड़ियों हैं, और निर्देशांक की उत्पत्ति इसकी समरूपता का केंद्र है। अतिपरवलय के सममिति अक्ष कहलाते हैं कुल्हाड़ियों, और समरूपता का केंद्र है अतिपरवलय का केंद्र. 2 भुजाओं वाला आयत एऔर 2 बी, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 8.2, कहा जाता है अतिपरवलय का मुख्य आयत. नंबर 2 एऔर 2 बीहाइपरबोला की कुल्हाड़ियाँ हैं, और संख्याएँ एऔर बी- उसकी धुरा शाफ्ट. सीधी रेखाएँ, जो मुख्य आयत के विकर्णों की निरंतरता हैं, रूप अतिपरवलय स्पर्शोन्मुख

.

अक्ष के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु बैलबुलाया अतिपरवलय के शीर्ष. अतिपरवलय के शीर्षों में निर्देशांक होते हैं ( ए, 0), (–ए, 0).

अतिपरवलय की विलक्षणताएक नंबर कहा जाता है

. (8.4.5)

जहां तक ​​कि साथ > ए, अतिपरवलय की उत्केन्द्रता  > 1. आइए हम समानता (8.4.5) को इस रूप में फिर से लिखें

.

इससे पता चलता है कि विलक्षणता मुख्य आयत के आकार की विशेषता है और, परिणामस्वरूप, हाइपरबोला का आकार: छोटा , जितना अधिक मुख्य आयत बढ़ाया जाता है, और इसके बाद हाइपरबोला स्वयं अक्ष के साथ होता है बैल.

रहने दो
अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु है,
और
- बिंदु से दूरी एमचाल से पहले एफ 1 और एफ 2 क्रमशः। नंबर आर 1 और आर 2 कहा जाता है बिंदु फोकल त्रिज्या एम अतिशयोक्तिऔर सूत्रों द्वारा गणना की जाती है

प्रधानाध्यापिका अतिशयोक्तिविहित समीकरण (8.4.4) के साथ दो रेखाएँ कहलाती हैं

.

अतिपरवलय की दिशाएँ मुख्य आयत को काटती हैं और अतिपरवलय के केंद्र और संगत शीर्ष के बीच से गुजरती हैं (चित्र 8.2)।

हे फोकल त्रिज्या अनुपात अंकएम अतिपरवलय दूरी के लिए इस बिंदु से संबंधित फोकस तक डायरेक्ट्रिक्स विलक्षणता के बराबर है यह हाइपरबोला (फोकस और डायरेक्ट्रिक्स को संगत माना जाता है यदि वे हाइपरबोला के केंद्र के एक ही तरफ स्थित हों)।

परवलय(चित्र 8.3) तल में बिंदुओं का वह बिंदुपथ है जिसके लिए किसी निश्चित बिंदु की दूरी एफ (परवलय का फोकस) इस तल की दूरी किसी निश्चित रेखा की दूरी के बराबर है ( परवलय निर्देश), भी माना विमान में स्थित है।

आइए शुरुआत चुनें हेखंड के बीच में आयताकार समन्वय प्रणाली [ एफडी], जो फोकस से गिरा हुआ लंबवत है एफडायरेक्ट्रिक्स के लिए (यह माना जाता है कि फोकस डायरेक्ट्रिक्स से संबंधित नहीं है), और कुल्हाड़ियों बैलऔर ओएप्रत्यक्ष जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 8.3. माना खंड की लंबाई [ एफडी] के बराबर है पी. फिर चुने हुए समन्वय प्रणाली में
और विहित परवलय समीकरणरूप है

. (8.4.6)

मूल्य पीबुलाया परवलय पैरामीटर.

एक परवलय में समरूपता की एक धुरी होती है जिसे कहा जाता है परवलय अक्ष. एक परवलय का अपनी धुरी के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है परवलय के ऊपर. यदि परवलय इसके विहित समीकरण (8.4.6) द्वारा दिया जाता है, तो परवलय का अक्ष अक्ष होता है बैल. जाहिर है, परवलय का शीर्ष मूल है।

उदाहरण 1दूरसंचार विभाग लेकिन= (2, -1) दीर्घवृत्त से संबंधित है, बिंदु एफ= (1, 0) इसका फोकस है, जो कि . के अनुरूप है एफनिर्देश समीकरण द्वारा दिया गया है
. इस दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए।

फेसला।हम मान लेंगे कि समन्वय प्रणाली आयताकार है। फिर दूरी बिन्दु से लेकिनप्रधानाध्यापिका को
संबंध के अनुसार (8.1.8), जिसमें


, बराबर

.

दूरी बिन्दु से लेकिनध्यान केंद्रित करने के लिए एफबराबरी

,

जो आपको दीर्घवृत्त की विलक्षणता का निर्धारण करने की अनुमति देता है

.

रहने दो एम = (एक्स, आप) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। फिर दूरी
बिन्दु से एमप्रधानाध्यापिका को
सूत्र के अनुसार (8.1.8) बराबर है

और दूरी बिन्दु से एमध्यान केंद्रित करने के लिए एफबराबरी

.

चूंकि दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के लिए संबंध दीर्घवृत्त की विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है, इसलिए हमारे पास है

,

उदाहरण 2वक्र समीकरण द्वारा दिया गया है

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में। इस वक्र के विहित समन्वय प्रणाली और विहित समीकरण का पता लगाएं। वक्र प्रकार को परिभाषित करें।

फेसला।द्विघात रूप
एक मैट्रिक्स है

.

इसकी विशेषता बहुपद

इसकी जड़ें  1 = 4 और  2 = 9 हैं। इसलिए, मैट्रिक्स आइजेनवेक्टर के एक ऑर्थोनॉर्मल आधार में लेकिनमाना द्विघात रूप में विहित रूप है

.

आइए हम चर के ऑर्थोगोनल परिवर्तन के मैट्रिक्स के निर्माण के लिए आगे बढ़ते हैं, जो माना गया द्विघात रूप को निर्दिष्ट विहित रूप में कम करता है। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के समाधान की मूलभूत प्रणालियों का निर्माण करेंगे
और उन्हें ऑर्थोनॉर्मलाइज़ करें।

पर
इस प्रणाली की तरह दिखता है

इसका सामान्य समाधान है
. यहां एक फ्री वेरिएबल है। इसलिए, समाधान की मूलभूत प्रणाली में एक वेक्टर होता है, उदाहरण के लिए, वेक्टर
. इसे सामान्य करने पर, हमें वेक्टर मिलता है

.

पर
हम एक वेक्टर का भी निर्माण करेंगे

.

वैक्टर और पहले से ही ओर्थोगोनल हैं, क्योंकि वे सममित मैट्रिक्स के विभिन्न eigenvalues ​​को संदर्भित करते हैं लेकिन. वे दिए गए द्विघात रूप के विहित ऑर्थोनॉर्मल आधार का गठन करते हैं। उनके निर्देशांक के कॉलम से वांछित ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (रोटेशन मैट्रिक्स) बनाया गया है

.

मैट्रिक्स खोजने की शुद्धता की जाँच करें आरसूत्र के अनुसार
, कहाँ पे
आधार में द्विघात रूप का एक मैट्रिक्स है
:

आव्यूह आरसही पाया।

आइए चरों का रूपांतरण करें

और इस वक्र के समीकरण को पुराने केंद्र और दिशा वैक्टर के साथ नए आयताकार समन्वय प्रणाली में लिखें
:

कहाँ पे
.

हमें दीर्घवृत्त का विहित समीकरण मिला है

.

इस तथ्य के कारण कि आयताकार निर्देशांक का परिणामी परिवर्तन सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है

,

,

विहित समन्वय प्रणाली
एक शुरुआत है
और दिशा वैक्टर
.

