यदि वाक्य A(n), जो एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n=1 के लिए सत्य है, और इस तथ्य से कि यह n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह भी है अगली संख्या n=k +1 के लिए सत्य है, तो मान लें कि A(n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है।

यदि प्रस्ताव A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि किसी k>p के लिए A(k) X A(k+1), तो प्रस्ताव A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले अभिकथन को n = 1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात, कथन A(1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का एक भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, n=k+1 के लिए कथन की वैधता इस धारणा के तहत साबित होती है कि कथन n=k (प्रेरक धारणा) के लिए सही है, अर्थात। सिद्ध कीजिए कि A(k) ~ A(k+1)

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

• 1) हमारे पास n=1=1 2 है। इसलिए, कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच
• 2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) ~ A(k+1)

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 वास्तव में,
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

तो, ए (के) एक्स ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा A(n) किसी भी n N . के लिए सही है

साबित करो

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), जहां x नंबर 1

• 1) n=1 के लिए हमें प्राप्त होता है
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सत्य है; ए (1) सच

• 2) मान लें कि k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए सूत्र को सत्य होने दें,
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) वास्तव में
• 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n . के लिए सत्य है

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 . है

हल: 1) n=3 के लिए, कथन सत्य है, क्योंकि त्रिभुज में

ए 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 विकर्ण; ए 2 ए(3) सच

2) मान लीजिए कि किसी भी उत्तल k-gon में A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 विकर्ण हैं। A k आइए साबित करें कि एक उत्तल A k+1 (k+1)- में विकर्णों की संख्या A k+1 =(k+1)(k-2)/2 है।

मान लीजिए 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -उत्तल (k+1)-gon। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाते हैं। इस (k + 1)-gon के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। (k+1) के विकर्णों की संख्या - शीर्ष A k+1 से निकलने वाले gon, और, इसके अलावा, किसी को विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखना चाहिए

इस तरह,

जी के+1 =जी के +(के-2)+1=के(के-3)/2+के-1=(के+1)(के-2)/2

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n के लिए कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) मान लें कि n=k

एक्स के \u003d के 2 \u003d के (के + 1) (2k + 1) / 6

3) n=k+1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

हल: 1) मान लीजिए n=1

फिर एक्स 1 = 3 = 1 2 (1+1) 2 /4=1। हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि समानता n=k . के लिए सही है

एक्स के \u003d के 2 (के + 1) 2/4

3) आइए हम इस कथन की सत्यता को n=k+1, अर्थात् सिद्ध करें।

एक्स के+1 =(के+1) 2 (के+2) 2 /4। एक्स के+1 = 3 +2 3 +…+के 3 +(के+1) 3 =के 2 (के+1) 2 /4+(के+1) 3 =(के 2 (के++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है

साबित करो

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ((3 3 +1)/(3 3 -1)) … ((एन 3 +1)/(एन 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), जहां n>2

हल: 1) n=2 के लिए, सर्वसमिका इस प्रकार दिखती है:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), यानी। ये सच है
• 2) मान लें कि n=k . के लिए व्यंजक सत्य है
• (2 3 +1) / (2 3 -1) ... (के 3 +1) / (के 3 -1) \u003d 3के (के + 1) / 2 (के 2 + के + 1)
• 3) हम n=k+1 . के लिए व्यंजक की सत्यता सिद्ध करेंगे
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) … ((के 3 +1)/(के 3 -1)) (((के+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2

((के+1) 2 +(के+1)+1)

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता साबित कर दी है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी n>2 के लिए सही है।

साबित करो

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) किसी भी प्राकृतिक n के लिए

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) मान लें कि n=k, तब
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) हम n=k+1 . के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करेंगे
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो गई है, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

पहचान की वैधता साबित करें

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2/3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए

• 1) n=1 के लिए सर्वसमिका सत्य है 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) मान लें कि n=k . के लिए
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) हम सिद्ध करते हैं कि n=k+1 . के लिए सर्वसमिका सत्य है
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(के 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (के+2)/2(2(के+1)+1)

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि अभिकथन किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

लेकिन (23 133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n=1 के लिए कथन सत्य है; ए (1) सच है।

• 2) मान लें कि (11 k+2 +12 2k+1) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि इस स्थिति में (11 k+3 +12 2k+3) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है। वास्तव में
• 11 k+3 +12 2k+3 =11 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 11 k+2 +

+(11+133) 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

परिणामी राशि शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद 133 से विभाज्य है बिना शेषफल के, और दूसरे में कारकों में से एक 133 है। तो, ए (के) यू ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n 7 n -1 के लिए बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n=1, फिर X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 को बिना शेष के 6 से विभाजित किया जाता है। तो n=1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि n \u003d k 7 k -1 के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

एक्स के+1 \u003d 7 के + 1 -1 \u003d 7 7 के -7 + 6 \u003d 7 (7 के -1) + 6

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1, 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसलिए 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 6 का गुणज है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।

1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 बिना शेष के 11 से विभाजित है।

तो n=1 के लिए कथन सत्य है

• 2) मान लीजिए कि n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है
• 3) हम सिद्ध करते हैं कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसलिए, योग है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से भी विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 11 2n -1 बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n=1, तो 11 2 -1=120 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। तो n=1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि n=k 1 2k -1 के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है
• 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

दोनों पद शेषफल के बिना 6 से विभाज्य हैं: पहले में 6 संख्या 120 का गुणज है, और दूसरी धारणा द्वारा शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। अतः योग शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि 3 3n+3 -26n-27 एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 26 2 (676) से विभाज्य है, बिना शेष बचे

आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n+3 -1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य है

• 1. जब एन = 0
• 3 3 -1=26 26 . से विभाज्य है
• 2. मान लीजिए कि n=k . के लिए
• 3 3k+3 -1 26 . से विभाज्य है
• 3. आइए हम सिद्ध करें कि n=k+1 . के लिए कथन सत्य है
• 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26 से विभाज्य है

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें

• 1) यह स्पष्ट है कि n=1 के लिए कथन सत्य है
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) मान लीजिए कि n=k के लिए व्यंजक 3 3k+3 -26k-27 शेषफल के बिना 26 2 से विभाज्य है
• 3) आइए सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है क्योंकि हमने साबित कर दिया है कि कोष्ठक में व्यंजक 26 से विभाज्य है, और दूसरा आगमनात्मक परिकल्पना से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है

साबित करें कि अगर n>2 और х>0, तो असमानता (1+х) n >1+n ґ

• 1) n=2 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

तो A(2) सत्य है

• 2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) A(k+1) यदि k> 2. मान लें कि A(k) सत्य है, अर्थात असमानता
• (1+х) k >1+k x. (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A(k+1) भी सत्य है, अर्थात् असमानता

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

वास्तव में, असमानता के दोनों पक्षों (3) को एक धनात्मक संख्या 1+x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

अंतिम असमानता के दाहिने पक्ष पर विचार करें; अपने पास

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n> 2 . के लिए मान्य है

सिद्ध कीजिए कि असमानता (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 a> 0 के लिए सही है

हल: 1) m=1 . के लिए

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 दोनों भाग बराबर हैं
• 2) मान लें कि m=k . के लिए
• (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
• 3) आइए हम साबित करें कि m=k+1 के लिए गैर-समानता सत्य है
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((के+1)(के+2)/2) ए 2

हमने m=k+1 के लिए असमानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, असमानता किसी भी प्राकृतिक m के लिए मान्य है।

साबित करें कि n>6 असमानता 3 n>n ґ 2 n+1 . के लिए

आइए इस असमानता को (3/2) n >2n . के रूप में फिर से लिखें

• 1. n=7 के लिए हमारे पास 3 7/2 7 =2187/128>14=2 7 असमानता सत्य है
• 2. मान लीजिए कि n=k (3/2) k >2k . के लिए
• 3) आइए n=k+1 . के लिए असमानता की वैधता साबित करें
• 3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 के बाद से, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, असमानता किसी भी प्राकृतिक n . के लिए मान्य है

साबित करें कि n>2 के लिए असमानता

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/एन 2)<1,7-(1/n)

• 1) n=3 के लिए असमानता सत्य है
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. मान लीजिए कि n=k . के लिए
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/के 2)=1.7-(1/के)
• 3) आइए n=k+1 . के लिए असमानता की वैधता साबित करें
• (1+(1/2 2)+…+(1/के 2))+(1/(के+1) 2)

आइए हम सिद्ध करें कि 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

एस (1/(के+1) 2)+(1/के+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

एस के (के + 2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(के+1) 2)<1,7-(1/k+1)

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर असमानता सिद्ध होती है।

MBOU Lyceum "तकनीकी और आर्थिक"

गणितीय प्रेरण की विधि

गणितीय प्रेरण की विधि।

व्याख्यात्मक नोट

गणितीय प्रोफ़ाइल के 10 वीं कक्षा के छात्रों के लिए पद्धतिगत विकास "गणितीय प्रेरण की विधि" संकलित की गई थी।

प्राथमिक लक्ष्य: छात्रों को गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित कराना और विभिन्न समस्याओं को हल करने में इसे लागू करना सिखाना।

पद्धतिगत विकास में, प्राथमिक गणित के प्रश्नों पर विचार किया जाता है: विभाज्यता की समस्याएं, पहचान का प्रमाण, असमानताओं का प्रमाण, जटिलता की अलग-अलग डिग्री की समस्याएं, ओलंपियाड में पेश की जाने वाली समस्याओं सहित प्रस्तावित हैं।

प्रयोगात्मक विज्ञानों में आगमनात्मक अनुमानों की भूमिका बहुत महान है। वे वे प्रावधान देते हैं, जिनसे फिर कटौती करके आगे के निष्कर्ष निकाले जाते हैं। नाम गणितीय प्रेरण की विधिभ्रामक रूप से - वास्तव में, यह विधि निगमनात्मक है और प्रेरण द्वारा अनुमानित कथनों का एक कठोर प्रमाण देती है। गणितीय प्रेरण की विधि गणित के विभिन्न वर्गों के बीच संबंधों की पहचान में योगदान करती है, छात्र की गणितीय संस्कृति को विकसित करने में मदद करती है।

गणितीय प्रेरण की विधि की परिभाषा। पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण। असमानता का प्रमाण। पहचान का प्रमाण। विभाज्यता समस्याओं का समाधान। "गणितीय प्रेरण की विधि" विषय पर विभिन्न समस्याओं को हल करना।

शिक्षक के लिए साहित्य

1. एमएल गैलिट्स्की। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम का गहन अध्ययन। - एम। ज्ञानोदय। 1986।

2. एल.आई. ज़वाविच। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। उपदेशात्मक सामग्री। एम. ड्रोफ़ा. 2001.

3. एनवाईए विलेनकिन। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण। एम ज्ञानोदय। 1995।

4. यू.वी. मिखेव। गणितीय प्रेरण की विधि। एनजीयू.1995।

छात्रों के लिए साहित्य

1. एन.वाई.ए विलेनकिन। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण। एम ज्ञानोदय। 1995।

2. यू.वी. मिखेव। गणितीय प्रेरण की विधि। एनजीयू.1995।

कीवर्ड

प्रेरण, स्वयंसिद्ध, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत, पूर्ण प्रेरण, अपूर्ण प्रेरण, अभिकथन, पहचान, असमानता, विभाज्यता।

विषय के लिए व्यावहारिक परिशिष्ट

"गणितीय प्रेरण की विधि"।

पाठ 1

गणितीय प्रेरण की विधि की परिभाषा।

नए परिणाम खोजने और सामने रखी गई मान्यताओं की सच्चाई को साबित करने के लिए गणितीय प्रेरण की विधि अत्यधिक प्रभावी तरीकों में से एक है। हालांकि गणित में यह तरीका नया नहीं है, लेकिन इसमें रुचि कम नहीं होती है। पहली बार एक स्पष्ट प्रस्तुति में, गणितीय प्रेरण की विधि को 17 वीं शताब्दी में उत्कृष्ट फ्रांसीसी वैज्ञानिक ब्लेज़ पास्कल द्वारा एक संख्या त्रिभुज के गुणों को साबित करने के लिए लागू किया गया था, जिसे बाद में उनके नाम पर रखा गया था। हालाँकि, गणितीय प्रेरण का विचार प्राचीन यूनानियों को ज्ञात था। गणितीय प्रेरण की विधि गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है। हम गणितीय प्रेरण के विचार पर उदाहरण सहित विचार करेंगे।

उदाहरण 1।

वर्ग को एक खंड द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है, फिर परिणामी भागों में से एक को दो भागों में विभाजित किया जाता है, और इसी तरह। निर्धारित करें कि वर्ग को कितने भागों में बांटा गया है पीकदम?

