एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के कोण. नमस्ते! यह लेख ट्रैपेज़ॉइड से जुड़ी समस्याओं को हल करने पर केंद्रित होगा। कार्यों का यह समूह परीक्षा का हिस्सा है; समस्याएँ सरल हैं। हम समलम्ब चतुर्भुज के कोणों, आधार और ऊँचाई की गणना करेंगे। कई समस्याओं का समाधान हल करने में आता है, जैसा कि वे कहते हैं: पाइथागोरस प्रमेय के बिना हम कहाँ हैं?

हम एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के साथ काम करेंगे। इसके आधारों पर समान भुजाएँ और कोण हैं। ब्लॉग पर ट्रैपेज़ॉइड पर एक लेख है।

आइए एक छोटी और महत्वपूर्ण बारीकियों पर ध्यान दें, जिसका हम स्वयं कार्यों को हल करने की प्रक्रिया में विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे। देखिए, यदि हमें दो आधार दिए गए हैं, तो बड़े आधार को कम ऊंचाई के साथ तीन खंडों में विभाजित किया गया है - एक छोटे आधार के बराबर है (ये आयत के विपरीत पक्ष हैं), अन्य दो प्रत्येक के बराबर हैं अन्य (ये समान समकोण त्रिभुजों के पैर हैं):

एक सरल उदाहरण: एक समद्विबाहु समलंब 25 और 65 के दो आधार दिए गए हैं। बड़े आधार को इस प्रकार खंडों में विभाजित किया गया है:

*और आगे! समस्याओं में अक्षर चिन्ह सम्मिलित नहीं हैं। ऐसा जान-बूझकर किया गया था ताकि बीजगणितीय परिशोधन के साथ समाधान पर अधिभार न पड़े। मैं सहमत हूं कि यह गणितीय रूप से निरक्षर है, लेकिन लक्ष्य स्पष्ट करना है। और आप हमेशा शीर्षों और अन्य तत्वों के लिए स्वयं पदनाम बना सकते हैं और गणितीय रूप से सही समाधान लिख सकते हैं।

आइए कार्यों पर विचार करें:

27439. एक समद्विबाहु समलंब के आधार 51 और 65 हैं। भुजाएँ 25 हैं। समलंब के न्यून कोण की ज्या ज्ञात कीजिए।

कोण ज्ञात करने के लिए, आपको ऊँचाईयाँ बनाने की आवश्यकता है। स्केच में हम डेटा को मात्रा की स्थिति में दर्शाते हैं। निचला आधार 65 है, ऊंचाई के साथ इसे खंड 7, 51 और 7 में विभाजित किया गया है:

एक समकोण त्रिभुज में, हम कर्ण और पैर जानते हैं, हम दूसरा पैर (ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई) पा सकते हैं और फिर कोण की ज्या की गणना कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, संकेतित पैर बराबर है:

इस प्रकार:

उत्तर: 0.96

27440. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधार 43 और 73 हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के न्यून कोण की कोज्या 5/7 है। पक्ष खोजें.

आइए ऊंचाइयों का निर्माण करें और परिमाण की स्थिति में डेटा को नोट करें, निचले आधार को खंड 15, 43 और 15 में विभाजित किया गया है:

27441. एक समद्विबाहु समलंब का बड़ा आधार 34 है। भुजा 14 है। न्यून कोण की ज्या (2√10)/7 है। छोटा आधार खोजें.

आइए ऊंचाइयां बनाएं। छोटे आधार को खोजने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि समकोण त्रिभुज में पैर वाला खंड किसके बराबर है (नीले रंग में दर्शाया गया है):

हम ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं और फिर पैर ढूंढ सकते हैं:

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम पैर की गणना करते हैं:

तो छोटा आधार है:

27442. एक समद्विबाहु समलंब के आधार 7 और 51 हैं। एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा 5/11 है। समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

आइए ऊंचाइयों का निर्माण करें और डेटा को परिमाण की स्थिति में चिह्नित करें। निचला आधार खंडों में विभाजित है:

क्या करें? हम एक समकोण त्रिभुज में आधार पर ज्ञात कोण की स्पर्शरेखा को व्यक्त करते हैं:

27443. एक समद्विबाहु समलंब का छोटा आधार 23 है। समलंब की ऊंचाई 39 है। एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा 13/8 है। एक बड़ा आधार खोजें.

