कहाँ पे एक्स* - अमानवीय प्रणाली के समाधानों में से एक (2) (उदाहरण के लिए (4)), (ई-ए + ए)मैट्रिक्स का कर्नेल (शून्य स्थान) बनाता है ए.

आइए मैट्रिक्स का कंकाल अपघटन करें (ई-ए + ए):

ई-ए + ए = क्यू एस

कहाँ पे क्यू n×n−r- रैंक मैट्रिक्स (क्यू)=n−r, एस n−r×n-रैंक मैट्रिक्स (एस)=n−r.

तब (13) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

एक्स = एक्स * + क्यूके, ∀ क ∈ आर एन-आर।

कहाँ पे कश्मीर = एसजे.

इसलिए, सामान्य समाधान प्रक्रियाछद्म प्रतिलोम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के सिस्टम को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

1. छद्म उलटा मैट्रिक्स की गणना करें ए + .
2. हम रेखीय समीकरण (2) की अमानवीय प्रणाली के एक विशेष समाधान की गणना करते हैं: एक्स*=ए + बी.
3. हम सिस्टम की संगतता की जांच करते हैं। इसके लिए हम गणना करते हैं आ + बी. यदि एक आ + बी≠बी, तो सिस्टम असंगत है। अन्यथा, हम प्रक्रिया जारी रखते हैं।
4. वैस्सिल्याम ई-ए + ए।
5. कंकाल का अपघटन करना ई-ए + ए = क्यू · एस।
6. समाधान का निर्माण

एक्स = एक्स * + क्यूके, ∀ क ∈ आर एन-आर।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को ऑनलाइन हल करना

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान खोजने की अनुमति देता है।

अनुकूलता के लिए रैखिक आयु समीकरणों (एसएलएई) की एक प्रणाली की जांच करने का मतलब यह पता लगाना है कि इस प्रणाली में समाधान हैं या नहीं। ठीक है, अगर समाधान हैं, तो बताएं कि उनमें से कितने हैं।

हमें "रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली। मूल शब्द। मैट्रिक्स नोटेशन" विषय से जानकारी की आवश्यकता होगी। विशेष रूप से, सिस्टम के मैट्रिक्स और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स जैसी अवधारणाओं की आवश्यकता होती है, क्योंकि क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का निर्माण उन पर आधारित है। हमेशा की तरह, सिस्टम के मैट्रिक्स को अक्षर $A$ और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर $\widetilde(A)$ द्वारा दर्शाया जाएगा।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, अर्थात। $\रैंक ए=\रंग\चौड़ाई (ए)$।

मैं आपको याद दिला दूं कि एक प्रणाली को संयुक्त कहा जाता है यदि उसके पास कम से कम एक समाधान है। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय यह कहता है: यदि $\rang A=\rang\widetilde(A)$, तो एक समाधान है; अगर $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, तो इस SLAE का कोई समाधान नहीं है (असंगत है)। इन समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के एक परिणाम द्वारा दिया गया है। उपफल का कथन $n$ अक्षर का उपयोग करता है, जो दिए गए SLAE में चरों की संख्या के बराबर है।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय से कोरोलरी

1. यदि $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, तो SLAE असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।
2. अगर $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. यदि $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, तो SLAE निश्चित है (इसका ठीक एक समाधान है)।

ध्यान दें कि सूत्रित प्रमेय और उसके उपफल यह नहीं दर्शाते हैं कि SLAE का हल कैसे खोजा जाए। उनकी मदद से आप केवल यह पता लगा सकते हैं कि ये समाधान मौजूद हैं या नहीं, और यदि वे मौजूद हैं, तो कितने।

उदाहरण 1

SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42 को एक्सप्लोर करें। \end(aligned) )\right.$ स्थिरता के लिए यदि SLAE सुसंगत है, तो समाधानों की संख्या बताएं।

किसी दिए गए SLAE के समाधान के अस्तित्व का पता लगाने के लिए, हम क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करते हैं। हमें सिस्टम के मैट्रिक्स $A$ और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ की आवश्यकता है, हम उन्हें लिखते हैं:

$$ ए = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) -3 और 9 और -7 \\ -1 और 2 और -4 \\ 4 और -2 और 19 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \ अंत (सरणी) \ दाएं)। $$

हमें $\rang A$ और $\rang\widetilde(A)$ खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ मैट्रिक्स रैंक अनुभाग में सूचीबद्ध हैं। आमतौर पर, ऐसी प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए दो विधियों का उपयोग किया जाता है: "परिभाषा द्वारा मैट्रिक्स के रैंक की गणना" या "प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा मैट्रिक्स के रैंक की गणना"।

विधि संख्या 1। परिभाषा के अनुसार रैंकों की गणना।

परिभाषा के अनुसार, रैंक मैट्रिक्स के नाबालिगों का उच्चतम क्रम है, जिसके बीच शून्य के अलावा कम से कम एक है। आमतौर पर, अध्ययन पहले क्रम के नाबालिगों के साथ शुरू होता है, लेकिन यहां मैट्रिक्स $ ए $ के तीसरे क्रम के नाबालिग की गणना के लिए तुरंत आगे बढ़ना अधिक सुविधाजनक है। तीसरे क्रम के माइनर के तत्व विचाराधीन मैट्रिक्स की तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर हैं। चूंकि मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 कॉलम होते हैं, मैट्रिक्स $A$ का तीसरा ऑर्डर माइनर मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है, अर्थात। $\ डेल्टाए $। निर्धारक की गणना करने के लिए, हम "दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र" विषय से सूत्र संख्या 2 लागू करते हैं:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

तो, मैट्रिक्स $A$ का एक तीसरा-क्रम नाबालिग है, जो शून्य के बराबर नहीं है। चौथे क्रम के नाबालिग की रचना नहीं की जा सकती, क्योंकि इसके लिए 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों की आवश्यकता होती है, और मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ होते हैं। तो, मैट्रिक्स $A$ के नाबालिगों का उच्चतम क्रम, जिसमें कम से कम एक गैर-शून्य एक है, 3 के बराबर है। इसलिए, $\rang A=3$।

हमें $\rang\widetilde(A)$ भी खोजने की जरूरत है। आइए $\widetilde(A)$ मैट्रिक्स की संरचना को देखें। मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ में लाइन तक मैट्रिक्स $A$ के तत्व हैं, और हमने पाया कि $\Delta A\neq 0$। इसलिए, मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ में एक तीसरे क्रम का नाबालिग है जो शून्य के बराबर नहीं है। हम मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ के चौथे क्रम के नाबालिगों की रचना नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang\widetilde(A)=3$।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, $\rang A=\rang\widetilde(A)$ के बाद से, सिस्टम सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है (कम से कम एक)। समाधानों की संख्या को इंगित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $x_1$, $x_2$ और $x_3$। चूँकि अज्ञातों की संख्या $n=3$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, इसलिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, प्रणाली निश्चित है, अर्थात। एक अनूठा समाधान है।

समस्या सुलझ गयी। इस पद्धति के नुकसान और फायदे क्या हैं? सबसे पहले, पेशेवरों के बारे में बात करते हैं। सबसे पहले, हमें केवल एक निर्धारक खोजने की जरूरत थी। उसके बाद, हमने तुरंत समाधानों की संख्या के बारे में निष्कर्ष निकाला। आम तौर पर, मानक विशिष्ट गणनाओं में, समीकरणों की प्रणाली दी जाती है जिसमें तीन अज्ञात होते हैं और एक ही समाधान होता है। ऐसी प्रणालियों के लिए, यह विधि बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि हम पहले से जानते हैं कि एक समाधान है (अन्यथा एक विशिष्ट गणना में कोई उदाहरण नहीं होगा)। वे। हमें केवल एक समाधान के अस्तित्व को सबसे तेज़ तरीके से दिखाने की ज़रूरत है। दूसरे, सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक (यानी $\Delta A$) का परिकलित मान बाद में काम आएगा: जब हम दिए गए सिस्टम को क्रैमर विधि का उपयोग करके या व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल करना शुरू करते हैं।