उदाहरण 3अपरिवर्तनीय सिद्धांत का उपयोग करते हुए, प्रकार का निर्धारण करें और वक्र का विहित समीकरण लिखें

फेसला।जहां तक ​​कि

,

तालिका के अनुसार। 8.1 हम निष्कर्ष निकालते हैं कि यह एक अतिशयोक्ति है।

चूँकि s = 0, द्विघात रूप के आव्यूह का अभिलक्षणिक बहुपद

इसकी जड़ें
और
हमें वक्र का विहित समीकरण लिखने की अनुमति दें

कहाँ पे साथ मेंस्थिति से पाया जाता है

,

.

वक्र का वांछित विहित समीकरण

.

इस खंड की समस्याओं में निर्देशांकएक्स, आपआयताकार माना जाता है।

8.4.1. दीर्घवृत्त के लिए
और
पाना:

ए) आधा शाफ्ट;

बी) चालें;

ग) विलक्षणता;

डी) डायरेक्ट्रिक्स समीकरण।

8.4.2. एक दीर्घवृत्त के समीकरण लिखिए, उसके फोकस को जानकर
डायरेक्ट्रिक्स के अनुरूप एक्स= 8 और विलक्षणता . दीर्घवृत्त का दूसरा फोकस और दूसरा नियतांक ज्ञात कीजिए।

8.4.3. एक दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए जिसकी नाभियाँ (1, 0) और (0, 1) हैं और जिसकी दीर्घ अक्ष दो है।

8.4.4. दाना अतिशयोक्ति
. पाना:

ए) धुरी एऔर बी;

बी) चालें;

ग) विलक्षणता;

घ) स्पर्शोन्मुख समीकरण;

ई) प्रत्यक्ष समीकरण।

8.4.5. दाना अतिशयोक्ति
. पाना:

ए) धुरी एऔर बी;

बी) चालें;

ग) विलक्षणता;

घ) स्पर्शोन्मुख समीकरण;

ई) प्रत्यक्ष समीकरण।

8.4.6. दूरसंचार विभाग
एक अतिपरवलय से संबंधित है जिसका फोकस है
, और संबंधित निर्देश समीकरण द्वारा दिया गया है
. इस अतिपरवलय के लिए एक समीकरण लिखिए।

8.4.7. परवलय के फोकस को देखते हुए उसके लिए एक समीकरण लिखिए
और प्रधानाध्यापिका
.

8.4.8. एक परवलय के शीर्ष को देखते हुए
और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण
. इस परवलय के लिए एक समीकरण लिखिए।

8.4.9. एक परवलय के लिए एक समीकरण लिखिए जिसका फोकस एक बिंदु पर है

और निर्देश समीकरण द्वारा दिया गया है
.

8.4.10. दूसरे क्रम के वक्र के लिए एक समीकरण लिखें, इसकी विलक्षणता को जानकर
, केंद्र
और संबंधित निदेशक
.

8.4.11. दूसरे क्रम के वक्र के प्रकार का निर्धारण करें, इसका विहित समीकरण लिखें और विहित समन्वय प्रणाली खोजें:

जी)
;

8.4.12.

एक दीर्घवृत्त है। अर्ध-कुल्हाड़ियों की लंबाई और इस दीर्घवृत्त की विलक्षणता का पता लगाएं, केंद्र और नाभि के निर्देशांक, अक्षों और दिशाओं के समीकरण लिखें।

8.4.13. सिद्ध कीजिए कि समीकरण द्वारा दिया गया द्वितीय कोटि का वक्र

एक अतिशयोक्ति है। अर्ध-अक्ष की लंबाई और इस अतिपरवलय की विलक्षणता का पता लगाएं, केंद्र और फॉसी के निर्देशांक, अक्षों, डायरेक्ट्रीक्स और एसिम्प्टोट्स के लिए समीकरण लिखें।

8.4.14. सिद्ध कीजिए कि समीकरण द्वारा दिया गया द्वितीय कोटि का वक्र

,

एक परवलय है। इस परवलय का प्राचल, शीर्षों और फोकस के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, अक्ष और नियता के समीकरण लिखिए।

8.4.15. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को विहित रूप में लाएँ। मूल आयताकार समन्वय प्रणाली के संबंध में इसी दूसरे क्रम के वक्र को आरेखित करें:

8.4.16. अपरिवर्तनीय सिद्धांत का उपयोग करते हुए, प्रकार का निर्धारण करें और वक्र का विहित समीकरण लिखें।

11.1. बुनियादी अवधारणाओं

वर्तमान निर्देशांक के संबंध में दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाओं पर विचार करें

समीकरण के गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन ए, बी, या सी में से कम से कम एक संख्या शून्य नहीं है। ऐसी रेखाओं को द्वितीय कोटि की रेखाएँ (वक्र) कहते हैं। यह नीचे स्थापित किया जाएगा कि समीकरण (11.1) विमान में एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय या परवलय को परिभाषित करता है। इस अभिकथन पर आगे बढ़ने से पहले, आइए हम प्रगणित वक्रों के गुणों का अध्ययन करें।

11.2. घेरा

दूसरे क्रम का सबसे सरल वक्र एक वृत्त है। याद रखें कि एक बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या R का एक वृत्त उस तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो शर्त को पूरा करता है। मान लीजिए कि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली के एक बिंदु में निर्देशांक x 0, y 0 a - वृत्त का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 48 देखें)।

तब स्थिति से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

(11.2)

समीकरण (11.2) दिए गए वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट है और किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं है जो वृत्त पर स्थित नहीं है।

समीकरण (11.2) कहलाता है वृत्त का विहित समीकरण

विशेष रूप से, यह मानकर और , हम मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं .

सरल परिवर्तन के बाद वृत्त समीकरण (11.2) का रूप लेगा। दूसरे क्रम के वक्र के सामान्य समीकरण (11.1) के साथ इस समीकरण की तुलना करते समय, यह देखना आसान है कि एक वृत्त के समीकरण के लिए दो शर्तें संतुष्ट हैं:

1) x 2 और y 2 पर गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं;

2) वर्तमान निर्देशांक के xy उत्पाद वाला कोई सदस्य नहीं है।

आइए उलटा समस्या पर विचार करें। समीकरण (11.1) में मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

आइए इस समीकरण को रूपांतरित करें:

(11.4)

यह इस प्रकार है कि समीकरण (11.3) शर्त के तहत एक सर्कल को परिभाषित करता है . इसका केंद्र बिंदु पर है , और त्रिज्या

.

अगर , तो समीकरण (11.3) का रूप है

.

यह एक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है . इस मामले में, वे कहते हैं: "वृत्त एक बिंदु में विकृत हो गया है" (शून्य त्रिज्या है)।

यदि एक , फिर समीकरण (11.4), और इसलिए समतुल्य समीकरण (11.3), किसी भी रेखा का निर्धारण नहीं करेगा, क्योंकि समीकरण का दायां पक्ष (11.4) ऋणात्मक है, और बायां पक्ष ऋणात्मक नहीं है (जैसे: "काल्पनिक वृत्त")।

11.3. अंडाकार

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण

अंडाकार तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, उनमें से प्रत्येक से इस तल के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग कहलाता है चाल , एक स्थिर मान है जो फ़ोकस के बीच की दूरी से अधिक है।

द्वारा फॉसी को निरूपित करें एफ1और F2, उनके बीच की दूरी 2 . में सी, और दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु से foci तक की दूरी का योग - 2 . के माध्यम से ए(अंजीर देखें। 49)। परिभाषा के अनुसार 2 ए > 2सी, अर्थात। ए > सी.

एक दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि फोकस एफ1और F2अक्ष पर स्थित है, और मूल खंड के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है एफ 1 एफ 2. तब foci में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: तथा .

