इस लेख में, हम ज्यामिति की प्राथमिक अवधारणाओं में से एक पर विस्तार से ध्यान देंगे - एक विमान पर एक सीधी रेखा की अवधारणा पर। सबसे पहले, आइए बुनियादी शब्दों और संकेतन को परिभाषित करें। इसके बाद, हम एक रेखा और एक बिंदु की सापेक्ष स्थिति के साथ-साथ एक समतल पर दो रेखाओं पर चर्चा करते हैं और आवश्यक अभिगृहीत देते हैं। अंत में, हम एक समतल पर एक सीधी रेखा स्थापित करने के तरीकों पर विचार करेंगे और ग्राफिक चित्रण देंगे।

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समतल पर सीधी रेखा एक अवधारणा है।

समतल पर एक सीधी रेखा की अवधारणा देने से पहले यह स्पष्ट रूप से समझ लेना चाहिए कि समतल क्या है। विमान का प्रतिनिधित्वउदाहरण के लिए, आपको टेबल की एक सपाट सतह या घर की दीवार प्राप्त करने की अनुमति देता है। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि तालिका के आयाम सीमित हैं, और विमान इन सीमाओं से परे अनंत तक फैला हुआ है (जैसे कि हमारे पास मनमाने ढंग से बड़ी तालिका थी)।

यदि हम एक अच्छी तरह से नुकीली पेंसिल लें और उसके मूल को "टेबल" की सतह पर स्पर्श करें, तो हमें एक बिंदु की एक छवि मिलेगी। इस तरह हमें मिलता है एक विमान पर एक बिंदु का प्रतिनिधित्व.

अब आप जा सकते हैं एक विमान पर एक सीधी रेखा की अवधारणा.

आइए टेबल की सतह पर (विमान पर) साफ कागज की एक शीट रखें। एक सीधी रेखा खींचने के लिए, हमें एक रूलर लेने की जरूरत है और एक पेंसिल के साथ एक रेखा खींचने की जरूरत है, जहां तक ​​​​रूलर के आयाम और इस्तेमाल किए गए कागज की शीट की अनुमति है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस तरह हमें सीधी रेखा का केवल एक हिस्सा मिलता है। इसकी संपूर्णता में एक सीधी रेखा, अनंत तक फैली हुई, हम केवल कल्पना कर सकते हैं।

एक रेखा और एक बिंदु की पारस्परिक स्थिति।

आपको एक स्वयंसिद्ध से शुरू करना चाहिए: प्रत्येक सीधी रेखा पर और प्रत्येक तल में बिंदु होते हैं।

अंक आमतौर पर बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, अंक ए और एफ। बदले में, सीधी रेखाओं को छोटे लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएँ a और d।

संभव एक रेखा की सापेक्ष स्थिति और एक समतल पर एक बिंदु के लिए दो विकल्प: या तो बिंदु रेखा पर स्थित होता है (इस मामले में, रेखा को बिंदु से गुजरती हुई भी कहा जाता है), या बिंदु रेखा पर नहीं होता है (यह भी कहा जाता है कि बिंदु रेखा से संबंधित नहीं है, या रेखा बिंदु से नहीं गुजरती है)।

यह इंगित करने के लिए कि एक बिंदु एक निश्चित रेखा से संबंधित है, प्रतीक "" का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि बिंदु A रेखा a पर स्थित है, तो आप लिख सकते हैं। यदि बिंदु A, रेखा a से संबंधित नहीं है, तो लिखिए।

निम्नलिखित कथन सत्य है: किन्हीं दो बिंदुओं से होकर केवल एक सीधी रेखा होती है।

यह कथन एक स्वयंसिद्ध है और इसे एक तथ्य के रूप में स्वीकार किया जाना चाहिए। इसके अलावा, यह काफी स्पष्ट है: हम कागज पर दो बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, उन पर एक शासक लागू करते हैं और एक सीधी रेखा खींचते हैं। दो दिए गए बिंदुओं (उदाहरण के लिए, बिंदु A और B से होकर जाने वाली) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को इन दो अक्षरों (हमारे मामले में, सीधी रेखा AB या BA) द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

