व्यावहारिक पाठ

विषय: निर्धारकों की गणना।

लक्ष्य:एच निर्धारकों और उनके गुणों की अवधारणाओं को समेकित करने के लिए,कौशल और क्षमताओं को विकसित और समेकित करना दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करें; प्राप्त ज्ञान को सामान्य बनाने, विश्लेषण और तुलना करने की क्षमता विकसित करना, तार्किक सोच के विकास को बढ़ावा देना; सीखने की प्रक्रिया के प्रति सचेत दृष्टिकोण में छात्रों को शिक्षित करें।

I. सामान्य सैद्धांतिक प्रावधान

दूसरा क्रम निर्धारक संख्या है

तीसरा क्रम निर्धारक संख्या है

क्वालीफायर गुण

संपत्ति 1.
यदि सभी पंक्तियों को संबंधित स्तंभों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और इसके विपरीत निर्धारक नहीं बदलता है।

संपत्ति 2.
जब किन्हीं दो पंक्तियों या स्तंभों को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक चिन्ह बदल जाता है।

संपत्ति 3.
एक सारणिक शून्य होता है यदि उसकी दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हों।

संपत्ति 4.
एक गुणक जो एक पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्वों के लिए सामान्य है, उसे सारणिक चिह्न से निकाला जा सकता है।

संपत्ति 5.
यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों को किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के संगत तत्वों में जोड़ा जाता है, तो सारणिक नहीं बदलता है।

गुण 4 और 5 से परिणाम: यदि किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के संगत तत्वों को किसी संख्या से गुणा करके किसी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों में जोड़ा जाता है, तो सारणिक नहीं बदलेगा।

टेस्ट प्रश्न:

1. एक मैट्रिक्स को परिभाषित करें।
2. प्रतीक का क्या अर्थ है ?
3. मैट्रिक्स A के संबंध में किस मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़्ड कहा जाता है?
4. किस मैट्रिक्स को कोटि n का वर्ग कहा जाता है?
5. द्वितीय कोटि के सारणिक को परिभाषित कीजिए।

6. तृतीय कोटि के सारणिक की परिभाषा दीजिए।

7. ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है?

8. मैट्रिक्स में 2 पंक्तियों (कॉलम) की अदला-बदली करने पर सारणिक का मान कैसे बदलेगा?

9. क्या सारणिक चिह्न से किसी पंक्ति या स्तंभ का उभयनिष्ठ गुणनखंड निकाला जा सकता है?

10. यदि किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी अवयव 0 के बराबर हैं, तो सारणिक क्या है?

11. यदि दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हों तो सारणिक क्या है?

12. द्वितीय कोटि के सारणिक की गणना के लिए एक नियम बनाइए।

13. तृतीय कोटि के सारणिक की गणना के लिए एक नियम बनाइए।

द्वितीय . कौशल और क्षमताओं का गठन।

उदाहरण 1आप निर्धारक की गणना करते हैं : ए) त्रिकोण नियम के अनुसार बी) सरस नियम के अनुसार;

ग) पहली पंक्ति के तत्वों द्वारा अपघटन की विधि द्वारा

समाधान:

बी) हम पहले दो कॉलम असाइन करते हैं और मुख्य विकर्ण के साथ तीन तत्वों के उत्पादों की गणना करते हैं और इसके समानांतर चिह्न (+) के साथ, और फिर द्वितीयक विकर्ण के साथ और इसके समानांतर (-) के साथ गणना करते हैं:

हम पाते हैं:

उदाहरण 2गणना निर्धारक दो तरह से: पहली पंक्ति और त्रिभुज नियम द्वारा विस्तार की सहायता से।

समाधान:

उदाहरण 3।गुणों का उपयोग करके निर्धारक की गणना करें:

तृतीय अध्ययन सामग्री का समेकन।

नंबर 1। निर्धारकों की गणना करें:

№ 2. समीकरण हल करें:

# 4 गुणों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना करें:

1 .
. 2.
. 3.
. 4 .
.

