और सेवलीवा।

किसी पिंड की आगे की गति के दौरान (ई. एम. निकितिन द्वारा पाठ्यपुस्तक में § 60), इसके सभी बिंदु समान प्रक्षेप पथ के साथ चलते हैं और प्रत्येक दिए गए क्षण में उनकी समान गति और समान त्वरण होता है।

इसलिए, किसी पिंड की अनुवादात्मक गति किसी एक बिंदु की गति, आमतौर पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गति से निर्धारित होती है।

किसी भी समस्या में कार (समस्या 147) या डीजल लोकोमोटिव (समस्या 141) की गति पर विचार करते समय, हम वास्तव में उनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की गति पर विचार करते हैं।

किसी पिंड की घूर्णी गति (ई.एम. निकितिन, § 61) को उसके किसी एक बिंदु की गति से नहीं पहचाना जा सकता है। गति के दौरान किसी भी घूमने वाले पिंड (डीजल फ्लाईव्हील, इलेक्ट्रिक मोटर रोटर, मशीन स्पिंडल, पंखे के ब्लेड, आदि) की धुरी आसपास के स्थिर पिंडों के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक ही स्थान पर रहती है।

किसी भौतिक बिंदु की गति या आगे बढ़नासमय के आधार पर शरीरों की विशेषता बताई जाती है रैखिक मात्राएँ s (पथ, दूरी), v (गति) और a (त्वरण) इसके घटकों a t और a n के साथ।

घूर्णी गतिसमय के आधार पर शरीर की विशेषताएँ बताई जाती हैं कोणीय मान: φ (रोटेशन का कोण रेडियन में), ω (कोणीय वेग रेडियन/सेकंड में) और ε (कोणीय त्वरण रेडियन/सेकंड 2 में)।

किसी पिंड की घूर्णी गति का नियम समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है
φ = एफ(टी).

कोणीय वेग- किसी पिंड के घूर्णन की गति को दर्शाने वाली मात्रा को सामान्य स्थिति में समय के संबंध में घूर्णन के कोण के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जाता है
ω = dφ/dt = f" (t).

कोणीय त्वरण- कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को दर्शाने वाली मात्रा को कोणीय वेग के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है
ε = dω/dt = f"" (t).

किसी पिंड की घूर्णी गति पर समस्याओं को हल करना शुरू करते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि तकनीकी गणना और समस्याओं में, एक नियम के रूप में, कोणीय विस्थापन रेडियन φ में नहीं, बल्कि क्रांतियों φ में व्यक्त किया जाता है।

इसलिए, क्रांतियों की संख्या से कोणीय विस्थापन के रेडियन माप तक जाने में सक्षम होना आवश्यक है और इसके विपरीत।

चूँकि एक पूर्ण क्रांति 2π रेड से मेल खाती है
φ = 2πφ के बारे में और φ के बारे में = φ/(2π).

तकनीकी गणना में कोणीय गति को अक्सर प्रति मिनट उत्पन्न क्रांतियों (आरपीएम) में मापा जाता है, इसलिए यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि ω रेड/सेकंड और एन आरपीएम एक ही अवधारणा को व्यक्त करते हैं - किसी पिंड के घूमने की गति (कोणीय गति), लेकिन विभिन्न इकाइयों में - रेड/सेकंड में या आरपीएम में।

कोणीय वेग की एक इकाई से दूसरी इकाई में संक्रमण सूत्रों के अनुसार किया जाता है
ω = πn/30 और n = 30ω/π.

किसी पिंड की घूर्णी गति के दौरान, उसके सभी बिंदु वृत्तों में घूमते हैं, जिनके केंद्र एक निश्चित सीधी रेखा (घूर्णन पिंड की धुरी) पर स्थित होते हैं। इस अध्याय में दी गई समस्याओं को हल करते समय, कोणीय मात्राओं φ, ω और ε के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से समझना बहुत महत्वपूर्ण है, जो शरीर की घूर्णी गति की विशेषता है, और रैखिक मात्रा s, v, a t और an, विशेषता है। इस शरीर के विभिन्न बिंदुओं की गति (चित्र 205)।

यदि R किसी घूमते हुए पिंड के ज्यामितीय अक्ष से किसी बिंदु A (चित्र 205 R = OA) की दूरी है, तो φ - पिंड के घूर्णन का कोण और s - के एक बिंदु द्वारा तय की गई दूरी के बीच संबंध है उसी समय के दौरान शरीर को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
एस = φआर.

प्रत्येक दिए गए क्षण में किसी पिंड के कोणीय वेग और एक बिंदु के वेग के बीच संबंध समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है
वी = ωआर.

किसी बिंदु का स्पर्शरेखा त्वरण कोणीय त्वरण पर निर्भर करता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
ए टी = εR.

किसी बिंदु का सामान्य त्वरण पिंड के कोणीय वेग पर निर्भर करता है और संबंध द्वारा निर्धारित होता है
ए एन = ω 2 आर.

