असमानताएँ और असमानताओं की व्यवस्थाएँ तर्कसंगत असमानताएँ। तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका

मान लीजिए कि x के संख्यात्मक मान ज्ञात करना आवश्यक है जिस पर कई तर्कसंगत असमानताएं एक साथ वास्तविक संख्यात्मक असमानताओं में बदल जाती हैं। ऐसे मामलों में, हम कहते हैं कि हमें एक अज्ञात x के साथ तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है।

तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, प्रणाली में प्रत्येक असमानता के सभी समाधान खोजने चाहिए। तब सभी पाए गए समाधानों का सामान्य हिस्सा सिस्टम का समाधान होगा।

उदाहरण:असमानताओं की प्रणाली को हल करें

(एक्स -1)(एक्स - 5)(एक्स - 7)< 0,

पहले हम असमानता को हल करते हैं

(एक्स - 1)(एक्स - 5)(एक्स - 7)< 0.

अंतराल विधि (चित्र 1) को लागू करने पर, हम पाते हैं कि असमानता (2) के सभी समाधानों के सेट में दो अंतराल होते हैं: (-, 1) और (5, 7)।

चित्र 1

आइए अब असमानता को हल करें

अंतराल विधि (चित्र 2) का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि असमानता (3) के सभी समाधानों के समुच्चय में भी दो अंतराल होते हैं: (2, 3) और (4, +)।

अब हमें असमानताओं (2) और (3) के हल का उभयनिष्ठ भाग ज्ञात करना है। आइए निर्देशांक अक्ष x खींचते हैं और उस पर पाए गए समाधानों को चिह्नित करते हैं। अब यह स्पष्ट है कि असमानताओं (2) और (3) को हल करने का सामान्य भाग अंतराल (5, 7) (चित्र 3) है।

नतीजतन, असमानताओं की प्रणाली के सभी समाधानों का सेट (1) अंतराल (5, 7) है।

उदाहरण: असमानताओं की प्रणाली को हल करें

x2 - 6x + 10< 0,

आइए पहले असमानता को हल करें

एक्स 2 - 6x + 10< 0.

पूर्ण वर्ग विधि का प्रयोग करके हम लिख सकते हैं कि

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1।

अतः असमानता (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(एक्स - 3) 2 + 1< 0,

जिससे पता चलता है कि इसका कोई समाधान नहीं है।

अब आप असमानता को हल नहीं कर सकते

चूंकि उत्तर पहले से ही स्पष्ट है: सिस्टम (1) का कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण:असमानताओं की प्रणाली को हल करें

पहली असमानता पर विचार करें; अपने पास

1 < 0, < 0.

संकेतों के वक्र का उपयोग करके, हम इस असमानता का समाधान ढूंढते हैं: x< -2; 0 < x < 2.

आइए अब दी गई प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करें। हमारे पास x 2 - 64 . है< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

पहली और दूसरी असमानताओं के पाए गए समाधानों को एक सामान्य वास्तविक रेखा (चित्र 6) पर चिह्नित करने के बाद, हम ऐसे अंतराल पाते हैं जहां ये समाधान मेल खाते हैं (समाधान दमन): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

उदाहरण:असमानताओं की प्रणाली को हल करें

हम प्रणाली की पहली असमानता को बदलते हैं:

एक्स 3 (एक्स - 10) (एक्स + 10) 0, या एक्स (एक्स - 10) (एक्स + 10) 0

(चूंकि विषम शक्तियों वाले कारकों को पहली डिग्री के संबंधित कारकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है); अंतराल विधि का उपयोग करके, हम अंतिम असमानता के समाधान ढूंढते हैं: -10 x 0, x 10।

प्रणाली की दूसरी असमानता पर विचार करें; अपने पास

हम पाते हैं (चित्र 8) x -9; 3< x < 15.

पाए गए समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं (चित्र 9) x 0; एक्स > 3.

उदाहरण:असमानताओं की प्रणाली के पूर्णांक समाधान खोजें:

एक्स + वाई< 2,5,

समाधान: चलिए सिस्टम को फॉर्म में लाते हैं

पहली और दूसरी असमानताओं को जोड़ने पर, हमारे पास y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

कहां से -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

रिक्ति विधि- यह स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में होने वाली लगभग किसी भी असमानता को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका है। यह कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:

1. सतत फलन g(x) केवल उस बिंदु पर संकेत बदल सकता है जहां यह 0 के बराबर है। आलेखीय रूप से, इसका अर्थ है कि एक सतत फलन का ग्राफ एक अर्ध-तल से दूसरे में तभी जा सकता है जब वह x- को पार करता है। अक्ष (हमें याद है कि OX अक्ष (भुज अक्ष) पर स्थित किसी भी बिंदु की कोटि शून्य के बराबर है, अर्थात इस बिंदु पर फलन का मान 0 है):

हम देखते हैं कि ग्राफ पर दिखाया गया फलन y=g(x) OX अक्ष को x= -8, x=-2, x=4, x=8 बिंदुओं पर काटता है। इन बिन्दुओं को फलन का शून्यक कहते हैं। और उसी बिंदु पर फ़ंक्शन g(x) चिह्न बदलता है।

2. फ़ंक्शन हर के शून्य पर चिह्न को भी बदल सकता है - एक प्रसिद्ध फ़ंक्शन का सबसे सरल उदाहरण:

हम देखते हैं कि फलन हर के मूल में, बिंदु पर संकेत बदलता है, लेकिन किसी भी बिंदु पर गायब नहीं होता है। इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन में एक भिन्न है, तो यह हर के मूल में चिह्न को बदल सकता है।

2. हालांकि, फलन हमेशा अंश के मूल में या हर के मूल में चिह्न नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=x 2 बिंदु x=0 पर चिह्न नहीं बदलता है:

इसलिये समीकरण x 2 \u003d 0 की दो समान जड़ें हैं x \u003d 0, बिंदु x \u003d 0 पर, फ़ंक्शन, जैसा कि यह था, दो बार 0 हो जाता है। इस तरह की जड़ को दूसरी बहुलता की जड़ कहा जाता है।

समारोह अंश के शून्य पर चिह्न बदलता है, लेकिन हर के शून्य पर चिह्न नहीं बदलता है: क्योंकि मूल दूसरी बहुलता का मूल है, जो कि सम गुणन का भी है:

महत्वपूर्ण! सम बहुलता के मूल में फलन चिन्ह नहीं बदलता है।

टिप्पणी! कोई गैर रेखीयबीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम की असमानता, एक नियम के रूप में, अंतराल की विधि का उपयोग करके हल की जाती है।

मैं आपको एक विस्तृत प्रस्ताव देता हूं, जिसके बाद आप गलतियों से बच सकते हैं जब गैर-रैखिक असमानताओं को हल करना.

