व्याख्यान: "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके।"

1 . घातीय समीकरण।

घातांक में अज्ञातों वाले समीकरणों को घातांकीय समीकरण कहते हैं। इनमें से सबसे सरल समीकरण ax = b है, जहाँ a > 0 और a 1 है।

1)बी . के लिए< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 के लिए, फलन की एकरसता और मूल प्रमेय का उपयोग करते हुए, समीकरण का एक ही मूल होता है। इसे खोजने के लिए, b को b = aс, ax = bс ó x = c या x = logab के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

बीजीय परिवर्तनों के माध्यम से घातीय समीकरण, मानक समीकरणों की ओर ले जाते हैं, जिन्हें निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1) एक आधार में कमी की विधि;

2) मूल्यांकन पद्धति;

3) ग्राफिक विधि;

4) नए चर शुरू करने की विधि;

5) गुणन विधि;

6) घातीय - शक्ति समीकरण;

7) एक पैरामीटर के साथ घातीय।

2 . एक आधार पर घटाने की विधि।

यह विधि अंशों के निम्नलिखित गुणधर्म पर आधारित है: यदि दो अंश समान हों और उनके आधार समान हों, तो उनके घातांक बराबर होते हैं, अर्थात समीकरण को रूप में कम करने का प्रयास करना चाहिए

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

1 . 3x=81;

आइए 81 = 34 के रूप में समीकरण के दाईं ओर का प्रतिनिधित्व करें और मूल 3 x = 34 के बराबर समीकरण लिखें; एक्स = 4. उत्तर: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> और घातांक के लिए समीकरण पर जाएं 3x+1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0.5 उत्तर: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

ध्यान दें कि संख्याएं 0.2, 0.04, 5, और 25 5 की घात हैं। आइए इसका लाभ उठाएं और मूल समीकरण को इस प्रकार रूपांतरित करें:

, जहाँ से 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, जहाँ से हम x = -1 का हल पाते हैं। उत्तर 1।

5. 3x = 5. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, x = log35. उत्तर: लॉग 35.

6. 62x+4 = 33x। 2x+8.

आइए समीकरण को 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, यानी..png" width="181" height="49 src="> इसलिए x - 4 =0, x = 4 के रूप में फिर से लिखें। उत्तर: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. घातों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम समीकरण को ई. x+1 = 2, x =1 के रूप में लिखते हैं। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 1.

प्रश्न हल करें:

टेस्ट नंबर 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = 3।	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
ए3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) कोई जड़ नहीं
	1) 7;1 2) कोई जड़ नहीं 3) -7;1 4) -1;-7
ए5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
ए6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

टेस्ट #2

ए 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
ए2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
ए3	1) 2;-1 2) कोई जड़ नहीं 3) 04) -2;1
ए4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
ए5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 मूल्यांकन पद्धति।

मूल प्रमेय: यदि फलन f (x) अंतराल I पर बढ़ता है (घटता है), संख्या a इस अंतराल पर f द्वारा लिया गया कोई भी मान है, तो समीकरण f (x) = a का अंतराल I पर एक ही मूल है।

अनुमान विधि द्वारा समीकरणों को हल करते समय, इस प्रमेय और फ़ंक्शन के एकरसता गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 1. 4x = 5 - x।

फेसला। आइए समीकरण को 4x + x = 5 के रूप में फिर से लिखें।

1. यदि x \u003d 1, तो 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 सत्य है, तो 1 समीकरण का मूल है।

फलन f(x) = 4x R पर बढ़ रहा है और g(x) = x R पर बढ़ रहा है => h(x)= f(x)+g(x) बढ़ते कार्यों के योग के रूप में R पर बढ़ रहा है, अतः x = 1 समीकरण 4x = 5 - x का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

2.

फेसला। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं .

1. यदि x = -1, तो , 3 = 3-सत्य, इसलिए x = -1 समीकरण का मूल है।

2. सिद्ध कीजिए कि यह अद्वितीय है।

3. फलन f(x) = - R पर घटता है, और g(x) = - x - R पर घटता है => h(x) = f(x) + g(x) - योग के रूप में R पर घटता है घटते कार्यों का। तो मूल प्रमेय के अनुसार, x = -1 समीकरण का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 2. प्रश्न हल करें

क) 4x + 1 = 6 - x;

बी)

ग) 2x - 2 = 1 - x;

4. नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि।

विधि खंड 2.1 में वर्णित है । एक नए चर (प्रतिस्थापन) की शुरूआत आमतौर पर समीकरण की शर्तों के परिवर्तन (सरलीकरण) के बाद की जाती है। उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण। आरसमीकरण खाओ: 1. .

आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i..png" width="210" ऊंचाई = "45">

फेसला। आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

निरूपित करें https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - उपयुक्त नहीं है।

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> एक अपरिमेय समीकरण है। ध्यान दें कि

समीकरण का हल x = 2.5 4 है, इसलिए 2.5 समीकरण का मूल है। उत्तर : 2.5.

फेसला। आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें और दोनों पक्षों को 56x+6 ≠ 0 से विभाजित करें। हमें समीकरण मिलता है

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, इसलिए..png" चौड़ाई = "118" ऊंचाई = "56">

द्विघात समीकरण के मूल - t1 = 1 और t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

फेसला . हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

और ध्यान दें कि यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण है।

समीकरण को 42x से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> बदलें।

उत्तर: 0; 0.5.

टास्क बैंक #3। प्रश्न हल करें

बी)

जी)

टेस्ट #3 उत्तर के विकल्प के साथ। न्यूनतम स्तर।

ए 1	1) -0.2;2 2) लॉग52 3) -लॉग52 4) 2
2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0।	1) 2;1 2) -1;0 3) कोई जड़ नहीं 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) कोई जड़ नहीं 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

टेस्ट #4 उत्तर के विकल्प के साथ। सामान्य स्तर।

ए 1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
2 2x - (0.5)2x - (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
ए5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) कोई जड़ नहीं

5. गुणनखंडन की विधि।

1. समीकरण को हल करें: 5x+1 - 5x-1 = 24।

Solution..png" width="169" height="69"> , जहां से

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2।

फेसला। आइए हम समीकरण के बाईं ओर 6x और दाईं ओर 2x निकालते हैं। हमें समीकरण 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x प्राप्त होता है।

चूँकि सभी x के लिए 2x >0, हम समाधान खोने के डर के बिना इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2x से विभाजित कर सकते हैं। हमें 3x = 1ó x = 0 प्राप्त होता है।

3.