हम ऊंचाई बनाते हैं और गणना करते हैं कि पैर किसके बराबर है:

इस प्रकार बड़ा आधार बराबर होगा:

27444. एक समद्विबाहु समलंब के आधार 17 और 87 हैं। समलंब की ऊंचाई 14 है। न्यून कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए।

हम ऊंचाइयां बनाते हैं और ज्ञात मानों को स्केच पर अंकित करते हैं। निचला आधार खंड 35, 17, 35 में विभाजित है:

स्पर्शरेखा की परिभाषा के अनुसार:

77152. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधार 6 और 12 हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के न्यून कोण की ज्या 0.8 है। पक्ष खोजें.

आइए एक स्केच बनाएं, ऊंचाई बनाएं और ज्ञात मानों को चिह्नित करें, बड़े आधार को खंड 3, 6 और 3 में विभाजित किया गया है:

आइए x के रूप में निर्दिष्ट कर्ण को कोज्या के माध्यम से व्यक्त करें:

मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान से हम cosα पाते हैं

इस प्रकार:

27818. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का बड़ा कोण क्या है, यदि यह ज्ञात हो कि विपरीत कोणों के बीच का अंतर 50 0 है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि यदि हमारे पास दो समानांतर रेखाएँ और एक तिर्यक रेखा है, तो आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180 0 के बराबर होता है। हमारे मामले में यह है

शर्त कहती है कि विपरीत कोणों के बीच का अंतर 50 0 है, अर्थात

इस लेख में हम ट्रैपेज़ॉइड के गुणों को यथासंभव पूर्ण रूप से प्रतिबिंबित करने का प्रयास करेंगे। विशेष रूप से, हम एक ट्रेपेज़ॉइड की सामान्य विशेषताओं और गुणों के साथ-साथ एक उत्कीर्ण ट्रेपेज़ॉइड और एक ट्रेपेज़ॉइड में अंकित एक वृत्त के गुणों के बारे में बात करेंगे। हम समद्विबाहु और आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के गुणों पर भी बात करेंगे।

चर्चा किए गए गुणों का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण आपको इसे अपने दिमाग में स्थानों पर क्रमबद्ध करने और सामग्री को बेहतर ढंग से याद रखने में मदद करेगा।

ट्रैपेज़ और ऑल-ऑल-ऑल

आरंभ करने के लिए, आइए संक्षेप में याद करें कि एक ट्रेपेज़ॉइड क्या है और इसके साथ अन्य कौन सी अवधारणाएँ जुड़ी हुई हैं।

तो, एक समलम्ब चतुर्भुज आकृति है, जिसकी दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं (ये आधार हैं)। और ये दोनों समानांतर नहीं हैं - ये भुजाएँ हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई को कम किया जा सकता है - आधारों के लंबवत। केंद्र रेखा और विकर्ण खींचे गए हैं। समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी कोण से समद्विभाजक खींचना भी संभव है।

अब हम इन सभी तत्वों और उनके संयोजनों से जुड़े विभिन्न गुणों के बारे में बात करेंगे।

समलम्बाकार विकर्णों के गुण

इसे स्पष्ट करने के लिए, जब आप पढ़ रहे हों, तो कागज के एक टुकड़े पर समलम्ब चतुर्भुज ACME का रेखाचित्र बनाएं और उसमें विकर्ण बनाएं।