1. सबसे पहले आपको असमानता को फॉर्म में लाना होगा

पी (एक्स) वी 0,

जहाँ V असमानता का चिन्ह है:<,>,≤ या . इसके लिए आपको चाहिए:

a) सभी पदों को असमानता के बाईं ओर ले जाएँ,

बी) परिणामी अभिव्यक्ति की जड़ें पाएं,

ग) असमानता के बाईं ओर गुणनखंडित करें

डी) डिग्री के समान कारकों को लिखें।

ध्यान!जड़ों की बहुलता के साथ गलती न करने के लिए अंतिम क्रिया की जानी चाहिए - यदि परिणाम एक समान डिग्री में गुणक है, तो संबंधित जड़ में एक समान गुणन होता है।

2. प्राप्त मूलों को संख्या रेखा पर रखें।

3. यदि असमानता सख्त है, तो संख्यात्मक अक्ष पर जड़ों को दर्शाने वाले मंडल "खाली" छोड़ दिए जाते हैं, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो मंडलों को चित्रित किया जाता है।

4. हम सम गुणन के मूल का चयन करते हैं - उनमें पी (एक्स)संकेत नहीं बदलता है।

5. चिन्ह का निर्धारण करें पी (एक्स)अंतर के दाईं ओर। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना मान x 0 लें, जो सबसे बड़े रूट से बड़ा है और in . में स्थानापन्न करें पी (एक्स).

यदि P(x 0)>0 (या ≥0), तो सबसे दाहिने अंतराल में हम "+" चिन्ह लगाते हैं।

यदि पी(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

सम गुणन के मूल को इंगित करने वाले बिंदु से गुजरते समय, चिह्न नहीं बदलता है।

7. एक बार फिर हम मूल असमानता के चिन्ह को देखते हैं, और उस चिन्ह के अंतराल का चयन करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है।

8. ध्यान! यदि हमारी असमानता STRICT नहीं है, तो हम समानता की स्थिति को शून्य से अलग से जाँचते हैं।

9. उत्तर लिखिए।

अगर मूल असमानता में हर में एक अज्ञात होता है, फिर हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और असमानता के बाईं ओर को फॉर्म में कम करते हैं

(जहाँ V असमानता का चिन्ह है:< или >)

इस तरह की सख्त असमानता असमानता के बराबर है

सख्त नहींफॉर्म की असमानता

के समान है व्यवस्था:

व्यवहार में, यदि फ़ंक्शन का रूप है, तो हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

अंश और हर के मूल ज्ञात कीजिए।
हम उन्हें धुरी पर रखते हैं। सभी मंडल खाली छोड़ दिए गए हैं। फिर, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो हम अंश की जड़ों पर पेंट करते हैं, और हमेशा हर की जड़ों को खाली छोड़ देते हैं।
अगला, हम सामान्य एल्गोरिथ्म का पालन करते हैं:
हम सम गुणन के मूल का चयन करते हैं (यदि अंश और हर में समान जड़ें हों, तो हम गिनते हैं कि समान जड़ें कितनी बार आती हैं)। सम गुणन के मूल में चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
हम सबसे दाहिने अंतराल पर चिन्ह का पता लगाते हैं।
हम संकेत लगाते हैं।
एक गैर-सख्त असमानता के मामले में, समानता की स्थिति, शून्य से समानता की स्थिति की अलग से जाँच की जाती है।
हम आवश्यक अंतराल और अलग से खड़ी जड़ों का चयन करते हैं।
हम उत्तर लिखते हैं।

बेहतर समझने के लिए अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, वीडियो पाठ देखें जिसमें उदाहरण का विस्तार से विश्लेषण किया गया है अंतराल की विधि द्वारा असमानता का समाधान.

हम उन असमानताओं को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करना जारी रखते हैं जिनकी संरचना में एक चर है। हम पहले ही रैखिक और द्विघात असमानताओं का अध्ययन कर चुके हैं, जो तर्कसंगत असमानताओं के विशेष मामले हैं। इस लेख में, हम स्पष्ट करेंगे कि किस प्रकार की असमानताएँ तर्कसंगत हैं, हम आपको बताएंगे कि वे किस प्रकार (पूर्णांक और भिन्नात्मक) में विभाजित हैं। उसके बाद, हम दिखाएंगे कि उन्हें सही तरीके से कैसे हल किया जाए, आवश्यक एल्गोरिदम दें और विशिष्ट समस्याओं का विश्लेषण करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

तर्कसंगत समानता की अवधारणा

जब स्कूल में असमानताओं को हल करने के विषय का अध्ययन किया जाता है, तो वे तुरंत तर्कसंगत असमानताओं को लेते हैं। वे इस प्रकार की अभिव्यक्ति के साथ काम करने के कौशल को हासिल करते हैं और उसमें सुधार करते हैं। आइए हम इस अवधारणा की परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा 1

एक तर्कसंगत असमानता चर के साथ एक असमानता है जिसमें दोनों भागों में तर्कसंगत अभिव्यक्तियां होती हैं।

ध्यान दें कि परिभाषा किसी भी तरह से चर की संख्या को प्रभावित नहीं करती है, जिसका अर्थ है कि उनमें से मनमाने ढंग से बड़ी संख्या हो सकती है। इसलिए, 1, 2, 3 या अधिक चर वाली परिमेय असमानताएं संभव हैं। अक्सर, किसी को केवल एक चर, कम अक्सर दो वाले भावों से निपटना पड़ता है, और बड़ी संख्या में चर के साथ असमानताओं को आमतौर पर स्कूल के पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर बिल्कुल भी नहीं माना जाता है।

इस प्रकार, हम इसके अंकन को देखकर एक तर्कसंगत असमानता सीख सकते हैं। दाईं ओर और बाईं ओर दोनों तरफ तर्कसंगत अभिव्यक्ति होनी चाहिए। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y - 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

और यहाँ 5 + x + 1 . के रूप की असमानता है< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

सभी तर्कसंगत असमानताओं को पूर्णांक और भिन्न में विभाजित किया गया है।

परिभाषा 2

एक पूर्णांक परिमेय समानता में पूर्णांक परिमेय व्यंजक (दोनों भागों में) होते हैं।

परिभाषा 3

आंशिक रूप से तर्कसंगत समानता- यह एक समानता है जिसमें इसके एक या दोनों भागों में भिन्नात्मक अभिव्यक्ति होती है।