समाधान।

पहले चरण के बाद, हम, शर्त के अनुसार, 2 भाग प्राप्त करते हैं। दूसरे चरण में, हम एक भाग को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे भाग को 2 भागों में विभाजित करते हैं और 3 भाग प्राप्त करते हैं। तीसरे चरण में, हम 2 भागों को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और तीसरे को दो भागों में विभाजित करते हैं और 4 भाग प्राप्त करते हैं। चौथे चरण में, हम 3 भागों को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और अंतिम भाग को दो भागों में विभाजित करते हैं और 5 भाग प्राप्त करते हैं। पांचवें चरण में हमें 6 भाग मिलेंगे। सुझाव दिया जाता है कि के माध्यम से पीकदम हमें मिलता है (एन+1)अंश। लेकिन इस प्रस्ताव को साबित करने की जरूरत है। आइए मान लें कि के माध्यम से प्रतिवर्ग को चरणों में विभाजित किया गया है (के+1)अंश। तब से (के+1)हम कदम प्रतिभागों को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाएगा, और (के+1)भाग को दो भागों में विभाजित करें और प्राप्त करें (के+2)भागों। आप देखते हैं कि जब तक आप चाहें, तब तक आप इस तरह बहस कर सकते हैं, विज्ञापन अनंत। यानी हमारी धारणा यह है कि पीकदम वर्ग में विभाजित किया जाएगा (एन+1)भाग सिद्ध हो जाता है।

उदाहरण # 2।

मेरी दादी की एक पोती थी जो जैम की बहुत शौकीन थी, और विशेष रूप से एक लीटर जार में। लेकिन दादी ने उसे छूने नहीं दिया। और पोतियों ने अपनी दादी को धोखा देने का फैसला किया। उन्होंने इस जार में से प्रतिदिन 1/10 लीटर खाने का निश्चय किया और इसे अच्छी तरह मिलाते हुए पानी से भर दिया। कितने दिनों के बाद दादी को धोखे का पता चलेगा यदि आधा पानी से पतला होने पर जाम दिखने में वही रहता है?

समाधान।

पता लगाएं कि बाद में जार में कितना शुद्ध जाम रह जाएगा पीदिन। पहले दिन के बाद, मिश्रण 9/10 जैम और 1/10 पानी से युक्त जार में रहेगा। दो दिनों के बाद, पानी और जैम के मिश्रण का 1/10 भाग जार से गायब हो जाएगा और रह जाएगा (मिश्रण के 1 लीटर में 9/10 लीटर जाम होता है, मिश्रण के 1/10 लीटर में 9/100 लीटर जाम होता है)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 लीटर जाम। तीसरे दिन जार से 81/100 जैम और 19/100 पानी का 1/10 लीटर मिश्रण गायब हो जाएगा। 1 लीटर मिश्रण में 81/100 लीटर जाम होता है, 1/10 लीटर मिश्रण में 81/1000 लीटर जाम होता है। 81/100 - 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 दिन के बाद 3 लीटर जाम छोड़ दिया जाएगा, और बाकी को पानी से भर लिया जाएगा। एक पैटर्न सामने आता है। होकर पीबैंक में शेष दिन (9/10) पीमैं जाम। लेकिन फिर, यह सिर्फ हमारा अनुमान है।

होने देना प्रतिएक मनमाना प्राकृतिक संख्या है। आइए मान लें कि के माध्यम से प्रतिबैंक में दिन (9/10) से l जाम रहेगा। देखते हैं एक और दिन में बैंक में क्या होगा, यानी में (के+1)दिन। बैंक से गायब हो जाएगा 1/10लीका एक मिश्रण (9/10) प्रति मैंजाम और पानी। पर 1एलमिश्रण is (9/10) प्रति मैंजाम, में 1/10लीमिश्रण (9/10) कश्मीर+1 मैंजाम। अब हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि पीबैंक में बचे दिन (9/10) पी मैंजाम। 6 दिनों में बैंक के पास होगा 531444/1000000lजाम, 7 दिन बाद - 4782969/10000000lजाम, यानी आधे से भी कम।

उत्तर: 7 दिनों के बाद दादी को धोखे का पता चल जाएगा।

आइए हम विचार की गई समस्याओं के समाधान में सबसे बुनियादी को बाहर करने का प्रयास करें। हमने उनमें से प्रत्येक को अलग-अलग या, जैसा कि वे कहते हैं, विशेष मामलों पर विचार करके हल करना शुरू किया। फिर, अपनी टिप्पणियों के आधार पर, हमने कुछ धारणाएँ बनाईं पी (एन), प्राकृतिक के आधार पर पी।

कथन की जाँच की गई, अर्थात् सिद्ध किया गया पी(1), पी(2), पी(3);

सुझाव दिया जाता है कि पी (एन)के लिए मान्य एन = केऔर निष्कर्ष निकाला कि तब यह अगले के लिए मान्य होगा एन, एन = के + 1।

और फिर उन्होंने कुछ इस तरह तर्क दिया: पी(1)सही, पी(2)सही, पी(3)सही, पी(4)सही... यह सही है पी (एन)।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

कथन पी (एन), प्राकृतिक के आधार पर पी, सभी प्राकृतिक के लिए मान्य है पी, यदि

1) के लिए दावे की वैधता एन = 1;

2) कथन की वैधता की धारणा से पी (एन)पर एन = केचाहिए

न्याय पी (एन)पर एन = के + 1।

गणित में, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को, एक नियम के रूप में, संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों में से एक के रूप में चुना जाता है, और इसलिए, बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत द्वारा प्रमाण की विधि को आमतौर पर गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। ध्यान दें कि विभाज्यता समस्याओं और कई अन्य समस्याओं को हल करने में प्रमेयों, सर्वसमिकाओं, असमानताओं को सिद्ध करने के लिए इस पद्धति का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

पाठ 2

पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण।

मामले में जब एक गणितीय कथन वस्तुओं की एक सीमित संख्या से संबंधित होता है, तो इसे प्रत्येक वस्तु के लिए जाँच करके सिद्ध किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कथन "हर दो अंकों वाली सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है।" प्रमाण की वह विधि जिसमें हम किसी कथन का परिमित संख्या में परीक्षण करते हैं, पूर्ण गणितीय प्रेरण कहलाती है। इस पद्धति का उपयोग अपेक्षाकृत कम ही किया जाता है, क्योंकि बयानों को अक्सर अनंत सेटों पर माना जाता है। उदाहरण के लिए, प्रमेय "कोई भी संख्या दो अभाज्य संख्याओं के योग के बराबर होती है" अब तक न तो सिद्ध हुई है और न ही खंडित है। भले ही हम इस प्रमेय का पहले अरब के लिए परीक्षण कर लें, यह हमें इसे साबित करने के लिए एक कदम भी करीब नहीं लाएगा।

प्राकृतिक विज्ञानों में, अपूर्ण प्रेरण का उपयोग किया जाता है, प्रयोग का कई बार परीक्षण किया जाता है, परिणाम को सभी मामलों में स्थानांतरित किया जाता है।

उदाहरण #3

प्राकृत संख्याओं के घनों के योग के लिए अधूरे प्रेरण सूत्र का उपयोग करके अनुमान लगाएं।

समाधान।

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 ।

सबूत।

इसे सच होने दें एन = के।

आइए साबित करें कि यह सच है एन = के + 1।

निष्कर्ष: प्राकृत संख्याओं के घनों के योग का सूत्र किसी भी प्राकृत के लिए सत्य होता है पी।

उदाहरण #4

समानता पर विचार करें और अनुमान लगाएं कि ये उदाहरण किस सामान्य कानून की ओर ले जाते हैं।

समाधान।

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

उदाहरण #5

निम्नलिखित भावों को योग के रूप में लिखिए:

1)
2)
3)
; 4)
.

ग्रीक अक्षर "सिग्मा"।

उदाहरण #6।

चिह्न का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित योग लिखिए
:

2)

उदाहरण #7.

निम्नलिखित व्यंजकों को उत्पाद के रूप में लिखिए:

1)

3)
4)

उदाहरण # 8।

निम्नलिखित कार्यों को चिन्ह की सहायता से लिखिए

(कैपिटल ग्रीक अक्षर "pi")

1)
2)

उदाहरण #9.

एक बहुपद के मान की गणना एफ ( एन )= एन 2 + एन +11 , पर एन = 1,2,3,4.5,6,7 यह माना जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक के लिएपीसंख्या एफ ( एन ) सरल।

क्या यह धारणा सही है?

समाधान।

यदि प्रत्येक योग एक संख्या से विभाज्य है, तो योग उस संख्या से विभाज्य है,
किसी भी प्राकृत संख्या के लिए अभाज्य संख्या नहीं हैपी।

मामलों की एक सीमित संख्या का विश्लेषण गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: एक या दूसरे कथन का प्रमाण दिए बिना, यह इस कथन के सही सूत्रीकरण का अनुमान लगाने में मदद करता है, यदि यह अभी तक ज्ञात नहीं है। सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के एक सदस्य गोल्डबैक ने इस तरह से यह अनुमान लगाया कि कोई भी प्राकृतिक संख्या, दो से शुरू होकर, अधिकतम तीन अभाज्य संख्याओं का योग है।

अध्याय 3

गणितीय प्रेरण की विधि हमें विभिन्न सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने की अनुमति देती है।

उदाहरण # 10।आइए हम साबित करें कि सभी के लिए पीपहचान

समाधान।

चलो रखो

हमें यह साबित करना होगा कि

आइए हम साबित करें कि फिर पहचान की सच्चाई से

पहचान की सच्चाई इस प्रकार है

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से, सभी के लिए पहचान की सच्चाई पी.

उदाहरण #11.

आइए पहचान साबित करें

सबूत।

समय-समय पर समानताएं।

;
. तो यह पहचान सभी के लिए सही हैपी .

पाठ संख्या 4.

गणितीय प्रेरण द्वारा पहचान का प्रमाण।

उदाहरण #12। आइए पहचान साबित करें

सबूत।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को लागू करते हुए, हमने साबित किया कि समानता सभी के लिए सही है पी.

उदाहरण #13। आइए पहचान साबित करें

सबूत।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को लागू करते हुए, हमने सिद्ध किया कि कथन किसी भी प्राकृतिक के लिए सत्य है पी.

उदाहरण # 14। आइए पहचान साबित करें

सबूत।

उदाहरण # 15। आइए पहचान साबित करें

1) एन = 1;

2) के लिए एन = के समानता

3) साबित करें कि समानता के लिए है एन = के + 1:

निष्कर्ष: पहचान किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है पी।

उदाहरण #16।आइए पहचान साबित करें

सबूत।

यदि एक एन = 1 , फिर

पहचान कायम रहने दें एन = के।

आइए हम साबित करें कि पहचान के लिए है एन = के + 1।

तब पहचान किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है पी.

पाठ संख्या 5.

गणितीय प्रेरण द्वारा पहचान का प्रमाण।

उदाहरण #17.आइए पहचान साबित करें

सबूत।

यदि एक एन = 2 , तो हमें सही समानता मिलती है:

समानता के लिए सत्य होने देंएन = कश्मीर:

आइए हम अभिकथन की वैधता को सिद्ध करें एन = के + 1।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, पहचान सिद्ध होती है।

उदाहरण #18। आइए पहचान साबित करें
n≥2 के लिए।

पर एन = 2 इस पहचान को बहुत ही सरल रूप में फिर से लिखा जा सकता है

और स्पष्ट रूप से सच है।

चलो एन = केवास्तव में

.

