"संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा का सामना करने वाले कई लोग यह सोचकर भयभीत हैं कि यह कुछ भारी, बहुत जटिल है। लेकिन यह वास्तव में इतना दुखद नहीं है। आज हम संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा पर विचार करेंगे, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सीखेंगे।

विज्ञान

"संभाव्यता सिद्धांत" के रूप में गणित की ऐसी शाखा क्या अध्ययन करती है? वह पैटर्न और परिमाण नोट करती है। अठारहवीं शताब्दी में पहली बार वैज्ञानिकों को इस मुद्दे में दिलचस्पी हुई, जब उन्होंने जुए का अध्ययन किया। संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है। यह कोई भी तथ्य है जो अनुभव या अवलोकन से पता चलता है। लेकिन अनुभव क्या है? संभाव्यता सिद्धांत की एक और बुनियादी अवधारणा। इसका मतलब है कि परिस्थितियों की यह रचना संयोग से नहीं, बल्कि एक विशिष्ट उद्देश्य के लिए बनाई गई थी। अवलोकन के लिए, यहाँ शोधकर्ता स्वयं प्रयोग में भाग नहीं लेता है, लेकिन केवल इन घटनाओं का साक्षी है, वह किसी भी तरह से जो हो रहा है उसे प्रभावित नहीं करता है।

आयोजन

हमने सीखा कि संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है, लेकिन वर्गीकरण पर विचार नहीं किया। वे सभी निम्नलिखित श्रेणियों में आते हैं:

• भरोसेमंद।
• असंभव।
• अनियमित।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि अनुभव के दौरान किस तरह की घटनाएं देखी जाती हैं या बनाई जाती हैं, वे सभी इस वर्गीकरण के अधीन हैं। हम प्रत्येक प्रजाति से अलग से परिचित होने की पेशकश करते हैं।

विश्वसनीय घटना

यह एक ऐसी स्थिति है जिसके पहले आवश्यक उपाय किए गए हैं। सार को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कुछ उदाहरण देना बेहतर है। भौतिकी, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और उच्च गणित इस कानून के अधीन हैं। संभाव्यता सिद्धांत में एक निश्चित घटना के रूप में ऐसी महत्वपूर्ण अवधारणा शामिल है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• हम काम करते हैं और मजदूरी के रूप में पारिश्रमिक प्राप्त करते हैं।
• हमने परीक्षा अच्छी तरह से उत्तीर्ण की, प्रतियोगिता उत्तीर्ण की, इसके लिए हमें एक शैक्षणिक संस्थान में प्रवेश के रूप में पुरस्कार मिलता है।
• हमने बैंक में पैसा लगाया है, जरूरत पड़ी तो वापस कर देंगे।

ऐसे आयोजन विश्वसनीय होते हैं। यदि हमने सभी आवश्यक शर्तें पूरी कर ली हैं, तो हमें निश्चित रूप से अपेक्षित परिणाम मिलेगा।

असंभव घटनाएं

अब हम प्रायिकता सिद्धांत के तत्वों पर विचार करते हैं। हम अगले प्रकार की घटना, अर्थात् असंभव की व्याख्या पर आगे बढ़ने का प्रस्ताव करते हैं। आरंभ करने के लिए, हम सबसे महत्वपूर्ण नियम निर्धारित करेंगे - एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।

समस्याओं को हल करते समय इस सूत्रीकरण से विचलित होना असंभव है। स्पष्ट करने के लिए, ऐसी घटनाओं के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• पानी प्लस टेन के तापमान पर जम गया (यह असंभव है)।
• बिजली की कमी किसी भी तरह से उत्पादन को प्रभावित नहीं करती है (जैसा कि पिछले उदाहरण में असंभव है)।

अधिक उदाहरण नहीं दिए जाने चाहिए, क्योंकि ऊपर वर्णित सभी इस श्रेणी के सार को स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं। असंभव घटना कभी भी अनुभव के दौरान किसी भी परिस्थिति में नहीं घटेगी।

यादृच्छिक घटनाएं

संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन करते समय, इस विशेष प्रकार की घटना पर विशेष ध्यान देना चाहिए। वही विज्ञान पढ़ रहा है। अनुभव के परिणामस्वरूप, कुछ हो भी सकता है और नहीं भी। इसके अलावा, परीक्षण को असीमित बार दोहराया जा सकता है। प्रमुख उदाहरण हैं:

• सिक्का उछालना एक अनुभव है, या एक परीक्षा, शीर्षक एक घटना है।
• बैग से गेंद को आँख बंद करके बाहर निकालना एक परीक्षा है, लाल गेंद को पकड़ा जाना एक घटना है, इत्यादि।

ऐसे उदाहरणों की असीमित संख्या हो सकती है, लेकिन सामान्य तौर पर, सार स्पष्ट होना चाहिए। घटनाओं के बारे में प्राप्त ज्ञान को संक्षेप और व्यवस्थित करने के लिए, एक तालिका दी गई है। संभाव्यता सिद्धांत सभी प्रस्तुत किए गए केवल अंतिम प्रकार का अध्ययन करता है।

शीर्षक	परिभाषा
विश्वसनीय	कुछ शर्तों के अधीन 100% गारंटी के साथ होने वाली घटनाएं।	प्रवेश परीक्षा के अच्छे उत्तीर्ण के साथ एक शैक्षणिक संस्थान में प्रवेश।
असंभव	ऐसी घटनाएँ जो किसी भी परिस्थिति में कभी नहीं होंगी।	हवा के तापमान से अधिक तीस डिग्री सेल्सियस पर बर्फबारी हो रही है।
अनियमित	एक घटना जो प्रयोग/परीक्षण के दौरान हो भी सकती है और नहीं भी।	बास्केटबॉल को घेरा में फेंकते समय हिट या मिस करें।

कानून

संभाव्यता सिद्धांत एक विज्ञान है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है। दूसरों की तरह इसके भी कुछ नियम हैं। संभाव्यता सिद्धांत के निम्नलिखित नियम हैं:

• यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण।
• बड़ी संख्या का कानून।

कॉम्प्लेक्स की संभावना की गणना करते समय, परिणाम को आसान और तेज़ तरीके से प्राप्त करने के लिए सरल घटनाओं के एक कॉम्प्लेक्स का उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि कुछ प्रमेयों की सहायता से नियम आसानी से सिद्ध हो जाते हैं। आइए पहले कानून से शुरू करते हैं।

यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण

ध्यान दें कि कई प्रकार के अभिसरण हैं:

• यादृच्छिक चर का अनुक्रम संभाव्यता में अभिसरण है।
• लगभग असंभव।
• आरएमएस अभिसरण।
• वितरण अभिसरण।

तो, मक्खी पर, इसकी तह तक जाना बहुत कठिन है। इस विषय को समझने में आपकी सहायता के लिए यहां कुछ परिभाषाएं दी गई हैं। आइए पहले लुक से शुरू करते हैं। अनुक्रम कहा जाता है संभाव्यता में अभिसरण, यदि निम्न शर्त पूरी होती है: n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, तो अनुक्रम की प्रवृत्ति शून्य से अधिक और एक के करीब होती है।

चलो अगले एक पर चलते हैं, लगभग निश्चित रूप से. अनुक्रम अभिसरण करने के लिए कहा जाता है लगभग निश्चित रूप सेएक यादृच्छिक चर के लिए n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, और P एकता के निकट मान की ओर प्रवृत्त होता है।

अगला प्रकार है आरएमएस अभिसरण. एससी-अभिसरण का उपयोग करते समय, वेक्टर यादृच्छिक प्रक्रियाओं का अध्ययन उनके समन्वय यादृच्छिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के लिए कम हो जाता है।

अंतिम प्रकार रहता है, आइए समस्याओं को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने के लिए इसका संक्षेप में विश्लेषण करें। वितरण अभिसरण का एक और नाम है - "कमजोर", हम नीचे बताएंगे कि क्यों। कमजोर अभिसरणसीमित वितरण फलन की निरंतरता के सभी बिंदुओं पर वितरण फलनों का अभिसरण है।

हम निश्चित रूप से वादा पूरा करेंगे: कमजोर अभिसरण उपरोक्त सभी से अलग है कि यादृच्छिक चर को संभाव्यता स्थान पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह संभव है क्योंकि स्थिति विशेष रूप से वितरण कार्यों का उपयोग करके बनाई गई है।

बड़ी संख्या का नियम

इस नियम को सिद्ध करने में उत्कृष्ट सहायक प्रायिकता सिद्धांत के प्रमेय होंगे, जैसे:

• चेबीशेव की असमानता।
• चेबीशेव का प्रमेय।
• सामान्यीकृत चेबीशेव का प्रमेय।
• मार्कोव का प्रमेय।

यदि हम इन सभी प्रमेयों पर विचार करें, तो यह प्रश्न कई दसियों शीटों तक खींच सकता है। हमारा मुख्य कार्य संभाव्यता के सिद्धांत को व्यवहार में लागू करना है। हम आपको अभी ऐसा करने के लिए आमंत्रित करते हैं। लेकिन इससे पहले, आइए संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्धों पर विचार करें, वे समस्याओं को हल करने में मुख्य सहायक होंगे।

अभिगृहीत

जब हमने असंभव घटना के बारे में बात की तो हम पहले ही मिल चुके थे। आइए याद रखें: एक असंभव घटना की संभावना शून्य है। हमने एक बहुत ही ज्वलंत और यादगार उदाहरण दिया: तीस डिग्री सेल्सियस के हवा के तापमान पर बर्फ गिरी।

दूसरा इस प्रकार है: एक निश्चित घटना एक के बराबर संभावना के साथ होती है। अब आइए दिखाते हैं कि गणितीय भाषा का उपयोग करके इसे कैसे लिखा जाता है: P(B)=1.

तीसरा: एक यादृच्छिक घटना हो सकती है या नहीं भी हो सकती है, लेकिन संभावना हमेशा शून्य से एक तक होती है। मान जितना करीब होगा, मौका उतना ही अधिक होगा; यदि मान शून्य के करीब पहुंचता है, तो संभावना बहुत कम है। आइए इसे गणितीय भाषा में लिखें: 0<Р(С)<1.

अंतिम, चौथे स्वयंसिद्ध पर विचार करें, जो इस तरह लगता है: दो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर होती है। हम गणितीय भाषा में लिखते हैं: पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी)।

संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सबसे सरल नियम हैं जिन्हें याद रखना आसान है। आइए पहले से प्राप्त ज्ञान के आधार पर कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें।

लॉटरी टिकट

आरंभ करने के लिए, सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें - लॉटरी। कल्पना कीजिए कि आपने सौभाग्य के लिए एक लॉटरी टिकट खरीदा है। क्या संभावना है कि आप कम से कम बीस रूबल जीतेंगे? कुल मिलाकर, एक हजार टिकट संचलन में भाग लेते हैं, जिनमें से एक का पुरस्कार पांच सौ रूबल, दस सौ रूबल, पचास बीस रूबल और एक सौ पांच है। संभाव्यता सिद्धांत में समस्याएं भाग्य की संभावना खोजने पर आधारित हैं। आइए उपरोक्त समस्या के समाधान को एक साथ देखें।

यदि हम अक्षर A से पांच सौ रूबल की जीत दर्शाते हैं, तो A प्राप्त करने की संभावना 0.001 होगी। हमें यह कैसे मिला? आपको बस "खुश" टिकटों की संख्या को उनकी कुल संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है (इस मामले में: 1/1000)।

बी एक सौ रूबल की जीत है, संभावना 0.01 के बराबर होगी। अब हमने पिछली क्रिया (10/1000) के समान सिद्धांत पर कार्य किया

सी - जीत बीस रूबल के बराबर है। हम संभावना पाते हैं, यह 0.05 के बराबर है।

शेष टिकटों में हमारी कोई रुचि नहीं है, क्योंकि उनकी पुरस्कार राशि शर्त में निर्दिष्ट राशि से कम है। आइए चौथे स्वयंसिद्ध को लागू करें: कम से कम बीस रूबल जीतने की संभावना P(A)+P(B)+P(C) है। अक्षर P इस घटना के घटित होने की संभावना को दर्शाता है, हम उन्हें पिछले चरणों में पहले ही पा चुके हैं। यह केवल आवश्यक डेटा जोड़ने के लिए रहता है, उत्तर में हमें 0.061 मिलता है। यह संख्या कार्य के प्रश्न का उत्तर होगी।

