अनुदेश
एक मूलांक ऐसे गुणनखंड को चुनिए, जिसे नीचे से हटा दिया जाए जड़वैध अभिव्यक्ति - अन्यथा ऑपरेशन खो जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि संकेत के तहत जड़तीन (घनमूल) के बराबर एक घातांक के साथ लायक है संख्या 128, फिर संकेत के नीचे से निकाला जा सकता है, उदाहरण के लिए, संख्या 5. उसी समय, जड़ संख्या 128 को 5 घनों से विभाजित करना होगा: 128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024। यदि चिह्न के नीचे भिन्नात्मक संख्या की उपस्थिति हो जड़समस्या की स्थितियों का खंडन नहीं करता है, यह इस रूप में संभव है। यदि आपको एक सरल विकल्प की आवश्यकता है, तो पहले मूल अभिव्यक्ति को ऐसे पूर्णांक कारकों में विभाजित करें, जिनमें से एक का घनमूल एक पूर्णांक होगा संख्यामी। उदाहरण के लिए: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2।
यदि आपके दिमाग में संख्या की डिग्री की गणना करना संभव नहीं है, तो मूल संख्या के कारकों का चयन करने के लिए उपयोग करें। यह विशेष रूप से सच है जड़मी दो से अधिक घातांक के साथ। यदि आपके पास इंटरनेट तक पहुंच है, तो आप Google और निगमा सर्च इंजन में निर्मित कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको सबसे बड़ा पूर्णांक कारक खोजने की आवश्यकता है जिसे घन के चिह्न से निकाला जा सकता है जड़ 250 नंबर के लिए, फिर Google वेबसाइट पर जाएं और यह जांचने के लिए "6 ^ 3" क्वेरी दर्ज करें कि क्या साइन के नीचे से निकालना संभव है जड़छह। खोज इंजन 216 के बराबर परिणाम दिखाएगा। काश, 250 को इस से शेष के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता है संख्या. फिर क्वेरी 5^3 दर्ज करें। परिणाम 125 होगा, और यह आपको 250 को 125 और 2 के गुणनखंडों में विभाजित करने की अनुमति देता है, जिसका अर्थ है कि इसे चिह्न से बाहर निकालना जड़ संख्या 5 वहाँ से निकल रहा है संख्या 2.
स्रोत:
- इसे जड़ के नीचे से कैसे निकालें
- उत्पाद का वर्गमूल
नीचे से निकाल लें जड़उन स्थितियों में कारकों में से एक आवश्यक है जहां आपको गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। ऐसे मामले हैं जब कैलकुलेटर का उपयोग करके आवश्यक गणना करना असंभव है। उदाहरण के लिए, यदि संख्याओं के बजाय चर के अक्षरों का उपयोग किया जाता है।
अनुदेश
कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल कारकों में विघटित करें। देखें कि कौन से कारक समान संख्या में बार-बार दोहराए जाते हैं, संकेतकों में दर्शाया गया है जड़, या अधिक। उदाहरण के लिए, आपको संख्या a के मूल को चौथी घात तक ले जाने की आवश्यकता है। इस मामले में, संख्या को a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। सूचक जड़इस मामले में के अनुरूप होगा कारकए3. इसे साइन से बाहर ले जाना चाहिए।
जहां संभव हो, परिणामी मूलकों की जड़ को अलग से निकालें। निष्कर्षण जड़घातांक के विपरीत बीजगणितीय संक्रिया है। निष्कर्षण जड़एक संख्या से एक मनमाना शक्ति, एक संख्या का पता लगाएं, जब इस मनमानी शक्ति को बढ़ाया जाता है, तो एक दी गई संख्या में परिणाम होगा। अगर निष्कर्षण जड़उत्पन्न नहीं किया जा सकता है, मूल अभिव्यक्ति को चिह्न के नीचे छोड़ दें जड़जिस तरह से यह है। उपरोक्त कार्रवाइयों के परिणामस्वरूप, आप नीचे से हटा देंगे संकेत जड़.