फेसला। हम फैक्टरिंग द्वारा समीकरण को हल करते हैं।

हम द्विपद का वर्ग चुनते हैं

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" चौड़ाई = "500" ऊंचाई = "181">

x = -2 समीकरण का मूल है।

समीकरण x + 1 = 0 "शैली="बॉर्डर-पतन:पतन;बॉर्डर:कोई नहीं">

ए1 5x-1 +5x -5x+1 = -19।

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

टेस्ट #6 सामान्य स्तर।

ए1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
ए2	1) 2.5 2) 3;4 3) लॉग 43/2 4) 0
ए3 2x-1-3x=3x-1-2x+2।	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
ए4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
ए5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. घातीय - शक्ति समीकरण।

घातांकीय समीकरण तथाकथित घातांक-शक्ति समीकरणों से जुड़े होते हैं, यानी फॉर्म के समीकरण (f(x))g(x) = (f(x))h(x)।

यदि यह ज्ञात है कि f(x)>0 और f(x) 1, तो समीकरण, घातांक की तरह, घातांक g(x) = f(x) की बराबरी करके हल किया जाता है।

यदि स्थिति f(x)=0 और f(x)=1 की संभावना को बाहर नहीं करती है, तो हमें घातीय शक्ति समीकरण को हल करते समय इन मामलों पर विचार करना होगा।

1..png" चौड़ाई = "182" ऊंचाई = "116 src=">

2.

फेसला। x2 +2x-8 - किसी भी x के लिए समझ में आता है, क्योंकि एक बहुपद, इसलिए समीकरण सेट के बराबर है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

बी)

7. मापदंडों के साथ घातीय समीकरण।

1. पैरामीटर p के किन मानों के लिए समीकरण 4 (5 - 3)2 +4p2–3p = 0 (1) का एक अद्वितीय हल है?

फेसला। आइए हम परिवर्तन 2x = t, t > 0 का परिचय दें, फिर समीकरण (1) t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0 का रूप लेगा। (2)

समीकरण (2) का विभेदक D = (5p - 3)2 - 4(4p2 - 3p) = 9(p - 1)2 है।

समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल है यदि समीकरण (2) का एक धनात्मक मूल है। यह निम्नलिखित मामलों में संभव है।

1. यदि D = 0, अर्थात् p = 1, तो समीकरण (2) t2 - 2t + 1 = 0 का रूप लेगा, इसलिए t = 1, इसलिए, समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल x = 0 है।

2. यदि p1, तो 9(p - 1)2 > 0, तो समीकरण (2) के दो भिन्न मूल हैं t1 = p, t2 = 4p - 3. सिस्टम का सेट समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है

सिस्टम में t1 और t2 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

फेसला। रहने दो तब समीकरण (3) t2 - 6t - a = 0 का रूप लेगा। (4)

आइए हम पैरामीटर a के मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक मूल (4) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

आइए हम फलन f(t) = t2 - 6t - a का परिचय दें। निम्नलिखित मामले संभव हैं।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

स्थिति 2. समीकरण (4) का एक अद्वितीय सकारात्मक हल है यदि

D = 0, यदि a = - 9, तो समीकरण (4) (t - 3)2 = 0, t = 3, x = - 1 का रूप लेगा।

स्थिति 3. समीकरण (4) के दो मूल हैं, लेकिन उनमें से एक असमानता t> 0 को संतुष्ट नहीं करता है। यह संभव है यदि

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

इस प्रकार, a 0 पर समीकरण (4) का एक धनात्मक मूल है . तब समीकरण (3) का एक अद्वितीय हल है

एक के लिए< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

यदि एक< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
यदि a = – 9, तो x = – 1;

अगर एक 0, तो

आइए समीकरण (1) और (3) को हल करने की विधियों की तुलना करें। ध्यान दें कि समीकरण (1) को हल करते समय इसे एक द्विघात समीकरण में घटा दिया गया था, जिसका विवेचक एक पूर्ण वर्ग है; इस प्रकार, समीकरण (2) के मूलों को द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा तुरंत परिकलित किया गया और फिर इन मूलों के संबंध में निष्कर्ष निकाला गया। समीकरण (3) को एक द्विघात समीकरण (4) में बदल दिया गया था, जिसका विवेचक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए समीकरण (3) को हल करते समय, एक वर्ग त्रिपद की जड़ों के स्थान पर प्रमेयों का उपयोग करना उचित है और एक ग्राफिकल मॉडल। ध्यान दें कि समीकरण (4) को वियत प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

आइए अधिक जटिल समीकरणों को हल करें।

कार्य 3. समीकरण हल करें

फेसला। ओडीजेड: एक्स1, एक्स2।

आइए एक प्रतिस्थापन का परिचय दें। मान लीजिए 2x = t, t > 0, फिर, परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, समीकरण t2 + 2t - 13 - a = 0 का रूप लेगा। (*) a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए कम से कम एक मूल समीकरण (*) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

उत्तर: यदि a > - 13, a 11, a 5, तो यदि a - 13,

a = 11, a = 5, तो कोई मूल नहीं है।

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अंतिम परीक्षण की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि इस तरह के कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत को सावधानीपूर्वक मास्टर करने, सूत्रों को याद रखने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्यों से निपटने के लिए सीखने के बाद, स्नातक गणित में परीक्षा उत्तीर्ण करते समय उच्च स्कोर पर भरोसा करने में सक्षम होंगे।

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बेलगोरोड स्टेट यूनिवर्सिटी

कुर्सी बीजगणित, संख्या सिद्धांत और ज्यामिति

कार्य विषय: घातीय-शक्ति समीकरण और असमानताएं।

स्नातक कामभौतिकी और गणित संकाय के छात्र

सुपरवाइज़र:

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समीक्षक: _______________________

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बेलगोरोड। 2006

परिचय			3
विषय मैं।	शोध विषय पर साहित्य का विश्लेषण।
विषय द्वितीय.	घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करने में उपयोग किए जाने वाले कार्य और उनके गुण।
	मैं.1	पावर फ़ंक्शन और इसके गुण।
	मैं 2.	घातीय कार्य और इसके गुण।
विषय III.	घातीय-शक्ति समीकरणों, एल्गोरिदम और उदाहरणों का समाधान।
विषय चतुर्थ।	घातीय-शक्ति असमानताओं को हल करना, समाधान योजना और उदाहरण।
विषय वी	इस विषय पर स्कूली बच्चों के साथ कक्षाएं संचालित करने का अनुभव: "घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं का समाधान।"
वी 1.	शिक्षण सामग्री।
वी 2.	स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।
निष्कर्ष।	निष्कर्ष और प्रस्ताव।
ग्रंथ सूची।
अनुप्रयोग

परिचय।

"... देखने और समझने की खुशी..."