उदाहरण के लिए, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1> 4 - x 4 और 1 - 2 3 5 - y> 1 x 2 - y 2 के रूप की असमानताएँ हैं भिन्नात्मक परिमेय और 0 .5 x ≤ 3 (2 - 5 y)तथा 1: एक्स + 3 > 0- पूरे।

हमने विश्लेषण किया है कि तर्कसंगत असमानताएं क्या हैं और उनके मुख्य प्रकारों की पहचान की है। हम उन्हें हल करने के तरीके के बारे में एक सिंहावलोकन पर आगे बढ़ सकते हैं।

मान लीजिए हमें एक पूर्णांक परिमेय असमानता का समाधान खोजने की आवश्यकता है आर (एक्स)< s (x) , जिसमें केवल एक चर x शामिल है। जिसमें आर (एक्स)तथा एस (एक्स)कोई भी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ या व्यंजक हैं, और असमानता का चिह्न भिन्न हो सकता है। इस कार्य को हल करने के लिए, हमें इसे बदलने और समान समानता प्राप्त करने की आवश्यकता है।

आइए व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाकर प्रारंभ करें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

r (x) - s (x) के रूप का< 0 (≤ , > , ≥)

हम जानते हैं कि आर (एक्स) - एस (एक्स)एक पूर्णांक मान होगा, और किसी भी पूर्णांक व्यंजक को बहुपद में बदला जा सकता है। आइए रूपांतरित करें आर (एक्स) - एस (एक्स)एच (एक्स) में। यह व्यंजक एक समान रूप से समान बहुपद होगा। यह मानते हुए कि r (x) - s (x) और h (x) में x के संभावित मानों की समान श्रेणी है, हम असमानताओं h (x) को पास कर सकते हैं< 0 (≤ , >, ) , जो मूल के बराबर होगा।

अक्सर ऐसा सरल परिवर्तन असमानता को हल करने के लिए पर्याप्त होगा, क्योंकि परिणाम एक रैखिक या द्विघात असमानता हो सकता है, जिसके मूल्य की गणना करना मुश्किल नहीं है। आइए एक नजर डालते हैं इन मुद्दों पर।

उदाहरण 1

स्थि‍ति:एक पूर्णांक तर्कसंगत असमानता को हल करें एक्स (एक्स + 3) + 2 एक्स (एक्स + 1) 2 + 1.

समाधान

आइए विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करके प्रारंभ करें।

एक्स (एक्स + 3) + 2 एक्स - (एक्स + 1) 2 - 1 ≤ 0

अब जब हमने बाईं ओर बहुपद के साथ सभी संक्रियाएं पूरी कर ली हैं, तो हम रैखिक असमानता पर आगे बढ़ सकते हैं 3 एक्स -2 ≤ 0, जो शर्त में दिया गया था उसके बराबर। इसे हल करना आसान है:

3 एक्स ≤ 2 एक्स ≤ 2 3

उत्तर:एक्स 2 3।

उदाहरण 2

स्थि‍ति:असमानता का समाधान खोजें (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

समाधान

हम व्यंजक को बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके आगे के परिवर्तन करते हैं।

(x 2 + 1) 2 - 3 x 2 - (x 2 - x) (x 2 + x)> 0 x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 x 2 - x 4 + x 2> 0 1> 0

हमारे परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें एक असमानता मिली जो x के किसी भी मान के लिए सही होगी, इसलिए कोई भी वास्तविक संख्या मूल असमानता का समाधान हो सकती है।

उत्तर:कोई वास्तविक संख्या।

उदाहरण 3

स्थि‍ति:असमानता का समाधान x + 6 + 2 x 3 - 2 x (x 2 + x - 5) > 0.

समाधान

हम दाईं ओर से कुछ भी स्थानांतरित नहीं करेंगे, क्योंकि 0 है। आइए बाईं ओर को बहुपद में परिवर्तित करके तुरंत शुरू करें:

x + 6 + 2 x 3 -2 x 3 -2 x 2 + 10 x > 0 -2 x 2 + 11 x + 6 > 0 ।

हमने मूल असमानता के बराबर एक द्विघात असमानता निकाली है, जिसे कई तरीकों से आसानी से हल किया जा सकता है। आइए ग्राफिकल विधि का उपयोग करें।

आइए वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों की गणना करके शुरू करें − 2 x 2 + 11 x + 6:

डी \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x 2 \ u003d 6

अब आरेख पर हम सभी आवश्यक शून्यों को चिह्नित करते हैं। चूंकि अग्रणी गुणांक शून्य से कम है, ग्राफ़ पर परवलय की शाखाएं नीचे दिखाई देंगी।

हमें भुजिका अक्ष के ऊपर स्थित एक परवलय क्षेत्र की आवश्यकता होगी, क्योंकि हमारे पास असमानता में > चिह्न है। वांछित अंतराल है (− 0 , 5 , 6) , इसलिए, मूल्यों की यह श्रेणी हमारे लिए आवश्यक समाधान होगी।

उत्तर: (− 0 , 5 , 6) .

अधिक जटिल मामले भी होते हैं जब बाईं ओर तीसरी या उच्च डिग्री का बहुपद प्राप्त होता है। ऐसी असमानता को हल करने के लिए, अंतराल विधि का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। पहले हम बहुपद के सभी मूलों की गणना करते हैं एच (एक्स), जो बहुपद का गुणनखंडन करके बहुधा किया जाता है।

उदाहरण 4

स्थि‍ति:गणना करना (एक्स 2 + 2) (एक्स + 4)< 14 − 9 · x .

समाधान

आइए, हमेशा की तरह, व्यंजक को बाईं ओर ले जाकर प्रारंभ करें, जिसके बाद कोष्ठकों को खोलना और समान पदों को कम करना आवश्यक होगा।

(x 2 + 2) (x + 4) - 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें मूल समानता के बराबर समानता मिली, जिसके बाईं ओर तीसरी डिग्री का बहुपद है। हम इसे हल करने के लिए अंतराल विधि लागू करते हैं।

सबसे पहले, हम बहुपद की जड़ों की गणना करते हैं, जिसके लिए हमें घन समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. क्या इसकी तर्कसंगत जड़ें हैं? वे केवल मुक्त पद के भाजक में से हो सकते हैं, अर्थात्। संख्याओं के बीच ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 । हम उन्हें बदले में मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और पता लगाते हैं कि संख्या 1, 2 और 3 इसकी जड़ें होंगी।

तो बहुपद x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6उत्पाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है (एक्स - 1) (एक्स - 2) (एक्स - 3), और असमानता x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है (एक्स - 1) (एक्स - 2) (एक्स - 3)< 0 . इस तरह की असमानता के साथ, अंतराल पर संकेतों को निर्धारित करना हमारे लिए आसान होगा।

अगला, हम अंतराल विधि के शेष चरणों का पालन करते हैं: एक संख्या रेखा खींचें और उस पर निर्देशांक 1 , 2 , 3 के साथ अंक बनाएं। वे सीधी रेखा को 4 अंतरालों में विभाजित करते हैं जिसमें संकेतों को निर्धारित करना आवश्यक होता है। हम माइनस के साथ अंतराल को छायांकित करते हैं, क्योंकि मूल असमानता का संकेत है < .