साहित्य

1. पिस्मनी, डी. टी. लेक्चर नोट्स ऑन हायर मैथमेटिक्स: ए कम्प्लीट कोर्स डी. टी. पिस्मनी। - 9वां संस्करण। - एम .: आइरिस-प्रेस, 2009। 608 पी .: बीमार। - (उच्च शिक्षा)।

2. लुंगु, के.एन. उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह। पहला कोर्स / के। एन। लुंगु, डी। टी। पिस्मनी, एस। एन। फेडिन, यू। ए। शेवचेंको। - 7 वां संस्करण। - एम.: आइरिस-प्रेस, 2008. 576 पी.:- (उच्च शिक्षा)।

निर्धारक और क्रैमर नियम।दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारक। क्रेमर का नियम। नाबालिग और बीजीय जोड़। एक पंक्ति या स्तंभ में एक सारणिक का अपघटन। निर्धारकों के मुख्य गुण प्राथमिक परिवर्तनों की विधि।

2. निर्धारक और क्रैमर का नियम

2.1. दूसरा क्रम निर्धारक

एक सारणिक की अवधारणा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की समस्या के संबंध में भी उत्पन्न हुई। सिद्ध(या सिद्ध) वर्ग मैट्रिक्स की विशेषता वाली एक संख्या है एऔर आमतौर पर प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है: det ए, | ए| या . यदि मैट्रिक्स को तालिका के रूप में स्पष्ट रूप से दिया जाता है, तो तालिका को लंबवत रेखाओं में संलग्न करके निर्धारक को दर्शाया जाता है।

सिद्ध दूसरे क्रम के आव्यूह इस प्रकार पाए जाते हैं:

(2.1)
यह मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के तत्वों के गुणनफल के बराबर है और दूसरे विकर्ण के तत्वों के गुणनफल के बराबर है.

उदाहरण के लिए,


इस बात पर फिर से जोर दिया जाना चाहिए कि मैट्रिक्स संख्याओं की एक तालिका है, जबकि निर्धारक एक वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों के माध्यम से निर्धारित संख्या है।

अब दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

दूसरे क्रम के निर्धारक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली के समाधान को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(2.2)

यह है क्रैमर का नियम दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान, बशर्ते कि 0।

उदाहरण 2.1.क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान . आइए निर्धारकों को खोजें:



इतिहास संदर्भ। अवधारणा विचार "निर्धारक"संबंधित हो सकता है जी. लिबनिज़ो(1646-1716), यदि उन्होंने निर्धारकों पर अपने विचारों को विकसित और प्रकाशित किया, जो उन्हें 1693 में मिला। इसलिए, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों की विधि विकसित करने में प्राथमिकता है जी. क्रेमे(1704-1752), जिन्होंने 1750 में इस विषय पर अपना शोध प्रकाशित किया। हालांकि, क्रैमर ने निर्धारकों के पूर्ण सिद्धांत का निर्माण नहीं किया, और इसके अलावा, उनके पास एक सुविधाजनक संकेतन का अभाव था। निर्धारकों पर पहला व्यापक अध्ययन था ए. वेंडरमोंडे(1735-1796) 1772 में। उन्होंने निर्धारकों के सिद्धांत की तार्किक व्याख्या की और नाबालिगों का उपयोग करके निर्धारक के विस्तार के लिए नियम पेश किया। निर्धारकों के सिद्धांत की पूरी व्याख्या केवल 1812 में दी गई थी।
जे. बिनेतो(1786-1856) और ओ. कोश्यो(1789-1858)। शर्त "निर्धारक" ("निर्धारक") अपने आधुनिक अर्थ में कॉची द्वारा पेश किया गया था (पहले इस शब्द का इस्तेमाल के। गॉस द्वारा द्विघात रूप के विवेचक को निरूपित करने के लिए किया जाता था)।

2.2. तीसरे क्रम के निर्धारक

सिद्धतीसरे क्रम के मैट्रिसेस इस प्रकार पाए जाते हैं

(2.3)

स्वाभाविक रूप से, इस सूत्र को याद रखना काफी कठिन है। हालांकि, ऐसे नियम हैं जो तीसरे क्रम के निर्धारक के लिए व्यंजक लिखना आसान बनाते हैं।

त्रिभुजों का नियम : मूल व्यंजक में धन चिह्न के साथ शामिल तीन पद मुख्य विकर्ण या त्रिभुज के तत्वों के गुणनफल हैं जिनके आधार इस विकर्ण के समानांतर हैं। शेष तीन पद, ऋण चिह्न के साथ प्रवेश करते हुए, समान रूप से पाए जाते हैं, लेकिन दूसरे विकर्ण के सापेक्ष।

सरस नियम : हम पहले और फिर दूसरे कॉलम को दाईं ओर मैट्रिक्स में असाइन करेंगे। फिर "सकारात्मक" शब्द मुख्य विकर्ण के समानांतर रेखाओं पर होंगे, और "ऋणात्मक" शब्द दूसरे विकर्ण के समानांतर रेखाओं पर होंगे.