इस अध्याय में दी गई समस्या को हल करते समय यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि घूर्णन एक कठोर पिंड की गति है, किसी बिंदु की नहीं। एक भी भौतिक बिंदु घूमता नहीं है, बल्कि एक वृत्त में घूमता है - यह एक वक्रीय गति करता है।

§ 33. एकसमान घूर्णी गति

यदि कोणीय वेग ω=const है, तो घूर्णी गति को एकसमान गति कहा जाता है।

एकसमान घूर्णन समीकरण का रूप है
φ = φ 0 + ωt.

विशेष मामले में जब घूर्णन का प्रारंभिक कोण φ 0 =0,
φ = ωt.

एक समान रूप से घूमने वाले पिंड का कोणीय वेग
ω = φ/t
इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
ω = 2π/टी,
जहां टी शरीर के घूमने की अवधि है; φ=2π - एक अवधि के लिए घूर्णन का कोण।

§ 34. समान रूप से वैकल्पिक घूर्णी गति

परिवर्तनशील कोणीय वेग के साथ घूर्णी गति को असमान कहा जाता है (नीचे § 35 देखें)। यदि कोणीय त्वरण ε=स्थिरांक हो, तो घूर्णन गति कहलाती है समान रूप से परिवर्तनशील. इस प्रकार, किसी पिंड का एकसमान घूमना गैर-समान घूर्णी गति का एक विशेष मामला है।

एकसमान घूर्णन का समीकरण
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2/2
और किसी भी समय किसी पिंड के कोणीय वेग को व्यक्त करने वाला समीकरण,
(2) ω = ω 0 + εt
किसी पिंड की घूर्णी एकसमान गति के लिए बुनियादी सूत्रों के एक सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इन सूत्रों में केवल छह मात्राएँ शामिल हैं: किसी दी गई समस्या के लिए तीन स्थिरांक φ 0, ω 0 और ε और तीन चर φ, ω और t। नतीजतन, एक समान रोटेशन के लिए प्रत्येक समस्या की स्थिति में कम से कम चार निर्दिष्ट मात्राएँ होनी चाहिए।

कुछ समस्याओं को हल करने की सुविधा के लिए समीकरण (1) और (2) से दो और सहायक सूत्र प्राप्त किये जा सकते हैं।

आइए हम (1) और (2) से कोणीय त्वरण ε को बाहर करें:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

आइए हम समय t को (1) और (2) से हटा दें:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

आराम की स्थिति से शुरू होने वाले समान रूप से त्वरित घूर्णन के विशेष मामले में, φ 0 = 0 और ω 0 = 0। इसलिए, उपरोक्त मूल और सहायक सूत्र निम्नलिखित रूप लेते हैं:
(5) φ = εt 2/2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. असमान घूर्णी गति

आइए एक समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें किसी पिंड की गैर-समान घूर्णी गति निर्दिष्ट है।

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड की घूर्णी गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर से संबंधित कोई भी दो बिंदु (या हमेशा इसके साथ जुड़े हुए) पूरी गति के दौरान गतिहीन रहते हैं।(चित्र 2.2) .

चित्र 2.2

निश्चित बिंदुओं से गुजरना एऔर मेंसीधी रेखा कहलाती है अक्ष।चूँकि एक कठोर पिंड के बिंदुओं के बीच की दूरी अपरिवर्तित रहनी चाहिए, यह स्पष्ट है कि घूर्णी गति के दौरान अक्ष से संबंधित सभी बिंदु गतिहीन होंगे, और अन्य सभी वृत्तों का वर्णन करेंगे, जिनके विमान घूर्णन की धुरी के लंबवत हैं, और केंद्र इसी अक्ष पर स्थित हैं। एक घूमते हुए पिंड की स्थिति निर्धारित करने के लिए, हम घूर्णन की धुरी के माध्यम से खींचते हैं जिसके साथ धुरी निर्देशित होती है अज़, आधा समतल І - स्थिर और अर्ध-तल ІІ शरीर में ही समाहित है और उसके साथ घूम रहा है। फिर समय के किसी भी क्षण में पिंड की स्थिति विशिष्ट रूप से संबंधित चिह्न के साथ लिए गए कोण द्वारा निर्धारित की जाती है φ इन तलों के बीच, जिन्हें हम कहते हैं शरीर के घूमने का कोण.हम कोण पर विचार करेंगे φ सकारात्मक अगर इसमें देरी हो रही है एक निश्चित तल से वामावर्त दिशा में (अक्ष के सकारात्मक छोर से देखने वाले पर्यवेक्षक के लिए)। अज़), और नकारात्मक यदि दक्षिणावर्त। कोण मापें φ हम रेडियंस में होंगे. किसी भी समय किसी पिंड की स्थिति जानने के लिए, आपको कोण की निर्भरता जानने की आवश्यकता है φ समय से टी, अर्थात।

.

यह समीकरण व्यक्त करता है एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड की घूर्णी गति का नियम।

किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति की मुख्य गतिक विशेषताएँ उसका कोणीय वेग हैं ω और कोणीय त्वरण ε.