ए आइंस्टीन।

इस काम में, मैंने गणित के शिक्षक के रूप में अपने अनुभव को व्यक्त करने की कोशिश की, कम से कम कुछ हद तक, इसे पढ़ाने के लिए मेरा दृष्टिकोण - एक मानवीय मामला जिसमें गणितीय विज्ञान, शिक्षाशास्त्र, उपदेश, मनोविज्ञान और यहां तक ​​​​कि दर्शन भी आश्चर्यजनक रूप से हैं। आपस में जुड़ा हुआ।

मुझे बच्चों और स्नातकों के साथ काम करने का मौका मिला, बौद्धिक विकास के ध्रुवों पर खड़े बच्चों के साथ: वे जो एक मनोचिकित्सक के साथ पंजीकृत थे और जो वास्तव में गणित में रुचि रखते थे

मुझे कई कार्यप्रणाली समस्याओं को हल करना पड़ा। मैं उन लोगों के बारे में बात करने की कोशिश करूंगा जिन्हें मैं हल करने में कामयाब रहा। लेकिन इससे भी अधिक - यह संभव नहीं था, और जो सुलझते प्रतीत होते हैं, उनमें नए प्रश्न सामने आते हैं।

लेकिन अनुभव से भी अधिक महत्वपूर्ण शिक्षक के प्रतिबिंब और संदेह हैं: ऐसा क्यों है, यह अनुभव?

और गर्मी अब अलग है, और शिक्षा की बारी और अधिक दिलचस्प हो गई है। "अंडर द ज्यूपिटर" आज "हर कोई और सब कुछ" सिखाने की एक पौराणिक इष्टतम प्रणाली की खोज नहीं है, बल्कि स्वयं बच्चा है। लेकिन फिर - आवश्यकता के साथ - और शिक्षक।

बीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम और विश्लेषण की शुरुआत में, ग्रेड 10 - 11, हाई स्कूल पाठ्यक्रम के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करते समय और विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षा में, आधार और घातांक पर एक अज्ञात युक्त समीकरण और असमानताएँ होती हैं - ये घातीय हैं -शक्ति समीकरण और असमानताएं।

स्कूल में उन पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है, पाठ्यपुस्तकों में इस विषय पर व्यावहारिक रूप से कोई कार्य नहीं होते हैं। हालांकि, उन्हें हल करने की पद्धति में महारत हासिल करना, मुझे लगता है, बहुत उपयोगी है: यह छात्रों की मानसिक और रचनात्मक क्षमताओं को बढ़ाता है, हमारे सामने पूरी तरह से नए क्षितिज खुलते हैं। समस्याओं को हल करते समय, छात्र अनुसंधान कार्य के पहले कौशल प्राप्त करते हैं, उनकी गणितीय संस्कृति समृद्ध होती है, और तार्किक रूप से सोचने की क्षमता विकसित होती है। स्कूली बच्चों में उद्देश्यपूर्णता, लक्ष्य-निर्धारण, स्वतंत्रता जैसे व्यक्तित्व लक्षण विकसित होते हैं, जो बाद के जीवन में उनके लिए उपयोगी होंगे। और शैक्षिक सामग्री की पुनरावृत्ति, विस्तार और गहन आत्मसात भी है।

मैंने अपने थीसिस शोध के इस विषय पर एक टर्म पेपर लिखकर काम करना शुरू किया। जिस दौरान मैंने इस विषय पर गणितीय साहित्य का अधिक गहराई से अध्ययन और विश्लेषण किया, मैंने घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सबसे उपयुक्त विधि की पहचान की।

यह इस तथ्य में निहित है कि घातीय-शक्ति समीकरणों को हल करते समय आम तौर पर स्वीकृत दृष्टिकोण के अलावा (आधार 0 से अधिक लिया जाता है) और समान असमानताओं को हल करते समय (आधार को 1 से अधिक या 0 से अधिक लिया जाता है, लेकिन इससे कम 1), ऐसे मामलों पर भी विचार किया जाता है जब आधार ऋणात्मक हों, 0 और 1 हों।

छात्रों के लिखित परीक्षा के प्रश्नपत्रों के विश्लेषण से पता चलता है कि स्कूली पाठ्यपुस्तकों में घातांक-शक्ति फ़ंक्शन के तर्क के नकारात्मक मूल्य के मुद्दे की कवरेज की कमी उनके लिए कई कठिनाइयों का कारण बनती है और त्रुटियों की ओर ले जाती है। और उन्हें प्राप्त परिणामों के व्यवस्थितकरण के चरण में भी समस्याएं होती हैं, जहां, समीकरण में संक्रमण के कारण - परिणाम या असमानता - परिणाम, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। त्रुटियों को खत्म करने के लिए, हम मूल समीकरण या असमानता और घातीय-शक्ति समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम, या घातीय-शक्ति असमानताओं को हल करने के लिए एक योजना का उपयोग करते हैं।

छात्रों को अंतिम और प्रवेश परीक्षाओं को सफलतापूर्वक पास करने के लिए, मुझे लगता है कि कक्षा में या इसके अतिरिक्त ऐच्छिक और मंडलियों में घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करने पर अधिक ध्यान देना आवश्यक है।

इस प्रकार विषय , मेरी थीसिस को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: "घातीय-शक्ति समीकरण और असमानताएं।"

लक्ष्य इस काम के हैं:

1. इस विषय पर साहित्य का विश्लेषण करें।

2. घातांक-शक्ति समीकरणों और असमानताओं के समाधान का संपूर्ण विश्लेषण दें।

3. विभिन्न प्रकार के इस विषय पर पर्याप्त संख्या में उदाहरण दीजिए।

4. पाठ, वैकल्पिक और सर्कल कक्षाओं में जाँच करें कि घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए प्रस्तावित तरीकों को कैसे माना जाएगा। इस विषय के अध्ययन के लिए उपयुक्त सुझाव दीजिए।