2.3. क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली के समाधान को उसी रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि दो समीकरणों की प्रणाली के लिए, अर्थात।

(2.4)

अगर 0. यहां

यह है क्रैमर का नियम तीन अज्ञात में तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना.

उदाहरण 2.3।क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान . सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक ढूँढना

0 के बाद से, सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, आप क्रैमर के नियम को लागू कर सकते हैं, लेकिन पहले तीन और निर्धारकों की गणना करें:

इंतिहान:

इसलिए, समाधान सही पाया जाता है। मैं

दूसरे और तीसरे क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए प्राप्त क्रैमर के नियम बताते हैं कि किसी भी क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए समान नियम तैयार किए जा सकते हैं। वास्तव में होता है

क्रैमर का प्रमेय। सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली (0) एक और केवल एक समाधान है, और इस समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

(2.5)

कहाँ पे  – मुख्य मैट्रिक्स निर्धारक,  मैं – मैट्रिक्स निर्धारक, मुख्य से व्युत्पन्न, प्रतिस्थापनमैंवें स्तंभ मुक्त सदस्य स्तंभ.

ध्यान दें कि यदि =0, तो क्रैमर का नियम लागू नहीं होता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम के पास या तो कोई समाधान नहीं है, या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

क्रैमर के प्रमेय को तैयार करने के बाद, स्वाभाविक रूप से उच्च-क्रम के निर्धारकों की गणना का सवाल उठता है।

2.4. nth क्रम निर्धारक

अतिरिक्त नाबालिग एम आईजेयूतत्व एक आईजेयूको हटाकर दिए गए से प्राप्त निर्धारक कहलाता है मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ। बीजीय जोड़ ए आईजेयूतत्व एक आईजेयूइस तत्व का अवयस्क कहा जाता है, जिसे चिन्ह (-1) के साथ लिया जाता है मैं + जे, अर्थात। ए आईजेयू = (–1) मैं + जे एम आईजेयू .

उदाहरण के लिए, आइए तत्वों के अवयस्क और बीजगणितीय पूरक खोजें एक 23 और एक 31 निर्धारक

हम पाते हैं



बीजीय पूरक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम बना सकते हैं निर्धारक विस्तार प्रमेयएन-पंक्ति या स्तंभ द्वारा क्रम.

प्रमेय 2.1.मैट्रिक्स निर्धारकएकिसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर है:

(2.6)

यह प्रमेय निर्धारकों की गणना के लिए तथाकथित तथाकथित मुख्य विधियों में से एक है। आदेश कमी विधि. निर्धारक के विस्तार के परिणामस्वरूप एनकिसी भी पंक्ति या कॉलम में वें क्रम में, हमें n निर्धारक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। ऐसे निर्धारकों को कम करने के लिए, सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ का चयन करना उचित है। व्यवहार में, सारणिक के लिए विस्तार सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

वे। बीजगणितीय जोड़ स्पष्ट रूप से नाबालिगों के संदर्भ में लिखे गए हैं।

उदाहरण 2.4.किसी भी पंक्ति या स्तंभ में पहले उनका विस्तार करके निर्धारकों की गणना करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में, सबसे अधिक शून्य वाले कॉलम या पंक्ति का चयन करें। चयनित पंक्ति या स्तंभ को एक तीर से चिह्नित किया जाएगा।



