(पाई / 4) तीन तरह से।

प्रथम।
स्कूल में त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय इस पद्धति का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इसमें उपयोग करना शामिल है, जिसमें सबसे सामान्य तर्कों से चार त्रिकोणमितीय कार्यों के मान शामिल हैं।

ऐसी तालिकाएँ कई संस्करणों में मौजूद हैं। वे इस बात में भिन्न हैं कि कोणों के मान डिग्री में, रेडियन में, या दोनों डिग्री और रेडियन (जो सबसे सुविधाजनक है) में प्रस्तुत किए जाते हैं।
तालिका में हम कोण (इस मामले में पीआई / 4) और वांछित फ़ंक्शन (हमें कोसाइन फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है) और इन मूल्यों के चौराहे पर हमें 2/2 की जड़ मिलती है।
गणितीय रूप से यह इस प्रकार लिखा गया है:

दूसरा।
इसके अलावा एक सामान्य तरीका जिसका उपयोग हमेशा टेबल न होने पर किया जा सकता है। इसमें (या एक त्रिकोणमितीय सर्कल) का उपयोग करना शामिल है।


इस तरह के एक त्रिकोणमितीय सर्कल पर, कोसाइन मान क्षैतिज अक्ष पर स्थित होते हैं - एब्सिस्सा अक्ष, और तर्क - सर्कल के वक्र पर ही।
हमारे मामले में, कोसाइन का तर्क pi / 4 है। आइए निर्धारित करें कि यह मान वृत्त पर कहाँ स्थित है। इसके बाद, हम x-अक्ष पर लंब को कम करते हैं। वह मान जिसमें इस लंब का अंत होगा, दिए गए कोज्या का मान होगा। इसलिए, pi / 4 की कोज्या 2/2 का वर्गमूल है।

तीसरा।
संबंधित फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करना भी सुविधाजनक है - . यह कैसा दिखता है, यह याद रखना आसान है।


ग्राफ़ का उपयोग करते समय, कोसाइन pi / 4 का मान निर्धारित करने के लिए कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो कि . इस मामले में, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि भिन्न का मान 0.5 से अधिक और 1 से कम है।
बेशक, कई अन्य तरीके हैं। उदाहरण के लिए, कैलकुलेटर का उपयोग करके कोसाइन के मूल्य की गणना करना। लेकिन इसके लिए आपको सबसे पहले कोण pi/4 को डिग्री में बदलना होगा। ब्रैडिस टेबल भी उपयोगी हो सकते हैं।

कोण की डिग्री माप। एक कोण का रेडियन माप। डिग्री को रेडियन में बदलें और इसके विपरीत।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

पिछले पाठ में, हमने त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गिनती में महारत हासिल की थी। सकारात्मक और नकारात्मक कोणों को गिनना सीखा। एहसास हुआ कि 360 डिग्री से अधिक कोण कैसे खींचना है। यह कोणों की माप से निपटने का समय है। विशेष रूप से "पाई" संख्या के साथ, जो हमें मुश्किल कार्यों में भ्रमित करने का प्रयास करता है, हाँ ...

"पाई" संख्या के साथ त्रिकोणमिति में मानक कार्य काफी अच्छी तरह से हल किए जाते हैं। दृश्य स्मृति मदद करती है। लेकिन टेम्पलेट से किसी भी विचलन - मौके पर ही दस्तक देता है! न गिरने के लिए - समझनाज़रूरी। अब हम सफलतापूर्वक क्या करेंगे। एक मायने में - हम सब कुछ समझते हैं!

इसलिए, क्या कोणों की गिनती करते हैं? त्रिकोणमिति के स्कूल पाठ्यक्रम में, दो उपायों का उपयोग किया जाता है: कोण की डिग्री मापऔर कोण का रेडियन माप. आइए एक नजर डालते हैं इन उपायों पर। इसके बिना, त्रिकोणमिति में - कहीं नहीं।

कोण की डिग्री माप।

हम किसी तरह डिग्री के अभ्यस्त हैं। ज्यामिति, बहुत कम से कम, के माध्यम से चला गया ... हाँ, और जीवन में हम अक्सर उदाहरण के लिए "180 डिग्री बदल गया" वाक्यांश के साथ मिलते हैं। डिग्री, संक्षेप में, एक साधारण सी बात...

