कोष्ठक का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन व्यंजक \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में योग की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें: \(-(4m+3)\)।
फेसला : \(-(4m+3)=-4m-3\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(5-(3x+2)+(2+3x)\)।
फेसला : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\)।
फेसला : हमारे पास ब्रैकेट में \(3\) और \(-x\) और ब्रैकेट के सामने पांच हैं। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न को अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\)।
फेसला : पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक को सरल कीजिए: \(5(x+y)-2(x-y)\)।
फेसला : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)।

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
फेसला : हमारे पास कोष्ठकों का एक गुणनफल है और इसे उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए सब कुछ चरणबद्ध तरीके से करें।
चरण 1। पहला ब्रैकेट निकालें - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे ब्रैकेट से गुणा किया जाता है:

चरण 2. ब्रैकेट के उत्पादों को ऊपर वर्णित कारक द्वारा विस्तारित करें:
- पहले वाला पहला...

फिर दूसरा।

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पदों को लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \((a-b)=a-b\) प्राप्त होता है। और यदि हम ऋणात्मक एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों में नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: व्यंजक \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाने के लिए।

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के घोंसले को ध्यान से समझें - कौन सा है जिसमें;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ शुरू करना।

कोष्ठकों में से किसी एक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को मत छुओ, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए उपरोक्त कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण। कोष्ठक खोलिए और समान पद \(7x+2(5-(3x+y))\) दीजिए।
फेसला:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)।
फेसला :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		यह कोष्ठकों का ट्रिपल नेस्टिंग है। हम अंतरतम से शुरू करते हैं (हरे रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक प्लस है, इसलिए इसे आसानी से हटा दिया जाता है।
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		अब आपको दूसरा ब्रैकेट खोलने की जरूरत है, इंटरमीडिएट। लेकिन इससे पहले, हम इस दूसरे ब्रैकेट में समान शब्दों को घोस्ट करके व्यंजक को सरल बना देंगे।
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		अब हम दूसरा ब्रैकेट खोलते हैं (नीले रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक गुणक होता है - इसलिए कोष्ठक में प्रत्येक पद को इससे गुणा किया जाता है।
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		और अंतिम कोष्ठक खोलें। ब्रैकेट माइनस से पहले - तो सभी संकेत उलट जाते हैं।

ब्रैकेट खोलना गणित में एक बुनियादी कौशल है। इस कौशल के बिना, ग्रेड 8 और 9 में तीन से ऊपर का ग्रेड होना असंभव है। इसलिए, मैं इस विषय की अच्छी समझ की सलाह देता हूं।

अब हम केवल कोष्ठकों को ऐसे व्यंजकों में खोलने के लिए आगे बढ़ेंगे जिसमें कोष्ठकों में व्यंजक को किसी संख्या या व्यंजक से गुणा किया जाता है। आइए हम ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के लिए नियम बनाते हैं: ऋण चिह्न के साथ कोष्ठक छोड़े जाते हैं, और कोष्ठक में सभी शब्दों के संकेतों को विपरीत संकेतों से बदल दिया जाता है।

एक प्रकार का अभिव्यक्ति परिवर्तन कोष्ठक विस्तार है। संख्यात्मक, शाब्दिक और परिवर्तनशील भाव कोष्ठक का उपयोग करके बनाए जाते हैं, जो उस क्रम को इंगित कर सकते हैं जिसमें क्रियाएं की जाती हैं, एक ऋणात्मक संख्या होती है, आदि। मान लेते हैं कि ऊपर वर्णित व्यंजकों में संख्याओं और चरों के स्थान पर कोई व्यंजक हो सकता है।

और आइए कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत के बारे में एक और बिंदु पर ध्यान दें। पिछले पैराग्राफ में, हमने उस पर चर्चा की जिसे कोष्ठक विस्तार कहा जाता है। ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलने के नियम हैं, जिनकी अब हम समीक्षा करते हैं। यह नियम इस तथ्य से तय होता है कि कोष्ठक के बिना सकारात्मक संख्याएँ लिखने की प्रथा है, इस मामले में कोष्ठक अनावश्यक हैं। व्यंजक (−3.7)−(−2)+4+(−9) को कोष्ठक के बिना −3.7+2+4−9 के रूप में लिखा जा सकता है।

अंत में, नियम का तीसरा भाग केवल व्यंजक में बाईं ओर ऋणात्मक संख्याओं को लिखने की ख़ासियत के कारण है (जिसका उल्लेख हमने ऋणात्मक संख्याएँ लिखने के लिए कोष्ठक अनुभाग में किया है)। आप किसी संख्या, ऋण चिह्नों और कोष्ठकों के एकाधिक युग्मों से बने व्यंजकों का सामना कर सकते हैं। यदि आप आंतरिक से बाहरी की ओर बढ़ते हुए कोष्ठकों का विस्तार करते हैं, तो समाधान होगा: -(-((-(5))))=−(-((−5)))=−(-(−5)) =−( 5)=−5.

कोष्ठक कैसे खोलें?

यहां एक स्पष्टीकरण दिया गया है: −(−2 x) +2 x है, और चूंकि यह व्यंजक पहले आता है, तो +2 x को 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= के रूप में लिखा जा सकता है। −1/x और −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. कोष्ठक खोलने के लिखित नियम का पहला भाग ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम से सीधे अनुसरण करता है। इसका दूसरा भाग भिन्न-भिन्न चिह्नों से संख्याओं को गुणा करने के नियम का परिणाम है। आइए विभिन्न चिह्नों वाली दो संख्याओं के गुणनफलों और भागफलों में विस्तार करने वाले कोष्ठकों के उदाहरणों पर चलते हैं।

ब्रैकेट खोलना: नियम, उदाहरण, समाधान।

उपरोक्त नियम इन क्रियाओं की पूरी श्रृंखला को ध्यान में रखता है और कोष्ठक खोलने की प्रक्रिया में काफी तेजी लाता है। वही नियम आपको ऐसे भावों में कोष्ठक खोलने की अनुमति देता है जो उत्पाद हैं और ऋण चिह्न के साथ निजी अभिव्यक्तियाँ हैं जो योग और अंतर नहीं हैं।