2.5. निर्धारकों के मूल गुण

सारणिक को किसी भी पंक्ति या स्तंभ में विस्तारित करने पर, हमें n सारणिक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। फिर इनमें से प्रत्येक निर्धारक ( एन-1)-वें क्रम को निर्धारकों के योग में भी विघटित किया जा सकता है ( एन-2) वां क्रम। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, व्यक्ति पहले क्रम के निर्धारकों तक पहुँच सकता है, अर्थात। मैट्रिक्स के उन तत्वों के लिए जिनके निर्धारक की गणना की जा रही है। तो, दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए, आपको दो पदों के योग की गणना करनी होगी, तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए - 6 पदों का योग, चौथे क्रम के निर्धारकों के लिए - 24 पद। सारणिक का क्रम बढ़ने पर पदों की संख्या में तेजी से वृद्धि होगी। इसका मतलब यह है कि बहुत उच्च कोटि के निर्धारकों की गणना एक कंप्यूटर की शक्ति से परे एक श्रमसाध्य कार्य बन जाती है। हालांकि, निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है।

संपत्ति 1. यदि इसमें पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली की जाती है, तो निर्धारक नहीं बदलेगा, अर्थात मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय:

.

यह गुण निर्धारक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, सारणिक के स्तंभों के बारे में कोई भी कथन उसकी पंक्तियों के लिए सत्य है, और इसके विपरीत।

संपत्ति 2. जब दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक चिह्न बदल जाता है।

परिणाम. यदि सारणिक की दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

संपत्ति 3. किसी भी पंक्ति (स्तंभ) में सभी तत्वों का सार्व गुणनखंड सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है।

उदाहरण के लिए,

परिणाम. यदि सारणिक की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी अवयव शून्य के बराबर हों, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर होता है।

संपत्ति 4. यदि एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में किसी संख्या से गुणा करने पर सारणिक नहीं बदलता है।

उदाहरण के लिए,

संपत्ति 5. मैट्रिक्स उत्पाद का निर्धारक मैट्रिक्स निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:

2.6.

प्रमेय 2.2.त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है:

प्राथमिक परिवर्तन मैट्रिक्स को निम्नलिखित परिवर्तन कहा जाता है: 1) एक पंक्ति (स्तंभ) का एक संख्या से गुणा जो शून्य के बराबर नहीं है; 2) एक पंक्ति (कॉलम) को दूसरी में जोड़ना; 3) दो पंक्तियों (कॉलम) का क्रमपरिवर्तन।

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाने के लिए, निर्धारकों के गुणों को ध्यान में रखते हुए प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करना है।

उदाहरण 2.5.प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके निर्धारक की गणना करें, उन्हें त्रिकोणीय रूप में लाएं:



उदाहरण 2.6।निर्धारक की गणना करें:

.

समाधान . इस सारणिक को सरल कीजिए और फिर इसकी गणना कीजिए:

. 
उदाहरण 2.7.गणना निर्धारक
.

समाधान . विधि 1 मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, निर्धारकों के गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम किसी भी पंक्ति या स्तंभ में शून्य प्राप्त करेंगे, और फिर हम इस पंक्ति या स्तंभ के साथ परिणामी निर्धारक का विस्तार करेंगे:

–6

2

-2


.
विधि 2 मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, निर्धारकों के गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाते हैं:

. 

प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना, इसे त्रिकोणीय रूप में लाकर, सबसे आम तरीकों में से एक है। यह इस तथ्य के कारण है कि यह कंप्यूटर पर निर्धारकों की गणना के कार्यान्वयन में मुख्य विधि है। अधिक सटीक रूप से, यह संशोधनों में से एक है गॉस विधि , जो आमतौर पर रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने में उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 2.8।गाऊसी विधि का उपयोग करके सारणिक की गणना करें:

समाधान। पहले कॉलम पर विचार करें और उसमें उस पंक्ति का चयन करें जिसमें 1 है। यदि कोई इकाइयाँ नहीं हैं, तो आपको प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इस इकाई को बनाने की आवश्यकता है: पंक्तियों या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करना, उन्हें एक दूसरे में जोड़ना या घटाना, उन्हें कुछ से गुणा या विभाजित करना। संख्या (निश्चित रूप से, निर्धारकों के गुणों को ध्यान में रखते हुए)। आइए दूसरी पंक्ति को आधार के रूप में लें और पहले कॉलम में शून्य प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग करें:

उसके बाद हम पहली लाइन पर ज्यादा ध्यान नहीं देते। दूसरे कॉलम पर विचार करें।

परिणाम एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। निर्धारक की गणना करने के लिए, यह केवल मुख्य विकर्ण पर स्थित मैट्रिक्स के तत्वों को गुणा करने के लिए रहता है। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है: -2(-1)(-1)1334 = -264। मैं

परिभाषा 6. सिस्टम के मैट्रिक्स (1.4) से संबंधित तीसरे क्रम के निर्धारक संख्या डी के बराबर है

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करने के लिए, दो कम्प्यूटेशनल योजनाओं का उपयोग किया जाता है जो बिना किसी परेशानी के तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने की अनुमति देते हैं। इन सर्किटों के रूप में जाना जाता है " त्रिभुज नियम"(या "तारांकन नियम") और " सरस नियम ".