हां? मुझे जवाब दो तो एक डिग्री क्या है? बल्ले से क्या काम नहीं करता है? कुछ...

डिग्रियों का आविष्कार प्राचीन बेबीलोन में हुआ था। बहुत समय पहले की बात है ... 40 सदियों पहले ... और वे अभी इसके साथ आए थे। उन्होंने वृत्त को लिया और 360 बराबर भागों में तोड़ दिया। 1 डिग्री एक वृत्त का 1/360 है। और बस। 100 टुकड़ों में तोड़ा जा सकता है। या 1000 से। लेकिन उन्होंने इसे 360 में तोड़ दिया। वैसे, 360 से क्यों? 360 100 से बेहतर क्यों है? 100 किसी तरह और भी अधिक लगता है... इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें। या प्राचीन बाबुल के खिलाफ कमजोर?

वहीं कहीं, प्राचीन मिस्र में उन्हें एक और मुद्दे से सताया गया था। किसी वृत्त की परिधि उसके व्यास की लंबाई से कितनी गुना अधिक है? और इसलिए उन्होंने मापा, और इस तरह ... सब कुछ तीन से थोड़ा अधिक निकला। लेकिन किसी तरह यह झबरा, असमान निकला ... लेकिन वे, मिस्रवासी, दोषी नहीं हैं। उनके बाद, उन्हें एक और 35 शतकों का सामना करना पड़ा। जब तक उन्होंने अंत में यह साबित नहीं कर दिया कि सर्कल को कितने ही बारीक टुकड़ों में काट लें, ऐसे टुकड़ों से बनाने के लिए निर्बाधव्यास की लंबाई असंभव है ... सिद्धांत रूप में, यह असंभव है। खैर, परिधि कितनी बार व्यास से बड़ी है, बिल्कुल। लगभग। 3.1415926... बार।

यह संख्या "पाई" है। वह झबरा है, इतना झबरा है। दशमलव बिंदु के बाद - बिना किसी क्रम के अंकों की अनंत संख्या ... ऐसी संख्याएँ अपरिमेय कहलाती हैं। वैसे, इसका मतलब है कि एक वृत्त के बराबर टुकड़ों से, व्यास निर्बाधमोड़े नहीं। कभी नहीँ।

व्यावहारिक उपयोग के लिए दशमलव बिंदु के बाद केवल दो अंक याद रखने की प्रथा है। याद है:

चूँकि हम समझ चुके हैं कि वृत्त की परिधि व्यास से "पाई" गुना अधिक है, इसलिए वृत्त की परिधि के सूत्र को याद रखना समझ में आता है:

कहाँ लीपरिधि है, और डीइसका व्यास है।

ज्यामिति में उपयोगी।

सामान्य शिक्षा के लिए, मैं जोड़ूंगा कि संख्या "पाई" न केवल ज्यामिति में बैठती है ... गणित के विभिन्न वर्गों में, और विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, यह संख्या लगातार दिखाई देती है! अपने आप में। हमारी इच्छाओं से परे। इस प्रकार सं.

लेकिन वापस डिग्री के लिए। क्या आपने यह पता लगाया है कि प्राचीन बेबीलोन में वृत्त को 360 बराबर भागों में क्यों विभाजित किया गया था? लेकिन 100 नहीं, उदाहरण के लिए? नहीं? ठीक है। मैं आपको एक संस्करण दूंगा। आप प्राचीन बेबीलोनियों से नहीं पूछ सकते... निर्माण के लिए, या कहें, खगोल विज्ञान, एक वृत्त को बराबर भागों में विभाजित करना सुविधाजनक है। अब ज्ञात कीजिए कि कौन-सी संख्याएँ किससे विभाज्य हैं? पूरी तरह 100, और कौन से - 360? और इन डिवाइडर के किस संस्करण में पूरी तरह- अधिक? यह विभाजन लोगों के लिए बहुत सुविधाजनक है। लेकिन...