हालाँकि, परिभाषा के अनुसार, यदि सिस्टम मैट्रिक्स $A$ आयताकार है, तो रैंक की गणना करने की विधि अवांछनीय है। इस मामले में, दूसरी विधि को लागू करना बेहतर है, जिसके बारे में नीचे चर्चा की जाएगी। इसके अलावा, यदि $\Delta A=0$, तो हम किसी दिए गए अमानवीय SLAE के लिए समाधानों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कह पाएंगे। हो सकता है कि SLAE के पास अनंत संख्या में समाधान हों, या शायद कोई नहीं। यदि $\Delta A=0$, तो अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है, जो अक्सर बोझिल होता है।

जो कहा गया है उसे सारांशित करते हुए, मैं ध्यान देता हूं कि पहली विधि उन SLAE के लिए अच्छी है जिनका सिस्टम मैट्रिक्स वर्गाकार है। उसी समय, SLAE में ही तीन या चार अज्ञात होते हैं और इसे मानक मानक गणना या नियंत्रण कार्यों से लिया जाता है।

विधि संख्या 2। प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा रैंक की गणना।

इस विधि को संबंधित विषय में विस्तार से वर्णित किया गया है। हम मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ के रैंक की गणना करेंगे। मैट्रिसेस $\widetilde(A)$ और $A$ क्यों नहीं? मुद्दा यह है कि मैट्रिक्स $A$ मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ का एक हिस्सा है, इसलिए मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ के रैंक की गणना करके हम एक साथ मैट्रिक्स $A$ की रैंक पाएंगे। .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 और 19 और -42 \end(array) \right) \rightarrow \ left|\text(पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें)\दाएं| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end (सरणी) \ दाएँ) \ start (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ II-3 \ cdot I \\ III + 4 \ cdot I \ end (सरणी) \ दायां तीर \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी | सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 और 5 और -10 \\ 0 और 6 और 3 और -6 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ शुरू (सरणी) ( एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ III-2 \ cdot II \ अंत (सरणी) \ दायां तीर \\ और \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी | सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 और 5 और -10 \\ 0 और 0 और -7 और 14 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ अंत (गठबंधन)

हमने मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ को एक समलम्बाकार रूप में घटा दिया है। परिणामी मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right)$ में तीन गैर-शून्य तत्व होते हैं: -1, 3 और -7। निष्कर्ष: मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ की रैंक 3 है, अर्थात। $\रैंक\वाइडटिल्ड (ए)=3$। मैट्रिक्स $\widetilde(A)$ के तत्वों के साथ परिवर्तन करते हुए, हमने एक साथ लाइन से पहले स्थित मैट्रिक्स $A$ के तत्वों को बदल दिया। मैट्रिक्स $A$ भी समलम्बाकार है: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. निष्कर्ष: मैट्रिक्स $A$ की रैंक भी 3 के बराबर है, अर्थात। $\रैंक ए=3$।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, $\rang A=\rang\widetilde(A)$ के बाद से, सिस्टम सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है। समाधानों की संख्या को इंगित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $x_1$, $x_2$ और $x_3$। चूंकि अज्ञात की संख्या $n=3$ है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, इसलिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, सिस्टम को परिभाषित किया गया है, अर्थात। एक अनूठा समाधान है।

दूसरी विधि के क्या फायदे हैं? मुख्य लाभ इसकी बहुमुखी प्रतिभा है। इससे हमें कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिस्टम का मैट्रिक्स वर्गाकार है या नहीं। इसके अलावा, हमने वास्तव में गॉस पद्धति के परिवर्तनों को आगे बढ़ाया है। केवल कुछ ही चरण शेष हैं, और हम इस SLAE का समाधान प्राप्त कर सकते हैं। सच कहूं, तो मुझे दूसरा तरीका पहले से ज्यादा पसंद है, लेकिन पसंद स्वाद का मामला है।

जवाब: दिया गया SLAE सुसंगत और परिभाषित है।

उदाहरण #2

SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- को एक्सप्लोर करें 2x_2+5x_3=1;\\ और 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(गठबंधन) \right.$ निरंतरता के लिए।

हम प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा सिस्टम मैट्रिक्स और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक पाएंगे। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 और 3 और 2 \\ 3 और -2 और 5 और 1 \\ 2 और -3 और 5 और -4 \end(सरणी) \दाएं)$। आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को बदलकर आवश्यक रैंक खोजें:

सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स एक चरणबद्ध रूप में कम हो गया है। यदि मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में घटाया जाता है, तो इसकी रैंक गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। इसलिए, $\रैंक ए=3$। मैट्रिक्स $A$ (पंक्ति तक) को एक समलम्बाकार रूप में घटाया जाता है और इसकी रैंक 2, $\rang A=2$ के बराबर होती है।

चूंकि $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, फिर, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, सिस्टम असंगत है (यानी, कोई समाधान नहीं है)।

जवाब: प्रणाली असंगत है।

उदाहरण #3

SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 को एक्सप्लोर करें ;\\ और -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ और 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(गठबंधन) \right.$ अनुकूलता के लिए।

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स है: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 और 17 \\ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64 \\ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \\ 7 और -17 और 23 और 0 और 15 और 132 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $। इस मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें ताकि पहली पंक्ति का पहला तत्व एक हो: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 और 0 और 7 और -5 और 11 और 42 \\ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64 \\ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \\ 7 और -17 और 23 और 0 और 15 और 132 \end(array) \right)$।

हमने सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स और सिस्टम के मैट्रिक्स को ही एक समलम्बाकार रूप में कम कर दिया है। सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर होती है, सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर होती है। चूंकि सिस्टम में $n=5$ अज्ञात हैं, अर्थात। $\rang\widetilde(ए)=\रैंक ए< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

जवाब: प्रणाली अनिश्चित है।

दूसरे भाग में, हम उन उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे जो अक्सर उच्च गणित में मानक गणना या परीक्षणों में शामिल होते हैं: इसमें शामिल मापदंडों के मूल्यों के आधार पर संगतता और SLAE को हल करने का अध्ययन।

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से निपटना जारी रखते हैं। अब तक, हमने उन प्रणालियों पर विचार किया है जिनका एक अनूठा समाधान है। ऐसी प्रणालियों को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है: प्रतिस्थापन विधि("विद्यालय") क्रैमर के सूत्रों द्वारा, मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि. हालाँकि, दो और मामले व्यवहार में व्यापक हैं जब:

1) प्रणाली असंगत है (कोई समाधान नहीं है);

2) प्रणाली के असीम रूप से कई समाधान हैं।

इन प्रणालियों के लिए, सभी समाधान विधियों में सबसे सार्वभौमिक उपयोग किया जाता है - गॉस विधि. वास्तव में, "स्कूल" विधि भी उत्तर की ओर ले जाएगी, लेकिन उच्च गणित में अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की गाऊसी पद्धति का उपयोग करने की प्रथा है। जो लोग गॉस विधि एल्गोरिथ्म से परिचित नहीं हैं, कृपया पहले पाठ का अध्ययन करें गॉस विधि