यह समझ लेना चाहिए कि एक समतल पर दी गई एक सीधी रेखा पर अपरिमित रूप से कई भिन्न-भिन्न बिंदु होते हैं और ये सभी बिंदु एक ही तल में स्थित होते हैं। यह कथन स्वयंसिद्ध द्वारा स्थापित किया गया है: यदि एक रेखा के दो बिंदु एक निश्चित विमान में स्थित हैं, तो इस रेखा के सभी बिंदु इस विमान में स्थित हैं।

एक सीधी रेखा पर दिए गए दो बिंदुओं के बीच स्थित सभी बिंदुओं के समूह को इन बिंदुओं के साथ कहा जाता है सीधी रेखाया केवल खंड. खंड को बांधने वाले बिंदु खंड के सिरे कहलाते हैं। एक खंड को खंड के सिरों के बिंदुओं के अनुरूप दो अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि बिंदु A और B एक खंड के सिरे हैं, तो इस खंड को AB या BA से दर्शाया जा सकता है। कृपया ध्यान दें कि एक खंड का यह पदनाम एक सीधी रेखा के पदनाम के समान है। भ्रम से बचने के लिए, हम पदनाम में "सेगमेंट" या "स्ट्रेट" शब्द जोड़ने की सलाह देते हैं।

एक निश्चित खंड से संबंधित और एक निश्चित बिंदु से संबंधित नहीं होने के एक संक्षिप्त रिकॉर्ड के लिए, सभी समान प्रतीकों और उपयोग किए जाते हैं। यह दिखाने के लिए कि एक खंड एक सीधी रेखा पर स्थित है या नहीं है, क्रमशः प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि खंड AB रेखा a से संबंधित है, तो आप संक्षेप में लिख सकते हैं।

हमें उस मामले पर भी ध्यान देना चाहिए जब तीन अलग-अलग बिंदु एक ही रेखा से संबंधित हों। इस मामले में, एक और केवल एक बिंदु अन्य दो के बीच स्थित है। यह कथन एक और स्वयंसिद्ध है। मान लीजिए बिंदु A, B और C एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, और बिंदु B बिंदु A और C के बीच स्थित है। तब हम कह सकते हैं कि बिंदु A और C बिंदु B के विपरीत दिशा में हैं। आप यह भी कह सकते हैं कि बिंदु B और C बिंदु A के एक ही तरफ स्थित हैं, और बिंदु A और B बिंदु C के एक ही तरफ स्थित हैं।

चित्र को पूरा करने के लिए, हम देखते हैं कि एक सीधी रेखा का कोई भी बिंदु इस सीधी रेखा को दो भागों में विभाजित करता है - दो खुशी से उछलना. इस मामले के लिए, एक स्वयंसिद्ध दिया गया है: एक रेखा से संबंधित एक मनमाना बिंदु O, इस रेखा को दो किरणों में विभाजित करता है, और एक किरण के कोई भी दो बिंदु बिंदु O के एक ही तरफ स्थित होते हैं, और विभिन्न किरणों के कोई भी दो बिंदु। बिंदु O के विपरीत दिशा में स्थित है।

समतल पर सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था।

आइए अब इस प्रश्न का उत्तर दें: "दो रेखाएँ एक दूसरे के सापेक्ष समतल पर कैसे स्थित हो सकती हैं"?

सबसे पहले, एक समतल में दो रेखाएँ हो सकती हैं मेल खाना.

यह तभी संभव है जब रेखाओं में कम से कम दो बिंदु उभयनिष्ठ हों। दरअसल, पिछले पैराग्राफ में दिए गए स्वयंसिद्ध के आधार पर, एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। दूसरे शब्दों में, यदि दो रेखाएँ दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती हैं, तो वे संपाती होती हैं।

दूसरा, एक समतल में दो रेखाएँ हो सकती हैं पार.