आइए हम अभिकथन की वैधता को सिद्ध करेंn=k+1, अर्थात्, समानता संतुष्ट है:।

इसलिए, हमने साबित कर दिया है कि पहचान किसी भी प्राकृतिक के लिए सही है संख्या 2.

उदाहरण #19। आइए पहचान साबित करें

पर एन = 1 हमें सही समानता मिलती है:

आइए मान लें कि एन = केहमें सही समानता भी मिलती है:

आइए हम सिद्ध करें कि समानता की वैधता का पालन किया जाता है एन = के + 1:

तब पहचान किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है पी.

पाठ संख्या 6.

विभाज्यता समस्याओं का समाधान।

उदाहरण # 20।गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि

द्वारा विभाजित 6 एक ट्रेस के बिना।

सबूत।

पर एन = 1 में एक विभाजन है6 एक ट्रेस के बिना,
.

चलो एन = के अभिव्यक्ति
विभिन्न6.

आइए हम साबित करें कि जब एन = के + 1 अभिव्यक्ति
विभिन्न6 .

प्रत्येक पद एक बहु है 6 , इसलिए योग . का गुणज है 6 .

उदाहरण संख्या 21।
पर5 एक ट्रेस के बिना।

सबूत।

पर एन = 1 अभिव्यक्ति विभाज्य है
.

चलो एन = के अभिव्यक्ति
में भी विभाजित5 एक ट्रेस के बिना।

पर एन = के + 1द्वारा विभाजित 5 .

उदाहरण # 22। व्यंजक की विभाज्यता सिद्ध कीजिए
पर16.

सबूत।

पर एन = 1विभिन्न 16 .

चलो एन = के
विभिन्न16.

पर एन = के + 1

सभी पद विभाज्य हैं 16: पहला स्पष्ट रूप से धारणा से दूसरा है, और तीसरे में कोष्ठक में एक सम संख्या है।

उदाहरण #23। विभाज्यता साबित करें
पर676.

सबूत।

आइए पहले यह साबित करें कि
द्वारा विभाजित
.

पर एन = 0
.

चलो एन = के
द्वारा विभाजित26 .

तो फिर एन = के + 1द्वारा विभाजित 26 .

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें।

पर एन = 1द्वारा विभाजित 676.

पर एन = के यह सच है कि
द्वारा विभाजित26 2 .

पर एन = के + 1 .

दोनों पद से विभाज्य हैं 676 ; पहला इसलिए है क्योंकि हमने विभाज्यता को साबित कर दिया है 26 कोष्ठक में व्यंजक, और दूसरा आगमनात्मक परिकल्पना से विभाज्य है।

पाठ संख्या 7.

विभाज्यता समस्याओं का समाधान।

उदाहरण संख्या 24।

साबित करो
द्वारा विभाजित5 एक ट्रेस के बिना।

सबूत।

पर एन = 1
द्वारा विभाजित5.

पर एन = के
द्वारा विभाजित5 एक ट्रेस के बिना।

पर एन = के + 1 प्रत्येक पद से विभाज्य है5 एक ट्रेस के बिना।

उदाहरण #25।

साबित करो
द्वारा विभाजित6 एक ट्रेस के बिना।

सबूत।

पर एन = 1
द्वारा विभाजित6 एक ट्रेस के बिना।

चलो एन = के
द्वारा विभाजित6 एक ट्रेस के बिना।

पर एन = के + 1द्वारा विभाजित 6 कोई शेष नहीं, क्योंकि प्रत्येक पद से विभाज्य है6 शेष के बिना: पहला पद, आगमनात्मक धारणा से, दूसरा, स्पष्ट रूप से, तीसरा, क्योंकि
सम संख्या।

उदाहरण #26।

साबित करो
द्वारा विभाजित करते समय9 शेष देता है 1 .

सबूत।

आइए साबित करें कि
द्वारा विभाजित9 .

पर एन = 1
द्वारा विभाजित 9 . चलो एन = के
द्वारा विभाजित9 .

पर एन = के + 1द्वारा विभाजित 9 .

उदाहरण संख्या 27.

सिद्ध कीजिए कि से विभाज्य है15 एक ट्रेस के बिना।

सबूत।

पर एन = 1द्वारा विभाजित 15 .

चलो एन = केद्वारा विभाजित 15 एक ट्रेस के बिना।

पर एन = के + 1

पहला पद एक बहु है15 प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, दूसरा पद का गुणज है15 - जाहिर है, तीसरा पद . का गुणज है15 , इसलिये
विभिन्न5 (उदाहरण संख्या 21 में सिद्ध), चौथा और पाँचवाँ पद भी गुणज हैं5 , जो स्पष्ट है, तो योग का गुणज है15 .

पाठ संख्या 8-9।

गणितीय प्रेरण द्वारा असमानताओं का प्रमाण

उदाहरण #28।
.

पर एन = 1अपने पास
- सही।

चलो एन = के
एक सच्ची असमानता है।

पर एन = के + 1

तब असमानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है पी.

उदाहरण # 29।सिद्ध कीजिए कि असमानता सत्य है
किसी के लिए पी.

पर एन = 1हमें सही असमानता मिलती है 4 >1.

चलो एन = केअसमानता
.

आइए हम साबित करें कि जब एन = के + 1असमानता

किसी भी प्राकृतिक के लिए प्रतिअसमानता देखी जाती है।

यदि एक
पर
फिर

उदाहरण # 30।

किसी भी प्राकृतिक के लिए पीऔर कोई भी

होने देना एन = 1
, सही।

आइए मान लें कि असमानता के लिए है एन = के:
.

पर एन = के + 1

उदाहरण संख्या 31.असमानता की वैधता साबित करें

किसी भी प्राकृतिक के लिए पी.

आइए पहले हम यह साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक के लिए टीअसमानता

असमानता के दोनों पक्षों को से गुणा करें
. हम एक समान असमानता प्राप्त करते हैं या
;
; - यह असमानता किसी भी प्राकृतिक के लिए है टी.

पर एन = 1मूल असमानता सत्य है
;
;
.

असमानता को स्थिर रहने दें एन = कश्मीर:
.

पर एन = के + 1

पाठ संख्या 10।

विषय पर समस्याओं का समाधान

गणितीय प्रेरण की विधि।

उदाहरण # 32।बर्नौली की असमानता को सिद्ध कीजिए।

यदि एक
, तो सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिएपी असमानता

सबूत।

पर एन = 1 साबित की जा रही असमानता रूप लेती है
और जाहिर तौर पर सही है। आइए मान लें कि यह सच हैएन = के , यह क्या है
.

चूंकि शर्त के अनुसार
, फिर
, और इसलिए असमानता इसका अर्थ नहीं बदलती है जब इसके दोनों भागों को गुणा किया जाता है
:

इसलिये
, तो हमें वह मिलता है

.

तो असमानता के लिए सच है एन = 1, और इसकी सच्चाई से at एन = केयह इस प्रकार है कि यह सच है और एन = के + 1।इसलिए, गणितीय प्रेरण द्वारा, यह सभी प्राकृतिक के लिए धारण करता है पी।

उदाहरण के लिए,

उदाहरण संख्या 33. सभी प्राकृतिक मूल्यों का पता लगाएंपी , जिसके लिए असमानता

समाधान।

पर एन = 1असमानता सही है। पर एन = 2असमानता भी सच है।

पर एन = 3असमानता अब संतुष्ट नहीं है। केवल जब एन = 6असमानता धारण करती है, ताकि प्रेरण आधार के लिए हम ले सकें एन = 6।

मान लें कि असमानता कुछ प्राकृतिक के लिए सही है प्रति:

असमानता पर विचार करें

अंतिम असमानता धारण करती है यदि
n=1 विषय पर परीक्षण कार्य बार-बार दिया जाता है: n≥5 , जहाँ पी- -प्राकृतिक संख्या।

कई गणितीय गुणों और विभिन्न कथनों को सिद्ध करने के लिए पीनो के अभिगृहीत 4 पर आधारित एक प्रमाण विधि का उपयोग किया जाता है। इसका आधार निम्नलिखित प्रमेय है।

प्रमेय. यदि कथन लेकिन(एन)प्राकृतिक चर के साथ एनसच के लिए एन = 1 और इस तथ्य से कि यह सत्य है एन = के, यह इस प्रकार है कि यह अगली संख्या के लिए भी सत्य है एन = कश्मीर,फिर बयान लेकिन(एन) एन.

सबूत. द्वारा निरूपित करें एमउन और केवल उन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय जिसके लिए कथन लेकिन(एन)सच। तब प्रमेय की स्थिति से हमें प्राप्त होता है: 1) 1 एम; 2) के एमकएम. अतः अभिगृहीत 4 के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एम =एन, अर्थात। बयान लेकिन(एन)किसी भी प्राकृतिक के लिए सच एन.

इस प्रमेय पर आधारित प्रमाण की विधि कहलाती है गणितीय प्रेरण की विधि,और अभिगृहीत प्रेरण का अभिगृहीत है। इस प्रमाण के दो भाग हैं:

1) सिद्ध कीजिए कि कथन लेकिन(एन)सच के लिए एन = ए (1);

2) मान लें कि कथन लेकिन(एन)सच के लिए एन = के, और, इस धारणा से शुरू करते हुए, साबित करें कि बयान एक)सच के लिए n=k+ 1, यानी कि कथन सत्य है ए (के) ए (के + 1).

यदि एक लेकिन( 1) लेकिन(के) ए (के + 1) एक सत्य कथन है, तो वे निष्कर्ष निकालते हैं कि कथन एक)किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य एन.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण न केवल कथन की सत्यता की पुष्टि के साथ शुरू हो सकता है एन = 1, लेकिन किसी भी प्राकृतिक संख्या से भी एम. इस मामले में, बयान लेकिन(एन)सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सिद्ध किया जाएगा एनएम.

समस्या। आइए साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए समानता 1 + 3 + 5 ... + (2 .) एन- 1) = एन।

समाधान।समानता 1 + 3 + 5 ... + (2 .) एन- 1) = एनएक सूत्र है जिसका उपयोग पहली क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 = 16 (योग में 4 पद हैं), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 = 36 (योग में 6 पद हैं); यदि इस योग में संकेतित प्रकार के 20 पद हैं, तो यह 20 = 400, आदि के बराबर है। इस समानता की सच्चाई को सिद्ध करने के बाद, हम सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट प्रकार के पदों की संख्या का योग ज्ञात करने में सक्षम होंगे।

1) इस समानता की सच्चाई को सत्यापित करें एन = 1. कब एन = 1 समानता के बाईं ओर 1 के बराबर एक पद होता है, दायां पक्ष 1 = 1 के बराबर होता है। 1 = 1 के बाद से, के लिए एन = 1 यह समानता सत्य है।

2) मान लें कि यह समानता सत्य है एन = के, अर्थात। कि 1 + 3 + 5 +… + (2 .) क- 1) = क।इस धारणा के आधार पर, हम साबित करते हैं कि यह सच है n=k+ 1, यानी 1 + 3 + 5 + ... + (2 .) क- 1) + (2(कश्मीर + 1) - 1) = (कश्मीर + 1).

अंतिम समानता के बाईं ओर पर विचार करें।

धारणा के अनुसार, पहले का योग कशर्तें is कऔर इसलिए 1 + 3 + 5 + ... + (2 .) क- 1) + (2(कश्मीर + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2क- 1) + (2क+ 1)=

= के+(2कश्मीर + 1) = कश्मीर+ 2कश्मीर + 1. अभिव्यक्ति कश्मीर+ 2कश्मीर + 1 समान रूप से व्यंजक के बराबर है ( कश्मीर + 1).

इसलिए, इस समानता की सच्चाई n=k+ 1 सिद्ध होता है।

इस प्रकार, यह समानता सत्य है एन = 1 और इसकी सच्चाई के लिए एन = केसत्य का अनुसरण करता है n=k+ 1.