विषय हमारा शोध घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए एक तकनीक विकसित करना है।

अध्ययन के उद्देश्य और विषय के लिए निम्नलिखित कार्यों के समाधान की आवश्यकता थी:

1. इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करें: "घातीय-शक्ति समीकरण और असमानताएं।"

2. घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीकों में महारत हासिल करें।

3. प्रशिक्षण सामग्री का चयन करें और इस विषय पर विभिन्न स्तरों पर अभ्यास की एक प्रणाली विकसित करें: "घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करना।"

थीसिस शोध के दौरान, घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए विभिन्न विधियों के अनुप्रयोग के लिए समर्पित 20 से अधिक पत्रों का विश्लेषण किया गया था। यहाँ से हमें मिलता है।

थीसिस योजना:

परिचय।

अध्याय I. शोध विषय पर साहित्य का विश्लेषण।

दूसरा अध्याय। घातीय-शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करने में उपयोग किए जाने वाले कार्य और उनके गुण।

II.1. पावर फ़ंक्शन और इसके गुण।

II.2। घातीय कार्य और इसके गुण।

अध्याय III। घातीय-शक्ति समीकरणों, एल्गोरिदम और उदाहरणों का समाधान।

अध्याय IV। घातीय-शक्ति असमानताओं को हल करना, समाधान योजना और उदाहरण।

अध्याय V. इस विषय पर स्कूली बच्चों के साथ कक्षाएं संचालित करने का अनुभव।

1. शैक्षिक सामग्री।

2. स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

निष्कर्ष। निष्कर्ष और प्रस्ताव।

प्रयुक्त साहित्य की सूची।

अध्याय I . में विश्लेषण किया गया साहित्य

यह पाठ उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो अभी-अभी घातांकीय समीकरण सीखना शुरू कर रहे हैं। हमेशा की तरह, आइए एक परिभाषा और सरल उदाहरणों से शुरू करें।

यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो मुझे संदेह है कि आपको पहले से ही सरलतम समीकरणों की कम से कम समझ है - रैखिक और वर्ग: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ आदि। इस तरह के निर्माणों को हल करने में सक्षम होने के लिए अब जिस विषय पर चर्चा की जाएगी, उसमें "लटका" न करने के लिए नितांत आवश्यक है।

तो, घातीय समीकरण। मैं आपको कुछ उदाहरण देता हूं:

\[(((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

उनमें से कुछ आपको अधिक जटिल लग सकते हैं, उनमें से कुछ, इसके विपरीत, बहुत सरल हैं। लेकिन वे सभी एक महत्वपूर्ण विशेषता से एकजुट हैं: उनमें एक घातीय फ़ंक्शन $f\left(x \right)=((a)^(x))$ होता है। इस प्रकार, हम परिभाषा पेश करते हैं:

एक घातीय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें एक घातीय कार्य होता है, अर्थात। $((a)^(x))$ फॉर्म की अभिव्यक्ति। निर्दिष्ट फ़ंक्शन के अलावा, ऐसे समीकरणों में कोई अन्य बीजीय निर्माण शामिल हो सकते हैं - बहुपद, जड़ें, त्रिकोणमिति, लघुगणक, आदि।

तो ठीक है। परिभाषा समझी। अब सवाल यह है कि इस सारी बकवास को कैसे सुलझाया जाए? उत्तर एक ही समय में सरल और जटिल दोनों है।

आइए खुशखबरी के साथ शुरू करें: कई छात्रों के साथ अपने अनुभव से, मैं कह सकता हूं कि उनमें से अधिकांश के लिए, घातीय समीकरण समान लघुगणक की तुलना में बहुत आसान हैं, और इससे भी अधिक त्रिकोणमिति।

लेकिन एक बुरी खबर यह भी है: कभी-कभी सभी प्रकार की पाठ्यपुस्तकों और परीक्षाओं के लिए समस्याओं के संकलनकर्ता "प्रेरणा" के पास जाते हैं, और उनका नशा-ग्रस्त मस्तिष्क ऐसे क्रूर समीकरण उत्पन्न करने लगता है कि न केवल छात्रों के लिए उन्हें हल करना समस्याग्रस्त हो जाता है - यहां तक ​​कि कई शिक्षक ऐसी समस्याओं में फंस जाते हैं।

हालांकि, आइए दुखद चीजों के बारे में बात न करें। और आइए उन तीन समीकरणों पर लौटते हैं जो कहानी की शुरुआत में दिए गए थे। आइए उनमें से प्रत्येक को हल करने का प्रयास करें।

पहला समीकरण: $((2)^(x))=4$। अच्छा, संख्या 4 प्राप्त करने के लिए संख्या 2 को किस घात तक बढ़ाया जाना चाहिए? शायद दूसरा? आखिरकार, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — और हमने सही संख्यात्मक समानता प्राप्त की है, अर्थात। वास्तव में $x=2$। खैर, धन्यवाद, टोपी, लेकिन यह समीकरण इतना आसान था कि मेरी बिल्ली भी इसे हल कर सकती थी। :)

आइए निम्नलिखित समीकरण को देखें:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

लेकिन यहां यह थोड़ा और मुश्किल है। बहुत से छात्र जानते हैं कि $((5)^(2))=25$ गुणन तालिका है। कुछ को यह भी संदेह है कि $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ अनिवार्य रूप से नकारात्मक घातांक की परिभाषा है (सूत्र $((a)^(-n))= \ के समान फ्रैक(1)(((ए)^(एन)))$)।

अंत में, केवल कुछ चुनिंदा अनुमान लगाते हैं कि इन तथ्यों को जोड़ा जा सकता है और आउटपुट निम्न परिणाम है:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

इस प्रकार, हमारे मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

और अब यह पहले से ही पूरी तरह से हल हो गया है! समीकरण के बाईं ओर एक घातीय कार्य है, समीकरण के दाईं ओर एक घातीय कार्य है, उनके अलावा कहीं और कुछ नहीं है। इसलिए, आधारों को "त्याग" करना और संकेतकों को मूर्खतापूर्ण रूप से समान करना संभव है:

हमें सबसे सरल रैखिक समीकरण मिला है जिसे कोई भी छात्र केवल दो पंक्तियों में हल कर सकता है। ठीक है, चार पंक्तियों में:

\[\शुरू (संरेखित) और 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

यदि आप समझ नहीं पा रहे हैं कि पिछली चार पंक्तियों में क्या हुआ, तो "रैखिक समीकरण" विषय पर वापस आना सुनिश्चित करें और इसे दोहराएं। क्योंकि इस विषय को स्पष्ट रूप से आत्मसात किए बिना, आपके लिए घातीय समीकरणों को लेना जल्दबाजी होगी।

\[((9)^(x))=-3\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? पहला विचार: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, इसलिए मूल समीकरण को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \दाएं))^(x))=-3\]

फिर हम याद करते हैं कि जब एक घात की डिग्री बढ़ाते हैं, तो संकेतक गुणा किए जाते हैं:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\शुरू (संरेखित) और 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

और इस तरह के निर्णय के लिए, हमें ईमानदारी से योग्य ड्यूस मिलता है। हमारे लिए, पोकेमोन की समता के साथ, तीनों के सामने माइनस साइन को इन तीनों की शक्ति के लिए भेजा। और आप ऐसा नहीं कर सकते। और यही कारण है। ट्रिपल की विभिन्न शक्तियों पर एक नज़र डालें:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)() 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

इस टैबलेट को संकलित करते समय, मैंने जैसे ही किया, मैंने विकृत नहीं किया: मैंने सकारात्मक डिग्री, और नकारात्मक वाले, और यहां तक ​​​​कि आंशिक वाले भी ... ठीक है, यहां कम से कम एक नकारात्मक संख्या कहां है? वह नहीं है! और यह नहीं हो सकता है, क्योंकि घातीय फ़ंक्शन $y=((a)^(x))$, सबसे पहले, हमेशा केवल सकारात्मक मान लेता है (चाहे आप एक को कितना भी गुणा करें या दो से विभाजित करें, यह अभी भी एक होगा सकारात्मक संख्या), और दूसरी बात, ऐसे फ़ंक्शन का आधार, संख्या $a$, परिभाषा के अनुसार एक सकारात्मक संख्या है!

खैर, फिर समीकरण $((9)^(x))=-3$ कैसे हल करें? नहीं, कोई जड़ें नहीं हैं। और इस अर्थ में, घातीय समीकरण द्विघात समीकरणों के समान हैं - कोई मूल भी नहीं हो सकता है। लेकिन अगर द्विघात समीकरणों में जड़ों की संख्या विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है (विभेदक सकारात्मक है - 2 जड़ें, नकारात्मक - कोई जड़ें नहीं), तो घातीय समीकरणों में यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि बराबर चिह्न के दाईं ओर क्या है।

इस प्रकार, हम मुख्य निष्कर्ष तैयार करते हैं: फॉर्म का सबसे सरल घातीय समीकरण $((a)^(x))=b$ का मूल होता है यदि और केवल यदि $b>0$। इस सरल तथ्य को जानकर, आप आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि आपके लिए प्रस्तावित समीकरण की जड़ें हैं या नहीं। वे। क्या यह बिल्कुल हल करने लायक है या तुरंत लिख लें कि कोई जड़ें नहीं हैं।

यह ज्ञान हमें और भी कई बार मदद करेगा जब हमें अधिक जटिल समस्याओं को हल करना होगा। इस बीच, पर्याप्त गीत - यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल एल्गोरिदम का अध्ययन करने का समय है।

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

तो, चलिए समस्या तैयार करते हैं। घातीय समीकरण को हल करना आवश्यक है:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

"बेवकूफ" एल्गोरिथ्म के अनुसार जो हमने पहले इस्तेमाल किया था, संख्या $b$ को संख्या $a$ की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है:

इसके अलावा, यदि चर $x$ के बजाय कोई व्यंजक है, तो हमें एक नया समीकरण मिलेगा जिसे पहले ही हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

और अजीब तरह से, यह योजना लगभग 90% मामलों में काम करती है। फिर बाकी 10% का क्या? शेष 10% फॉर्म के थोड़े "सिज़ोफ्रेनिक" घातीय समीकरण हैं:

\[(((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

3 प्राप्त करने के लिए आपको 2 को किस शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है? पहली बार में? लेकिन नहीं: $((2)^(1))=2$ पर्याप्त नहीं है। क्षण में? न तो: $((2)^(2))=4$ बहुत अधिक है। फिर क्या?

जानकार छात्रों ने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया है: ऐसे मामलों में, जब "खूबसूरती से" हल करना असंभव है, "भारी तोपखाने" मामले से जुड़ा हुआ है - लघुगणक। मैं आपको याद दिला दूं कि लघुगणक का उपयोग करके, किसी भी सकारात्मक संख्या को किसी अन्य सकारात्मक संख्या (एक के अपवाद के साथ) की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह सूत्र याद है? जब मैं अपने छात्रों को लघुगणक के बारे में बताता हूं, तो मैं हमेशा आपको चेतावनी देता हूं: यह सूत्र (यह मूल लघुगणकीय पहचान भी है या, यदि आप चाहें, तो लघुगणक की परिभाषा) आपको बहुत लंबे समय तक परेशान करेंगे और सबसे अधिक "उभरेंगे" अप्रत्याशित स्थान। खैर, वह सामने आई। आइए हमारे समीकरण और इस सूत्र को देखें:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

यदि हम मानते हैं कि $a=3$ दाईं ओर हमारी मूल संख्या है, और $b=2$ घातीय फ़ंक्शन का बहुत आधार है, जिसके लिए हम दाईं ओर को कम करना चाहते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3)\Rightarrow x=( (\ लॉग)_(2))3. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हमें थोड़ा अजीब जवाब मिला: $x=((\log )_(2))3$। किसी अन्य कार्य में, इस तरह के उत्तर के साथ, बहुत से लोग संदेह करेंगे और अपने समाधान को दोबारा जांचना शुरू कर देंगे: क्या होगा अगर कहीं कोई गलती हो? मैं आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करता हूं: यहां कोई त्रुटि नहीं है, और घातीय समीकरणों की जड़ों में लॉगरिदम काफी विशिष्ट स्थिति है। तो इसकी आदत डालें। :)

अब हम सादृश्य द्वारा शेष दो समीकरणों को हल करते हैं:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! वैसे, अंतिम उत्तर अलग तरह से लिखा जा सकता है:

यह हम थे जिन्होंने गुणक को लघुगणक के तर्क में पेश किया। लेकिन हमें इस कारक को आधार से जोड़ने से कोई नहीं रोकता है:

इसके अलावा, तीनों विकल्प सही हैं - वे एक ही संख्या लिखने के अलग-अलग रूप हैं। इस निर्णय में किसे चुनना और लिखना है, यह आप पर निर्भर है।

इस प्रकार, हमने $((a)^(x))=b$ फॉर्म के किसी भी घातीय समीकरण को हल करना सीख लिया है, जहां संख्या $a$ और $b$ सख्ती से सकारात्मक हैं। हालाँकि, हमारी दुनिया की कठोर वास्तविकता ऐसी है कि ऐसे सरल कार्य आपको बहुत कम ही मिलेंगे। अधिक बार आप कुछ इस तरह से आएंगे:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\अंत (संरेखित करें)\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? क्या इसे बिल्कुल हल किया जा सकता है? और अगर ऐसा है तो कैसे?

घबराए नहीं। ये सभी समीकरण जल्दी और सरलता से उन सरल सूत्रों तक सीमित हो जाते हैं जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। आपको केवल बीजगणित पाठ्यक्रम से कुछ तरकीबों को याद रखने के लिए जानने की जरूरत है। और हां, यहां डिग्री के साथ काम करने के लिए कोई नियम नहीं हैं। मैं अब इस सब के बारे में बात करूंगा। :)

घातीय समीकरणों का परिवर्तन

याद रखने वाली पहली बात यह है कि कोई भी घातीय समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, एक तरह से या किसी अन्य को सरलतम समीकरणों में कम किया जाना चाहिए - वही जिन्हें हमने पहले ही माना है और जिन्हें हम हल करना जानते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी घातीय समीकरण को हल करने की योजना इस तरह दिखती है:

1. मूल समीकरण लिखिए। उदाहरण के लिए: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. कुछ बेवकूफी करो। या कुछ बकवास भी कहा जाता है "समीकरण को बदलना";
3. आउटपुट पर, सरलतम भाव प्राप्त करें जैसे $((4)^(x))=4$ या ऐसा कुछ और। इसके अलावा, एक प्रारंभिक समीकरण एक साथ कई ऐसे व्यंजक दे सकता है।

पहले बिंदु के साथ, सब कुछ स्पष्ट है - मेरी बिल्ली भी एक पत्ते पर समीकरण लिख सकती है। तीसरे बिंदु के साथ, ऐसा लगता है, यह कमोबेश स्पष्ट है - हमने पहले ही ऐसे समीकरणों का एक पूरा समूह हल कर लिया है।

लेकिन दूसरे बिंदु का क्या? रूपांतरण क्या हैं? क्या बदलना है? और कैसे?

खैर, आइए इसका पता लगाते हैं। सबसे पहले, मैं निम्नलिखित का उल्लेख करना चाहूंगा। सभी घातीय समीकरण दो प्रकारों में विभाजित हैं:

1. समीकरण एक ही आधार के साथ घातीय कार्यों से बना है। उदाहरण: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. सूत्र में विभिन्न आधारों के साथ घातीय कार्य होते हैं। उदाहरण: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ और $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$।

आइए पहले प्रकार के समीकरणों से शुरू करें - वे हल करने में सबसे आसान हैं। और उनके समाधान में हमें स्थिर अभिव्यक्तियों के चयन जैसी तकनीक से मदद मिलेगी।

एक स्थिर अभिव्यक्ति को हाइलाइट करना

आइए इस समीकरण को फिर से देखें:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

हम क्या देखते हैं? चारों को अलग-अलग डिग्री तक उठाया जाता है। लेकिन ये सभी शक्तियां अन्य संख्याओं के साथ चर $x$ के साधारण योग हैं। इसलिए, डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना आवश्यक है:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(वाई)))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, घातांक के योग को शक्तियों के उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है, और घटाव आसानी से विभाजन में परिवर्तित हो जाता है। आइए इन सूत्रों को हमारे समीकरण से शक्तियों पर लागू करने का प्रयास करें:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\अंत (संरेखित करें)\]

हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं, और फिर हम बाईं ओर के सभी शब्दों को एकत्रित करते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -ग्यारह; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\अंत (संरेखित करें)\]

पहले चार शब्दों में $((4)^(x))$ तत्व शामिल है - आइए इसे ब्रैकेट से बाहर निकालें:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यह समीकरण के दोनों भागों को अंश $-\frac(11)(4)$ से विभाजित करने के लिए रहता है, अर्थात। उल्टे अंश से अनिवार्य रूप से गुणा करें - $-\frac(4)(11)$। हम पाते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \बाएं(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमने मूल समीकरण को सरलतम में घटा दिया और अंतिम उत्तर प्राप्त कर लिया।

उसी समय, हल करने की प्रक्रिया में, हमने सामान्य कारक $((4)^(x))$ की खोज की (और यहां तक ​​कि कोष्ठक से बाहर भी ले लिया) - यह स्थिर अभिव्यक्ति है। इसे एक नए चर के रूप में नामित किया जा सकता है, या आप इसे केवल सटीक रूप से व्यक्त कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। किसी भी मामले में, समाधान का मुख्य सिद्धांत इस प्रकार है:

मूल समीकरण में एक स्थिर व्यंजक खोजें जिसमें एक चर हो जो सभी घातांकीय कार्यों से आसानी से अलग हो।

अच्छी खबर यह है कि लगभग हर घातीय समीकरण ऐसी स्थिर अभिव्यक्ति को स्वीकार करता है।

लेकिन एक बुरी खबर यह भी है: इस तरह के भाव बहुत मुश्किल हो सकते हैं, और उन्हें अलग करना काफी मुश्किल हो सकता है। तो आइए एक और समस्या देखें:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

शायद अब किसी के मन में यह सवाल होगा: “पाशा, क्या तुम पथराव कर रहे हो? यहाँ विभिन्न आधार हैं - 5 और 0.2। लेकिन आइए आधार 0.2 के साथ एक शक्ति को परिवर्तित करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आइए दशमलव अंश से छुटकारा पाएं, इसे सामान्य पर लाएं:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10)) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 5 अभी भी दिखाई दी, यद्यपि हर में। उसी समय, संकेतक को नकारात्मक के रूप में फिर से लिखा गया था। और अब हम डिग्री के साथ काम करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण नियमों में से एक को याद करते हैं:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\बाएं(x+1 \right)))=((\बाएं(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

