कोष्ठक का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में गुणन की गणना पहले की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन व्यंजक \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में योग की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें: \(-(4m+3)\)।
समाधान : \(-(4m+3)=-4m-3\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद \(5-(3x+2)+(2+3x)\) दें।
समाधान : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\)।
समाधान : हमारे पास ब्रैकेट में \(3\) और \(-x\) और ब्रैकेट के सामने पांच हैं। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न को अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\)।
समाधान : पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक को सरल कीजिए: \(5(x+y)-2(x-y)\)।
समाधान : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)।

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
समाधान : हमारे पास कोष्ठकों का एक गुणनफल है और इसे उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए कदम से कदम मिलाकर सब कुछ करें।
चरण 1। पहला ब्रैकेट निकालें - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे ब्रैकेट से गुणा किया जाता है:

चरण 2. ऊपर बताए अनुसार गुणनखंड द्वारा ब्रैकेट के उत्पादों का विस्तार करें:
- पहले वाला पहला...

फिर दूसरा।

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पद लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि हम c के बजाय एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \((a-b)=a-b\) मिलता है। और यदि हम ऋणात्मक एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों में नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: व्यंजक \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाने के लिए।

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के घोंसले को ध्यान से समझें - कौन सा है जिसमें;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ शुरू करना।

कोष्ठकों में से किसी एक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को मत छुओ, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए उपरोक्त कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(7x+2(5-(3x+y))\)।
समाधान:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)।
समाधान :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		यह कोष्ठकों का ट्रिपल नेस्टिंग है। हम अंतरतम से शुरू करते हैं (हरे रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक प्लस है, इसलिए इसे आसानी से हटा दिया जाता है।
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		अब आपको दूसरा ब्रैकेट खोलने की जरूरत है, इंटरमीडिएट। लेकिन उससे पहले, हम इस दूसरे ब्रैकेट में समान शब्दों को घोस्ट करके व्यंजक को सरल बना देंगे।
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		अब हम दूसरा ब्रैकेट खोलते हैं (नीले रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक गुणक होता है - इसलिए कोष्ठक में प्रत्येक पद को इससे गुणा किया जाता है।
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		और अंतिम कोष्ठक खोलें। ब्रैकेट माइनस से पहले - तो सभी संकेत उलट जाते हैं।

ब्रैकेट खोलना गणित में एक बुनियादी कौशल है। इस कौशल के बिना, ग्रेड 8 और 9 में तीन से ऊपर का ग्रेड होना असंभव है। इसलिए मेरा सुझाव है कि आप इस विषय को अच्छी तरह समझ लें।

इस वीडियो में, हम एक ही एल्गोरिथम का उपयोग करके हल किए गए रैखिक समीकरणों के एक पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे - इसलिए उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और उनमें से किसे सबसे सरल कहा जाना चाहिए?

एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री में होता है।

सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:

एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम में घटा दिया जाता है:

1. खुले कोष्ठक, यदि कोई हो;
2. एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक तरफ और बिना चर वाले पदों को दूसरी तरफ ले जाएं;
3. समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान पदों को लाएँ;
4. परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।

बेशक, यह एल्गोरिथ्म हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी, इन सभी साजिशों के बाद, चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:

1. समीकरण का कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, जब आपको $0\cdot x=8$ जैसा कुछ मिलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर एक गैर-शून्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में, हम कई कारणों को देखेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
2. समाधान सभी संख्याएं हैं। यह केवल तभी संभव है जब समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ तक घटा दिया गया हो। यह काफी तार्किक है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी यह "शून्य बराबर शून्य" होगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता।

और अब देखते हैं कि वास्तविक समस्याओं के उदाहरण पर यह सब कैसे काम करता है।

समीकरण हल करने के उदाहरण

आज हम रैखिक समीकरणों से निपटते हैं, और केवल सबसे सरल। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का अर्थ है कोई भी समानता जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।

इस तरह के निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:

1. सबसे पहले, आपको कोष्ठक खोलने की जरूरत है, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
2. फिर समान लाओ
3. अंत में, चर को अलग करें, अर्थात। सब कुछ जो चर के साथ जुड़ा हुआ है - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और इसके बिना जो कुछ भी रहता है वह दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है।

फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद यह केवल "x" के गुणांक से विभाजित करने के लिए रहता है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आपत्तिजनक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, गलतियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय, या "प्लस" और "माइनस" की गिनती करते समय की जाती हैं।

इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता है, या इसलिए कि समाधान पूरी संख्या रेखा है, अर्थात। कोई संख्या। हम आज के पाठ में इन सूक्ष्मताओं का विश्लेषण करेंगे। लेकिन हम शुरू करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, सबसे सरल कार्यों के साथ।

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

आरंभ करने के लिए, मैं एक बार फिर सबसे सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखता हूं:

1. कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
2. एकांत चर, यानी। सब कुछ जिसमें "x" होता है, एक तरफ स्थानांतरित हो जाता है, और "x" के बिना - दूसरी तरफ।
3. हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।
4. हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं।

बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है, इसमें कुछ सूक्ष्मताएं और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

कार्य 1

पहले चरण में, हमें कोष्ठकों को खोलना होगा। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में, हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शर्तों के बारे में बात कर रहे हैं। चलो लिखते है:

हम बाईं और दाईं ओर समान शब्द देते हैं, लेकिन यह पहले ही यहां किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: एक कारक से विभाजित करें:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

यहां हमें जवाब मिला।

कार्य #2

इस कार्य में, हम कोष्ठकों का अवलोकन कर सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:

बाईं ओर और दाईं ओर, हम लगभग समान निर्माण देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। अनुक्रमक चर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।

कार्य #3

तीसरा रैखिक समीकरण पहले से ही अधिक दिलचस्प है:

\[\बाएं(6-x \दाएं)+\बाएं(12+x \दाएं)-\बाएं(3-2x \दाएं)=15\]

यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज से गुणा नहीं किया जाता है, उनके सामने बस अलग-अलग संकेत होते हैं। आइए उन्हें तोड़ दें:

हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण करते हैं:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

आइए गणना करें:

हम अंतिम चरण करते हैं - हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

यदि हम बहुत सरल कार्यों को अनदेखा करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:

• जैसा कि मैंने ऊपर कहा, हर रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल नहीं होता है;
• जड़ें हों तो भी उनमें शून्य प्रवेश कर सकता है - इसमें कोई बुराई नहीं है।

जीरो बाकी के समान ही संख्या है, आप इसमें किसी तरह का भेदभाव न करें या यह मान लें कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।

एक अन्य विशेषता कोष्ठक के विस्तार से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम इसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम के अनुसार खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।

इस सरल तथ्य को समझने से आपको हाई स्कूल में मूर्खतापूर्ण और हानिकारक गलतियाँ करने से बचने में मदद मिलेगी, जब इस तरह के कार्यों को करने की अनुमति नहीं दी जाती है।

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

आइए अधिक जटिल समीकरणों पर चलते हैं। अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात कार्य दिखाई देगा। हालाँकि, आपको इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक के इरादे के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल करते हैं, तो परिवर्तन की प्रक्रिया में एक द्विघात फ़ंक्शन वाले सभी मोनोमियल अनिवार्य रूप से कम हो जाएंगे।

उदाहरण 1

जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:

आइए अब गोपनीयता लेते हैं:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए उत्तर में हम इस प्रकार लिखते हैं:

\[\विविधता \]

या कोई जड़ नहीं।

उदाहरण #2

हम एक ही कदम उठाते हैं। पहला कदम:

आइए एक चर के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस तरह लिखते हैं:

\[\varnothing\],

या कोई जड़ नहीं।

समाधान की बारीकियां

दोनों समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं। इन दो अभिव्यक्तियों के उदाहरण पर, हमने एक बार फिर सुनिश्चित किया कि सरलतम रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक हो सकता है, या कोई नहीं, या असीम रूप से कई हो सकते हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों में बस कोई जड़ें नहीं हैं।

लेकिन मैं आपका ध्यान एक और तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठक के साथ कैसे काम करना है और अगर उनके सामने ऋण चिह्न है तो उन्हें कैसे खोलें। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:

खोलने से पहले, आपको सब कुछ "x" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करें प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा किया जाता है।

और इन प्राथमिक प्रतीत होने वाले, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, ब्रैकेट को इस दृष्टिकोण से खोला जा सकता है कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हाँ, हाँ: केवल अब, जब परिवर्तन किया जाता है, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ नीचे बस संकेत बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।

हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, प्रतीत होने वाले महत्वहीन तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा प्रारंभिक परिवर्तनों का एक क्रम होता है, जहां सरल क्रियाओं को स्पष्ट और सक्षम रूप से करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और ऐसे सरल समीकरणों को फिर से हल करना सीखते हैं।

बेशक, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता में बदल देंगे। अब आपको हर बार इतने ट्रांसफॉर्मेशन नहीं करने हैं, आप सब कुछ एक लाइन में लिख देंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।

और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

अब हम जो हल करने जा रहे हैं, उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।

कार्य 1

\[\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(3x-1 \दाएं)-21((x)^(2))=3\]

आइए पहले भाग में सभी तत्वों को गुणा करें:

आइए एक रिट्रीट करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

आइए अंतिम चरण करें:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है। और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फ़ंक्शन के साथ गुणांक थे, हालांकि, उन्होंने पारस्परिक रूप से रद्द कर दिया, जो समीकरण को बिल्कुल रैखिक बनाता है, वर्ग नहीं।

कार्य #2

\[\बाएं(1-4x \दाएं)\बाएं(1-3x \दाएं)=6x\बाएं(2x-1 \दाएं)\]

आइए पहले चरण को ध्यान से करें: पहले कोष्ठक में प्रत्येक तत्व को दूसरे में प्रत्येक तत्व से गुणा करें। कुल मिलाकर, परिवर्तनों के बाद चार नई शर्तें प्राप्त की जानी चाहिए:

और अब ध्यान से प्रत्येक पद में गुणा करें:

आइए शब्दों को "x" के साथ बाईं ओर ले जाएं, और बिना - दाईं ओर:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

यहाँ समान शब्द हैं:

हमें एक निश्चित उत्तर मिला है।

समाधान की बारीकियां

इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण टिप्पणी यह ​​है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें एक पद से अधिक है, तो यह निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: हम पहले से पहला पद लेते हैं और प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं दूसरे से; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे से प्रत्येक तत्व के साथ गुणा करते हैं। नतीजतन, हमें चार शब्द मिलते हैं।

बीजगणितीय योग पर

अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा मतलब एक साधारण निर्माण से है: हम एक से सात घटाते हैं। बीजगणित में, हमारा मतलब निम्न से है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम "माइनस सात" है। यह बीजीय योग सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।

जैसे ही सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणा करते समय, आप ऊपर वर्णित लोगों के समान निर्माण देखना शुरू करते हैं, बहुपद और समीकरणों के साथ काम करते समय आपको बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।

अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा देखे गए उदाहरणों से भी अधिक जटिल हैं, और उन्हें हल करने के लिए हमें अपने मानक एल्गोरिथम का थोड़ा विस्तार करना होगा।

भिन्न के साथ समीकरण हल करना

ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, हमारे एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं अपने एल्गोरिथ्म को याद दिलाऊंगा:

1. कोष्ठक खोलें।
2. अलग चर।
3. समान लाओ।
4. एक कारक से विभाजित करें।

काश, यह अद्भुत एल्गोरिथ्म, इसकी सभी दक्षता के लिए, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं होता है जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, हमारे पास दोनों समीकरणों में बाईं ओर और दाईं ओर एक भिन्न है।

इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ने की जरूरत है, जिसे पहली क्रिया से पहले और उसके बाद दोनों में किया जा सकता है, अर्थात्, अंशों से छुटकारा पाएं। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. अंशों से छुटकारा पाएं।
2. कोष्ठक खोलें।
3. अलग चर।
4. समान लाओ।
5. एक कारक से विभाजित करें।

"अंशों से छुटकारा पाने" का क्या अर्थ है? और पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों में ऐसा करना क्यों संभव है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न हर के संदर्भ में संख्यात्मक होते हैं, अर्थात। हर जगह भाजक सिर्फ एक संख्या है। इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों भागों को इस संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिलेगा।

उदाहरण 1

\[\frac(\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं))(4)=((x)^(2))-1\]

आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:

\[\frac(\बाएं(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot चार\]

कृपया ध्यान दें: सब कुछ एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो ब्रैकेट हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उनमें से प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। चलो लिखते है:

\[\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)=\बाएं(((x)^(2))-1 \दाएं)\cdot 4\]

अब इसे खोलते हैं:

हम एक चर का एकांतीकरण करते हैं:

हम समान शर्तों को कम करते हैं:

\[-4x=-1\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

हमें अंतिम समाधान मिल गया है, हम दूसरे समीकरण को पास करते हैं।

उदाहरण #2

\[\frac(\बाएं(1-x \दाएं)\बाएं(1+5x \दाएं))(5)+((x)^(2))=1\]

यहां हम सभी समान क्रियाएं करते हैं:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

समस्या हल हो गई।

वास्तव में, मैं आज यही बताना चाहता था।

प्रमुख बिंदु

प्रमुख निष्कर्ष इस प्रकार हैं:

• रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
• कोष्ठक खोलने की क्षमता।
• चिंता न करें अगर कहीं आपके पास द्विघात कार्य हैं, तो सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में, वे कम हो जाएंगे।
• रैखिक समीकरणों में जड़ें, यहां तक ​​​​कि सबसे सरल, तीन प्रकार की होती हैं: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, कोई जड़ें नहीं होती हैं।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सभी गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय में महारत हासिल करने में मदद करेगा। अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो साइट पर जाएं, वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, और भी कई दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!

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संक्षिप्त वर्णन:

इस खंड में, आप उदाहरणों में कोष्ठक खोलना सीखेंगे। ये किसके लिये है? सभी पहले की तरह ही - आपके लिए गिनना आसान और आसान बनाने के लिए, कम गलतियाँ करने के लिए, और आदर्श रूप से (आपके गणित शिक्षक का सपना) ताकि बिना गलतियों के सब कुछ हल किया जा सके।
आप पहले से ही जानते हैं कि गणितीय संकेतन में कोष्ठक रखे जाते हैं यदि दो गणितीय संकेत एक पंक्ति में जाते हैं, यदि हम संख्याओं के संघ, उनकी पुनर्व्यवस्था को दिखाना चाहते हैं। कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है अतिरिक्त वर्णों से छुटकारा पाना। उदाहरण के लिए: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2। क्या आपको योग के संबंध में गुणन का वितरण गुण याद है? वास्तव में, उस उदाहरण में, हमने गणनाओं को सरल बनाने के लिए कोष्ठकों से भी छुटकारा पाया। गुणन के नामित गुण को चार, तीन, पाँच या अधिक पदों पर भी लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. क्या आपने देखा है कि कोष्ठकों को खोलते समय, यदि कोष्ठक के सामने की संख्या धनात्मक है, तो उनमें दी गई संख्याएँ चिह्न नहीं बदलती हैं? आखिर पंद्रह एक धनात्मक संख्या है। और यदि आप इस उदाहरण को हल करते हैं: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390। हमारे पास कोष्ठक के सामने ऋणात्मक संख्या माइनस पंद्रह थी, जब हमने कोष्ठक खोले तो सभी संख्याएँ अपना चिन्ह दूसरे - विपरीत - प्लस से माइनस में बदलने लगीं।
उपरोक्त उदाहरणों के आधार पर, कोष्ठक खोलने के लिए दो बुनियादी नियमों को आवाज दी जा सकती है:
1. यदि आपके पास कोष्ठक के सामने एक धनात्मक संख्या है, तो कोष्ठक खोलने के बाद, कोष्ठक में संख्याओं के सभी चिह्न नहीं बदलते हैं, लेकिन ठीक वैसे ही रहते हैं जैसे वे थे।
2. यदि आपके पास कोष्ठक के सामने एक ऋणात्मक संख्या है, तो कोष्ठक खोलने के बाद ऋण चिह्न नहीं लिखा जाता है, और कोष्ठक में सभी निरपेक्ष संख्याओं के चिह्न तेजी से उलट जाते हैं।
उदाहरण के लिए: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. आइए हमारे उदाहरणों को थोड़ा जटिल करें: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. आपने देखा कि दूसरे कोष्ठकों को खोलने पर हम 2 से गुणा करते हैं, लेकिन संकेत वैसे ही रहे जैसे वे थे। और यहाँ एक उदाहरण है: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, इस उदाहरण में संख्या दो ऋणात्मक है, यह इससे पहले कि कोष्ठक ऋण चिह्न के साथ खड़ा हो, इसलिए, उन्हें खोलते हुए, हमने संख्याओं के संकेतों को विपरीत वाले में बदल दिया (नौ एक प्लस के साथ था, यह माइनस के साथ बन गया, आठ माइनस के साथ था, यह प्लस के साथ बन गया )