कार्ड डेक

संभाव्यता के सिद्धांत में समस्याएं भी अधिक जटिल हैं, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कार्य करें। आपके सामने छत्तीस कार्डों का एक डेक है। आपका काम ढेर को मिलाए बिना एक पंक्ति में दो कार्ड बनाना है, पहला और दूसरा कार्ड इक्के होना चाहिए, सूट कोई फर्क नहीं पड़ता।

शुरू करने के लिए, हम संभावना पाते हैं कि पहला कार्ड एक इक्का होगा, इसके लिए हम चार को छत्तीस से विभाजित करते हैं। उन्होंने इसे एक तरफ रख दिया। हम दूसरा कार्ड निकालते हैं, यह तीन पैंतीसवें हिस्से की संभावना वाला इक्का होगा। दूसरी घटना की प्रायिकता इस बात पर निर्भर करती है कि हमने पहले कौन सा कार्ड खींचा, हम इसमें रुचि रखते हैं कि यह इक्का था या नहीं। यह इस प्रकार है कि घटना बी घटना ए पर निर्भर करती है।

अगला कदम एक साथ कार्यान्वयन की संभावना का पता लगाना है, अर्थात, हम ए और बी को गुणा करते हैं। उनका उत्पाद निम्नानुसार पाया जाता है: हम एक घटना की संभावना को दूसरे की सशर्त संभावना से गुणा करते हैं, जिसे हम गणना करते हैं, यह मानते हुए कि पहले घटना हुई, यानी, हमने पहले कार्ड के साथ एक इक्का खींचा।

सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, आइए ऐसे तत्व को घटनाओं के रूप में एक पदनाम दें। यह मानते हुए गणना की जाती है कि घटना ए हुई है। निम्नानुसार परिकलित: पी (बी / ए)।

आइए अपनी समस्या का समाधान जारी रखें: पी (ए * बी) \u003d पी (ए) * पी (बी / ए) या पी (ए * बी) \u003d पी (बी) * पी (ए / बी)। प्रायिकता है (4/36) * ((3/35)/(4/36)। सौवें तक पूर्णांकित करके परिकलित करें। हमारे पास है: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09 प्रायिकता कि हम नौ सौवां एक पंक्ति में दो इक्के खींचेंगे। मान बहुत छोटा है, इससे यह पता चलता है कि घटना के घटित होने की संभावना बहुत कम है।

भूले हुए नंबर

हम संभाव्यता सिद्धांत द्वारा अध्ययन किए जाने वाले कार्यों के लिए कुछ और विकल्पों का विश्लेषण करने का प्रस्ताव करते हैं। आप इस लेख में उनमें से कुछ को हल करने के उदाहरण पहले ही देख चुके हैं, आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने का प्रयास करें: लड़का अपने दोस्त के फोन नंबर का अंतिम अंक भूल गया, लेकिन चूंकि कॉल बहुत महत्वपूर्ण थी, उसने बारी-बारी से सब कुछ डायल करना शुरू कर दिया। हमें इस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि वह तीन बार से अधिक कॉल नहीं करेगा। समस्या का समाधान सबसे सरल है यदि संभाव्यता सिद्धांत के नियम, कानून और स्वयंसिद्ध ज्ञात हैं।

समाधान को देखने से पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें। हम जानते हैं कि अंतिम अंक शून्य से नौ तक हो सकता है, यानी कुल दस मान होते हैं। सही पाने की संभावना 1/10 है।

इसके बाद, हमें घटना की उत्पत्ति के विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है, मान लीजिए कि लड़के ने सही अनुमान लगाया और तुरंत सही स्कोर किया, ऐसी घटना की संभावना 1/10 है। दूसरा विकल्प: पहला कॉल मिस है, और दूसरा निशाने पर है। हम ऐसी घटना की संभावना की गणना करते हैं: 9/10 को 1/9 से गुणा करें, परिणामस्वरूप हमें 1/10 भी मिलता है। तीसरा विकल्प: पहली और दूसरी कॉल गलत पते पर निकलीं, तीसरे से ही लड़के को वहीं मिल गया जहां वह चाहता था। हम ऐसी घटना की संभावना की गणना करते हैं: हम 9/10 को 8/9 से गुणा करते हैं और 1/8 से हमें परिणाम के रूप में 1/10 मिलता है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हमें अन्य विकल्पों में कोई दिलचस्पी नहीं है, इसलिए यह हमारे लिए परिणाम जोड़ने के लिए रहता है, परिणामस्वरूप हमारे पास 3/10 है। उत्तर: लड़के द्वारा तीन बार से अधिक कॉल न करने की प्रायिकता 0.3 है।

नंबर वाले कार्ड

आपके सामने नौ कार्ड हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक से नौ तक की संख्या होती है, संख्याएँ दोहराई नहीं जाती हैं। उन्हें एक बॉक्स में रखा गया और अच्छी तरह मिलाया गया। आपको संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि

• एक सम संख्या आएगी;
• दो अंक।

समाधान पर आगे बढ़ने से पहले, मान लें कि m सफल मामलों की संख्या है, और n विकल्पों की कुल संख्या है। संख्या के सम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। यह गणना करना मुश्किल नहीं होगा कि चार सम संख्याएं हैं, यह हमारा एम होगा, कुल नौ विकल्प हैं, यानी एम = 9। तब प्रायिकता 0.44 या 4/9 है।

हम दूसरे मामले पर विचार करते हैं: विकल्पों की संख्या नौ है, और कोई भी सफल परिणाम बिल्कुल भी नहीं हो सकता है, अर्थात एम शून्य के बराबर है। निकाले गए कार्ड में दो अंकों की संख्या होने की प्रायिकता भी शून्य है।

निज़नी नोवगोरोड राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय

उन्हें। ए.ई. अलेक्सेवा

संभाव्यता के अनुशासन सिद्धांत पर निबंध

द्वारा पूरा किया गया: रुचिना एन.ए जीआर 10MENz

जाँच की गई: ग्लैडकोव वी.वी.

निज़नी नोवगोरोड, 2011

सिद्धांत संभावना……………………………………

संभाव्यता सिद्धांत का विषय …………………

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ ………

यादृच्छिक घटनाएं, घटनाओं की संभावनाएं ………………………………………

प्रमेयों को सीमित करें ……………………………

यादृच्छिक प्रक्रियाएं ……………………………………

इतिहास संदर्भ ……………………………

प्रयुक्त पुस्तकें ……………………………

सिद्धांत संभावना

सिद्धांत संभावना -एक गणितीय विज्ञान जो कुछ यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं से, किसी तरह से पहले से संबंधित अन्य यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देता है।

कथन कि एक घटना प्रायिकता के साथ घटित होती है , के बराबर, उदाहरण के लिए, 0.75, अभी तक अपने आप में अंतिम मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, क्योंकि हम विश्वसनीय ज्ञान के लिए प्रयास कर रहे हैं। अंतिम संज्ञानात्मक मूल्य संभाव्यता के सिद्धांत के वे परिणाम हैं, जो हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी घटना के घटित होने की संभावना लेकिनएकता के बहुत करीब या (जो समान है) घटना के न होने की संभावना लेकिनबहुत छोटे से। "पर्याप्त रूप से छोटी संभावनाओं की उपेक्षा" के सिद्धांत के अनुसार, ऐसी घटना को व्यावहारिक रूप से निश्चित माना जाता है। इस तरह के वैज्ञानिक और व्यावहारिक हित के निष्कर्ष आमतौर पर इस धारणा पर आधारित होते हैं कि किसी घटना का घटित होना या न होना लेकिनबड़ी संख्या में यादृच्छिक, अल्प-संबंधित कारकों पर निर्भर करता है . इसलिए, हम यह भी कह सकते हैं कि संभाव्यता का सिद्धांत एक गणितीय विज्ञान है जो उन पैटर्नों की व्याख्या करता है जो बड़ी संख्या में यादृच्छिक कारकों के परस्पर क्रिया करने पर उत्पन्न होते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत का विषय

संभाव्यता सिद्धांत का विषय।कुछ शर्तों के बीच एक नियमित संबंध का वर्णन करने के लिए एसऔर घटना लेकिन,घटना या गैर-घटना जिसमें दी गई शर्तों के तहत सटीक रूप से स्थापित किया जा सकता है, प्राकृतिक विज्ञान आमतौर पर निम्नलिखित दो योजनाओं में से एक का उपयोग करता है:

क) हर बार शर्तें पूरी होने पर एसएक घटना होती है लेकिन।उदाहरण के लिए, शास्त्रीय यांत्रिकी के सभी नियमों का यह रूप है, जो बताता है कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों और शरीर या निकायों की प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों के तहत, आंदोलन विशिष्ट रूप से परिभाषित तरीके से होगा।

बी) शर्तों के तहत एसप्रतिस्पर्धा लेकिनएक निश्चित संभावना है पी(जैसा), के बराबर आर।इसलिए, उदाहरण के लिए, रेडियोधर्मी विकिरण के नियम कहते हैं कि प्रत्येक रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए एक निश्चित संभावना है कि एक निश्चित मात्रा में एक निश्चित समय में एक निश्चित संख्या का क्षय होगा। एनपरमाणु।

आइए घटना आवृत्ति को कॉल करें लेकिनकी इस श्रृंखला में एनपरीक्षण (यानी। एनशर्तों का पुन: कार्यान्वयन एस) संबंध एच = एम/एननंबर एमजिन परीक्षणों में लेकिनआ गया है, उनकी कुल संख्या के लिए एन।घटना की उपस्थिति लेकिनशर्तों के अधीन एसनिश्चित संभावना . के बराबर आर,इस तथ्य में ही प्रकट होता है कि परीक्षणों की लगभग हर पर्याप्त लंबी श्रृंखला में, घटना की आवृत्ति लेकिनलगभग बराबर आर।

सांख्यिकीय नियमितताएं, अर्थात्, प्रकार (बी) की एक योजना द्वारा वर्णित नियमितताएं पहली बार पासा जैसे जुए के खेल के उदाहरण पर खोजी गई थीं। जन्म और मृत्यु के सांख्यिकीय पैटर्न भी बहुत लंबे समय से ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, नवजात शिशु के लड़का होने की संभावना 0.515 है)। 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की पहली छमाही। भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, आदि में बड़ी संख्या में सांख्यिकीय नियमितताओं की खोज द्वारा चिह्नित।

विज्ञान के बहुत दूर के क्षेत्रों से संबंधित सांख्यिकीय नियमितताओं के अध्ययन के लिए संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों को लागू करने की संभावना इस तथ्य पर आधारित है कि घटनाओं की संभावनाएं हमेशा कुछ सरल संबंधों को संतुष्ट करती हैं। इन सरल संबंधों के आधार पर घटनाओं की प्रायिकता के गुणों का अध्ययन संभाव्यता सिद्धांत का विषय है।

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएं

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ।संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएं, एक गणितीय अनुशासन के रूप में, तथाकथित प्राथमिक संभाव्यता सिद्धांत के ढांचे के भीतर सबसे सरल रूप से परिभाषित की जाती हैं। हर परीक्षा टी,प्राथमिक संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है कि यह एक और केवल एक घटना के साथ समाप्त होता है इ 1 , इ 2 ,..., इएस (एक या दूसरे, मामले पर निर्भर करता है)। इन घटनाओं को परीक्षण परिणाम कहा जाता है। हर नतीजे के साथ इ कएक सकारात्मक संख्या बांधता है आर को - इस परिणाम की संभावना। नंबर पी कएक तक जोड़ना होगा। फिर घटनाओं पर विचार किया जाता है। लेकिन,इस तथ्य में शामिल है कि "आता है या इ मैं , या इ जे ,..., या इ क". परिणामों इ मैं , इ जे ,..., इ कअनुकूल कहा जाता है लेकिन,और परिभाषा के अनुसार प्रायिकता मान लें आर(लेकिन) आयोजन लेकिनअनुकूल परिणामों की संभावनाओं के योग के बराबर:

पी(ए) =पी मैं +पी एस +… +पी क . (1)

विशेष मामला पी 1 =पी 2 =...पीएस = 1/एससूत्र की ओर जाता है

आर(लेकिन) =आर / एस।(2)

सूत्र (2) प्रायिकता की तथाकथित शास्त्रीय परिभाषा को व्यक्त करता है, जिसके अनुसार किसी घटना की प्रायिकता लेकिनसंख्या के अनुपात के बराबर है आरअनुकूल परिणाम लेकिन,संख्या के लिए एससभी "समान रूप से संभव" परिणाम। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा केवल "संभाव्यता" की धारणा को "संभाव्यता" की धारणा को कम करती है, जो स्पष्ट परिभाषा के बिना बनी हुई है।

उदाहरण। दो पासे फेंकते समय, 36 संभावित परिणामों में से प्रत्येक को लेबल किया जा सकता है ( मैं,जे), कहाँ पे मैं- पहले पासे पर गिराए गए अंकों की संख्या, जे-दूसरे पर। परिणामों को समान रूप से संभावित माना जाता है। प्रतिस्पर्धा लेकिन -"अंकों का योग 4 है", तीन परिणाम अनुकूल हैं (1; 3), (2; 2), (3; 1)। इसलिये, आर(ए) = 3/36= 1/12.