आज्ञा देना दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। फिर, एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, अर्थात्।

यह, वास्तव में, एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

हम समीकरण (11.5) को एक सरल रूप में इस प्रकार बदलते हैं:

जैसा ए>साथ, तब । चलो रखो

(11.6)

तब अंतिम समीकरण रूप लेता है या

(11.7)

यह सिद्ध किया जा सकता है कि समीकरण (11.7) मूल समीकरण के तुल्य है। यह कहा जाता है दीर्घवृत्त का विहित समीकरण .

दीर्घवृत्त दूसरे क्रम का एक वक्र है।

एक दीर्घवृत्त के आकार का उसके समीकरण के अनुसार अध्ययन

आइए इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।

1. समीकरण (11.7) में केवल सम घातों में x और y होते हैं, इसलिए यदि कोई बिंदु एक दीर्घवृत्त का है, तो बिंदु भी उसी से संबंधित हैं। यह इस प्रकार है कि दीर्घवृत्त कुल्हाड़ियों के संबंध में सममित है और साथ ही उस बिंदु के संबंध में है, जिसे दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है।

2. निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। रखने पर, हम दो बिंदु पाते हैं और, जिस पर अक्ष दीर्घवृत्त को काटती है (चित्र 50 देखें)। समीकरण (11.7) में रखने पर, हम दीर्घवृत्त के अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु पाते हैं: और। अंक ए 1 , ए2 , बी 1, बी2बुलाया दीर्घवृत्त के शीर्ष. सेगमेंट ए 1 ए2और बी1 बी2, साथ ही उनकी लंबाई 2 एऔर 2 बीक्रमशः कहा जाता है प्रमुख और लघु कुल्हाड़ियोंअंडाकार नंबर एऔर बीक्रमशः बड़े और छोटे कहलाते हैं। धुरा शाफ्टअंडाकार

3. समीकरण (11.7) से यह पता चलता है कि बाईं ओर का प्रत्येक पद एक से अधिक नहीं है, अर्थात। असमानताएँ हैं और या और। इसलिए, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु सीधी रेखाओं से बने आयत के अंदर होते हैं।

4. समीकरण (11.7) में, गैर-ऋणात्मक पदों का योग और एक के बराबर होता है। नतीजतन, जैसे-जैसे एक पद बढ़ता है, दूसरा घटता जाता है, अर्थात यदि बढ़ता है, तो घटता है और इसके विपरीत।

जो कहा गया है, उससे यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त का आकार अंजीर में दिखाया गया है। 50 (अंडाकार बंद वक्र)।

दीर्घवृत्त के बारे में अधिक जानकारी

दीर्घवृत्त का आकार अनुपात पर निर्भर करता है। जब दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है, तो दीर्घवृत्त समीकरण (11.7) का रूप ले लेता है। दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता के रूप में, अनुपात का अधिक बार उपयोग किया जाता है। दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और o6o को अक्षर ε ("एप्सिलॉन") द्वारा दर्शाया जाता है:

0 . के साथ<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

इससे पता चलता है कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, दीर्घवृत्त उतना ही कम तिरछा होगा; यदि हम = 0 डालते हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है।

मान लीजिए कि M(x; y) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है जिसका फोकस F 1 और F 2 है (चित्र 51 देखें)। F 1 M=r 1 और F 2 M = r 2 खंडों की लंबाई को बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहा जाता है। स्पष्टतः,

सूत्र हैं

सीधी रेखाएं कहलाती हैं

प्रमेय 11.1.यदि दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु से कुछ फ़ोकस तक की दूरी है, d इस फ़ोकस के अनुरूप समान बिंदु से नियति तक की दूरी है, तो अनुपात दीर्घवृत्त की विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है:

यह समानता (11.6) से इस प्रकार है कि . यदि , तो समीकरण (11.7) एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसका प्रमुख अक्ष ओए अक्ष पर स्थित होता है, और लघु अक्ष ऑक्स अक्ष पर स्थित होता है (चित्र 52 देखें)। ऐसे दीर्घवृत्त की नाभियाँ बिन्दुओं पर होती हैं और जहाँ .

11.4. अतिशयोक्ति

अतिपरवलय का विहित समीकरण

अतिशयोक्ति समतल के सभी बिन्दुओं के समुच्चय को कहा जाता है, इस तल के प्रत्येक बिन्दु से दो बिन्दुओं तक की दूरी के अंतर का मापांक कहलाता है चाल , एक स्थिर मान है, जो foci के बीच की दूरी से छोटा है।

द्वारा फॉसी को निरूपित करें एफ1और F2के माध्यम से उनके बीच की दूरी 2s, और हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु से फॉसी के माध्यम से दूरी में अंतर का मापांक 2ए. ए-प्राथमिकता 2ए < 2s, अर्थात। ए < सी.

अतिपरवलय समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि फोकस एफ1और F2अक्ष पर स्थित है, और मूल खंड के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है एफ 1 एफ 2(अंजीर देखें। 53)। तब foci के निर्देशांक होंगे और

आज्ञा देना अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु हो। फिर अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार या, यानी सरलीकरण के बाद, जैसा कि दीर्घवृत्त समीकरण प्राप्त करते समय किया गया था, हम प्राप्त करते हैं अतिपरवलय का विहित समीकरण

(11.9)

(11.10)

हाइपरबोला दूसरे क्रम की एक पंक्ति है।

इसके समीकरण के अनुसार अतिपरवलय के रूप की जांच

आइए हम अतिपरवलय के आकार को उसके कोकोनिक समीकरण का उपयोग करके स्थापित करें।

1. समीकरण (11.9) में केवल सम घातों में x और y हैं। इसलिए, अतिपरवलय कुल्हाड़ियों के संबंध में सममित है और साथ ही बिंदु के संबंध में, जिसे कहा जाता है हाइपरबोला का केंद्र।

2. निर्देशांक अक्षों के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। समीकरण (11.9) में रखने पर, हम हाइपरबोला के अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु पाते हैं: और। (11.9) डालने पर, हम प्राप्त करते हैं, जो नहीं हो सकता। अत: अतिपरवलय y-अक्ष को नहीं काटता।

अंक और कहलाते हैं चोटियों अतिपरवलय, और खंड

वास्तविक धुरी , रेखा खंड - वास्तविक अर्ध-अक्ष अतिशयोक्ति।

बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को कहते हैं काल्पनिक धुरी , संख्या बी - काल्पनिक धुरी . भुजाओं वाला आयत 2एऔर 2 बीबुलाया अतिपरवलय का मुख्य आयत .