इस स्थिति में, रेखाओं में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, जिसे रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कहा जाता है। रेखाओं के प्रतिच्छेदन को प्रतीक "" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, रिकॉर्ड का अर्थ है कि रेखाएँ a और b बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेदी रेखाएँ हमें प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की अवधारणा की ओर ले जाती हैं। अलग-अलग, यह एक विमान पर सीधी रेखाओं के स्थान पर विचार करने योग्य है जब उनके बीच का कोण नब्बे डिग्री हो। इस मामले में, रेखाओं को कहा जाता है सीधा(हम लेख की लम्बवत रेखाएँ, रेखाओं की लंबवतता की अनुशंसा करते हैं)। यदि रेखा a, रेखा b के लंबवत है, तो लघु संकेतन का उपयोग किया जा सकता है।

तीसरा, एक समतल में दो रेखाएँ समानांतर हो सकती हैं।

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक विमान पर वैक्टर के साथ एक सीधी रेखा पर विचार करना सुविधाजनक है। विशेष महत्व के गैर-शून्य वैक्टर किसी दी गई रेखा पर या किसी समानांतर रेखा पर स्थित होते हैं, उन्हें कहा जाता है सीधी रेखा के दिशा वैक्टर. एक समतल पर एक सीधी रेखा के सदिश को निर्देशित करने वाला आलेख सदिशों को निर्देशित करने का उदाहरण देता है और समस्याओं को हल करने में उनके उपयोग के विकल्प दिखाता है।

आपको दी गई रेखा के लंबवत किसी भी रेखा पर स्थित शून्येतर सदिशों पर भी ध्यान देना चाहिए। ऐसे वैक्टर कहलाते हैं लाइन के सामान्य वैक्टर. एक सीधी रेखा के सामान्य सदिशों के उपयोग का वर्णन लेख में एक समतल पर एक सीधी रेखा के सामान्य सदिश में किया गया है।

जब एक समतल पर तीन या अधिक सीधी रेखाएँ दी जाती हैं, तो उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए कई अलग-अलग विकल्प होते हैं। सभी रेखाएँ समानांतर हो सकती हैं, अन्यथा उनमें से कुछ या सभी प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, सभी रेखाएं एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं (रेखाओं का आलेख पेंसिल देखें), या उनके प्रतिच्छेदन के विभिन्न बिंदु हो सकते हैं।

हम इस पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, लेकिन हम बिना सबूत के कई उल्लेखनीय और अक्सर इस्तेमाल किए जाने वाले तथ्यों का हवाला देंगे:

• यदि दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे एक दूसरे के समानांतर हैं;
• यदि दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के लंबवत हैं, तो वे एक दूसरे के समानांतर हैं;
• यदि एक समतल में एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, तो वह दूसरी रेखा को भी काटती है।

समतल पर सीधी रेखा स्थापित करने की विधियाँ।

अब हम उन मुख्य तरीकों की सूची देंगे जिनसे आप समतल में एक विशिष्ट रेखा को परिभाषित कर सकते हैं। यह ज्ञान व्यावहारिक दृष्टि से बहुत उपयोगी है, क्योंकि इतने सारे उदाहरणों और समस्याओं का समाधान इसी पर आधारित है।

सबसे पहले, समतल पर दो बिंदुओं को निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा को परिभाषित किया जा सकता है।

दरअसल, इस लेख के पहले पैराग्राफ में विचार किए गए स्वयंसिद्ध से, हम जानते हैं कि एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, और इसके अलावा, केवल एक।

यदि एक समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दो गैर-संयोग बिंदुओं के निर्देशांक इंगित किए जाते हैं, तो दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखना संभव है।

दूसरा, एक रेखा को उस बिंदु को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जिसके माध्यम से वह गुजरती है और वह रेखा जिससे वह समानांतर है। यह विधि मान्य है, क्योंकि एक सीधी रेखा दी गई सीधी रेखा के समानांतर, समतल के दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है। इस तथ्य का प्रमाण हाई स्कूल में ज्यामिति के पाठों में किया गया था।

यदि एक समतल पर एक सीधी रेखा को इस तरह से स्थापित आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के सापेक्ष सेट किया जाता है, तो इसके समीकरण की रचना करना संभव है। यह लेख में दी गई सीधी रेखा के समानांतर दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखा गया है।

तीसरा, एक रेखा को उस बिंदु को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जा सकता है जिसके माध्यम से वह गुजरती है और इसकी दिशा वेक्टर।

यदि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में इस तरह से एक सीधी रेखा दी जाती है, तो एक समतल पर एक सीधी रेखा के इसके विहित समीकरण और एक समतल पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करना आसान होता है।

किसी रेखा को निर्दिष्ट करने का चौथा तरीका उस बिंदु को निर्दिष्ट करना है जिससे वह गुजरती है और वह रेखा जिस पर वह लंबवत है। वास्तव में, विमान के दिए गए बिंदु के माध्यम से केवल एक ही रेखा होती है जो दी गई रेखा के लंबवत होती है। आइए इस तथ्य को बिना प्रमाण के छोड़ दें।