त्रिभुज नियम के अनुसार, तत्वों को पहले गुणा और जोड़ा जाता है, आरेख में रेखाओं द्वारा जोड़ा जाता है

वे। हमें उत्पादों का योग मिलता है: ए 11 ए 22 ए 33 + ए 12 ए 23 ए 31 + ए 21 ए 13 ए 32.

कृपया ध्यान दें कि एक पंक्ति से जुड़े तत्व, सीधे या टूटे हुए, गुणा किए जाते हैं, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है।

फिर आरेख में जुड़े तत्वों को गुणा और जोड़ा जाता है।

वे। हमें उत्पादों का एक और योग मिलता है ए 13 ए 22 ए 31 + ए 12 ए 21 ए 33 + ए 11 ए 23 ए 32. और अंत में, सारणिक की गणना करने के लिए, दूसरे योग को पहले योग से घटाया जाता है। फिर हम अंत में तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

डी \u003d (ए 11 ए 22 ए 33 + ए 12 ए 23 ए 31 + ए 21 ए 13 ए 32) - (ए 13 ए 22 ए 31 + ए 12 ए 21 ए 33 + ए 11 ए 23 ए 32)।

सरस नियम के अनुसार, पहले दो स्तंभों को दाहिनी ओर सारणिक में जोड़ा जाता है, और फिर एक दिशा में सारणिक के तत्वों के उत्पादों के योग की गणना की जाती है और दूसरी दिशा में तत्वों के उत्पादों के योग की गणना की जाती है। इसमें से घटाया जाता है (आरेख देखें):

आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि त्रिभुज नियम के अनुसार सारणिक की गणना करते समय परिणाम वही होगा।

उदाहरण. गणना निर्धारक

समाधान. तारांकन नियम का उपयोग करके निर्धारक की गणना करें

और Sarrus . के नियम के अनुसार

वे। हम दोनों कम्प्यूटेशनल योजनाओं के लिए समान परिणाम प्राप्त करते हैं, जैसा कि अपेक्षित था।

ध्यान दें कि दूसरे क्रम के निर्धारकों के लिए तैयार किए गए सभी गुण तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए मान्य हैं, जैसा कि आप स्वयं देख सकते हैं। इन गुणों के आधार पर, हम किसी भी क्रम के निर्धारकों के लिए सामान्य गुण तैयार करते हैं।

निर्धारकों

परिभाषा। आव्यूह mn आकार की एक आयताकार तालिका कहलाती है, जिसमें m पंक्तियाँ और n कॉलम होते हैं:

. (1)

मैट्रिक्स में खड़ी संख्याएँ कहलाती हैं तत्वों और दो सूचकांकों के साथ एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, जिनमें से पहला पंक्ति संख्या के बराबर है, और दूसरा स्तंभ संख्या है जिसके चौराहे पर दिया गया तत्व स्थित है। मैट्रिक्स के तत्वों को आमतौर पर छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, और मैट्रिक्स को स्वयं संबंधित बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। यदि किसी मैट्रिक्स को उसके तत्वों को सूचीबद्ध करके निर्दिष्ट किया जाता है, तो तत्वों की तालिका कोष्ठक या वर्ग कोष्ठक में संलग्न होती है।

उदाहरण के लिए, एक 23 मैट्रिक्स a को इस प्रकार लिखा जाता है:

इस मैट्रिक्स में 6 तत्व होते हैं, जहां मैं=1,2 - लाइन नंबर है, जे= 1,2,3 - कॉलम नंबर। सारणीबद्ध जानकारी को रिकॉर्ड करने के लिए तकनीकी विज्ञान और अर्थशास्त्र में मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। प्रोग्रामिंग में, मैट्रिसेस को द्वि-आयामी सरणियाँ कहा जाता है।

एक मैट्रिक्स जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, कहलाती है वर्ग , और इस वर्ग मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) की संख्या को कहा जाता है क्रम में . वर्ग मैट्रिक्स एन-वें क्रम में शामिल हैं एन 2 तत्व:

. (2)

एक निश्चित नियम के अनुसार, प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स को एक संख्या सौंपी जाती है जिसे कहा जाता है सिद्ध यह मैट्रिक्स। सारणिक, मैट्रिक्स के विपरीत, ऊर्ध्वाधर रेखाओं द्वारा इंगित किया जाता है:

.