3. समीकरण (11.9) से यह पता चलता है कि मिन्यूअंड एक से कम नहीं है, अर्थात् वह या । इसका मतलब यह है कि हाइपरबोला के बिंदु रेखा के दाईं ओर (हाइपरबोला की दाहिनी शाखा) और रेखा के बाईं ओर (हाइपरबोला की बाईं शाखा) में स्थित होते हैं।

4. अतिपरवलय के समीकरण (11.9) से यह देखा जा सकता है कि जब यह बढ़ता है तो यह भी बढ़ता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अंतर एक स्थिर मान को एक के बराबर रखता है।

यह कहा गया है कि हाइपरबोला का आकार चित्र 54 में दिखाया गया है (एक वक्र जिसमें दो अनबाउंड शाखाएं होती हैं)।

अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख

रेखा L को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है एक असंबद्ध वक्र K के लिए यदि वक्र K के बिंदु M से इस रेखा तक की दूरी d शून्य हो जाती है क्योंकि बिंदु M वक्र K के साथ मूल से अनिश्चित काल तक चलता है। चित्र 55 एक स्पर्शोन्मुख की अवधारणा को दर्शाता है: रेखा L वक्र K के लिए एक स्पर्शोन्मुख है।

आइए हम दिखाते हैं कि हाइपरबोला में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं:

(11.11)

चूँकि रेखाएँ (11.11) और अतिपरवलय (11.9) निर्देशांक अक्षों के संबंध में सममित हैं, यह संकेतित रेखाओं के केवल उन बिंदुओं पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जो पहले चतुर्थांश में स्थित हैं।

हाइपरबोला पर एक बिंदु के रूप में एक ही भुज x वाले बिंदु N को एक सीधी रेखा पर लें (देखिए आकृति 56), और सरल रेखा की कोटि और अतिपरवलय की शाखा के बीच N का अंतर ज्ञात कीजिए:

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे x बढ़ता है, भिन्न का हर बढ़ता जाता है; अंश एक स्थिर मान है। इसलिए, खंड की लंबाई ΜN शून्य हो जाता है। चूँकि N बिंदु से रेखा तक की दूरी d से अधिक है, तो d और भी अधिक शून्य हो जाता है। इस प्रकार, रेखाएँ अतिपरवलय (11.9) की स्पर्शोन्मुख हैं।

हाइपरबोला (11.9) का निर्माण करते समय, यह सलाह दी जाती है कि पहले हाइपरबोला के मुख्य आयत का निर्माण करें (चित्र 57 देखें), इस आयत के विपरीत शीर्षों से गुजरने वाली रेखाएँ खींचें - हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख और शीर्षों को चिह्नित करें और हाइपरबोला .

एक समबाहु अतिपरवलय का समीकरण।

जिनके स्पर्शोन्मुख निर्देशांक अक्ष हैं

हाइपरबोला (11.9) को समबाहु कहा जाता है यदि इसके अर्ध-अक्ष बराबर () हों। इसका विहित समीकरण

(11.12)

एक समबाहु अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख में समीकरण होते हैं और इसलिए समन्वय कोणों के द्विभाजक होते हैं।

एक नए समन्वय प्रणाली में इस अतिपरवलय के समीकरण पर विचार करें (चित्र 58 देखें), जो पुराने निर्देशांक अक्षों को एक कोण से घुमाकर प्राप्त किया गया है। हम निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:

हम समीकरण (11.12) में x और y के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

एक समबाहु अतिपरवलय का समीकरण, जिसके लिए अक्ष ऑक्स और ओए स्पर्शोन्मुख हैं, का रूप होगा।

अतिशयोक्ति के बारे में अधिक

सनक हाइपरबोला (11.9) हाइपरबोला के वास्तविक अक्ष के फॉसी के बीच की दूरी का अनुपात है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है:

चूंकि अतिपरवलय के लिए अतिपरवलय की उत्केन्द्रता एक से अधिक होती है: . विलक्षणता एक अतिपरवलय के आकार की विशेषता है। वास्तव में, यह समानता (11.10) से निम्नानुसार है कि। और .

इससे पता चलता है कि हाइपरबोला की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, अनुपात उतना ही छोटा होगा - इसके अर्ध-अक्षों का, जिसका अर्थ है कि इसका मुख्य आयत जितना अधिक विस्तारित होता है।

एक समबाहु अतिपरवलय की उत्केन्द्रता है। सच में,

फोकल त्रिज्या और हाइपरबोला की दाहिनी शाखा के बिंदुओं के लिए रूप है और , और बाईं ओर - और .

सीधी रेखाओं को हाइपरबोला की डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। चूंकि अतिपरवलय > 1 के लिए, तो . इसका मतलब है कि दायां डायरेक्ट्रिक्स हाइपरबोला के केंद्र और दाएं शीर्ष के बीच स्थित है, बाएं डायरेक्ट्रिक्स केंद्र और बाएं शीर्ष के बीच है।

हाइपरबोला के डायरेक्ट्रिक्स में एक दीर्घवृत्त के डायरेक्ट्रिक्स के समान गुण होते हैं।

समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र भी एक अतिपरवलय है, जिसका वास्तविक अक्ष 2b ओए अक्ष पर स्थित है, और काल्पनिक अक्ष 2 ए- ऑक्स अक्ष पर। चित्र 59 में, इसे एक बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया गया है।

जाहिर है, हाइपरबोलस और सामान्य स्पर्शोन्मुख हैं। ऐसे अतिपरवलय संयुग्म कहलाते हैं।

11.5. परवलय

विहित परवलय समीकरण

एक परवलय एक तल में सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक किसी दिए गए बिंदु से समान रूप से दूर होता है, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। फोकस F से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी को परवलय का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p (p > 0) द्वारा दर्शाया जाता है।

परवलय समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम ऑक्सी समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि ऑक्सी अक्ष फोकस F से होकर डायरेक्ट्रिक्स से F की दिशा में डायरेक्ट्रिक्स की ओर जाए, और मूल O फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच में स्थित है। (चित्र 60 देखें)। चयनित सिस्टम में, फ़ोकस F में निर्देशांक होते हैं, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण का रूप , या होता है।

1. समीकरण (11.13) में, चर y को सम अंश में शामिल किया गया है, जिसका अर्थ है कि परवलय ऑक्स अक्ष के बारे में सममित है; x-अक्ष परवलय की सममिति की धुरी है।

2. चूंकि ρ > 0, यह (11.13) से अनुसरण करता है कि . इसलिए, परवलय y-अक्ष के दाईं ओर स्थित है।

3. जब हमारे पास y \u003d 0 होता है। इसलिए, परवलय मूल से होकर गुजरता है।

4. x में असीमित वृद्धि के साथ, मॉड्यूल y भी अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है। परवलय में चित्र 61 में दिखाया गया रूप (आकार) है। बिंदु O (0; 0) को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, खंड FM \u003d r को बिंदु M का फोकल त्रिज्या कहा जाता है।

समीकरण , , ( पी>0) परवलय को भी परिभाषित करते हैं, उन्हें चित्र 62 में दिखाया गया है

यह दिखाना आसान है कि एक वर्ग ट्रिनोमियल का ग्राफ, जहां, बी और सी कोई भी वास्तविक संख्या है, उपरोक्त परिभाषा के अर्थ में एक परवलय है।

11.6. द्वितीय कोटि रेखाओं का सामान्य समीकरण

निर्देशांक अक्षों के समानांतर समरूपता के अक्षों के साथ दूसरे क्रम के वक्रों के समीकरण

आइए पहले हम एक ऐसे बिंदु पर केन्द्रित दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात करें जिसकी सममिति कुल्हाड़ियाँ निर्देशांक अक्षों ऑक्स और ओए के समानांतर हैं और अर्ध-अक्ष क्रमशः बराबर हैं एऔर बी. आइए हम दीर्घवृत्त ओ 1 के केंद्र में नई समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति रखें, जिसकी कुल्हाड़ियों और अर्ध-अक्ष एऔर बी(अंजीर देखें। 64):

और अंत में, चित्र 65 में दिखाए गए परवलय में संगत समीकरण होते हैं।

समीकरण

एक दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय के समीकरण और परिवर्तन के बाद एक वृत्त का समीकरण (खुले कोष्ठक, समीकरण के सभी पदों को एक दिशा में ले जाना, समान पद लाना, गुणांकों के लिए नया संकेतन प्रस्तुत करना) के एकल समीकरण का उपयोग करके लिखा जा सकता है फार्म

जहां गुणांक ए और सी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।

प्रश्न उठता है: क्या प्रपत्र का कोई समीकरण (11.14) दूसरे क्रम के किसी एक वक्र (वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय) को निर्धारित करता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