अंत में, विमान में एक रेखा को उस बिंदु को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जिसके माध्यम से वह गुजरता है और रेखा के सामान्य वेक्टर।

यदि किसी रेखा पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक और रेखा के सामान्य सदिश के निर्देशांक ज्ञात हों, तो रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना संभव है।

ग्रंथ सूची।

• अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., पॉज़्न्याक ई.जी., युदीना आई.आई. ज्यामिति। ग्रेड 7 - 9: शिक्षण संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., किसेलेवा एल.एस., पॉज़्न्याक ई.जी. ज्यामिति। हाई स्कूल के 10-11 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक।
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ओह-ओह-ओह-ओह-ओह ... ठीक है, यह छोटा है, जैसे कि आप खुद को वाक्य पढ़ते हैं =) हालांकि, फिर विश्राम मदद करेगा, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं एक हंसमुख मूड रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

मामला जब हॉल कोरस में गाता है। दो पंक्तियाँ:

1) मैच;

2) समानांतर हो: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

डमी के लिए मदद : कृपया चौराहे के गणितीय चिन्ह को याद रखें, यह बहुत बार घटित होगा। प्रवेश का अर्थ है कि रेखा बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो पंक्तियों की सापेक्ष स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक समानुपाती हों, यानी ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है कि समानताएं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संगत गुणांकों से तीन समीकरणों की रचना करें: . प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ये रेखाएँ संपाती होती हैं।

वास्तव में, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से कम करने पर आपको समान समीकरण प्राप्त होता है: .

दूसरा मामला जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि चरों पर उनके गुणांक समानुपाती हों: , लेकिन.

एक उदाहरण के रूप में, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चर के लिए संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करते हैं:

हालांकि, यह स्पष्ट है कि .

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि उनके चरों के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, यानी "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई मूल्य नहीं है कि समानताएं पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली की रचना करेंगे:

पहले समीकरण से यह अनुसरण करता है कि , और दूसरे समीकरण से: , इसलिए, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चरों पर गुणांक आनुपातिक नहीं होते हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, केवल विचार की गई समाधान योजना का उपयोग किया जा सकता है। वैसे, यह संरेखता के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथ्म के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था। वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। वेक्टर आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेज है:

उदाहरण 1

रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधानसीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अध्ययन पर आधारित:

क) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश पाते हैं: .

, इसलिए सदिश संरेखी नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस मामले में, मैं चौराहे पर पॉइंटर्स के साथ एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द डेथलेस =)

बी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं में एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या समान हैं। यहां निर्धारक आवश्यक नहीं है।

यह स्पष्ट है कि अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि .

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस तरह,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता कारक "लैम्ब्डा" कोलाइनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से सीधे देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

आइए अब पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आमतौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप कुछ ही सेकंड में मौखिक रूप से विचार की गई समस्या को हल करना सीखेंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ पेश करने का कोई कारण नहीं दिखता है, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दिए गए के समानांतर एक रेखा कैसे खींचे?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, कोकिला डाकू कड़ी सजा देता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान: अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। इसके बारे में शर्त क्या कहती है? रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएं समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि रेखा "सी" का निर्देशन वेक्टर भी रेखा "ते" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण की ज्यामिति स्पष्ट दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं में एक ही दिशा सदिश है (यदि रेखा का समीकरण ठीक से सरल नहीं है, तो सदिश संरेख होगा)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक सत्यापन मौखिक रूप से करना आसान होता है। दो समीकरणों को देखें और आप में से बहुत से लोग जल्दी से यह पता लगा लेंगे कि रेखाएं बिना किसी आरेखण के समानांतर कैसे होती हैं।

स्वयं को सुलझाने के उदाहरण आज रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

रेखा के समांतर किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए समीकरण लिखिए यदि

हल करने का एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत तरीका नहीं है। पाठ के अंत में सबसे छोटा रास्ता है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। मेल खाने वाली रेखाओं का मामला कम दिलचस्पी का है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो आपको स्कूल के पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से पता हो:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक हल होते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