9.2.1. किसी पिंड का कोणीय वेग और कोणीय त्वरण

समय के साथ घूर्णन कोण φ में परिवर्तन की दर को दर्शाने वाली मात्रा को कोणीय वेग कहा जाता है।

यदि किसी समयावधि के दौरान
शरीर एक कोण से घूमता है
, तो इस अवधि के दौरान शरीर का संख्यात्मक रूप से औसत कोणीय वेग होगा
. पर सीमा में
हम पाते हैं

इस प्रकार, किसी निश्चित समय पर किसी पिंड के कोणीय वेग का संख्यात्मक मान समय के संबंध में घूर्णन कोण के पहले व्युत्पन्न के बराबर होता है।

संकेत नियम: जब घूर्णन वामावर्त होता है, ω> 0, और जब दक्षिणावर्त, तब ω< 0.

या, चूँकि रेडियन एक आयामहीन मात्रा है,
.

सैद्धांतिक गणना में कोणीय वेग वेक्टर का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है , जिसका मापांक बराबर है और जो शरीर के घूर्णन की धुरी के साथ उस दिशा में निर्देशित होता है जहां से घूर्णन वामावर्त दिखाई देता है। यह वेक्टर तुरंत कोणीय वेग का परिमाण, घूर्णन की धुरी और इस अक्ष के चारों ओर घूमने की दिशा निर्धारित करता है।

वह मात्रा जो समय के साथ कोणीय वेग में परिवर्तन की दर को दर्शाती है, पिंड का कोणीय त्वरण कहलाती है।

यदि किसी समयावधि के दौरान
कोणीय वेग में वृद्धि बराबर है
, फिर संबंध
, अर्थात। समय के साथ घूमते हुए पिंड के औसत त्वरण का मान निर्धारित करता है
.

प्रयास करते समय
हमें इस समय कोणीय त्वरण का परिमाण प्राप्त होता है टी:

इस प्रकार, किसी निश्चित समय में किसी पिंड के कोणीय त्वरण का संख्यात्मक मान कोणीय वेग के पहले व्युत्पन्न या समय में पिंड के घूर्णन कोण के दूसरे व्युत्पन्न के बराबर होता है।

माप की इकाई का आमतौर पर उपयोग किया जाता है या, जो भी है,
.

यदि कोणीय वेग का मापांक समय के साथ बढ़ता है, तो पिंड का घूर्णन कहलाता है ACCELERATED, और यदि यह घट जाए, - धीमाजब मान ω और ε समान चिह्न हों, तो घूर्णन तेज हो जाएगा, जब वे भिन्न होंगे, तो गति धीमी हो जाएगी। कोणीय वेग के अनुरूप, कोणीय त्वरण को एक वेक्टर के रूप में भी दर्शाया जा सकता है , घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित। जिसमें

.

यदि कोई पिंड त्वरित दिशा में घूमता है के साथ मेल खाता है , और विपरीत धीमी गति से घूमने के साथ.

यदि गति के दौरान किसी पिंड का कोणीय वेग स्थिर रहता है ( ω= कॉन्स्ट), तो शरीर का घूमना कहलाता है वर्दी.

से
हमारे पास है
. इसलिए, समय के प्रारंभिक क्षण में उस पर विचार करना
कोना
, और इंटीग्रल्स को बाईं ओर ले जाना पहले , और दाहिनी ओर 0 से टी, हम अंततः प्राप्त कर लेंगे

.

एकसमान घूर्णन के साथ, जब =0,
और
.

एकसमान घूर्णन की गति अक्सर प्रति मिनट क्रांतियों की संख्या से निर्धारित होती है, जो इस मान को दर्शाती है एन आरपीएम आइए इनके बीच संबंध खोजें एन आरपीएम और ω 1/एस. एक क्रांति के साथ शरीर 2π, और साथ घूमेगा एन 2π पर आरपीएम एन; यह मोड़ 1 मिनट में पूरा हो जाता है, यानी। टी= 1 मिनट = 60 सेकंड। यह इस प्रकार है कि

.

यदि किसी पिंड का कोणीय त्वरण उसकी गति के दौरान स्थिर रहता है (ε = कॉन्स्ट), तो रोटेशन कहा जाता है समान रूप से परिवर्तनशील.

समय के आरंभिक क्षण में टी=0 कोण
, और कोणीय वेग
(- प्रारंभिक कोणीय वेग)।
;
=ε
. के बाईं ओर का एकीकरण पहले , और 0 से दायां वाला टी, हम ढूंढ लेंगे

इस घूर्णन का कोणीय वेग ω
. यदि ω और ε के चिह्न समान हों, तो घूर्णन होगा समान रूप से त्वरित, और यदि भिन्न हो - उतना ही धीमा.