प्रमेय 11.2. समीकरण (11.14) हमेशा परिभाषित करता है: या तो एक सर्कल (ए = सी के लिए), या एक अंडाकार (ए सी> 0 के लिए), या एक हाइपरबोला (एसी के लिए)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

दूसरे क्रम का सामान्य समीकरण

अब दो अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री के सामान्य समीकरण पर विचार करें:

यह निर्देशांक (बी¹ 0) के उत्पाद के साथ एक शब्द की उपस्थिति से समीकरण (11.14) से भिन्न होता है। यह संभव है कि निर्देशांक अक्षों को कोण a से घुमाकर इस समीकरण को रूपांतरित किया जाए ताकि निर्देशांक के गुणनफल वाला पद इसमें अनुपस्थित हो।

कुल्हाड़ियों को मोड़ने के लिए सूत्रों का उपयोग करना

आइए पुराने निर्देशांकों को नए के रूप में व्यक्त करें:

हम कोण को चुनते हैं ताकि x "y" पर गुणांक गायब हो जाए, यानी, ताकि समानता

इस प्रकार, जब कुल्हाड़ियों को एक कोण के माध्यम से घुमाया जाता है जो स्थिति (11.17) को संतुष्ट करता है, समीकरण (11.15) समीकरण (11.14) में कम हो जाता है।

निष्कर्ष: दूसरे क्रम का सामान्य समीकरण (11.15) विमान पर (अपक्षय और क्षय के मामलों को छोड़कर) निम्नलिखित वक्रों को परिभाषित करता है: वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय।

नोट: यदि ए = सी, तो समीकरण (11.17) अपना अर्थ खो देता है। इस स्थिति में cos2α = 0 (देखें (11.16)), फिर 2α = 90°, यानी α = 45°। तो, ए = सी पर, समन्वय प्रणाली को 45 डिग्री घुमाया जाना चाहिए।

1. यूक्लिडियन तल पर द्वितीय कोटि की रेखाएँ।

2. द्वितीय कोटि की रेखाओं के समीकरणों के अपरिवर्तक।

3. इसके समीकरण के अपरिवर्तकों से द्वितीय कोटि की रेखाओं के प्रकार का निर्धारण करना।

4. एफाइन प्लेन पर दूसरे क्रम की रेखाएँ। विशिष्टता प्रमेय।

5. दूसरे क्रम की पंक्तियों के केंद्र।

6. दूसरे क्रम की रेखाओं के स्पर्शोन्मुख और व्यास।

7. दूसरे क्रम की रेखाओं के समीकरणों को सरलतम में घटाना।

8. दूसरे क्रम की रेखाओं की मुख्य दिशा और व्यास।

ग्रंथ सूची

1. यूक्लिडियन तल में दूसरे क्रम की रेखाएँ।

परिभाषा:

यूक्लिडियन विमानआयाम 2 का एक स्थान है,

(द्वि-आयामी वास्तविक स्थान)।

दूसरे क्रम की रेखाएँ एक वृत्ताकार शंकु के प्रतिच्छेदन की रेखाएँ होती हैं, जिनमें समतल होते हैं जो इसके शीर्ष से नहीं गुजरते हैं।

ये पंक्तियाँ अक्सर प्राकृतिक विज्ञान के विभिन्न प्रश्नों में पाई जाती हैं। उदाहरण के लिए, केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में एक भौतिक बिंदु की गति इनमें से किसी एक रेखा के साथ होती है।

यदि कटिंग प्लेन शंकु के एक गुहा के सभी रेक्टिलिनियर जेनरेट्रिक्स को काटता है, तो सेक्शन में एक लाइन प्राप्त होगी, जिसे कहा जाता है अंडाकार(चित्र। 1.1, ए)। यदि काटने वाला विमान शंकु के दोनों गुहाओं के जनरेटर को काटता है, तो खंड में एक रेखा प्राप्त होगी, जिसे कहा जाता है अतिशयोक्ति(चित्र 1.1.6)। और अंत में, यदि छेदक विमान शंकु के जनकों में से एक के समानांतर है (1.1 से, में- यह जनरेटर है एबी),फिर सेक्शन में आपको एक लाइन मिलती है जिसे कहा जाता है परवलयचावल। 1.1 विचाराधीन रेखाओं के आकार का एक दृश्य प्रतिनिधित्व देता है।

चित्र 1.1

दूसरी क्रम रेखा के सामान्य समीकरण का निम्न रूप है:

(1)

(1*)

अंडाकार समतल में बिंदुओं का समुच्चय है जिसके लिए दूरियों का योग दो निश्चित बिंदु एफ 1 और एफ 2 यह तल, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है।

यह दीर्घवृत्त के foci के संयोग को बाहर नहीं करता है। स्पष्टतः यदि नाभियाँ समान हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है।

दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम खंड के मध्य में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल O को चुनते हैं एफ 1 एफ 2 , कुल्हाड़ियों ओहऔर कहांप्रत्यक्ष जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1.2 (यदि ट्रिक्स एफ 1 और एफ 2 मेल खाता है, तो ओ के साथ मेल खाता है एफ 1 और एफ 2, और अक्ष के लिए ओहकोई भी गुजरने वाली धुरी ले सकता है ओ)।

माना खंड की लंबाई एफ 1 एफ 2 एफ 1 और एफ 2 क्रमशः निर्देशांक (-c, 0) और (c, 0) हैं। द्वारा निरूपित करें 2एएक दीर्घवृत्त की परिभाषा में निर्दिष्ट स्थिरांक। जाहिर है, 2a> 2c, यानी। ए> सी (यदि एक एम- दीर्घवृत्त का बिंदु (चित्र 1.2 देखें), तब | म्यूचुअल फंड ] |+ | म्यूचुअल फंड 2 | = 2 ए , और दो पक्षों के योग के बाद से म्यूचुअल फंड 1 और म्यूचुअल फंड 2 त्रिकोण म्यूचुअल फंड 1 एफ 2 किसी तीसरे पक्ष से अधिक एफ 1 एफ 2 = 2c, फिर 2a> 2c। स्थिति 2a = 2c को बाहर करना स्वाभाविक है, तब से बिंदु एमखंड पर स्थित एफ 1 एफ 2 और दीर्घवृत्त एक खंड में पतित हो जाता है। ).

रहने दो एम- निर्देशांक के साथ विमान का बिंदु (एक्स, वाई)(चित्र 1.2)। बिंदु से दूरियों को r 1 और r 2 से निरूपित करें एमअंक के लिए एफ 1 और एफ 2 क्रमश। एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार समानता

आर 1 + आर 2 = 2a (1.1)

दिए गए दीर्घवृत्त पर बिंदु M(x, y) के स्थान के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(1.2)

(1.1) और (1.2) से यह इस प्रकार है अनुपात

(1.3)

किसी दिए गए दीर्घवृत्त पर निर्देशांक x और y के साथ बिंदु M की स्थिति के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।इसलिए, संबंध (1.3) के रूप में माना जा सकता है अंडाकार समीकरण।"कट्टरपंथियों के विनाश" की मानक विधि का उपयोग करते हुए, यह समीकरण रूप में कम हो जाता है

(1.4) (1.5)

चूंकि समीकरण (1.4) है बीजीय परिणामअंडाकार समीकरण (1.3), फिर निर्देशांक एक्स और वाईकोई बिंदु एमदीर्घवृत्त भी समीकरण (1.4) को संतुष्ट करेगा। चूँकि रेडिकल से छुटकारा पाने से जुड़े बीजगणितीय परिवर्तनों के दौरान "अतिरिक्त जड़ें" दिखाई दे सकती हैं, हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि कोई भी बिंदु एम,जिसके निर्देशांक दिए गए दीर्घवृत्त पर स्थित समीकरण (1.4) को संतुष्ट करते हैं। इसके लिए, यह साबित करने के लिए स्पष्ट रूप से पर्याप्त है कि मात्रा r 1 और र 2 प्रत्येक बिंदु के लिए संबंध को संतुष्ट करें (1.1)। तो निर्देशांक दें एक्सऔर परअंक एमसंतुष्ट समीकरण (1.4)। प्रतिस्थापन मूल्य दो पर(1.4) से अभिव्यक्ति के दाईं ओर (1.2) r 1 के लिए सरल परिवर्तनों के बाद हम पाते हैं कि