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन स्वयं बिल्कुल समान हैं, अंतर समाधान के अंत में होगा। सबसे पहले, कुछ उदाहरणों पर विचार करें जहां सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत)।

उदाहरण 1

इस प्रणाली में आपकी नज़र तुरंत क्या है? समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से कम होती है। एक प्रमेय है जो कहता है: "यदि सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर की संख्या से कम है, तो प्रणाली या तो असंगत है या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं।और यह केवल पता लगाने के लिए बनी हुई है।

समाधान की शुरुआत काफी सामान्य है - हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

(एक)। ऊपरी बाएँ चरण पर, हमें (+1) या (-1) प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहले कॉलम में ऐसी कोई संख्या नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से काम नहीं चलेगा। इकाई को स्वतंत्र रूप से संगठित करना होगा, और यह कई तरीकों से किया जा सकता है। हमने ऐसा किया। पहली पंक्ति में हम तीसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (-1) से गुणा किया जाता है।

(2). अब हमें पहले कॉलम में दो शून्य मिलते हैं। दूसरी पंक्ति में, पहली पंक्ति जोड़ें, 3 से गुणा करें। तीसरी पंक्ति में, पहली जोड़ें, 5 से गुणा करें।

(3). परिवर्तन हो जाने के बाद, हमेशा यह देखने की सलाह दी जाती है कि क्या परिणामी तारों को सरल बनाना संभव है? कर सकना। हम दूसरी पंक्ति को 2 से विभाजित करते हैं, उसी समय दूसरे चरण पर वांछित एक (-1) प्राप्त करते हैं। तीसरी पंक्ति को (-3) से विभाजित करें।

(4). दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें। शायद, सभी ने खराब रेखा पर ध्यान दिया, जो प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप निकला:

. स्पष्ट है कि ऐसा नहीं हो सकता।

दरअसल, हम परिणामी मैट्रिक्स को फिर से लिखते हैं

रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर वापस:

यदि प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्रपत्र की एक स्ट्रिंग , कहाँ पेλ एक गैर-शून्य संख्या है, तो सिस्टम असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।

किसी कार्य के अंत को कैसे रिकॉर्ड करें? आपको वाक्यांश लिखना होगा:

"प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, प्रपत्र की एक स्ट्रिंग प्राप्त होती है, जहां λ ≠ 0 ". उत्तर: "सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत)।"

कृपया ध्यान दें कि इस मामले में गॉसियन एल्गोरिथम की कोई उलटी चाल नहीं है, कोई समाधान नहीं है और खोजने के लिए बस कुछ भी नहीं है।

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

फिर से, हम आपको याद दिलाते हैं कि आपका समाधान पथ हमारे समाधान पथ से भिन्न हो सकता है, गॉस विधि एक स्पष्ट एल्गोरिथम सेट नहीं करती है, आपको प्रत्येक मामले में स्वयं प्रक्रिया और कार्यों का अनुमान लगाना चाहिए।

समाधान की एक और तकनीकी विशेषता: प्राथमिक परिवर्तनों को रोका जा सकता है तुरंत, जैसे ही कोई लाइन पसंद आती है , जहाँ λ ≠ 0 . एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें: मान लीजिए कि पहले परिवर्तन के बाद हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

.

यह मैट्रिक्स अभी तक एक चरणबद्ध रूप में कम नहीं हुआ है, लेकिन आगे के प्रारंभिक परिवर्तनों की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि फॉर्म की एक पंक्ति दिखाई दी है, जहां λ ≠ 0 . इसका तुरंत उत्तर दिया जाना चाहिए कि सिस्टम असंगत है।

जब रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का कोई समाधान नहीं होता है, तो यह छात्र के लिए लगभग एक उपहार है, क्योंकि एक संक्षिप्त समाधान प्राप्त होता है, कभी-कभी शाब्दिक रूप से 2-3 चरणों में। लेकिन इस दुनिया में सब कुछ संतुलित है, और जिस समस्या में सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं, वह अभी लंबी है।

उदाहरण 3:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

4 समीकरण और 4 अज्ञात हैं, इसलिए सिस्टम में या तो एक ही समाधान हो सकता है, या कोई समाधान नहीं हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। जो कुछ भी था, लेकिन गॉस पद्धति किसी भी मामले में हमें उत्तर की ओर ले जाएगी। यह इसकी बहुमुखी प्रतिभा है।

शुरुआत फिर से मानक है। हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

बस इतना ही, और तुम डर गए।

(एक)। कृपया ध्यान दें कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, इसलिए ऊपरी बाएँ चरण पर हम एक ड्यूस से भी संतुष्ट हैं। दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को (-4) से गुणा करते हैं। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को (-2) से गुणा करते हैं। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करते हैं।

ध्यान!चौथी पंक्ति से कई लोगों को लुभाया जा सकता है घटानापहली पंक्ति। यह किया जा सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है, अनुभव से पता चलता है कि गणना में त्रुटि की संभावना कई गुना बढ़ जाती है। हम बस जोड़ते हैं: चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, (-1) से गुणा करते हैं - बिल्कुल!

(2). अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, उनमें से दो को हटाया जा सकता है। यहां फिर से दिखाना जरूरी है बढ़ा हुआ ध्यान, लेकिन क्या रेखाएँ वास्तव में समानुपाती होती हैं? पुनर्बीमा के लिए, दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करना और चौथी पंक्ति को 2 से विभाजित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा, जिसके परिणामस्वरूप तीन समान पंक्तियाँ होंगी। और उसके बाद ही उनमें से दो को हटा दें। प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स एक चरणबद्ध रूप में कम हो जाता है:

एक नोटबुक में कार्य पूरा करते समय, स्पष्टता के लिए पेंसिल में समान नोट्स बनाने की सलाह दी जाती है।

हम समीकरणों की संगत प्रणाली को फिर से लिखते हैं:

सिस्टम का "सामान्य" एकमात्र समाधान यहां गंध नहीं करता है। खराब लाइन जहां λ ≠ 0, भी नहीं। इसलिए, यह तीसरा शेष मामला है - सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

सिस्टम के समाधान के अनंत सेट को तथाकथित के रूप में संक्षेप में लिखा गया है सामान्य प्रणाली समाधान.

हम गॉस विधि की उलटी गति का उपयोग करके निकाय का सामान्य हल ज्ञात करेंगे। समाधान के अनंत सेट वाले समीकरण प्रणालियों के लिए, नई अवधारणाएँ दिखाई देती हैं: "मूल चर"और "मुक्त चर". सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि हमारे पास कौन से चर हैं बुनियादी, और क्या चर - नि: शुल्क. रैखिक बीजगणित की शर्तों को विस्तार से समझाने की आवश्यकता नहीं है, यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे हैं आधार चरऔर मुक्त चर.

मूल चर हमेशा मैट्रिक्स के चरणों पर सख्ती से "बैठते हैं". इस उदाहरण में, आधार चर हैं एक्स 1 और एक्स 3 .