यह आप के लिए है दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का ज्यामितीय अर्थसमतल पर दो प्रतिच्छेद (अक्सर) सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

समाधान: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

चित्रमय तरीका केवल दी गई रेखाओं को खींचना है और आरेखण से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है:। जाँच करने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में स्थानापन्न करना चाहिए, वे वहाँ और वहाँ दोनों जगह फिट होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का समाधान हैं। वास्तव में, हमने हल करने का एक ग्राफिकल तरीका माना रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, निश्चित रूप से, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य नुकसान हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह से निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक चित्र बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ पंक्तियों का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें राज्य में कहीं हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक विधि द्वारा प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के शब्दवार जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, पाठ पर जाएँ समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

सत्यापन तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। समस्या को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए एक क्रिया एल्गोरिथ्म का विकास विशिष्ट है, और मैं इस पर बार-बार ध्यान केंद्रित करूंगा।

ट्यूटोरियल के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

जूते की एक जोड़ी अभी तक खराब नहीं हुई है, जैसा कि हमें पाठ के दूसरे भाग में मिला है:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।
रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री की हो जाएगी:

किसी दी गई रेखा के लंबवत रेखा कैसे खींचना है?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान: यह अनुमान से ज्ञात होता है कि . सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करना अच्छा होगा। चूंकि रेखाएं लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटा" देते हैं: , जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय स्केच को प्रकट करें:

हम्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिश निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पादहम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं: .

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

सत्यापन, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात हो, तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान बिंदु को बिंदु से व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम कम से कम रास्ते में उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आंदोलन होगा। अर्थात् एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "एम" से सीधी रेखा "डी" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको केवल संख्याओं को सूत्र में सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना है और गणना करना है:

उत्तर:

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

बिंदु से रेखा तक की दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर होती है। यदि आप चेकर पेपर पर 1 इकाई के पैमाने पर चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 सेल), फिर दूरी को एक साधारण शासक से मापा जा सकता है।

उसी ड्राइंग के अनुसार दूसरे कार्य पर विचार करें:

कार्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना है, जो सीधी रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा खोजें जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य के निर्देशांक और सिरों में से एक को जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रपाना ।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाइयों के बराबर है।

यहां गणना में कठिनाइयां आ सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रोकैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप साधारण अंशों को गिन सकते हैं। कई बार सलाह दी है और फिर से सिफारिश करेंगे।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। एक छोटा सा संकेत: हल करने के असीमित तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग करते हुए, लेकिन बेहतर होगा कि आप अपने लिए अनुमान लगाने की कोशिश करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो रेखाओं के बीच का कोण

कोना जो भी हो, फिर जाम:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को SMALLER कोण के रूप में लिया जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है कि यह अधिक नहीं हो सकता है। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी or विपरीत उन्मुखक्रिमसन कॉर्नर।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो 4 कोणों में से कोई भी उनके बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है।

कोण कैसे भिन्न होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉलिंग" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक ऋणात्मक कोण को ऋणात्मक चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ।

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा के साथ प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाएंगे, उनमें एक नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) को इंगित करना अनिवार्य है।

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानतथा विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा लंबवत नहीं, फिर उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए भाजक पर पूरा ध्यान दें - यह ठीक है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि , तो सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए फॉर्मूलेशन में लाइनों की गैर-लंबवतता के बारे में आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिए:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं (चित्र देखें। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए सटीक मान के साथ-साथ अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, कोई बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण नकारात्मक अभिविन्यास का निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा होती है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू होता है।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं को स्वैप करने की आवश्यकता है, अर्थात, दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .

आइए अब दो समीकरण लें:

आइए देखें कि जब इन समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाएँ d और d व्यापक अर्थों में समानांतर होती हैं, जब वे संपाती होती हैं, जब वे उचित अर्थों में समानांतर होती हैं (अर्थात उनका एक भी सामान्य बिंदु नहीं होता है)।

पहले प्रश्न का उत्तर तुरंत प्राप्त किया जाता है: रेखाएँ d और d व्यापक अर्थों में समानांतर हैं यदि और केवल यदि उनके दिशा सदिश संरेख हैं, अर्थात जब अनुपात होता है, और इसलिए अनुपात

यदि इस अनुपात को अनुपात तक बढ़ाया जा सकता है

तब रेखाएँ मेल खाती हैं: इस मामले में, दो समीकरणों में से एक के सभी गुणांक (1), (डी) दूसरे के गुणांक से कुछ से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं और इसलिए, समीकरण (1) और समकक्ष होते हैं (कोई भी) एक समीकरण को संतुष्ट करने वाला बिंदु दूसरे को संतुष्ट करता है)।

इसके विपरीत, यदि दो रेखाएँ मिलती हैं, तो अनुपात (3) धारण करता है।

आइए इसे पहले उस स्थिति में सिद्ध करें जब हमारी रेखाएँ y-अक्ष के समानांतर हों। तब, और हमें केवल समानता साबित करने की आवश्यकता है।

लेकिन अंतिम समानता (जिसमें यह इस तथ्य से अनुसरण करती है कि दोनों (संयोजन) रेखाएं भुजिका अक्ष को भुज के साथ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

अब माना कि संपाती प्राइमरी y-अक्ष के समानांतर नहीं हैं। फिर वे इसे उसी बिंदु Q पर कोटि के साथ प्रतिच्छेद करते हैं और हमारे पास अनुपात होता है, जो अनुपात (2) (जो व्यापक अर्थों में रेखाओं की समानता को व्यक्त करता है) के साथ हमें आवश्यक अनुपात (3) देता है।

समांतरता का उचित अर्थ में अर्थ है कि व्यापक अर्थों में समानता है (अर्थात, स्थिति (2) संतुष्ट है), लेकिन कोई संयोग नहीं है (अर्थात संतुष्ट नहीं)। इसका मतलब है कि अनुपात

होता है, जबकि

दो संबंधों (2) और (4) के संयोजन को आमतौर पर एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

आइए संक्षेप में बताएं कि क्या साबित हुआ है।

प्रमेय 1. समतल पर किसी भी रेखा d को एक एफाइन समन्वय प्रणाली से लैस किया जाता है, जो इसके बिंदुओं के निर्देशांक के बीच पहली डिग्री के कुछ समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके विपरीत, पहली डिग्री का कोई भी समीकरण

कुछ (अद्वितीय) रेखा d का समीकरण है; इसके अलावा, सभी वैक्टर इस रेखा से मिलते हैं, और केवल वे सजातीय समीकरण को संतुष्ट करते हैं

यह लेख समानांतर रेखाओं और समानांतर रेखाओं के बारे में है। सबसे पहले, समतल और अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा दी गई है, संकेतन पेश किया गया है, समानांतर रेखाओं के उदाहरण और ग्राफिक चित्र दिए गए हैं। इसके अलावा, सीधी रेखाओं के समांतरता के संकेतों और स्थितियों का विश्लेषण किया जाता है। निष्कर्ष में, सीधी रेखाओं के समानांतरवाद को साबित करने की विशिष्ट समस्याओं के समाधान दिखाए गए हैं, जो एक समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा के कुछ समीकरणों द्वारा दिए गए हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

समानांतर रेखाएँ - बुनियादी जानकारी।

परिभाषा।

समतल में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

परिभाषा।

तीन आयामों में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि वे एक ही तल में स्थित हैं और उनके कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

ध्यान दें कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा में "यदि वे एक ही तल में स्थित हैं" खंड बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस बिंदु को स्पष्ट करें: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं और एक ही विमान में नहीं होते हैं, समानांतर नहीं होते हैं, लेकिन तिरछे होते हैं।

यहाँ समानांतर रेखाओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। नोटबुक शीट के विपरीत किनारे समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं। सीधी रेखाएँ जिनके साथ घर की दीवार का तल छत और फर्श के तलों को काटता है, समानांतर हैं। समतल जमीन पर रेल की पटरियों को भी समानांतर रेखा के रूप में माना जा सकता है।

समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए प्रतीक "" का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो आप संक्षेप में a b लिख सकते हैं।

ध्यान दें कि यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो हम कह सकते हैं कि रेखा a, रेखा b के समानांतर है, और यह भी कि रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक कथन को स्वर दें जो समतल में समानांतर रेखाओं के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां केवल दी गई रेखा के समानांतर रेखा गुजरती है। इस कथन को एक तथ्य के रूप में स्वीकार किया जाता है (इसे प्लैनिमेट्री के ज्ञात स्वयंसिद्धों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है), और इसे समानांतर रेखाओं का अभिगृहीत कहा जाता है।