इस नियम के लागू होने के उदाहरणों पर विचार करें। हम संबंधित नियम देते हैं। ऊपर, हम पहले से ही फॉर्म - (ए) और - (-ए) के भावों का सामना कर चुके हैं, जो बिना कोष्ठक के क्रमशः -ए और ए के रूप में लिखे गए हैं। उदाहरण के लिए, -(3)=3, और। ये बताए गए नियम के विशेष मामले हैं। अब कोष्ठक खोलने के उदाहरणों पर विचार करें जब उनमें योग या अंतर संलग्न हों। हम इस नियम के उपयोग के उदाहरण दिखाएंगे। व्यंजक (b1+b2) को b के रूप में निरूपित करें, जिसके बाद हम पिछले अनुच्छेद के व्यंजक द्वारा कोष्ठक को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं, हमारे पास (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

प्रेरण द्वारा, इस कथन को प्रत्येक कोष्ठक में मनमाने शब्दों की संख्या तक बढ़ाया जा सकता है। पिछले पैराग्राफ के नियमों का उपयोग करते हुए, परिणामी अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलना बाकी है, परिणामस्वरूप, हमें 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3 मिलता है।

गणित में नियम यह है कि कोष्ठकों के सामने (+) और (-) होने पर कोष्ठकों को खोलना एक अत्यंत आवश्यक नियम है।

यह व्यंजक तीन कारकों (2+4), 3 और (5+7 8) का गुणनफल है। कोष्ठक क्रमिक रूप से खोले जाने चाहिए। अब हम एक कोष्ठक को किसी संख्या से गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं, हमारे पास ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) है। डिग्रियाँ, जिनके आधार कोष्ठक में लिखे गए कुछ भाव हैं, प्राकृतिक संकेतकों के साथ कई कोष्ठकों के उत्पाद के रूप में माने जा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक (a+b+c)2 को रूपांतरित करें। पहले, हम इसे दो कोष्ठकों (a + b + c) (a + b + c) के गुणनफल के रूप में लिखते हैं, अब हम कोष्ठक को कोष्ठक से गुणा करते हैं, हमें a a + a b + a c + b a + b b+b c+ प्राप्त होता है। सी ए+सी बी+सी सी।

हम यह भी कहते हैं कि दो संख्याओं के योग और अंतर को एक प्राकृतिक घात तक बढ़ाने के लिए, न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। उदाहरण के लिए, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2। प्रारंभिक रूप से विभाजन को गुणन से बदलना और फिर उत्पाद में कोष्ठक खोलने के लिए उपयुक्त नियम का उपयोग करना कम सुविधाजनक नहीं है।

उदाहरणों का उपयोग करके कोष्ठकों को खोलने के क्रम का पता लगाना बाकी है। व्यंजक (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7) लें। इन परिणामों को मूल व्यंजक में रखें: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) । यह केवल कोष्ठक के उद्घाटन को पूरा करने के लिए रहता है, परिणामस्वरूप हमारे पास −5+3 2:4+6 7 होता है। इसका मतलब यह है कि समानता के बाईं ओर से दाईं ओर जाने पर, कोष्ठक खोले गए थे।

ध्यान दें कि तीनों उदाहरणों में, हमने केवल कोष्ठक हटा दिए हैं। पहले 445 को 889 में जोड़ें। यह मानसिक क्रिया की जा सकती है, लेकिन यह बहुत आसान नहीं है। आइए कोष्ठकों को खोलें और देखें कि संचालन का बदला हुआ क्रम गणनाओं को बहुत सरल करेगा।

एक अलग डिग्री में कोष्ठक कैसे खोलें

निदर्शी उदाहरण और नियम। एक उदाहरण पर विचार करें:। आप 2 और 5 को जोड़कर और फिर परिणामी संख्या को विपरीत चिह्न से लेकर व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। यदि कोष्ठक में दो नहीं, बल्कि तीन या अधिक पद हों तो नियम नहीं बदलता है। टिप्पणी। संकेत केवल शर्तों के सामने उलट जाते हैं। कोष्ठक खोलने के लिए, इस मामले में, हमें वितरण संपत्ति को याद करने की आवश्यकता है।

कोष्ठक में एकल संख्या

आपकी गलती संकेतों में नहीं है, बल्कि भिन्नों के साथ गलत काम करने में है? छठी कक्षा में हम सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं से परिचित हुए। हम उदाहरणों और समीकरणों को कैसे हल करेंगे?

कोष्ठक में कितना है? इन भावों के बारे में क्या कहा जा सकता है? बेशक, पहले और दूसरे उदाहरणों का परिणाम समान है, इसलिए आप उनके बीच एक समान चिह्न लगा सकते हैं: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. तो हमने कोष्ठक के साथ क्या किया?

कोष्ठक खोलने के नियमों के साथ स्लाइड 6 का प्रदर्शन। इस प्रकार, कोष्ठक खोलने के नियम हमें उदाहरणों को हल करने, भावों को सरल बनाने में मदद करेंगे। इसके बाद, छात्रों को जोड़ियों में काम करने के लिए आमंत्रित किया जाता है: कोष्ठक वाले व्यंजक को तीरों के साथ कोष्ठक के बिना संगत व्यंजक से जोड़ना आवश्यक है।

स्लाइड 11 एक बार सनी सिटी में, ज़्नायका और डन्नो ने तर्क दिया कि उनमें से किसने समीकरण को सही ढंग से हल किया। अगला, छात्र स्वतंत्र रूप से समीकरण को हल करते हैं, कोष्ठक खोलने के नियमों को लागू करते हैं। समीकरणों को हल करना "पाठ के उद्देश्य: शैक्षिक (विषय पर ZUN को ठीक करना:" कोष्ठक खोलना।

पाठ का विषय: “कोष्ठक खोलना। इस मामले में, आपको पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा। सबसे पहले, पहले दो कारकों को लिया जाता है, एक और कोष्ठक में संलग्न किया जाता है, और इन कोष्ठकों के अंदर, पहले से ज्ञात नियमों में से एक के अनुसार कोष्ठक खोले जाते हैं।

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ब्रैकेट खोलना: नियम और उदाहरण (ग्रेड 7)

कोष्ठक का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है संख्यात्मक भाव . उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन व्यंजक \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में योग की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

हालांकि, अगर हम साथ काम कर रहे हैं बीजगणतीय अभिव्यक्तियुक्त चर- उदाहरण के लिए, इस तरह: \ (2 (x-3) \) - तो ब्रैकेट में मान की गणना करना असंभव है, चर हस्तक्षेप करता है। इसलिए, इस मामले में, इसके लिए उपयुक्त नियमों का उपयोग करते हुए, कोष्ठक "खोले गए" हैं।

ब्रैकेट विस्तार नियम

यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस चिह्न है, तो ब्रैकेट को आसानी से हटा दिया जाता है, इसमें अभिव्यक्ति अपरिवर्तित रहती है। दूसरे शब्दों में:

यहां यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथा है कि यदि यह व्यंजक में प्रथम है तो धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो धनात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम \(+7+3\) नहीं, बल्कि केवल \(7+3\) लिखते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक धनात्मक संख्या है . इसी तरह, यदि आप उदाहरण के लिए, व्यंजक \((5+x)\) देखते हैं - तो जान लें कि ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है.

