लेख में हम पूरी तरह से समझेंगे कि यह कैसा दिखता है त्रिकोणमितीय मानों की तालिका, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट. आइए 0,30,45,60,90,...,360 डिग्री के कोण से त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल अर्थ पर विचार करें। और आइए देखें कि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना में इन तालिकाओं का उपयोग कैसे करें।
पहले देखते हैं कोज्या, ज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका 0, 30, 45, 60, 90,... डिग्री के कोण से। इन मात्राओं की परिभाषा हमें 0 और 90 डिग्री के कोणों के कार्यों का मान निर्धारित करने की अनुमति देती है:
पाप 0 0 =0, क्योंकि 0 0 = 1. टीजी 0 0 = 0, 0 0 से कोटैंजेंट अपरिभाषित होगा
पाप 90 0 = 1, क्योंकि 90 0 =0, सीटीजी90 0 = 0, 90 0 से स्पर्शरेखा अनिश्चित होगी
यदि आप समकोण त्रिभुज लें जिसका कोण 30 से 90 डिग्री तक हो। हम पाते हैं:
पाप 30 0 = 1/2, क्योंकि 30 0 = √3/2, तन 30 0 = √3/3, क्योंकि 30 0 = √3
पाप 45 0 = √2/2, क्योंकि 45 0 = √2/2, तन 45 0 = 1, क्योंकि 45 0 = 1
पाप 60 0 = √3/2, क्योंकि 60 0 = 1/2, टीजी 60 0 =√3, खाट 60 0 = √3/3
आइए सभी प्राप्त मूल्यों को प्रपत्र में प्रस्तुत करें त्रिकोणमितीय तालिका:
ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की तालिका!
यदि हम कटौती सूत्र का उपयोग करते हैं, तो हमारी तालिका 360 डिग्री तक के कोणों के लिए मान जोड़कर बढ़ जाएगी। यह इस तरह दिखेगा:
इसके अलावा, आवधिकता के गुणों के आधार पर, यदि हम कोणों को 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z से प्रतिस्थापित करते हैं, तो तालिका को बढ़ाया जा सकता है, जिसमें z एक पूर्णांक है। इस तालिका में एक ही वृत्त के बिंदुओं के अनुरूप सभी कोणों के मान की गणना करना संभव है।
आइए देखें कि समाधान में तालिका का उपयोग कैसे करें।
सब कुछ बहुत सरल है. चूँकि हमें जिस मूल्य की आवश्यकता है वह उन कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है जिनकी हमें आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, 60 डिग्री के कोण का कोस लें, तालिका में यह इस प्रकार दिखेगा:
त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों की अंतिम तालिका में हम उसी प्रकार आगे बढ़ते हैं। लेकिन इस तालिका में यह पता लगाना संभव है कि 1020 डिग्री के कोण से स्पर्शरेखा कितनी है, यह = -√3 आइए जांचें 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. आइए इसे तालिका का उपयोग करके खोजें।
अधिक खोज के लिए, मिनटों के लिए सटीक त्रिकोणमितीय कोण मानों का उपयोग किया जाता है। उनका उपयोग कैसे करें इस पर विस्तृत निर्देश पृष्ठ पर हैं।
ब्रैडिस टेबल. साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के लिए।
ब्रैडिस तालिकाओं को कई भागों में विभाजित किया गया है, जिसमें कोसाइन और साइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिकाएं शामिल हैं - जो दो भागों में विभाजित हैं (90 डिग्री तक के कोणों का टीजी और छोटे कोणों का सीटीजी)।
ज्या और कोज्या
कोण का tg 0 0 से प्रारंभ होकर 76 0 पर समाप्त होता है, कोण का ctg 14 0 से प्रारंभ होकर 90 0 पर समाप्त होता है।
90 0 तक टीजी और छोटे कोणों की सीटीजी।
आइए जानें कि समस्याओं को हल करने में ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग कैसे करें।
आइए पदनाम पाप खोजें (बाएं किनारे पर कॉलम में पदनाम) 42 मिनट (पदनाम शीर्ष पंक्ति पर है)। प्रतिच्छेदन द्वारा हम पदनाम की तलाश करते हैं, यह = 0.3040।
मिनट के मान छह मिनट के अंतराल के साथ दर्शाए जाते हैं, यदि हमें जिस मान की आवश्यकता है वह बिल्कुल इस अंतराल के भीतर आता है तो क्या करें। आइए 44 मिनट लें, लेकिन तालिका में केवल 42 हैं। हम 42 को आधार के रूप में लेते हैं और दाईं ओर अतिरिक्त कॉलम का उपयोग करते हैं, दूसरा संशोधन लेते हैं और 0.3040 + 0.0006 में जोड़ते हैं, हमें 0.3046 मिलता है।
पाप 47 मिनट के साथ, हम 48 मिनट को आधार के रूप में लेते हैं और इसमें से 1 सुधार घटाते हैं, यानी 0.3057 - 0.0003 = 0.3054
कॉस की गणना करते समय, हम पाप के समान ही काम करते हैं, केवल तालिका की निचली पंक्ति को आधार के रूप में लेते हैं। उदाहरण के लिए cos 20 0 = 0.9397
90 0 तक टीजी कोण और छोटे कोण के कोट का मान सही है और उनमें कोई सुधार नहीं है। उदाहरण के लिए, tg 78 0 37 मिनट = 4.967 ज्ञात कीजिए
और सीटीजी 20 0 13 मिनट = 25.83
खैर, हमने बुनियादी त्रिकोणमिति तालिकाओं को देखा है। हमें उम्मीद है कि यह जानकारी आपके लिए बेहद उपयोगी होगी। यदि आपके पास तालिकाओं के बारे में कोई प्रश्न हैं, तो उन्हें टिप्पणियों में अवश्य लिखें!