1. यदि आप प्रत्येक विकर्ण के मध्यबिंदु पाते हैं (चलिए इन बिंदुओं को X और T कहते हैं) और उन्हें जोड़ते हैं, तो आपको एक खंड मिलता है। समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का एक गुण यह है कि खंड HT मध्य रेखा पर स्थित होता है। और इसकी लंबाई आधारों के अंतर को दो से विभाजित करके प्राप्त की जा सकती है: ХТ = (ए - बी)/2.
2. हमारे सामने वही समलम्बाकार ACME है। विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। आइए त्रिभुज AOE और MOK को देखें, जो समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के साथ विकर्णों के खंडों द्वारा बनते हैं। ये त्रिभुज समरूप हैं. त्रिभुजों का समानता गुणांक k समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया जाता है: के = एई/किमी.
   त्रिभुज AOE और MOK के क्षेत्रफलों का अनुपात गुणांक k 2 द्वारा वर्णित है।
3. वही समलम्ब चतुर्भुज, वही विकर्ण जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। केवल इस बार हम उन त्रिभुजों पर विचार करेंगे जो समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के साथ मिलकर विकर्णों के खंड बनाते हैं। त्रिभुज AKO और EMO के क्षेत्रफल आकार में समान हैं - उनके क्षेत्रफल समान हैं।
4. ट्रैपेज़ॉइड की एक अन्य संपत्ति में विकर्णों का निर्माण शामिल है। इसलिए, यदि आप एके और एमई के किनारों को छोटे आधार की दिशा में जारी रखते हैं, तो देर-सबेर वे एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। इसके बाद, समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य से होकर एक सीधी रेखा खींचें। यह आधारों को बिंदु X और T पर प्रतिच्छेद करता है।
   यदि अब हम रेखा XT का विस्तार करते हैं, तो यह समलम्ब चतुर्भुज O के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को एक साथ जोड़ देगा, वह बिंदु जिस पर पक्षों के विस्तार और आधार X और T के मध्य प्रतिच्छेद करते हैं।
5. विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से हम एक खंड खींचेंगे जो ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को जोड़ेगा (T छोटे आधार KM पर स्थित है, X बड़े AE पर स्थित है)। विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इस खंड को निम्नलिखित अनुपात में विभाजित करता है: टीओ/ओएक्स = किमी/एई.
6. अब, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से, हम समलम्ब चतुर्भुज (ए और बी) के आधारों के समानांतर एक खंड खींचेंगे। प्रतिच्छेदन बिंदु इसे दो बराबर भागों में विभाजित करेगा। आप सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं 2एबी/(ए + बी).

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के गुण

समलम्ब चतुर्भुज में उसके आधारों के समानांतर मध्य रेखा खींचिए।

1. एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई जोड़कर और उन्हें आधे में विभाजित करके की जा सकती है: एम = (ए + बी)/2.
2. यदि आप समलम्ब चतुर्भुज के दोनों आधारों के माध्यम से कोई खंड (उदाहरण के लिए ऊंचाई) खींचते हैं, तो मध्य रेखा इसे दो बराबर भागों में विभाजित कर देगी।

ट्रेपेज़ॉइड द्विभाजक संपत्ति

समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी कोण का चयन करें और एक समद्विभाजक बनाएं। आइए, उदाहरण के लिए, हमारे समलम्ब चतुर्भुज ACME के ​​कोण KAE को लें। स्वयं निर्माण पूरा करने के बाद, आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि समद्विभाजक आधार से (या आकृति के बाहर एक सीधी रेखा पर इसकी निरंतरता) किनारे के समान लंबाई के एक खंड को काटता है।

समलम्बाकार कोणों के गुण

1. आप भुजा से सटे कोणों के दो युग्मों में से जो भी चुनें, युग्म में कोणों का योग हमेशा 180 0 होता है: α + β = 180 0 और γ + δ = 180 0।
2. आइए ट्रैपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं को एक खंड TX से जोड़ें। आइए अब समलम्ब चतुर्भुज के आधारों पर बने कोणों को देखें। यदि उनमें से किसी के लिए कोणों का योग 90 0 है, तो खंड TX की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई में अंतर के आधार पर आसानी से की जा सकती है, जो आधे में विभाजित है: टीएक्स = (एई - किमी)/2.
3. यदि किसी समलंब कोण की भुजाओं से होकर समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे कोण की भुजाओं को आनुपातिक खंडों में विभाजित कर देंगी।