मुक्त चर सब कुछ हैं बचा हुआवेरिएबल्स जिन्हें एक कदम नहीं मिला। हमारे मामले में, दो हैं: एक्स 2 और एक्स 4 - मुक्त चर।

अब आपको चाहिए सबआधार चरव्यक्त करना केवल भीतर सेमुक्त चर. गाऊसी एल्गोरिथ्म का उल्टा कदम परंपरागत रूप से नीचे से ऊपर तक काम करता है। प्रणाली के दूसरे समीकरण से, हम मूल चर को व्यक्त करते हैं एक्स 3:

अब पहले समीकरण को देखें: . सबसे पहले, हम इसमें मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

यह मूल चर को व्यक्त करने के लिए बनी हुई है एक्स 1 मुक्त चर के माध्यम से एक्स 2 और एक्स 4:

परिणाम वही है जो आपको चाहिए - सबआधार चर ( एक्स 1 और एक्स 3) व्यक्त केवल भीतर सेमुक्त चर ( एक्स 2 और एक्स 4):

दरअसल, सामान्य समाधान तैयार है:

.

सामान्य समाधान कैसे लिखें? सबसे पहले, मुक्त चर को सामान्य समाधान में "अपने दम पर" और सख्ती से उनके स्थानों पर लिखा जाता है। इस मामले में, मुक्त चर एक्स 2 और एक्स 4 को दूसरे और चौथे स्थान पर लिखा जाना चाहिए:

.

मूल चर के लिए परिणामी व्यंजक और स्पष्ट रूप से पहले और तीसरे स्थान पर लिखे जाने की आवश्यकता है:

प्रणाली के सामान्य समाधान से, कोई भी असीम रूप से कई पा सकता है निजी निर्णय. यह बहुत सरल है। मुक्त चर एक्स 2 और एक्स 4 इसलिए कहा जाता है क्योंकि उन्हें दिया जा सकता है कोई अंतिम मान. सबसे लोकप्रिय मान शून्य मान हैं, क्योंकि यह किसी विशेष समाधान को प्राप्त करने का सबसे आसान तरीका है।

प्रतिस्थापन ( एक्स 2 = 0; एक्स 4 = 0) सामान्य समाधान में, हमें एक विशेष समाधान मिलता है:

, या मूल्यों के साथ मुक्त चर के अनुरूप एक विशेष समाधान है ( एक्स 2 = 0; एक्स 4 = 0).

एक और प्यारा जोड़ा है, चलो स्थानापन्न करें ( एक्स 2 = 1 और एक्स 4 = 1) सामान्य समाधान में:

, यानी (-1; 1; 1; 1) एक और विशेष समाधान है।

यह देखना आसान है कि समीकरणों की प्रणाली में है असीम रूप से कई समाधानचूंकि हम मुफ्त चर दे सकते हैं कोई भीमूल्य।

प्रत्येकएक विशेष समाधान को संतुष्ट करना चाहिए प्रत्येक के लिएप्रणाली समीकरण। यह समाधान की शुद्धता की "त्वरित" जांच का आधार है। उदाहरण के लिए, एक विशेष समाधान (-1; 1; 1; 1) लें और इसे मूल प्रणाली में प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

सब कुछ एक साथ आना है। और किसी विशेष समाधान के साथ, सब कुछ भी अभिसरण होना चाहिए।

कड़ाई से बोलते हुए, किसी विशेष समाधान का सत्यापन कभी-कभी धोखा देता है, अर्थात। कुछ विशेष समाधान प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट कर सकते हैं, और सामान्य समाधान वास्तव में गलत तरीके से पाया जाता है। इसलिए, सबसे पहले, सामान्य समाधान का सत्यापन अधिक गहन और विश्वसनीय है।

परिणामी सामान्य समाधान की जांच कैसे करें ?

यह मुश्किल नहीं है, लेकिन इसके लिए काफी लंबे बदलाव की जरूरत है। हमें भाव लेने की जरूरत है बुनियादीचर, इस मामले में और, और उन्हें सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर स्थानापन्न करें।

सिस्टम के पहले समीकरण के बाईं ओर:

निकाय के मूल प्रथम समीकरण का दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।

सिस्टम के दूसरे समीकरण के बाईं ओर:

निकाय के मूल द्वितीय समीकरण का दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।

और आगे - सिस्टम के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ भागों में। यह जांच लंबी है, लेकिन यह समग्र समाधान की 100% शुद्धता की गारंटी देती है। इसके अलावा, कुछ कार्यों में सामान्य समाधान की जांच करना आवश्यक है।

उदाहरण 4:

गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। एक सामान्य समाधान और दो निजी समाधान खोजें। समग्र समाधान की जाँच करें।

यह स्वयं का उदाहरण है। यहाँ, वैसे, फिर से समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम है, जिसका अर्थ है कि यह तुरंत स्पष्ट है कि सिस्टम या तो असंगत होगा या उसके पास अनंत संख्या में समाधान होंगे।

उदाहरण 5:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें। यदि सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं, तो दो विशेष समाधान खोजें और सामान्य समाधान की जांच करें

फेसला:आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं:

(एक)। पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं।

(2). तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (-5) से गुणा किया जाता है। चौथी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (-7) से गुणा किया जाता है।

(3). तीसरी और चौथी पंक्तियाँ समान हैं, हम उनमें से एक को हटा देते हैं। यहाँ ऐसी सुंदरता है:

आधार चर चरणों पर बैठते हैं, इसलिए वे आधार चर हैं।

केवल एक मुक्त चर है, जिसे एक कदम नहीं मिला:।

(4). उलटी चाल। हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करते हैं:

तीसरे समीकरण से:

दूसरे समीकरण पर विचार करें और उसमें पाए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करें:

, , ,

पहले समीकरण पर विचार करें और पाए गए भावों को और उसमें स्थानापन्न करें:

इस प्रकार, एक मुक्त चर के साथ सामान्य समाधान एक्स 4:

एक बार फिर, यह कैसे हुआ? मुक्त चर एक्स 4 अकेले अपने सही चौथे स्थान पर बैठता है। मूल चरों के लिए परिणामी व्यंजक भी अपने स्थान पर हैं।

आइए तुरंत सामान्य समाधान की जांच करें।

हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर मूल चर को प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों के संगत दाहिने हाथ प्राप्त होते हैं, इस प्रकार, सही सामान्य समाधान पाया जाता है।

अब पाए गए सामान्य समाधान से हमें दो विशेष समाधान मिलते हैं। सभी चर यहाँ एक के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं मुक्त चर x 4. आपको अपना सिर तोड़ने की जरूरत नहीं है।

रहने दो एक्स 4 = 0, तब पहला विशेष उपाय है।

रहने दो एक्स 4 = 1, तो एक और विशेष उपाय है।

जवाब:सामान्य निर्णय: . निजी समाधान:

और ।

उदाहरण 6:

रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हमने पहले ही सामान्य समाधान की जाँच कर ली है, उत्तर पर भरोसा किया जा सकता है। आपकी कार्रवाई का तरीका हमारी कार्रवाई से भिन्न हो सकता है। मुख्य बात यह है कि सामान्य समाधान मेल खाते हैं। शायद, कई लोगों ने समाधानों में एक अप्रिय क्षण देखा है: बहुत बार, गॉस पद्धति के विपरीत पाठ्यक्रम के दौरान, हमें साधारण अंशों के साथ खिलवाड़ करना पड़ता था। व्यवहार में, यह सच है, ऐसे मामले जहां कोई भिन्न नहीं हैं, बहुत कम आम हैं। मानसिक रूप से तैयार रहें, और सबसे महत्वपूर्ण, तकनीकी रूप से।

आइए हम समाधान की विशेषताओं पर ध्यान दें जो हल किए गए उदाहरणों में नहीं पाए गए। सिस्टम के सामान्य समाधान में कभी-कभी स्थिर (या स्थिरांक) शामिल हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सामान्य समाधान: . यहां एक मूल चर एक स्थिर संख्या के बराबर है: . इसमें कुछ भी विदेशी नहीं है, ऐसा होता है। जाहिर है, इस मामले में, किसी विशेष समाधान में पहली स्थिति में पांच होगा।