उदाहरण . कोष्ठक खोलिए और समान पद दीजिए: \((x-11)+(2+3x)\)।
फेसला : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\)।

यदि कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न है, तो जब कोष्ठक हटा दिया जाता है, तो उसके अंदर के व्यंजक का प्रत्येक सदस्य चिह्न को विपरीत में बदल देता है:

यहां यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि a, जबकि यह कोष्ठक में था, एक प्लस चिह्न था (उन्होंने इसे अभी नहीं लिखा था), और ब्रैकेट को हटाने के बाद, यह प्लस एक माइनस में बदल गया।

उदाहरण : व्यंजक \(2x-(-7+x)\) को सरल कीजिए।
फेसला : कोष्ठक के अंदर दो पद हैं: \(-7\) और \(x\), और कोष्ठक से पहले एक ऋण है। इसका मतलब है कि संकेत बदल जाएंगे - और सात अब प्लस के साथ होंगे, और एक्स माइनस के साथ होगा। ब्रैकेट खोलें और समान शब्द लाओ .

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(5-(3x+2)+(2+3x)\)।
फेसला : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।

यदि कोष्ठक के सामने कोई गुणनखंड है, तो कोष्ठक के प्रत्येक सदस्य को इससे गुणा किया जाता है, अर्थात्:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\)।
फेसला : हमारे पास कोष्ठक में \(3\) और \(-x\) है, और कोष्ठक के सामने एक पांच है। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न को अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\)।
फेसला : पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
फेसला : हमारे पास कोष्ठकों का एक गुणनफल है और इसे उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए सब कुछ चरणबद्ध तरीके से करें।
चरण 1. हम पहले ब्रैकेट को हटाते हैं - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे ब्रैकेट से गुणा किया जाता है:

चरण 2. ब्रैकेट के उत्पादों को ऊपर वर्णित कारक द्वारा विस्तारित करें:
- पहले वाला पहला...

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पदों को लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \((a-b)=a-b\) प्राप्त होता है। और यदि हम ऋणात्मक एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों में नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: व्यंजक \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाने के लिए।

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के घोंसले को ध्यान से समझें - कौन सा है जिसमें;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ शुरू करना।

कोष्ठकों में से किसी एक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को मत छुओ, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए उपरोक्त कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण। कोष्ठक खोलिए और समान पद \(7x+2(5-(3x+y))\) दीजिए।
फेसला:

आइए आंतरिक ब्रैकेट (अंदर वाला) खोलकर कार्य शुरू करें। इसे खोलते हुए, हम केवल इस तथ्य से निपटते हैं कि यह सीधे इससे संबंधित है - यह स्वयं ब्रैकेट और इसके सामने का माइनस (हरे रंग में हाइलाइट किया गया) है। बाकी सब कुछ (चयनित नहीं) जैसा था वैसा ही फिर से लिखा गया है।

गणित में समस्याओं को ऑनलाइन हल करना

ऑनलाइन कैलकुलेटर।
बहुपद सरलीकरण।
बहुपदों का गुणन।

इस गणित कार्यक्रम के साथ, आप बहुपद को सरल बना सकते हैं।
जबकि कार्यक्रम चल रहा है:
- बहुपदों को गुणा करता है
- एकपदी का योग (समान देता है)
- कोष्ठक खोलता है
- बहुपद को घात तक बढ़ा देता है

बहुपद सरलीकरण कार्यक्रम केवल समस्या का उत्तर नहीं देता है, यह स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत समाधान देता है, अर्थात। समाधान प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है ताकि आप गणित और/या बीजगणित के अपने ज्ञान की जांच कर सकें।

यह कार्यक्रम सामान्य शिक्षा स्कूलों के छात्रों के लिए परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में उपयोगी हो सकता है, जब एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है, और माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

क्योंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया सेकंड प्रतीक्षा करें।

थोड़ा सिद्धांत।

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल। एक बहुपद की अवधारणा

बीजगणित में जिन विभिन्न अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी का योग एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है। यहाँ ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:

परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, एक द्विपद की एक तीसरी डिग्री होती है, और एक ट्रिनोमियल में एक सेकंड होता है।

आमतौर पर, एक चर वाले मानक रूप बहुपद के पदों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हैं। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठक के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे सामान्य भाव हैं और, यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग और वर्गों का अंतर। आपने देखा है कि इन भावों के नाम अधूरे लगते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, - यह निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि a और b के योग का वर्ग है। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

अभिव्यक्तियों को मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित करना (सरल बनाना) आसान है, वास्तव में, आप बहुपदों को गुणा करते समय इस तरह के कार्य से पहले ही मिल चुके हैं:

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

- योग का वर्ग वर्गों के योग के बराबर होता है और गुणनफल का दोगुना होता है।

- अंतर का वर्ग दोहरे उत्पाद के बिना वर्गों के योग के बराबर है।

- वर्गों का अंतर योग के अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं हिस्सों को दाएं से बदलने की अनुमति देती हैं और इसके विपरीत - बाएं हिस्से के साथ दाएं हिस्से। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखना और यह समझना कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