किसी कठोर पिंड की गति को घूर्णी कहा जाता है, यदि गति के दौरान, एक निश्चित सीधी रेखा पर स्थित पिंड के सभी बिंदु, जिसे घूर्णन की धुरी कहा जाता है, गतिहीन रहते हैं(चित्र 2.15)।

घूर्णी गति के दौरान शरीर की स्थिति आमतौर पर निर्धारित की जाती है वर्तन कोणशरीर , जिसे घूर्णन अक्ष से गुजरने वाले स्थिर और गतिमान विमानों के बीच डायहेड्रल कोण के रूप में मापा जाता है। इसके अलावा, गतिशील विमान एक घूमते हुए पिंड से जुड़ा होता है।

आइए हम गतिमान और स्थिर समन्वय प्रणालियों पर विचार करें, जिनका मूल घूर्णन अक्ष पर एक मनमाना बिंदु O पर रखा जाएगा। गतिमान और स्थिर समन्वय प्रणालियों के लिए सामान्य ओज़ अक्ष, घूर्णन अक्ष, अक्ष के साथ निर्देशित किया जाएगा ओहनिश्चित समन्वय प्रणाली में, हम इसे ओज़ अक्ष के लंबवत निर्देशित करते हैं ताकि यह निश्चित विमान, अक्ष में स्थित हो ओह 1आइए गतिमान समन्वय प्रणाली को ओज़ अक्ष के लंबवत निर्देशित करें ताकि यह गतिमान तल में स्थित हो (चित्र 2.15)।

यदि हम घूर्णन अक्ष के लंबवत समतल द्वारा किसी पिंड के एक खंड पर विचार करते हैं, तो घूर्णन का कोण φ इसे निश्चित अक्ष के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ओहऔर गतिशील अक्ष ओह 1, हमेशा एक घूमते हुए पिंड से जुड़ा होता है (चित्र 2.16)।

पिंड के घूर्णन कोण के संदर्भ की दिशा स्वीकार की जाती है φ ओज़ अक्ष की सकारात्मक दिशा से देखने पर वामावर्त को सकारात्मक माना जाता है।

समानता φ = φ(टी), कोण में परिवर्तन का वर्णन φ समय को किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति का नियम या समीकरण कहा जाता है।

किसी कठोर पिंड के घूर्णन कोण में परिवर्तन की गति और दिशा की विशेषता होती है कोणीय गति.कोणीय वेग का निरपेक्ष मान आमतौर पर ग्रीक वर्णमाला के एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है ω (ओमेगा)। कोणीय वेग का बीजगणितीय मान आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। कोणीय वेग का बीजगणितीय मान घूर्णन कोण के समय के संबंध में पहले व्युत्पन्न के बराबर है:

. (2.33)

कोणीय वेग की इकाइयाँ समय की इकाई से विभाजित कोण की इकाइयों के बराबर होती हैं, उदाहरण के लिए, डिग्री/मिनट, रेड/घंटा। एसआई प्रणाली में, कोणीय वेग के माप की इकाई रेड/एस है, लेकिन अक्सर माप की इस इकाई का नाम 1/एस के रूप में लिखा जाता है।

यदि > 0 है, तो घूर्णन अक्ष के साथ संरेखित समन्वय अक्ष के अंत से देखने पर शरीर वामावर्त घूमता है।

अगर< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

कोणीय वेग में परिवर्तन की गति और दिशा को कोणीय त्वरण द्वारा दर्शाया जाता है। कोणीय त्वरण का निरपेक्ष मान आमतौर पर ग्रीक वर्णमाला के अक्षर ई (एप्सिलॉन) द्वारा दर्शाया जाता है। कोणीय त्वरण का बीजगणितीय मान आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। कोणीय त्वरण का बीजगणितीय मान कोणीय वेग के बीजगणितीय मान के समय के संबंध में पहले व्युत्पन्न या घूर्णन के कोण के दूसरे व्युत्पन्न के बराबर है:

कोणीय त्वरण की इकाइयाँ कोण की इकाइयों को समय वर्ग की इकाई से विभाजित करने के बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, डिग्री/एस 2, रेड/एच 2। एसआई प्रणाली में, कोणीय त्वरण के लिए माप की इकाई रेड/एस 2 है, लेकिन अक्सर माप की इस इकाई का नाम 1/एस 2 के रूप में लिखा जाता है।

यदि कोणीय वेग और कोणीय त्वरण के बीजीय मानों का चिह्न समान हो, तो समय के साथ कोणीय वेग का परिमाण बढ़ता है, और यदि यह भिन्न हो, तो घट जाता है।

यदि कोणीय वेग स्थिर है ( ω = स्थिरांक), तो यह कहने की प्रथा है कि शरीर का घूमना एक समान है। इस मामले में:

φ = टी + φ 0, (2.35)

कहाँ φ 0 - प्रारंभिक घूर्णन कोण.

यदि कोणीय त्वरण स्थिर (e = const) है, तो यह कहने की प्रथा है कि शरीर का घूर्णन समान रूप से त्वरित (समान रूप से धीमा) है। इस मामले में:

कहाँ 0 - प्रारंभिक कोणीय वेग.