नोट: दीवार बंपर - दीवारों की सुरक्षा के लिए बंपर बोर्ड (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका
टिप्पणी. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मानों की यह तालिका वर्गमूल को दर्शाने के लिए √ चिह्न का उपयोग करती है। भिन्न को इंगित करने के लिए, प्रतीक "/" का उपयोग करें।
यह सभी देखेंउपयोगी सामग्री:
के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान निर्धारित करना, इसे त्रिकोणमितीय फलन को दर्शाने वाली रेखा के प्रतिच्छेदन पर खोजें। उदाहरण के लिए, साइन 30 डिग्री - हम शीर्षक साइन (साइन) के साथ कॉलम की तलाश करते हैं और पंक्ति "30 डिग्री" के साथ इस तालिका कॉलम के चौराहे को ढूंढते हैं, उनके चौराहे पर हम परिणाम पढ़ते हैं - एक आधा। इसी प्रकार हम पाते हैं कोज्या 60डिग्री, साइन 60डिग्री (एक बार फिर, पाप स्तंभ और 60 डिग्री रेखा के प्रतिच्छेदन पर हम मान पाप 60 = √3/2 पाते हैं), आदि। अन्य "लोकप्रिय" कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा का मान उसी तरह पाया जाता है।
साइन पाई, कोसाइन पाई, स्पर्शज्या पाई और रेडियन में अन्य कोण
कोज्या, ज्या और स्पर्शरेखा की नीचे दी गई तालिका त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करने के लिए भी उपयुक्त है जिसका तर्क है रेडियन में दिया गया है. ऐसा करने के लिए, कोण मानों के दूसरे कॉलम का उपयोग करें। इसके लिए धन्यवाद, आप लोकप्रिय कोणों के मान को डिग्री से रेडियन में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए पहली पंक्ति में 60 डिग्री का कोण ज्ञात करें और उसके नीचे रेडियन में इसका मान पढ़ें। 60 डिग्री π/3 रेडियन के बराबर है।
संख्या पाई स्पष्ट रूप से कोण की डिग्री माप पर परिधि की निर्भरता को व्यक्त करती है। इस प्रकार, पाई रेडियन 180 डिग्री के बराबर हैं।
पाई (रेडियन) के रूप में व्यक्त किसी भी संख्या को पाई (π) को 180 से प्रतिस्थापित करके आसानी से डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है.
उदाहरण:
1. साइन पाई.
पाप π = पाप 180 = 0
इस प्रकार, पाई की ज्या 180 डिग्री की ज्या के समान है और यह शून्य के बराबर है।
2. कोसाइन पाई.