किताबें (पाठ्यपुस्तकें) एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई परीक्षणों के सार ऑनलाइन खेल, पहेली कार्यों का रेखांकन रूसी भाषा का वर्तनी शब्दकोश युवा स्लैंग का शब्दकोश रूसी स्कूलों की निर्देशिका रूस में माध्यमिक विद्यालयों की सूची रूसी विश्वविद्यालयों की सूची संख्यात्मक अंश प्रतिशत के लिए समस्याओं का समाधान सम्मिश्र संख्याएँ: योग, अंतर, गुणनफल और भागफल दो चर वाले 2 रैखिक समीकरणों की प्रणाली द्विघात समीकरण को हल करना द्विपद के वर्ग को छांटना और एक वर्ग त्रिपद का गुणन करना असमानताओं को हल करना असमानताओं को हल करना एक द्विघात फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाना एक ग्राफ बनाना एक भिन्नात्मक रैखिक फलन का अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति को हल करना त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणकीय समीकरणों को हल करना रेखाओं और विमानों के साथ क्रियाएँ ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल ज्यामितीय आकृतियों का परिमाप ज्यामितीय पिंडों का आयतन ज्यामितीय पिंडों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
यातायात की स्थिति निर्माता
मौसम - समाचार - राशिफल

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ब्रैकेट विस्तार

हम बीजगणित की मूल बातों का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम सीखेंगे कि व्यंजकों में कोष्ठक कैसे खोलें। कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

कोष्ठक खोलने के लिए, आपको केवल दो नियमों को दिल से सीखना होगा। नियमित अभ्यास से, आप आंखें बंद करके कोष्ठक खोल सकते हैं, और जिन नियमों को दिल से याद करने की आवश्यकता होती है, उन्हें सुरक्षित रूप से भुलाया जा सकता है।

कोष्ठक विस्तार का पहला नियम

निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:

इस अभिव्यक्ति का मूल्य है 2 . आइए इस व्यंजक में कोष्ठक खोलें। कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है अभिव्यक्ति के अर्थ को प्रभावित किए बिना उनसे छुटकारा पाना। यानी कोष्ठक से छुटकारा पाने के बाद, अभिव्यक्ति का मूल्य 8+(−9+3) अभी भी दो के बराबर होना चाहिए।

पहला कोष्ठक विस्तार नियम इस तरह दिखता है:

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस है, तो इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

तो हम देखते हैं कि अभिव्यक्ति में 8+(−9+3) कोष्ठक के सामने एक प्लस है। यह प्लस कोष्ठक के साथ छोड़ा जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, कोष्ठक उनके सामने खड़े प्लस के साथ गायब हो जाएंगे। और जो कोष्ठक में था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

8−9+3 . यह अभिव्यक्ति बराबर है 2 , पिछले कोष्ठक की तरह अभिव्यक्ति के बराबर था 2 .

8+(−9+3) और 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

उदाहरण 2एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 3 + (−1 − 4)

कोष्ठक के आगे एक धन होता है, इसलिए यह जोड़ कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है। कोष्ठक में जो था वह अपरिवर्तित रहेगा:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

उदाहरण 3एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 2 + (−1)

इस उदाहरण में, कोष्ठक का विस्तार घटाव को जोड़ के साथ बदलने का एक प्रकार का उलटा ऑपरेशन बन गया है। इसका क्या मतलब है?

अभिव्यक्ति में 2−1 घटाव होता है, लेकिन इसे जोड़ से बदला जा सकता है। तब आपको अभिव्यक्ति मिलती है 2+(−1) . लेकिन अगर अभिव्यक्ति में 2+(−1) कोष्ठक खोलें, आपको मूल मिलता है 2−1 .

इसलिए, कुछ परिवर्तनों के बाद अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए पहले ब्रैकेट विस्तार नियम का उपयोग किया जा सकता है। यानी इसे कोष्ठक से हटाकर आसान बनाएं।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक को सरल बनाते हैं 2a+a−5b+b .

इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए हम समान पदों को जोड़ सकते हैं। याद रखें कि समान पदों को कम करने के लिए, आपको समान पदों के गुणांकों को जोड़ना होगा और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना होगा:

एक अभिव्यक्ति मिली 3a+(−4b). इस अभिव्यक्ति में, कोष्ठक खोलें। कोष्ठक से पहले एक धन होता है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए पहले नियम का उपयोग करते हैं, अर्थात, हम कोष्ठकों को उन कोष्ठकों से पहले आने वाले जोड़ के साथ छोड़ देते हैं:

तो अभिव्यक्ति 2a+a−5b+bकरने के लिए सरलीकृत 3a−4b .

एक कोष्ठक खोलने के बाद, अन्य रास्ते में मिल सकते हैं। हम उन पर पहले की तरह ही नियम लागू करते हैं। उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें:

ऐसे दो स्थान हैं जहां आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। इस मामले में, कोष्ठक का विस्तार करने के लिए पहला नियम लागू होता है, अर्थात्, कोष्ठकों को छोड़कर जो इन कोष्ठकों से पहले आता है:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

उदाहरण 3एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 6+(−3)+(−2)

दोनों जगहों पर जहां कोष्ठक होते हैं, उनके आगे धन का चिह्न लगा होता है। यहाँ फिर से, पहला कोष्ठक विस्तार नियम लागू होता है:

कभी-कभी कोष्ठक में पहला पद बिना चिन्ह के लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 1+(2+3−4) कोष्ठक में पहला पद 2 बिना चिन्ह के लिखा है। प्रश्न उठता है कि कोष्ठकों के सामने और कोष्ठक के सामने का जोड़ हटा दिए जाने के बाद ड्यूस से पहले कौन सा चिन्ह आएगा? जवाब खुद ही बताता है - ड्यूस के सामने एक प्लस होगा।

वास्तव में, कोष्ठक में होने पर भी ड्यूस के आगे एक प्लस होता है, लेकिन हम इसे इस तथ्य के कारण नहीं देखते हैं कि यह नीचे नहीं लिखा गया है। हम पहले ही कह चुके हैं कि सकारात्मक संख्याओं का पूर्ण अंकन ऐसा दिखता है +1, +2, +3. लेकिन प्लसस को पारंपरिक रूप से नहीं लिखा जाता है, इसलिए हम उन सकारात्मक संख्याओं को देखते हैं जो हमसे परिचित हैं। 1, 2, 3 .