हमें केवल तैयार उत्तर लिखना है: (- , 1) (2 , 3) ।

उत्तर: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

कुछ मामलों में, असमानता r (x) - s (x) से संक्रमण करें< 0 (≤ , >, ) से एच (एक्स)< 0 (≤ , >, ) , जहाँ एच (एक्स)- 2 से बड़ा बहुपद अनुपयुक्त है। यह उन मामलों तक विस्तारित होता है जहां r(x) - s(x) को रैखिक द्विपदों और वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में अलग-अलग कारकों में गुणनखंड h(x) के रूप में प्रस्तुत करना आसान होता है। आइए इस समस्या पर एक नजर डालते हैं।

उदाहरण 5

स्थि‍ति:असमानता का समाधान खोजें (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) ≥ 2 x (x 2 - 2 x - 1).

समाधान

यह असमानता पूर्णांकों पर लागू होती है। यदि हम व्यंजक को दायीं ओर से बायीं ओर घुमाते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और पदों में कमी करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 ।

इस तरह की असमानता को हल करना आसान नहीं है, क्योंकि आपको चौथे दर्जे के बहुपद की जड़ों की तलाश करनी होगी। इसका कोई परिमेय मूल नहीं है (उदाहरण के लिए, 1 , -1 , 19 या − 19 फिट नहीं है), और अन्य जड़ों की तलाश करना मुश्किल है। इसलिए हम इस पद्धति का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

लेकिन अन्य उपाय भी हैं। यदि हम मूल असमानता के दायीं ओर के भावों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो हम सामान्य कारक की ब्रैकेटिंग कर सकते हैं एक्स 2 - 2 एक्स - 1 :

(x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) - 2 x (x 2 - 2 x - 1) 0 (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 2 · x - 19) ≥ 0 .

हमने मूल असमानता के बराबर एक असमानता प्राप्त की है, और इसका समाधान हमें आवश्यक उत्तर देगा। बाईं ओर के व्यंजक के शून्य ज्ञात कीजिए, जिसके लिए हम द्विघात समीकरणों को हल करते हैं एक्स 2 - 2 एक्स - 1 = 0तथा एक्स 2 - 2 एक्स - 19 = 0. उनके मूल हैं 1 ± 2 , 1 ± 2 5 । हम समता x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 0 की ओर मुड़ते हैं, जिसे अंतराल विधि द्वारा हल किया जा सकता है:

चित्र के अनुसार उत्तर है - , 1 - 2 5 1 - 2 5 , 1 + 2 1 + 2 5 , + ∞ ।

उत्तर: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

हम जोड़ते हैं कि कभी-कभी बहुपद के सभी मूल ज्ञात करना संभव नहीं होता है एच (एक्स)इसलिए, हम इसे रैखिक द्विपद और वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में प्रदर्शित नहीं कर सकते। फिर एच (एक्स) के रूप की असमानता को हल करें< 0 (≤ , >, ) हम नहीं कर सकते, इसलिए, मूल तर्कसंगत असमानता को हल करना भी असंभव है।

मान लीजिए कि हमें फॉर्म r (x) की भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं को हल करना है< s (x) (≤ , >, ) , जहां r (x) और एस (एक्स)परिमेय व्यंजक हैं, x एक चर है। निर्दिष्ट व्यंजकों में से कम से कम एक भिन्नात्मक होगा। इस मामले में समाधान एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

हम चर x के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा निर्धारित करते हैं।
हम असमानता के दाईं ओर से अभिव्यक्ति को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और परिणामी अभिव्यक्ति आर (एक्स) - एस (एक्स)अंश के रूप में दर्शाया गया है। इस बीच, जहां पी (एक्स)तथा क्यू (एक्स)पूर्णांक व्यंजक होंगे जो रैखिक द्विपद, अविघटनीय वर्ग त्रिपद, और प्राकृतिक घातांक वाली घातों के उत्पाद हैं।
इसके बाद, हम परिणामी असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं।
अंतिम चरण समाधान के दौरान प्राप्त बिंदुओं को x चर के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा से बाहर करना है जिसे हमने शुरुआत में परिभाषित किया था।

यह आंशिक रूप से तर्कसंगत असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम है। इसमें से अधिकांश स्पष्ट है, केवल पैराग्राफ 2 के लिए छोटे स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। हमने व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाया और r (x) - s (x) प्राप्त किया< 0 (≤ , >, ≥) , और फिर इसे p (x) q (x) के रूप में कैसे लाया जाए< 0 (≤ , > , ≥) ?

सबसे पहले, हम यह निर्धारित करते हैं कि किसी दिए गए परिवर्तन को हमेशा किया जा सकता है या नहीं। सैद्धांतिक रूप से, ऐसी संभावना हमेशा होती है, क्योंकि किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति को तर्कसंगत अंश में परिवर्तित किया जा सकता है। यहाँ हमारे पास अंश और हर में बहुपद वाली भिन्न है। बीजगणित के मूल प्रमेय और बेज़ाउट के प्रमेय को याद करें और निर्धारित करें कि एक चर वाले nth डिग्री के किसी भी बहुपद को रैखिक द्विपद के उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है। इसलिए, सिद्धांत रूप में, हम हमेशा इस तरह से अभिव्यक्ति को बदल सकते हैं।

व्यवहार में, बहुपदों का गुणनखंडन करना अक्सर काफी कठिन कार्य होता है, खासकर यदि घात 4 से अधिक हो। यदि हम विस्तार नहीं कर सकते हैं, तो हम इस असमानता को हल नहीं कर पाएंगे, लेकिन आमतौर पर ऐसी समस्याओं का अध्ययन स्कूल के पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर नहीं किया जाता है।

इसके बाद, हमें यह तय करने की आवश्यकता है कि परिणामी असमानता p (x) q (x) है या नहीं< 0 (≤ , >, ) r (x) - s (x) के संबंध में समतुल्य< 0 (≤ , >, ) और मूल के लिए। संभावना है कि यह असमान हो सकता है।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा होने पर असमानता की समानता सुनिश्चित की जाएगी पी (एक्स) क्यू (एक्स)अभिव्यक्ति की सीमा से मेल खाता है आर (एक्स) - एस (एक्स). फिर भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं को हल करने के लिए निर्देशों के अंतिम पैराग्राफ का पालन करने की आवश्यकता नहीं है।