कॉस π = कॉस 180 = -1
इस प्रकार, पाई की कोज्या 180 डिग्री की कोज्या के समान है और यह शून्य से एक के बराबर है।
3. स्पर्शरेखा पाई
टीजी π = टीजी 180 = 0
इस प्रकार, स्पर्शरेखा पाई 180 डिग्री की स्पर्शरेखा के समान है और यह शून्य के बराबर है।
0 - 360 डिग्री के कोणों के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा मानों की तालिका (सामान्य मान)
कोण α मान (डिग्री) |
कोण α मान (पीआई के माध्यम से) |
पाप (साइनस) |
ओल (कोसाइन) |
टीजी (स्पर्शरेखा) |
सीटीजी (कोटैंजेन्ट) |
सेकंड (सेकेंड) |
कोसेक (कोसेकेंट) |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
यदि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में फ़ंक्शन मान (स्पर्शरेखा (टीजी) 90 डिग्री, कोटैंजेंट (सीटीजी) 180 डिग्री) के बजाय एक डैश इंगित किया गया है, तो कोण की डिग्री माप के दिए गए मान के लिए फ़ंक्शन कोई विशिष्ट मूल्य नहीं है. यदि कोई डैश नहीं है, तो सेल खाली है, जिसका अर्थ है कि हमने अभी तक आवश्यक मान दर्ज नहीं किया है। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि उपयोगकर्ता हमारे पास किन प्रश्नों के लिए आते हैं और तालिका को नए मूल्यों के साथ पूरक करते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सबसे सामान्य कोण मूल्यों के कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा के मूल्यों पर वर्तमान डेटा अधिकांश को हल करने के लिए काफी पर्याप्त है। समस्या।
सबसे लोकप्रिय कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन पाप, कॉस, टीजी के मूल्यों की तालिका
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 डिग्री
(संख्यात्मक मान "ब्रैडिस तालिकाओं के अनुसार")
कोण α मान (डिग्री) | रेडियन में कोण α मान | पाप (साइन) | कॉस (कोसाइन) | टीजी (स्पर्शरेखा) | सीटीजी (कोटेंजेंट) |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | ||||
15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
45 |
0,7071 |
||||
0,7660 |
|||||
60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
7π/18 |
सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और अंतिम परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में सोचा जा सकता है, जिसका एक पक्ष सलाद का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा पक्ष पानी का प्रतिनिधित्व करता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट को इंगित करेगा। ऐसे "बोर्स्ट" आयत का विकर्ण और क्षेत्रफल पूरी तरह से गणितीय अवधारणाएं हैं और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी इसका उपयोग नहीं किया जाता है।
गणितीय दृष्टिकोण से सलाद और पानी बोर्स्ट में कैसे बदल जाते हैं? दो रेखाखंडों का योग त्रिकोणमिति कैसे बन सकता है? इसे समझने के लिए, हमें रैखिक कोणीय फलनों की आवश्यकता है।
आपको गणित की पाठ्यपुस्तकों में रैखिक कोणीय फलनों के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना कोई गणित नहीं हो सकता. गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, इस बात की परवाह किए बिना काम करते हैं कि हम उनके अस्तित्व के बारे में जानते हैं या नहीं।
रैखिक कोणीय फलन अतिरिक्त नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में बदल जाता है और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।
क्या रैखिक कोणीय फलनों के बिना ऐसा करना संभव है? यह संभव है, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना काम चला लेते हैं। गणितज्ञों की चाल यह है कि वे हमें हमेशा केवल उन्हीं समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल करना जानते हैं, और उन समस्याओं के बारे में कभी बात नहीं करते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। देखना। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को खोजने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। सभी। हम अन्य समस्याओं को नहीं जानते और हम नहीं जानते कि उन्हें कैसे हल किया जाए। यदि हम केवल जोड़ का परिणाम जानते हैं और दोनों पद नहीं जानते तो हमें क्या करना चाहिए? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। इसके बाद, हम स्वयं चुनते हैं कि एक पद क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्य दर्शाते हैं कि दूसरा पद क्या होना चाहिए ताकि जोड़ का परिणाम वही हो जो हमें चाहिए। ऐसे पदों के युग्मों की संख्या अनंत हो सकती है। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम बिना विघटित हुए ही ठीक-ठाक काम कर लेते हैं, घटाव ही हमारे लिए काफी है; लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अनुसंधान में, किसी योग को उसके घटकों में विघटित करना बहुत उपयोगी हो सकता है।
जोड़ का एक और नियम जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और तरकीब) के लिए आवश्यक है कि शब्दों की माप की इकाइयाँ समान हों। सलाद, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, आयतन, मूल्य या माप की इकाई हो सकते हैं।
यह आंकड़ा गणितीय के लिए अंतर के दो स्तर दिखाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जिसे दर्शाया गया है ए, बी, सी. गणितज्ञ यही करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जिसे वर्गाकार कोष्ठक में दर्शाया गया है और अक्षर द्वारा दर्शाया गया है यू. भौतिक विज्ञानी यही करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के क्षेत्र में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की संख्या समान हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, यह हम बोर्स्ट त्रिकोणमिति के उदाहरण में देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं के लिए एक ही इकाई पदनाम में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम सटीक रूप से कह सकते हैं कि कौन सी गणितीय मात्रा किसी विशेष वस्तु का वर्णन करती है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के कारण कैसे बदलती है। पत्र डब्ल्यूमैं पानी को एक अक्षर से नामित करूंगा एसमैं सलाद को एक पत्र के साथ नामित करूंगा बी- बोर्श। बोर्स्ट के लिए रैखिक कोणीय फ़ंक्शन इस तरह दिखेंगे।
यदि हम पानी का कुछ भाग और सलाद का कुछ भाग लें, तो वे मिलकर बोर्स्ट के एक भाग में बदल जायेंगे। यहां मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से थोड़ा ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना कैसे सिखाया गया था? यह पता लगाना ज़रूरी था कि वहाँ कितने जानवर होंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें माप की इकाइयों को संख्याओं से अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हां, किसी भी एक नंबर को किसी अन्य नंबर में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित होने का एक सीधा रास्ता है - हम इसे समझ से बाहर करते हैं, समझ से बाहर क्यों करते हैं, और बहुत खराब तरीके से समझते हैं कि यह वास्तविकता से कैसे संबंधित है, अंतर के तीन स्तरों के कारण, गणितज्ञ केवल एक के साथ काम करते हैं। यह सीखना अधिक सही होगा कि माप की एक इकाई से दूसरी इकाई में कैसे जाना है।
खरगोश, बत्तख और छोटे जानवरों को टुकड़ों में गिना जा सकता है। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बच्चों का संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए एक ऐसी ही समस्या पर नजर डालें। जब आप खरगोश और पैसे जोड़ते हैं तो आपको क्या मिलता है? यहां दो संभावित समाधान हैं.