आइए पहले, दूसरे, तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए नियम बनाएं।

दूसरा क्रम मैट्रिक्स निर्धारक एक नंबर कहा जाता है

.

उदाहरण के लिए:

.

2. तीसरे क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारक संख्या है

इस नियम को कहा जाता है नियम त्रिभुज (सररूसा) . इसे याद रखने के लिए, निम्नलिखित योजनाबद्ध संकेतन का उपयोग किया जाता है, जहां काले बिंदुओं के स्थान पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है:

उदाहरण के लिए:

परिभाषा: ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स मैट्रिक्स के लिएए मैट्रिक्स कहा जाता हैपर , जिनके स्तंभ मैट्रिक्स की संगत पंक्तियाँ हैंए . मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से निकलने वाले विकर्ण को इसका कहा जाता है मुख्य विकर्ण . एक वर्ग मैट्रिक्स (2) के लिए, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स इस प्रकार लिखा गया है:

आइए अब हम उन सारणिकों के गुणों पर विचार करें जो किसी कोटि के निर्धारकों के लिए मान्य हैं। निश्चितता के लिए, हम उन्हें तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए लिखेंगे।

І. एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारकए और उसके स्थानान्तरितपर मैच, यानी|ए|=|ए टी |।

हम इसकी पंक्तियों के लिए सारणिकों के और गुणधर्म बनाएंगे। यह पहली संपत्ति से इस प्रकार है कि वे सभी कॉलम के लिए भी मान्य हैं।

ІІ. जब एक मैट्रिक्स की दो पंक्तियों को आपस में बदल दिया जाता है, तो इसका सारणिक इसके संकेत को विपरीत में बदल देता है.

उदाहरण के लिए:

.

निर्धारक में, दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई।

ІІІ . दो समान पंक्तियों वाले मैट्रिक्स का निर्धारक 0 . है.

दरअसल, जब इन तारों को आपस में बदल दिया जाता है, तो संपत्ति 2 के अनुसार, सारणिक को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। इसलिए, इसलिए।

І वी.यदि एक वर्ग मैट्रिक्स की एक पंक्ति के सभी तत्वों को संख्या से गुणा किया जाता है , तो इसके सारणिक को इस संख्या से गुणा किया जाता है.

उदाहरण के लिए: .

वी. यदि एक वर्ग मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति है, तो इसका सारणिक 0 . है.

यह संपत्ति पिछले से प्राप्त होती है  = 0.

वीІ . यदि एक सारणिक की पंक्तियों में से एक को दो पंक्तियों के योग के रूप में लिखा जाता है, तो सारणिक को दो सारणिकों के योग के रूप में लिखा जाता है पर जो इस रेखा के स्थान पर क्रमशः प्रथम और द्वितीय पद हैं। तीनों सारणिकों की शेष संगत पंक्तियाँ समान हैं.

उदाहरण के लिए:

वीІІ. यदि हम मैट्रिक्स की एक पंक्ति में इसकी दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, तो संख्या से गुणा किया जाता है , तो मैट्रिक्स का निर्धारक नहीं बदलता है.