अन्य मामलों में, निर्भरता निर्धारित करने के लिए φ से और दी गई प्रारंभिक शर्तों के तहत अभिव्यक्तियों (2.33), (2.34) को एकीकृत करना आवश्यक है।

चित्रों में, किसी पिंड के घूमने की दिशा को कभी-कभी एक घुमावदार तीर से दिखाया जाता है (चित्र 2.17)।

यांत्रिकी में अक्सर कोणीय वेग और कोणीय त्वरण को सदिश राशियाँ माना जाता है और . ये दोनों वैक्टर शरीर के घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित हैं। इसके अलावा, वेक्टर यूनिट वेक्टर के साथ एक दिशा में निर्देशित, जो रोटेशन की धुरी के साथ मेल खाने वाले समन्वय अक्ष की दिशा निर्धारित करता है, यदि >0, और इसके विपरीत यदि
वेक्टर की दिशा उसी तरह चुनी जाती है (चित्र 2.18)।

किसी पिंड की घूर्णी गति के दौरान, इसका प्रत्येक बिंदु (रोटेशन की धुरी पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर) एक प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है, जो बिंदु से रोटेशन की धुरी तक की सबसे छोटी दूरी के बराबर त्रिज्या वाला एक वृत्त है (चित्र) .2.19).

चूँकि किसी भी बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा त्रिज्या के साथ 90° का कोण बनाती है, घूर्णी गति से गुजर रहे पिंड के एक बिंदु का वेग वेक्टर त्रिज्या के लंबवत निर्देशित होगा और वृत्त के तल में स्थित होगा, जो कि है बिंदु की गति का प्रक्षेप पथ. त्वरण का स्पर्शरेखीय घटक गति के समान रेखा पर होगा, और सामान्य घटक रेडियल रूप से वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होगा। इसलिए, कभी-कभी घूर्णी गति के दौरान त्वरण के स्पर्शरेखा और सामान्य घटकों को क्रमशः कहा जाता है घूर्णी और केन्द्राभिमुख (अक्षीय)घटक (चित्र 2.19)

किसी बिंदु की गति का बीजगणितीय मान अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

, (2.37)

जहाँ R = OM बिंदु से घूर्णन अक्ष की न्यूनतम दूरी है।

त्वरण के स्पर्शरेखा घटक का बीजगणितीय मान अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

. (2.38)

त्वरण के सामान्य घटक का मापांक अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

. (2.39)

घूर्णी गति के दौरान एक बिंदु का त्वरण वेक्टर स्पर्शरेखा और सामान्य घटकों के ज्यामितीय योग के रूप में समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है। तदनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्वरण मापांक निर्धारित किया जा सकता है:

यदि कोणीय वेग और कोणीय त्वरण को सदिश मात्राओं के रूप में परिभाषित किया गया है , , तब त्वरण के वेग, स्पर्शरेखीय और सामान्य घटकों के सदिश सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जा सकते हैं:

घूर्णन अक्ष पर एक मनमाना बिंदु से बिंदु M तक खींचा गया त्रिज्या वेक्टर कहां है (चित्र 2.20)।

एक पिंड की घूर्णी गति से जुड़ी समस्याओं को हल करने में आमतौर पर कोई कठिनाई नहीं होती है। सूत्र (2.33)-(2.40) का उपयोग करके, आप किसी भी अज्ञात पैरामीटर को आसानी से निर्धारित कर सकते हैं।

घूर्णी और अनुवादात्मक गति दोनों करने वाले कई परस्पर जुड़े निकायों से युक्त तंत्र के अध्ययन से जुड़ी समस्याओं को हल करते समय कुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।

ऐसी समस्याओं को हल करने का सामान्य दृष्टिकोण यह है कि एक पिंड से दूसरे पिंड तक गति एक बिंदु - स्पर्शरेखा बिंदु (संपर्क) के माध्यम से प्रेषित होती है। इसके अलावा, संपर्क करने वाले पिंडों के संपर्क बिंदु पर समान वेग और स्पर्शरेखीय त्वरण घटक होते हैं। संपर्क बिंदु पर संपर्क में आने वाले पिंडों के लिए त्वरण के सामान्य घटक भिन्न होते हैं, वे पिंडों के बिंदुओं के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर करते हैं;

इस प्रकार की समस्याओं को हल करते समय, विशिष्ट परिस्थितियों के आधार पर, धारा 2.3 में दिए गए दोनों सूत्रों और किसी बिंदु की गति और त्वरण को निर्धारित करने के लिए सूत्रों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जब इसकी गति को प्राकृतिक (2.7), (2.14) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। ) (2.16) या समन्वय (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) विधियाँ। इसके अलावा, यदि उस पिंड की गति, जिसका वह बिंदु है, घूर्णी है, तो बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक वृत्त होगा। यदि पिंड की गति सीधीरेखीय अनुवादात्मक है, तो बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक सीधी रेखा होगी।

उदाहरण 2.4.शरीर एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। पिंड के घूमने का कोण नियम के अनुसार बदलता रहता है φ = π टी 3खुश। घूर्णन अक्ष से OM = R = 0.5 मीटर की दूरी पर स्थित एक बिंदु के लिए, समय के क्षण में गति, स्पर्शरेखा, त्वरण और त्वरण के सामान्य घटकों का निर्धारण करें टी 1= 0.5 एस. चित्र में इन सदिशों की दिशा दिखाएँ।