इसलिए, व्यंजक में कोष्ठक खोलने के लिए 1+(2+3−4) , आपको इन कोष्ठकों के सामने हमेशा की तरह प्लस के साथ कोष्ठकों को छोड़ना होगा, लेकिन पहले शब्द को कोष्ठक में प्लस चिह्न के साथ लिखें:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

उदाहरण 4एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें −5 + (2 − 3)

कोष्ठकों के सामने एक धन होता है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए पहला नियम लागू करते हैं, अर्थात्, हम कोष्ठकों को उन कोष्ठकों से पहले आने वाले जोड़ के साथ छोड़ देते हैं। लेकिन पहला पद, जो कोष्ठक में धन चिह्न के साथ लिखा गया है:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

उदाहरण 5एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें (−5)

कोष्ठक से पहले एक प्लस है, लेकिन यह इस तथ्य के कारण नहीं लिखा गया है कि इससे पहले कोई अन्य संख्या या अभिव्यक्ति नहीं थी। हमारा कार्य कोष्ठक के विस्तार के लिए पहला नियम लागू करके कोष्ठक को हटाना है, अर्थात्, इस प्लस के साथ कोष्ठक को छोड़ना (भले ही यह अदृश्य हो)

उदाहरण 6एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 2a + (−6a + b)

कोष्ठक के आगे एक धन होता है, इसलिए यह जोड़ कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है। कोष्ठक में जो लिखा था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

उदाहरण 7एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

इस अभिव्यक्ति में, दो स्थान हैं जहाँ आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। दोनों वर्गों में, कोष्ठक के सामने एक प्लस है, जिसका अर्थ है कि यह प्लस कोष्ठक के साथ छोड़ दिया गया है। कोष्ठक में जो लिखा था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a -2d

कोष्ठक खोलने का दूसरा नियम

अब आइए दूसरे कोष्ठक विस्तार नियम को देखें। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोष्ठक से पहले एक ऋण होता है।

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण है, तो इस ऋण को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो शब्द कोष्ठक में थे वे उनके संकेत को विपरीत में बदल देते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें

हम देखते हैं कि कोष्ठक से पहले एक ऋण है। तो आपको दूसरा विस्तार नियम लागू करने की आवश्यकता है, अर्थात्, इन कोष्ठकों के सामने माइनस के साथ कोष्ठक को छोड़ दें। इस मामले में, जो शब्द कोष्ठक में थे, उनके चिह्न को विपरीत में बदल देंगे:

हमें कोष्ठक के बिना एक व्यंजक मिला है 5+2+3 . यह व्यंजक 10 के बराबर है, ठीक वैसे ही जैसे कोष्ठकों वाला पिछला व्यंजक 10 के बराबर था।

इस प्रकार, भावों के बीच 5−(−2−3) और 5+2+3 आप एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

उदाहरण 2एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 6 − (−2 − 5)

कोष्ठकों से पहले एक ऋण होता है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करते हैं, अर्थात्, हम कोष्ठक को छोड़ देते हैं और साथ ही इन कोष्ठकों से पहले आने वाले ऋण को भी छोड़ देते हैं। इस मामले में, जो शब्द कोष्ठक में थे, वे विपरीत चिह्नों के साथ लिखे गए हैं:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

उदाहरण 3एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 2 − (7 + 3)

कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करते हैं:

उदाहरण 4एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें −(−3 + 4)

उदाहरण 5एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

ऐसे दो स्थान हैं जहां आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। पहले मामले में, आपको कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करने की आवश्यकता है, और जब अभिव्यक्ति की बारी आती है +(−9−2) आपको पहला नियम लागू करने की आवश्यकता है:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

उदाहरण 6एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें -(-a−1)

उदाहरण 7एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें -(4ए + 3)

उदाहरण 8एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें ए -(4बी + 3) + 15

उदाहरण 9एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 2ए + (3b - b) - (3c + 5)

ऐसे दो स्थान हैं जहां आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। पहले मामले में, आपको कोष्ठक के विस्तार के लिए पहला नियम लागू करने की आवश्यकता है, और जब अभिव्यक्ति की बारी आती है -(3सी+5)आपको दूसरा नियम लागू करने की आवश्यकता है:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

उदाहरण 10एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें -ए - (−4a) + (−6b) - (−8c + 15)

ऐसे तीन स्थान हैं जहां आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। पहले आपको कोष्ठक के विस्तार के लिए दूसरा नियम लागू करना होगा, फिर पहला, और फिर दूसरा:

-ए - (-4 ए) + (-6 बी) - (-8 सी + 15) = -ए + 4ए - 6बी + 8सी - 15

कोष्ठक विस्तार तंत्र

कोष्ठक खोलने के नियम, जिन पर हमने अब विचार किया है, गुणन के वितरण नियम पर आधारित हैं:

वास्तव में उद्घाटन कोष्ठकप्रक्रिया को कॉल करें जब सामान्य कारक को कोष्ठक में प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। इस तरह के गुणन के परिणामस्वरूप, कोष्ठक गायब हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

इसलिए, यदि आपको किसी संख्या को कोष्ठक में व्यंजक से गुणा करना है (या कोष्ठक में व्यंजक को किसी संख्या से गुणा करना है), तो आपको यह कहने की आवश्यकता है कोष्ठक खोलना.

लेकिन गुणन का वितरण नियम कोष्ठक खोलने के नियमों से कैसे संबंधित है, जिन पर हमने पहले विचार किया था?

तथ्य यह है कि किसी भी कोष्ठक से पहले एक सामान्य कारक होता है। उदाहरण में 3×(4+5)सामान्य कारक है 3 . और उदाहरण में ए (बी + सी)सामान्य कारक एक चर है ए।

यदि कोष्ठक से पहले कोई संख्या या चर नहीं हैं, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड है 1 या −1 , इस पर निर्भर करता है कि कौन सा वर्ण कोष्ठक से पहले आता है। यदि कोष्ठक के आगे धन हो, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड है 1 . यदि कोष्ठक के आगे ऋण है, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड है −1 .