यहाँ, निश्चित रूप से, मैंने थोड़ा धोखा दिया। क्योंकि पूरी तरह से समझने के लिए, नकारात्मक संकेतकों से छुटकारा पाने का सूत्र इस प्रकार लिखा जाना था:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\बाएं(\frac(1)(5)\right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ दाएं))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

दूसरी ओर, कुछ भी हमें केवल एक अंश के साथ काम करने से नहीं रोकता है:

\[((\बाएं(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\बाएं(((5)^(-1)) \ दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं)))=((5)^(\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) ))=((5)^(x+1))\]

लेकिन इस मामले में, आपको एक डिग्री को दूसरी डिग्री तक बढ़ाने में सक्षम होना चाहिए (मैं आपको याद दिलाता हूं: इस मामले में, संकेतक जोड़े जाते हैं)। लेकिन मुझे अंशों को "फ्लिप" नहीं करना था - शायद किसी के लिए यह आसान होगा। :)

किसी भी स्थिति में, मूल घातांक समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

तो यह पता चला है कि मूल समीकरण को पहले की तुलना में हल करना और भी आसान है: यहां आपको एक स्थिर अभिव्यक्ति को एकल करने की भी आवश्यकता नहीं है - सब कुछ अपने आप कम हो गया है। यह केवल याद रखना है कि $1=((5)^(0))$, जहां से हमें मिलता है:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यही है पूरा समाधान! हमें अंतिम उत्तर मिला: $x=-2$। उसी समय, मैं एक तरकीब पर ध्यान देना चाहूंगा जिसने हमारे लिए सभी गणनाओं को बहुत सरल बना दिया:

घातीय समीकरणों में, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना सुनिश्चित करें, उन्हें साधारण अंशों में अनुवाद करें। यह आपको डिग्री के समान आधारों को देखने की अनुमति देगा और समाधान को बहुत सरल करेगा।

अब आइए अधिक जटिल समीकरणों पर चलते हैं जिनमें अलग-अलग आधार होते हैं, जो आम तौर पर शक्तियों की सहायता से एक-दूसरे तक कम नहीं होते हैं।

घातांक संपत्ति का उपयोग करना

मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास दो और विशेष रूप से कठोर समीकरण हैं:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यहां मुख्य कठिनाई यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किस आधार पर और किस आधार पर नेतृत्व करना है। स्थिर भाव कहाँ हैं? सामान्य आधार कहाँ हैं? इसमें से कोई नहीं है।

लेकिन चलिए दूसरे रास्ते पर जाने की कोशिश करते हैं। यदि कोई तैयार किए गए समान आधार नहीं हैं, तो आप उपलब्ध आधारों को फैक्टर करके उन्हें खोजने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए पहले समीकरण से शुरू करें:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ सीडॉट ((3)^(3x))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन आप इसके विपरीत कर सकते हैं - संख्या 7 और 3 से संख्या 21 बनाएं। बाईं ओर ऐसा करना विशेष रूप से आसान है, क्योंकि दोनों डिग्री के संकेतक समान हैं:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! आपने घातांक को गुणनफल से बाहर निकाला और तुरंत एक सुंदर समीकरण प्राप्त किया जिसे दो पंक्तियों में हल किया जा सकता है।

अब दूसरे समीकरण से निपटते हैं। यहाँ सब कुछ बहुत अधिक जटिल है:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\बाएं(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

इस मामले में, अंश अप्रासंगिक हो गए, लेकिन अगर कुछ कम किया जा सकता है, तो इसे कम करना सुनिश्चित करें। यह अक्सर दिलचस्प आधारों का परिणाम देगा जिनके साथ आप पहले से ही काम कर सकते हैं।

दुर्भाग्य से, हम कुछ भी लेकर नहीं आए हैं। लेकिन हम देखते हैं कि उत्पाद में बाईं ओर के घातांक विपरीत हैं:

मैं आपको याद दिला दूं: घातांक में ऋण चिह्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको अंश को "फ्लिप" करने की आवश्यकता है। तो चलिए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\बाएं(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\बाएं(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी पंक्ति में, हमने नियम $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) के अनुसार उत्पाद से कुल ब्रैकेट किया है। ))^ (x))$, और बाद में उन्होंने संख्या 100 को एक भिन्न से गुणा किया।

अब ध्यान दें कि बाईं ओर (आधार पर) और दाईं ओर की संख्याएँ कुछ हद तक समान हैं। कैसे? हाँ, ज़ाहिर है: वे एक ही संख्या की शक्तियाँ हैं! हमारे पास है:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \दाएं))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \दाएं))^(2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

इस प्रकार, हमारे समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((\बाएं(((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \दाएं))^(2))\]

\[((\बाएं(((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

उसी समय, दाईं ओर, आप उसी आधार के साथ एक डिग्री भी प्राप्त कर सकते हैं, जिसके लिए यह केवल अंश को "फ्लिप" करने के लिए पर्याप्त है:

\[((\बाएं(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

अंत में, हमारा समीकरण रूप लेगा:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

यही पूरा समाधान है। इसका मुख्य विचार इस तथ्य पर उबलता है कि विभिन्न आधारों के साथ भी, हम इन आधारों को कम करने के लिए हुक या बदमाश द्वारा प्रयास करते हैं। इसमें हमें समीकरणों के प्राथमिक परिवर्तनों और शक्तियों के साथ काम करने के नियमों से मदद मिलती है।

लेकिन क्या नियम और कब उपयोग करना है? कैसे समझें कि एक समीकरण में आपको दोनों पक्षों को किसी चीज़ से विभाजित करने की आवश्यकता है, और दूसरे में - घातीय फ़ंक्शन के आधार को कारक बनाने के लिए?