पहला विकल्प. हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध धनराशि में जोड़ते हैं। हमें अपनी संपत्ति का कुल मूल्य मौद्रिक रूप में मिला।
दूसरा विकल्प. आप हमारे पास मौजूद बैंकनोटों की संख्या में खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। चल संपत्ति की रकम हमें टुकड़ों में मिलेगी।
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक ही जोड़ कानून आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।
लेकिन चलिए अपने बोर्स्ट पर वापस आते हैं। अब हम देख सकते हैं कि रैखिक कोणीय फलनों के विभिन्न कोण मानों के लिए क्या होगा।
कोण शून्य है. हमारे पास सलाद है, लेकिन पानी नहीं है। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। शून्य सलाद (समकोण) के साथ शून्य बोर्स्ट हो सकता है।
मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है कि। शून्य जोड़ने पर संख्या नहीं बदलती। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि यदि केवल एक पद है और दूसरा पद लुप्त है तो जोड़ स्वयं असंभव है। आप इसके बारे में अपनी इच्छानुसार महसूस कर सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय संक्रियाओं का आविष्कार स्वयं गणितज्ञों द्वारा किया गया था, इसलिए अपने तर्क को फेंक दें और गणितज्ञों द्वारा आविष्कृत परिभाषाओं को मूर्खतापूर्ण ढंग से रटें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "किसी भी संख्या को इससे गुणा किया जाए" शून्य शून्य के बराबर है”, “पंचर बिंदु शून्य से परे” और अन्य बकवास। एक बार यह याद रखना पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके मन में फिर कभी यह सवाल नहीं आएगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न सभी अर्थ खो देता है: जो चीज़ एक संख्या नहीं है उसे एक संख्या कैसे माना जा सकता है ? यह पूछने जैसा है कि किसी अदृश्य रंग को किस रंग के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना उस पेंट से पेंटिंग करने के समान है जो वहां नहीं है। हमने सूखा ब्रश लहराया और सभी को बताया कि "हमने पेंटिंग की है।" लेकिन मैं थोड़ा विषयांतर हो जाता हूं।
कोण शून्य से अधिक लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास ढेर सारा सलाद है, लेकिन पर्याप्त पानी नहीं है। परिणामस्वरूप, हमें गाढ़ा बोर्स्ट मिलेगा।
कोण पैंतालीस डिग्री है. हमारे पास पानी और सलाद बराबर मात्रा में हैं। यह एकदम सही बोर्स्ट है (मुझे क्षमा करें, रसोइये, यह सिर्फ गणित है)।
कोण पैंतालीस डिग्री से अधिक, लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास ढेर सारा पानी और थोड़ा सलाद है। आपको तरल बोर्स्ट मिलेगा।
समकोण। हमारे पास पानी है. सलाद के सभी अवशेष यादें हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण को मापना जारी रखते हैं जो एक बार सलाद को चिह्नित करती थी। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है. इस मामले में, रुकें और जब आपके पास पानी हो तो पी लें)))
यहाँ। कुछ इस तरह। मैं यहां अन्य कहानियां बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगी।
दो दोस्तों के पास एक साझा व्यवसाय में हिस्सेदारी थी। उनमें से एक को मारने के बाद सब कुछ दूसरे के पास चला गया।
हमारे ग्रह पर गणित का उद्भव।
ये सभी कहानियाँ रैखिक कोणीय फलनों का उपयोग करके गणित की भाषा में बताई गई हैं। फिर कभी मैं आपको गणित की संरचना में इन कार्यों का वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट त्रिकोणमिति पर लौटें और अनुमानों पर विचार करें।
शनिवार, 26 अक्टूबर 2019
बुधवार, 7 अगस्त 2019
के बारे में बातचीत समाप्त करते हुए, हमें एक अनंत समुच्चय पर विचार करने की आवश्यकता है। मुद्दा यह है कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों को उसी तरह प्रभावित करती है जैसे बोआ कंस्ट्रिक्टर एक खरगोश को प्रभावित करता है। अनंत की कांपती भयावहता गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित कर देती है। यहाँ एक उदाहरण है:
मूल स्रोत स्थित है. अल्फ़ा वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिह्न इंगित करता है कि यदि आप अनंत में कोई संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय को एक उदाहरण के रूप में लें, तो विचारित उदाहरणों को इस रूप में दर्शाया जा सकता है:
यह स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए कि वे सही थे, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों के साथ आए। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी तरीकों को तंबूरा के साथ नृत्य करने वाले ओझाओं के रूप में देखता हूं। अनिवार्य रूप से, वे सभी इस तथ्य पर आते हैं कि या तो कुछ कमरे खाली हैं और नए मेहमान अंदर आ रहे हैं, या कि कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया गया है (बहुत मानवीय तरीके से)। मैंने ऐसे निर्णयों पर अपना दृष्टिकोण सुनहरे बालों वाली एक काल्पनिक कहानी के रूप में प्रस्तुत किया। मेरा तर्क किस पर आधारित है? अनंत संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। जब हम किसी अतिथि के लिए पहला कमरा खाली कर देते हैं, तो आगंतुकों में से एक हमेशा समय के अंत तक अपने कमरे से अगले कमरे तक गलियारे के साथ चलता रहेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खतापूर्ण ढंग से नजरअंदाज किया जा सकता है, लेकिन यह "मूर्खों के लिए कोई कानून नहीं लिखा जाता" की श्रेणी में होगा। यह सब इस पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के अनुसार समायोजित करना या इसके विपरीत।
"अंतहीन होटल" क्या है? अनंत होटल एक ऐसा होटल है जिसमें हमेशा किसी भी संख्या में खाली बिस्तर होते हैं, चाहे कितने भी कमरे भरे हों। यदि अंतहीन "आगंतुक" गलियारे के सभी कमरे भरे हुए हैं, तो "अतिथि" कमरों वाला एक और अंतहीन गलियारा है। ऐसे गलियारों की संख्या अनंत होगी। इसके अलावा, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत संख्या में ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत संख्या में मंजिलें हैं। गणितज्ञ रोजमर्रा की सामान्य समस्याओं से खुद को दूर नहीं कर पा रहे हैं: हमेशा एक ही ईश्वर-अल्लाह-बुद्ध होता है, एक ही होटल होता है, एक ही गलियारा होता है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को जोड़ने की कोशिश कर रहे हैं, और हमें आश्वस्त कर रहे हैं कि "असंभव को आगे बढ़ाना" संभव है।
मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क प्रदर्शित करूंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देना होगा: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि संख्याओं का आविष्कार हमने स्वयं किया है, प्रकृति में संख्याओं का अस्तित्व नहीं है। हाँ, प्रकृति गिनती करने में माहिर है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जिनसे हम परिचित नहीं हैं। मैं आपको अगली बार बताऊंगा कि प्रकृति क्या सोचती है। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं। आइए दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि वास्तविक वैज्ञानिकों को करना चाहिए।
विकल्प एक. "हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक एकल सेट, जो शेल्फ पर शांति से रखा हुआ है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्या नहीं बची है और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक भी नहीं जोड़ सकते, क्योंकि यह हमारे पास पहले से ही मौजूद है। यदि आप वास्तव में चाहते हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम जो सेट पहले ही ले चुके हैं उसमें से एक ले सकते हैं और उसे शेल्फ में वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक ले सकते हैं और जो हमारे पास बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट प्राप्त होगा। आप हमारे सभी जोड़तोड़ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
मैंने सेट के तत्वों की विस्तृत सूची के साथ, बीजगणितीय नोटेशन और सेट सिद्धांत नोटेशन में क्रियाओं को लिखा। सबस्क्रिप्ट इंगित करती है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का केवल और केवल एक सेट है। इससे पता चलता है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटा दिया जाए और वही इकाई जोड़ दी जाए।
विकल्प दो. हमारे शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। आइए इनमें से एक सेट लें। फिर हम प्राकृतिक संख्याओं के दूसरे सेट से एक लेते हैं और इसे उस सेट में जोड़ते हैं जो हमने पहले ही ले लिया है। हम प्राकृतिक संख्याओं के दो सेट भी जोड़ सकते हैं। हमें यही मिलता है:
उपस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि आप एक अनंत सेट में एक और अनंत सेट जोड़ते हैं, तो परिणाम एक नया अनंत सेट होता है जिसमें पहले दो सेट के तत्व शामिल होते हैं।
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का उपयोग गिनती के लिए उसी प्रकार किया जाता है जैसे रूलर का उपयोग मापने के लिए किया जाता है। अब कल्पना करें कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ा है। यह एक अलग लाइन होगी, मूल लाइन के बराबर नहीं।
आप मेरे तर्क को मानें या न मानें - यह आपका अपना मामला है। लेकिन यदि आपको कभी गणितीय समस्याओं का सामना करना पड़े, तो विचार करें कि क्या आप गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा अपनाए गए झूठे तर्क के मार्ग का अनुसरण कर रहे हैं। आख़िरकार, गणित का अध्ययन, सबसे पहले, हमारे अंदर सोच की एक स्थिर रूढ़ि बनाता है, और उसके बाद ही हमारी मानसिक क्षमताओं में वृद्धि करता है (या, इसके विपरीत, हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करता है)।
pozg.ru
रविवार, 4 अगस्त 2019
मैं एक लेख की पोस्टस्क्रिप्ट समाप्त कर रहा था और विकिपीडिया पर यह अद्भुत पाठ देखा:
हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में समग्र चरित्र नहीं था और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान तकनीकों के एक सेट में सिमट गया था।"
बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियाँ कितनी अच्छी तरह देख पाते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी दृष्टिकोण से देखना हमारे लिए कठिन है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा व्याख्या करते हुए, मुझे व्यक्तिगत रूप से निम्नलिखित मिला:
आधुनिक गणित का समृद्ध सैद्धांतिक आधार समग्र नहीं है और एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के समूह में सिमट गया है।
मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए ज्यादा दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से भिन्न हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट गलतियों के लिए प्रकाशनों की एक पूरी श्रृंखला समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।
शनिवार, 3 अगस्त 2019
किसी समुच्चय को उपसमुच्चय में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। आइए एक उदाहरण देखें.
हमारे पास बहुत कुछ हो एचार लोगों से मिलकर बना है. यह समुच्चय "लोग" के आधार पर बना है आइए इस समुच्चय के तत्वों को अक्षर से निरूपित करें ए, एक संख्या वाली सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रम संख्या को इंगित करेगी। आइए माप की एक नई इकाई "लिंग" का परिचय दें और इसे अक्षर से निरूपित करें बी. चूँकि यौन विशेषताएँ सभी लोगों में अंतर्निहित होती हैं, इसलिए हम समुच्चय के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं एलिंग के आधार पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोगों" का समूह अब "लिंग विशेषताओं वाले लोगों" का समूह बन गया है। इसके बाद हम लैंगिक विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं का बी.डब्ल्यूयौन विशेषताएँ. अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इन यौन विशेषताओं में से एक का चयन करते हैं, चाहे कोई भी हो - पुरुष या महिला। यदि किसी व्यक्ति के पास यह है तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम नियमित स्कूली गणित का उपयोग करते हैं। देखो क्या हुआ.
गुणन, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुषों का उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक उपसमूह बउ. गणितज्ञ जब सेट सिद्धांत को व्यवहार में लागू करते हैं तो लगभग उसी तरह से तर्क करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण नहीं बताते हैं, लेकिन हमें अंतिम परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक उपसमूह और महिलाओं का एक उपसमूह होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: ऊपर उल्लिखित परिवर्तनों में गणित को कितनी सही ढंग से लागू किया गया है? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि अनिवार्य रूप से सब कुछ सही ढंग से किया गया था; अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित की अन्य शाखाओं के गणितीय आधार को जानना पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में फिर कभी बताऊंगा.
