साइट पर गणितीय सूत्र कैसे सम्मिलित करें?

यदि आपको कभी भी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्रों को जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में वर्णित है: गणितीय सूत्र आसानी से साइट में चित्रों के रूप में डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं। सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक तरीका खोज इंजन में साइट की दृश्यता में सुधार करने में मदद करेगा। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और मुझे लगता है कि यह हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन यह नैतिक रूप से पुराना है।

यदि, दूसरी ओर, आप लगातार अपनी साइट पर गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो मैं अनुशंसा करता हूं कि आप MathJax का उपयोग करें, एक विशेष जावास्क्रिप्ट पुस्तकालय जो MathML, LaTeX, या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणितीय संकेतन प्रदर्शित करता है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक साधारण कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी साइट से कनेक्ट कर सकते हैं, जो एक दूरस्थ सर्वर से सही समय पर स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजेक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर अपलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि अधिक जटिल और समय लेने वाली है और आपको अपनी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज करने की अनुमति देगी, और यदि किसी कारण से पैरेंट मैथजैक्स सर्वर अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह आपकी अपनी साइट को किसी भी तरह से प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहली विधि को चुना, क्योंकि यह सरल, तेज है और इसके लिए तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और 5 मिनट के भीतर आप अपनी वेबसाइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके किसी दूरस्थ सर्वर से MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग के बीच औरया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पेज अधिक धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

मैथजैक्स को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, थर्ड-पार्टी जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, इसमें ऊपर प्रस्तुत लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को एसिंक्रोनस रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित के फ़ार्मुलों को एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

कोई भी फ्रैक्टल एक निश्चित नियम के अनुसार बनाया जाता है, जिसे लगातार असीमित बार लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृति कहा जाता है।

एक मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: मूल घन 1 पक्ष के साथ अपने चेहरे के समानांतर विमानों द्वारा 27 बराबर क्यूब्स में विभाजित किया गया है। एक केंद्रीय घन और फलकों के साथ लगे 6 घन इसमें से हटा दिए जाते हैं। यह एक सेट निकलता है जिसमें 20 शेष छोटे क्यूब्स होते हैं। इन घनों में से प्रत्येक के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक समुच्चय प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें मेंजर स्पंज मिलता है।

कई मामलों में, किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना आसान होता है यदि आप पहले वक्र के स्पर्शोन्मुख को प्लॉट करते हैं।

परिभाषा 1. स्पर्शोन्मुख ऐसी रेखाएँ कहलाती हैं, जिनके पास फ़ंक्शन का ग्राफ़ वांछित के रूप में निकट आता है, जब चर प्लस इन्फिनिटी या माइनस इनफिनिटी की ओर जाता है।

परिभाषा 2. एक सीधी रेखा को किसी फलन के ग्राफ का स्पर्शोन्मुख कहा जाता है यदि चर बिंदु से दूरी एमइस रेखा तक फ़ंक्शन का ग्राफ शून्य हो जाता है क्योंकि बिंदु अनिश्चित काल तक दूर जाता है एमफ़ंक्शन के ग्राफ़ की किसी भी शाखा के साथ निर्देशांक की उत्पत्ति से।

स्पर्शोन्मुख तीन प्रकार के होते हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और तिरछा।

लंबवत स्पर्शोन्मुख

परिभाषा. सीधा एक्स = एएक फ़ंक्शन के ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख अगर बिंदु एक्स = एएक दूसरी तरह का ब्रेकिंग पॉइंटइस सुविधा के लिए।

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि रेखा एक्स = एफ़ंक्शन के ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख है एफ(एक्स) यदि निम्न में से कम से कम एक शर्त पूरी होती है:

साथ ही समारोह एफ(एक्स) को क्रमशः, के लिए बिल्कुल भी परिभाषित नहीं किया जा सकता है एक्स ≥ एऔर एक्स ≤ ए .

टिप्पणी:

उदाहरण 1फंक्शन ग्राफ आप= एलएन एक्सएक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है एक्स= 0 (अर्थात, अक्ष के साथ मेल खाने वाला ओए) परिभाषा के क्षेत्र की सीमा पर, क्योंकि फ़ंक्शन की सीमा जब x दाईं ओर शून्य हो जाती है, शून्य से अनंत के बराबर होती है:

(अंजीर। ऊपर)।

अपने दम पर और फिर समाधान देखें

उदाहरण 2फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें।

उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

क्षैतिज स्पर्शोन्मुख

यदि (फ़ंक्शन की सीमा जब तर्क प्लस या माइनस इन्फिनिटी की ओर जाता है तो कुछ मान के बराबर होता है बी), तब आप = बी – समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा कुटिल आप = एफ(एक्स ) (दाईं ओर जब x धनात्मक अनंत की ओर जाता है, बायां जब x ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है, और द्वि-पक्षीय होता है यदि x की प्रवृत्ति धनात्मक या ऋणात्मक अनंत के बराबर होती है)।

उदाहरण 5फंक्शन ग्राफ

पर ए> 1 में एक बायां क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है आप= 0 (अर्थात, अक्ष के साथ मेल खाने वाला बैल), चूंकि फ़ंक्शन की सीमा जब "x" शून्य से अनंत तक जाती है तो शून्य के बराबर होती है:

वक्र में एक सही क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन की सीमा x के रूप में प्लस अनंत तक जाती है, अनंत के बराबर है:

तिरछा स्पर्शोन्मुख

ऊपर हमने जिन ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज स्पर्शोन्मुखों पर विचार किया, वे समन्वय अक्षों के समानांतर हैं, इसलिए, उन्हें बनाने के लिए, हमें केवल एक निश्चित संख्या की आवश्यकता होती है - भुज या कोटि अक्ष पर एक बिंदु जिसके माध्यम से स्पर्शोन्मुख गुजरता है। तिरछी स्पर्शोन्मुख - ढलान के लिए और अधिक की आवश्यकता है क, जो सीधी रेखा के झुकाव के कोण और अवरोध को दर्शाता है बी, जो दर्शाता है कि रेखा मूल के ऊपर या नीचे कितनी है। जिनके पास विश्लेषणात्मक ज्यामिति को भूलने का समय नहीं था, और इससे - एक सीधी रेखा के समीकरण, वे देखेंगे कि एक तिरछी स्पर्शोन्मुख के लिए वे पाते हैं ढलान समीकरण. एक तिरछी स्पर्शोन्मुख का अस्तित्व निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसके आधार पर अभी-अभी नामित गुणांक पाए जाते हैं।

प्रमेय।वक्र बनाने के लिए आप = एफ(एक्स) एक स्पर्शोन्मुख था आप = केएक्स + बी , यह आवश्यक और पर्याप्त है कि परिमित सीमाएँ मौजूद हों कऔर बीविचाराधीन फ़ंक्शन के रूप में चर के लिए जाता है एक्ससे प्लस इन्फिनिटी और माइनस इनफिनिटी:

(1)

(2)

इस प्रकार मिले नंबर कऔर बीऔर तिरछे स्पर्शोन्मुख के गुणांक हैं।

पहले मामले में (जब x प्लस अनंत की ओर जाता है), दायां तिरछा स्पर्शोन्मुख प्राप्त होता है, दूसरे में (जब x शून्य से अनंत तक जाता है), बायां अनंतस्पर्शी प्राप्त होता है। दायां तिरछा स्पर्शोन्मुख अंजीर में दिखाया गया है। नीचे की ओर से।

तिरछी स्पर्शोन्मुख समीकरण का पता लगाते समय, एक्स की प्रवृत्ति को प्लस इन्फिनिटी और माइनस इनफिनिटी दोनों को ध्यान में रखना आवश्यक है। कुछ कार्यों के लिए, उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक परिमेय के लिए, ये सीमाएँ मेल खाती हैं, लेकिन कई कार्यों के लिए ये सीमाएँ भिन्न होती हैं, और उनमें से केवल एक ही मौजूद हो सकती है।

जब सीमाएं एक्स के साथ प्लस इन्फिनिटी और माइनस इन्फिनिटी के साथ मेल खाती हैं, तो सीधी रेखा आप = केएक्स + बी वक्र का दो तरफा स्पर्शोन्मुख है।

यदि स्पर्शोन्मुख को परिभाषित करने वाली सीमाओं में से कम से कम एक है आप = केएक्स + बी , मौजूद नहीं है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक तिरछी स्पर्शोन्मुख नहीं है (लेकिन एक लंबवत हो सकता है)।

यह देखना आसान है कि क्षैतिज अनंतस्पर्शी आप = बीतिरछा का एक विशेष मामला है आप = केएक्स + बीपर क = 0 .

इसलिए, यदि किसी वक्र में किसी भी दिशा में क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है, तो उस दिशा में कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है, और इसके विपरीत।

उदाहरण 6किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसला। फ़ंक्शन को छोड़कर पूरी संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है एक्स= 0, यानी।

इसलिए, ब्रेकिंग पॉइंट पर एक्स= 0 वक्र में एक लंबवत स्पर्शोन्मुख हो सकता है। वास्तव में, फ़ंक्शन की सीमा x के रूप में बाईं ओर से शून्य हो जाती है, प्लस अनंत है:

इसलिये, एक्स= 0 इस फलन के ग्राफ का उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन की सीमा जब x प्लस इन्फिनिटी की ओर जाता है, प्लस इन्फिनिटी के बराबर होता है:

आइए हम एक तिरछी स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति का पता लगाएं:

सीमित सीमाएँ मिलीं क= 2 और बी= 0। सीधा आप = 2एक्सइस फ़ंक्शन के ग्राफ़ का दो-तरफा तिरछा स्पर्शोन्मुख है (अंजीर। उदाहरण के अंदर)।

उदाहरण 7किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसला। फ़ंक्शन में एक विराम बिंदु होता है एक्स= -1। आइए हम एकतरफा सीमाओं की गणना करें और असंततता के प्रकार का निर्धारण करें:

निष्कर्ष: एक्स= −1 दूसरी तरह का एक असंततता बिंदु है, इसलिए रेखा एक्स= −1 इस फलन के ग्राफ का उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

तिरछे स्पर्शोन्मुख की तलाश में। चूँकि यह फलन भिन्नात्मक रूप से परिमेय है, इसके लिए और के लिए सीमाएँ मेल खाएँगी। इस प्रकार, हम समीकरण में सीधी रेखा - तिरछी स्पर्शोन्मुख को प्रतिस्थापित करने के लिए गुणांक पाते हैं:

ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में पाए गए गुणांक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम तिरछे स्पर्शोन्मुख का समीकरण प्राप्त करते हैं:

आप = −3एक्स + 5 .