एक समद्विबाहु (समबाहु) समलम्बाकार के गुण

1. समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, किसी भी आधार पर कोण बराबर होते हैं।
2. अब फिर से एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं जिससे यह कल्पना करना आसान हो जाए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं। आधार AE को ध्यान से देखें - विपरीत आधार M का शीर्ष उस रेखा पर एक निश्चित बिंदु पर प्रक्षेपित होता है जिसमें AE होता है। शीर्ष A से शीर्ष M के प्रक्षेपण बिंदु और समद्विबाहु समलंब की मध्य रेखा की दूरी बराबर है।
3. समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों की संपत्ति के बारे में कुछ शब्द - उनकी लंबाई बराबर होती है। और समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर इन विकर्णों के झुकाव के कोण भी समान हैं।
4. केवल एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, क्योंकि चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180 0 है - इसके लिए एक शर्त।
5. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का गुण पिछले पैराग्राफ से मिलता है - यदि समद्विबाहु समलंब के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो यह समद्विबाहु है।
6. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की विशेषताओं से एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई का गुण इस प्रकार है: यदि इसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो ऊंचाई की लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होती है: एच = (ए + बी)/2.
7. फिर से, ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से खंड TX खींचें - एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड में यह आधारों के लंबवत है। और साथ ही TX एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की समरूपता की धुरी है।
8. इस बार, ट्रैपेज़ॉइड के विपरीत शीर्ष से ऊंचाई को बड़े आधार पर कम करें (चलो इसे कहते हैं)। आपको दो खंड मिलेंगे. यदि आधारों की लंबाई जोड़ दी जाए और आधे में विभाजित किया जाए तो किसी की लंबाई पाई जा सकती है: (ए + बी)/2. हमें दूसरा तब मिलता है जब हम बड़े आधार से छोटे को घटाते हैं और परिणामी अंतर को दो से विभाजित करते हैं: (ए - बी)/2.

एक वृत्त में अंकित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

चूँकि हम पहले से ही एक वृत्त में अंकित समलम्ब चतुर्भुज के बारे में बात कर रहे हैं, आइए इस मुद्दे पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। विशेष रूप से, जहां वृत्त का केंद्र समलम्ब चतुर्भुज के संबंध में है। यहां भी, यह अनुशंसा की जाती है कि आप एक पेंसिल लेने के लिए समय निकालें और जो नीचे चर्चा की जाएगी उसे बनाएं। इस तरह आप तेजी से समझेंगे और बेहतर याद रखेंगे।

1. वृत्त के केंद्र का स्थान ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण के उसके किनारे के झुकाव के कोण से निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष से समकोण पर किनारे तक विस्तारित हो सकता है। इस मामले में, बड़ा आधार परिचालित वृत्त के केंद्र को बिल्कुल मध्य में काटता है (R = ½AE)।
2. विकर्ण और भुजा एक न्यून कोण पर भी मिल सकते हैं - तब वृत्त का केंद्र समलंब के अंदर होता है।
3. यदि ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण और किनारे के बीच एक अधिक कोण है, तो परिचालित वृत्त का केंद्र ट्रेपेज़ॉइड के बाहर, उसके बड़े आधार से परे हो सकता है।
4. समलम्ब चतुर्भुज ACME (अंकित कोण) के विकर्ण और बड़े आधार से बना कोण इसके अनुरूप केंद्रीय कोण का आधा है: एमएई = ½एमओई.
5. किसी परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के दो तरीकों के बारे में संक्षेप में। विधि एक: अपने चित्र को ध्यान से देखें - आप क्या देखते हैं? आप आसानी से देख सकते हैं कि विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। त्रिज्या को त्रिभुज की भुजा और विपरीत कोण की ज्या के अनुपात को दो से गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आर = एई/2*sinAME. सूत्र को दोनों त्रिभुजों की किसी भी भुजा के लिए समान तरीके से लिखा जा सकता है।
6. विधि दो: समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण, भुजा और आधार द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के माध्यम से परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए: आर = एएम*एमई*एई/4*एस एएमई.