इससे सिद्ध होता है कि यह समानता किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, न केवल समानता, बल्कि असमानताओं की भी सच्चाई को साबित किया जा सकता है।

एक कार्य। साबित करें कि जहां एन.एन.

समाधान।आइए हम असमानता की सच्चाई की जाँच करें एन = 1. हमारे पास - एक सच्ची असमानता है।

आइए मान लें कि असमानता सत्य है एन = कश्मीर,वे। - सच्ची असमानता। आइए हम इस धारणा के आधार पर साबित करें कि यह सत्य है n=k+ 1, यानी (*).

हम इस बात को ध्यान में रखते हुए असमानता (*) के बाईं ओर रूपांतरित करते हैं कि : .

लेकिन, इसका मतलब .

तो यह असमानता सत्य है एन = 1, और, इस तथ्य से कि असमानता कुछ के लिए सही है एन = क, हमने पाया कि यह इसके लिए भी सत्य है एन = कश्मीर + 1.

इस प्रकार, अभिगृहीत 4 का उपयोग करते हुए, हमने सिद्ध किया है कि यह असमानता किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

अन्य अभिकथन को गणितीय आगमन विधि द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।

एक कार्य। सिद्ध कीजिए कि कथन किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

समाधान. आइए हम इस कथन की सत्यता की जाँच करें एन = 1:- सत्य कथन।

आइए मान लें कि यह कथन सत्य है एन = के: . आइए, इसका उपयोग करते हुए, के लिए कथन की सत्यता को प्रदर्शित करें n=k+ 1: .

आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें: . आइए जानें अंतर कतथा कश्मीर+ 1 सदस्य। यदि यह पता चलता है कि परिणामी अंतर 7 का गुणज है, और यह मानकर कि सबट्रेंड 7 से विभाज्य है, तो मिन्यूएंड भी 7 का गुणज है:

गुणनफल 7 का गुणज है, इसलिए, और .

अत: यह कथन के लिए सत्य है एन = 1 और इसकी सच्चाई के लिए एन = केसत्य का अनुसरण करता है n=k+ 1.

इससे सिद्ध होता है कि यह कथन किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

एक कार्य। सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए एन 2 कथन (7-1)24 सत्य है।

समाधान। 1) के लिए कथन की सत्यता की जाँच करें एन= 2: - सत्य कथन।

सेवलीवा एकातेरिना

पेपर श्रृंखला के योग के लिए, विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि के आवेदन पर विचार करता है। असमानताओं के प्रमाण और ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया जाता है। काम को एक प्रस्तुति के साथ चित्रित किया गया है।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

रूसी संघ के विज्ञान और शिक्षा मंत्रालय

राज्य शैक्षणिक संस्थान

माध्यमिक विद्यालय संख्या 618

पाठ्यक्रम: बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत

परियोजना कार्य विषय

"गणितीय प्रेरण की विधि और समस्या समाधान के लिए इसका अनुप्रयोग"

काम पूरा हो गया है: सेवलीवा ई, 11बी वर्ग

पर्यवेक्षक : मकारोवा टी.पी., गणित शिक्षक, माध्यमिक विद्यालय 618

1 परिचय।

2. विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि।

3. श्रृंखला के योग के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

4. असमानताओं के प्रमाण के लिए गणितीय आगमन की विधि को लागू करने के उदाहरण।

5. ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

6. प्रयुक्त साहित्य की सूची।

परिचय

निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ किसी भी गणितीय शोध का आधार होती हैं। तर्क की निगमन विधि सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रही है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों में जाने पर प्रेरण लागू किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है। गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए प्रयास किया है, अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है। यद्यपि गणितीय प्रेरण की पद्धति के अनुप्रयोग का क्षेत्र बढ़ा है, स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय दिया जाता है, लेकिन आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना इतना महत्वपूर्ण है। समस्याओं को हल करने और प्रमेयों को सिद्ध करने में इस सिद्धांत का अनुप्रयोग अन्य गणितीय सिद्धांतों के स्कूल अभ्यास में विचार के बराबर है: बहिष्कृत मध्य, समावेश-बहिष्करण, डिरिचलेट, आदि। इस निबंध में गणित की विभिन्न शाखाओं की समस्याएं हैं, जिसमें मुख्य उपकरण गणितीय प्रेरण की उपयोग विधि है। इस पद्धति के महत्व के बारे में बोलते हुए, ए.एन. कोलमोगोरोव ने कहा कि "गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को लागू करने की समझ और क्षमता परिपक्वता के लिए एक अच्छा मानदंड है, जो एक गणितज्ञ के लिए नितांत आवश्यक है।" अपने व्यापक अर्थों में प्रेरण की विधि में निजी अवलोकनों से एक सार्वभौमिक, सामान्य पैटर्न या सामान्य सूत्रीकरण में संक्रमण शामिल है। इस व्याख्या में, विधि, निश्चित रूप से, किसी भी प्रायोगिक प्राकृतिक विज्ञान में अनुसंधान करने की मुख्य तकनीक है।

मानवीय गतिविधियाँ। गणितीय प्रेरण की विधि (सिद्धांत) को उसके सरलतम रूप में उपयोग किया जाता है जब सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक कथन को सिद्ध करना आवश्यक होता है।

समस्या 1. अपने लेख "मैं गणितज्ञ कैसे बना" में ए.एन. कोलमोगोरोव लिखते हैं: "मैंने गणितीय "खोज" का आनंद जल्दी सीखा, पांच या छह साल की उम्र में पैटर्न पर ध्यान दिया

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d डब्ल्यू 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 इत्यादि।

स्कूल ने "स्प्रिंग स्वैलोज़" पत्रिका प्रकाशित की। उसमें मेरी खोज प्रकाशित हुई थी..."

हमें नहीं पता कि इस पत्रिका में किस तरह का सबूत दिया गया था, लेकिन यह सब निजी टिप्पणियों से शुरू हुआ। इन आंशिक समानताओं की खोज के बाद संभवतः जो परिकल्पना उत्पन्न हुई, वह यह है कि सूत्र

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

किसी दी गई संख्या के लिए सत्यएन = 1, 2, 3, ...

इस अनुमान को सिद्ध करने के लिए दो तथ्यों को स्थापित करना पर्याप्त है। सबसे पहले, के लिए n = 1 (और यहां तक ​​कि n = . के लिए भी) 2, 3, 4) वांछित कथन सत्य है। दूसरा, मान लीजिए कि कथन सत्य हैएन = के, और सत्यापित करें कि तो यह भी सत्य हैएन = के + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (के + आई) 2।

इसलिए, सिद्ध किया जा रहा दावा सभी मूल्यों के लिए सही है n: n = के लिए 1 यह सच है (यह सत्यापित किया गया है), और दूसरे तथ्य के आधार पर, क्योंकि n = 2, जहां से n = 3 (उसी दूसरे तथ्य के कारण), आदि।

समस्या 2. अंश 1 और कोई भी (धनात्मक पूर्णांक) वाली सभी संभावित साधारण भिन्नों पर विचार करें

हर: साबित करें कि किसी के लिएएन> 3 को योग के रूप में दर्शाया जा सकता हैपी इस प्रकार के विभिन्न अंश।

समाधान, आइए पहले इस अभिकथन की जाँच करेंएन = 3; अपने पास:

इसलिए, मूल दावा संतुष्ट है

अब मान लीजिए कि किसी संख्या के लिए हमारे लिए रुचि का कथन सत्य हैप्रति, और सिद्ध कीजिए कि यह उसके बाद की संख्या के लिए भी सत्य हैप्रति + 1. दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि एक प्रतिनिधित्व है

जिसमें को शब्द और सभी भाजक अलग हैं। आइए हम सिद्ध करें कि तब इकाई का निरूपण योग के रूप में प्राप्त करना संभव हैप्रति वांछित प्रकार के + 1 अंश। हम मान लेंगे कि भिन्न घट रहे हैं, अर्थात हर (इकाई के योग द्वारा निरूपण में)प्रति शब्द) बाएँ से दाएँ बढ़े ताकिटी भाजक में सबसे बड़ा है। हमें योग के रूप में आवश्यक प्रतिनिधित्व मिलेगा(प्रति + 1)वाँ भिन्न, यदि हम एक भिन्न को विभाजित करते हैं, उदाहरण के लिए अंतिम एक, दो में। ऐसा इसलिए किया जा सकता है क्योंकि

और इसीलिए

इसके अलावा, सभी भिन्न भिन्न रहते हैं, क्योंकिटी सबसे बड़ा भाजक था, औरटी + 1> टी, और

एम (टी + 1)> एम।

इस प्रकार, हमने स्थापित किया है:

1. एन = के लिए 3 यह कथन सत्य है;

1. अगर हम जिस कथन में रुचि रखते हैं, वह सत्य हैप्रति,
   तो यह भी सच हैकरने के लिए + 1.

इस आधार पर, हम यह दावा कर सकते हैं कि विचाराधीन कथन तीन से शुरू होकर सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है। इसके अलावा, उपरोक्त प्रमाण में एकता के वांछित विभाजन को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म भी शामिल है। (यह कौन सा एल्गोरिदम है? संख्या 1 की कल्पना स्वयं 4, 5, 7 शब्दों के योग के रूप में करें।)

पिछली दो समस्याओं को हल करने में, दो कदम उठाए गए थे। पहला कदम कहा जाता हैआधार प्रेरण, दूसराआगमनात्मक संक्रमणया एक प्रेरण कदम। दूसरा चरण सबसे महत्वपूर्ण है, और इसमें एक धारणा शामिल है (कथन सत्य है . के लिए)एन = के) और निष्कर्ष (कथन सत्य हैएन = के + 1)। पैरामीटर p को ही कहा जाता है प्रेरण पैरामीटर।यह तार्किक योजना (उपकरण), जो यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है कि विचाराधीन कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं (या सभी के लिए, कुछ से शुरू) के लिए सत्य है, क्योंकि आधार और संक्रमण दोनों ही मान्य हैं, कहा जाता हैगणितीय प्रेरण का सिद्धांत,जिस पर और गणितीय प्रेरण की विधि आधारित है।"प्रेरण" शब्द स्वयं लैटिन शब्द . से आया हैअधिष्ठापन (मार्गदर्शन), जिसका अर्थ है किसी दिए गए वर्ग की व्यक्तिगत वस्तुओं के बारे में एकल ज्ञान से किसी दिए गए वर्ग की सभी वस्तुओं के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष तक, जो ज्ञान के मुख्य तरीकों में से एक है।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत, दो चरणों के सामान्य रूप में, पहली बार 1654 में अंकगणित त्रिभुज पर ब्लेज़ पास्कल के ग्रंथ में दिखाई दिया, जिसमें संयोजनों की संख्या (द्विपद गुणांक) की गणना के लिए एक सरल विधि प्रेरण द्वारा सिद्ध की गई थी। D. पोया ने पुस्तक में B. पास्कल को वर्गाकार कोष्ठकों में दिए गए मामूली परिवर्तनों के साथ उद्धृत किया:

"इस तथ्य के बावजूद कि विचाराधीन प्रस्ताव [द्विपद गुणांक के लिए एक स्पष्ट सूत्र] में अनंत संख्या में विशेष मामले हैं, मैं इसके लिए दो लेम्मा के आधार पर एक बहुत ही छोटा प्रमाण दूंगा।

पहला लेम्मा बताता है कि आधार के लिए अनुमान सही है - यह स्पष्ट है। [परपी = 1 स्पष्ट सूत्र मान्य है...]