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टिप्पणी
कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को कारकों के रूप में लिखते समय सावधान रहें - इस स्तर पर एक त्रुटि गलत परिणाम देगी।
मददगार सलाह
जड़ों को निकालते समय, लॉगरिदमिक जड़ों की विशेष तालिकाओं या तालिकाओं का उपयोग करना सुविधाजनक होता है - इससे सही समाधान खोजने में लगने वाले समय में काफी कमी आएगी।
स्रोत:
- 2019 में जड़ निष्कर्षण संकेत
गणित की कई शाखाओं में बीजीय व्यंजकों का सरलीकरण आवश्यक है, जिसमें उच्च डिग्री के समीकरणों का समाधान, विभेदन और एकीकरण शामिल है। यह गुणनखंडन सहित कई विधियों का उपयोग करता है। इस पद्धति को लागू करने के लिए, आपको एक सामान्य खोजने और निकालने की आवश्यकता है कारकपीछे कोष्टक.
अनुदेश
के लिए सामान्य कारक निकालना कोष्टक- सबसे आम अपघटन विधियों में से एक। इस तकनीक का प्रयोग दीर्घ बीजीय व्यंजकों की संरचना को सरल बनाने के लिए किया जाता है, अर्थात्। बहुपद सामान्य एक संख्या, एकपदी या द्विपद हो सकता है, और इसे खोजने के लिए, गुणन के वितरण गुण का उपयोग किया जाता है।
संख्या। प्रत्येक बहुपद के गुणांकों को ध्यान से देखें कि क्या उन्हें उसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 12 z³ + 16 z² - 4 में, स्पष्ट is . है कारक 4. रूपांतरण के बाद, आपको 4 (3 z³ + 4 z² - 1) मिलते हैं। दूसरे शब्दों में, यह संख्या सभी गुणांकों का सबसे छोटा सामान्य पूर्णांक भाजक है।
मोनोनोमियल। निर्धारित करें कि क्या एक ही चर बहुपद के प्रत्येक पदों में है। आइए मान लें कि यह मामला है, अब गुणांक देखें, जैसा कि पिछले मामले में था। उदाहरण: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z।
इस बहुपद के प्रत्येक अवयव में चर z है। इसके अलावा, सभी गुणांक 3 के गुणज हैं। इसलिए, सामान्य कारक एकपदी 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1) होगा।
द्विपद कोष्टकआम कारकदो का, एक चर और एक संख्या, जो एक सामान्य बहुपद है। इसलिए, यदि कारक-द्विपद स्पष्ट नहीं है, तो आपको कम से कम एक मूल खोजने की आवश्यकता है। बहुपद के मुक्त पद को हाइलाइट करें, यह एक चर के बिना गुणांक है। अब प्रतिस्थापन विधि को मुक्त पद के सभी पूर्णांक भाजक के उभयनिष्ठ व्यंजक में लागू करें।
विचार करें: z^4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. जाँच करें कि क्या 4 z^4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 का कोई पूर्णांक भाजक है। सरल प्रतिस्थापन = 1 और z2 द्वारा z1 खोजें। = 2, तो कोष्टकद्विपद (z - 1) और (z - 2) निकाले जा सकते हैं। शेष व्यंजक खोजने के लिए, एक कॉलम में अनुक्रमिक विभाजन का उपयोग करें।
वृत्त पर उसने दिखाया कि कैसे एक स्तंभ में वर्गमूल निकाले जा सकते हैं। आप मनमाना परिशुद्धता के साथ मूल की गणना कर सकते हैं, इसके दशमलव अंकन में जितने चाहें उतने अंक प्राप्त कर सकते हैं, भले ही वह अपरिमेय हो। एल्गोरिदम याद किया गया था, लेकिन सवाल बने रहे। यह स्पष्ट नहीं था कि विधि कहां से आई और यह सही परिणाम क्यों देती है। यह किताबों में नहीं था, या शायद मैं सिर्फ गलत किताबों में देख रहा था। परिणामस्वरूप, मैं आज जो कुछ भी जानता हूं और कर सकता हूं, उसमें से अधिकांश की तरह, मैंने इसे स्वयं बाहर लाया। मैं यहां अपना ज्ञान साझा करता हूं। वैसे, मुझे अभी भी पता नहीं है कि एल्गोरिथ्म का तर्क कहाँ दिया गया है)))