घटनाओं के किसी भी डेटा के आधार पर, दो नई घटनाओं को परिभाषित किया जा सकता है: उनका संघ (योग) और संयोजन (उत्पाद)।

घटना परघटनाओं का संघ कहा जाता है ए 1 , ए 2 ,..., ए आर ,-, अगर ऐसा दिखता है: "आ रहा है या ए 1 , या लेकिन 2 ,..., या ए आर ».

घटना सी को घटनाओं का संयोग कहा जाता है ए 1 , लेकिन। 2 ,..., ए आर , अगर ऐसा दिखता है: "आता है और ए 1 , और ए 2 ,..., और ए आर » . घटनाओं के संयोजन को चिह्न और संयोजन - चिह्न द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, वे लिखते हैं:

बी = ए 1  ए 2  …  ए आर , सी = ए 1  ए 2  …  ए आर .

आयोजन लेकिनऔर परअसंगत कहा जाता है यदि उनका एक साथ कार्यान्वयन असंभव है, अर्थात यदि एक भी अनुकूल नहीं है और लेकिनऔर पर।

संभाव्यता के सिद्धांत के दो मुख्य प्रमेय घटनाओं के संयोजन और संयोजन के शुरू किए गए कार्यों से जुड़े हुए हैं - संभावनाओं के जोड़ और गुणा के प्रमेय।

संभाव्यता जोड़ प्रमेय: अगर घटनाएं ए 1 ,ए 2 ,...,ए आरऐसे हैं कि उनमें से प्रत्येक दो असंगत हैं, तो उनके मिलन की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

तो, ऊपर के उदाहरण में दो पासे फेंकने के साथ, घटना पर -"अंकों का योग 4 से अधिक नहीं है", तीन असंगत घटनाओं का एक संघ है ए 2 ,ए 3 ,ए 4 , इस तथ्य में शामिल है कि अंकों का योग क्रमशः 2, 3, 4 के बराबर है। इन घटनाओं की संभावनाएं 1/36 हैं; 2/36; 3/36। अतिरिक्त प्रमेय द्वारा, प्रायिकता आर(पर) के बराबर है

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

आयोजन ए 1 ,ए 2 ,...,ए r को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से प्रत्येक की सशर्त संभाव्यता, बशर्ते कि अन्य में से कोई भी घटित हो, इसकी "बिना शर्त" संभावना के बराबर है।

प्रायिकता गुणन प्रमेय: घटनाओं के संयोग की संभावना ए 1 ,ए 2 ,...,ए r घटना की प्रायिकता के बराबर है ए 1 , घटना की संभावना से गुणा ए 2 इस शर्त के तहत लिया गया कि लेकिन 1 हुआ,..., घटना की प्रायिकता से गुणा किया गया एआर बशर्ते कि ए 1 ,ए 2 ,...,एआर-1 आ गया है। स्वतंत्र घटनाओं के लिए, गुणन प्रमेय सूत्र की ओर ले जाता है:

पी(ए 1 ए 2 …ए आर) =पी(ए 1 )पी(ए 2 )· … · पी(ए आर), (3)

अर्थात्, स्वतंत्र घटनाओं के संयोजन की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है। यदि इसके दोनों भागों की कुछ घटनाओं को विपरीत घटनाओं से बदल दिया जाए तो सूत्र (3) मान्य रहता है।

उदाहरण। एक शॉट पर 0.2 की हिट संभावना के साथ लक्ष्य पर 4 शॉट फायर करता है। अलग-अलग शॉट्स के लिए टारगेट हिट को स्वतंत्र इवेंट माना जाता है। लक्ष्य को ठीक तीन बार मारने की प्रायिकता क्या है?

प्रत्येक परीक्षण के परिणाम को चार अक्षरों के अनुक्रम द्वारा इंगित किया जा सकता है [जैसे, (y, n, n, y) का अर्थ है कि पहला और चौथा शॉट हिट (सफलता), और दूसरा और तीसरा हिट नहीं हुआ (असफल)]। कुल मिलाकर 2 2 2 2 = 16 परिणाम होंगे। व्यक्तिगत शॉट्स के परिणामों की स्वतंत्रता की धारणा के अनुसार, इन परिणामों की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए सूत्र (3) और इसके लिए एक नोट का उपयोग किया जाना चाहिए। तो, परिणाम की संभावना (y, n. n, n) को 0.2 0.8 0.8 0.8 = 0.1024 के बराबर सेट किया जाना चाहिए; यहां 0.8 \u003d 1-0.2 - एक शॉट के साथ चूक की संभावना। घटना "लक्ष्य को तीन बार मारा जाता है" परिणामों (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) द्वारा समर्थित है। (एन, वाई, वाई, वाई), प्रत्येक की संभावना समान है:

0.2 0.2 0.2 0.8 =...... = 0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;

इसलिए, वांछित संभावना बराबर है

4 0.0064 = 0.0256।

विश्लेषण किए गए उदाहरण के तर्क को सामान्य करते हुए, हम संभाव्यता सिद्धांत के मूल सूत्रों में से एक प्राप्त कर सकते हैं: यदि घटनाएं ए 1 , ए 2 ,..., ए एनस्वतंत्र हैं और प्रत्येक की संभावना है आर,तो ठीक की प्रायिकता एमजिनमें से के बराबर है

पी एन (एम)=सी एन एम पी एम (1-पी) एन-एम ; (4)

यहाँ सी एन एमके संयोजनों की संख्या को दर्शाता है एनतत्वों द्वारा एम।अत्याधिक एनसूत्र (4) द्वारा गणना कठिन हो जाती है।

प्राथमिक संभाव्यता सिद्धांत के मूल सूत्रों में तथाकथित भी है कुल संभावना सूत्र: अगर घटना ए 1 , ए 2 ,..., ए आरजोड़ीवार असंगत हैं और उनका मिलन एक निश्चित घटना है, तो किसी भी घटना के लिए परइसकी संभावना उनके योग के बराबर है।

यौगिक परीक्षणों पर विचार करते समय संभाव्यता गुणन प्रमेय विशेष रूप से उपयोगी होता है। वे कहते हैं परीक्षा टीपरीक्षणों से बना टी 1 , टी 2 ,..., टी एन-1 , टी एन, अगर प्रत्येक परीक्षा परिणाम टीकुछ परिणामों का एक संयोजन है ए मैं , बी जे ,..., एक्स क , यू मैंसंबंधित परीक्षण टी 1 , टी 2 ,..., टी एन-1 , टी एन. किसी न किसी कारण से, प्रायिकताएँ ज्ञात की जाती हैं

पी(ए मैं), पी(बी जे /ए मैं), …,पी(यू मैं /ए मैं बी जे …एक्स क). (5)

संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए प्रायिकता (5) का उपयोग किया जा सकता है आर(इ) सभी परिणामों के लिए इसमग्र परीक्षण, और साथ ही इस परीक्षण से जुड़ी सभी घटनाओं की संभावनाएं। व्यावहारिक दृष्टिकोण से, दो प्रकार के संयुक्त परीक्षण सबसे महत्वपूर्ण प्रतीत होते हैं:

ए) परीक्षण के घटक स्वतंत्र हैं, यानी संभावनाएं (5) बिना शर्त संभावनाओं के बराबर हैं पी(ए मैं), पी(बी जे),...,पी(यू मैं);

बी) किसी भी परीक्षण के परिणामों की संभावनाएं केवल तत्काल पूर्ववर्ती परीक्षण के परिणामों से प्रभावित होती हैं, यानी संभावनाएं (5) क्रमशः बराबर होती हैं: पी(ए मैं), पी(बी जे /ए मैं),...,पी(यू मैं / एक्स क). इस मामले में, एक मार्कोव श्रृंखला में जुड़े परीक्षणों की बात करता है। एक समग्र परीक्षण से जुड़ी सभी घटनाओं की संभावनाएं यहां प्रारंभिक संभावनाओं द्वारा पूरी तरह से निर्धारित की जाती हैं आर(लेकिन मैं) और संक्रमण संभावनाएं पी(बी जे /ए मैं),...,पी(यू मैं / एक्स क).

संभाव्यता सिद्धांत में मूल सूत्र

संभाव्यता सिद्धांत के सूत्र।

1. कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र

ए) क्रमपरिवर्तन।

\बी) प्लेसमेंट

ग) संयोजन .

2. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा।

घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या कहां है, सभी प्राथमिक समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या है।

3. घटनाओं के योग की प्रायिकता

असंगत घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय:

संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय:

4. घटनाएँ उत्पन्न करने की प्रायिकता

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन का प्रमेय:

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं के गुणन का प्रमेय:

,

किसी घटना के घटित होने की सशर्त प्रायिकता,

किसी घटना की सशर्त प्रायिकता दी गई है कि वह घटना घटी है।

कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो प्रश्नों का अध्ययन करती है कि दिए गए वस्तुओं से कितने अलग-अलग संयोजन, कुछ शर्तों के अधीन बनाए जा सकते हैं। यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए कॉम्बिनेटरिक्स की मूल बातें बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि यह वे हैं जो घटनाओं के विकास के लिए विभिन्न परिदृश्यों की मौलिक रूप से संभव संख्या की गणना करना संभव बनाते हैं।

बेसिक कॉम्बिनेटरिक्स फॉर्मूला

मान लीजिए कि तत्वों के k समूह हैं, और i-वें समूह में ni तत्व हैं। आइए प्रत्येक समूह से एक तत्व चुनें। फिर इस तरह का चुनाव करने के तरीकों की कुल संख्या N का निर्धारण संबंध N=n1*n2*n3*...*nk द्वारा किया जाता है।

उदाहरण 1 आइए इस नियम को एक सरल उदाहरण से समझाते हैं। तत्वों के दो समूह होने दें, पहला समूह n1 तत्वों से बना है, और दूसरा समूह n2 तत्वों से युक्त है। इन दो समूहों से तत्वों के कितने अलग-अलग जोड़े बनाए जा सकते हैं ताकि जोड़े में प्रत्येक समूह से एक तत्व हो? मान लीजिए कि हमने पहले समूह से पहला तत्व लिया और इसे बदले बिना, सभी संभावित जोड़े के माध्यम से चला गया, केवल दूसरे समूह के तत्वों को बदल दिया। इस तत्व के लिए ऐसे n2 जोड़े हैं। फिर हम पहले समूह से दूसरा तत्व लेते हैं और इसके लिए सभी संभव जोड़े भी बनाते हैं। ऐसे n2 जोड़े भी होंगे। चूंकि पहले समूह में केवल n1 तत्व हैं, इसलिए n1 * n2 संभावित विकल्प होंगे।

उदाहरण 2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंकों से कितनी तीन अंकों वाली सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि अंकों को दोहराया जा सकता है?

हल: n1=6 (चूंकि आप 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी अंक पहले अंक के रूप में ले सकते हैं), n2=7 (क्योंकि आप 0 से कोई भी अंक दूसरे अंक के रूप में ले सकते हैं, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3 = 4 (चूंकि आप 0, 2, 4, 6 में से कोई भी अंक तीसरे अंक के रूप में ले सकते हैं)।

तो, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

मामले में जब सभी समूहों में समान संख्या में तत्व होते हैं, अर्थात। n1=n2=...nk=n हम मान सकते हैं कि प्रत्येक विकल्प एक ही समूह से बना है, और पसंद के बाद तत्व फिर से समूह में वापस आ जाता है। तब सभी चयन विधियों की संख्या n के बराबर होती है। इस तरह की चयन विधि को प्रतिफल के साथ नमूनाकरण कहा जाता है।

उदाहरण। संख्या 1, 5, 6, 7, 8 से चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

फेसला। चार अंकों की संख्या के प्रत्येक अंक के लिए पाँच संभावनाएँ हैं, इसलिए N=5*5*5*5=54=625।

n तत्वों से युक्त एक सेट पर विचार करें। इस सेट को सामान्य जनसंख्या कहा जाएगा।

परिभाषा 1. m द्वारा n तत्वों की व्यवस्था, n तत्वों की जनसंख्या से चयनित m विभिन्न तत्वों का कोई क्रमबद्ध सेट है।

उदाहरण। तीन तत्वों (1, 2, 3) की दो बटा दो की विभिन्न व्यवस्थाएँ समुच्चय (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2)। प्लेसमेंट तत्वों और उनके क्रम दोनों में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं।

नियुक्तियों की संख्या को n से A, m से निरूपित किया जाता है और सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है:

नोट: n!=1*2*3*...*n (पढ़ें: "en फ़ैक्टोरियल"), इसके अलावा, यह माना जाता है कि 0!=1।

उदाहरण 5. दो अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें दहाई के अंक और इकाई के अंक भिन्न और विषम हैं?