, तब ।

ठीक उसी तरह, हम पाते हैं कि

. इस प्रकार, विचारित बिंदु के लिए एम , (1.6)

अर्थात। आर 1 + आर 2 = 2ए,और इसलिए बिंदु M एक दीर्घवृत्त पर स्थित है। समीकरण (1.4) कहलाता है दीर्घवृत्त का विहित समीकरण।मात्रा एऔर बीक्रमशः कहा जाता है दीर्घवृत्त के बड़े और छोटे अर्ध-अक्ष("बड़ा" और "छोटा" नाम इस तथ्य से समझाया गया है कि ए> बी)।

टिप्पणी. यदि दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष एऔर बीबराबर हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या के बराबर है आर = ए = बी, और केंद्र मूल के साथ मेल खाता है।

अतिशयोक्ति समतल में बिंदुओं का समुच्चय है जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं की दूरी के अंतर का निरपेक्ष मान है, एफ 1 और एफ 2 यह तल, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है (केंद्रित एफ 1 और एफ 2 अतिपरवलय को भिन्न मानना ​​स्वाभाविक है, क्योंकि यदि अतिपरवलय की परिभाषा में दर्शाया गया नियतांक शून्य के बराबर नहीं है, तब तल का एक भी बिंदु नहीं है जब एफ 1 और एफ 2 , जो अतिपरवलय की परिभाषा की आवश्यकताओं को पूरा करेगा। यदि यह स्थिरांक शून्य है और एफ 1 के साथ मेल खाता है एफ 2 , तब तल का कोई भी बिंदु अतिपरवलय की परिभाषा की आवश्यकताओं को पूरा करता है। ).

अतिपरवलय के विहित समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम खंड के बीच में निर्देशांक की उत्पत्ति का चयन करते हैं एफ 1 एफ 2 , कुल्हाड़ियों ओहऔर कहांप्रत्यक्ष जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1.2. माना खंड की लंबाई एफ 1 एफ 2 2s के बराबर है। फिर चुने हुए समन्वय प्रणाली में अंक एफ 1 और एफ 2 क्रमशः निर्देशांक हैं (-с, 0) और (с, 0) 2 . से निरूपित करें एहाइपरबोला की परिभाषा में निर्दिष्ट स्थिरांक। जाहिर है 2a< 2с, т. е. ए < с. हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि समीकरण (1.9) के बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा प्राप्त समीकरण (1.9) ने नए मूल प्राप्त नहीं किए हैं। ऐसा करने के लिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि प्रत्येक बिंदु के लिए एम, COORDINATES एक्सऔर परजो समीकरण (1.9) को संतुष्ट करते हैं, मात्रा r 1 और r 2 संबंध (1.7) को संतुष्ट करते हैं। उन तर्कों के समान तर्कों को पूरा करते हुए, जो सूत्र (1.6) प्राप्त करते समय किए गए थे, हम हमारे लिए ब्याज की मात्रा r 1 और r 2 के लिए निम्नलिखित व्यंजक पाते हैं:

(1.11)

इस प्रकार, विचारित बिंदु के लिए एमअपने पास

, और इसलिए यह एक अतिपरवलय पर स्थित है।

समीकरण (1.9) कहा जाता है अतिपरवलय का विहित समीकरण।मात्रा एऔर बीक्रमशः वास्तविक और काल्पनिक कहलाते हैं। अतिपरवलय के अर्ध-अक्ष।

परवलय समतल में बिंदुओं का समूह है जिसके लिए किसी निश्चित बिंदु की दूरी है एफ यह विमान कुछ निश्चित सीधी रेखा की दूरी के बराबर है, जो माना विमान में भी स्थित है।

समीकरणवक्र प्रचुर मात्रा में हैंआर्थिक साहित्य पढ़ते समय आइए हम इनमें से कुछ वक्रों की ओर संकेत करें।

इनडीफरन्स कर्व - उपभोक्ता के लिए समान उपभोक्ता मूल्य या उपयोगिता वाले दो उत्पादों के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला वक्र।

उपभोक्ता बजट वक्र दो वस्तुओं की मात्राओं के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला एक वक्र है जिसे एक उपभोक्ता अपनी धन आय के एक निश्चित स्तर पर खरीद सकता है।

उत्पादन संभावना वक्र - दो वस्तुओं या सेवाओं के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला एक वक्र जो संसाधनों के निरंतर स्टॉक और अपरिवर्तित प्रौद्योगिकी के साथ एक अर्थव्यवस्था में पूर्ण रोजगार और पूर्ण उत्पादन की शर्तों के तहत उत्पादित किया जा सकता है।

निवेश मांग वक्र - ब्याज दर की गतिशीलता और विभिन्न ब्याज दरों पर निवेश की मात्रा को दर्शाने वाला वक्र।

फिलिप्स वक्र- बेरोजगारी दर और मुद्रास्फीति दर के बीच एक स्थिर संबंध के अस्तित्व को दर्शाने वाला वक्र।

लाफ़र वक्र- कर दरों और कर राजस्व के बीच संबंध दिखाने वाला एक वक्र, ऐसी कर दर को प्रकट करता है जिस पर कर राजस्व अधिकतम तक पहुंच जाता है।

पहले से ही शब्दों की एक सरल गणना से पता चलता है कि अर्थशास्त्रियों के लिए रेखांकन बनाने और वक्रों के समीकरणों का विश्लेषण करने में सक्षम होना कितना महत्वपूर्ण है, जो सीधी रेखाएं और दूसरे क्रम के वक्र हैं - एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय, एक परवलय। इसके अलावा, समस्याओं के एक बड़े वर्ग को हल करते समय, कुछ वक्रों से घिरे समतल पर एक क्षेत्र का चयन करना आवश्यक होता है, जिसके समीकरण दिए गए हैं। अक्सर, इन समस्याओं को निम्नानुसार तैयार किया जाता है: दिए गए संसाधनों के लिए सर्वोत्तम उत्पादन योजना खोजें। संसाधनों का असाइनमेंट आमतौर पर असमानताओं का रूप लेता है, जिनके समीकरण दिए गए हैं। इसलिए, किसी को असमानताओं की प्रणाली के समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन द्वारा लिए गए सबसे बड़े या सबसे छोटे मूल्यों की तलाश करनी होगी।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में विमान पर लाइनको उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैंएफ (एक्स, वाई) = 0। इस मामले में, फ़ंक्शन F पर प्रतिबंध लगाए जाने चाहिए ताकि, एक तरफ, इस समीकरण में समाधानों का एक अनंत सेट हो और दूसरी ओर, ताकि समाधानों का यह सेट "विमान का टुकड़ा" न भर सके। " रेखाओं का एक महत्वपूर्ण वर्ग वे हैं जिनके लिए फलन F(x,y) दो चरों में एक बहुपद है, इस स्थिति में समीकरण F(x,y)=0 द्वारा परिभाषित रेखा कहलाती है बीजगणितीय. पहली डिग्री के समीकरण द्वारा दी गई बीजीय रेखाएं सीधी रेखाएं होती हैं। दूसरी डिग्री का एक समीकरण, जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं, एक दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय या दो सीधी रेखाओं में विभाजित होने वाली रेखा को परिभाषित करता है।

मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है। एक समतल पर एक सीधी रेखा किसी एक समीकरण द्वारा दी जा सकती है:

दस । एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0. (2.1)

वेक्टर एन(А,В) एक सीधी रेखा के लम्बवत् है, संख्या A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।

20. ढलान के साथ रेखा समीकरण

वाई - वाई ओ = के (एक्स - एक्स ओ), (2.2)

जहाँ k सीधी रेखा का ढाल है, अर्थात् k = tgए, जहां ए - अक्ष Оx, M (x o, y o) के साथ सीधी रेखा से बने कोण का मान - सीधी रेखा से संबंधित कोई बिंदु।

समीकरण (2.2) y = kx + b का रूप लेता है यदि M (0, b) ओए अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

तीस । खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

एक्स/ए + वाई/बी = 1, (2.3)

जहाँ a और b निर्देशांक अक्षों पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों के मान हैं।

40. दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है ए (एक्स 1 , वाई 1) और बी (एक्स 2 , वाई 2):

. (2.4)

पचास । दिए गए सदिश के समांतर दिए गए बिंदु A(x 1, y 1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ए(एम, एन)

. (2.5)

60. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

आर.एन.ओ - पी = 0, (2.6)

कहाँ पे आरइस रेखा के एक मनमाना बिंदु M(x, y) की त्रिज्या है, एनओ इस रेखा के लिए एक इकाई वेक्टर ऑर्थोगोनल है और मूल से रेखा तक निर्देशित है; p मूल बिंदु से सीधी रेखा की दूरी है।

समन्वय रूप में सामान्य का रूप है:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

जहां एक - x-अक्ष के साथ एक सीधी रेखा से बनने वाले कोण का मान।

बिंदु A (x 1, y 1) पर केन्द्रित रेखाओं वाली पेंसिल के समीकरण का रूप है:

वाई-वाई 1 = एल (एक्स-एक्स 1),

जहां मैं बीम पैरामीटर है। यदि बीम दो प्रतिच्छेदी रेखाओं A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 द्वारा दी गई है, तो इसके समीकरण का रूप है:

एल (ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1) + एम (ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2) = 0,

जहां एल और एम बीम पैरामीटर हैं जो एक ही समय में 0 पर नहीं जाते हैं।

रेखाओं y \u003d kx + b और y \u003d k 1 x + b 1 के बीच का कोण सूत्र द्वारा दिया गया है:

टीजी जे =।

समता 1 + k 1 k = 0 रेखाओं के लंबवत होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

दो समीकरण बनाने के लिए

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0, (2.7)

ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0, (2.8)

एक ही सीधी रेखा सेट करें, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके गुणांक आनुपातिक हैं:

ए 1 / ए 2 = बी 1 / बी 2 = सी 1 / सी 2।

समीकरण (2.7), (2.8) दो भिन्न समानांतर रेखाओं को परिभाषित करते हैं यदि A 1 /A 2 = B 1 /B 2 और B 1 /B 2¹ सी 1 / सी 2; रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि A 1 /A 2¹B1/B2.

बिंदु M o (x o, y o) से सीधी रेखा तक की दूरी d बिंदु M o से सीधी रेखा पर खींचे गए लंबवत की लंबाई है। यदि रेखा एक सामान्य समीकरण द्वारा दी गई है, तो d =ê आरके विषय में एनओ - आर , कहाँ पे आर o बिंदु M o का त्रिज्या सदिश है या, समन्वय रूप में, d =ê x o cos a + y o sin a - r ।

दूसरे क्रम के वक्र के सामान्य समीकरण का रूप है

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

यह माना जाता है कि समीकरण a 11 , a 12 , a 22 के गुणांकों में शून्य के अलावा अन्य भी हैं।

बिंदु C(a, b) और R के बराबर त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण:

(एक्स - ए) 2 + (वाई - बी) 2 = आर 2। (2.9)

अंडाकारबिंदुओं का स्थान कहलाता है, दो दिए गए बिंदुओं F 1 और F 2 (foci) से दूरियों का योग 2a के बराबर एक स्थिर मान है।

दीर्घवृत्त का विहित (सरलतम) समीकरण

एक्स 2 /ए 2 + वाई 2 /ए 2 = 1. (2.10)

समीकरण (2.10) द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त निर्देशांक अक्षों के संबंध में सममित है। विकल्प एऔर बीबुलाया धुरा शाफ्टअंडाकार

मान लीजिए a>b, फिर फोकस F 1 और F 2 ऑक्स अक्ष पर कुछ दूरी पर हैं
सी = मूल से। अनुपात सी/ए =इ < 1 называется सनकअंडाकार दीर्घवृत्त के बिंदु M(x, y) से उसके फोकस (फोकल त्रिज्या वैक्टर) तक की दूरी सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

आर 1 \u003d ए - ई एक्स, आर 2 \u003d ए + ई एक्स।

यदि एक< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , ई = सी/बी,
आर 1 \u003d बी + ई एक्स, आर 2 \u003d बी - ई एक्स।

यदि a = b, तो दीर्घवृत्त त्रिज्या के मूल बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त है ए.

अतिशयोक्तिबिन्दुओं का बिन्दुपथ कहलाता है, जिसमें दिए गए दो बिंदुओं F1 और F2 (foci) से दूरियों का अंतर दी गई संख्या 2a के निरपेक्ष मान के बराबर होता है।

अतिपरवलय का विहित समीकरण

एक्स 2 /ए 2 - वाई 2 /बी 2 = 1. (2.11)

समीकरण (2.11) द्वारा दिया गया अतिपरवलय निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष सममित है। यह ऑक्स अक्ष को बिंदु A (a,0) और A (-a,0) - हाइपरबोला के शीर्षों पर प्रतिच्छेद करता है और Oy अक्ष को नहीं काटता है। पैरामीटर एबुलाया वास्तविक अर्ध-अक्ष, बी -काल्पनिक धुरी. पैरामीटर c= फोकस से मूल बिंदु तक की दूरी है। अनुपात सी/ए =इ >1 कहा जाता है सनकअतिशयोक्ति। सीधी रेखाएँ जिनके समीकरण y =± बी/ए एक्स कहा जाता है स्पर्शोन्मुखअतिशयोक्ति। अतिपरवलय के बिंदु M(x,y) से उसके फॉसी (फोकल त्रिज्या सदिश) तक की दूरी सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

आर 1 = ê ई एक्स - ए ê, आर 2 = ê ई एक्स + ए ê।

एक अतिपरवलय जिसमें a = b होता है, कहलाता है समभुज, इसका समीकरण x 2 - y 2 \u003d a 2, और स्पर्शोन्मुख का समीकरण y \u003d± एक्स। अतिपरवलय x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 और
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 कहलाते हैं संयुग्मित.

परवलयकिसी दिए गए बिंदु (फोकस) और एक दी गई रेखा (दिशा) से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है।

एक परवलय के विहित समीकरण के दो रूप हैं:

1) y 2 \u003d 2पीएक्स - परवलय ऑक्स अक्ष के बारे में सममित है।

2) x 2 \u003d 2py - परवलय ओए अक्ष के बारे में सममित है।

दोनों ही स्थितियों में, p>0 और परवलय का शीर्ष, अर्थात् सममिति के अक्ष पर स्थित बिंदु, मूल बिंदु पर स्थित होता है।

एक परवलय जिसका समीकरण y 2 = 2рx फोकस F(р/2,0) और डायरेक्ट्रिक्स x = - р/2 है, उस पर बिंदु M(x, y) का फोकल त्रिज्या वेक्टर r = x+ р/2 है।

परवलय जिसका समीकरण x 2 =2py फोकस F(0, p/2) और डायरेक्ट्रिक्स y = - p/2 है; परवलय के बिंदु M(x, y) का फोकल त्रिज्या सदिश r = y + p/2 है।

समीकरण F(x, y) = 0 एक ऐसी रेखा को परिभाषित करता है जो समतल को दो या अधिक भागों में विभाजित करती है। इन भागों में से एक में, असमानता F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. दूसरे शब्दों में, रेखा
F(x, y)=0 विमान के उस हिस्से को अलग करता है जहां F(x, y)>0 विमान के उस हिस्से से जहां F(x, y)<0.