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। इस संक्रमण में स्थिरांक के बजाय आवेदन करना शामिल है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, यह समय में मंदी की तरह दिखता है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद नहीं हो जाता जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद वाला खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीज़ कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विराम में होता है, इसलिए वह सदैव विराम में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से समय में अलग-अलग बिंदुओं पर ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखो।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर गौर करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन वह सब नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखते हैं। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे मीटर और सेंटीमीटर में आयत के क्षेत्रफल का निर्धारण करते समय आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... ऊपर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने चमकती डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानता। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। वे लोग जो लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं, स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में देखते हैं।

कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाओं को संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ चर के साथ अभिव्यक्तियों में किया जाता है। कोष्ठक वाले व्यंजक से कोष्ठक के बिना समान रूप से समान व्यंजक में जाना सुविधाजनक होता है। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।

कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम कोष्ठक के साथ प्रारंभिक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और कोष्ठक खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक के बजाय
3−(5−7) हमें व्यंजक 3−5+7 मिलता है। इन दोनों व्यंजकों को समानता 3−(5−7)=3−5+7 के रूप में लिखा जा सकता है।

और एक और महत्वपूर्ण बिंदु। गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथा है कि यदि किसी व्यंजक में या कोष्ठक में यह पहला है तो धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो सकारात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम +7 + 3 नहीं, बल्कि केवल 7 + 3 लिखते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक सकारात्मक संख्या है। इसी तरह, उदाहरण के लिए, यदि आप देखते हैं, अभिव्यक्ति (5 + x) - पता है कि ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है, और इसके सामने प्लस + ​​(+5 + x) है। पांच।

जोड़ने के लिए ब्रैकेट विस्तार नियम

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस है, तो इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक 2 + (7 + 3) में कोष्ठकों को खोलिए, कोष्ठकों में प्लस से पहले, तो कोष्ठकों में संख्याओं के सामने के वर्ण नहीं बदलते हैं।

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

घटाते समय कोष्ठक के विस्तार का नियम

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण है, तो इस ऋण को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो पद कोष्ठक में थे वे उनके संकेत को विपरीत में बदल देते हैं। कोष्ठक में पहले पद से पहले एक चिन्ह की अनुपस्थिति का अर्थ है + चिन्ह।

उदाहरण। व्यंजक 2 - (7 + 3) में कोष्ठक खोलें

कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए आपको कोष्ठक से संख्याओं से पहले संकेतों को बदलने की आवश्यकता है। अंक 7 से पहले कोष्ठक में कोई चिन्ह नहीं है, जिसका अर्थ है कि सात धनात्मक है, यह माना जाता है कि + चिन्ह इसके सामने है।

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

कोष्ठक खोलते समय, हम उदाहरण से ऋण को हटाते हैं, जो कोष्ठक से पहले था, और कोष्ठक स्वयं 2 - (+ 7 + 3), और उन चिह्नों को बदलते हैं जो कोष्ठक में विपरीत वाले थे।

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

गुणा करते समय कोष्ठक का विस्तार करना

यदि कोष्ठक के सामने गुणन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या को कोष्ठक के सामने के गुणनखंड से गुणा किया जाता है। उसी समय, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करना माइनस देता है।

इस प्रकार, गुणन के वितरण गुण के अनुसार उत्पादों में कोष्ठकों का विस्तार किया जाता है।

उदाहरण। 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

वास्तव में, सभी नियमों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह केवल एक को याद रखने के लिए पर्याप्त है: c(a−b)=ca−cb। क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम (a−b)=a−b प्राप्त होता है। और यदि हम घटा एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम -(a−b)=−a+b प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

विभाजित करते समय कोष्ठक का विस्तार करें

यदि कोष्ठक के बाद एक विभाजन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या कोष्ठक के बाद भाजक द्वारा विभाज्य है, और इसके विपरीत।

उदाहरण। (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

नेस्टेड कोष्ठक का विस्तार कैसे करें

यदि व्यंजक में नेस्टेड कोष्ठक हैं, तो वे बाहरी या आंतरिक से प्रारंभ करते हुए क्रम में विस्तारित होते हैं।

उसी समय, किसी एक कोष्ठक को खोलते समय, यह महत्वपूर्ण है कि अन्य कोष्ठकों को स्पर्श न करें, बस उन्हें वैसे ही फिर से लिखें जैसे वे हैं।

उदाहरण। 12 - (ए + (6 - बी) - 3) = 12 - ए - (6 - बी) + 3 = 12 - ए - 6 + बी + 3 = 9 - ए + बी