जैसा कि यह प्राचीन बाबुल की तुलना में बहुत बाद में निकला, सभी को डिग्री पसंद नहीं है। उच्च गणित उन्हें पसंद नहीं है ... उच्च गणित एक गंभीर महिला है, जो प्रकृति के नियमों के अनुसार व्यवस्थित है। और यह महिला घोषणा करती है: "आज आपने सर्कल को 360 भागों में तोड़ दिया, कल आप इसे 100 भागों में तोड़ देंगे, परसों 245 में ... और मुझे क्या करना चाहिए? नहीं वास्तव में ..." मुझे मानना ​​​​पड़ा। आप प्रकृति को मूर्ख नहीं बना सकते...

मुझे उस कोण के माप का परिचय देना था जो मानवीय धारणाओं पर निर्भर नहीं करता है। मिलना - रेडियन!

एक कोण का रेडियन माप।

एक रेडियन क्या है? रेडियन की परिभाषा वैसे भी एक वृत्त पर आधारित होती है। 1 रेडियन का कोण वह कोण है जो एक चाप को एक वृत्त से काटता है जिसकी लंबाई है ( ली) त्रिज्या की लंबाई के बराबर है ( आर) हम तस्वीरों को देखते हैं।

इतना छोटा कोण, इसमें से लगभग कोई भी नहीं है ... हम कर्सर को चित्र पर ले जाते हैं (या टैबलेट पर चित्र को स्पर्श करते हैं) और हम लगभग एक देखते हैं कांति. एल = आर

अंतर महसूस करें?

एक रेडियन एक डिग्री से बहुत बड़ा होता है। कितनी बार?

आइए देखते हैं अगली तस्वीर। जिस पर मैंने एक अर्धवृत्त खींचा। विस्तारित कोण, निश्चित रूप से, 180 ° आकार का है।

और अब मैं इस अर्धवृत्त को रेडियंस में काट दूंगा! हम चित्र पर मंडराते हैं और देखते हैं कि पूंछ के साथ 3 रेडियन 180 ° में फिट होते हैं।

कौन अनुमान लगा सकता है कि यह पोनीटेल क्या है !?

हां! यह पूंछ 0.1415926... हैलो पाई, हम आपको अभी तक नहीं भूले हैं!

दरअसल, 180 डिग्री में 3.1415926 ... रेडियन होते हैं। जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, हर समय 3.1415926 लिखना... असुविधाजनक है। इसलिए, इस अनंत संख्या के बजाय, वे हमेशा सरल रूप से लिखते हैं:

और यहाँ इंटरनेट पर नंबर है

लिखना असुविधाजनक है ... इसलिए, पाठ में मैं इसे नाम से लिखता हूं - "पाई"। भ्रमित न हों...

अब, लगभग समानता लिखना काफी सार्थक है:

या सटीक समानता:

निर्धारित करें कि एक रेडियन में कितने डिग्री हैं। कैसे? सरलता! यदि 3.14 रेडियन में 180 डिग्री है, तो 1 रेडियन 3.14 गुना कम है! यानी, हम पहले समीकरण को विभाजित करते हैं (सूत्र भी एक समीकरण है!) 3.14 से:

यह अनुपात याद रखने के लिए उपयोगी है।एक रेडियन में लगभग 60° होते हैं। त्रिकोणमिति में, आपको अक्सर पता लगाना होता है, स्थिति का मूल्यांकन करना होता है। यह वह जगह है जहाँ ज्ञान बहुत मदद करता है।

लेकिन इस विषय का मुख्य कौशल है डिग्री को रेडियन में परिवर्तित करना और इसके विपरीत।

यदि कोण "pi" संख्या के साथ रेडियन में दिया गया है, तो सब कुछ बहुत सरल है। हम जानते हैं कि "pi" रेडियन = 180°। इसलिए हम "पाई" रेडियन के बजाय - 180 ° स्थानापन्न करते हैं। हमें कोण डिग्री में मिलता है। हम जो कम करते हैं उसे कम करते हैं, और उत्तर तैयार है। उदाहरण के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि कितना डिग्रीकोने में "पाई"/2 कांति? यहाँ हम लिखते हैं:

या, अधिक विदेशी अभिव्यक्ति:

आसान, है ना?