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें -(3बी−1). कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए आपको कोष्ठक खोलने के लिए दूसरे नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है, अर्थात कोष्ठक से पहले ऋण के साथ कोष्ठक को छोड़ दें। और वह व्यंजक जो कोष्ठक में था, विपरीत चिह्नों के साथ लिखिए:

हमने कोष्ठक विस्तार नियम का उपयोग करके कोष्ठकों का विस्तार किया। लेकिन इन समान कोष्ठकों को गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके खोला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम सबसे पहले कोष्ठक के सामने उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 लिखते हैं, जो नीचे नहीं लिखा गया था:

वह ऋण जो कोष्ठक के सामने खड़ा होता था, इस इकाई को संदर्भित करता है। अब आप गुणन के वितरण नियम को लागू करके कोष्ठक खोल सकते हैं। इसके लिए सामान्य कारक −1 आपको कोष्ठक में प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।

सुविधा के लिए, हम कोष्ठक में अंतर को योग से बदलते हैं:

−1 (3b −1) = -1 (3b + (−1)) = -1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

पिछली बार की तरह, हमें अभिव्यक्ति मिली −3बी+1. हर कोई इस बात से सहमत होगा कि इस बार इतना सरल उदाहरण हल करने में अधिक समय लगा। इसलिए, कोष्ठक खोलने के लिए तैयार नियमों का उपयोग करना अधिक उचित है, जिसे हमने इस पाठ में माना है:

लेकिन यह जानकर दुख नहीं होता कि ये नियम कैसे काम करते हैं।

इस पाठ में, हमने एक और समान परिवर्तन सीखा। कोष्ठकों को खोलने, सामान्य को कोष्ठक से बाहर निकालने और समान पदों को लाने के साथ-साथ, हल किए जाने वाले कार्यों की सीमा को थोड़ा बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

यहां आपको दो क्रियाएं करने की आवश्यकता है - पहले कोष्ठक खोलें, और फिर समान शब्द लाएं। तो, क्रम में:

1) कोष्ठक का विस्तार करें:

2) हम समान पद देते हैं:

परिणामी अभिव्यक्ति में -10b+(−1)आप कोष्ठक खोल सकते हैं:

उदाहरण 2निम्नलिखित व्यंजक में कोष्ठक खोलिए और समान पद जोड़िए:

1) कोष्ठक का विस्तार करें:

2) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।इस बार, समय और स्थान बचाने के लिए, हम यह नहीं लिखेंगे कि गुणांक को सामान्य अक्षर भाग से कैसे गुणा किया जाता है

उदाहरण 3अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 8मी+3मीऔर इसका मान ज्ञात कीजिए एम=−4

1) आइए पहले व्यंजक को सरल करें। अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए 8मी+3मी, आप इसमें सामान्य कारक निकाल सकते हैं एमकोष्ठक के लिए:

2) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए मी(8+3)पर एम=−4. इसके लिए, अभिव्यक्ति में मी(8+3)एक चर के बजाय एमसंख्या बदलें −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

हर जगह। हर जगह और हर जगह, जहाँ भी आप देखते हैं, ऐसे निर्माण होते हैं:

साक्षर लोगों में ये "निर्माण" एक अस्पष्ट प्रतिक्रिया का कारण बनते हैं। कम से कम "क्या यह वास्तव में ऐसा है - है ना?"।
सामान्य तौर पर, व्यक्तिगत रूप से, मैं यह नहीं समझ सकता कि बाहरी उद्धरणों को बंद न करने का "फैशन" कहाँ से आया है। इस संबंध में पहली और एकमात्र सादृश्यता कोष्ठक के साथ सादृश्य है। किसी को संदेह नहीं है कि एक पंक्ति में दो कोष्ठक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए: "पूरे संचलन के लिए भुगतान करें (200 टुकड़े (जिनमें से 100 दोषपूर्ण हैं))"। लेकिन एक पंक्ति में दो उद्धरण स्थापित करने की सामान्यता में, किसी ने संदेह किया (मुझे आश्चर्य है कि पहले कौन था?) ... और अब बिना किसी अपवाद के सभी ने स्पष्ट विवेक के साथ एलएलसी फर्म पुपकोव एंड कंपनी जैसे निर्माण शुरू किए।
लेकिन अगर आपने अपने जीवन में नियम नहीं देखा है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी, तो एकमात्र तार्किक रूप से उचित विकल्प (उदाहरण के रूप में कोष्ठक का उपयोग करना) निम्नलिखित होगा: फर्म पुपकोव और कंपनी एलएलसी।
तो, नियम ही:
यदि किसी उद्धरण की शुरुआत या अंत में (यही बात सीधे भाषण पर लागू होती है) आंतरिक और बाहरी उद्धरण चिह्न हैं, तो उन्हें एक दूसरे से एक पैटर्न (तथाकथित "हेरिंगबोन्स" और "क्यूट्स") में भिन्न होना चाहिए। , और बाहरी उद्धरण चिह्नों को छोड़ा नहीं जाना चाहिए, उदाहरण के लिए: सी जहाज के किनारों को रेडियो किया गया था: "लेनिनग्राद ने उष्णकटिबंधीय में प्रवेश किया है और अपने पाठ्यक्रम पर जारी है।" ज़ुकोवस्की के बारे में, बेलिंस्की लिखते हैं: "ज़ुकोवस्की के युवाओं के समकालीनों ने उन्हें मुख्य रूप से गाथागीत के लेखक के रूप में देखा, और उनके एक संदेश में बट्युशकोव ने उन्हें "बैलाड प्लेयर" कहा।
© रूसी वर्तनी और विराम चिह्न के नियम। - तुला: ऑटोग्राफ, 1995. - 192 पी।
तदनुसार ... यदि आपके पास "क्रिसमस ट्री" उद्धरणों में टाइप करने का अवसर नहीं है, तो आप क्या कर सकते हैं, आपको ऐसे "" आइकन का उपयोग करना होगा। हालाँकि, रूसी उद्धरणों का उपयोग करने की असंभवता (या अनिच्छा) किसी भी तरह से कारण नहीं है कि आप बाहरी उद्धरणों को बंद नहीं कर सकते।

इस प्रकार, ऐसा लगता है कि उन्होंने फर्म पुपकोव और कंपनी एलएलसी के गलत डिजाइन का पता लगाया। एलएलसी फर्म पुपकोव एंड कंपनी के प्रकार के निर्माण भी हैं।
नियम से, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि ऐसे निर्माण निरक्षर हैं ... (सही: एलएलसी फर्म पुपकोव एंड कंपनी।