दूसरा लेम्मा निम्नलिखित कहता है: यदि हमारी धारणा एक मनमाना आधार [एक मनमाना r के लिए] के लिए सही है, तो यह निम्नलिखित आधार के लिए सही होगा [के लिएएन + 1]।

ये दो नींबू आवश्यक रूप से सभी मूल्यों के लिए प्रस्ताव की वैधता का संकेत देते हैंपी। दरअसल, पहले लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य हैपी = 1; इसलिए, दूसरे लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य हैपी = 2; इसलिए, फिर से दूसरे लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य है n = 3 और इसी तरह एड इनफिनिटम।

समस्या 3. हनोई पहेली के टावरों में तीन छड़ें होती हैं। छड़ में से एक पर एक पिरामिड (चित्र 1) होता है, जिसमें विभिन्न व्यास के कई छल्ले होते हैं, जो नीचे से ऊपर तक घटते हैं

चित्र एक

इस पिरामिड को दूसरी छड़ों में से एक में स्थानांतरित किया जाना चाहिए, हर बार केवल एक अंगूठी को स्थानांतरित करना और बड़ी अंगूठी को छोटे पर नहीं रखना चाहिए। क्या यह किया जा सकता है?

समाधान। तो, हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: क्या एक पिरामिड को स्थानांतरित करना संभव है जिसमेंपी खेल के नियमों का पालन करते हुए, विभिन्न व्यास के छल्ले, एक छड़ से दूसरी छड़ तक? अब समस्या यह है, जैसा कि वे कहते हैं, हमारे द्वारा पैरामीट्रिज्ड (एक प्राकृतिक संख्या .)पी), और इसे गणितीय प्रेरण द्वारा हल किया जा सकता है।

1. प्रेरण का आधार। एन = के लिए 1, सब कुछ स्पष्ट है, क्योंकि एक अंगूठी के पिरामिड को स्पष्ट रूप से किसी भी छड़ में ले जाया जा सकता है।
2. प्रेरण का चरण। मान लीजिए कि हम किसी भी पिरामिड को छल्ले की संख्या के साथ स्थानांतरित कर सकते हैंपी = के।
   आइए हम सिद्ध करें कि तब हम पिरामिड को मध्य से भी स्थानांतरित कर सकते हैंएन = के + 1।

से पिरामिड सबसे बड़े पर पड़े छल्ले(प्रति + 1)-वें वलय, हम धारणा के अनुसार, किसी अन्य धुरी पर जा सकते हैं। हो जाए। स्तब्ध(प्रति + 1)वें वलय विस्थापन एल्गोरिथम को पूरा करने में हमारे साथ हस्तक्षेप नहीं करेगा, क्योंकि यह सबसे बड़ा है। चलने के बादप्रति छल्ले, इसे सबसे बड़ा ले जाएँ(प्रति + 1) शेष छड़ पर छल्ला। और फिर हम आगमनात्मक धारणा द्वारा ज्ञात चलती एल्गोरिथ्म को फिर से लागू करते हैंप्रति छल्ले, और उन्हें छड़ी के साथ ले जाएँ(प्रति + 1)वीं अंगूठी। इस प्रकार, यदि हम पिरामिडों को के साथ स्थानांतरित कर सकते हैंप्रति छल्ले, फिर हम पिरामिडों को स्थानांतरित कर सकते हैं औरप्रति + 1 अंगूठियां। इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, पिरामिड को स्थानांतरित करना हमेशा संभव होता है, जिसमें शामिल हैं n वलय, जहाँ n > 1.

विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संबंध में विभिन्न कथनों को सिद्ध किया जा सकता है।

टास्क 4 . यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो वह संख्या सम होती है।

n=1 के लिए हमारा कथन सत्य है: - एक सम संख्या। आइए मान लें कि यह एक सम संख्या है। चूंकि 2k एक सम संख्या है, इसलिए यह है। तो, n = 1 के लिए समता सिद्ध होती है, समता को समता से घटाया जाता है। इसलिए, n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी।

कार्य 3. सिद्ध कीजिए कि संख्या Z 3 + 3 - 26एन - 27 एक मनमाना प्राकृतिक के साथ n शेषफल के बिना 26 2 से विभाज्य है।

समाधान। आइए पहले हम एक सहायक अभिकथन को शामिल करके सिद्ध करें कि 3 3एन+3 1 26 से विभाज्य है और कोई शेषफल नहीं हैएन > 0.

1. प्रेरण का आधार। n = 0 के लिए हमारे पास है: Z 3 - 1 \u003d 26 - 26 से विभाजित।

प्रेरण का चरण। मान लीजिए 3 3एन + 3 - 1 26 से विभाज्य है जबएन = के, और आइए हम सिद्ध करें कि इस मामले में कथन सत्य होगा n = k + 1. चूंकि 3

फिर आगमनात्मक धारणा से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि संख्या 3 3k + 6 - 1 26 से विभाज्य है।

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें। और फिर से प्रेरण द्वारा।

1. प्रेरण का आधार। यह स्पष्ट है किएन = 1 कथन सत्य है: 3 . के बाद से 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. प्रेरण का चरण। आइए मान लें किएन = के
   व्यंजक 3 3k + 3 - 26k - 27 26 . से विभाज्य है 2 शेषफल के बिना, और सिद्ध कीजिए कि अभिकथन सत्य हैएन = के + 1,
   यानी वह नंबर

26 2 . से विभाज्य एक ट्रेस के बिना। अंतिम योग में, दोनों पदों को शेषफल के बिना 26 . से विभाजित किया जाता है 2 . पहला इसलिए है क्योंकि हमने यह साबित कर दिया है कि कोष्ठक में व्यंजक 26 से विभाज्य है; दूसरा, आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, आवश्यक कथन पूरी तरह से सिद्ध होता है।

श्रृंखला के योग के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

कार्य 5. सूत्र सिद्ध करें

एन एक प्राकृतिक संख्या है।

समाधान।

n=1 के लिए, समानता के दोनों भाग एक में बदल जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

मान लें कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, अर्थात।

आइए इस समानता के दोनों पक्षों को जोड़ें और दाईं ओर को रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है

इस प्रकार, इस तथ्य से कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n=k+1 के लिए भी सत्य है। यह कथन k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सत्य है। तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दूसरी शर्त भी संतुष्ट है। सूत्र सिद्ध हुआ है।

एक कार्य 6. बोर्ड पर दो नंबर लिखे हुए हैं: 1.1। संख्याओं के बीच उनका योग डालने पर हमें संख्याएँ 1, 2, 1 प्राप्त होती हैं। इस संक्रिया को फिर से दोहराने पर हमें संख्याएँ 1, 3, 2, 3, 1 प्राप्त होती हैं। तीन संक्रियाओं के बाद संख्याएँ 1, 4, 3 होंगी। 5, 2, 5, 3, 4, 1. इसके बाद बोर्ड पर सभी संख्याओं का योग क्या होगा? 100 ऑपरेशन?

समाधान। सभी करो 100 संचालन बहुत समय लेने वाला और समय लेने वाला होगा। इसलिए, हमें योग S . के लिए कुछ सामान्य सूत्र खोजने का प्रयास करने की आवश्यकता हैसंख्या के बाद संख्या संचालन। आइए तालिका देखें:

क्या आपने यहां कोई पैटर्न देखा? यदि नहीं, तो आप एक और कदम उठा सकते हैं: चार ऑपरेशनों के बाद, संख्याएँ होंगी

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

जिसका योग S 4 82 है।

वास्तव में, आप संख्याएँ नहीं लिख सकते हैं, लेकिन तुरंत कह सकते हैं कि नई संख्याएँ जोड़ने के बाद योग कैसे बदलेगा। मान लीजिए कि योग 5 के बराबर है। नई संख्याओं को जोड़ने पर यह क्या हो जाएगा? आइए प्रत्येक नई संख्या को दो पुरानी संख्याओं के योग में विभाजित करें। उदाहरण के लिए, 1, 3, 2, 3, 1 से हम 1 पर जाते हैं।

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

यही है, प्रत्येक पुरानी संख्या (दो चरम को छोड़कर) अब तीन बार योग में प्रवेश करती है, इसलिए नया योग 3S - 2 है (लापता इकाइयों को ध्यान में रखते हुए 2 घटाएं)। इसलिए एस 5 = 3एस 4 - 2 = 244, और सामान्य तौर पर

सामान्य सूत्र क्या है? यदि यह दो इकाइयों के घटाव के लिए नहीं होता, तो हर बार योग तीन गुना बढ़ जाता, जैसा कि त्रिगुण (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...) की शक्तियों में होता है। और हमारी संख्या, जैसा कि आप अब देख सकते हैं, एक और हैं। इस प्रकार, यह माना जा सकता है कि

आइए अब इसे प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करें।

प्रेरण का आधार। तालिका देखें (के लिएएन = 0, 1, 2, 3)।

प्रेरण का चरण। चलो दिखावा करते हैं कि

आइए हम सिद्ध करें किएस से + 1 \u003d जेड से + 1 + 1 तक।

सचमुच,

तो, हमारा सूत्र सिद्ध होता है। यह दर्शाता है कि सौ ऑपरेशन के बाद, बोर्ड पर सभी नंबरों का योग 3 . के बराबर होगा 100 + 1.

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग के एक उल्लेखनीय उदाहरण पर विचार करें, जिसमें आपको पहले दो प्राकृतिक मापदंडों का परिचय देना होगा और फिर उनके योग पर प्रेरण करना होगा।

एक कार्य 7. सिद्ध कीजिए कि यदि= 2, x 2 = 3 और हर प्राकृतिक के लिएएन> 3

एक्स एन \u003d जेडएक्स एन - 1 - 2x एन - 2,

फिर

2 एन - 1 + 1, एन = 1, 2, 3, ...

समाधान। ध्यान दें कि इस समस्या में संख्याओं का प्रारंभिक क्रम(एक्स एन) प्रेरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि हमारे अनुक्रम की शर्तें, पहले दो को छोड़कर, आगमनात्मक रूप से दी जाती हैं, अर्थात पिछले वाले के माध्यम से। दिए गए क्रम कहलाते हैंआवर्तक, और हमारे मामले में यह क्रम एक अनोखे तरीके से (इसके पहले दो शब्दों को निर्दिष्ट करके) निर्धारित किया जाता है।

प्रेरण का आधार। इसमें दो अभिकथनों की जाँच शामिल है: n=1 और n=2.B दोनों ही मामलों में, अभिकथन अनुमान से सत्य है।

प्रेरण का चरण। आइए मान लें किएन = के - 1 और एन = के अभिकथन किया जाता है, अर्थात्

आइए, फिर के अभिकथन को सिद्ध करेंएन = के + 1. हमारे पास है:

एक्स 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, जिसे सिद्ध किया जाना था।

टास्क 8. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को फाइबोनैचि संख्याओं के आवर्तक अनुक्रम के कई अलग-अलग सदस्यों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

कश्मीर > 2 के लिए

समाधान। चलो पी - प्राकृतिक संख्या। हम इंडक्शन चालू करेंगेपी।

प्रेरण का आधार। एन = के लिए 1 कथन सत्य है, क्योंकि इकाई स्वयं एक फाइबोनैचि संख्या है।

प्रेरण का चरण। मान लें कि सभी प्राकृत संख्याएँ किसी संख्या से छोटी हैंपी, फाइबोनैचि अनुक्रम के कई अलग-अलग शब्दों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। सबसे बड़ी फाइबोनैचि संख्या ज्ञात कीजिएएफ टी, जो निम्न से अधिक नहीं हैपी; तो एफ टी एन और एफ टी +1> एन।

क्यों कि

प्रेरण परिकल्पना से, संख्यापी- एफ टी फाइबोनैचि अनुक्रम के 5 अलग-अलग सदस्यों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और यह अंतिम असमानता से निम्नानुसार है कि 8 के योग में शामिल फाइबोनैचि अनुक्रम के सभी सदस्य इससे कम हैंएफ टी। इसलिए, संख्या का विस्तारएन = 8 + एफ टी समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है।

असमानताओं के प्रमाण के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग के उदाहरण।

कार्य 9. (बर्नौली की असमानता।)साबित करें कि जब x > -1, x 0, और पूर्णांक n > . के लिए 2 असमानता

(1 + एक्स) एन> 1 + एक्सएन।

समाधान। हम फिर से प्रेरण द्वारा प्रमाण का संचालन करेंगे।

1. प्रेरण का आधार। आइए हम असमानता की वैधता को सत्यापित करेंएन = 2. वास्तव में,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x।

2. प्रेरण का चरण। आइए मान लें कि संख्या के लिएएन = के कथन सत्य है, अर्थात्

(1 + एक्स) के> 1 + एक्सके,

जहाँ k > 2. हम इसे n = k + 1 के लिए सिद्ध करते हैं। हमारे पास है: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (के + 1)x + केएक्स 2> 1 + (के + 1)x।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी के लिए भी मान्य हैएन > 2.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके हल की गई समस्याओं की स्थितियों में हमेशा नहीं, सामान्य कानून जिसे साबित करने की आवश्यकता होती है वह स्पष्ट रूप से तैयार किया जाता है। कभी-कभी यह आवश्यक होता है, विशेष मामलों का अवलोकन करके, पहले यह पता लगाना (अनुमान लगाना) कि वे किस सामान्य कानून की ओर ले जाते हैं, और उसके बाद ही गणितीय प्रेरण द्वारा बताई गई परिकल्पना को सिद्ध करते हैं। इसके अलावा, इंडक्शन वैरिएबल को मास्क किया जा सकता है, और समस्या को हल करने से पहले, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इंडक्शन किस पैरामीटर पर किया जाएगा। उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें।

समस्या 10. सिद्ध कीजिए कि

किसी भी प्राकृतिक के लिएएन > 1.