शायद ही कभी, लेकिन ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें समीकरणों की संख्या अधिक मात्राचर. हालांकि, गॉस विधि सबसे गंभीर परिस्थितियों में काम करती है। आपको मानक एल्गोरिथ्म के अनुसार सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में शांति से लाना चाहिए। ऐसी प्रणाली असंगत हो सकती है, असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं, और विचित्र रूप से पर्याप्त, एक अद्वितीय समाधान हो सकता है।

हम अपनी सलाह में दोहराते हैं - गॉस पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करते समय सहज महसूस करने के लिए, आपको अपना हाथ भरना चाहिए और कम से कम एक दर्जन प्रणालियों को हल करना चाहिए।

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:

फेसला:आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं।

प्रदर्शन प्राथमिक परिवर्तन:

(1) पहली और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है।

(2) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे (-6) से गुणा किया गया। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे (-7) से गुणा किया गया।

(3) दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, प्रपत्र की एक स्ट्रिंग, कहाँ पे λ ≠ 0 .इसलिए व्यवस्था असंगत है।जवाब: कोई समाधान नहीं हैं।

उदाहरण 4:

फेसला:हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण:

(एक)। पहली पंक्ति को 2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे चरण के लिए कोई इकाई नहीं है , और परिवर्तन (2) का उद्देश्य इसे प्राप्त करना है।

(2). दूसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3). दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई (परिणामस्वरूप -1 को दूसरे चरण में ले जाया गया)

(4). दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, 3 से गुणा किया गया।

(5). पहली दो पंक्तियों का चिह्न बदल दिया गया था (-1 से गुणा), तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

(एक)। यहां मूल चर हैं (जो चरणों पर हैं), और मुक्त चर हैं (जिन्हें चरण नहीं मिला)।

(2). हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करते हैं:

तीसरे समीकरण से: .

(3). दूसरे समीकरण पर विचार करें:, विशेष समाधान:

जवाब: सामान्य निर्णय:

जटिल आंकड़े

इस खंड में, हम अवधारणा का परिचय देंगे जटिल संख्या, विचार करना बीजगणितीय, त्रिकोणमितीयऔर फॉर्म दिखाओजटिल संख्या। हम यह भी सीखेंगे कि जटिल संख्याओं के साथ संचालन कैसे करें: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और जड़ निष्कर्षण।

जटिल संख्याओं में महारत हासिल करने के लिए, आपको उच्च गणित के पाठ्यक्रम से किसी विशेष ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, और सामग्री एक स्कूली बच्चे के लिए भी उपलब्ध है। यह "साधारण" संख्याओं के साथ बीजगणितीय संचालन करने और त्रिकोणमिति को याद रखने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त है।

सबसे पहले, आइए "साधारण" नंबरों को याद रखें। गणित में इन्हें कहा जाता है वास्तविक संख्याओं का समुच्चयऔर पत्र के साथ चिह्नित हैं आर,या आर (मोटा)। सभी वास्तविक संख्याएँ परिचित संख्या रेखा पर बैठती हैं:

वास्तविक संख्याओं की कंपनी बहुत रंगीन है - यहाँ पूर्णांक, और भिन्न, और अपरिमेय संख्याएँ हैं। इस मामले में, संख्यात्मक अक्ष का प्रत्येक बिंदु आवश्यक रूप से कुछ वास्तविक संख्या से मेल खाता है।

§एक। रैखिक समीकरणों की प्रणाली।

सिस्टम देखें

एक प्रणाली कहा जाता है एमके साथ रैखिक समीकरण एनअनजान।

यहां
- अनजान, - अज्ञात के लिए गुणांक,
- समीकरणों के मुक्त सदस्य।

यदि समीकरणों के सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों, तो निकाय कहलाता है सजातीय.फेसलाप्रणाली को संख्याओं का समुच्चय कहा जाता है
, जब उन्हें अज्ञात के बजाय सिस्टम में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं। सिस्टम कहा जाता है संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। अद्वितीय विलयन वाली संयुक्त प्रणाली कहलाती है निश्चित. दो प्रणालियों को कहा जाता है समकक्षयदि उनके समाधान के सेट समान हैं।

सिस्टम (1) को समीकरण का उपयोग करके मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है

(2)

.

2. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की संगतता।

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को कहते हैं (1) मैट्रिक्स

क्रोनकर - कैपेली प्रमेय. सिस्टम (1) सुसंगत है यदि और केवल तभी जब सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो:

.

3. सिस्टम समाधानएन के साथ रैखिक समीकरणएन अनजान।

एक अमानवीय प्रणाली पर विचार करें एनके साथ रैखिक समीकरण एनअनजान:

(3)

क्रैमर का प्रमेय.यदि प्रणाली का मुख्य निर्धारक (3)
, तो सिस्टम के पास सूत्रों द्वारा निर्धारित एक अनूठा समाधान होता है:

वे।
,

कहाँ पे - निर्धारक से प्राप्त निर्धारक प्रतिस्थापन मुक्त सदस्यों के स्तंभ का वां स्तंभ।

यदि एक
, और कम से कम एक 0, तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

यदि एक
, तो सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

सिस्टम (3) को इसके मैट्रिक्स नोटेशन (2) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यदि मैट्रिक्स की रैंक लेकिनबराबरी एन, अर्थात।
, फिर मैट्रिक्स लेकिनएक उलटा है
. मैट्रिक्स समीकरण गुणा करना
मैट्रिक्स के लिए
बाईं ओर, हमें मिलता है:

.

अंतिम समानता व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने का एक तरीका व्यक्त करती है।

उदाहरण।व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

फेसला। आव्यूह
गैर-पतित, क्योंकि
, इसलिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। आइए व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करें:
.

,

व्यायाम. क्रैमर विधि द्वारा तंत्र को हल करें।

4. रैखिक समीकरणों की मनमानी प्रणालियों का समाधान।

मान लीजिए (1) के रूप के रैखिक समीकरणों का एक अमानवीय निकाय दिया गया है।

आइए मान लें कि प्रणाली सुसंगत है, अर्थात। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय की शर्त पूरी होती है:
. यदि मैट्रिक्स की रैंक
(अज्ञात की संख्या के लिए), तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है। यदि एक
, तो सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं। आइए समझाएं।

मान लीजिए मैट्रिक्स की रैंक आर(ए)= आर< एन. जहां तक ​​कि
, तो क्रम के कुछ गैर-शून्य नाबालिग मौजूद हैं आर. आइए इसे मूल नाबालिग कहते हैं। वे अज्ञात जिनके गुणांक मूल अवयस्क बनाते हैं, मूल चर कहलाते हैं। शेष अज्ञात को मुक्त चर कहा जाता है। हम समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं और चरों को फिर से क्रमित करते हैं ताकि यह नाबालिग सिस्टम मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने में स्थित हो:

.