उल्टा अनुवाद थोड़ा अधिक जटिल है। परन्तु ज्यादा नहीं। यदि कोण डिग्री में दिया गया है, तो हमें यह पता लगाना चाहिए कि रेडियन में एक डिग्री क्या है और उस संख्या को डिग्री की संख्या से गुणा करें। रेडियन में 1° क्या होता है?

हम सूत्र को देखते हैं और महसूस करते हैं कि यदि 180° = "Pi" रेडियन है, तो 1° 180 गुना छोटा है। या, दूसरे शब्दों में, हम समीकरण को विभाजित करते हैं (सूत्र भी एक समीकरण है!) 180 से। "Pi" को 3.14 के रूप में प्रस्तुत करने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह हमेशा एक अक्षर के साथ लिखा जाता है। हम पाते हैं कि एक डिग्री बराबर होती है:

बस इतना ही। रेडियन में कोण प्राप्त करने के लिए डिग्री की संख्या को इस मान से गुणा करें। उदाहरण के लिए:

या, इसी तरह:

जैसा कि आप देख सकते हैं, गेय डिग्रेशन के साथ इत्मीनान से बातचीत में, यह पता चला कि रेडियन बहुत सरल हैं। हाँ, और अनुवाद बिना किसी समस्या के है ... और "पाई" पूरी तरह से सहन करने योग्य बात है ... तो भ्रम कहाँ से है!?

मैं रहस्य प्रकट करूंगा। तथ्य यह है कि त्रिकोणमितीय कार्यों में डिग्री चिह्न लिखा होता है। हमेशा। उदाहरण के लिए, sin35°। यह साइन है 35 डिग्री . और रेडियंस आइकन ( प्रसन्न) नहीं लिखा है! वह निहित है। या तो गणितज्ञों के आलस्य ने कब्जा कर लिया, या कुछ और ... लेकिन उन्होंने लिखने का फैसला नहीं किया। यदि ज्या के भीतर कोई चिह्न नहीं हैं - कोटांगेंट, तो कोण - रेडियन में ! उदाहरण के लिए, cos3 तीन की कोज्या है रेडियंस .

इससे गलतफहमी पैदा होती है ... एक व्यक्ति "पाई" देखता है और मानता है कि यह 180 ° है। किसी भी समय और कहीं भी। वैसे यह काम करता है। फिलहाल, जबकि उदाहरण मानक हैं। लेकिन पाई एक संख्या है! संख्या 3.14 डिग्री नहीं है! वह "पाई" रेडियन = 180° है!

एक बार फिर: "पाई" एक संख्या है! 3.14. तर्कहीन, लेकिन एक संख्या। 5 या 8 के समान। उदाहरण के लिए, आप "पाई" कदम उठा सकते हैं। तीन कदम और थोड़ा और। या "पाई" किलोग्राम मिठाई खरीदें। अगर कोई पढ़ा-लिखा सेल्समैन पकड़ा जाता है...

"पाई" एक संख्या है! क्या, मैं तुम्हें इस वाक्यांश के साथ मिला? क्या आप पहले ही सब कुछ समझ चुके हैं? ठीक है। चलो देखते है। क्या आप बता सकते हैं कि कौन सी संख्या बड़ी है?

या क्या कम है?

यह थोड़े गैर-मानक प्रश्नों की एक श्रृंखला से है जो स्तब्ध कर सकता है ...