आइए हम घूर्णन अक्ष के लंबवत बिंदु O से गुजरने वाले विमान द्वारा किसी पिंड के एक खंड पर विचार करें (चित्र 2.21)। इस चित्र में, बिंदु O घूर्णन अक्ष और काटने वाले तल का प्रतिच्छेदन बिंदु है एम ओऔर एम 1- क्रमशः, बिंदु M की प्रारंभिक और वर्तमान स्थिति। बिंदु O और के माध्यम से एम ओएक निश्चित अक्ष बनाएं ओह, और बिंदु O और के माध्यम से एम 1 -चल अक्ष ओह 1.इन अक्षों के बीच का कोण बराबर होगा

हम घूर्णन के कोण में परिवर्तन के नियम को विभेदित करके पिंड के कोणीय वेग में परिवर्तन का नियम पाते हैं:

में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी 1कोणीय वेग बराबर होगा

हम कोणीय वेग में परिवर्तन के नियम को विभेदित करके पिंड के कोणीय त्वरण में परिवर्तन का नियम पाते हैं:

में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी 1कोणीय त्वरण बराबर होगा:

1/एस 2,

हम सूत्र (2.37), (2.38), (2.39), (2.40) का उपयोग करके वेग वैक्टर, त्वरण के स्पर्शरेखीय घटक, त्वरण के सामान्य घटक के मापांक और त्वरण के मापांक के बीजगणितीय मान पाते हैं:

मैसर्स 2 ;

एम/एस 2.

कोण के बाद से φ 1>0, तो हम इसे ऑक्स अक्ष से वामावर्त घुमाएँगे। और तबसे > 0, फिर वैक्टर त्रिज्या के लंबवत निर्देशित किया जाएगा ॐ 1ताकि हम उन्हें वामावर्त घूमते हुए देख सकें। वेक्टर त्रिज्या के साथ निर्देशित किया जाएगा ॐ 1घूर्णन की धुरी पर. वेक्टर आइए सदिशों पर समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार निर्माण करें τ और .

उदाहरण 2.5.भार 1 की सीधीरेखीय स्थानांतरीय गति के दिए गए समीकरण के अनुसार एक्स = 0,6टी 2 - 0.18 (एम) गति, साथ ही त्वरण के स्पर्शरेखीय, सामान्य घटक और समय के क्षण में तंत्र के बिंदु एम के त्वरण का निर्धारण करते हैं टी 1, जब भार 1 द्वारा तय किया गया पथ s = 0.2 मीटर है, तो समस्या को हल करते समय, हम मान लेंगे कि पिंड 2 और 3 के संपर्क बिंदु पर कोई फिसलन नहीं है। आर 2= 1.0 मीटर, आर 2 = 0.6 मीटर, आर 3 = 0.5 मीटर (चित्र 2.22)।

भार 1 की सीधीरेखीय स्थानांतरीय गति का नियम निर्देशांक रूप में दिया गया है। आइए समय में क्षण का निर्धारण करें टी 1, जिसके लिए भार 1 द्वारा तय किया गया पथ s के बराबर होगा

s = x(t l)-x(0),

हमें कहां से मिलता है:

0,2 = 0,18 + 0,6टी 1 2 - 0,18.

इस तरह,

समय के संबंध में गति के समीकरण को विभेदित करने के बाद, हम ऑक्स अक्ष पर भार 1 के वेग और त्वरण के अनुमान पाते हैं:

एमएस 2 ;

फिलहाल t = t 1 भार 1 की गति का प्रक्षेपण इसके बराबर होगा:

अर्थात्, यह शून्य से अधिक होगा, जैसा कि भार 1 के त्वरण का प्रक्षेपण है। इसलिए, भार 1 क्षण t पर होगा 1 क्रमशः समान रूप से त्वरित रूप से नीचे जाएँ, शरीर 2 वामावर्त दिशा में समान रूप से त्वरित रूप से घूमेगा, और शरीर 3 दक्षिणावर्त दिशा में घूमेगा।

बॉडी 2 को बॉडी 1 द्वारा एक स्नेयर ड्रम पर धागे के घाव के माध्यम से घुमाया जाता है। इसलिए, शरीर 1 के बिंदुओं, धागे और शरीर 2 के स्नेयर ड्रम की सतह के वेग के मॉड्यूल बराबर हैं, और शरीर 1 के बिंदुओं, धागे और त्वरण के स्पर्शरेखीय घटक के त्वरण के मॉड्यूल बराबर हैं शरीर 2 के स्नेयर ड्रम की सतह के बिंदु भी बराबर होंगे, शरीर 2 के कोणीय वेग के मॉड्यूल को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

पिंड 2 के कोणीय त्वरण का मापांक बराबर होगा:

1/एस 2 .