समाधान, आइए इस असमानता को गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करें।

प्रेरण आधार आसानी से सत्यापित है:1+

आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा

और हमें यह साबित करना बाकी है कि

आगमनात्मक परिकल्पना का उपयोग करते हुए, हम दावा करेंगे कि

यद्यपि यह समानता वास्तव में सत्य है, यह हमें समस्या का समाधान नहीं देती है।

आइए मूल समस्या में आवश्यकता से अधिक मजबूत दावे को साबित करने का प्रयास करें। अर्थात्, हम यह सिद्ध करेंगे कि

ऐसा लग सकता है कि प्रेरण द्वारा इस दावे को साबित करना निराशाजनक है।

हालांकि, पी पर = 1 हमारे पास है: कथन सत्य है। आगमनात्मक चरण को सही ठहराने के लिए, मान लीजिए कि

और फिर हम साबित करेंगे कि

सचमुच,

इस प्रकार, हमने एक मजबूत अभिकथन सिद्ध किया है, जिससे समस्या की स्थिति में निहित अभिकथन तुरंत अनुसरण करता है।

यहाँ शिक्षाप्रद बात यह है कि यद्यपि हमें समस्या में आवश्यकता से अधिक प्रबल अभिकथन सिद्ध करना था, हम आगमनात्मक चरण में अधिक प्रबल धारणा का भी उपयोग कर सकते थे। यह बताता है कि गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का सीधा अनुप्रयोग हमेशा लक्ष्य की ओर नहीं ले जाता है।

समस्या के समाधान में जो स्थिति उत्पन्न होती है उसे कहते हैंआविष्कारक का विरोधाभास।विरोधाभास ही यह है कि अधिक जटिल योजनाओं को अधिक सफलता के साथ लागू किया जा सकता है यदि वे मामले के सार की गहरी समझ पर आधारित हों।

समस्या 11. सिद्ध कीजिए कि 2m + n - 2m किसी भी प्राकृतिक के लिएके प्रकार।

समाधान। यहां हमारे पास दो विकल्प हैं। इसलिए, आप तथाकथित को अंजाम देने की कोशिश कर सकते हैंदोहरा प्रेरण(एक प्रेरण के भीतर एक प्रेरण)।

हम आगमनात्मक तर्क करेंगेपी।

1. पी के अनुसार प्रेरण का आधार।एन = के लिए 1 इसे जांचने की जरूरत है 2 टी ~ 1> टी। इस असमानता को सिद्ध करने के लिए, हम प्रेरण का उपयोग करते हैंटी।

एक) वॉल्यूम द्वारा प्रेरण का आधार।टी = . के लिए 1 चल रहा है
समानता, जो स्वीकार्य है।

बी) टी के अनुसार प्रेरण का चरण।आइए मान लें किटी = के कथन सत्य है, अर्थात् 2 के ~ 1> के। फिर ऊपर
मान लें कि कथन सत्य है, भले हीएम = के + 1।
हमारे पास है:

प्राकृतिक के.

इस प्रकार, असमानता 2 किसी भी प्राकृतिक के लिए प्रदर्शन कियाटी।

2. मद के अनुसार प्रेरण का चरणकोई प्राकृत संख्या चुनें और नियत करेंटी। आइए मान लें किएन = मैं कथन सत्य है (निश्चित के लिए)टी), यानी 2 टी +1 ~ 2> टी 1, और सिद्ध करें कि तब अभिकथन सत्य होगाएन = एल + 1।
हमारे पास है:

किसी भी प्राकृतिक के लिएके प्रकार।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित (के अनुसारपी) समस्या का कथन किसी के लिए भी सत्य हैपी और किसी भी निश्चित . के लिएटी। इस प्रकार, यह असमानता किसी भी प्राकृतिकके प्रकार।

समस्या 12. मान लीजिए m, n और k प्राकृत संख्याएं हैं, औरटी > पी दोनों में से कौन सी संख्या बड़ी है:

हर अभिव्यक्ति मेंप्रति वर्गमूल चिन्ह,टी और एन वैकल्पिक।

समाधान। आइए पहले हम कुछ सहायक अभिकथन सिद्ध करें।

लेम्मा। किसी भी प्राकृतिक के लिएटी और एन (टी> एन) और गैर-ऋणात्मक (जरूरी नहीं कि पूर्णांक हो)एक्स असमानता

सबूत। असमानता पर विचार करें

यह असमानता सही है, क्योंकि बाईं ओर के दोनों कारक सकारात्मक हैं। कोष्ठक का विस्तार और रूपांतरण, हम प्राप्त करते हैं:

अंतिम असमानता के दोनों भागों का वर्गमूल लेते हुए, हम लेम्मा का अभिकथन प्राप्त करते हैं। तो लेम्मा साबित होता है।

अब चलिए समस्या को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए इनमें से पहली संख्या को द्वारा निरूपित करेंएक, और दूसरा के माध्यम सेबी से . आइए साबित करें कि a किसी भी प्राकृतिक के लिएप्रति। सम और विषम के लिए अलग-अलग गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण किया जाएगाप्रति।

प्रेरण का आधार। कश्मीर के लिए = 1 हमारे पास असमानता है

y[t > y/n , जो इस तथ्य के कारण मान्य है किएम> एन। = 2, सिद्ध लेम्मा से प्रतिस्थापित करके वांछित परिणाम प्राप्त किया जाता हैएक्स = 0.

प्रेरण का चरण। मान लीजिए, कुछ के लिएअसमानता के लिए a >b to निष्पक्ष। आइए साबित करें कि

प्रेरण की धारणा और वर्गमूल की एकरसता से, हमारे पास है:

दूसरी ओर, यह सिद्ध लेम्मा का अनुसरण करता है कि

अंतिम दो असमानताओं को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं:

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, अभिकथन सिद्ध होता है।

टास्क 13. (कॉची की असमानता।)सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक संख्या के लिए...,एक पी असमानता

समाधान। n = 2 के लिए असमानता

अंकगणित माध्य और ज्यामितीय माध्य (दो संख्याओं के लिए) को ज्ञात माना जाएगा। होने देनाएन = 2, के = 1, 2, 3, ... और पहले इंडक्शन को पर करेंप्रति। इस प्रेरण का आधार है। अब यह मानते हुए कि वांछित असमानता पहले से ही स्थापित की जा चुकी हैएन = 2 , हम इसे सिद्ध करेंगेपी = 2। हमारे पास है (दो संख्याओं के लिए असमानता का उपयोग करते हुए):

इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा

इस प्रकार, k पर प्रेरण द्वारा, हमने सभी के लिए असमानता सिद्ध कर दी हैपी 9 जो दो की शक्तियाँ हैं।

अन्य मूल्यों के लिए असमानता साबित करने के लिएपी हम "प्रेरण नीचे" का उपयोग करेंगे, अर्थात्, हम यह साबित करेंगे कि यदि असमानता मनमानी गैर-ऋणात्मक के लिए संतुष्ट हैपी संख्या, यह इसके लिए भी मान्य है(पी - 1)वां अंक। इसे सत्यापित करने के लिए, हम ध्यान दें कि, की गई धारणा के अनुसार, के लिएपी संख्या, असमानता

अर्थात् a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. दोनों भागों को विभाजित करनापी -1, हम आवश्यक असमानता प्राप्त करते हैं।

इसलिए, पहले हमने स्थापित किया कि असमानता अनंत संभावित मूल्यों के लिए हैपी, और फिर दिखाया कि यदि असमानता कायम हैपी संख्या, यह इसके लिए भी मान्य है(पी - 1) अंक। इससे अब हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कोटी की असमानता के एक समुच्चय के लिए हैपी किसी के लिए कोई भी गैर-ऋणात्मक संख्याएन = 2, 3, 4, ...

समस्या 14. (डी। उसपेन्स्की।) कोणों वाले किसी त्रिभुज ABC के लिए =सीएबी, = सीबीए तुलनीय हैं, असमानताएं हैं

समाधान। कोण और अनुरूप हैं, और इसका (परिभाषा के अनुसार) इसका अर्थ है कि इन कोणों का एक सामान्य माप है, जिसके लिए = p, = (p, q प्राकृतिक सहअभाज्य संख्याएँ हैं)।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें और इसे योग के ऊपर खींचेंएन = पी + q प्राकृतिक सहअभाज्य संख्याएँ ..

प्रेरण का आधार। p + q = 2 के लिए हमारे पास है: p = 1 और q = 1। तब त्रिभुज ABC समद्विबाहु है, और वांछित असमानताएँ स्पष्ट हैं: वे त्रिभुज असमानता से अनुसरण करते हैं

प्रेरण का चरण। अब मान लीजिए कि p + q = 2, 3, ..., के लिए वांछित असमानताएँ स्थापित हो गई हैं।के -1, जहां के > 2. आइए हम सिद्ध करें कि असमानताएँ के लिए भी मान्य हैंपी + क्यू = के।

चलो एबीसी के साथ दिया गया त्रिभुज है> 2. फिर भुजाएँ AC और BC बराबर नहीं हो सकता: चलोएसी> ई.पू. आइए अब चित्र 2 की तरह एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैंएबीसी; अपने पास:

एसी \u003d डीसी और एडी \u003d एबी + बीडी, इसलिए,

2एसी > एबी + बीडी (1)

अब त्रिभुज पर विचार करेंवीडीसी, जिनके कोण भी तुलनीय हैं:

डीसीबी = (क्यू - पी), बीडीसी = पी।

चावल। 2

यह त्रिभुज आगमनात्मक परिकल्पना को संतुष्ट करता है, और इसलिए

(2)

(1) और (2) को जोड़ने पर, हमारे पास है:

2एसी+बीडी>

और इसीलिए

एक ही त्रिभुज सेडब्ल्यूबीएस प्रेरण परिकल्पना से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

पिछली असमानता को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

इस प्रकार, आगमनात्मक संक्रमण प्राप्त होता है, और समस्या का विवरण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से आता है।

टिप्पणी। समस्या का कथन तब भी मान्य रहता है जब कोण a और p समानुपाती न हों। सामान्य मामले में विचार के आधार पर, हमें पहले से ही एक और महत्वपूर्ण गणितीय सिद्धांत - निरंतरता का सिद्धांत लागू करना होगा।

समस्या 15. कई सीधी रेखाएँ समतल को भागों में विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि इन भागों को सफेद रंग में रंगना संभव है

और काले रंग ताकि एक सामान्य सीमा खंड वाले आसन्न भाग अलग-अलग रंगों के हों (जैसा कि चित्र 3 में है जबएन = 4)।

तस्वीर 3

समाधान। हम लाइनों की संख्या पर प्रेरण का उपयोग करते हैं। तो चलोपी - हमारे विमान को भागों में विभाजित करने वाली रेखाओं की संख्या,एन > 1.