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

यदि एक शर्त पूरी हो तो आप एक वृत्त को एक समलंब में फिट कर सकते हैं। इसके बारे में नीचे और पढ़ें। और साथ में आंकड़ों के इस संयोजन में कई दिलचस्प गुण हैं।

1. यदि एक वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो इसकी मध्य रेखा की लंबाई आसानी से भुजाओं की लंबाई जोड़कर और परिणामी योग को आधे में विभाजित करके पाई जा सकती है: एम = (सी + डी)/2.
2. एक वृत्त के बारे में वर्णित समलम्बाकार ACME के ​​लिए, आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर है: एके + एमई = किमी + एई.
3. एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की इस संपत्ति से, विपरीत कथन इस प्रकार है: एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है जिसके आधारों का योग उसकी भुजाओं के योग के बराबर होता है।
4. एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित त्रिज्या r वाले वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है, आइए उन्हें a और b कहते हैं। वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: आर = √ab.
5. और एक और संपत्ति. भ्रम से बचने के लिए यह उदाहरण स्वयं भी बनाएं। हमारे पास अच्छा पुराना ट्रैपेज़ॉइड ACME है, जो एक वृत्त के चारों ओर वर्णित है। इसमें विकर्ण हैं जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। विकर्णों और पार्श्व भुजाओं के खंडों से बने त्रिभुज AOK और EOM आयताकार हैं।
   इन त्रिभुजों की ऊँचाई, कर्ण (अर्थात, समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ) तक नीचे, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के साथ मेल खाती है। और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई अंकित वृत्त के व्यास के साथ मेल खाती है।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के गुण

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसका एक कोण समकोण हो। और इसके गुण इसी परिस्थिति से उत्पन्न होते हैं।

1. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज की एक भुजा इसके आधार से लंबवत होती है।
2. समकोण से सटे समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई और भुजा बराबर होती है। यह आपको एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड (सामान्य सूत्र) के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है एस = (ए + बी) * एच/2) न केवल ऊंचाई के माध्यम से, बल्कि समकोण के निकटवर्ती पक्ष के माध्यम से भी।
3. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के लिए, ऊपर वर्णित समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के सामान्य गुण प्रासंगिक हैं।

समलम्बाकार के कुछ गुणों का साक्ष्य

समद्विबाहु समलंब के आधार पर कोणों की समानता:

• आप शायद पहले से ही अनुमान लगा चुके हैं कि यहां हमें फिर से AKME ट्रेपेज़ॉइड की आवश्यकता होगी - एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड बनाएं। शीर्ष M से AK (MT || AK) की भुजा के समानांतर एक सीधी रेखा MT खींचिए।

परिणामी चतुर्भुज AKMT एक समांतर चतुर्भुज (AK || MT, KM || AT) है। चूँकि ME = KA = MT, ∆ MTE समद्विबाहु है और MET = MTE है।

एके || एमटी, इसलिए एमटीई = केएई, मेट = एमटीई = केएई।

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME कहां है।

क्यू.ई.डी.

अब, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज (विकर्णों की समानता) की संपत्ति के आधार पर, हम इसे साबित करते हैं समलम्बाकार ACME समद्विबाहु है:

• सबसे पहले, आइए एक सीधी रेखा MX – MX || खींचें के.ई. हमें एक समांतर चतुर्भुज KMHE (आधार - MX || KE और KM || EX) प्राप्त होता है।

∆AMX समद्विबाहु है, क्योंकि AM = KE = MX, और MAX = MEA।

एमएच || केई, केईए = एमएक्सई, इसलिए एमएई = एमएक्सई।

इससे पता चला कि त्रिभुज AKE और EMA एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि AM = KE और AE दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजाएँ हैं। और एमएई = एमएक्सई भी। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AK = ME, और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समलम्ब चतुर्भुज AKME समद्विबाहु है।

कार्य की समीक्षा करें

समलम्बाकार ACME का आधार 9 सेमी और 21 सेमी है, भुजा KA, 8 सेमी के बराबर, छोटे आधार के साथ 150 0 का कोण बनाता है। आपको समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

समाधान: शीर्ष K से हम ऊँचाई को समलम्ब चतुर्भुज के बड़े आधार तक कम करते हैं। और आइए समलम्ब चतुर्भुज के कोणों को देखना शुरू करें।

कोण AEM और KAN एक तरफा हैं। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर वे 180 0 देते हैं। इसलिए, KAN = 30 0 (ट्रेपेज़ॉइडल कोणों की संपत्ति के आधार पर)।

आइए अब आयताकार ∆ANC पर विचार करें (मेरा मानना ​​है कि यह बिंदु अतिरिक्त सबूत के बिना पाठकों के लिए स्पष्ट है)। इससे हम समलम्ब चतुर्भुज KH की ऊँचाई ज्ञात करेंगे - एक त्रिभुज में यह पैर है जो 30 0 के कोण के विपरीत स्थित है। इसलिए KN = ½AB = 4 सेमी.