लेकिन के लिए सीमा पी (एक्स) क्यू (एक्स)से अधिक चौड़ा हो सकता है आर (एक्स) - एस (एक्स), उदाहरण के लिए, भिन्नों को कम करके। एक उदाहरण x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 से x x - 1 x + 3 तक जाना होगा। या समान शब्दों को जोड़ते समय ऐसा हो सकता है, उदाहरण के लिए, यहां:

एक्स + 5 एक्स - 2 2 एक्स - एक्स + 5 एक्स - 2 2 एक्स + 1 एक्स + 3 से 1 एक्स + 3

ऐसे मामलों के लिए, एल्गोरिथम का अंतिम चरण जोड़ा जाता है। इसे क्रियान्वित करने से आपको वेरिएबल के बाहरी मूल्यों से छुटकारा मिल जाएगा जो वैध मूल्यों की सीमा के विस्तार के कारण उत्पन्न होते हैं। हम किस बारे में बात कर रहे हैं, इसे स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 6

स्थि‍ति:परिमेय समता x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 - 3 x x - 3 2 x + 1 का हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम ऊपर बताए गए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं। सबसे पहले, हम स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करते हैं। इस मामले में, यह असमानताओं की प्रणाली x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसका समाधान समुच्चय (− ∞ , - 1) (− 1 , 3) ∪ (3 , + ) ।

एक्स एक्स + 1 एक्स - 3 + 4 (एक्स - 3) 2 + 3 एक्स (एक्स - 3) 2 (एक्स + 1) ≥ 0

उसके बाद, हमें इसे बदलने की जरूरत है ताकि अंतराल विधि को लागू करना सुविधाजनक हो। सबसे पहले, हम बीजीय भिन्नों को निम्नतम उभयनिष्ठ हर में लाते हैं (एक्स - 3) 2 (एक्स + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

हम योग के वर्ग के सूत्र को लागू करके अंश में व्यंजक को संक्षिप्त करते हैं:

एक्स 2 + 4 एक्स + 4 एक्स - 3 2 एक्स + 1 = एक्स + 2 2 एक्स - 3 2 एक्स + 1

परिणामी व्यंजक के मान्य मानों की श्रेणी (− , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) है। हम देखते हैं कि यह उसी के समान है जिसे मूल समानता के लिए परिभाषित किया गया था। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 मूल के बराबर है, जिसका अर्थ है कि हमें एल्गोरिथम के अंतिम चरण की आवश्यकता नहीं है।

हम अंतराल विधि का उपयोग करते हैं:

हम हल ( − 2 ) (− 1, 3) ∪ (3 , + ) देखते हैं, जो मूल परिमेय असमानता x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 का हल होगा। एक्स (एक्स - 3) 2 · (एक्स + 1)।

उत्तर: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

उदाहरण 7

स्थि‍ति:समाधान की गणना करें x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 ।

समाधान

हम स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र निर्धारित करते हैं। इस असमानता की स्थिति में, यह − 2 , − 1 , 0 और को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के बराबर होगी। 1 .

हम भावों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं:

एक्स + 3 एक्स - 1 - 3 एक्स एक्स + 2 + 2 एक्स - 1 - 1 एक्स + 1 - 2 एक्स + 2 एक्स 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

परिणाम को देखते हुए, हम लिखते हैं:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

व्यंजक के लिए - 1 x - 1, मान्य मानों की श्रेणी एक को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगी। हम देखते हैं कि मूल्यों की सीमा का विस्तार हुआ है: − 2 , − 1 और 0 . इसलिए, हमें एल्गोरिथम के अंतिम चरण को करने की आवश्यकता है।

चूँकि हम असमानता - 1 x - 1 > 0 पर आ गए हैं, हम इसके समतुल्य 1 x - 1 . लिख सकते हैं< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

हम उन बिंदुओं को बाहर करते हैं जो मूल समानता के स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणी में शामिल नहीं हैं। हमें (− , 1) संख्याओं − 2 , − 1 और . से बाहर करने की आवश्यकता है 0 . इस प्रकार, परिमेय असमानता का हल x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 के मान होंगे (- , -2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) ।

उत्तर: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

अंत में, हम एक समस्या का एक और उदाहरण देते हैं जिसमें अंतिम उत्तर स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पर निर्भर करता है।

उदाहरण 8

स्थि‍ति:असमानता का हल खोजें 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ।

समाधान

स्थिति में निर्दिष्ट असमानता के स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र सिस्टम द्वारा निर्धारित किया जाता है x 2 0 x 2 - x + 1 0 x - 1 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - एक्स 2 - 1 एक्स - 1 ≠ 0।

इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है क्योंकि

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = एक्स + 1 - (एक्स + 1) = 0

इसका मतलब यह है कि मूल समानता 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0 का कोई हल नहीं है, क्योंकि चर के ऐसे कोई मान नहीं हैं जिसके लिए यह होगा सही बात।

उत्तर:कोई समाधान नहीं हैं।

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>>गणित: तर्कसंगत असमानताएं

एक चर x वाली परिमेय असमानता, परिमेय व्यंजकों के रूप की असमानता है, अर्थात्। संख्याओं और चर x से बने बीजीय व्यंजक जोड़, घटाव, गुणा, भाग और प्राकृतिक घात तक बढ़ाने की संक्रियाओं का उपयोग करते हैं। बेशक, चर को किसी अन्य अक्षर से निरूपित किया जा सकता है, लेकिन गणित में, अक्षर x को सबसे अधिक पसंद किया जाता है।

तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, ऊपर § 1 में तैयार किए गए तीन नियमों का उपयोग किया जाता है। इन नियमों की सहायता से, दी गई तर्कसंगत असमानता को आमतौर पर / (x)> 0 के रूप में परिवर्तित किया जाता है, जहां / (x) एक बीजीय है भिन्न (या बहुपद)। इसके बाद, अंश f (x) के अंश और हर को x - a (यदि, निश्चित रूप से, यह संभव है) के कारकों में विघटित करें और अंतराल विधि लागू करें, जिसका हमने पहले ही ऊपर उल्लेख किया है (पिछले में उदाहरण 3 देखें) पैराग्राफ)।

उदाहरण 1असमानता को हल करें (x - 1) (x + 1) (x - 2)> 0।

समाधान।व्यंजक f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2) पर विचार करें।