हालांकि!
मिलचिन्स पब्लिशर्स एंड ऑथर्स हैंडबुक (2004 संस्करण) में कहा गया है कि ऐसे मामलों में दो डिज़ाइन विकल्पों का उपयोग किया जा सकता है। "हेरिंगबोन्स" और "पंजे" का उपयोग और (तकनीकी साधनों के अभाव में) केवल "हेरिंगबोन्स" का उपयोग: दो उद्घाटन और एक समापन।
निर्देशिका "ताज़ा" है और व्यक्तिगत रूप से मेरे यहां तुरंत 2 प्रश्न हैं। सबसे पहले, आप अभी भी किस खुशी के साथ एक समापन उद्धरण-हेरिंगबोन का उपयोग कर सकते हैं (ठीक है, यह अतार्किक है, ऊपर देखें), और दूसरी बात, "तकनीकी साधनों की अनुपस्थिति में" वाक्यांश विशेष रूप से ध्यान आकर्षित करता है। वह कैसा है, क्षमा करें? यहां, नोटपैड खोलें और वहां "ओनली क्रिसमस ट्री: टू ओपनिंग एंड वन क्लोजिंग" टाइप करें। कीबोर्ड पर ऐसे कोई अक्षर नहीं होते हैं। क्रिसमस ट्री को प्रिंट करने से काम नहीं चलता... संयोजन शिफ्ट + 2 से "चिह्न" (जो, जैसा कि आप जानते हैं, एक उद्धरण चिह्न भी नहीं है) उत्पन्न करता है। अब माइक्रोसॉफ्ट वर्ड खोलें और फिर से Shift + 2 दबाएं। प्रोग्राम सही हो जाएगा "से" (या ")। खैर, यह पता चला है कि एक दर्जन से अधिक वर्षों से मौजूद नियम को माइक्रोसॉफ्ट वर्ड के तहत लिया गया और फिर से लिखा गया? जैसे, चूंकि शब्द "फर्म" पुपकोव एंड कंपनी "करता है" फर्म "पुपकोव एंड को", तो अब इसे स्वीकार्य और सही होने दें ???
ऐसा लगता है। और यदि ऐसा है, तो इस तरह के एक नवाचार की शुद्धता पर संदेह करने का हर कारण है।

हां, और एक और स्पष्टीकरण ... "तकनीकी साधनों की कमी" के बारे में। तथ्य यह है कि किसी भी विंडोज कंप्यूटर पर "क्रिसमस ट्री" और "पंजे" दोनों में प्रवेश करने के लिए हमेशा "तकनीकी साधन" होते हैं, इसलिए यह नया "नियम" (मेरे लिए यह उद्धरणों में है) शुरू से ही गलत है!

किसी फॉन्ट के सभी विशेष वर्णों को उस वर्ण की संगत संख्या जानकर आसानी से टाइप किया जा सकता है। यह Alt को दबाए रखने और NumLock कीबोर्ड पर टाइप करने के लिए पर्याप्त है (NumLock दबाया जाता है, संकेतक लाइट चालू है) संबंधित प्रतीक संख्या:

„ Alt + 0132 (बाएं पैर)
"Alt + 0147 (दाहिना पैर)
« Alt + 0171 (बाएं हेरिंगबोन)
» Alt + 0187 (दायां हेरिंगबोन)

इस लेख में, हम गणित पाठ्यक्रम में ऐसे महत्वपूर्ण विषय के लिए बुनियादी नियमों के बारे में विस्तार से विचार करेंगे, जैसे कि प्रारंभिक कोष्ठक। आपको उन समीकरणों को सही ढंग से हल करने के लिए कोष्ठक खोलने के नियमों को जानना होगा जिनमें उनका उपयोग किया जाता है।

जोड़ते समय कोष्ठक को ठीक से कैसे खोलें

"+" चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करें

यह सबसे सरल मामला है, क्योंकि यदि कोष्ठक के सामने एक जोड़ चिह्न है, जब कोष्ठक खोले जाते हैं, तो उनके अंदर के संकेत नहीं बदलते हैं। उदाहरण:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

"-" चिन्ह से पहले कोष्ठक कैसे खोलें

इस मामले में, आपको कोष्ठक के बिना सभी शब्दों को फिर से लिखना होगा, लेकिन साथ ही उनके अंदर के सभी संकेतों को विपरीत में बदलना होगा। संकेत केवल उन कोष्ठकों की शर्तों के लिए बदलते हैं जो "-" चिह्न से पहले थे। उदाहरण:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

गुणा करते समय कोष्ठक कैसे खोलें

कोष्ठक एक गुणक से पहले होते हैं

इस मामले में, आपको प्रत्येक पद को एक गुणनखंड से गुणा करना होगा और चिह्नों को बदले बिना कोष्ठकों को खोलना होगा। यदि गुणक का चिन्ह "-" है, तो गुणा करने पर पदों के चिन्ह उलट जाते हैं। उदाहरण:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

उनके बीच गुणन चिह्न के साथ दो कोष्ठक कैसे खोलें

इस मामले में, आपको पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा। उदाहरण:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

एक वर्ग में कोष्ठक कैसे खोलें

यदि दो पदों के योग या अंतर को चुकता किया जाता है, तो कोष्ठकों को निम्नलिखित सूत्र के अनुसार विस्तारित किया जाना चाहिए:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2।

कोष्ठक के अंदर ऋणात्मक होने की स्थिति में, सूत्र नहीं बदलता है। उदाहरण:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

एक अलग डिग्री में कोष्ठक कैसे खोलें

यदि शब्दों का योग या अंतर बढ़ा दिया जाता है, उदाहरण के लिए, तीसरी या चौथी शक्ति तक, तो आपको बस ब्रैकेट की डिग्री को "वर्गों" में तोड़ने की जरूरत है। समान कारकों की शक्तियों को जोड़ा जाता है, और विभाजित करते समय, भाजक की डिग्री को लाभांश की डिग्री से घटाया जाता है। उदाहरण:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 कोष्ठक कैसे खोलें

ऐसे समीकरण हैं जिनमें 3 कोष्ठक एक साथ गुणा किए जाते हैं। इस मामले में, आपको पहले पहले दो कोष्ठकों के पदों को आपस में गुणा करना होगा, और फिर इस गुणन के योग को तीसरे कोष्ठक के पदों से गुणा करना होगा। उदाहरण:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