हम सूत्र का उपयोग करके समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 सेमी 2।

अंतभाषण

यदि आपने इस लेख का ध्यानपूर्वक और विचारपूर्वक अध्ययन किया है, अपने हाथों में एक पेंसिल के साथ दिए गए सभी गुणों के लिए ट्रेपेज़ॉइड बनाने और व्यवहार में उनका विश्लेषण करने में बहुत आलसी नहीं थे, तो आपको सामग्री में अच्छी तरह से महारत हासिल करनी चाहिए थी।

बेशक, यहां बहुत सारी जानकारी है, विविध और कभी-कभी भ्रमित करने वाली भी: वर्णित ट्रैपेज़ॉइड के गुणों को अंकित ट्रैपेज़ॉइड के गुणों के साथ भ्रमित करना इतना मुश्किल नहीं है। लेकिन आपने खुद देखा है कि अंतर बहुत बड़ा है.

अब आपके पास ट्रैपेज़ॉइड के सभी सामान्य गुणों की एक विस्तृत रूपरेखा है। साथ ही समद्विबाहु और आयताकार ट्रेपेज़ॉइड के विशिष्ट गुण और विशेषताएं। परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी के लिए इसका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है। इसे स्वयं आज़माएँ और लिंक अपने दोस्तों के साथ साझा करें!

वेबसाइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चपटा चार है वर्ग, जिसकी दो विपरीत भुजाएँ समान्तर हैं। इन्हें आधार कहा जाता है ट्रेपेज़ोइड्स, और अन्य दो भुजाएँ पार्श्व भुजाएँ हैं ट्रेपेज़ोइड्स.

निर्देश

में एक मनमाना कोण खोजने की समस्या ट्रेपेज़ोइड्सपर्याप्त मात्रा में अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता होती है. एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें दो आधार कोण ज्ञात हैं ट्रेपेज़ोइड्स. आइए कोण &ang-BAD और &ang-CDA ज्ञात करें, आइए कोण &ang-ABC और &ang-BCD ज्ञात करें। एक समलम्ब चतुर्भुज का गुण होता है कि प्रत्येक भुजा के कोणों का योग 180° होता है। तब &ang-ABC = 180°--&ang-BAD, और &ang-BCD = 180°--&ang-CDA।

ट्रैपेज़ॉइड" वर्ग = "लाइटबीएक्स" डेटा-लाइटबॉक्स = "आर्टिकल-इमेज">

एक अन्य समस्या पक्षों की समानता का संकेत दे सकती है ट्रेपेज़ोइड्सऔर कुछ अतिरिक्त कोण. उदाहरण के लिए, जैसा कि चित्र में है, यह ज्ञात हो सकता है कि भुजाएँ AB, BC और CD बराबर हैं, और विकर्ण निचले आधार के साथ एक कोण &ang-CAD = α- बनाता है वर्ग ABC, यह समद्विबाहु है, क्योंकि AB = BC है। फिर &ang-BAC = &ang-BCA. आइए संक्षिप्तता के लिए इसे x निरूपित करें, और &ang-ABC - y। किन्हीं तीन के कोणों का योग वर्ग a, 180°- के बराबर है, इसका मतलब यह है कि 2x + y = 180°-, तो y = 180°- - 2x. वहीं, संपत्तियों से ट्रेपेज़ोइड्स: y + x + α- = 180°- और इसलिए 180°- - 2x + x + α- = 180°-. इस प्रकार x = α-. हमें दो कोने मिले ट्रेपेज़ोइड्स: &ang-BAC = 2x = 2α- और &ang-ABC = y = 180°- - 2α- चूँकि स्थिति के अनुसार AB = CD है, समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु या समद्विबाहु है। मतलब,