यदि आप भी स्तब्ध हो जाते हैं, तो मंत्र याद रखें: "पाई" एक संख्या है! 3.14. पहली ही ज्या में, यह स्पष्ट रूप से इंगित किया गया है कि कोण - डिग्री में! इसलिए, "पाई" को 180 ° से बदलना असंभव है! "पाई" डिग्री लगभग 3.14 डिग्री है। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

दूसरी साइन में कोई प्रतीक नहीं हैं। इसलिए वहाँ - रेडियंस! यहां, "पाई" को 180 ° से बदलना काफी अच्छा काम करेगा। रेडियन को डिग्री में बदलने पर, जैसा कि ऊपर लिखा गया है, हम प्राप्त करते हैं:

इन दो साइनों की तुलना करना बाकी है। क्या। भूल गए कैसे? एक त्रिकोणमितीय सर्कल की मदद से, बिल्कुल! हम एक वृत्त खींचते हैं, लगभग 60° और 1.05° के कोण बनाते हैं। हम इन कोणों की ज्याओं को देखते हैं। संक्षेप में, त्रिकोणमितीय वृत्त के विषय के अंत में सब कुछ चित्रित किया गया है। एक वृत्त पर (कुटिल भी!) यह स्पष्ट रूप से देखा जाएगा कि पाप 60°से काफी अधिक पाप1.05°.

हम ठीक ऐसा ही कोसाइन के साथ करेंगे। वृत्त पर हम लगभग 4 . के कोण बनाते हैं डिग्रीऔर 4 कांति(याद रखें, लगभग 1 रेडियन क्या है?) मंडली सब कुछ कह देगी! बेशक, cos4, cos4° से कम है।

आइए कोण उपायों को संभालने का अभ्यास करें।

इन कोणों को डिग्री से रेडियन में बदलें:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

आपको इन मानों को रेडियन में समाप्त करना चाहिए (एक अलग क्रम में!)

0

वैसे, मैंने उत्तर दो पंक्तियों में विशेष रूप से चिह्नित किए हैं। खैर, आइए जानें कि पहली पंक्ति में कोने क्या हैं? डिग्री में या रेडियन में?

हां! ये समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियाँ हैं! यदि आप त्रिकोणमितीय वृत्त को देखें, तो इन मानों पर कोण की गतिमान भुजा धुरी पर सही बैठता है. इन मूल्यों को विडंबना से जानने की जरूरत है। और मैंने नोट किया कि 0 डिग्री (0 रेडियन) का कोण व्यर्थ नहीं है। और फिर कुछ इस कोण को वृत्त पर किसी भी तरह से नहीं पा सकते हैं ... और, तदनुसार, वे शून्य के त्रिकोणमितीय कार्यों में भ्रमित हो जाते हैं ... और बात यह है कि शून्य डिग्री पर गतिमान पक्ष की स्थिति स्थिति के साथ मेल खाती है 360 °, इसलिए वृत्त पर संयोग हर समय निकट होते हैं।

दूसरी पंक्ति में भी विशेष कोण हैं... ये 30°, 45° और 60° हैं। और उनमें ऐसा क्या खास है? खास नहीं। इन कोनों और अन्य सभी कोनों में केवल इतना ही अंतर है कि आपको इन कोनों के बारे में पता होना चाहिए। सब. और वे कहाँ स्थित हैं, और इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्य क्या हैं। मान लीजिए sin100°आपको जानने की जरूरत नहीं है। लेकिन पाप45°- कृपया दयालु बनें! यह अनिवार्य ज्ञान है, जिसके बिना त्रिकोणमिति में कुछ नहीं करना है ... लेकिन अगले पाठ में इस पर और अधिक।

तब तक, आइए अभ्यास करते रहें। इन कोणों को रेडियन से डिग्री में बदलें:

आपको इस तरह के परिणाम मिलने चाहिए (एक गड़बड़ में):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

हो गई? तब हम मान सकते हैं कि डिग्री को रेडियन में परिवर्तित करना और इसके विपरीत- अब आपकी समस्या नहीं है।) लेकिन त्रिकोणमिति को समझने के लिए कोणों का अनुवाद करना पहला कदम है। उसी स्थान पर, आपको अभी भी साइन-कोसाइन के साथ काम करने की आवश्यकता है। हाँ, और स्पर्शरेखाओं के साथ, कोटेंजेंट भी ...