आकृति में, फ़ंक्शन का ग्राफ बरगंडी में चिह्नित है, और एसिम्प्टोट्स काले रंग में हैं।

उदाहरण 8किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसला। चूँकि यह फलन सतत है, इसके ग्राफ में कोई लम्बवत अनंतस्पर्शी नहीं है। हम तिरछे स्पर्शोन्मुख की तलाश कर रहे हैं:

.

इस प्रकार, इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक स्पर्शोन्मुख है आप= 0 पर और पर कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है।

उदाहरण 9किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसला। सबसे पहले, हम लंबवत स्पर्शोन्मुख की तलाश करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का डोमेन पाते हैं। फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है जब असमानता होती है और . परिवर्तनशील चिन्ह एक्सचिन्ह से मेल खाता है। इसलिए, समान असमानता पर विचार करें। इससे हमें फ़ंक्शन का दायरा मिलता है: . लंबवत स्पर्शोन्मुख केवल फ़ंक्शन के डोमेन की सीमा पर हो सकता है। लेकिन एक्स= 0 एक लम्बवत अनंतस्पर्शी नहीं हो सकता, क्योंकि फलन को के लिए परिभाषित किया गया है एक्स = 0 .

दाएं हाथ की सीमा पर विचार करें (बाएं हाथ की सीमा मौजूद नहीं है):

.

दूरसंचार विभाग एक्स= 2 दूसरी तरह का एक असंततता बिंदु है, इसलिए रेखा एक्स= 2 - इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख।

हम तिरछे स्पर्शोन्मुख की तलाश कर रहे हैं:

इसलिए, आप = एक्स+ 1 - पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ का तिरछा स्पर्शोन्मुख . हम इसके लिए एक तिरछी स्पर्शोन्मुख की तलाश कर रहे हैं:

इसलिए, आप = −एक्स − 1 - परोक्ष स्पर्शोन्मुख पर .

उदाहरण 10किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसला। समारोह का दायरा है . चूँकि इस फलन के ग्राफ का उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी केवल परिभाषा के क्षेत्र की सीमा पर ही हो सकता है, हम फलन की एकतरफा सीमा को पर पाएंगे।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख

स्पर्शोन्मुख का भूत लंबे समय से साइट के चारों ओर भटक रहा है ताकि अंत में एक ही लेख में अमल में लाया जा सके और हैरान पाठकों के लिए विशेष आनंद लाया जा सके। पूर्ण कार्य अध्ययन. ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख को ढूँढना निर्दिष्ट कार्य के कुछ भागों में से एक है, जिसे स्कूल पाठ्यक्रम में केवल एक अवलोकन क्रम में कवर किया जाता है, क्योंकि घटनाएँ गणना के इर्द-गिर्द घूमती हैं। कार्य सीमा, लेकिन वे अभी भी उच्च गणित से संबंधित हैं। आगंतुक जो गणितीय विश्लेषण में खराब पारंगत हैं, मुझे लगता है कि संकेत समझ में आता है ;-) ... स्टॉप-स्टॉप, आप कहाँ जा रहे हैं? सीमाएं- यह आसान है!

स्पर्शोन्मुख के उदाहरण के बारे में पहले पाठ में तुरंत मिले प्राथमिक कार्यों के रेखांकन, और अब इस विषय पर विस्तृत विचार किया जा रहा है।

तो एक स्पर्शोन्मुख क्या है?

कल्पना करना परिवर्तनशील बिंदु, जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ "यात्रा" करता है। स्पर्शोन्मुख है सीधा, किसको असीमित बंदजैसे-जैसे इसका चर बिंदु अनंत तक जाता है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ निकट आता जाता है।

टिप्पणी : परिभाषा सार्थक है, यदि आपको गणितीय विश्लेषण के अंकन में सूत्रीकरण की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक देखें।

समतल पर, स्पर्शोन्मुख को उनकी प्राकृतिक व्यवस्था के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है:

1) लंबवत स्पर्शोन्मुख, जो रूप के एक समीकरण द्वारा दिए गए हैं, जहां "अल्फा" एक वास्तविक संख्या है। लोकप्रिय प्रतिनिधि y-अक्ष को ही परिभाषित करता है,
हल्की मतली के हमले के साथ, हम अतिशयोक्ति को याद करते हैं।

2) तिरछा स्पर्शोन्मुखपारंपरिक रूप से लिखा गया सीधी रेखा समीकरणढलान कारक के साथ। कभी-कभी एक विशेष मामले को एक अलग समूह के रूप में चुना जाता है - क्षैतिज अनंतस्पर्शी. उदाहरण के लिए, स्पर्शोन्मुख के साथ एक ही अतिपरवलय।

हम जल्दी से आगे बढ़ते हैं, आइए विषय को एक संक्षिप्त स्वचालित बर्स्ट के साथ हिट करें:

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कितने स्पर्शोन्मुख हो सकते हैं?

कोई नहीं, एक, दो, तीन... या अनंत संख्या। उदाहरण के लिए हम ज्यादा दूर नहीं जाएंगे, याद रखेंगे प्राथमिक कार्य. परवलय, घन परवलय, साइनसॉइड में कोई स्पर्शोन्मुख नहीं होता है। एक घातांक, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक एकल स्पर्शोन्मुख है। आर्कटिक, आर्ककोटैंजेंट में उनमें से दो हैं, और टेंगेंट, कोटैंजेंट में अनंत संख्या है। एक ग्राफ के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों स्पर्शोन्मुख होना असामान्य नहीं है। अतिशयोक्ति, हमेशा तुमसे प्यार करेगा।

क्या मतलब ?