यह अंक 1,-1,2 पर 0 हो जाता है; इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करें। संख्यात्मक रेखा को संकेतित बिंदुओं द्वारा चार अंतरालों (चित्र 6) में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक पर व्यंजक f (x) एक स्थिर चिह्न रखता है। इसे सत्यापित करने के लिए, हम चार तर्क देंगे (इनमें से प्रत्येक अंतराल के लिए अलग से)।

अंतराल से कोई भी बिंदु x लें (2, यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के दाईं ओर और बिंदु 2 के दाईं ओर स्थित है। इसका मतलब है कि x> -1, x> 1, x> 2 (चित्र 7) लेकिन फिर x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, और इसलिए f (x)> 0 (तीन सकारात्मक की तर्कसंगत असमानता के उत्पाद के रूप में) संख्याएँ)। तो, असमानता f (x )> 0।

अंतराल (1,2) से कोई भी बिंदु x लीजिए। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के दाईं ओर, लेकिन बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। इसलिए, x\u003e -1, x\u003e 1, लेकिन x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

अंतराल (-1,1) से कोई भी बिंदु x लीजिए। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के दाईं ओर, बिंदु 1 के बाईं ओर और बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। तो x> -1, लेकिन x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, एक्स -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (दो ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या के गुणनफल के रूप में)। तो, अंतराल (-1,1) पर असमानता f (x)> 0 धारण करती है।

अंत में, खुली किरण (-oo, -1) से कोई भी बिंदु x लें। यह बिंदु संख्या रेखा पर बिंदु -1 के बाईं ओर, बिंदु 1 के बाईं ओर और बिंदु 2 के बाईं ओर स्थित है। इसका मतलब है कि x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

आइए संक्षेप करते हैं। चयनित अंतरालों में व्यंजक f (x) के चिह्न चित्र में दर्शाए गए हैं। 11. हम उनमें से उन में रुचि रखते हैं जिन पर असमानता f (x)> 0 संतुष्ट है। अंजीर में प्रस्तुत ज्यामितीय मॉडल का उपयोग करना। 11, हम स्थापित करते हैं कि असमानता f (x) > 0 अंतराल (-1, 1) या खुले बीम पर संतुष्ट है
उत्तर: -1 < х < 1; х > 2.

उदाहरण 2असमानता को हल करें
समाधान।पिछले उदाहरण की तरह, हम अंजीर से आवश्यक जानकारी प्राप्त करेंगे। 11, लेकिन उदाहरण 1 की तुलना में दो परिवर्तनों के साथ। पहला, चूंकि हम इस बात में रुचि रखते हैं कि x के कौन से मान असमानता को संतुष्ट करते हैं f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки दूसरे, हम उन बिंदुओं से भी संतुष्ट हैं जिन पर f (x) = 0 की समानता संतुष्ट है। ये बिंदु -1, 1, 2 हैं, हम उन्हें आकृति में काले घेरे से चिह्नित करते हैं और उन्हें उत्तर में शामिल करते हैं। अंजीर पर। 12 प्रतिक्रिया का एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है, जिससे विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड में जाना मुश्किल नहीं है।
उत्तर:
उदाहरण 3.असमानता को हल करें
समाधान. आइए हम असमानता के बाईं ओर निहित बीजीय अंश fx के अंश और हर का गुणनखंड करें। अंश में हमारे पास x 2 - x \u003d x (x - 1) है।

भिन्न के हर में निहित वर्ग त्रिपद x 2 - bx ~ 6 का गुणनखंड करने के लिए, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं। समीकरण x 2 - 5x - 6 \u003d 0 से हम x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6 पाते हैं। इसलिए, (हमने एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के लिए सूत्र का उपयोग किया: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2))।
इस प्रकार, हमने दी गई असमानता को रूप में बदल दिया है

अभिव्यक्ति पर विचार करें:

इस भिन्न का अंश अंक 0 और 1 पर 0 हो जाता है और अंक -1 और 6 पर 0 हो जाता है। आइए इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर चिह्नित करें (चित्र 13)। संख्यात्मक रेखा को संकेतित बिंदुओं से पांच अंतरालों में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक अंतराल पर अभिव्यक्ति fx) एक स्थिर चिह्न रखता है। उदाहरण 1 की तरह ही तर्क करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि चयनित अंतरालों में व्यंजक fx) के चिह्न चित्र में दर्शाए गए हैं। 13. हम इस बात में रुचि रखते हैं कि असमानता f (x) कहाँ है< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 उत्तर: -1

उदाहरण 4असमानता को हल करें

समाधान।तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, एक नियम के रूप में, वे असमानता के दाईं ओर केवल संख्या 0 छोड़ना पसंद करते हैं। इसलिए, हम असमानता को रूप में बदलते हैं

आगे:

जैसा कि अनुभव से पता चलता है, यदि असमानता के दाईं ओर केवल संख्या 0 है, तो यह तर्क करना अधिक सुविधाजनक है कि इसके बाईं ओर के अंश और हर दोनों में एक सकारात्मक वरिष्ठ गुणांक है। और हमारे पास क्या है? हमारे पास सब कुछ है इस अर्थ में भिन्न का हर क्रम में (अग्रणी गुणांक, यानी x 2 पर गुणांक, 6 - एक सकारात्मक संख्या है), लेकिन अंश में सब कुछ क्रम में नहीं है - वरिष्ठ गुणांक (x पर गुणांक) है - 4 (ऋणात्मक संख्या) असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने और असमानता के संकेत को विपरीत में बदलने पर, हम एक समान असमानता प्राप्त करते हैं

आइए एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें। अंश में, सब कुछ सरल है:
एक भिन्न के हर में निहित वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना

(हमने एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के लिए फिर से सूत्र का उपयोग किया)।
इस प्रकार, हमने दी गई असमानता को रूप में घटा दिया है

अभिव्यक्ति पर विचार करें

इस भिन्न का अंश बिंदु पर 0 हो जाता है और हर - बिंदुओं पर। हम इन बिंदुओं को संख्या रेखा (चित्र 14) पर नोट करते हैं, जो संकेतित बिंदुओं से चार अंतरालों में विभाजित होता है, और प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक f (x) एक स्थिर चिन्ह रखता है (ये चिन्ह चित्र 14 में दर्शाए गए हैं)। हम उन अंतरालों में रुचि रखते हैं जिन पर असमानता fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने दी गई असमानता को f (x)> 0 या f (x) के रूप की एक समान असमानता में बदल दिया।<0,где
इस मामले में, अंश के अंश और हर में कारकों की संख्या कोई भी हो सकती है। फिर अंक रेखा पर अंक a, b, c, e अंकित किए गए। और चयनित अंतरालों पर व्यंजक f (x) के चिह्नों को निर्धारित किया। हमने देखा कि चयनित अंतरालों के दाईं ओर, असमानता f (x)> 0 संतुष्ट है, और फिर व्यंजक f (x) के संकेत अंतराल के साथ वैकल्पिक होते हैं (चित्र 16a देखें)। इस प्रत्यावर्तन को एक लहरदार वक्र की सहायता से आसानी से चित्रित किया गया है, जिसे दाएँ से बाएँ और ऊपर से नीचे की ओर खींचा गया है (चित्र 166)। उन अंतरालों पर जहां यह वक्र (इसे कभी-कभी संकेतों का वक्र कहा जाता है) x-अक्ष के ऊपर स्थित होता है, असमानता f (x) > 0 संतुष्ट होती है; जहां यह वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है, असमानता f (x)< 0.