आइए हम पिंड 2 के बिंदु K - पिंड 2 और 3 के संपर्क बिंदु के लिए वेग के मॉड्यूल और त्वरण के स्पर्शरेखीय घटक का निर्धारण करें:

एमएस, एमएस 2

चूँकि पिंड 2 और 3 परस्पर फिसलन के बिना घूमते हैं, वेग का परिमाण और बिंदु K के त्वरण का स्पर्शरेखीय घटक - इन पिंडों का संपर्क बिंदु बराबर होगा।

आइए इसे पिंड के घूमने की दिशा में त्रिज्या के लंबवत निर्देशित करें, क्योंकि पिंड 3 समान रूप से त्वरित गति से घूमता है

परिभाषा: किसी कठोर पिंड की घूर्णी गतिहम ऐसी गति कहेंगे जिसमें पिंड के सभी बिंदु वृत्तों में गति करते हैं, जिनके केंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे घूर्णन की धुरी कहा जाता है।

घूर्णी की गतिशीलता का अध्ययन करने के लिए, हम ज्ञात गतिज मात्राओं को जोड़ते हैं दो मात्राएँ: शक्ति का क्षण(एम) और निष्क्रियता के पल(जे)।

1. अनुभव से ज्ञात होता है: घूर्णी गति का त्वरण न केवल शरीर पर लगने वाले बल के परिमाण पर निर्भर करता है, बल्कि घूर्णन के अक्ष से उस रेखा तक की दूरी पर भी निर्भर करता है जिसके अनुदिश बल कार्य करता है। इस परिस्थिति को दर्शाने के लिए एक भौतिक मात्रा कहलाती है बल का क्षण.

आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें।

परिभाषा: एक निश्चित बिंदु "O" के बारे में बल का क्षण अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित एक वेक्टर मात्रा है, जहां बिंदु "O" से बल के अनुप्रयोग के बिंदु तक खींचा गया त्रिज्या वेक्टर है।

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि यह एक अक्षीय सदिश है। इसकी दिशा इसलिए चुनी जाती है ताकि बल की दिशा में बिंदु "O" के चारों ओर वेक्टर का घूमना और वेक्टर एक दाएं हाथ की प्रणाली का निर्माण कर सके। बल के क्षण का मापांक बराबर होता है, जहां a सदिशों की दिशाओं के बीच का कोण है और, और एल= आर पाप a बिंदु "O" से उस सीधी रेखा पर डाले गए लम्ब की लंबाई है जिसके अनुदिश बल कार्य करता है (जिसे कहा जाता है)। ताकत का कंधाबिंदु "O" के सापेक्ष) (चित्र 4.2)।

2. प्रायोगिक आंकड़ों से संकेत मिलता है कि कोणीय त्वरण का परिमाण न केवल घूर्णन करते हुए पिंड के द्रव्यमान से प्रभावित होता है, बल्कि घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण से भी प्रभावित होता है। वह मात्रा जो इस परिस्थिति को ध्यान में रखती है, कहलाती है निष्क्रियता के पलघूर्णन अक्ष के सापेक्ष.

परिभाषा: कड़ाई से बोलते हुए, निष्क्रियता के पलघूर्णन के एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष पिंड को मान J कहा जाता है, जो किसी दिए गए अक्ष से उनकी दूरी के वर्गों द्वारा प्राथमिक द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

योग उन सभी प्राथमिक द्रव्यमानों पर किया जाता है जिनमें शरीर को विभाजित किया गया था। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि यह मात्रा (J) घूर्णन की परवाह किए बिना मौजूद है (हालांकि एक कठोर शरीर के घूर्णन पर विचार करते समय जड़ता के क्षण की अवधारणा पेश की गई थी)।

प्रत्येक पिंड, चाहे वह आराम की स्थिति में हो या घूम रहा हो, किसी भी अक्ष के सापेक्ष जड़ता का एक निश्चित क्षण होता है, जैसे किसी शरीर का द्रव्यमान होता है, भले ही वह गतिमान हो या आराम की स्थिति में हो।

इसे ध्यान में रखते हुए, जड़ता के क्षण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:। यह संबंध अनुमानित है और प्रारंभिक आयतन और संबंधित द्रव्यमान तत्व जितने छोटे होंगे, यह उतना ही सटीक होगा। नतीजतन, जड़ता के क्षणों को खोजने का कार्य एकीकरण पर आ जाता है:। यहां शरीर के संपूर्ण आयतन पर एकीकरण किया जाता है।

आइए हम नियमित ज्यामितीय आकार के कुछ पिंडों के जड़त्व के क्षणों को लिखें।

1. एकसमान लम्बी छड़।
चावल। 4.3	छड़ के लंबवत तथा उसके मध्य से गुजरने वाली धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण बराबर होता है
2. ठोस सिलेंडर या डिस्क.
चावल। 4.4	ज्यामितीय अक्ष के साथ संपाती अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण बराबर होता है।
3. R ​​त्रिज्या का पतली दीवार वाला सिलेंडर।
चावल। 4.5
4. R त्रिज्या की एक गेंद का उसके केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण
चावल। 4.6
5. एक पतली डिस्क का जड़त्व आघूर्ण (मोटाई बी<
चावल। 4.7
6. ब्लॉक की जड़ता का क्षण
चावल। 4.8
7. वलय का जड़त्व आघूर्ण
चावल। 4.9

यहां जड़त्व आघूर्ण की गणना काफी सरल है, क्योंकि शरीर को सजातीय और सममित माना जाता है, और जड़ता का क्षण समरूपता के अक्ष के सापेक्ष निर्धारित किया जाता है।

किसी अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण निर्धारित करने के लिए स्टीनर के प्रमेय का उपयोग करना आवश्यक है।

परिभाषा: एक मनमाना अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण जेदिए गए अक्ष के समानांतर और शरीर के जड़त्व के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष जड़ता जे सी के क्षण के योग के बराबर है, और अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग द्वारा शरीर के द्रव्यमान के उत्पाद के बराबर है (चित्र) .4.10).