हल: क्योंकि पाँच विषम अंक हैं, अर्थात् 1, 3, 5, 7, 9, तो यह समस्या कम हो जाती है कि पाँच अलग-अलग अंकों में से दो को दो अलग-अलग स्थितियों में चुनना और रखना। दी गई संख्याएँ होंगी:

परिभाषा 2. n तत्वों का m द्वारा संयोजन n तत्वों की एक सामान्य जनसंख्या से चुने गए m विभिन्न तत्वों का कोई भी अनियंत्रित सेट है।

उदाहरण 6. समुच्चय (1, 2, 3) के लिए संयोजन (1, 2), (1, 3), (2, 3) हैं।

संयोजनों की संख्या Cnm द्वारा निरूपित की जाती है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

परिभाषा 3. n तत्वों का क्रमचय इन तत्वों का कोई भी क्रमबद्ध सेट है।

उदाहरण 7क. तीन तत्वों (1, 2, 3) वाले सेट के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन हैं: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2)।

n तत्वों के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या को Pn द्वारा दर्शाया जाता है और इसकी गणना सूत्र Pn=n! द्वारा की जाती है।

उदाहरण 8. विभिन्न लेखकों द्वारा सात पुस्तकों को एक पंक्ति में एक शेल्फ पर कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान: यह समस्या सात विभिन्न पुस्तकों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बारे में है। किताबों को व्यवस्थित करने के लिए P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 तरीके हैं।

विचार-विमर्श। हम देखते हैं कि विभिन्न नियमों (क्रमपरिवर्तन, संयोजन, प्लेसमेंट) के अनुसार संभावित संयोजनों की संख्या की गणना की जा सकती है, और परिणाम अलग होगा, क्योंकि गिनती का सिद्धांत और सूत्र स्वयं भिन्न हैं। परिभाषाओं को करीब से देखने पर, आप देख सकते हैं कि परिणाम एक ही समय में कई कारकों पर निर्भर करता है।

सबसे पहले, हम कितने तत्वों से उनके सेटों को जोड़ सकते हैं (तत्वों की सामान्य आबादी कितनी बड़ी है)।

दूसरे, परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि हमें किस आकार के तत्वों की आवश्यकता है।

अंत में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि समुच्चय में तत्वों का क्रम हमारे लिए महत्वपूर्ण है या नहीं। आइए हम निम्नलिखित उदाहरण के साथ अंतिम कारक की व्याख्या करें।

उदाहरण। पैरेंट मीटिंग में 20 लोग होते हैं। यदि 5 लोगों को शामिल किया जाना चाहिए तो मूल समिति की संरचना के लिए कितने अलग-अलग विकल्प हैं?

हल: इस उदाहरण में, हमें समिति सूची में नामों के क्रम में कोई दिलचस्पी नहीं है। यदि, परिणामस्वरूप, वही लोग इसकी रचना में दिखाई देते हैं, तो हमारे लिए अर्थ के संदर्भ में यह वही विकल्प है। इसलिए, हम 20 तत्वों के संयोजनों की संख्या को 5 से गिनने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

चीजें अलग होंगी यदि समिति का प्रत्येक सदस्य कार्य के एक निश्चित क्षेत्र के लिए शुरू में जिम्मेदार है। फिर समिति के समान पेरोल से उसके अंदर 5 संभव है ! क्रमपरिवर्तन विकल्प जो मायने रखते हैं। इस मामले में अलग-अलग (संरचना और जिम्मेदारी के क्षेत्र के संदर्भ में) विकल्पों की संख्या 20 तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या 5 से निर्धारित की जाती है।

संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषा

एक यादृच्छिक परीक्षण को कुछ ज्यामितीय क्षेत्र G (एक रेखा, समतल, या स्थान पर) में यादृच्छिक रूप से एक बिंदु फेंकने के रूप में माना जाता है। प्राथमिक परिणाम व्यक्तिगत बिंदु G हैं, कोई भी घटना इस क्षेत्र का एक उपसमुच्चय है, प्रारंभिक परिणामों का स्थान G। हम मान सकते हैं कि सभी बिंदु G "बराबर" हैं और फिर एक निश्चित उपसमुच्चय में एक बिंदु के गिरने की संभावना इसके समानुपाती होती है माप (लंबाई, क्षेत्र, आयतन) और इसके स्थान और आकार से स्वतंत्र।

घटना ए की ज्यामितीय संभावना संबंध द्वारा निर्धारित की जाती है: जहां एम (जी), एम (ए) प्रारंभिक परिणामों और घटना ए के पूरे स्थान के ज्यामितीय उपाय (लंबाई, क्षेत्र या वॉल्यूम) हैं।

उदाहरण। त्रिज्या r () का एक चक्र यादृच्छिक रूप से 2d चौड़ाई के समानांतर स्ट्रिप्स द्वारा विभाजित एक विमान पर फेंका जाता है, जिसकी अक्षीय रेखाओं के बीच की दूरी 2D के बराबर होती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वृत्त किसी पट्टी को काटता है।

फेसला। इस परीक्षण के प्रारंभिक परिणाम के रूप में, हम वृत्त के केंद्र से वृत्त के निकटतम पट्टी की केंद्र रेखा तक की दूरी x पर विचार करेंगे। तब प्राथमिक परिणामों का संपूर्ण स्थान एक खण्ड है। एक पट्टी के साथ एक वृत्त का प्रतिच्छेदन तब होगा जब उसका केंद्र पट्टी में गिरता है, अर्थात, या पट्टी के किनारे से त्रिज्या से कम दूरी पर स्थित है, अर्थात।

वांछित संभावना के लिए, हम प्राप्त करते हैं: .

घटनाओं का संभावित, संभावित और यादृच्छिक में वर्गीकरण। सरल और जटिल प्राथमिक घटनाओं की अवधारणा। घटनाओं पर संचालन। एक यादृच्छिक घटना और उसके गुणों की संभावना की शास्त्रीय परिभाषा। संभाव्यता सिद्धांत में संयोजन के तत्व। ज्यामितीय संभावना। संभाव्यता के सिद्धांत के स्वयंसिद्ध।

1. घटनाओं का वर्गीकरण

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक घटना की अवधारणा है। एक घटना का मतलब किसी भी तथ्य से है जो किसी अनुभव या परीक्षण के परिणामस्वरूप हो सकता है। अनुभव, या परीक्षण के तहत, शर्तों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन को समझा जाता है।

घटना के उदाहरण:

- बंदूक से फायरिंग करते समय लक्ष्य को मारना (अनुभव - एक शॉट का उत्पाद; घटना - लक्ष्य को मारना);

- एक सिक्के के तीन बार उछालने के दौरान हथियारों के दो कोट का नुकसान (अनुभव - एक सिक्के का तीन बार उछाल; एक घटना - हथियारों के दो कोट का नुकसान);

- लक्ष्य से दूरी को मापते समय निर्दिष्ट सीमा के भीतर एक माप त्रुटि की उपस्थिति (प्रयोग - दूरी माप; घटना - माप त्रुटि)।

ऐसे अनगिनत उदाहरणों का हवाला दिया जा सकता है। घटनाओं को लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों आदि द्वारा दर्शाया जाता है।

संयुक्त और गैर-संयुक्त घटनाओं के बीच भेद। घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना को बाहर नहीं करती है। अन्यथा, घटनाओं को असंगत कहा जाता है। उदाहरण के लिए, दो पासों को उछाला जाता है। घटना - पहले पासे पर तीन अंकों की हानि, घटना - दूसरे पासे पर तीन अंकों की हानि और - संयुक्त घटनाएँ। दुकान को एक ही शैली और आकार के जूते का एक बैच प्राप्त करने दें, लेकिन एक अलग रंग का। एक घटना - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक बॉक्स काले जूते के साथ होगा, एक घटना - एक बॉक्स भूरे रंग के जूते के साथ होगा, और - असंगत घटनाएं।

एक घटना निश्चित कहलाती है यदि यह किसी दिए गए प्रयोग की शर्तों के तहत अनिवार्य रूप से घटित होगी।

एक घटना को असंभव कहा जाता है यदि वह दिए गए अनुभव की शर्तों के तहत नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, मानक भागों के एक बैच से एक मानक भाग लेने की घटना निश्चित है, लेकिन एक गैर-मानक भाग असंभव है।

एक घटना को संभव या यादृच्छिक कहा जाता है, यदि अनुभव के परिणामस्वरूप, यह घटित हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। एक यादृच्छिक घटना का एक उदाहरण तैयार उत्पादों के एक बैच के नियंत्रण के दौरान उत्पाद दोषों का पता लगाना, संसाधित उत्पाद के आकार और दिए गए एक के बीच विसंगति, स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के लिंक में से एक की विफलता है।

घटनाओं को समान रूप से संभावित कहा जाता है, यदि परीक्षण की शर्तों के तहत, इनमें से कोई भी घटना दूसरों की तुलना में निष्पक्ष रूप से अधिक होने की संभावना नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक स्टोर में कई निर्माताओं द्वारा प्रकाश बल्ब (और समान मात्रा में) की आपूर्ति की जाती है। इनमें से किसी भी कारखाने से प्रकाश बल्ब खरीदने की घटनाएँ समान रूप से संभावित हैं।

एक महत्वपूर्ण अवधारणा घटनाओं का पूरा समूह है। किसी दिए गए प्रयोग में कई घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं यदि उनमें से कम से कम एक प्रयोग के परिणामस्वरूप आवश्यक रूप से प्रकट होता है। उदाहरण के लिए, एक कलश में दस गेंदें होती हैं, जिनमें से छह लाल और चार सफेद होती हैं, जिनमें से पांच गिने जाते हैं। - एक ड्राइंग के साथ एक लाल गेंद की उपस्थिति, - एक सफेद गेंद की उपस्थिति, - एक संख्या के साथ एक गेंद की उपस्थिति। घटनाएँ संयुक्त घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

आइए हम एक विपरीत, या अतिरिक्त, घटना की अवधारणा का परिचय दें। एक विपरीत घटना एक घटना है जो आवश्यक रूप से घटित होनी चाहिए यदि कोई घटना नहीं हुई है। विपरीत घटनाएं असंगत हैं और केवल संभव हैं। वे घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि निर्मित उत्पादों के एक बैच में अच्छे और दोषपूर्ण वाले होते हैं, तो जब एक उत्पाद को हटा दिया जाता है, तो यह या तो अच्छा हो सकता है - एक घटना, या दोषपूर्ण - एक घटना।

2. घटनाओं पर संचालन

संभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक घटनाओं के अध्ययन के लिए तंत्र और कार्यप्रणाली विकसित करते समय, घटनाओं के योग और उत्पाद की अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण है।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करती है: यादृच्छिक घटनाएं, यादृच्छिक चर, उनके गुण और उन पर संचालन।

लंबे समय तक, संभाव्यता के सिद्धांत की स्पष्ट परिभाषा नहीं थी। यह केवल 1929 में तैयार किया गया था। एक विज्ञान के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के उद्भव का श्रेय मध्य युग और जुए (टॉस, पासा, रूले) के गणितीय विश्लेषण के पहले प्रयासों को दिया जाता है। 17वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञों ब्लेज़ पास्कल और पियरे डी फ़र्मेट ने पहले संभाव्य पैटर्न की खोज की जो जुए में जीत की भविष्यवाणी का अध्ययन करते समय पासा फेंकते समय उत्पन्न होते हैं।

संभाव्यता का सिद्धांत इस विश्वास से एक विज्ञान के रूप में उभरा कि कुछ नियमितताएं बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं से गुजरती हैं। संभाव्यता सिद्धांत इन पैटर्नों का अध्ययन करता है।

संभाव्यता सिद्धांत उन घटनाओं के अध्ययन से संबंधित है, जिनकी घटना निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है। यह आपको दूसरों की तुलना में कुछ घटनाओं के घटित होने की संभावना की डिग्री का न्याय करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए: सिर या पूंछ को उछालने वाले सिक्के के परिणाम को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना असंभव है, लेकिन बार-बार उछालने के साथ, लगभग समान संख्या में सिर और पूंछ गिर जाती है, जिसका अर्थ है कि संभावना है कि सिर या पूंछ गिर जाएगी ", बराबर है 50% तक।

परीक्षणइस मामले में, शर्तों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन को कहा जाता है, यानी इस मामले में, एक सिक्का उछालना। चुनौती को असीमित बार खेला जा सकता है। इस मामले में, परिस्थितियों के परिसर में यादृच्छिक कारक शामिल हैं।

परीक्षा परिणाम है प्रतिस्पर्धा. घटना होती है:

1. विश्वसनीय (हमेशा परीक्षण के परिणामस्वरूप होता है)।
2. असंभव (कभी नहीं होता)।
3. यादृच्छिक (परीक्षण के परिणामस्वरूप हो भी सकता है और नहीं भी)।

उदाहरण के लिए, जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो एक असंभव घटना - सिक्का किनारे पर समाप्त हो जाएगा, एक यादृच्छिक घटना - "सिर" या "पूंछ" का नुकसान। विशिष्ट परीक्षा परिणाम को कहा जाता है प्रारंभिक घटना. परीक्षण के परिणामस्वरूप, केवल प्राथमिक घटनाएं होती हैं। सभी संभावित, भिन्न, विशिष्ट परीक्षण परिणामों की समग्रता कहलाती है प्राथमिक घटना स्थान.

सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएं

संभावना- घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री। जब किसी संभावित घटना के होने के कारण वास्तव में विपरीत कारणों से अधिक होते हैं, तो इस घटना को संभावित कहा जाता है, अन्यथा - असंभावित या असंभव।

यादृच्छिक मूल्य- यह एक ऐसा मान है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक या दूसरा मान ले सकता है, और यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा है। उदाहरण के लिए: प्रतिदिन फायर स्टेशनों की संख्या, 10 शॉट्स के साथ हिट की संख्या आदि।

यादृच्छिक चर को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

1. असतत यादृच्छिक चरऐसी मात्रा को कहा जाता है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक निश्चित संभावना के साथ कुछ मान ले सकता है, एक गणनीय सेट (एक सेट जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है) बनाता है। यह सेट या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है, क्योंकि यह मान अनंत पर ले सकता है, हालांकि गणनीय, मानों की संख्या।
2. सतत यादृच्छिक चरएक मात्रा है जो किसी परिमित या अनंत अंतराल से कोई भी मान ले सकती है। जाहिर है, एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है।

प्रायिकता स्थान- ए.एन. द्वारा पेश की गई अवधारणा। कोलमोगोरोव ने 1930 के दशक में संभाव्यता की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया, जिसने एक कठोर गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के तेजी से विकास को जन्म दिया।

संभाव्यता स्थान एक तिहाई है (कभी-कभी कोण कोष्ठक में तैयार किया जाता है: , जहां

यह एक मनमाना समुच्चय है, जिसके तत्व प्राथमिक घटनाएँ, परिणाम या बिंदु कहलाते हैं;
- उपसमुच्चय का सिग्मा-बीजगणित (यादृच्छिक) घटनाएँ;
- संभाव्य उपाय या संभाव्यता, अर्थात। सिग्मा-योज्य परिमित माप जैसे कि .

डी मोइवरे-लाप्लास प्रमेय- 1812 में लाप्लास द्वारा स्थापित संभाव्यता सिद्धांत के सीमित प्रमेयों में से एक। वह कहती है कि दो संभावित परिणामों के साथ एक ही यादृच्छिक प्रयोग को दोहराने में सफलताओं की संख्या लगभग सामान्य रूप से वितरित की जाती है। यह आपको संभाव्यता का अनुमानित मूल्य खोजने की अनुमति देता है।

यदि, प्रत्येक स्वतंत्र परीक्षण के लिए, किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की प्रायिकता () के बराबर है और वास्तव में होने वाले परीक्षणों की संख्या है, तो असमानता की वैधता की संभावना करीब है (बड़े के लिए) लाप्लास इंटीग्रल के मूल्य के लिए।

संभाव्यता सिद्धांत में वितरण कार्य- एक यादृच्छिक चर या एक यादृच्छिक वेक्टर के वितरण की विशेषता वाला एक फ़ंक्शन; संभावना है कि एक यादृच्छिक चर एक्स, एक्स से कम या उसके बराबर मान लेगा, जहां एक्स एक मनमाना वास्तविक संख्या है। कुछ शर्तों के तहत, यह पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर निर्धारित करता है।

अपेक्षित मूल्य- एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य (यह एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है)। अंग्रेजी साहित्य में, इसे रूसी में - द्वारा दर्शाया गया है। सांख्यिकी में, अंकन का अक्सर उपयोग किया जाता है।

मान लीजिए कि एक प्रायिकता स्थान और उस पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर दिया गया है। वह है, परिभाषा के अनुसार, एक मापने योग्य कार्य। फिर, यदि कोई लेबेसेग ओवर स्पेस का अभिन्न अंग है, तो इसे गणितीय अपेक्षा, या माध्य मान कहा जाता है, और इसे द्वारा दर्शाया जाता है।

यादृच्छिक चर का प्रसरण- किसी दिए गए यादृच्छिक चर के प्रसार का एक उपाय, यानी गणितीय अपेक्षा से इसका विचलन। रूसी साहित्य और विदेशी में नामित। सांख्यिकी में, पदनाम या अक्सर प्रयोग किया जाता है। विचरण के वर्गमूल को मानक विचलन, मानक विचलन या मानक प्रसार कहा जाता है।

आज्ञा देना कुछ संभाव्यता स्थान पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर हो। फिर

जहां प्रतीक गणितीय अपेक्षा को दर्शाता है।

संभाव्यता सिद्धांत में, दो यादृच्छिक घटनाओं को कहा जाता है स्वतंत्रयदि उनमें से एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की प्रायिकता में परिवर्तन नहीं होता है। इसी प्रकार, दो यादृच्छिक चर कहलाते हैं आश्रितयदि उनमें से एक का मूल्य दूसरे के मूल्यों की संभावना को प्रभावित करता है।

बड़ी संख्या के नियम का सबसे सरल रूप बर्नौली का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि यदि किसी घटना की संभावना सभी परीक्षणों में समान है, तो जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है, घटना की आवृत्ति घटना की संभावना की ओर बढ़ जाती है और यादृच्छिक होना बंद हो जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत में बड़ी संख्या का नियम बताता है कि एक निश्चित वितरण से एक परिमित नमूने का अंकगणितीय माध्य उस वितरण की सैद्धांतिक औसत अपेक्षा के करीब है। अभिसरण के प्रकार के आधार पर, बड़ी संख्या का एक कमजोर कानून प्रतिष्ठित किया जाता है, जब संभाव्यता में अभिसरण होता है, और बड़ी संख्या का एक मजबूत कानून, जब अभिसरण लगभग निश्चित रूप से होता है।

बड़ी संख्या के नियम का सामान्य अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में समान और स्वतंत्र यादृच्छिक कारकों की संयुक्त क्रिया एक परिणाम की ओर ले जाती है, जो सीमा में, संयोग पर निर्भर नहीं करता है।

परिमित नमूने के विश्लेषण के आधार पर संभाव्यता का आकलन करने के तरीके इस संपत्ति पर आधारित हैं। एक अच्छा उदाहरण मतदाताओं के नमूने के सर्वेक्षण के आधार पर चुनाव परिणामों की भविष्यवाणी है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय- संभाव्यता सिद्धांत में प्रमेयों का एक वर्ग, जिसमें कहा गया है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में कमजोर निर्भर यादृच्छिक चर का योग जिसमें लगभग समान पैमाना होता है (कोई भी शब्द हावी नहीं होता है, योग में निर्णायक योगदान नहीं देता है) का वितरण करीब है सामान्य।

चूंकि अनुप्रयोगों में कई यादृच्छिक चर कई कमजोर निर्भर यादृच्छिक कारकों के प्रभाव में बनते हैं, इसलिए उनका वितरण सामान्य माना जाता है। इस मामले में, इस शर्त को देखा जाना चाहिए कि कोई भी कारक प्रमुख नहीं है। इन मामलों में केंद्रीय सीमा प्रमेय सामान्य वितरण के आवेदन को सही ठहराते हैं।

"यादृच्छिकता आकस्मिक नहीं है" ... ऐसा लगता है जैसे एक दार्शनिक ने कहा, लेकिन वास्तव में, दुर्घटनाओं का अध्ययन गणित के महान विज्ञान की नियति है। गणित में, संभावना संभाव्यता का सिद्धांत है। कार्यों के सूत्र और उदाहरण, साथ ही इस विज्ञान की मुख्य परिभाषाएँ लेख में प्रस्तुत की जाएंगी।

संभाव्यता सिद्धांत क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत गणितीय विषयों में से एक है जो यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है।

इसे थोड़ा स्पष्ट करने के लिए, आइए एक छोटा सा उदाहरण दें: यदि आप किसी सिक्के को ऊपर उछालते हैं, तो वह चित या पट गिर सकता है। जब तक सिक्का हवा में है, ये दोनों संभावनाएं संभव हैं। यही है, संभावित परिणामों की संभावना 1: 1 से संबंधित है। यदि एक डेक से 36 कार्डों के साथ खींचा जाता है, तो संभावना 1:36 के रूप में इंगित की जाएगी। ऐसा लगता है कि खोजने और भविष्यवाणी करने के लिए कुछ भी नहीं है, खासकर गणितीय सूत्रों की मदद से। फिर भी, यदि आप एक निश्चित क्रिया को कई बार दोहराते हैं, तो आप एक निश्चित पैटर्न की पहचान कर सकते हैं और इसके आधार पर अन्य स्थितियों में घटनाओं के परिणाम की भविष्यवाणी कर सकते हैं।

उपरोक्त सभी को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, शास्त्रीय अर्थ में संभाव्यता का सिद्धांत संख्यात्मक अर्थों में संभावित घटनाओं में से एक के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है।

इतिहास के पन्नों से

संभाव्यता का सिद्धांत, सूत्र और पहले कार्यों के उदाहरण सुदूर मध्य युग में दिखाई दिए, जब पहली बार कार्ड गेम के परिणाम की भविष्यवाणी करने का प्रयास हुआ।

प्रारंभ में, संभाव्यता के सिद्धांत का गणित से कोई लेना-देना नहीं था। यह किसी घटना के अनुभवजन्य तथ्यों या गुणों द्वारा उचित था जिसे व्यवहार में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता था। इस क्षेत्र में गणितीय अनुशासन के रूप में पहला काम 17 वीं शताब्दी में सामने आया। संस्थापक ब्लेज़ पास्कल और पियरे फ़र्मेट थे। लंबे समय तक उन्होंने जुए का अध्ययन किया और कुछ निश्चित पैटर्न देखे, जिनके बारे में उन्होंने जनता को बताने का फैसला किया।

उसी तकनीक का आविष्कार क्रिश्चियन ह्यूजेंस ने किया था, हालांकि वह पास्कल और फर्मेट के शोध के परिणामों से परिचित नहीं थे। "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा, सूत्र और उदाहरण, जिन्हें अनुशासन के इतिहास में पहला माना जाता है, उनके द्वारा पेश किए गए थे।

जैकब बर्नौली, लाप्लास और पॉइसन के प्रमेयों का कोई छोटा महत्व नहीं है। उन्होंने संभाव्यता सिद्धांत को गणितीय अनुशासन की तरह बनाया। संभाव्यता सिद्धांत, सूत्र और बुनियादी कार्यों के उदाहरणों को कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों के लिए धन्यवाद मिला। सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, संभाव्यता का सिद्धांत गणितीय शाखाओं में से एक बन गया है।

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ। आयोजन

इस अनुशासन की मुख्य अवधारणा "घटना" है। घटनाएँ तीन प्रकार की होती हैं:

• भरोसेमंद।जो कुछ भी होगा (सिक्का गिर जाएगा)।
• असंभव।घटनाएँ जो किसी भी स्थिति में नहीं होंगी (सिक्का हवा में लटका रहेगा)।
• अनियमित।जो होगा या नहीं होगा। वे विभिन्न कारकों से प्रभावित हो सकते हैं जिनकी भविष्यवाणी करना बहुत मुश्किल है। यदि हम एक सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो यादृच्छिक कारक जो परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं: सिक्के की भौतिक विशेषताएं, इसका आकार, प्रारंभिक स्थिति, फेंक बल, आदि।