प्रथम आरपंक्तियाँ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, शेष उनके माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। इसलिए, इन पंक्तियों (समीकरणों) को त्याग दिया जा सकता है। हम पाते हैं:

आइए मुक्त चरों को मनमाना संख्यात्मक मान दें: . हम बाईं ओर केवल मूल चर छोड़ते हैं, और मुक्त चर को दाईं ओर ले जाते हैं।

एक सिस्टम मिल गया आरके साथ रैखिक समीकरण आरअज्ञात है, जिसका सारणिक 0 से भिन्न है। इसका एक अनूठा हल है।

इस प्रणाली को रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल (1) कहा जाता है। अन्यथा: मुक्त चरों के रूप में मूल चरों का व्यंजक कहलाता है सामान्य समाधानसिस्टम इससे आप एक अनंत संख्या प्राप्त कर सकते हैं निजी निर्णय, मुक्त चरों को मनमाना मान देना। मुक्त चरों के शून्य मानों पर एक सामान्य से प्राप्त एक विशेष समाधान कहलाता है मूल समाधान. विभिन्न बुनियादी समाधानों की संख्या से अधिक नहीं है
. गैर-ऋणात्मक घटकों वाला एक मूल समाधान कहलाता है केंद्रीयसिस्टम समाधान।

उदाहरण.

,आर=2.

चर
- बुनियादी,
- नि: शुल्क।

आइए समीकरण जोड़ें; व्यक्त करना
के माध्यम से
:

- आम निर्णय।

- निजी समाधान
.

- मूल समाधान, बुनियादी।

5. गॉस विधि।

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की मनमानी प्रणालियों के अध्ययन और समाधान के लिए एक सार्वभौमिक विधि है। इसमें सिस्टम की समानता का उल्लंघन नहीं करने वाले प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन द्वारा सिस्टम को एक विकर्ण (या त्रिकोणीय) रूप में लाना शामिल है। एक चर को बहिष्कृत माना जाता है यदि यह 1 के गुणांक वाले सिस्टम के केवल एक समीकरण में समाहित हो।

प्राथमिक परिवर्तनसिस्टम हैं:

एक गैर-शून्य संख्या से समीकरण को गुणा करना;

एक समीकरण को किसी अन्य समीकरण से किसी भी संख्या से गुणा करने पर जोड़ना;

समीकरणों की पुनर्व्यवस्था;

समीकरण 0 = 0 गिराना।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों पर नहीं, बल्कि परिणामी समकक्ष प्रणालियों के विस्तारित मैट्रिक्स पर किए जा सकते हैं।

उदाहरण.

फेसला।हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं:

.

प्राथमिक परिवर्तन करते हुए, हम मैट्रिक्स के बाईं ओर को इकाई रूप में लाते हैं: हम मुख्य विकर्ण पर इकाइयाँ बनाएंगे, और इसके बाहर शून्य।

टिप्पणी. यदि, प्राथमिक परिवर्तन करते समय, 0 . के रूप का एक समीकरण = के(कहाँ पे को0), तो सिस्टम असंगत है।

अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान को फॉर्म में औपचारिक रूप दिया जा सकता है टेबल.

तालिका के बाएं कॉलम में बहिष्कृत (मूल) चर के बारे में जानकारी है। शेष स्तंभों में अज्ञात के गुणांक और समीकरणों के मुक्त पद हैं।

सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स स्रोत तालिका में लिखा गया है। अगला, जॉर्डन परिवर्तनों के कार्यान्वयन के लिए आगे बढ़ें:

1. एक चर चुनें , जो आधार बनेगा। संबंधित कॉलम को कुंजी कॉलम कहा जाता है। एक समीकरण चुनें जिसमें यह चर रहेगा, अन्य समीकरणों से बाहर रखा जा रहा है। संबंधित तालिका पंक्ति को कुंजी पंक्ति कहा जाता है। गुणक कुंजी पंक्ति और कुंजी कॉलम के चौराहे पर खड़े होने को कुंजी कहा जाता है।

2. कुंजी स्ट्रिंग के तत्वों को कुंजी तत्व द्वारा विभाजित किया जाता है।

3. कुंजी कॉलम शून्य से भरा है।

4. शेष तत्वों की गणना आयत नियम के अनुसार की जाती है। वे एक आयत बनाते हैं, जिसके विपरीत कोने में एक प्रमुख तत्व और एक पुनर्गणना तत्व होता है; मुख्य तत्व के साथ आयत के विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद से, दूसरे विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अंतर को प्रमुख तत्व से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण. समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान और मूल समाधान खोजें:

फेसला।

प्रणाली का सामान्य समाधान:

मूल समाधान:
.

एक बार का प्रतिस्थापन परिवर्तन एक को सिस्टम के एक आधार से दूसरे में जाने की अनुमति देता है: मुख्य चर में से एक के बजाय, एक मुक्त चर को आधार में पेश किया जाता है। ऐसा करने के लिए, मुक्त चर कॉलम में एक प्रमुख तत्व का चयन किया जाता है और उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार परिवर्तन किए जाते हैं।

6. समर्थन समाधान ढूँढना

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का संदर्भ समाधान एक बुनियादी समाधान है जिसमें नकारात्मक घटक नहीं होते हैं।

सिस्टम के समर्थन समाधान गॉस विधि द्वारा निम्नलिखित परिस्थितियों में पाए जाते हैं।

1. मूल प्रणाली में, सभी मुक्त शर्तें गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए:
.

2. प्रमुख तत्व को सकारात्मक गुणांकों में से चुना जाता है।

3. यदि आधार में पेश किए गए चर में कई सकारात्मक गुणांक हैं, तो कुंजी स्ट्रिंग वह है जिसमें मुक्त पद और धनात्मक गुणांक का अनुपात सबसे छोटा होता है।

टिप्पणी 1. यदि, अज्ञात को समाप्त करने की प्रक्रिया में, एक समीकरण प्रकट होता है जिसमें सभी गुणांक गैर-सकारात्मक होते हैं, और मुक्त शब्द
, तो सिस्टम के पास कोई गैर-नकारात्मक समाधान नहीं है।

टिप्पणी 2. यदि मुक्त चर के लिए गुणांक के कॉलम में एक भी सकारात्मक तत्व नहीं है, तो दूसरे संदर्भ समाधान में संक्रमण असंभव है।

उदाहरण।

हालाँकि, दो और मामले व्यवहार में व्यापक हैं:

- प्रणाली असंगत है (कोई समाधान नहीं है);
प्रणाली सुसंगत है और इसके असीम रूप से कई समाधान हैं।

टिप्पणी : शब्द "संगति" का तात्पर्य है कि सिस्टम के पास कम से कम कुछ समाधान है। कई कार्यों में, संगतता के लिए सिस्टम की प्रारंभिक जांच करना आवश्यक है, यह कैसे करना है - पर लेख देखें मैट्रिक्स रैंक.

इन प्रणालियों के लिए, सभी समाधान विधियों में सबसे सार्वभौमिक उपयोग किया जाता है - गॉस विधि. वास्तव में, "स्कूल" विधि भी उत्तर की ओर ले जाएगी, लेकिन उच्च गणित में अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की गाऊसी पद्धति का उपयोग करने की प्रथा है। जो लोग गॉस विधि एल्गोरिथ्म से परिचित नहीं हैं, कृपया पहले पाठ का अध्ययन करें डमी के लिए गॉस विधि.