उदाहरण 5असमानता को हल करें

समाधान।हमारे पास है

(पिछली असमानता के दोनों भागों को 6 से गुणा किया गया था)।
अंतराल विधि का उपयोग करने के लिए, संख्या रेखा पर बिंदुओं को चिह्नित करें (इन बिंदुओं पर असमानता के बाईं ओर निहित अंश का अंश गायब हो जाता है) और अंक (इन बिंदुओं पर संकेतित अंश का हर गायब हो जाता है)। आमतौर पर, बिंदुओं को योजनाबद्ध रूप से चिह्नित किया जाता है, उस क्रम को ध्यान में रखते हुए जिसमें वे अनुसरण करते हैं (जो दाईं ओर है, जो बाईं ओर है) और विशेष रूप से पैमाने पर ध्यान नहीं दे रहा है। यह स्पष्ट है कि संख्याओं के साथ स्थिति अधिक जटिल है। पहला अनुमान बताता है कि दोनों संख्याएँ 2.6 से थोड़ी बड़ी हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकालना असंभव है कि कौन सी संकेतित संख्याएँ अधिक हैं और कौन सी कम। मान लीजिए (यादृच्छिक रूप से) कि तब
यह सही असमानता निकला, जिसका अर्थ है कि हमारे अनुमान की पुष्टि हुई: वास्तव में
इसलिए,

हम संख्या रेखा (चित्र 17a) पर संकेतित क्रम में संकेतित 5 बिंदुओं को चिह्नित करते हैं। अभिव्यक्ति के संकेतों को व्यवस्थित करें
प्राप्त अंतराल पर: बहुत दाईं ओर - एक + चिन्ह, और फिर संकेत वैकल्पिक (चित्र। 176)। आइए हम संकेतों का एक वक्र बनाएं और उन अंतरालों का चयन करें (छायांकित करके) जिन पर असमानता f (x) > 0 हमारे लिए संतुष्ट है (चित्र 17c)। अंत में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हम एक गैर-सख्त असमानता f (x) > 0 के बारे में बात कर रहे हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन बिंदुओं में भी रुचि रखते हैं जहां पर व्यंजक f (x) गायब हो जाता है। ये भिन्न f (x) के अंश के मूल हैं, अर्थात्। अंक हम उन्हें अंजीर में चिह्नित करते हैं। 17 काले घेरे में (और, निश्चित रूप से, उत्तर में शामिल करें)। अब यहाँ तस्वीर है। 17c दी गई असमानता के समाधान के लिए एक पूर्ण ज्यामितीय मॉडल देता है।

पाठ का विषय "तर्कसंगत असमानताओं का समाधान प्रणाली"

कक्षा 10

पाठ प्रकार: खोज

उद्देश्य: एक नई स्थिति में अंतराल विधि को लागू करने, एक मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के तरीके खोजना।

पाठ मकसद:

तर्कसंगत असमानताओं और उनकी प्रणालियों को हल करने में कौशल की जाँच करें; - मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करते समय छात्रों को अंतराल विधि का उपयोग करने की संभावनाएं दिखाएं;

तार्किक रूप से सोचना सिखाएं;

अपने काम के स्व-मूल्यांकन के कौशल का विकास करना;

अपने विचार व्यक्त करना सीखें

तर्क के साथ अपनी बात का बचाव करना सीखें;

छात्रों में सीखने के लिए एक सकारात्मक मकसद बनाना;

छात्र स्वतंत्रता का विकास करें।

कक्षाओं के दौरान

मैं। आयोजन का समय(1 मिनट)

नमस्कार, आज हम "तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली" विषय का अध्ययन करना जारी रखेंगे, हम अपने ज्ञान और कौशल को एक नई स्थिति में लागू करेंगे।

"तर्कसंगत असमानताओं को हल करने वाली प्रणाली" पाठ की तारीख और विषय लिखें। आज मैं आपको गणित की सड़कों पर एक यात्रा पर आमंत्रित करता हूं, जहां परीक्षाएं आपका इंतजार करती हैं, ताकत की परीक्षा। आपके पास अपने डेस्क पर कार्यों के साथ रोड मैप हैं, एक स्व-मूल्यांकन वेबिल, जिसे आप यात्रा के अंत में मुझे (प्रेषक) को सौंप देंगे।

यात्रा का आदर्श वाक्य होगा "सड़क पर चलने वाले को महारत हासिल होगी, और जो गणित के बारे में सोचता है". अपने ज्ञान का सामान अपने साथ ले जाएं। विचार प्रक्रिया चालू करें और जाएं। सड़क पर हमारे साथ एक रोड रेडियो होगा।संगीत का एक टुकड़ा लगता है (1 मिनट)। फिर एक तेज बीप।

द्वितीय. ज्ञान परीक्षण का चरण। समूह के काम।"सामान निरीक्षण"

यहाँ पहला परीक्षण "सामान निरीक्षण" है, जो विषय पर आपके ज्ञान का परीक्षण करता है

अब आप 3 या 4 लोगों के ग्रुप में बंट जाएंगे। हर किसी के डेस्क पर वर्कशीट होती है। इन कार्यों को आपस में बांटें, हल करें, तैयार उत्तरों को एक आम शीट पर लिखें। 3 लोगों का समूह कोई भी 3 कार्य चुनता है। जो कोई भी सभी कार्यों को पूरा करेगा वह शिक्षक को इसकी सूचना देगा। मैं या मेरे सहायक उत्तरों की जाँच करेंगे, और यदि कम से कम एक उत्तर गलत है, तो समूह को पुनः जाँच के लिए एक पत्रक वापस कर दिया जाता है. (बच्चे उत्तर नहीं देखते हैं, उन्हें केवल यह बताया जाता है कि किस कार्य में उत्तर गलत है)।बिना किसी त्रुटि के सभी कार्यों को पूरा करने वाला पहला समूह जीत जाएगा। जीतने के लिए आगे।