दूसरा शक्तिशाली कदम है त्रिकोणमितीय वृत्त पर किसी भी कोण की स्थिति निर्धारित करने की क्षमता।डिग्री और रेडियन दोनों में। इस कौशल के बारे में, मैं आपको सभी त्रिकोणमिति में उबाऊ संकेत दूंगा, हाँ ...) यदि आप त्रिकोणमितीय वृत्त के बारे में सब कुछ जानते हैं (या सोचते हैं कि आप सब कुछ जानते हैं), और त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गिनती करते हैं, तो आप इसे देख सकते हैं बाहर। इन सरल कार्यों को हल करें:

1. कोने किस तिमाही में आते हैं:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

सरलता? हम जारी रखते हैं:

2. कोने किस तिमाही में पड़ते हैं:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

भी कोई समस्या नहीं है? देखना...)

3. आप कोनों को तिमाहियों में रख सकते हैं:

क्या आप सक्षम थे? अच्छा, आप देते हैं ..)

4. कोना किस कुल्हाड़ी पर पड़ेगा:

और कोने:

क्या यह भी आसान है? हम्म...)

5. कोने किस तिमाही में आते हैं:

और यह काम किया !? ठीक है, तो मैं वास्तव में नहीं जानता ...)

6. निर्धारित करें कि कोने किस तिमाही में आते हैं:

1, 2, 3 और 20 रेडियन।

मैं अंतिम कार्य के केवल अंतिम प्रश्न (यह थोड़ा मुश्किल है) का उत्तर दूंगा। 20 रेडियन का कोण पहली तिमाही में गिरेगा।

बाकी के जवाब मैं लालच में नहीं दूंगा।) बस अगर आप फैसला नहीं कियाकुछ संदेह करनापरिणामस्वरूप, या कार्य संख्या 4 . पर खर्च किया गया 10 सेकंड से अधिकआप एक मंडली में खराब रूप से उन्मुख हैं। सभी त्रिकोणमिति में यह आपकी समस्या होगी। इससे तुरंत छुटकारा पाना बेहतर है (एक समस्या, त्रिकोणमिति नहीं!)। यह विषय में किया जा सकता है: धारा 555 में त्रिकोणमितीय सर्कल के साथ व्यावहारिक कार्य।

यह बताता है कि ऐसे कार्यों को सरल और सही तरीके से कैसे हल किया जाए। खैर, ये कार्य निश्चित रूप से हल हो गए हैं। और चौथा टास्क 10 सेकेंड में हल किया गया। हाँ, इतना तय किया कि कोई भी कर सकता है!

यदि आप अपने उत्तरों के बारे में पूरी तरह सुनिश्चित हैं और रेडियन के साथ काम करने के सरल और परेशानी मुक्त तरीकों में आपकी रुचि नहीं है, तो आप 555 पर नहीं जा सकते। मैं जोर नहीं देता।)

एक अच्छी समझ आगे बढ़ने का एक अच्छा पर्याप्त कारण है!)