अंतरिक्ष में मामले के लिए, प्रमेय सत्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक एकल रेखा गुजरती है। इस प्रमेय को ऊपर दी गई समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जाता है (आप इसका प्रमाण ज्यामिति पाठ्यपुस्तक 10-11 कक्षा में पा सकते हैं, जो कि ग्रंथ सूची में लेख के अंत में सूचीबद्ध है)।

अंतरिक्ष में मामले के लिए, प्रमेय सत्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक एकल रेखा गुजरती है। ऊपर दी गई समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत का उपयोग करके इस प्रमेय को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

रेखाओं का समानांतरवाद - समानता के संकेत और शर्तें।

समानांतर रेखाओं का चिन्हसमानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्त है, यानी ऐसी स्थिति, जिसकी पूर्ति समानांतर रेखाओं की गारंटी देती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति इस तथ्य को बताने के लिए पर्याप्त है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

समतल में और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें भी हैं।

आइए हम "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति" वाक्यांश का अर्थ स्पष्ट करें।

हम पहले ही समानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्त पर विचार कर चुके हैं। और "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक शर्त" क्या है? "आवश्यक" नाम से स्पष्ट है कि रेखाओं के समानांतर होने के लिए इस शर्त की पूर्ति आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, यदि समांतर रेखाओं के लिए आवश्यक शर्त संतुष्ट नहीं होती है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं। इस तरह, रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तएक शर्त है, जिसकी पूर्ति समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त दोनों है। अर्थात् एक ओर यह समांतर रेखाओं का चिन्ह है तो दूसरी ओर यह एक ऐसा गुण है जो समांतर रेखाओं का होता है।

रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त बताने से पहले, कुछ सहायक परिभाषाओं को याद करना उपयोगी है।

छेदक रेखाएक ऐसी रेखा है जो दी गई दो गैर-संयोग रेखाओं में से प्रत्येक को प्रतिच्छेद करती है।

एक छेदक की दो पंक्तियों के प्रतिच्छेदन पर आठ गैर-तैनात रेखाएँ बनती हैं। तथाकथित क्रॉसवर्ड झूठ बोलना, संबंधिततथा एक तरफा कोने. आइए उन्हें ड्राइंग पर दिखाएं।

प्रमेय।

यदि एक समतल पर दो सीधी रेखाओं को एक छेदक द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो उनकी समांतरता के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि झूठ के कोण समान हों, या संबंधित कोण समान हों, या एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर हो।

आइए हम समतल में समानांतर रेखाओं के लिए इस आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का एक चित्रमय चित्रण दिखाएं।

आप ग्रेड 7-9 के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों में समानांतर रेखाओं के लिए इन शर्तों के प्रमाण पा सकते हैं।

ध्यान दें कि इन स्थितियों का उपयोग त्रि-आयामी अंतरिक्ष में भी किया जा सकता है - मुख्य बात यह है कि दो रेखाएं और छेद एक ही विमान में स्थित हैं।

यहां कुछ और प्रमेय दिए गए हैं जिनका उपयोग अक्सर रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

प्रमेय।

यदि एक तल में दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे समानांतर होती हैं। इस विशेषता का प्रमाण समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत से मिलता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए भी ऐसी ही स्थिति है।

प्रमेय।

यदि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे समानांतर होती हैं। इस विशेषता का प्रमाण कक्षा 10 में ज्यामिति के पाठों में माना जाता है।

आइए हम स्वरित प्रमेयों का वर्णन करें।

आइए हम एक और प्रमेय दें जो हमें समतल में रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करने की अनुमति देता है।