उदाहरणों में सभी घटनाओं को बड़े लैटिन अक्षरों से दर्शाया गया है, आर के अपवाद के साथ, जिसकी एक अलग भूमिका है। उदाहरण के लिए:

• ए = "छात्र व्याख्यान में आए।"
• Ā = "छात्र व्याख्यान में नहीं आए"।

व्यावहारिक कार्यों में, घटनाओं को आमतौर पर शब्दों में दर्ज किया जाता है।

घटनाओं की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक उनकी समान संभावना है। अर्थात्, यदि आप एक सिक्का उछालते हैं, तो प्रारंभिक गिरावट के सभी प्रकार संभव हैं जब तक कि वह गिर न जाए। लेकिन घटनाएं भी समान रूप से संभावित नहीं हैं। ऐसा तब होता है जब कोई जानबूझकर परिणाम को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, "चिह्नित" ताश या पासा, जिसमें गुरुत्वाकर्षण का केंद्र स्थानांतरित हो जाता है।

घटनाएँ भी संगत और असंगत हैं। संगत घटनाएँ एक दूसरे की घटना को बाहर नहीं करती हैं। उदाहरण के लिए:

• ए = "छात्र व्याख्यान में आया।"
• बी = "छात्र व्याख्यान में आया।"

ये घटनाएं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, और उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को प्रभावित नहीं करती है। असंगत घटनाओं को इस तथ्य से परिभाषित किया जाता है कि एक की घटना दूसरे की घटना को रोकती है। यदि हम एक ही सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो "पूंछ" का नुकसान एक ही प्रयोग में "सिर" की उपस्थिति के लिए असंभव बना देता है।

घटनाओं पर कार्रवाई

घटनाओं को गुणा और जोड़ा जा सकता है, क्रमशः, तार्किक संयोजक "AND" और "OR" को अनुशासन में पेश किया जाता है।

राशि इस तथ्य से निर्धारित होती है कि या तो घटना ए, या बी, या दोनों एक ही समय में हो सकती हैं। मामले में जब वे असंगत हैं, तो अंतिम विकल्प असंभव है, या तो ए या बी बाहर हो जाएगा।

घटनाओं का गुणन एक ही समय में ए और बी की उपस्थिति में होता है।

अब आप मूल बातें, संभाव्यता सिद्धांत और सूत्रों को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए कुछ उदाहरण दे सकते हैं। समस्या समाधान के उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

अभ्यास 1: फर्म तीन प्रकार के कार्यों के लिए ठेके के लिए बोली लगा रही है। संभावित घटनाएं जो हो सकती हैं:

• ए = "फर्म को पहला अनुबंध प्राप्त होगा।"
• ए 1 = "फर्म को पहला अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"
• बी = "फर्म को दूसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• बी 1 = "फर्म को दूसरा अनुबंध नहीं मिलेगा"
• सी = "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• सी 1 = "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"

आइए घटनाओं पर क्रियाओं का उपयोग करके निम्नलिखित स्थितियों को व्यक्त करने का प्रयास करें:

• K = "फर्म को सभी अनुबंध प्राप्त होंगे।"

गणितीय रूप में, समीकरण इस तरह दिखेगा: K = ABC।

• एम = "फर्म को एक भी अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"

एम \u003d ए 1 बी 1 सी 1।

हम कार्य को जटिल करते हैं: एच = "फर्म को एक अनुबंध प्राप्त होगा।" चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि फर्म को कौन सा अनुबंध प्राप्त होगा (पहला, दूसरा या तीसरा), संभावित घटनाओं की पूरी श्रृंखला को रिकॉर्ड करना आवश्यक है:

एच \u003d ए 1 बीसी 1 υ एबी 1 सी 1 υ ए 1 बी 1 सी।

और 1 ईसा पूर्व 1 घटनाओं की एक श्रृंखला है जहां फर्म को पहला और तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होता है, लेकिन दूसरा प्राप्त होता है। अन्य संभावित घटनाओं को भी इसी विधि द्वारा दर्ज किया जाता है। अनुशासन में प्रतीक "OR" के एक समूह को दर्शाता है। यदि हम उपरोक्त उदाहरण का मानवीय भाषा में अनुवाद करते हैं, तो कंपनी को या तो तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा, या दूसरा, या पहला। इसी तरह, आप "प्रायिकता सिद्धांत" विषय में अन्य शर्तें लिख सकते हैं। ऊपर प्रस्तुत समस्याओं को हल करने के सूत्र और उदाहरण आपको इसे स्वयं करने में मदद करेंगे।

दरअसल, संभावना

शायद, इस गणितीय अनुशासन में, किसी घटना की संभावना एक केंद्रीय अवधारणा है। संभाव्यता की 3 परिभाषाएँ हैं:

• शास्त्रीय;
• सांख्यिकीय;
• ज्यामितीय।

संभावनाओं के अध्ययन में प्रत्येक का अपना स्थान है। संभाव्यता सिद्धांत, सूत्र और उदाहरण (ग्रेड 9) ज्यादातर क्लासिक परिभाषा का उपयोग करते हैं, जो इस तरह लगता है:

• स्थिति A की प्रायिकता उन परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर होती है जो इसके घटित होने के पक्ष में हैं और सभी संभावित परिणामों की संख्या से।

सूत्र इस तरह दिखता है: पी (ए) \u003d एम / एन।

और, वास्तव में, एक घटना। यदि A का विपरीत होता है, तो इसे Ā या A 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

मी संभावित अनुकूल मामलों की संख्या है।

n - सभी घटनाएँ जो हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए, ए \u003d "दिल सूट कार्ड बाहर खींचो।" एक मानक डेक में 36 कार्ड होते हैं, उनमें से 9 दिल के होते हैं। तदनुसार, समस्या को हल करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

पी (ए) = 9/36 = 0.25।

नतीजतन, डेक से दिल के अनुकूल कार्ड निकाले जाने की संभावना 0.25 होगी।

उच्च गणित के लिए

अब यह थोड़ा ज्ञात हो गया है कि प्रायिकता का सिद्धांत क्या है, स्कूल के पाठ्यक्रम में आने वाले कार्यों को हल करने के सूत्र और उदाहरण। हालांकि, उच्च गणित में संभाव्यता का सिद्धांत भी पाया जाता है, जो विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है। अक्सर, वे सिद्धांत और जटिल सूत्रों की ज्यामितीय और सांख्यिकीय परिभाषाओं के साथ काम करते हैं।

संभाव्यता का सिद्धांत बहुत दिलचस्प है। संभाव्यता की एक सांख्यिकीय (या आवृत्ति) परिभाषा से - सूत्र और उदाहरण (उच्च गणित) एक छोटे से सीखना शुरू करने के लिए बेहतर हैं।

सांख्यिकीय दृष्टिकोण शास्त्रीय दृष्टिकोण का खंडन नहीं करता है, लेकिन थोड़ा विस्तार करता है। यदि पहले मामले में यह निर्धारित करना आवश्यक था कि घटना किस हद तक घटित होगी, तो इस पद्धति में यह इंगित करना आवश्यक है कि यह कितनी बार घटित होगा। यहां "सापेक्ष आवृत्ति" की एक नई अवधारणा पेश की गई है, जिसे W n (A) द्वारा दर्शाया जा सकता है। सूत्र क्लासिक से अलग नहीं है:

यदि पूर्वानुमान के लिए शास्त्रीय सूत्र की गणना की जाती है, तो सांख्यिकीय सूत्र की गणना प्रयोग के परिणामों के अनुसार की जाती है। उदाहरण के लिए, एक छोटा सा कार्य लें।

तकनीकी नियंत्रण विभाग गुणवत्ता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। 100 उत्पादों में से 3 खराब गुणवत्ता के पाए गए। गुणवत्ता वाले उत्पाद की आवृत्ति संभावना कैसे प्राप्त करें?

ए = "एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की उपस्थिति।"

डब्ल्यू एन (ए)=97/100=0.97

इस प्रकार, एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की आवृत्ति 0.97 है। आपको 97 कहां से मिले? जिन 100 उत्पादों की जांच की गई, उनमें से 3 खराब गुणवत्ता के निकले। हम 100 में से 3 घटाते हैं, हमें 97 मिलते हैं, यह एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की मात्रा है।

कॉम्बिनेटरिक्स के बारे में थोड़ा

संभाव्यता सिद्धांत की एक अन्य विधि को कॉम्बिनेटरिक्स कहा जाता है। इसका मूल सिद्धांत यह है कि यदि एक निश्चित विकल्प A को m अलग-अलग तरीकों से बनाया जा सकता है, और एक विकल्प B को n अलग-अलग तरीकों से बनाया जा सकता है, तो A और B का चुनाव गुणा करके किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, शहर A से शहर B तक 5 सड़कें हैं। शहर B से शहर C तक 4 मार्ग हैं। शहर A से शहर C तक कितने रास्ते हैं?

यह आसान है: 5x4 = 20, यानी बिंदु ए से बिंदु सी तक पहुंचने के बीस अलग-अलग तरीके हैं।

आइए कार्य को कठिन बनाते हैं। सॉलिटेयर में ताश खेलने के कितने तरीके हैं? 36 कार्डों के डेक में, यह शुरुआती बिंदु है। तरीकों की संख्या जानने के लिए, आपको शुरुआती बिंदु से एक कार्ड को "घटाना" और गुणा करना होगा।

यानी, 36x35x34x33x32…x2x1= परिणाम कैलकुलेटर स्क्रीन पर फिट नहीं होता है, इसलिए इसे केवल 36 के रूप में दर्शाया जा सकता है! संकेत "!" संख्या के आगे इंगित करता है कि संख्याओं की पूरी श्रृंखला आपस में गुणा की जाती है।

कॉम्बिनेटरिक्स में, क्रमचय, प्लेसमेंट और संयोजन जैसी अवधारणाएं हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना सूत्र है।

सेट तत्वों के एक क्रमबद्ध सेट को लेआउट कहा जाता है। प्लेसमेंट दोहराए जा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि एक तत्व का कई बार उपयोग किया जा सकता है। और बिना दोहराव के, जब तत्वों को दोहराया नहीं जाता है। n सभी तत्व हैं, m वे तत्व हैं जो प्लेसमेंट में भाग लेते हैं। बिना दोहराव के प्लेसमेंट का फॉर्मूला इस तरह दिखेगा:

ए एन एम =एन!/(एन-एम)!

n तत्वों के संयोजन जो केवल प्लेसमेंट के क्रम में भिन्न होते हैं, क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं। गणित में, ऐसा दिखता है: P n = n!

n तत्वों का m द्वारा संयोजन ऐसे यौगिक हैं जिनमें यह महत्वपूर्ण है कि वे कौन से तत्व थे और उनकी कुल संख्या क्या है। सूत्र इस तरह दिखेगा:

ए एन एम =एन!/एम!(एन-एम)!

बर्नौली सूत्र

संभाव्यता के सिद्धांत में, साथ ही साथ हर विषय में, अपने क्षेत्र में उत्कृष्ट शोधकर्ताओं के कार्य हैं जो इसे एक नए स्तर पर ले गए हैं। इन कार्यों में से एक बर्नौली सूत्र है, जो आपको स्वतंत्र परिस्थितियों में होने वाली एक निश्चित घटना की संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है। इससे पता चलता है कि किसी प्रयोग में A का दिखना पिछले या बाद के परीक्षणों में उसी घटना की उपस्थिति या गैर-घटना पर निर्भर नहीं करता है।

बर्नौली समीकरण:

पी एन (एम) = सी एन एम × पी एम × क्यू एन-एम।

घटना (ए) की घटना की संभावना (पी) प्रत्येक परीक्षण के लिए अपरिवर्तित है। n प्रयोगों की संख्या में स्थिति ठीक m बार होने की संभावना की गणना ऊपर प्रस्तुत किए गए सूत्र द्वारा की जाएगी। तदनुसार, प्रश्न उठता है कि संख्या q का पता कैसे लगाया जाए।

यदि घटना A, p कई बार घटित होती है, तदनुसार, यह घटित नहीं हो सकती है। एक इकाई एक संख्या है जिसका उपयोग किसी अनुशासन में किसी स्थिति के सभी परिणामों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। इसलिए, q एक संख्या है जो घटना के न होने की संभावना को इंगित करती है।

अब आप बर्नौली सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) जानते हैं। समस्या समाधान (प्रथम स्तर) के उदाहरणों पर नीचे विचार किया जाएगा।

कार्य 2:एक स्टोर विज़िटर 0.2 की संभावना के साथ खरीदारी करेगा। 6 आगंतुकों ने स्वतंत्र रूप से स्टोर में प्रवेश किया। इसकी क्या प्रायिकता है कि कोई आगंतुक खरीदारी करेगा?