ये ब्रैकेट खोलने के नियम रैखिक और त्रिकोणमितीय समीकरणों दोनों पर समान रूप से लागू होते हैं।

यदि आप बॉडी टेक्स्ट से संबंधित जानकारी शामिल करना चाहते हैं, लेकिन वह जानकारी वाक्य या पैराग्राफ के बॉडी में फिट नहीं होती है, तो आपको उस जानकारी को कोष्ठक में रखना होगा। इसे कोष्ठकों में रखने से इसका महत्व कम हो जाता है ताकि यह पाठ के मुख्य बिंदु से विचलित न हो।

• उदाहरण: जे.आर.आर. टॉल्किन (द लॉर्ड ऑफ द रिंग्स के लेखक) और सी.एस. लुईस (द क्रॉनिकल्स ऑफ नार्निया के लेखक) इंकलिंग्स नामक साहित्यिक चर्चा समूह के नियमित सदस्य थे।

कोष्ठक में नोट्स।अक्सर, जब आप किसी संख्यात्मक मान को शब्दों में लिखते हैं, तो उस मान को संख्याओं में लिखना भी सहायक होता है। आप एक संख्यात्मक रूप को कोष्ठक में डालकर निर्दिष्ट कर सकते हैं।

• उदाहरण: उसे इस सप्ताह के अंत तक सात सौ डॉलर ($700) का किराया देना होगा।

सूचीबद्ध करते समय अंकों या अक्षरों का प्रयोग।जब आपको किसी अनुच्छेद या वाक्य के भीतर सूचनाओं की एक श्रृंखला सूचीबद्ध करने की आवश्यकता होती है, तो प्रत्येक अनुच्छेद को क्रमांकित करने से सूची कम भ्रमित हो सकती है। आपको प्रत्येक आइटम के लिए प्रयुक्त संख्याओं या अक्षरों को कोष्ठकों में रखना होगा।

• उदाहरण: एक कंपनी एक नौकरी उम्मीदवार की तलाश में है जो (1) अनुशासित है, (2) फोटो संपादन और सॉफ्टवेयर सुधार में नवीनतम रुझानों के बारे में जानने के लिए सबकुछ जानता है, और (3) कम से कम पांच साल का पेशेवर अनुभव है मैदान।
• उदाहरण: एक कंपनी एक नौकरी उम्मीदवार की तलाश में है जो (ए) अनुशासित है, (बी) फोटो संपादन और सॉफ्टवेयर सुधार में नवीनतम रुझानों के बारे में जानने के लिए सबकुछ जानता है, और (सी) में कम से कम पांच साल का पेशेवर अनुभव है मैदान।

बहुवचन पदनाम।पाठ में, आप बहुवचन का संदर्भ देते हुए एकवचन में किसी चीज़ का उल्लेख कर सकते हैं। यदि यह ज्ञात है कि पाठक को यह जानने से लाभ होगा कि आपका मतलब बहुवचन और एकवचन दोनों से है, तो आप संज्ञा के तुरंत बाद उस संज्ञा के लिए उपयुक्त बहुवचन अंत में कोष्ठक लगाकर अपने इरादे को इंगित कर सकते हैं, यदि संज्ञा का आकार ऐसा है।

• उदाहरण: इस वर्ष उत्सव के आयोजक बड़ी संख्या में दर्शकों की उम्मीद कर रहे हैं, इसलिए अतिरिक्त टिकट खरीदना सुनिश्चित करें।

संक्षिप्ताक्षर अंकन।किसी संगठन, उत्पाद या अन्य इकाई का नाम लिखते समय, जिसका आमतौर पर एक प्रसिद्ध संक्षिप्त नाम है, आपको पाठ में पहली बार इकाई का पूरा नाम दर्ज करना होगा। यदि आप बाद में किसी प्रसिद्ध संक्षिप्त नाम का उपयोग करके किसी वस्तु का उल्लेख करने जा रहे हैं, तो आपको उस संक्षिप्त नाम को कोष्ठक में निर्दिष्ट करना होगा ताकि पाठकों को पता चले कि बाद में क्या देखना है।

• उदाहरण: एनिमल वेलफेयर लीग (पीएलएल) के कर्मचारी और स्वयंसेवक समुदाय के भीतर पशु क्रूरता और दुर्व्यवहार को कम करने और अंततः समाप्त करने की उम्मीद करते हैं।

महत्वपूर्ण तिथियों का उल्लेख।हालांकि हमेशा जरूरी नहीं है, कुछ संदर्भों में आपको उस विशिष्ट व्यक्ति की जन्म तिथि और/या मृत्यु की तारीख प्रदान करने की आवश्यकता हो सकती है जिसका आप पाठ में उल्लेख कर रहे हैं। ऐसी तिथियों को कोष्ठकों में संलग्न किया जाना चाहिए।

• उदाहरण: जेन ऑस्टेन (1775-1817) को उनकी साहित्यिक कृतियों प्राइड एंड प्रेजुडिस एंड सेंस एंड सेंसिबिलिटी के लिए जाना जाता है।
• जॉर्ज मार्टिन (बी। 1948) हिट श्रृंखला गेम ऑफ थ्रोन्स के पीछे का आदमी है।

परिचयात्मक उद्धरणों का उपयोग।गैर-कथा में, जब आप प्रत्यक्ष या परोक्ष रूप से किसी अन्य कार्य का हवाला देते हैं तो परिचयात्मक उद्धरण शामिल किए जाने चाहिए। इन उद्धरणों में ग्रंथ सूची संबंधी जानकारी होती है और उधार ली गई जानकारी के तुरंत बाद कोष्ठक में संलग्न की जानी चाहिए।

• उदाहरण: अनुसंधान से पता चलता है कि माइग्रेन और नैदानिक ​​अवसाद के बीच एक कड़ी है (स्मिथ, 2012)।
• उदाहरण: अनुसंधान से पता चलता है कि माइग्रेन और नैदानिक ​​अवसाद (स्मिथ 32) के बीच एक कड़ी है।
• पाठ में परिचयात्मक उद्धरणों के सही उपयोग के बारे में अधिक जानकारी के लिए, पाठ में उद्धरणों का ठीक से उपयोग कैसे करें देखें।