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका

टिप्पणी. त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए मूल्यों की यह तालिका वर्गमूल को दर्शाने के लिए चिह्न का उपयोग करती है। भिन्न को निरूपित करने के लिए - प्रतीक "/"।

यह सभी देखेंउपयोगी सामग्री:

के लिए एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान निर्धारित करना, इसे त्रिकोणमितीय फलन को दर्शाने वाली रेखा के प्रतिच्छेदन पर ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, 30 डिग्री की एक साइन - हम शीर्ष पाप (साइन) के साथ एक कॉलम की तलाश कर रहे हैं और हम तालिका के इस कॉलम के चौराहे को "30 डिग्री" लाइन के साथ पाते हैं, उनके चौराहे पर हम परिणाम पढ़ते हैं - एक दूसरा। इसी तरह, हम पाते हैं कोसाइन 60डिग्री, साइन 60डिग्री (एक बार फिर, पाप (साइन) कॉलम और 60 डिग्री पंक्ति के चौराहे पर, हम मान पाते हैं sin 60 = √3/2), आदि। इसी तरह, अन्य "लोकप्रिय" कोणों के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के मान पाए जाते हैं।

pi की ज्या, pi की कोज्या, pi की स्पर्शरेखा और रेडियन में अन्य कोण

नीचे दी गई कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा की तालिका भी त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य को खोजने के लिए उपयुक्त है जिसका तर्क है रेडियन में दिया गया. ऐसा करने के लिए, कोण मानों के दूसरे स्तंभ का उपयोग करें। इसके लिए धन्यवाद, आप लोकप्रिय कोणों के मान को डिग्री से रेडियन में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए पहली पंक्ति में 60 डिग्री का कोण खोजें और इसके नीचे रेडियन में इसका मान पढ़ें। 60 डिग्री /3 रेडियन के बराबर है।

संख्या पाई विशिष्ट रूप से कोण के डिग्री माप पर एक वृत्त की परिधि की निर्भरता को व्यक्त करती है। तो पाई रेडियन 180 डिग्री के बराबर होता है।

पाई (रेडियन) के रूप में व्यक्त की गई किसी भी संख्या को संख्या pi (π) को 180 से बदलकर आसानी से डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है.

उदाहरण:
1. साइन पाई.
पाप π = पाप 180 = 0
इस प्रकार, पाई की ज्या 180 अंश की ज्या के समान होती है और शून्य के बराबर होती है।

2. कोसाइन पाई.
cos = cos 180 = -1
इस प्रकार, पाई की कोज्या 180 डिग्री की कोज्या के समान है और ऋणात्मक एक के बराबर है।

3. स्पर्शरेखा पाई
टीजी π = टीजी 180 = 0
इस प्रकार, पाई की स्पर्शरेखा 180 डिग्री की स्पर्शरेखा के समान होती है और शून्य के बराबर होती है।

कोण 0 - 360 डिग्री (लगातार मान) के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा मानों की तालिका

कोण α (डिग्री)	कोण α रेडियन में (पीआई के माध्यम से)	पाप (साइनस)	क्योंकि (कोज्या)	टीजी (स्पर्शरेखा)	सीटीजी (कोटैंजेंट)	सेकंड (सेकेंट)	कारण (कोसेकेंट)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	/12			2 - √3	2 + √3
30	/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

यदि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में, फ़ंक्शन के मूल्य के बजाय, एक डैश (स्पर्शरेखा (टीजी) 90 डिग्री, कोटेंजेंट (सीटीजी) 180 डिग्री) इंगित किया जाता है, तो डिग्री माप के दिए गए मान के लिए कोण, फ़ंक्शन का कोई निश्चित मान नहीं होता है। यदि कोई डैश नहीं है, तो सेल खाली है, इसलिए हमने अभी तक वांछित मान दर्ज नहीं किया है। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि उपयोगकर्ता हमारे पास किस अनुरोध के लिए आते हैं और तालिका को नए मूल्यों के साथ पूरक करते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सबसे सामान्य कोण मानों के कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा के मूल्यों पर वर्तमान डेटा अधिकांश को हल करने के लिए पर्याप्त है समस्या।

सबसे लोकप्रिय कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका पाप, कॉस, टीजी
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 डिग्री
(संख्यात्मक मान "ब्रैडिस टेबल के अनुसार")

कोण मान α (डिग्री)	रेडियन में कोण α का मान	पाप (साइन)	कोस (कोज्या)	टीजी (स्पर्शरेखा)	सीटीजी (कोटैंजेंट)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18