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लंबवत अनंतस्पर्शी

ग्राफ का लंबवत स्पर्शोन्मुख आमतौर पर होता है अनंत के बिंदु परकार्य। यह सरल है: यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन अनंत विराम का शिकार होता है, तो समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

टिप्पणी : ध्यान दें कि दो पूरी तरह से अलग अवधारणाओं को संदर्भित करने के लिए संकेतन का उपयोग किया जाता है। बिंदु निहित है या एक सीधी रेखा का समीकरण - संदर्भ पर निर्भर करता है।

इस प्रकार, एक बिंदु पर एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति को स्थापित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि कम से कम एकएकतरफा सीमा से अनंत। सबसे अधिक बार, यह वह बिंदु है जहां फ़ंक्शन का हर शून्य के बराबर होता है। वास्तव में, हमने पाठ के अंतिम उदाहरणों में पहले ही लंबवत स्पर्शोन्मुख पाया है। समारोह की निरंतरता पर. लेकिन कुछ मामलों में केवल एकतरफा सीमा होती है, और यदि यह अनंत है, तो फिर से - ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख प्रेम और पक्ष। सबसे सरल उदाहरण: और y-अक्ष (देखें। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण).

ऊपर से, स्पष्ट तथ्य भी इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, तो कोई लंबवत स्पर्शोन्मुख नहीं हैं. किसी कारण से, एक परवलय के दिमाग में आया। वास्तव में, आप यहाँ एक सीधी रेखा कहाँ "छड़ी" कर सकते हैं? ... हां ... मैं समझता हूं ... अंकल फ्रायड के अनुयायी उन्माद में घिर गए =)

विपरीत कथन आम तौर पर सत्य नहीं है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन यह पूरी तरह से स्पर्शोन्मुख से वंचित है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के तिरछे स्पर्शोन्मुख

ओब्लिक (एक विशेष मामले के रूप में - क्षैतिज) एसिम्प्टोट्स को खींचा जा सकता है यदि फ़ंक्शन तर्क "प्लस इनफिनिटी" या "माइनस इन्फिनिटी" की ओर जाता है। इसलिए किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो से अधिक तिरछे स्पर्शोन्मुख नहीं हो सकते हैं. उदाहरण के लिए, एक घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी होता है, और चाप स्पर्शरेखा के ग्राफ़ में दो ऐसे स्पर्शोन्मुख होते हैं, और अलग-अलग होते हैं।

जब यहां और वहां का ग्राफ केवल तिरछे स्पर्शोन्मुख के पास पहुंचता है, तो यह एक प्रविष्टि के तहत "अनंत" को एकजुट करने के लिए प्रथागत है। उदाहरण के लिए, ... आपने सही अनुमान लगाया: .

अंगूठे का सामान्य नियम:

अगर दो हैं अंतिमसीमा , तो सीधी रेखा पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का तिरछा स्पर्शोन्मुख है। यदि एक कम से कम एकउपरोक्त सीमा अनंत है, तो कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है।

टिप्पणी : सूत्र मान्य रहते हैं यदि "x" केवल "प्लस इनफिनिटी" या केवल "माइनस इनफिनिटी" की ओर जाता है।

आइए हम दिखाते हैं कि परवलय में कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं होता है:

सीमा अनंत है, इसलिए कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है। ध्यान दें कि सीमा ज्ञात करने में अब इसकी आवश्यकता नहीं है क्योंकि उत्तर पहले ही प्राप्त हो चुका है।

टिप्पणी : यदि आपको प्लस-माइनस, माइनस-प्लस संकेतों को समझने में (या होगा) कठिनाई है, तो कृपया पाठ की शुरुआत में सहायता देखें
अनंत कार्यों के बारे में, जहां मैंने बताया कि इन संकेतों की सही व्याख्या कैसे करें।

जाहिर है, किसी भी द्विघात, क्यूबिक फ़ंक्शन, 4 और उच्च डिग्री के बहुपद में भी तिरछे स्पर्शोन्मुख नहीं होते हैं।

और अब आइए सुनिश्चित करें कि ग्राफ पर भी एक तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है। अनिश्चितता को उजागर करने के लिए, हम उपयोग करते हैं ल अस्पताल का नियम:
जिसका सत्यापन किया जाना था।

जब फ़ंक्शन अनिश्चित काल तक बढ़ता है, हालांकि, ऐसी कोई सीधी रेखा नहीं होती है जिसके लिए इसका ग्राफ पहुंचेगा असीम रूप से करीब.

आइए पाठ के व्यावहारिक भाग पर चलते हैं:

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख को कैसे खोजें?