सिद्ध एक वर्ग मैट्रिक्स एक संख्या है जिसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

a) यदि वर्ग मैट्रिक्स का क्रम 1 है, अर्थात। इसमें 1 संख्या होती है, तो निर्धारक इस संख्या के बराबर होता है;

b) यदि वर्ग मैट्रिक्स का क्रम 2 है, अर्थात। इसमें 4 संख्याएँ होती हैं, तो निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के गुणनफल और द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के गुणनफल के बीच के अंतर के बराबर होता है;

c) यदि वर्ग मैट्रिक्स का क्रम 3 है, अर्थात। इसमें 9 संख्याएँ होती हैं, तो निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होता है और इस विकर्ण के समानांतर दो त्रिभुज होते हैं, जिसमें से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पादों का योग और दो त्रिभुज समानांतर होते हैं इस विकर्ण को घटाया जाता है।

उदाहरण

क्वालीफायर गुण

1. यदि पंक्तियों को स्तंभों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और स्तंभों को पंक्तियों द्वारा बदल दिया जाता है, तो निर्धारक नहीं बदलता है

1. एक सारणिक जिसमें 2 समान पंक्तियाँ हैं, शून्य है
2. सारणिक की किसी भी पंक्ति (पंक्ति या स्तंभ) का सार्व गुणनखंड सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है

4. जब दो समानांतर पंक्तियों को क्रमपरिवर्तन किया जाता है, तो सारणिक चिह्न को विपरीत में बदल देता है

5. यदि सारणिक की किसी श्रेणी के अवयव दो पदों के योग हैं, तो सारणिक को दो संगत सारणिकों के योग में विघटित किया जा सकता है

6. सारणिक नहीं बदलेगा यदि समांतर श्रेणी के संगत तत्वों को किसी संख्या से गुणा करके एक पंक्ति के तत्वों में जोड़ दिया जाए

सारणिक का लघु अवयव और उसका बीजीय पूरक

माइनर ऑफ एलिमेंट a IJ nवें क्रम का निर्धारक n-1st क्रम का निर्धारक है, i-वें पंक्ति और j-वें स्तंभ को हटाकर मूल क्रम से प्राप्त किया जाता है

तत्व का बीजीय पूरक एक IJसारणिक (-1) i+ j . से इसका अवयस्क गुणा किया जाता है

उदाहरण

उलटा मैट्रिक्स

मैट्रिक्स कहा जाता है गैर पतित, यदि इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, अन्यथा, मैट्रिक्स को पतित कहा जाता है

मैट्रिक्स कहा जाता है सम्बद्ध, अगर इसमें संबंधित बीजीय पूरक होते हैं और इसे स्थानांतरित किया जाता है

मैट्रिक्स कहा जाता है उल्टाकिसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए यदि उनका उत्पाद दिए गए मैट्रिक्स के समान क्रम के पहचान मैट्रिक्स के बराबर है

उलटा मैट्रिक्स अस्तित्व प्रमेय

किसी भी गैर-एकवचन मैट्रिक्स में इस मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित संघ मैट्रिक्स के बराबर उलटा होता है

व्युत्क्रम मैट्रिक्स A . खोजने के लिए एल्गोरिथम

1. गणना निर्धारक

1. ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स

1. संघ मैट्रिक्स लिखें, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के सभी बीजीय पूरक की गणना करें

1. सूत्र का प्रयोग करें:

मैट्रिक्स नाबालिगएमएक्सएन आकार के दिए गए मैट्रिक्स के चयनित k पंक्तियों और k कॉलम के चौराहे पर स्थित तत्वों से मिलकर एक निर्धारक कहलाता है

मैट्रिक्स रैंकमैट्रिक्स माइनर का सबसे बड़ा क्रम है जो गैर-शून्य है

संकेतन r(A), rangA

पदचरणबद्ध मैट्रिक्स की गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर है।

उदाहरण

रैखिक समीकरणों की प्रणाली।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जिसमें m समीकरण और n अज्ञात होते हैं, फॉर्म की एक प्रणाली है

नंबर कहां हैं एकआईजे - प्रणाली के गुणांक, संख्या बी मैं - मुक्त सदस्य

मैट्रिक्स संकेतनरैखिक समीकरणों की प्रणाली

सिस्टम समाधानअज्ञात c 1, c 2,…, c n के n मान कहलाते हैं, जब उन्हें सिस्टम में प्रतिस्थापित करते हैं, तो सिस्टम के सभी समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाते हैं। सिस्टम के समाधान को वेक्टर-कॉलम के रूप में लिखा जा सकता है।

समीकरणों की प्रणाली को कहा जाता है संयुक्तयदि इसका कम से कम एक समाधान है, और असंगतअगर कोई समाधान नहीं हैं।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय

LE प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल तभी जब मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित की रैंक के बराबर हो।