जहां तक सुपरसेट का सवाल है, आप इन दोनों सेटों के तत्वों में मौजूद माप की इकाई का चयन करके दो सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ सकते हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत का अवशेष बनाते हैं। सेट सिद्धांत के साथ सब कुछ ठीक नहीं होने का संकेत यह है कि गणितज्ञ सेट सिद्धांत के लिए अपनी भाषा और संकेतन लेकर आए हैं। गणितज्ञों ने एक बार जादूगरों की तरह काम किया था। केवल जादूगर ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। वे हमें यह "ज्ञान" सिखाते हैं।
अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं।
सोमवार, 7 जनवरी 2019
ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपना प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" एपोरिया है। यहाँ यह कैसा लगता है:
मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।
यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... चर्चाएँ आज भी जारी हैं; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना पाया है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे; ; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।
गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।
यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक आगामी खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलिस कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"
इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:
अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।
यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।
ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:
एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।
इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर किसी कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं जिस बात पर विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।
मैं आपको एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "मुँहासे में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और धनुष के बिना भी हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" का हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस प्रकार जादूगर अपने स्थापित सिद्धांत को वास्तविकता से जोड़कर अपना भोजन प्राप्त करते हैं।
अब एक छोटी सी ट्रिक करते हैं. आइए "एक धनुष के साथ एक दाना के साथ ठोस" लें और लाल तत्वों का चयन करते हुए, रंग के अनुसार इन "संपूर्ण" को मिलाएं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब अंतिम प्रश्न: क्या परिणामी सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट हैं या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका उत्तर केवल ओझा ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ भी नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही होगा।
यह सरल उदाहरण दिखाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक दाना और एक धनुष के साथ लाल ठोस" का एक सेट बनाया। माप की चार अलग-अलग इकाइयों में गठन हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (पिम्पली), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट ही हमें गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करने की अनुमति देता है. यह है जो ऐसा लग रहा है।
विभिन्न सूचकांकों वाला अक्षर "ए" माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। माप की इकाइयाँ जिनके द्वारा प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" को प्रतिष्ठित किया जाता है, कोष्ठक में हाइलाइट किया गया है। माप की वह इकाई जिससे सेट बनता है, कोष्ठक से हटा दिया जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम एक सेट बनाने के लिए माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, तंबूरा के साथ जादूगरों का नृत्य नहीं। शमां "सहज ज्ञान" से उसी परिणाम पर आ सकते हैं, यह तर्क देते हुए कि यह "स्पष्ट" है, क्योंकि माप की इकाइयाँ उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार का हिस्सा नहीं हैं।
माप की इकाइयों का उपयोग करके, एक सेट को विभाजित करना या कई सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।
साइन (पाप), कोसाइन (कॉस), स्पर्शरेखा (टीजी), कोटैंजेंट (सीटीजी) के मूल्यों की तालिकाएँ एक शक्तिशाली और उपयोगी उपकरण हैं जो सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों तरह की कई समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं। इस लेख में हम 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 डिग्री (0, π 6, π 3, π) के कोणों के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट) की एक तालिका प्रदान करेंगे। 2,... , 2 π रेडियन). साइन और कोसाइन, टैंगेंट और कोटैंजेंट के लिए अलग-अलग ब्रैडिस टेबल भी दिखाए जाएंगे, जिसमें यह बताया जाएगा कि बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को खोजने के लिए उनका उपयोग कैसे किया जाए।
कोण 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 डिग्री के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिका
साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के आधार पर, आप 0 और 90 डिग्री के कोणों के लिए इन कार्यों के मान पा सकते हैं
पाप 0 = 0, क्योंकि 0 = 1, टी जी 0 = 0, शून्य कोटैंजेंट परिभाषित नहीं है,
पाप 90° = 1, क्योंकि 90° = 0, सी टी जी 90° = 0, नब्बे डिग्री की स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है।
ज्यामिति पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान को एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके कोण 30, 60 और 90 डिग्री और 45, 45 और 90 डिग्री भी हैं।
एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करना
साइनस- विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात।
कोज्या- आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात।
स्पर्शरेखा- विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात।
कोटैंजेंट- आसन्न भुजा का विपरीत भुजा से अनुपात।
परिभाषाओं के अनुसार, कार्यों के मान पाए जाते हैं:
पाप 30 ° = 1 2, कॉस 30 ° = 3 2, टीजी 30 ° = 3 3, सी टीजी 30 ° = 3, पाप 45 ° = 2 2, कॉस 45 ° = 2 2, टीजी 45 डिग्री = 1, सी टीजी 45 डिग्री = 1, पाप 60° = 3 2, क्योंकि 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3।
आइए इन मानों को एक तालिका में रखें और इसे साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल मूल्यों की एक तालिका कहें।
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
पाप α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
क्योंकि α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
टी जी α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | अपरिभाषित |
सी टी जी α | अपरिभाषित | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
त्रिकोणमितीय फलनों का एक महत्वपूर्ण गुण आवधिकता है। इस गुण के आधार पर, इस तालिका को कमी सूत्रों का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है। नीचे हम कोण 0, 30, 60, ..., 120, 135, 150, 180, ..., 360 डिग्री (0, π 6, π 3) के लिए मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की एक विस्तारित तालिका प्रस्तुत करते हैं। , π 2, ... , 2 π रेडियन)।
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
पाप α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
क्योंकि α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
टी जी α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
सी टी जी α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की आवधिकता आपको इस तालिका को मनमाने ढंग से बड़े कोण मानों तक विस्तारित करने की अनुमति देती है। तालिका में एकत्रित मानों का उपयोग समस्याओं को हल करते समय सबसे अधिक बार किया जाता है, इसलिए उन्हें याद रखने की अनुशंसा की जाती है।
त्रिकोणमितीय फलनों के मूल मानों की तालिका का उपयोग कैसे करें
साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की तालिका का उपयोग करने का सिद्धांत सहज स्तर पर स्पष्ट है। एक पंक्ति और एक स्तंभ का प्रतिच्छेदन एक विशेष कोण के लिए फ़ंक्शन का मान देता है।
उदाहरण। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका का उपयोग कैसे करें
हमें यह पता लगाना होगा कि पाप 7 π 6 किसके बराबर है
हमें तालिका में एक कॉलम मिलता है जिसका अंतिम सेल मान 7 π 6 रेडियन है - 210 डिग्री के बराबर। फिर हम तालिका के उस पद का चयन करते हैं जिसमें ज्या का मान प्रस्तुत किया जाता है। पंक्ति और स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर हमें वांछित मान मिलता है:
पाप 7 π 6 = - 1 2
ब्रैडिस टेबल
ब्रैडिस तालिका आपको कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के उपयोग के बिना 4 दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के मान की गणना करने की अनुमति देती है। यह इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का एक प्रकार का प्रतिस्थापन है।
संदर्भ
व्लादिमीर मोडेस्टोविच ब्रैडिस (1890 - 1975) - सोवियत गणितज्ञ-शिक्षक, 1954 से यूएसएसआर के शैक्षणिक विज्ञान अकादमी के संबंधित सदस्य। ब्रैडिस द्वारा विकसित चार अंकों के लघुगणक और प्राकृतिक त्रिकोणमितीय मात्राओं की तालिकाएँ पहली बार 1921 में प्रकाशित हुईं।
सबसे पहले, हम साइन और कोसाइन के लिए ब्रैडिस तालिका प्रस्तुत करते हैं। यह आपको डिग्री और मिनटों की पूर्णांक संख्या वाले कोणों के लिए इन कार्यों के अनुमानित मूल्यों की काफी सटीक गणना करने की अनुमति देता है। तालिका का सबसे बायां कॉलम डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है, और शीर्ष पंक्ति मिनटों का प्रतिनिधित्व करती है। ध्यान दें कि ब्रैडिस तालिका के सभी कोण मान छह मिनट के गुणज हैं।
साइन और कोसाइन के लिए ब्रैडिस तालिका
पाप | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ओल | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
पाप | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ओल | 1" | 2" | 3" |
तालिका में प्रस्तुत न किए गए कोणों की ज्या और कोज्या का मान ज्ञात करने के लिए सुधारों का उपयोग करना आवश्यक है।
अब हम स्पर्शरेखाओं और कोटैंजेंटों के लिए ब्रैडिस तालिका प्रस्तुत करते हैं। इसमें 0 से 76 डिग्री तक के कोणों की स्पर्शरेखा और 14 से 90 डिग्री तक के कोणों की स्पर्शरेखा का मान होता है।
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए ब्रैडिस तालिका
टीजी | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | सीटीजी | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
टीजी | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | सीटीजी | 1" | 2" | 3" |
ब्रैडिस टेबल का उपयोग कैसे करें
साइन और कोसाइन के लिए ब्रैडिस तालिका पर विचार करें। साइनस से जुड़ी हर चीज़ ऊपर और बाईं ओर है। यदि हमें कोसाइन की आवश्यकता है, तो तालिका के नीचे दाईं ओर देखें।
किसी कोण की ज्या का मान ज्ञात करने के लिए, आपको सबसे बाईं सेल में आवश्यक संख्या में डिग्री वाली पंक्ति का प्रतिच्छेदन और शीर्ष सेल में आवश्यक संख्या में मिनटों वाले कॉलम का पता लगाना होगा।
यदि सटीक कोण मान ब्रैडिस तालिका में नहीं है, तो हम सुधार का सहारा लेते हैं। एक, दो और तीन मिनट के सुधार तालिका के सबसे दाएँ कॉलम में दिए गए हैं। किसी ऐसे कोण की ज्या का मान ज्ञात करने के लिए जो तालिका में नहीं है, हम उसके निकटतम मान ज्ञात करते हैं। इसके बाद हम कोणों के बीच के अंतर के अनुरूप सुधार जोड़ते या घटाते हैं।
यदि हम 90 डिग्री से अधिक के कोण की ज्या की तलाश कर रहे हैं, तो हमें पहले कमी सूत्रों का उपयोग करना होगा, और उसके बाद ही ब्रैडिस तालिका का उपयोग करना होगा।
उदाहरण। ब्रैडिस टेबल का उपयोग कैसे करें
मान लीजिए कि हमें 17°44'' कोण की ज्या ज्ञात करनी है। तालिका का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि 17°42'' की ज्या किसके बराबर है और इसके मान में दो मिनट का सुधार जोड़ें:
17°44" - 17°42" = 2" (आवश्यक सुधार) पाप 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ काम करने का सिद्धांत समान है। हालाँकि, संशोधनों के संकेत को याद रखना महत्वपूर्ण है।
महत्वपूर्ण!
ज्या के मानों की गणना करते समय, सुधार में एक सकारात्मक चिह्न होता है, और कोज्या की गणना करते समय, सुधार को एक नकारात्मक चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।
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