इस प्रकार एक विशिष्ट कार्य तैयार किया जाता है, और इसमें ग्राफ के सभी स्पर्शोन्मुख (ऊर्ध्वाधर, तिरछा / क्षैतिज) को खोजना शामिल है। हालांकि, प्रश्न के निर्माण में अधिक सटीक होने के लिए, हम स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति के लिए एक अध्ययन के बारे में बात कर रहे हैं (आखिरकार, कोई भी नहीं हो सकता है)। आइए कुछ सरल से शुरू करें:

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसलाइसे दो बिंदुओं में तोड़ना सुविधाजनक है:

1) सबसे पहले हम जांचते हैं कि क्या लंबवत अनंतस्पर्शी हैं। भाजक गायब हो जाता है, और यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन प्रभावित होता है अंतहीन अंतराल, और समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख है। लेकिन इस तरह के निष्कर्ष निकालने से पहले, एक तरफा सीमाएं खोजना जरूरी है:

मैं आपको गणना तकनीक की याद दिलाता हूं, जिस पर मैंने लेख में भी ध्यान दिया था कार्य निरंतरता। विराम बिंदु. सीमा चिह्न के तहत व्यंजक में, "x" के स्थान पर हम प्रतिस्थापित करते हैं। अंश में कुछ भी दिलचस्प नहीं है:
.

लेकिन हर में पता चलता है अपरिमित ऋणात्मक संख्या:
, यह सीमा के भाग्य को निर्धारित करता है।

बाएं हाथ की सीमा अनंत है, और, सिद्धांत रूप में, एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति पर निर्णय पारित करना पहले से ही संभव है। लेकिन इसके लिए न केवल एकतरफा सीमा की जरूरत है - वे समझने में मदद करते हैं, जैसाफ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है और इसे प्लॉट करें सही ढंग से. इसलिए, हमें दाहिने हाथ की सीमा की गणना भी करनी चाहिए:

निष्कर्ष: एक तरफा सीमाएं अनंत हैं, जिसका अर्थ है कि रेखा पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

पहली सीमा सीमित, जिसका अर्थ है कि "बातचीत जारी रखना" और दूसरी सीमा खोजना आवश्यक है:

दूसरी सीमा भी सीमित.

तो हमारा स्पर्शोन्मुख है:

निष्कर्ष: समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

क्षैतिज अनंतस्पर्शी ज्ञात करने के लिए
आप सरलीकृत सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

यदि मौजूद है सीमितसीमा है, तो रेखा पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन का अंश और हर विकास का एक क्रम, जिसका अर्थ है कि वांछित सीमा सीमित होगी:

जवाब:

शर्त के अनुसार, ड्राइंग को पूरा करना जरूरी नहीं है, लेकिन अगर पूरे जोरों पर है समारोह अनुसंधान, फिर मसौदे पर हम तुरंत एक स्केच बनाते हैं:

मिली तीन सीमाओं के आधार पर, स्वतंत्र रूप से यह पता लगाने की कोशिश करें कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे स्थित हो सकता है। काफी मुश्किल? 5-6-7-8 अंक ज्ञात कीजिए और उन्हें चित्र पर अंकित कीजिए। हालाँकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ का उपयोग करके बनाया गया है प्राथमिक कार्य ग्राफ के परिवर्तन, और जिन पाठकों ने इस लेख के उदाहरण 21 को ध्यान से देखा है, वे आसानी से अनुमान लगा लेंगे कि यह किस प्रकार का वक्र है।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

यह स्वयं का उदाहरण है। प्रक्रिया, मैं आपको याद दिलाता हूं, आसानी से दो बिंदुओं में विभाजित है - लंबवत स्पर्शोन्मुख और तिरछा स्पर्शोन्मुख। नमूना समाधान में, एक सरलीकृत योजना का उपयोग करके क्षैतिज स्पर्शोन्मुख पाया जाता है।

व्यवहार में, आंशिक-तर्कसंगत कार्य सबसे अधिक बार सामने आते हैं, और हाइपरबोलस पर प्रशिक्षण के बाद, हम कार्य को जटिल करेंगे:

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसला: एक, दो और किया:

1) उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी पाए जाते हैं अनंत असंततता के बिंदुओं पर, इसलिए आपको यह जांचना होगा कि क्या हर शून्य पर जाता है। हम तय करेंगे द्विघात समीकरण:

विवेचक धनात्मक है, इसलिए समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, और कार्य महत्वपूर्ण रूप से जोड़ा जाता है =)

एकतरफा सीमाओं को और अधिक खोजने के लिए, वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना सुविधाजनक है:
(कॉम्पैक्ट नोटेशन के लिए, "माइनस" को पहले ब्रैकेट में पेश किया गया था)। सुरक्षा जाल के लिए, हम मानसिक रूप से या मसौदे पर कोष्ठक खोलकर जांच करेंगे।

आइए फ़ंक्शन को फॉर्म में फिर से लिखें

बिंदु पर एकतरफा सीमाएँ ज्ञात कीजिए:

और बिंदु पर:

इस प्रकार, सीधी रेखाएँ विचाराधीन फलन के ग्राफ़ की उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं।

2) यदि आप फ़ंक्शन को देखते हैं , तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सीमा परिमित होगी और हमारे पास एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है। आइए इसे संक्षेप में दिखाते हैं:

इस प्रकार, सरल रेखा (भुज) इस फलन के ग्राफ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

जवाब:

पाई गई सीमाएँ और स्पर्शोन्मुख फलन के ग्राफ के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। निम्नलिखित तथ्यों को ध्यान में रखते हुए, चित्र की मानसिक रूप से कल्पना करने का प्रयास करें:

ड्राफ़्ट पर ग्राफ़ के अपने संस्करण को स्केच करें।

बेशक, पाई गई सीमाएं स्पष्ट रूप से ग्राफ के प्रकार को निर्धारित नहीं करती हैं, और आप एक गलती कर सकते हैं, लेकिन अभ्यास के दौरान अमूल्य मदद होगी पूर्ण कार्य अध्ययन. पाठ के अंत में सही तस्वीर है।

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

ये स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य हैं। दोनों ग्राफ़ में फिर से क्षैतिज स्पर्शोन्मुख होते हैं, जिन्हें निम्नलिखित विशेषताओं द्वारा तुरंत पहचाना जाता है: उदाहरण 4 . में वृद्धि का क्रमभाजक अधिकअंश की वृद्धि के क्रम से, और उदाहरण 5 में अंश और हर विकास का एक क्रम. नमूना समाधान में, पहले फ़ंक्शन की पूरी तरह से तिरछी स्पर्शोन्मुख उपस्थिति के लिए जांच की जाती है, और दूसरा - सीमा के माध्यम से।

क्षैतिज स्पर्शोन्मुख, मेरे व्यक्तिपरक प्रभाव में, "वास्तव में झुके हुए" की तुलना में अधिक सामान्य हैं। लंबे समय से प्रतीक्षित सामान्य मामला:

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसला: शैली के क्लासिक्स:

1) चूँकि हर धनात्मक है, फलन निरंतरपूरी संख्या रेखा पर, और कोई लंबवत स्पर्शोन्मुख नहीं हैं। …अच्छी है? सही शब्द नहीं - बढ़िया! आइटम # 1 बंद है।

2) तिरछे स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति की जाँच करें:

पहली सीमा सीमित, तो चलिए आगे बढ़ते हैं। दूसरी सीमा की गणना के दौरान समाप्त करने के लिए अनिश्चितता "अनंत घटा अनंत"हम एक सामान्य भाजक के लिए अभिव्यक्ति लाते हैं:

दूसरी सीमा भी सीमित, इसलिए, विचाराधीन फलन के ग्राफ़ में एक तिरछी स्पर्शोन्मुख है:

निष्कर्ष:

इस प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए असीम रूप से करीबएक सीधी रेखा तक पहुँचता है:

ध्यान दें कि यह मूल में अपने तिरछे स्पर्शोन्मुख को काटता है, और ऐसे चौराहे बिंदु काफी स्वीकार्य हैं - यह महत्वपूर्ण है कि अनंत पर "सब कुछ सामान्य है" (वास्तव में, यह वहां है कि हम स्पर्शोन्मुख के बारे में बात कर रहे हैं)।

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

फेसला: टिप्पणी करने के लिए बहुत कुछ नहीं है, इसलिए मैं अंतिम समाधान का अनुमानित नमूना तैयार करूंगा:

1) लंबवत स्पर्शोन्मुख। आइए बिंदु का पता लगाएं।

पर प्लॉट के लिए सीधी रेखा लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

2) परोक्ष स्पर्शोन्मुख:

पर ग्राफ के लिए सीधी रेखा तिरछी स्पर्शोन्मुख है।

जवाब:

मिली एकतरफा सीमाएं और स्पर्शोन्मुख हमें उच्च निश्चितता के साथ यह मानने की अनुमति देते हैं कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है। पाठ के अंत में सही ड्राइंग।

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, कुछ सीमाओं की गणना की सुविधा के लिए, आप अंश को हर पद से पद से विभाजित कर सकते हैं। और फिर से, परिणामों का विश्लेषण करते हुए, इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाने का प्रयास करें।

जाहिर है, "वास्तविक" तिरछे स्पर्शोन्मुख के मालिक उन भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों के रेखांकन हैं जिनके लिए अंश की उच्चतम डिग्री है और एकभाजक की उच्चतम डिग्री। यदि अधिक है, तो कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं होगा (उदाहरण के लिए, )।

लेकिन जीवन में अन्य चमत्कार होते हैं:

उदाहरण 9

उदाहरण 11

स्पर्शोन्मुख के लिए एक फ़ंक्शन के ग्राफ की जांच करें

फेसला: यह स्पष्ट है कि , इसलिए, हम केवल सही अर्ध-तल पर विचार करते हैं, जहां फ़ंक्शन का एक ग्राफ होता है।

इस प्रकार, सीधी रेखा (y-अक्ष) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए लंबवत अनंतस्पर्शी है।

2) तिरछी स्पर्शोन्मुख का अध्ययन पूरी योजना के अनुसार किया जा सकता है, लेकिन लेख में एल अस्पताल के नियमहमने पाया कि लॉगरिदमिक की तुलना में विकास के उच्च क्रम का एक रैखिक कार्य, इसलिए: (उसी पाठ का उदाहरण 1 देखें)।

निष्कर्ष: एब्सिस्सा अक्ष पर फ़ंक्शन के ग्राफ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

जवाब:
, अगर ;
, अगर ।

स्पष्टता के लिए ड्राइंग:

दिलचस्प बात यह है कि एक समान दिखने वाले फ़ंक्शन में कोई भी स्पर्शोन्मुख नहीं होता है (जो लोग इसे देखना चाहते हैं वे इसे देख सकते हैं)।

दो अंतिम स्व-अध्ययन उदाहरण:

उदाहरण 12

स्पर्शोन्मुख के लिए एक फ़ंक्शन के ग्राफ की जांच करें

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कितने स्पर्शोन्मुख हो सकते हैं?