सीधी रेखा, जिसका समीकरण Ax+By+C = 0 है, समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है। व्यवहार में, यह पता लगाने के लिए कि हमारे पास किस अर्ध-तल में Ax + By + C . है<0, а в какой Ax+By+C>0, ब्रेकपॉइंट विधि लागू करें। ऐसा करने के लिए, एक नियंत्रण बिंदु लें (बेशक, एक सीधी रेखा पर नहीं, जिसका समीकरण Ax + By + C = 0) है और जाँच करें कि इस बिंदु पर Ax + By + C का कौन सा चिन्ह है। पूरे आधे तल में जहां नियंत्रण बिंदु स्थित है, उसी चिह्न में संकेतित अभिव्यक्ति है। दूसरे अर्ध-तल में Ax+By+C का विपरीत चिन्ह है।

दो अज्ञात के साथ गैर-रेखीय असमानताओं को उसी तरह हल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0 असमानता को हल करें। इसे (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

समीकरण (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 बिंदु C(2,-3) पर एक केंद्र और 5 की त्रिज्या के साथ एक सर्कल को परिभाषित करता है। सर्कल विमान को दो भागों में विभाजित करता है - आंतरिक और बाहरी। यह पता लगाने के लिए कि उनमें से किसमें यह असमानता होती है, हम आंतरिक क्षेत्र में एक नियंत्रण बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, हमारे सर्कल का केंद्र C(2,-3)। बिंदु C के निर्देशांकों को असमानता के बाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या -25 प्राप्त होती है। अत: वृत्त के भीतर स्थित सभी बिंदुओं पर असमानता
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

उदाहरण 1.5.बिंदु A(3,1) से गुजरने वाली और 45 o के कोण पर रेखा 2x+3y-1 = 0 की ओर झुकी हुई रेखाओं के समीकरण बनाइए।

फेसला।हम y=kx+b के रूप में खोज करेंगे। चूँकि रेखा बिंदु A से होकर गुजरती है, इसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात्। 1=3k+ख,Þ बी = 1-3k। रेखाओं के बीच का कोण
y= k 1 x+b 1 और y= kx+b सूत्र tg . द्वारा परिभाषित किया गया हैजे =। चूंकि मूल रेखा 2x+3y-1=0 का ढलान k 1 है - 2/3, और कोणजे = 45 o , तो हमारे पास k के निर्धारण के लिए एक समीकरण है:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 या (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1।

हमारे पास k के दो मान हैं: k 1 = 1/5, k 2 = -5। सूत्र b=1-3k द्वारा b के संगत मान ज्ञात करने पर, हमें दो वांछित रेखाएँ प्राप्त होती हैं, जिनके समीकरण हैं: x - 5y + 2 = 0 और
5x + y - 16 = 0।

उदाहरण 1.6. पैरामीटर के किस मान पर टीरेखाएँ जिनके समीकरण 3tx-8y+1 = 0 और (1+t)x-2ty = 0 समानांतर हैं?

फेसला।सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं यदि गुणांक एक्सऔर आपआनुपातिक, यानी 3t/(1+t) = -8/(-2t)। परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं टी: टी 1 \u003d 2, टी 2 \u003d -2/3।

उदाहरण 1.7. दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण ज्ञात कीजिए:
x 2 +y 2 =10 और x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

फेसला।वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए, इसके लिए हम समीकरणों के निकाय को हल करते हैं:

पहले समीकरण को हल करते हुए, हम मान पाते हैं x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. दूसरे समीकरण से - संबंधित मान आप: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. अब हम इस रेखा से संबंधित दो बिंदुओं A (3,1) और B (1,3) को जानकर एक सामान्य राग का समीकरण प्राप्त करते हैं: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), या y+ x - 4 = 0.

उदाहरण 1.8. समतल पर स्थित बिंदु कैसे हैं, जिनके निर्देशांक शर्तों (x-3) 2 + (y-3) 2 को संतुष्ट करते हैं< 8, x >आप?

फेसला।प्रणाली की पहली असमानता वृत्त के आंतरिक भाग को परिभाषित करती है, सीमा सहित नहीं, अर्थात। बिंदु (3,3) और त्रिज्या पर केंद्र के साथ वृत्त। दूसरी असमानता एक सीधी रेखा द्वारा परिभाषित एक अर्ध-तल को परिभाषित करती है जिसका समीकरण x = y है, और चूंकि असमानता सख्त है, इसलिए सीधी रेखा के बिंदु स्वयं अर्ध-तल से संबंधित नहीं होते हैं, और इस सीधी रेखा के नीचे के सभी बिंदु लाइन हाफ-प्लेन से संबंधित है। चूँकि हम उन बिंदुओं की तलाश कर रहे हैं जो दोनों असमानताओं को संतुष्ट करते हैं, तो वांछित क्षेत्र अर्धवृत्त का आंतरिक भाग है।

उदाहरण 1.9.एक दीर्घवृत्त में अंकित एक वर्ग की भुजा की लंबाई की गणना करें जिसका समीकरण x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 है।

फेसला।रहने दो एम (एस, एस)- वर्ग का शीर्ष, पहली तिमाही में पड़ा हुआ। तब वर्ग की भुजा 2 . होगी साथ. क्योंकि दूरसंचार विभाग एमदीर्घवृत्त के अंतर्गत आता है, इसके निर्देशांक दीर्घवृत्त c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1 के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जहां से
सी = एबी/; तो वर्ग की भुजा 2ab/ है।

उदाहरण 1.10.अतिपरवलय y = . के अनंतस्पर्शियों का समीकरण जानना± 0.5 x और इसका एक बिंदु M (12, 3), एक अतिपरवलय का समीकरण बनाते हैं।

फेसला।हम अतिपरवलय का विहित समीकरण लिखते हैं: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी समीकरण y = द्वारा दिए गए हैं± 0.5 x, इसलिए b/a = 1/2, इसलिए a=2b। जहां तक ​​कि एम- हाइपरबोला का बिंदु, फिर इसके निर्देशांक हाइपरबोला के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात। 144/a 2 - 27/b 2 = 1. दिया गया है कि a = 2b, हम पाते हैं कि b: b 2 =9Þ बी = 3 और ए = 6। तब अतिपरवलय का समीकरण x 2/36 - y 2/9 = 1 है।

उदाहरण 1.11.पैरामीटर के साथ एक परवलय में अंकित एक नियमित त्रिभुज ABC की भुजा की लंबाई की गणना करें आर, यह मानते हुए कि बिंदु A परवलय के शीर्ष के साथ मेल खाता है।

फेसला।एक पैरामीटर के साथ एक परवलय का विहित समीकरण आरइसका रूप y 2 = 2рx है, इसका शीर्ष मूल के साथ मेल खाता है, और परवलय x-अक्ष के बारे में सममित है। चूँकि रेखा AB, ऑक्स अक्ष के साथ 30 o का कोण बनाती है, रेखा का समीकरण है: y = x। बहुत सारे चार्ट

इसलिए, हम y 2 =2px, y = x, जहाँ से x = 6p, y = 2p समीकरणों के निकाय को हल करके बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं। अत: बिंदुओं A(0,0) और B(6p,2p) के बीच की दूरी 4p है।