प्रेरण का आधार। अगर केवल एक सीधा है(पी = 1), फिर यह समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करता है, जिनमें से एक को सफेद और दूसरे को काला रंग दिया जा सकता है, और समस्या का कथन सत्य है।

प्रेरण का चरण। आगमनात्मक चरण के प्रमाण को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, एक नई पंक्ति जोड़ने की प्रक्रिया पर विचार करें। यदि हम दूसरी रेखा खींचते हैं(पी= 2), तो हमें चार भाग मिलते हैं जिन्हें विपरीत कोनों को एक ही रंग में रंगकर वांछित तरीके से रंगा जा सकता है। आइए देखें कि यदि हम तीसरी सीधी रेखा खींचते हैं तो क्या होता है। यह कुछ "पुराने" भागों को विभाजित करेगा, जबकि सीमा के नए खंड दिखाई देंगे, जिसके दोनों किनारों पर रंग समान है (चित्र 4)।

चावल। चार

आइए इस प्रकार आगे बढ़ें:एक तरफनई सीधी रेखा से हम रंग बदलेंगे - हम सफेद काला बना देंगे और इसके विपरीत; साथ ही, वे भाग जो इस सीधी रेखा के दूसरी ओर स्थित हैं, उन्हें दोबारा रंगा नहीं गया है (चित्र 5)। तब यह नया रंग आवश्यक आवश्यकताओं को पूरा करेगा: एक ओर, सीधी रेखा पहले से ही वैकल्पिक थी (लेकिन विभिन्न रंगों के साथ), और दूसरी ओर, यह आवश्यक था। खींची गई रेखा से संबंधित एक सामान्य सीमा वाले भागों को अलग-अलग रंगों में रंगने के लिए, हमने इस खींची गई रेखा के केवल एक तरफ के हिस्सों को फिर से रंग दिया।

चित्र 5

आइए अब आगमनात्मक चरण को सिद्ध करें। मान लीजिए कि कुछ के लिएएन = केसमस्या का कथन मान्य है, अर्थात्, समतल के सभी भाग जिनमें इसे इन द्वारा विभाजित किया गया हैप्रतिसीधे, आप सफेद और काले रंग में पेंट कर सकते हैं ताकि पड़ोसी हिस्से अलग-अलग रंगों के हों। आइए हम साबित करें कि तब इस तरह के रंग मौजूद हैंपी= प्रति+ 1 सीधा। आइए हम दो सीधी रेखाओं से तीन में संक्रमण के मामले में इसी तरह आगे बढ़ें। चलो विमान पर खर्च करते हैंप्रतिप्रत्यक्ष। फिर, आगमनात्मक धारणा से, परिणामी "मानचित्र" को वांछित तरीके से रंगीन किया जा सकता है। चलो अब खर्च करते हैं(प्रति+ 1) - सीधी रेखा और इसके एक तरफ हम विपरीत रंगों में रंग बदलते हैं। तो अब(प्रति+ 1)-वीं सीधी रेखा हर जगह अलग-अलग रंगों के वर्गों को अलग करती है, जबकि "पुराने" भाग, जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, सही रंग में रहते हैं। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, समस्या हल हो जाती है।

एक कार्य16. रेगिस्तान के किनारे पर गैसोलीन और एक कार की बड़ी आपूर्ति होती है, जो एक पूर्ण गैस स्टेशन के साथ 50 किलोमीटर की यात्रा कर सकती है। असीमित मात्रा में, ऐसे कनस्तर होते हैं जिनमें आप कार के गैस टैंक से गैसोलीन निकाल सकते हैं और इसे रेगिस्तान में कहीं भी भंडारण के लिए छोड़ सकते हैं। सिद्ध कीजिए कि कार 50 किलोमीटर से अधिक किसी भी पूर्णांक दूरी की यात्रा कर सकती है। गैसोलीन के डिब्बे ले जाने की अनुमति नहीं है, खाली डिब्बे किसी भी मात्रा में ले जाया जा सकता है।

समाधान।आइए इसे प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करेंपी,कि कार चला सकती हैपीरेगिस्तान के किनारे से किलोमीटर। परपी= 50 ज्ञात है। यह प्रेरण के चरण को पूरा करना और यह बताना है कि वहां कैसे पहुंचा जाएएन = के+ 1 किमी यदि ज्ञात होएन = केकिलोमीटर चलाया जा सकता है।

हालाँकि, यहाँ हमें एक कठिनाई का सामना करना पड़ता है: हमारे पास होने के बादप्रतिकिलोमीटर, गैसोलीन वापसी यात्रा (भंडारण का उल्लेख नहीं करने के लिए) के लिए भी पर्याप्त नहीं हो सकता है। और इस मामले में, साबित होने वाले दावे (आविष्कारक का विरोधाभास) को मजबूत करने का तरीका है। हम साबित करेंगे कि न केवल गाड़ी चलाना संभव हैपीकिलोमीटर, लेकिन दूरी पर एक बिंदु पर गैसोलीन की मनमाने ढंग से बड़ी आपूर्ति करने के लिएपीरेगिस्तान के किनारे से किलोमीटर की दूरी पर, परिवहन के अंत के बाद इस बिंदु पर होने के नाते।

प्रेरण का आधार।बता दें कि गैसोलीन की एक इकाई एक किलोमीटर की यात्रा को पूरा करने के लिए आवश्यक गैसोलीन की मात्रा है। फिर 1 किलोमीटर की उड़ान और पीछे के लिए दो यूनिट गैसोलीन की आवश्यकता होती है, इसलिए हम किनारे से एक किलोमीटर की दूरी पर 48 यूनिट गैसोलीन भंडारण में छोड़ सकते हैं और अधिक के लिए वापस आ सकते हैं। इस प्रकार, भंडारण की कई यात्राओं के लिए, हम एक मनमाना आकार का स्टॉक बना सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। वहीं, 48 यूनिट स्टॉक बनाने के लिए हम 50 यूनिट पेट्रोल खर्च करते हैं।

प्रेरण का चरण।आइए मान लें कि कुछ दूरी परपी= प्रतिरेगिस्तान के किनारे से आप कितनी भी मात्रा में पेट्रोल जमा कर सकते हैं। आइए हम साबित करें कि तब कुछ दूरी पर एक भंडार बनाना संभव हैएन = के+ 1 किमी गैसोलीन की किसी भी पूर्व निर्धारित आपूर्ति के साथ और परिवहन के अंत में इस भंडारण पर हो। क्योंकि बिंदु परपी= प्रतिगैसोलीन की असीमित आपूर्ति होती है, फिर (प्रेरण आधार के अनुसार) हम बिंदु पर कई यात्राओं में कर सकते हैंएन = के+1 एक बिंदु बनाने के लिएपी= प्रति4- किसी भी आकार का 1 स्टॉक जो आपको चाहिए।

समस्या की स्थिति की तुलना में अधिक सामान्य कथन की सच्चाई अब गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से आती है।

निष्कर्ष

विशेष रूप से, गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करने के बाद, मैंने गणित के इस क्षेत्र में अपने ज्ञान में सुधार किया, और यह भी सीखा कि उन समस्याओं को कैसे हल किया जाए जो पहले मेरी शक्ति से परे थीं।

मूल रूप से, ये तार्किक और मनोरंजक कार्य थे, अर्थात। सिर्फ वही जो एक विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करना एक मनोरंजक गतिविधि बन जाती है और अधिक से अधिक जिज्ञासु लोगों को गणितीय लेबिरिंथ की ओर आकर्षित कर सकती है। मेरी राय में, यह किसी भी विज्ञान का आधार है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन जारी रखते हुए, मैं यह सीखने की कोशिश करूंगा कि इसे न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीवन में ही समस्याओं को हल करने में कैसे लागू किया जाए।

साहित्य

1. वुलेंकिन इंडक्शन। कॉम्बिनेटरिक्स। शिक्षकों के लिए पुस्तिका। एम।, ज्ञानोदय,

1976.-48 पी।

2. गोलोविना एल.आई., याग्लोम आई.एम. ज्यामिति में प्रेरण। - एम .: गोसूद। प्रकाशक जलाया - 1956 - एस.आई.00। विश्वविद्यालयों / एड के आवेदकों के लिए गणित पर एक मैनुअल। याकोवलेवा जी.एन. विज्ञान। -1981. - पी.47-51।

3. गोलोविना एल.आई., याग्लोम आईएम। ज्यामिति में प्रेरण। -
एम।: नौका, 1961। - (गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान।)

4. आई.टी. डेमिडोव, ए.एन. कोलमोगोरोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ग, ओ.एस. इवाशेव-मुसातोव, बी.ई. वीट्स। पाठ्यपुस्तक / "ज्ञानोदय" 1975।

5.आर. कूरेंट, जी रॉबिंस "गणित क्या है?" अध्याय 1, 2

6. पोपा डी. गणित और प्रशंसनीय तर्क। - एम: नौका, 1975।

7. पोपा डी. गणितीय खोज। - एम .: नौका, 1976।

8. रुबानोव आई.एस. मैथमेटिकल इंडक्शन / मैथमेटिक्स स्कूल की विधि कैसे पढ़ाएं। - एन.एल. - 1996. - एस.14-20।

9. सोमिन्स्की आई.एस., गोलोविना एल.आई., याग्लोम आई.एम. गणितीय प्रेरण की विधि पर। - एम।: नौका, 1977। - (गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान।)

10. सोलोमिंस्की आई.एस. गणितीय प्रेरण की विधि। - एम .: विज्ञान।

63s.

11. सोलोमिंस्की आई.एस., गोलोविना एल.आई., याग्लोम आई.एम. गणितीय प्रेरण पर। - एम .: विज्ञान। - 1967. - एस.7-59।

12.http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

गणित के कई क्षेत्रों में, किसी को उस कथन की सच्चाई को साबित करना होता है, जो इस पर निर्भर करता है, अर्थात, प्रस्ताव की सच्चाई पी (एन)के लिये " एनएनएन (किसी के लिए) एनपर पी (एन)सही)।

यह अक्सर सिद्ध किया जा सकता है गणितीय प्रेरण की विधि।

यह विधि गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित है। इसे आमतौर पर अंकगणित के स्वयंसिद्धों में से एक के रूप में चुना जाता है और इसलिए बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार वाक्य पी (एन)चर के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए सही माना जाता है यदि दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. प्रस्ताव पी (एन)सच के लिए एन= 1.

2. वाक्य से कि पी (एन)सच के लिए एन =क (क -मनमाना प्राकृतिक संख्या) यह इस प्रकार है कि यह सत्य है एन =क+ 1.

गणितीय प्रेरण की विधि को प्रमाण की निम्न विधि के रूप में समझा जाता है:

1. के लिए कथन की सत्यता की जाँच करें एन= 1 प्रेरण का आधार है।

2. मान लीजिए कि कथन सत्य है एन = के -आगमनात्मक धारणा।

3. सिद्ध कीजिए कि यह सत्य के लिए भी सत्य है एन =क+ 1 आगमनात्मक संक्रमण।

कभी-कभी एक सुझाव पी (एन)सच साबित होता है सभी प्राकृतिक के लिए नहीं एन, और कुछ for . से शुरू एन = एन 0. इस मामले में, इंडक्शन बेस में सच्चाई की जाँच की जाती है पी (एन)पर एन = एन 0.

उदाहरण 1होने देना । साबित करो

1. प्रेरण आधार: कब एन= 1 परिभाषा के अनुसार एस 1 = 1 और सूत्र से हमें एक परिणाम मिलता है। कथन सही है।

एन = केतथा ।

एन = के+ 1. आइए हम इसे सिद्ध करें।

दरअसल, आगमनात्मक धारणा से

आइए इस अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें

आगमनात्मक संक्रमण सिद्ध होता है।

टिप्पणी।क्या दिया गया है (एक आगमनात्मक धारणा) और क्या साबित करने की आवश्यकता है, यह लिखना उपयोगी है!