LU सिस्टम को हल करने के तरीके

1. गॉस विधि(प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, विस्तारित मैट्रिक्स को एक चरण मैट्रिक्स में कम करें, और फिर विहित एक तक)

प्राथमिक परिवर्तन हैं:

पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करना (स्तंभ)

एक पंक्ति (स्तंभ) में दूसरी को जोड़ना, 0 के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना।

आइए एक संवर्धित मैट्रिक्स बनाएं:

आइए पहले कॉलम में अग्रणी तत्व और पहली पंक्ति, तत्व 1 चुनें, चलो इसे प्रमुख तत्व कहते हैं। वह रेखा जिसमें प्रमुख तत्व स्थित है, वह नहीं बदलेगी। मुख्य विकर्ण के तहत तत्वों को शून्य करें। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें, (-2) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति जोड़ें, (-1) से गुणा करें, हमें मिलता है:

आइए दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें। मानसिक रूप से पहले कॉलम और पहली पंक्ति को पार करें और शेष मैट्रिक्स के लिए एल्गोरिदम जारी रखें। तीसरी पंक्ति में हम 2 को जोड़ते हैं, 5 से गुणा करते हैं।

संवर्धित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में लाया। सिस्टम के समीकरणों पर लौटते हुए, अंतिम पंक्ति से शुरू होकर और ऊपर की ओर बढ़ते हुए, हम एक-एक करके अज्ञात का निर्धारण करते हैं।

2. मैट्रिक्स विधि(एएक्स = बी, ए -1 एएक्स = ए -1 बी, एक्स = ए -1 बी; फ्री टर्म कॉलम द्वारा मैट्रिक्स को मुख्य मैट्रिक्स के विपरीत गुणा करें)

3. क्रेमर की विधि।

सिस्टम का समाधान सूत्र द्वारा पाया जाता है:

संशोधित मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक कहां है, जिसमें i-वें कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम में बदल दिया गया है, और अज्ञात के लिए गुणांक से मिलकर मुख्य निर्धारक है।

वेक्टर।

वेक्टरएक निर्देशित रेखा है

कोई भी सदिश लंबाई (मापांक) और दिशा द्वारा दिया जाता है।

पदनाम: या

जहां ए वेक्टर की शुरुआत है, बी वेक्टर का अंत है, और वेक्टर की लंबाई है।

वेक्टर वर्गीकरण

शून्य वेक्टरएक सदिश है जिसकी लंबाई शून्य है

इकाई वेक्टरएक सदिश है जिसकी लंबाई एक के बराबर है

समान वैक्टरदो वैक्टर हैं जिनकी लंबाई और दिशा समान है

विपरीत वेक्टरदो सदिश हैं जिनकी लंबाई बराबर है और दिशाएं विपरीत हैं

कोलिनियर वैक्टरदो सदिश हैं जो एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं

सह-दिशात्मकसदिश एक ही दिशा वाले दो संरेखीय सदिश होते हैं

विपरीत निर्देशितसदिश विपरीत दिशा वाले दो संरेखीय सदिश होते हैं

समतलीयसदिश तीन सदिश होते हैं जो एक ही तल में या समानांतर तल पर होते हैं

आयताकार प्रणालीतल पर निर्देशांक - ये चयनित दिशा और मूल के साथ दो परस्पर लंबवत रेखाएँ हैं, जबकि क्षैतिज रेखा को भुज अक्ष कहा जाता है, और ऊर्ध्वाधर रेखा को y- अक्ष कहा जाता है

हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रत्येक बिंदु पर दो संख्याएँ निर्दिष्ट करते हैं: भुज और कोटि

आयताकार प्रणालीअंतरिक्ष में निर्देशांक - ये एक चुनी हुई दिशा और मूल के साथ तीन परस्पर लंबवत रेखाएँ हैं, जबकि हमारी ओर निर्देशित क्षैतिज रेखा को एब्सिसा अक्ष कहा जाता है, हमारे दाईं ओर निर्देशित क्षैतिज रेखा कोऑर्डिनेट अक्ष है, और ऊर्ध्वाधर रेखा ऊपर की ओर निर्देशित होती है अनुप्रयोग अक्ष कहा जाता है

हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रत्येक बिंदु पर तीन संख्याएँ निर्दिष्ट करते हैं: भुज, कोटि और अनुप्रयुक्त