कोई नहीं, एक, दो, तीन... या अनंत संख्या। हम उदाहरणों के लिए बहुत दूर नहीं जाएंगे, हम प्राथमिक कार्यों को याद करेंगे। परवलय, घन परवलय, साइनसॉइड में कोई स्पर्शोन्मुख नहीं होता है। एक घातांक, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक एकल स्पर्शोन्मुख है। आर्कटिक, आर्ककोटैंजेंट में उनमें से दो हैं, और टेंगेंट, कोटैंजेंट में अनंत संख्या है। एक ग्राफ के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों स्पर्शोन्मुख होना असामान्य नहीं है। अतिशयोक्ति, हमेशा तुमसे प्यार करेगा।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख को खोजने का क्या अर्थ है?

इसका अर्थ है उनके समीकरणों का पता लगाना, और यदि समस्या की स्थिति की आवश्यकता हो तो सीधी रेखाएँ खींचना। इस प्रक्रिया में फ़ंक्शन की सीमाएं ढूंढना शामिल है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लंबवत अनंतस्पर्शी

ग्राफ का लंबवत अनंतस्पर्शी, एक नियम के रूप में, फलन के अनंत असंततता के बिंदु पर होता है। यह सरल है: यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन अनंत विराम का शिकार होता है, तो समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

नोट: कृपया ध्यान दें कि दो पूरी तरह से अलग अवधारणाओं को संदर्भित करने के लिए संकेतन का उपयोग किया जाता है। बिंदु निहित है या एक सीधी रेखा का समीकरण - संदर्भ पर निर्भर करता है।

इस प्रकार, एक बिंदु पर एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति को स्थापित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक अनंत है। सबसे अधिक बार, यह वह बिंदु है जहां फ़ंक्शन का हर शून्य के बराबर होता है। वास्तव में, हम पहले ही किसी फलन की निरंतरता पर पाठ के अंतिम उदाहरणों में ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख पाए गए हैं। लेकिन कई मामलों में केवल एक तरफा सीमा होती है, और यदि यह अनंत है, तो फिर से - ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख प्रेम और पक्ष। सबसे सरल उदाहरण: और y-अक्ष।

स्पष्ट तथ्य ऊपर से भी अनुसरण करता है: यदि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, तो कोई लंबवत स्पर्शोन्मुख नहीं हैं। किसी कारण से, एक परवलय के दिमाग में आया। वास्तव में, आप यहाँ एक सीधी रेखा कहाँ "छड़ी" कर सकते हैं? ... हां ... मैं समझता हूं ... अंकल फ्रायड के अनुयायी उन्माद में घिर गए =)

विपरीत कथन आम तौर पर सत्य नहीं है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन यह पूरी तरह से स्पर्शोन्मुख से वंचित है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के तिरछे स्पर्शोन्मुख

झुका हुआ (एक विशेष मामले के रूप में - क्षैतिज) स्पर्शोन्मुख खींचा जा सकता है यदि फ़ंक्शन तर्क "प्लस इनफिनिटी" या "माइनस इनफिनिटी" की ओर जाता है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में 2 से अधिक तिरछे स्पर्शोन्मुख नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, एक घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी होता है, और आर्कटिक के ग्राफ़ में दो ऐसे स्पर्शोन्मुख होते हैं, और अलग-अलग होते हैं।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्पर्शोन्मुख y \u003d f (x) को एक ऐसी रेखा कहा जाता है जिसमें यह गुण होता है कि इस रेखा से बिंदु (x, f (x)) की दूरी मूल से ग्राफ़ बिंदु के असीमित निष्कासन के साथ शून्य हो जाती है।

चित्र 3.10. चित्रमय उदाहरण दिए गए हैं खड़ा, क्षैतिजऔर परोक्षस्पर्शोन्मुख

ग्राफ के अनंतस्पर्शी ज्ञात करना निम्नलिखित तीन प्रमेयों पर आधारित है।

ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख प्रमेय। मान लें कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) बिंदु x 0 के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है (संभवतः इस बिंदु को छोड़कर) और फ़ंक्शन की कम से कम एक तरफा सीमा अनंत के बराबर हो, यानी। तब रेखा x \u003d x 0 फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

जाहिर है, लाइन x \u003d x 0 एक लंबवत स्पर्शोन्मुख नहीं हो सकता है यदि फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर है, क्योंकि इस मामले में . इसलिए, किसी फ़ंक्शन के असंततता बिंदुओं पर या उसके डोमेन के सिरों पर लंबवत स्पर्शोन्मुख की तलाश की जानी चाहिए।

क्षैतिज अनंतस्पर्शी प्रमेय। मान लें कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) को पर्याप्त रूप से बड़े x के लिए परिभाषित किया गया है और फ़ंक्शन की एक सीमित सीमा है। तब रेखा y = b फलन के ग्राफ की क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।

टिप्पणी। यदि केवल एक सीमा परिमित है, तो फलन में क्रमशः, बाएँ तरफाया सही तरफासमस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा।

इस घटना में, फ़ंक्शन में एक तिरछा स्पर्शोन्मुख हो सकता है।

तिरछी स्पर्शोन्मुख प्रमेय। मान लें कि फलन y = f(x) को पर्याप्त रूप से बड़े x के लिए परिभाषित किया गया है और परिमित सीमाएं हैं . तब रेखा y = kx + b फलन के आलेख की एक तिरछी अनंतस्पर्शी रेखा है।