समाधान: चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि कितने आगंतुकों को खरीदारी करनी चाहिए, एक या सभी छह, बर्नौली सूत्र का उपयोग करके सभी संभावित संभावनाओं की गणना करना आवश्यक है।

A = "आगंतुक खरीदारी करेगा।"

इस मामले में: p = 0.2 (जैसा कि कार्य में दर्शाया गया है)। तदनुसार, क्यू=1-0.2 = 0.8।

n = 6 (क्योंकि स्टोर में 6 ग्राहक हैं)। संख्या m 0 से बदल जाएगी (कोई ग्राहक खरीदारी नहीं करेगा) से 6 (सभी स्टोर आगंतुक कुछ खरीदेंगे)। परिणामस्वरूप, हमें समाधान मिलता है:

पी 6 (0) \u003d सी 0 6 × पी 0 × क्यू 6 \u003d क्यू 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621।

कोई भी खरीदार 0.2621 की संभावना के साथ खरीदारी नहीं करेगा।

बर्नौली सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) का और कैसे उपयोग किया जाता है? समस्या समाधान के उदाहरण (द्वितीय स्तर) नीचे।

उपरोक्त उदाहरण के बाद, प्रश्न उठता है कि C और p कहाँ गए हैं। p के सन्दर्भ में, 0 की घात वाली कोई संख्या एक के बराबर होगी। सी के लिए, यह सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

सी एन एम = एन! /एम!(एन-एम)!

चूंकि पहले उदाहरण में क्रमशः एम = 0, सी = 1, जो सिद्धांत रूप में परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। नए फॉर्मूले का उपयोग करते हुए, आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि दो आगंतुकों द्वारा सामान खरीदने की क्या संभावना है।

पी 6 (2) = सी 6 2 × पी 2 × क्यू 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246।

संभाव्यता का सिद्धांत इतना जटिल नहीं है। बर्नौली सूत्र, जिसके उदाहरण ऊपर प्रस्तुत किए गए हैं, इसका प्रत्यक्ष प्रमाण है।

पॉइज़न सूत्र

पॉसों समीकरण का उपयोग असंभावित यादृच्छिक स्थितियों की गणना के लिए किया जाता है।

मूल सूत्र:

पी एन (एम) = λ एम / एम! × ई (-λ)।

इस मामले में, = एन एक्स पी। यहाँ एक ऐसा सरल पॉइसन सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) है। समस्या समाधान के उदाहरणों पर नीचे विचार किया जाएगा।

टास्क 3ए: कारखाने ने 100,000 भागों का उत्पादन किया। दोषपूर्ण भाग की उपस्थिति = 0.0001। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक बैच में 5 खराब पुर्जे होंगे?

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवाह एक अप्रत्याशित घटना है, और इसलिए गणना के लिए पॉइसन सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) का उपयोग किया जाता है। इस तरह की समस्याओं को हल करने के उदाहरण अनुशासन के अन्य कार्यों से अलग नहीं हैं, हम आवश्यक डेटा को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए = "यादृच्छिक रूप से चयनित हिस्सा खराब हो जाएगा।"

पी = 0.0001 (असाइनमेंट की स्थिति के अनुसार)।

n = 100000 (भागों की संख्या)।

मी = 5 (दोषपूर्ण भाग)। हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

आर 100000 (5) = 10 5 / 5! एक्स ई -10 = 0.0375।

बर्नौली सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) की तरह, समाधान के उदाहरण जिनका उपयोग ऊपर लिखा गया है, पॉइसन समीकरण में एक अज्ञात ई है। संक्षेप में, यह सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

ई -λ = लिम एन ->∞ (1-λ/एन) एन।

हालांकि, ऐसे विशेष टेबल हैं जिनमें ई के लगभग सभी मान होते हैं।

डी मोइवरे-लाप्लास प्रमेय

यदि बर्नौली योजना में परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है, और सभी योजनाओं में घटना ए की घटना की संभावना समान है, तो घटना ए की घटना की संभावना परीक्षणों की एक श्रृंखला में निश्चित संख्या में पाई जा सकती है लाप्लास सूत्र:

एन (एम) = 1/√npq एक्स ϕ (एक्स एम)।

एक्सएम = एम-एनपी / √एनपीक्यू।

लाप्लास सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए, नीचे दिए गए कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले हम एक्स एम पाते हैं, हम डेटा (वे सभी ऊपर इंगित किए गए हैं) को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और 0.025 प्राप्त करते हैं। तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हम संख्या (0.025) पाते हैं, जिसका मान 0.3988 है। अब आप सूत्र में सभी डेटा को स्थानापन्न कर सकते हैं:

पी 800 (267) \u003d 1 / (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03।

तो उड़ने वाले के ठीक 267 बार हिट होने की प्रायिकता 0.03 है।

बेयस फॉर्मूला

बेयस फॉर्मूला (प्रायिकता सिद्धांत), कार्यों को हल करने के उदाहरण जिनका उपयोग नीचे दिया जाएगा, एक समीकरण है जो उन परिस्थितियों के आधार पर किसी घटना की संभावना का वर्णन करता है जो इससे जुड़ी हो सकती हैं। मुख्य सूत्र इस प्रकार है:

पी (ए | बी) = पी (बी | ए) एक्स पी (ए) / पी (बी)।

A और B निश्चित घटनाएँ हैं।

P(A|B) - सशर्त प्रायिकता, अर्थात घटना A घटित हो सकती है, बशर्ते कि घटना B सत्य हो।

(В|А) - घटना की सशर्त संभावना।

तो, लघु पाठ्यक्रम "संभाव्यता का सिद्धांत" का अंतिम भाग बेयस सूत्र है, जिसके साथ समस्याओं को हल करने के उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

टास्क 5: तीन कंपनियों के फोन गोदाम में लाए गए। वहीं, पहले प्लांट में बनने वाले फोन का हिस्सा 25%, दूसरे पर - 60%, तीसरे में - 15% है। यह भी ज्ञात है कि पहले कारखाने में दोषपूर्ण उत्पादों का औसत प्रतिशत 2% है, दूसरे पर - 4%, और तीसरे पर - 1%। यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि यादृच्छिक रूप से चयनित फोन खराब हो जाएगा।

ए = "बेतरतीब ढंग से लिया गया फोन।"

बी 1 - वह फोन जिसे पहली फैक्ट्री ने बनाया था। तदनुसार, परिचयात्मक बी 2 और बी 3 दिखाई देंगे (दूसरे और तीसरे कारखानों के लिए)।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

पी (बी 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; पी (बी 2) \u003d 0.6; पी (बी 3) \u003d 0.15 - इसलिए हमने प्रत्येक विकल्प की संभावना पाई।

अब हमें वांछित घटना की सशर्त संभावनाओं को खोजने की जरूरत है, यानी फर्मों में दोषपूर्ण उत्पादों की संभावना:

पी (ए / बी 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

पी (ए / बी 2) \u003d 0.04;

पी (ए / बी 3) \u003d 0.01।

अब हम डेटा को बेयस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी (ए) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305।

लेख संभाव्यता के सिद्धांत, सूत्र और समस्या समाधान के उदाहरण प्रस्तुत करता है, लेकिन यह केवल एक विशाल अनुशासन के हिमशैल का सिरा है। और जो कुछ लिखा जा चुका है, उसके बाद यह प्रश्न पूछना तर्कसंगत होगा कि क्या जीवन में संभाव्यता के सिद्धांत की आवश्यकता है। एक साधारण व्यक्ति के लिए जवाब देना मुश्किल है, किसी ऐसे व्यक्ति से पूछना बेहतर है जिसने उसकी मदद से एक से अधिक बार जैकपॉट मारा हो।

परिचय

कई चीजें हमारे लिए समझ से बाहर हैं, इसलिए नहीं कि हमारी अवधारणाएं कमजोर हैं;
लेकिन क्योंकि ये चीजें हमारी अवधारणाओं के दायरे में नहीं आती हैं।
कोज़्मा प्रुतकोव

माध्यमिक विशिष्ट शैक्षणिक संस्थानों में गणित का अध्ययन करने का मुख्य लक्ष्य छात्रों को अन्य कार्यक्रम विषयों का अध्ययन करने के लिए आवश्यक गणितीय ज्ञान और कौशल का एक सेट देना है जो गणित का उपयोग एक डिग्री या किसी अन्य के लिए, व्यावहारिक गणना करने की क्षमता के लिए, गठन और विकास के लिए करते हैं। तार्किक सोच का।

इस पत्र में, कार्यक्रम और माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षिक मानकों (रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय। एम।, 2002) द्वारा प्रदान किए गए गणित "फंडामेंटल्स ऑफ प्रोबेबिलिटी थ्योरी एंड मैथमैटिकल स्टैटिस्टिक्स" की सभी बुनियादी अवधारणाएं। ), लगातार पेश किए जाते हैं, मुख्य प्रमेय तैयार किए जाते हैं, जिनमें से अधिकांश सिद्ध नहीं होते हैं। व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए इन विधियों को लागू करने के लिए उनके समाधान और प्रौद्योगिकियों के मुख्य कार्यों और विधियों पर विचार किया जाता है। प्रस्तुति विस्तृत टिप्पणियों और कई उदाहरणों के साथ है।

अध्ययन की गई सामग्री के साथ प्रारंभिक परिचित के लिए, व्याख्यान के नोट्स लेते समय, व्यावहारिक अभ्यास की तैयारी के लिए, अर्जित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को समेकित करने के लिए विधि निर्देशों का उपयोग किया जा सकता है। इसके अलावा, मैनुअल स्नातक छात्रों के लिए एक संदर्भ उपकरण के रूप में उपयोगी होगा जो आपको पहले अध्ययन की गई स्मृति को जल्दी से बहाल करने की अनुमति देता है।

काम के अंत में, उदाहरण और कार्य दिए जाते हैं जो छात्र आत्म-नियंत्रण मोड में कर सकते हैं।

पद्धति संबंधी निर्देश पत्राचार और शिक्षा के पूर्णकालिक रूपों के छात्रों के लिए अभिप्रेत हैं।

बुनियादी अवधारणाओं

संभाव्यता सिद्धांत बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं की उद्देश्य नियमितता का अध्ययन करता है। यह गणितीय आँकड़ों के लिए सैद्धांतिक आधार है, जो अवलोकनों के परिणामों को एकत्रित करने, वर्णन करने और संसाधित करने के तरीकों के विकास से संबंधित है। अवलोकनों (परीक्षणों, प्रयोगों) के माध्यम से, अर्थात्। शब्द के व्यापक अर्थ में अनुभव, वास्तविक दुनिया की घटनाओं का ज्ञान है।

अपनी व्यावहारिक गतिविधियों में, हम अक्सर ऐसी घटनाओं का सामना करते हैं, जिसके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, जिसका परिणाम संयोग पर निर्भर करता है।

एक यादृच्छिक घटना को इसकी घटनाओं की संख्या और परीक्षणों की संख्या के अनुपात से चिह्नित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में, सभी परीक्षणों की समान परिस्थितियों में, यह हो सकता है या नहीं हो सकता है।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जिसमें यादृच्छिक घटनाओं (घटनाओं) का अध्ययन किया जाता है और बड़े पैमाने पर दोहराए जाने पर नियमितता प्रकट होती है।

गणितीय सांख्यिकी गणित की एक शाखा है जिसका विषय वैज्ञानिक रूप से आधारित निष्कर्ष प्राप्त करने और निर्णय लेने के लिए सांख्यिकीय डेटा एकत्र करने, व्यवस्थित करने, प्रसंस्करण और उपयोग करने के तरीकों का अध्ययन है।

इसी समय, सांख्यिकीय डेटा को संख्याओं के एक समूह के रूप में समझा जाता है जो अध्ययन की गई वस्तुओं की विशेषताओं की मात्रात्मक विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जो हमारे लिए रुचिकर हैं। सांख्यिकीय डेटा विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए प्रयोगों और टिप्पणियों के परिणामस्वरूप प्राप्त किए जाते हैं।

इसके सार में सांख्यिकीय डेटा कई यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है, इसलिए गणितीय आँकड़े संभाव्यता सिद्धांत से निकटता से संबंधित हैं, जो इसका सैद्धांतिक आधार है।

I. संभाव्यता। जोड़ और प्रायिकता गुणन के सिद्धांत

1.1. कॉम्बिनेटरिक्स की बुनियादी अवधारणाएं

कॉम्बिनेटरिक्स नामक गणित के खंड में, सेटों के विचार और इन सेटों के तत्वों के विभिन्न संयोजनों के संकलन से संबंधित कुछ समस्याओं को हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 10 अलग-अलग संख्याएँ 0, 1, 2, 3,:, 9 लेते हैं और उनका संयोजन करते हैं, तो हमें अलग-अलग संख्याएँ मिलेंगी, उदाहरण के लिए 143, 431, 5671, 1207, 43, आदि।

हम देखते हैं कि इनमें से कुछ संयोजन केवल अंकों के क्रम में भिन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 143 और 431), उनमें शामिल संख्याओं में अन्य (उदाहरण के लिए, 5671 और 1207), और अन्य भी अंकों की संख्या में भिन्न होते हैं ( उदाहरण के लिए, 143 और 43)।

इस प्रकार, प्राप्त संयोजन विभिन्न शर्तों को पूरा करते हैं।

संकलन नियमों के आधार पर, तीन प्रकार के संयोजनों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट, संयोजन.