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन स्वयं बिल्कुल समान हैं, अंतर समाधान के अंत में होगा। सबसे पहले, कुछ उदाहरणों पर विचार करें जहां सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत)।

उदाहरण 1

इस प्रणाली में आपकी नज़र तुरंत क्या है? समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से कम होती है। यदि समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से कम है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि प्रणाली या तो असंगत है या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं। और यह केवल पता लगाने के लिए बनी हुई है।

समाधान की शुरुआत काफी सामान्य है - हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

(1) ऊपरी बाएँ चरण पर, हमें +1 या -1 प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहले कॉलम में ऐसी कोई संख्या नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से काम नहीं चलेगा। इकाई को स्वतंत्र रूप से संगठित करना होगा, और यह कई तरीकों से किया जा सकता है। मैंने यह किया: पहली पंक्ति में, तीसरी पंक्ति जोड़ें, -1 से गुणा करें।

(2) अब हमें पहले कॉलम में दो शून्य मिलते हैं। दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 5 से गुणा करते हैं।

(3) परिवर्तन हो जाने के बाद, यह देखना हमेशा उचित होता है कि क्या परिणामी तारों को सरल बनाना संभव है? कर सकना। हम दूसरी पंक्ति को 2 से विभाजित करते हैं, उसी समय दूसरे चरण पर वांछित -1 प्राप्त करते हैं। तीसरी पंक्ति को -3 से विभाजित करें।

(4) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें।

शायद, सभी ने खराब रेखा पर ध्यान दिया, जो प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप निकला: . स्पष्ट है कि ऐसा नहीं हो सकता। दरअसल, हम परिणामी मैट्रिक्स को फिर से लिखते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर वापस:

यदि, प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, फॉर्म की एक स्ट्रिंग प्राप्त होती है, जहां एक गैर-शून्य संख्या है, तो सिस्टम असंगत है (कोई समाधान नहीं है)।

किसी कार्य के अंत को कैसे रिकॉर्ड करें? आइए सफेद चाक के साथ आकर्षित करें: "प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, फॉर्म की एक पंक्ति प्राप्त होती है, जहां" और उत्तर दें: सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत)।

यदि, शर्त के अनुसार, संगतता के लिए प्रणाली का अन्वेषण करना आवश्यक है, तो अवधारणा को शामिल करते हुए अधिक ठोस शैली में समाधान जारी करना आवश्यक है मैट्रिक्स रैंक और क्रोनकर-कैपेली प्रमेय.

कृपया ध्यान दें कि यहां गॉसियन एल्गोरिथम की कोई रिवर्स मोशन नहीं है - कोई समाधान नहीं है और खोजने के लिए बस कुछ भी नहीं है।

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। फिर से, मैं आपको याद दिलाता हूं कि आपका समाधान पथ मेरे समाधान पथ से भिन्न हो सकता है, गाऊसी एल्गोरिथ्म में एक मजबूत "कठोरता" नहीं है।

समाधान की एक और तकनीकी विशेषता: प्राथमिक परिवर्तनों को रोका जा सकता है तुरंत, जैसे ही कोई लाइन पसंद आती है , कहाँ . एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें: मान लीजिए कि पहले परिवर्तन के बाद हमें एक मैट्रिक्स मिलता है . मैट्रिक्स को अभी तक एक चरणबद्ध रूप में कम नहीं किया गया है, लेकिन आगे प्राथमिक परिवर्तनों की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि प्रपत्र की एक पंक्ति दिखाई दी है, जहां . इसका तुरंत उत्तर दिया जाना चाहिए कि सिस्टम असंगत है।

जब रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का कोई समाधान नहीं होता है, तो यह लगभग एक उपहार है, क्योंकि एक संक्षिप्त समाधान प्राप्त होता है, कभी-कभी शाब्दिक रूप से 2-3 चरणों में।

लेकिन इस दुनिया में सब कुछ संतुलित है, और जिस समस्या में सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं, वह अभी लंबी है।

उदाहरण 3

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

4 समीकरण और 4 अज्ञात हैं, इसलिए सिस्टम में या तो एक ही समाधान हो सकता है, या कोई समाधान नहीं हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। जो कुछ भी था, लेकिन गॉस पद्धति किसी भी मामले में हमें उत्तर की ओर ले जाएगी। इसी में इसकी बहुमुखी प्रतिभा है।

शुरुआत फिर से मानक है। हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

बस इतना ही, और तुम डर गए।

(1) ध्यान दें कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, इसलिए ऊपरी बाएँ पायदान पर 2 ठीक है। दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -4 से गुणा करते हैं। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करते हैं। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -1 से गुणा करते हैं।

ध्यान!चौथी पंक्ति से कई लोगों को लुभाया जा सकता है घटानापहली पंक्ति। यह किया जा सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है, अनुभव से पता चलता है कि गणना में त्रुटि की संभावना कई गुना बढ़ जाती है। बस जोड़ें: चौथी पंक्ति में, पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें - बिल्कुल!

(2) अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, उनमें से दो को हटाया जा सकता है।

यहां फिर से दिखाना जरूरी है बढ़ा हुआ ध्यान, लेकिन क्या रेखाएँ वास्तव में समानुपाती होती हैं? पुनर्बीमा के लिए (विशेष रूप से एक चायदानी के लिए), दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करना और चौथी पंक्ति को 2 से विभाजित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा, जिसके परिणामस्वरूप तीन समान पंक्तियाँ होंगी। और उसके बाद ही उनमें से दो को हटा दें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स एक चरणबद्ध रूप में कम हो जाता है:

एक नोटबुक में कार्य पूरा करते समय, स्पष्टता के लिए पेंसिल में समान नोट्स बनाने की सलाह दी जाती है।

हम समीकरणों की संगत प्रणाली को फिर से लिखते हैं:

सिस्टम का "सामान्य" एकमात्र समाधान यहां गंध नहीं करता है। कोई खराब लाइन भी नहीं है। इसका मतलब है कि यह तीसरा शेष मामला है - सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं। कभी-कभी, शर्त के अनुसार, सिस्टम की अनुकूलता की जांच करना आवश्यक है (यानी, यह साबित करने के लिए कि एक समाधान बिल्कुल मौजूद है), आप इसके बारे में लेख के अंतिम पैराग्राफ में पढ़ सकते हैं। मैट्रिक्स की रैंक कैसे पता करें?लेकिन अभी के लिए, आइए बुनियादी बातों को तोड़ें:

सिस्टम के समाधान के अनंत सेट को तथाकथित के रूप में संक्षेप में लिखा गया है सामान्य प्रणाली समाधान .

हम गॉस विधि की उलटी गति का उपयोग करके निकाय का सामान्य हल ज्ञात करेंगे।

पहले हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि हमारे पास कौन से चर हैं बुनियादी, और कौन से चर नि: शुल्क. रैखिक बीजगणित की शर्तों से परेशान होना जरूरी नहीं है, यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे हैं आधार चरऔर मुक्त चर.

मूल चर हमेशा मैट्रिक्स के चरणों पर सख्ती से "बैठते हैं".
इस उदाहरण में, मूल चर हैं और

मुक्त चर सब कुछ हैं बचा हुआवेरिएबल्स जिन्हें एक कदम नहीं मिला। हमारे मामले में, उनमें से दो हैं: - मुक्त चर।

अब आपको चाहिए सब आधार चरव्यक्त करना केवल भीतर से मुक्त चर.

गाऊसी एल्गोरिथ्म का उल्टा कदम परंपरागत रूप से नीचे से ऊपर तक काम करता है।
सिस्टम के दूसरे समीकरण से, हम मूल चर व्यक्त करते हैं:

अब पहले समीकरण को देखें: . सबसे पहले, हम इसमें मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

यह मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करना बाकी है:

परिणाम वही है जो आपको चाहिए - सबआधार चर ( और ) व्यक्त किए जाते हैं केवल भीतर सेमुक्त चर:

दरअसल, सामान्य समाधान तैयार है:

सामान्य समाधान कैसे लिखें?
नि: शुल्क चर सामान्य समाधान में "अपने दम पर" और सख्ती से उनके स्थानों में लिखे गए हैं। इस स्थिति में, मुक्त चर को दूसरे और चौथे स्थान पर लिखा जाना चाहिए:
.