बिना सबूत के।

तिरछी स्पर्शोन्मुख, क्षैतिज की तरह, दाएं या बाएं हाथ की हो सकती है यदि संबंधित सीमा का आधार एक निश्चित संकेत की अनंतता है।

कार्यों के अध्ययन और उनके रेखांकन के निर्माण में आमतौर पर निम्नलिखित चरण शामिल होते हैं:

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए।

2. सम-विषम के फलन की जाँच कीजिए।

3. परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर असंततता बिंदुओं और फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करके ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजें, यदि वे परिमित हैं।

4. अनंत पर फलन के व्यवहार की जांच करके क्षैतिज या तिरछी अनंतस्पर्शी खोजें।

5. फलन की एकरसता के एक्स्ट्रेमा और अंतराल का पता लगाएं।

6. फलन के उत्तल अंतराल और विभक्ति बिंदुओं का पता लगाएं।

7. निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें और, संभवतः, कुछ अतिरिक्त बिंदु जो ग्राफ़ को परिशोधित करते हैं।

समारोह अंतर

यह साबित किया जा सकता है कि यदि किसी फ़ंक्शन की एक निश्चित आधार के लिए एक सीमित संख्या के बराबर सीमा होती है, तो इसे इस संख्या के योग के रूप में और उसी आधार के लिए एक अनंत मूल्य (और इसके विपरीत) के रूप में दर्शाया जा सकता है: ।

आइए इस प्रमेय को एक अवकलनीय फलन पर लागू करें: .

इस प्रकार, फ़ंक्शन की वृद्धि में दो पद होते हैं: 1) Dx के संबंध में रैखिक, अर्थात। एफ `(एक्स) डीएक्स; 2) डीएक्स के संबंध में गैर-रैखिक, यानी। ए (डीएक्स) डीएक्स। साथ ही, चूंकि , यह दूसरा पद Dx की तुलना में उच्च क्रम का एक इनफिनिटसिमल है (जैसा कि Dx शून्य की ओर जाता है, यह और भी तेज़ी से शून्य हो जाता है)।

अंतरफ़ंक्शन को फ़ंक्शन इंक्रीमेंट का मुख्य भाग कहा जाता है, Dx के संबंध में रैखिक, व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर और स्वतंत्र चर dy = f `(x)Dx का इंक्रीमेंट।

फलन y = x का अंतर ज्ञात कीजिए।

चूँकि dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, तो dx = Dx, अर्थात्। एक स्वतंत्र चर का अंतर उस चर की वृद्धि के बराबर होता है।

अतः किसी फलन के अवकलन का सूत्र dy = f `(x)dх के रूप में लिखा जा सकता है। यही कारण है कि व्युत्पन्न के लिए प्रतीकों में से एक अंश dy/dх है।

अंतर का ज्यामितीय अर्थ सचित्र है
चित्र 3.11. फलन y = f(x) के आलेख पर एक मनमाना बिंदु M(x, y) लें। आइए तर्क x को एक वेतन वृद्धि Dx दें। तब फलन y = f(x) को वृद्धि Dy = f(x + Dх) - f(x) प्राप्त होगा। आइए बिंदु M पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं, जो x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाता है, अर्थात। एफ `(एक्स) = टीजी ए। समकोण त्रिभुज से MKN
केएन \u003d एमएन * टीजी ए \u003d डीएक्स * टीजी ए \u003d एफ `(एक्स) डीएक्स \u003d डाई।

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन का अंतर किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा की कोटि में वृद्धि है, जब x में Dx की वृद्धि होती है।

एक अंतर के गुण मूल रूप से व्युत्पन्न के समान होते हैं:

3. डी (यू ± वी) = डु ± डीवी।

4. डी (यूवी) = वी डु + यू डीवी।

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 ।

हालांकि, एक फ़ंक्शन के अंतर की एक महत्वपूर्ण संपत्ति है जो इसके व्युत्पन्न में नहीं है - यह है डिफरेंशियल फॉर्म इनवेरिएंस.

फ़ंक्शन y = f(x) के लिए अंतर की परिभाषा से, अंतर dy = f`(x)dх है। यदि यह फलन y सम्मिश्र है, अर्थात्। y = f(u), जहां u = j(x), फिर y = f और f `(x) = f`(u)*u`। तब dy = f`(u)*u`dx. लेकिन समारोह के लिए
u = j(x) डिफरेंशियल du = u`dx। अत: dy = f `(u)*du.

dy = f `(x)dх और dy = f `(u)*du की समानता की तुलना करते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि यदि स्वतंत्र चर x के एक फ़ंक्शन के बजाय हम एक फ़ंक्शन पर विचार करते हैं तो अंतर सूत्र नहीं बदलता है। आश्रित चर यू. डिफरेंशियल के इस गुण को डिफरेंशियल के फॉर्म (या फॉर्मूला) का इनवेरिएंस (यानी इनवेरिएंस) कहा जाता है।

हालाँकि, इन दो सूत्रों में अभी भी अंतर है: उनमें से पहले में, स्वतंत्र चर का अंतर इस चर की वृद्धि के बराबर है, अर्थात। dx = Dx, और दूसरे में, फ़ंक्शन du का अंतर केवल इस फ़ंक्शन Du की वृद्धि का रैखिक भाग है, और केवल छोटे Dх du »Du के लिए।