उदाहरण 2सिद्ध करना

1. प्रेरण का आधार। पर एन= 1, कथन स्पष्ट रूप से सत्य है।

2. आगमनात्मक धारणा। होने देना एन = केतथा

3. आगमनात्मक संक्रमण। होने देना एन = के+ 1. आइए साबित करें:

दरअसल, आइए दो संख्याओं के योग के रूप में दाईं ओर वर्ग करें:

एक अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए आगमनात्मक धारणा और सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 3असमानता साबित करें

1. इस मामले में प्रेरण का आधार कथन की सत्यता का सत्यापन है, अर्थात। असमानता की जांच करने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, यह असमानता को पूरा करने के लिए पर्याप्त है: या 63< 64 – неравенство верно.

2. मान लीजिए कि असमानता सत्य है, अर्थात्।

3. मान लीजिए, सिद्ध कीजिए:

हम प्रेरण परिकल्पना का उपयोग करते हैं

यह जानते हुए कि असमानता साबित होने पर दाहिना पक्ष कैसा दिखना चाहिए, हम इस भाग का चयन करते हैं

यह स्थापित करना बाकी है कि अतिरिक्त कारक एकता से अधिक नहीं है। सचमुच,

उदाहरण 4सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के अंत में एक अंक होता है।

1. सबसे छोटी प्राकृत संख्या जिससे कथन सत्य है , के बराबर है। .

2. मान लीजिए कि संख्या अंत में है। इसका अर्थ है कि इस संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है, जहाँ कुछ प्राकृत संख्या है। फिर ।

3. चलो। आइए साबित करें कि यह में समाप्त होता है। परिणामी प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम संख्या में ठीक वही हैं।

आवेदन पत्र

1.4. गणितीय प्रेरण की विधि

जैसा कि आप जानते हैं, गणितीय कथनों (प्रमेय) को प्रमाणित, सिद्ध किया जाना चाहिए। अब हम प्रमाण की एक विधि से परिचित होंगे - गणितीय प्रेरण की विधि।

व्यापक अर्थों में, प्रेरण तर्क का एक तरीका है जो आपको विशेष कथनों से सामान्य कथनों में जाने की अनुमति देता है। सामान्य कथनों से विशेष कथनों में विपरीत संक्रमण को कटौती कहा जाता है।

कटौती हमेशा सही निष्कर्ष की ओर ले जाती है। उदाहरण के लिए, हम सामान्य परिणाम जानते हैं: शून्य में समाप्त होने वाले सभी पूर्णांक 5 से विभाज्य हैं। इससे, निश्चित रूप से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 0 में समाप्त होने वाली कोई भी विशिष्ट संख्या, जैसे कि 180, 5 से विभाज्य है।

उसी समय, प्रेरण गलत निष्कर्ष पर ले जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह देखते हुए कि संख्या 60, संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6 से विभाज्य है, हमें यह निष्कर्ष निकालने का कोई अधिकार नहीं है कि 60 किसी भी संख्या से विभाज्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि कई मामलों में सामान्य दावे पी (एन) की वैधता को सख्ती से साबित करना संभव बनाती है, जिसके निर्माण में प्राकृतिक संख्या एन शामिल है।

विधि के आवेदन में 3 चरण शामिल हैं।

1) प्रेरण का आधार: हम n = 1 के लिए कथन P(n) की वैधता की जांच करते हैं (या दूसरे के लिए, n का निजी मान, जिससे P(n) की वैधता मान ली जाती है)।

2) प्रेरण की धारणा: हम मानते हैं कि n = k के लिए P(n) सत्य है।

3) प्रेरण का चरण: धारणा का उपयोग करके, हम साबित करते हैं कि P(n) n = k + 1 के लिए सही है।

परिणामस्वरूप, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि P(n) किसी भी n N के लिए मान्य है। वास्तव में, n = 1 के लिए अभिकथन सत्य है (प्रेरण का आधार)। और इसलिए, यह n = 2 के लिए भी सही है, क्योंकि n = 1 से n = 2 में संक्रमण उचित है (प्रेरण चरण)। प्रेरण के चरण को बार-बार लागू करने पर, हम n = 3, 4, 5, के लिए P(n) की वैधता प्राप्त करते हैं। . अर्थात सभी n के लिए P(n) की वैधता।

उदाहरण 14. पहली n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n2: 1 + 3 + 5 + ... है।

+ (2n - 1) = n2.

प्रमाण गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा किया जाएगा।

1) आधार: n=1 के लिए, बाईं ओर केवल एक पद है, हमें मिलता है: 1 = 1।

कथन सही है।

2) धारणा: हम मानते हैं कि कुछ k के लिए समानता सत्य है: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2।

शॉट्स के दौरान हिट की संभावना के बारे में समस्याओं का समाधान

समस्या का सामान्य विवरण इस प्रकार है:

एक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना $p$ के बराबर है। $n$ शॉट्स निकाल दिए गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लक्ष्य ठीक $k$ बार मारा जाएगा ($k$ हिट होगा)।

हम बर्नौली सूत्र लागू करते हैं और प्राप्त करते हैं:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k)।

यहाँ $C_n^k$ $n$ से $k$ तक के संयोजनों की संख्या है।

यदि समस्या में कई तीर शामिल हैं विभिन्न संभावनाएंलक्ष्य, सिद्धांत, समाधान उदाहरण और एक कैलकुलेटर को मारना जो आप यहां पा सकते हैं।

वीडियो ट्यूटोरियल और एक्सेल टेम्पलेट

बर्नौली शॉट्स के साथ समस्याओं को हल करने पर हमारा वीडियो देखें, सामान्य समस्याओं को हल करने के लिए एक्सेल का उपयोग करना सीखें।

वीडियो से एक्सेल गणना फ़ाइल मुफ्त में डाउनलोड की जा सकती है और आपकी समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जा सकती है।

शॉट्स की एक श्रृंखला में लक्ष्य को मारने पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

आइए कुछ विशिष्ट उदाहरण देखें।

उदाहरण 1 7 गोलियां चलाईं। एक शॉट से टकराने की प्रायिकता 0.705 है। ठीक 5 हिट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हम पाते हैं कि समस्या बार-बार स्वतंत्र परीक्षण (लक्ष्य पर शॉट) से संबंधित है, $n=7$ शॉट्स कुल में निकाल दिए जाते हैं, प्रत्येक $p=0.705$ के साथ हिट होने की संभावना, $q=1-p गुम होने की संभावना = 1-0.705=0.295 $.

हमें यह पता लगाना होगा कि वास्तव में $k=5$ हिट होंगे। हम सब कुछ सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318। $$

उदाहरण 2एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.4 है।

लक्ष्य पर चार स्वतंत्र शॉट दागे जाते हैं। लक्ष्य पर कम से कम एक हिट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हम समस्या का अध्ययन करते हैं और पैरामीटर लिखते हैं: $n=4$ (शॉट), $p=0.4$ (हिट प्रायिकता), $k \ge 1$ (कम से कम एक हिट होगा)।

हम विपरीत घटना की संभावना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं (कोई हिट नहीं है):

$$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$ $$ = 1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 ,6 ^4 = 1- 0.6^4=1- 0.13=0.87. $$

चार में से कम से कम एक बार टकराने की संभावना 0.87 या 87% है।

उदाहरण 3निशानेबाज द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.3 है।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 6 शॉट्स के साथ लक्ष्य तीन से छह बार मारा जाएगा।

पिछली समस्याओं के विपरीत, यहां आपको इस संभावना को खोजने की जरूरत है कि हिट की संख्या एक निश्चित अंतराल में होगी (और कुछ संख्या के बराबर नहीं)। लेकिन सूत्र वही है।

आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि लक्ष्य तीन से छह बार हिट होगा, अर्थात, 3, या 4, या 5, या 6 हिट होंगे।

इन संभावनाओं की गणना सूत्र (1) द्वारा की जाती है:

$$ P_6(3)=C_(6)^3 \cdot 0.3^3\cdot 0.7^3 = 0.185. $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cdot 0.3^4\cdot 0.7^2 = 0.06। $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cdot 0.3^5\cdot 0.7^1 = 0.01। $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cdot 0.3^6\cdot 0.7^0 = 0.001।

चूंकि घटनाएं असंगत हैं, इसलिए संभाव्यता जोड़ सूत्र का उपयोग करके वांछित संभाव्यता पाई जा सकती है: $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6) =$$ $$ = 0.185+0.06+0.01+0.001=0.256.$$

उदाहरण 4चार शॉट के साथ लक्ष्य पर कम से कम एक हिट की संभावना 0.9984 है। एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

आइए हम एक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना को निरूपित करें। आइए एक घटना दर्ज करें:
$A = $ (चार शॉट्स में से, कम से कम एक निशाने पर लगेगा),
साथ ही इसकी विपरीत घटना, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\overline(A) = $ (सभी 4 शॉट लक्ष्य से चूक जाएंगे, कोई हिट नहीं)।

आइए हम $A$ घटना की प्रायिकता का सूत्र लिखें।

आइए ज्ञात मान लिखें: $n=4$, $P(A)=0.9984$। सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

$$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1- (1-पी) ^ 4 = 0.9984।

हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं:

$$ 1-(1-p)^4=0.9984,\\ (1-p)^4=0.0016,\\ 1-p=0.2,\\ p=0.8. $$

तो, एक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना 0.8 है।

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उपयोगी कड़ियाँ

समाधान में तैयार कार्य खोजें:

बर्नौली सूत्र का उपयोग करके ऑनलाइन गणना

एक कैलकुलेटर के साथ एक असमानता का समाधान

गणित में असमानता उन सभी समीकरणों पर लागू होती है जहाँ "=" को निम्नलिखित में से किसी भी वर्ण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: \ [> \] \ [\geq \] \ [

* रैखिक;

* वर्ग;

* भिन्नात्मक;

* सांकेतिक;

* त्रिकोणमितीय;

* लघुगणक।

इसके आधार पर, असमानताओं को रैखिक, आंशिक आदि कहा जाता है।

आपको इन संकेतों के बारे में पता होना चाहिए:

* (>) से अधिक या इससे कम वाली असमानताएँ (

* उन आइकनों के साथ असमानताएं जो \[\geq\] से अधिक या बराबर हैं [\leq\] से कम या उसके बराबर हैं, उन्हें गैर-पेशेवर कहा जाता है;

* आइकन अकेले \[\ne\] समान नहीं है, लेकिन इस आइकन वाले मामलों को हर समय हल करने की आवश्यकता है।

इस तरह की असमानता को पहचान के परिवर्तन द्वारा हल किया जाता है।

हमारा लेख "ऑनलाइन समीकरण के लिए पूर्ण समाधान हल करें" भी पढ़ें

आइए मान लें कि निम्नलिखित असमानता रखती है:

हम इसे एक रेखीय समीकरण की तरह ही हल करते हैं, लेकिन हमें असमानता के संकेत की सावधानीपूर्वक निगरानी करनी चाहिए।

सबसे पहले, हम अज्ञात से बाईं ओर, ज्ञात से दाईं ओर, प्रतीकों को उलटते हुए शब्दों को स्थानांतरित करते हैं:

फिर हम दोनों पक्षों को -4 से विभाजित करते हैं और असमानता चिह्न को उलट देते हैं:

यह इस समीकरण का उत्तर है।

मैं इंटरनेट पर असमानता का समाधान कहां कर सकता हूं?

आप हमारी वेबसाइट Pocketteacher.ru पर समीकरण हल कर सकते हैं।

बर्नौली असमानता कैलकुलेटर

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और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे Vkontakte समूह में पूछ सकते हैं: पॉकेट टीचर। हमारे समूह में शामिल हों, हमें आपकी मदद करने में खुशी होगी।

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समीकरण हल / विभेदक समीकरण

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हल किए गए विभेदक समीकरणों के उदाहरण