किसी कठोर पिंड का एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना एक ऐसी गति है जिसमें गति के पूरे समय के दौरान शरीर के दो बिंदु गतिहीन रहते हैं। इस स्थिति में, अपने निश्चित बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा पर स्थित शरीर के सभी बिंदु भी गतिहीन रहते हैं। इस लाइन को कहा जाता है शरीर घूर्णन अक्ष .

माना बिंदु A और B स्थिर हैं। आइए अक्ष को घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित करें। घूर्णन की धुरी के माध्यम से हम एक स्थिर विमान और एक गतिशील विमान खींचते हैं, जो एक घूर्णन पिंड (पर) से जुड़ा होता है।

विमान और शरीर की स्थिति स्वयं विमानों और के बीच के डायहेड्रल कोण द्वारा निर्धारित की जाती है। आइए इसे निरूपित करें। कोण कहलाता है शरीर के घूमने का कोण .

यदि समीकरण दिया गया है, तो चुने गए संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष शरीर की स्थिति किसी भी समय विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है, जहां समय का कोई भी दो बार भिन्न कार्य होता है। इस समीकरण को कहा जाता है एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड के घूमने का समीकरण .

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है, क्योंकि इसकी स्थिति केवल एक पैरामीटर - कोण को निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है।

यदि कोई कोण वामावर्त दिशा में रखा गया है तो उसे सकारात्मक माना जाता है, और विपरीत दिशा में नकारात्मक माना जाता है। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने के दौरान किसी पिंड के बिंदुओं के प्रक्षेप पथ, घूर्णन अक्ष के लंबवत विमानों में स्थित वृत्त होते हैं।

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड की घूर्णी गति को चिह्नित करने के लिए, हम कोणीय वेग और कोणीय त्वरण की अवधारणाओं का परिचय देते हैं।

बीजगणितीय कोणीय वेग समय के किसी भी क्षण में किसी पिंड के घूर्णन कोण के समय के संबंध में पहला व्युत्पन्न कहा जाता है, अर्थात।

जब शरीर वामावर्त घूमता है तो कोणीय वेग सकारात्मक होता है, क्योंकि समय के साथ घूर्णन का कोण बढ़ता है, और जब शरीर दक्षिणावर्त घूमता है, तो कोणीय वेग नकारात्मक होता है, क्योंकि घूर्णन का कोण कम हो जाता है।

परिभाषा के अनुसार कोणीय वेग का आयाम:

इंजीनियरिंग में, कोणीय वेग घूर्णी गति है जिसे प्रति मिनट क्रांतियों में व्यक्त किया जाता है। एक मिनट में शरीर एक कोण से घूमेगा, जहां n प्रति मिनट चक्करों की संख्या है। इस कोण को एक मिनट में सेकंड की संख्या से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

शरीर का बीजगणितीय कोणीय त्वरण कोणीय वेग के समय के संबंध में पहला व्युत्पन्न कहा जाता है, यानी, रोटेशन के कोण का दूसरा व्युत्पन्न, यानी।

परिभाषा के अनुसार कोणीय त्वरण का आयाम:

आइए हम किसी पिंड के कोणीय वेग और कोणीय त्वरण के सदिशों की अवधारणाओं का परिचय दें।

और, घूर्णन अक्ष का इकाई वेक्टर कहां है। वेक्टर और घूर्णन अक्ष पर किसी भी बिंदु पर चित्रित किया जा सकता है; वे स्लाइडिंग वेक्टर हैं।

बीजगणितीय कोणीय वेग घूर्णन अक्ष पर कोणीय वेग वेक्टर का प्रक्षेपण है। बीजगणितीय कोणीय त्वरण, घूर्णन अक्ष पर वेग के कोणीय त्वरण वेक्टर का प्रक्षेपण है।

यदि पर, तो बीजगणितीय कोणीय वेग समय के साथ बढ़ता है और, इसलिए, शरीर उस समय सकारात्मक दिशा में त्वरित गति से घूमता है। सदिशों की दिशाएँ मेल खाती हैं, वे दोनों घूर्णन अक्ष की सकारात्मक दिशा में निर्देशित होते हैं।

जब और शरीर नकारात्मक दिशा में तेजी से घूमता है। सदिशों की दिशाएँ मेल खाती हैं, वे दोनों घूर्णन अक्ष के ऋणात्मक पक्ष की ओर निर्देशित हैं।