मूल चर के लिए परिणामी व्यंजक और स्पष्ट रूप से पहले और तीसरे स्थान पर लिखे जाने की आवश्यकता है:

मुफ्त चर देना मनमाना मूल्य, असीम रूप से कई हैं निजी निर्णय. सबसे लोकप्रिय मान शून्य हैं, क्योंकि विशेष समाधान प्राप्त करना सबसे आसान है। सामान्य समाधान में स्थानापन्न करें:

निजी फैसला है।

एक और प्यारी जोड़ी हैं, आइए सामान्य समाधान में स्थानापन्न करें:

एक और विशेष उपाय है।

यह देखना आसान है कि समीकरणों की प्रणाली में है असीम रूप से कई समाधान(चूंकि हम मुफ्त चर दे सकते हैं कोई भीमान)

प्रत्येकएक विशेष समाधान को संतुष्ट करना चाहिए प्रत्येक के लिएप्रणाली समीकरण। यह समाधान की शुद्धता की "त्वरित" जांच का आधार है। उदाहरण के लिए, एक विशेष समाधान लें और इसे मूल प्रणाली में प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

सब कुछ एक साथ आना है। और किसी विशेष समाधान के साथ, सब कुछ भी अभिसरण होना चाहिए।

लेकिन, कड़ाई से बोलते हुए, किसी विशेष समाधान का सत्यापन कभी-कभी धोखा देता है; कुछ विशेष समाधान प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट कर सकते हैं, और सामान्य समाधान वास्तव में गलत तरीके से पाया जाता है।

इसलिए, सामान्य समाधान का सत्यापन अधिक गहन और विश्वसनीय है। परिणामी सामान्य समाधान की जांच कैसे करें ?

यह आसान है, लेकिन काफी थकाऊ है। हमें भाव लेने की जरूरत है बुनियादीचर, इस मामले में और, और उन्हें सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर स्थानापन्न करें।

सिस्टम के पहले समीकरण के बाईं ओर:

सिस्टम के दूसरे समीकरण के बाईं ओर:


मूल समीकरण का दायां पक्ष प्राप्त होता है।

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। एक सामान्य समाधान और दो निजी समाधान खोजें। समग्र समाधान की जाँच करें।

यह स्वयं का उदाहरण है। यहाँ, वैसे, फिर से समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम है, जिसका अर्थ है कि यह तुरंत स्पष्ट है कि सिस्टम या तो असंगत होगा या उसके पास अनंत संख्या में समाधान होंगे। निर्णय प्रक्रिया में ही क्या महत्वपूर्ण है? ध्यान, और फिर ध्यान. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

और सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए कुछ और उदाहरण

उदाहरण 5

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें। यदि सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं, तो दो विशेष समाधान खोजें और सामान्य समाधान की जांच करें

फेसला: आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से हम इसे चरण रूप में लाते हैं:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं।
(2) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को -5 से गुणा करके जोड़ें। चौथी पंक्ति में हम -7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं।
(3) तीसरी और चौथी पंक्तियाँ समान हैं, हम उनमें से एक को हटा देते हैं।

यहाँ ऐसी सुंदरता है:

आधार चर चरणों पर बैठते हैं, इसलिए वे आधार चर हैं।
केवल एक मुक्त चर है, जिसे एक कदम नहीं मिला:

उलटी चाल:
हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करते हैं:
तीसरे समीकरण से:

दूसरे समीकरण पर विचार करें और उसमें पाए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करें:

पहले समीकरण पर विचार करें और पाए गए भावों को और उसमें स्थानापन्न करें:

हाँ, साधारण भिन्नों को गिनने वाला कैलकुलेटर अभी भी सुविधाजनक है।

तो सामान्य समाधान है:

एक बार फिर, यह कैसे हुआ? मुक्त चर अपने सही चौथे स्थान पर अकेला बैठता है। मूल चरों के परिणामी व्यंजकों ने भी अपना क्रमिक स्थान ग्रहण किया।

आइए तुरंत सामान्य समाधान की जांच करें। अश्वेतों के लिए काम करो, लेकिन मैंने इसे पहले ही कर लिया है, इसलिए पकड़ें =)

हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर तीन नायकों को प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों के संगत दाहिने हाथ प्राप्त होते हैं, इसलिए सामान्य समाधान सही पाया जाता है।

अब पाए गए सामान्य समाधान से हमें दो विशेष समाधान मिलते हैं। यहाँ का रसोइया एकमात्र मुक्त चर है। आपको अपना सिर तोड़ने की जरूरत नहीं है।

चलो फिर निजी फैसला है।
चलो फिर एक और विशेष उपाय है।

जवाब: सामान्य निर्णय: , विशेष समाधान: , .

मुझे यहाँ अश्वेतों का उल्लेख नहीं करना चाहिए था ... ... क्योंकि मेरे दिमाग में हर तरह के दुखदायी मकसद आ गए थे और मुझे वह प्रसिद्ध फोटोज़ाबा याद आ गया, जिसमें कू क्लक्स क्लानमैन एक काले फुटबॉल खिलाड़ी के बाद पूरे मैदान में सफेद चौग़ा में दौड़ते हैं। . मैं चुपचाप बैठ कर मुस्कुराता हूँ। आप जानते हैं कि कितना ध्यान भंग होता है….

बहुत सारा गणित हानिकारक है, इसलिए एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान अंतिम उदाहरण।

उदाहरण 6

रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

मैंने पहले ही सामान्य समाधान की जाँच कर ली है, उत्तर पर भरोसा किया जा सकता है। आपका समाधान मेरे समाधान से भिन्न हो सकता है, मुख्य बात यह है कि सामान्य समाधान मेल खाते हैं।

शायद, कई लोगों ने समाधानों में एक अप्रिय क्षण देखा है: बहुत बार, गॉस पद्धति के विपरीत पाठ्यक्रम के दौरान, हमें साधारण अंशों के साथ खिलवाड़ करना पड़ता था। व्यवहार में, यह सच है, ऐसे मामले जहां कोई भिन्न नहीं हैं, बहुत कम आम हैं। मानसिक रूप से तैयार रहें, और सबसे महत्वपूर्ण, तकनीकी रूप से।

मैं समाधान की कुछ विशेषताओं पर ध्यान दूंगा जो हल किए गए उदाहरणों में नहीं मिलीं।

सिस्टम के सामान्य समाधान में कभी-कभी एक स्थिरांक (या स्थिरांक) शामिल हो सकता है, उदाहरण के लिए: . यहां एक मूल चर एक स्थिर संख्या के बराबर है: . इसमें कुछ भी विदेशी नहीं है, ऐसा होता है। जाहिर है, इस मामले में, किसी विशेष समाधान में पहली स्थिति में पांच होगा।

शायद ही कभी, लेकिन ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें समीकरणों की संख्या चर की संख्या से अधिक है. गॉसियन विधि सबसे गंभीर परिस्थितियों में काम करती है; किसी को शांति से सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को मानक एल्गोरिथ्म के अनुसार एक चरणबद्ध रूप में लाना चाहिए। ऐसी प्रणाली असंगत हो सकती है, असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं, और विचित्र रूप से पर्याप्त, एक अद्वितीय समाधान हो सकता है।