आइए पहले अवधारणा से परिचित हों कारख़ाने का.

1 से n तक की सभी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को कहते हैं एन-फैक्टोरियल और लिखा।

गणना करें: ए); बी) ; में) ।

फेसला। ए) ।

बी) साथ ही , तो आप इसे कोष्ठक से निकाल सकते हैं

तब हमें मिलता है

में) .

क्रमपरिवर्तन।

n तत्वों का वह संयोजन जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होता है, क्रमचय कहलाता है।

क्रमपरिवर्तन को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है पी न , जहां n प्रत्येक क्रमचय में तत्वों की संख्या है। ( आर- फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर परिवर्तन- क्रमपरिवर्तन)।

क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

या भाज्य के साथ:

आइए याद करते हैं कि 0!=1 और 1!=1.

उदाहरण 2. एक शेल्फ पर छह अलग-अलग पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

फेसला। तरीकों की वांछित संख्या 6 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।

आवास।

से प्लेसमेंट एममें तत्व एनप्रत्येक में, ऐसे यौगिकों को कहा जाता है जो एक दूसरे से या तो स्वयं तत्वों (कम से कम एक), या स्थान के क्रम से भिन्न होते हैं।

स्थानों को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जहां एमसभी उपलब्ध तत्वों की संख्या है, एनप्रत्येक संयोजन में तत्वों की संख्या है। ( लेकिन-फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर व्यवस्था, जिसका अर्थ है "नियुक्ति, क्रम में रखना")।

उसी समय, यह माना जाता है कि एनएम

प्लेसमेंट की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

,

वे। से सभी संभावित नियुक्तियों की संख्या एमतत्वों द्वारा एनउत्पाद के बराबर है एनक्रमागत पूर्णांक, जिनमें से बड़ा है एम.

हम इस सूत्र को भाज्य रूप में लिखते हैं:

उदाहरण 3. पांच आवेदकों के लिए विभिन्न प्रोफाइल के एक अस्पताल में तीन वाउचर के वितरण के लिए कितने विकल्प बनाए जा सकते हैं?

फेसला। विकल्पों की वांछित संख्या 5 तत्वों के 3 तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के बराबर है, अर्थात।

.

संयोजन।

संयोजन के सभी संभावित संयोजन हैं एमतत्वों द्वारा एन, जो एक दूसरे से कम से कम एक तत्व से भिन्न होते हैं (यहाँ एमऔर एन-प्राकृतिक संख्याएं, और एनएम).

से संयोजनों की संख्या एमतत्वों द्वारा एननिरूपित हैं ( साथ में- फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर संयोजन- संयोजन)।

सामान्य तौर पर, की संख्या एमतत्वों द्वारा एनसे नियुक्तियों की संख्या के बराबर एमतत्वों द्वारा एनसे क्रमपरिवर्तन की संख्या से विभाजित एनतत्व:

प्लेसमेंट और क्रमपरिवर्तन संख्याओं के लिए फ़ैक्टोरियल फ़ार्मुलों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4. 25 लोगों की एक टीम में, आपको एक निश्चित क्षेत्र में काम करने के लिए चार आवंटित करने की आवश्यकता है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

फेसला। चूंकि चुने हुए चार लोगों के आदेश से कोई फर्क नहीं पड़ता, इसलिए इसे तरीकों से किया जा सकता है।

हम पहले सूत्र द्वारा पाते हैं

.

इसके अलावा, समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है जो संयोजनों के मुख्य गुणों को व्यक्त करते हैं:

(परिभाषा के अनुसार, और माना जाता है);

.

1.2. संयोजक समस्याओं का समाधान

कार्य 1. संकाय में 16 विषयों का अध्ययन किया जाता है। सोमवार को आपको 3 विषयों को शेड्यूल में रखना है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

फेसला। 16 में से तीन आइटम शेड्यूल करने के उतने ही तरीके हैं जितने कि 3 में से प्रत्येक के 16 तत्वों के प्लेसमेंट हैं।

कार्य 2. 15 वस्तुओं में से 10 वस्तुओं का चयन किया जाना चाहिए। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

टास्क 3. प्रतियोगिता में चार टीमों ने भाग लिया। उनके बीच सीटों के बंटवारे के कितने विकल्प संभव हैं?

.

समस्या 4. यदि 80 सैनिक और 3 अधिकारी हों तो तीन सैनिकों और एक अधिकारी की गश्त कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

फेसला। गश्त पर सिपाही का चयन किया जा सकता है

तरीके, और अधिकारियों के तरीके। चूंकि कोई भी अधिकारी सैनिकों की प्रत्येक टीम के साथ जा सकता है, इसलिए एक ही रास्ता है।

टास्क 5. पता करें कि क्या यह ज्ञात है कि।

चूंकि, हम प्राप्त करते हैं

,

,

संयोजन की परिभाषा के अनुसार यह इस प्रकार है कि , . उस। .

1.3. एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा। घटना के प्रकार। घटना की संभावना

किसी भी क्रिया, घटना, कई अलग-अलग परिणामों के साथ अवलोकन, दी गई शर्तों के तहत महसूस किया जाएगा, कहा जाएगा परीक्षण।

इस क्रिया या अवलोकन के परिणाम को कहते हैं प्रतिस्पर्धा .

यदि दी गई परिस्थितियों में कोई घटना घटित हो सकती है या नहीं हो सकती है, तो उसे कहते हैं अनियमित . इस घटना में कि कोई घटना निश्चित रूप से घटित होनी चाहिए, इसे कहा जाता है भरोसेमंद , और उस स्थिति में जब यह निश्चित रूप से नहीं हो सकता, - असंभव.

घटनाओं को कहा जाता है असंगत यदि उनमें से केवल एक ही हर बार प्रकट हो सकता है।

घटनाओं को कहा जाता है संयुक्त यदि, दी गई शर्तों के तहत, इन घटनाओं में से एक की घटना उसी परीक्षण में दूसरे की घटना को बाहर नहीं करती है।

घटनाओं को कहा जाता है विलोम , यदि परीक्षण शर्तों के तहत वे, इसके एकमात्र परिणाम होने के कारण, असंगत हैं।

घटनाओं को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: ऐ बी सी डी, : .

घटनाओं की एक पूरी प्रणाली ए 1, ए 2, ए 3,:, ए एन असंगत घटनाओं का एक सेट है, जिनमें से कम से कम एक की घटना किसी दिए गए परीक्षण के लिए अनिवार्य है।

यदि एक पूर्ण प्रणाली में दो असंगत घटनाएं होती हैं, तो ऐसी घटनाओं को विपरीत कहा जाता है और ए और द्वारा निरूपित किया जाता है।

उदाहरण। एक बॉक्स में 30 नंबर वाली गेंदें हैं। निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, निश्चित, विपरीत:

एक क्रमांकित गेंद मिली (लेकिन);

एक सम संख्या वाली गेंद खींचना (पर);

एक विषम संख्या वाली गेंद खींची (साथ);

बिना नंबर की गेंद मिली (डी)।

उनमें से कौन एक पूरा समूह बनाता है?

फेसला . लेकिन- निश्चित घटना; डी- असंभव घटना;

में और साथ में- विपरीत घटनाएं।

घटनाओं का पूरा समूह है लेकिनऔर डी, वीऔर साथ में.

किसी घटना की प्रायिकता को एक यादृच्छिक घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप के रूप में माना जाता है।

1.4. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

संख्या, जो किसी घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप की अभिव्यक्ति है, कहलाती है संभावना यह घटना और प्रतीक द्वारा निरूपित की जाती है पी (ए)।

परिभाषा। किसी घटना की प्रायिकता लेकिनपरिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी दिए गए घटना की घटना के पक्ष में है लेकिन, संख्या के लिए एनसभी परिणाम (असंगत, अद्वितीय और समान रूप से संभव), अर्थात्। .

इसलिए, किसी घटना की संभावना का पता लगाने के लिए, परीक्षण के विभिन्न परिणामों पर विचार करने के बाद, सभी संभावित असंगत परिणामों की गणना करना आवश्यक है। एन,उन परिणामों की संख्या चुनें जिनकी हम m में रुचि रखते हैं और अनुपात की गणना करें एमको एन.

निम्नलिखित गुण इस परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

किसी भी परीक्षण की संभावना एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जो एक से अधिक नहीं है।

वास्तव में, वांछित घटनाओं की संख्या मी भीतर है। दोनों भागों को विभाजित करना एन, हम पाते हैं

2. एक निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है, क्योंकि .

3. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है क्योंकि .

समस्या 1. लॉटरी में 1000 टिकटों में से 200 विजेता हैं। एक टिकट यादृच्छया निकाला जाता है। इस टिकट के जीतने की क्या प्रायिकता है?

फेसला। विभिन्न परिणामों की कुल संख्या है एन=1000. जीतने के पक्ष में परिणामों की संख्या m=200 है। सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

.

टास्क 2। 18 भागों के एक बैच में, 4 दोषपूर्ण हैं। यादृच्छिक रूप से 5 टुकड़े चुने जाते हैं। इन 5 में से दो भागों के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला। सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्या एन 18 से 5 तक के संयोजनों की संख्या के बराबर है अर्थात

आइए घटना ए के लिए अनुकूल संख्या एम की गणना करें। यादृच्छिक रूप से लिए गए 5 भागों में से 3 गुणवत्ता और 2 दोषपूर्ण होने चाहिए। 4 उपलब्ध दोषपूर्ण भागों में से दो दोषपूर्ण भागों को चुनने के तरीकों की संख्या 4 से 2 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:

14 उपलब्ध गुणवत्ता भागों में से तीन गुणवत्ता भागों का चयन करने के तरीकों की संख्या बराबर है

.

गुणवत्ता भागों के किसी भी समूह को दोषपूर्ण भागों के किसी भी समूह के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए संयोजनों की कुल संख्या एमहै

घटना ए की वांछित संभावना सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्या n के लिए इस घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है:

.

घटनाओं की एक सीमित संख्या का योग एक घटना है जिसमें उनमें से कम से कम एक की घटना होती है।

दो घटनाओं के योग को प्रतीक A + B और योग द्वारा दर्शाया जाता है एनघटना प्रतीक A 1 +A 2 + : +A n ।

प्रायिकताओं के योग का प्रमेय।

दो असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

परिणाम 1. यदि घटना А 1, А 2 , : , n एक पूर्ण निकाय बनाती है, तो इन घटनाओं की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है।

कोरोलरी 2. विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग और एक के बराबर होता है।

.

समस्या 1. 100 लॉटरी टिकट हैं। यह ज्ञात है कि 5 टिकटों में 20,000 रूबल, 10 - 15,000 रूबल, 15 - 10,000 रूबल, 25 - 2,000 रूबल की जीत होती है। और बाकी के लिए कुछ नहीं। इस संभावना का पता लगाएं कि खरीदा गया टिकट कम से कम 10,000 रूबल जीतेगा।

फेसला। ए, बी, और सी को इस तथ्य से युक्त होने दें कि खरीदे गए टिकट पर 20,000, 15,000 और 10,000 रूबल के बराबर पुरस्कार मिलता है। चूँकि घटनाएँ A, B और C असंगत हैं, तो

टास्क 2। तकनीकी स्कूल के पत्राचार विभाग को शहरों से गणित में परीक्षण प्राप्त होते हैं ए, बीऔर साथ में. नगर से नियन्त्रण कार्य प्राप्त होने की सम्भावना लेकिन 0.6 के बराबर, शहर से पर- 0.1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला नियंत्रण कार्य शहर से आएगा साथ में.