संगीत बहुत ही शांत है।

यदि दो या तीन समूह एक ही समय में काम पूरा कर लेते हैं, तो दूसरे समूह के लोगों में से एक शिक्षक की जाँच करने में मदद करेगा। शिक्षक के साथ शीट पर उत्तर (4 प्रतियां)।

एक विजेता समूह दिखाई देने पर काम रुक जाता है।

सेल्फ असेसमेंट चेकलिस्ट को पूरा करना न भूलें। और हम आगे बढ़ते हैं।

"सामान स्क्रीनिंग" के लिए कार्य के साथ शीट

1) 3)

2) 4)

III. ज्ञान को अद्यतन करने और नए ज्ञान की खोज का चरण। "यूरेका"

निरीक्षण से पता चला कि आपके पास ज्ञान का खजाना है।

लेकिन सड़क पर हर तरह की स्थितियां हैं, कभी-कभी सरलता की आवश्यकता होती है, और यदि आप इसे अपने साथ ले जाना भूल गए हैं, तो देखें।

आपने सीखा है कि अंतराल विधि का उपयोग करके तर्कसंगत असमानताओं की प्रणालियों को कैसे हल किया जाता है। आज हम देखेंगे कि किन समस्याओं के समाधान के लिए इस पद्धति का उपयोग करना उचित है। लेकिन पहले, आइए याद रखें कि एक मॉड्यूल क्या है।

1. वाक्यों को जारी रखें "किसी संख्या का मापांक संख्या के बराबर होता है, यदि ..."(मौखिक रूप से)

"किसी संख्या का मापांक विपरीत संख्या के बराबर होता है यदि..."

2. मान लीजिए कि x . में A(X) एक बहुपद है

रिकॉर्डिंग जारी रखें:

उत्तर:

व्यंजक A (x) के विपरीत व्यंजक लिखिए

ए (एक्स) = 5 - 4x; ए (एक्स) = 6x 2 - 4x + 2

ए(एक्स)= -ए(एक्स)=

छात्र बोर्ड पर लिखता है, लोग नोटबुक में लिखते हैं।

3. अब आइए मापांक के साथ द्विघात असमानता को हल करने का एक तरीका खोजने का प्रयास करें

इस असमानता को दूर करने के लिए आपके क्या सुझाव हैं?

दोस्तों के सुझाव सुनें।

यदि कोई प्रस्ताव नहीं हैं, तो प्रश्न पूछें: "क्या असमानताओं की प्रणालियों का उपयोग करके इस असमानता को हल करना संभव है?"

छात्र बाहर आता है और फैसला करता है।

चतुर्थ। नए ज्ञान के प्राथमिक समेकन का चरण, समाधान एल्गोरिदम तैयार करना। सामान की पुनःपूर्ति।

(4 लोगों के समूह में काम करें)।

अब मेरा सुझाव है कि आप अपना सामान फिर से भर दें। आप समूहों में काम करेंगे।प्रत्येक समूह को 2 टास्क कार्ड दिए जाते हैं।

पहले कार्ड पर, आपको बोर्ड पर प्रस्तुत असमानताओं को हल करने के लिए सिस्टम लिखने और ऐसी असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम विकसित करने की आवश्यकता है, आपको इसे हल करने की आवश्यकता नहीं है।

समूहों का पहला कार्ड अलग है, दूसरा एक ही है

क्या हुआ?

बोर्ड पर प्रत्येक समीकरण के तहत, आपको सिस्टम का एक सेट लिखना होगा।

4 छात्र बाहर आते हैं और सिस्टम लिखते हैं। इस समय, हम कक्षा के साथ एल्गोरिथम पर चर्चा करते हैं.

वी ज्ञान के समेकन का चरण।"घर का रास्ता"।

सामान भर दिया, अब लौटने का समय है। अब संकलित एल्गोरिथम के अनुसार मापांक के साथ किसी भी प्रस्तावित असमानता को स्वतंत्र रूप से हल करें।

आपके साथ सड़क पर फिर से एक रोड रेडियो होगा।

शांत पृष्ठभूमि संगीत चालू करें. शिक्षक डिजाइन की जांच करता है और, यदि आवश्यक हो, सलाह देता है।

बोर्ड पर असाइनमेंट।

काम पूरा हो चुका है। उत्तरों की जाँच करें (वे बोर्ड के पीछे हैं), स्व-मूल्यांकन वेबिल भरें।

होमवर्क सेट करना.

अपना होमवर्क लिखें (अपनी नोटबुक में उन असमानताओं को फिर से लिखें जो आपने नहीं कीं या गलतियों के साथ कीं, इसके अतिरिक्त संख्या 84 (ए) पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 373 पर यदि आप चाहें तो)

VI. विश्राम चरण।

यह यात्रा आपके लिए कितनी उपयोगी रही?

आपने क्या सीखा?

संक्षेप। गणना करें कि आप में से प्रत्येक ने कितने अंक अर्जित किए।(बच्चे अंतिम स्कोर का नाम देते हैं)।स्व-मूल्यांकन पत्रक डिस्पैचर को, अर्थात् मुझे सौंप दें।

मैं एक दृष्टांत के साथ पाठ को समाप्त करना चाहता हूं।

"एक बुद्धिमान व्यक्ति चल रहा था, और तीन लोग उससे मिल रहे थे, जो तेज धूप के तहत निर्माण के लिए पत्थरों के साथ गाड़ियां ले जा रहे थे। ऋषि रुके और एक-एक प्रश्न पूछा। उसने पहले वाले से पूछा: "तुमने पूरे दिन क्या किया?", और उसने मुस्कराहट के साथ उत्तर दिया कि वह पूरे दिन शापित पत्थरों को ले जा रहा था। ऋषि ने दूसरे से पूछा: "आपने पूरे दिन क्या किया?", और उसने उत्तर दिया: "मैंने अपना काम ईमानदारी से किया," और तीसरा मुस्कुराया, उसका चेहरा खुशी और खुशी से चमक उठा: "और मैंने निर्माण में भाग लिया मंदिर के!"

सबक खत्म हो गया है।

सेल्फ असेसमेंट शीट

उपनाम, प्रथम नाम, वर्ग

बिंदुओं की संख्या

असमानताओं या असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के लिए एक समूह में काम करें।

2 अंक अगर बाहरी मदद के बिना सही ढंग से किया जाता है;

1 अंक अगर बाहरी मदद से सही ढंग से किया जाता है;

0 अंक यदि आपने कार्य पूरा नहीं किया

ग्रुप जीत के लिए 1 अतिरिक्त अंक

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

तर्कसंगत समानता की अवधारणा

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