प्रमेय।

यदि एक तल में दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।

अंतरिक्ष में रेखाओं के लिए एक समान प्रमेय है।

प्रमेय।

यदि त्रिविमीय समष्टि में दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।

आइए हम इन प्रमेयों के अनुरूप चित्र बनाएं।

ऊपर दिए गए सभी प्रमेय, संकेत और आवश्यक और पर्याप्त शर्तें ज्यामिति के तरीकों से सीधी रेखाओं के समानांतरवाद को साबित करने के लिए पूरी तरह उपयुक्त हैं। अर्थात् दो दी गई रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करने के लिए यह दिखाना आवश्यक है कि वे तीसरी रेखा के समानांतर हैं, या अनुप्रस्थ कोणों की समानता दिखाने के लिए, आदि। इनमें से कई समस्याएं हाई स्कूल में ज्यामिति के पाठों में हल की जाती हैं। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई मामलों में एक विमान में या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए निर्देशांक की विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए हम एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दी गई रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें तैयार करें।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं का समानांतरवाद।

लेख के इस भाग में, हम तैयार करेंगे समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तेंएक आयताकार समन्वय प्रणाली में, इन रेखाओं को निर्धारित करने वाले समीकरणों के प्रकार के आधार पर, और हम विशिष्ट समस्याओं के विस्तृत समाधान भी देंगे।

आइए आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में विमान पर दो रेखाओं के समांतरता की स्थिति से शुरू करें। उनका प्रमाण रेखा के निर्देशन सदिश की परिभाषा और समतल पर रेखा के सामान्य सदिश की परिभाषा पर आधारित है।

प्रमेय।

दो गैर-संयोग रेखाओं के समतल में समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेखी हों, या इन रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा का दिशा सदिश अभिलंब के लंबवत हो दूसरी पंक्ति का वेक्टर।

जाहिर है, समतल में दो रेखाओं के समानांतर होने की स्थिति (लाइनों के दिशा सदिश या रेखाओं के सामान्य सदिश) या (एक रेखा की दिशा सदिश और दूसरी पंक्ति के सामान्य सदिश) तक कम हो जाती है। इस प्रकार, यदि और रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, तथा तथा क्रमशः रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो समानांतर रेखाओं a और b के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है , या , या , जहाँ t कुछ वास्तविक संख्या है। बदले में, सीधी रेखाओं a और b के निर्देशन और (या) सामान्य सदिशों के निर्देशांक सीधी रेखाओं के ज्ञात समीकरणों से पाए जाते हैं।

विशेष रूप से, यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा a समतल पर ऑक्सी रूप की रेखा के सामान्य समीकरण को परिभाषित करती है , और सीधी रेखा b - , तो इन रेखाओं के अभिलंब सदिशों में निर्देशांक और क्रमशः होते हैं, और रेखाओं a और b के समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाएगा।

यदि सीधी रेखा a, फॉर्म के ढलान गुणांक के साथ सीधी रेखा के समीकरण से मेल खाती है . इसलिए, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं और ढलान गुणांक वाली सीधी रेखाओं के समीकरणों द्वारा दी जा सकती हैं, तो रेखाओं के ढलान गुणांक बराबर होंगे। और इसके विपरीत: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संयोग वाली सीधी रेखाएं समान ढलान गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरणों द्वारा दी जा सकती हैं, तो ऐसी सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं।

यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा a और रेखा b रूप के तल पर रेखा के विहित समीकरणों को परिभाषित करते हैं तथा , या रूप के समतल पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण तथा क्रमशः, तो इन रेखाओं के दिशा सदिशों में निर्देशांक होते हैं और , और रेखाओं a और b के लिए समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाता है।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

क्या रेखाएँ समानांतर हैं? तथा ?

समाधान।

हम एक सीधी रेखा के समीकरण को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में खंडों में फिर से लिखते हैं: . अब हम देख सकते हैं कि यह सीधी रेखा का सामान्य सदिश है , और सीधी रेखा का सामान्य सदिश है। ये सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि कोई वास्तविक संख्या t नहीं है जिसके लिए समानता ( ) नतीजतन, समतल पर रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त संतुष्ट नहीं है, इसलिए, दी गई रेखाएं समानांतर नहीं हैं।

उत्तर:

नहीं, रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण।

क्या रेखाएँ और समानताएँ हैं?

समाधान।

हम एक सीधी रेखा के विहित समीकरण को एक ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण में लाते हैं: . जाहिर है, रेखाओं के समीकरण समान नहीं हैं (इस स्थिति में, दी गई रेखाएँ समान होंगी) और रेखाओं के ढलान समान हैं, इसलिए मूल रेखाएँ समानांतर हैं।