इस प्रश्न का उत्तर अनुभव के साथ मिलेगा। पहले सरल समीकरणों पर अपना हाथ आजमाएं, और फिर धीरे-धीरे कार्यों को जटिल करें - और बहुत जल्द ही आपका कौशल उसी यूएसई या किसी स्वतंत्र / परीक्षण कार्य से किसी भी घातीय समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त होगा।

और इस कठिन कार्य में आपकी सहायता करने के लिए, मैं एक स्वतंत्र समाधान के लिए मेरी वेबसाइट पर समीकरणों का एक सेट डाउनलोड करने का सुझाव देता हूं। सभी समीकरणों के उत्तर होते हैं, इसलिए आप हमेशा स्वयं की जांच कर सकते हैं।

इस पाठ में, हम अधिक जटिल घातांकीय समीकरणों के समाधान पर विचार करेंगे, घातीय फलन के संबंध में मुख्य सैद्धांतिक प्रावधानों को याद करेंगे।

1. एक घातांकीय फलन की परिभाषा और गुण, सरलतम घातांकीय समीकरणों को हल करने की एक तकनीक

एक घातांकीय फलन की परिभाषा और मुख्य गुण याद कीजिए। यह गुणों पर है कि सभी घातीय समीकरणों और असमानताओं का समाधान आधारित है।

घातांक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जहां आधार डिग्री है और यहां x एक स्वतंत्र चर, एक तर्क है; y - आश्रित चर, कार्य।

चावल। 1. घातीय कार्य का ग्राफ

ग्राफ़ एक बढ़ते और घटते घातांक को दर्शाता है, जो क्रमशः एक से अधिक और एक से कम, लेकिन शून्य से अधिक के आधार पर घातीय फ़ंक्शन को दर्शाता है।

दोनों वक्र बिंदु से गुजरते हैं (0;1)

घातीय फ़ंक्शन के गुण:

कार्यक्षेत्र: ;

मूल्यों की श्रृंखला: ;

फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, जैसे-जैसे बढ़ता है, घटता जाता है।

एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन अपने प्रत्येक मान को तर्क के एकल मान के साथ लेता है।

जब तर्क माइनस से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ जाता है, तो फंक्शन जीरो, इनक्लूसिव, प्लस इनफिनिटी से बढ़ जाता है। इसके विपरीत, जब तर्क माइनस से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ जाता है, तो फ़ंक्शन इनफिनिटी से घटकर शून्य हो जाता है, समावेशी।

2. विशिष्ट घातांकीय समीकरणों का समाधान

याद रखें कि सबसे सरल घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए। उनका समाधान घातीय कार्य की एकरसता पर आधारित है। लगभग सभी जटिल घातीय समीकरण ऐसे समीकरणों में कम हो जाते हैं।

समान आधारों वाले घातांकों की समानता घातांकीय फलन के गुण के कारण होती है, अर्थात् इसकी एकरसता।

समाधान विधि:

डिग्री के आधारों को बराबर करें;

समान घातांक।

आइए अधिक जटिल घातांक समीकरणों पर चलते हैं, हमारा लक्ष्य उनमें से प्रत्येक को सरलतम तक कम करना है।

आइए बाईं ओर की जड़ से छुटकारा पाएं और डिग्री को उसी आधार पर कम करें:

एक जटिल घातांकीय समीकरण को एक साधारण समीकरण में कम करने के लिए, अक्सर चरों के परिवर्तन का उपयोग किया जाता है।

आइए डिग्री संपत्ति का उपयोग करें:

हम एक प्रतिस्थापन पेश करते हैं। चलो फिर

हम परिणामी समीकरण को दो से गुणा करते हैं और सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

पहला मूल y मानों के अंतराल को संतुष्ट नहीं करता है, हम इसे त्याग देते हैं। हम पाते हैं:

आइए डिग्री को एक ही संकेतक पर लाएं:

हम एक प्रतिस्थापन पेश करते हैं:

चलो फिर . इस प्रतिस्थापन के साथ, यह स्पष्ट है कि y सख्ती से सकारात्मक मान लेता है। हम पाते हैं:

हम समान द्विघात समीकरणों को हल करना जानते हैं, हम उत्तर लिखते हैं:

यह सुनिश्चित करने के लिए कि जड़ें सही ढंग से पाई जाती हैं, आप विएटा प्रमेय के अनुसार जांच कर सकते हैं, अर्थात, जड़ों और उनके उत्पाद का योग ज्ञात करें और समीकरण के संबंधित गुणांकों के साथ जांच करें।

हम पाते हैं:

3. दूसरी डिग्री के सजातीय घातांक समीकरणों को हल करने की तकनीक

आइए हम निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रकार के घातांकीय समीकरणों का अध्ययन करें:

इस प्रकार के समीकरणों को f और g के फलनों के संबंध में दूसरी डिग्री का सजातीय कहा जाता है। इसके बाईं ओर पैरामीटर g के साथ f के संबंध में एक वर्ग ट्रिनोमियल है या पैरामीटर f के साथ g के संबंध में एक वर्ग ट्रिनोमियल है।

समाधान विधि:

इस समीकरण को द्विघात के रूप में हल किया जा सकता है, लेकिन इसे दूसरे तरीके से करना आसान है। दो मामलों पर विचार किया जाना चाहिए:

पहले मामले में, हमें मिलता है

दूसरे मामले में, हमें उच्चतम डिग्री से विभाजित करने का अधिकार है और हम प्राप्त करते हैं:

आपको चर के परिवर्तन का परिचय देना चाहिए, हमें y के लिए द्विघात समीकरण मिलता है:

ध्यान दें कि फलन f और g मनमाना हो सकते हैं, लेकिन हम उस स्थिति में रुचि रखते हैं जब ये घातीय फलन हों।

4. समांगी समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ:

चूंकि घातांकीय फलन सख्ती से सकारात्मक मान प्राप्त करते हैं, इसलिए हमें समीकरण को तुरंत से विभाजित करने का अधिकार है, बिना मामले पर विचार किए:

हम पाते हैं:

हम एक प्रतिस्थापन पेश करते हैं: (घातांक फ़ंक्शन के गुणों के अनुसार)

हमें एक द्विघात समीकरण मिला:

हम वियत प्रमेय के अनुसार जड़ों का निर्धारण करते हैं:

पहला रूट y मानों के अंतराल को संतुष्ट नहीं करता है, हम इसे त्याग देते हैं, हमें मिलता है:

आइए डिग्री के गुणों का उपयोग करें और सभी डिग्री को सरल आधारों तक कम करें:

f और g के कार्यों को नोटिस करना आसान है:

चूंकि घातांकीय फलन सख्ती से सकारात्मक मान प्राप्त करते हैं, इसलिए हमें समीकरण को तुरंत से विभाजित करने का अधिकार है, बिना मामले पर विचार किए।