तो, पहले, एक उदाहरण के साथ, मैं आपको बताता हूं कि "सिस्टम कैसे काम करता है", और फिर मैं समझाता हूं कि यह वास्तव में क्यों काम करता है।
आइए एक संख्या लें (संख्या "छत से" ली गई है, यह बस दिमाग में आया)।
1. हम इसकी संख्याओं को जोड़ियों में विभाजित करते हैं: वे जो दशमलव बिंदु के बाईं ओर हैं, हम दो को दाएँ से बाएँ समूह में रखते हैं, और जो दाईं ओर हैं - दो बाएँ से दाएँ। हम पाते हैं ।
2. हम बाईं ओर के अंकों के पहले समूह से वर्गमूल निकालते हैं - हमारे मामले में यह है (यह स्पष्ट है कि सटीक मूल नहीं निकाला जा सकता है, हम वह संख्या लेते हैं जिसका वर्ग जितना संभव हो सके हमारे द्वारा बनाई गई संख्या के करीब है अंकों का पहला समूह, लेकिन इससे अधिक नहीं)। हमारे मामले में, यह एक संख्या होगी। हम प्रत्युत्तर में लिखते हैं - यह मूल का उच्चतम अंक है।
3. हम उस संख्या को बढ़ाते हैं जो पहले से ही उत्तर में है - यह है - चुकता और बाईं ओर संख्याओं के पहले समूह से घटाना - संख्या से। हमारे मामले में, यह रहता है
4. हम दो संख्याओं के निम्नलिखित समूह को दाईं ओर विशेषता देते हैं: . उत्तर में पहले से मौजूद संख्या से गुणा किया जाता है, हमें मिलता है।
5. अब ध्यान से देखिए। हमें दाईं ओर की संख्या में एक अंक जोड़ने की जरूरत है, और संख्या को उसी नियत अंक से गुणा करना है। परिणाम जितना संभव हो उतना करीब होना चाहिए, लेकिन फिर से इस संख्या से अधिक नहीं। हमारे मामले में, यह एक संख्या होगी, हम इसे आगे, दाईं ओर प्रतिक्रिया में लिखते हैं। यह हमारे वर्गमूल के दशमलव अंकन में अगला अंक है।
6. उत्पाद को से घटाकर, हम प्राप्त करते हैं।
7. इसके बाद, हम परिचित संक्रियाओं को दोहराते हैं: हम अंकों के निम्नलिखित समूह को दाईं ओर गुणा करते हैं, परिणामी संख्या से गुणा करते हैं > दाईं ओर एक अंक निर्दिष्ट करते हैं, जैसे कि जब इससे गुणा किया जाता है, तो हमें एक संख्या छोटी लेकिन निकटतम मिलती है यह - यह अंक है - मूल के दशमलव अंकन में अगला अंक।
गणना निम्नानुसार लिखी जाएगी:
और अब वादा किया स्पष्टीकरण। एल्गोरिथ्म सूत्र पर आधारित है
टिप्पणियाँ: 50
2 एंटोन:
बहुत गन्दा और भ्रमित करने वाला। सब कुछ तोड़ दो और उन्हें नंबर दो। प्लस: समझाएं कि प्रत्येक क्रिया में हम आवश्यक मूल्यों को कहां प्रतिस्थापित करते हैं। मैंने पहले कभी किसी कॉलम में रूट की गणना नहीं की है - मैंने इसे मुश्किल से निकाला है।
5 जूलिया:
6 :
जूलिया, 23 वर्तमान में दाईं ओर लिखा है, ये पहले दो (बाएं) पहले से प्राप्त रूट के अंक हैं जो उत्तर में हैं। हम एल्गोरिथम के अनुसार 2 से गुणा करते हैं। हम पैराग्राफ 4 में वर्णित चरणों को दोहराते हैं।
7zzz:
त्रुटि "6. 167 से हम गुणनफल 43 * 3 = 123 (129 नाडा) घटाते हैं, हमें 38 मिलता है।
यह स्पष्ट नहीं है कि अल्पविराम के बाद यह 08 कैसे निकला ...9 फेडोटोव अलेक्जेंडर:
और यहां तक कि प्री-कैलकुलेटर युग में भी, हमें स्कूल में न केवल वर्ग निकालना सिखाया जाता था, बल्कि एक कॉलम में क्यूब रूट भी सिखाया जाता था, लेकिन यह अधिक थकाऊ और श्रमसाध्य काम है। ब्रैडिस टेबल या स्लाइड नियम का उपयोग करना आसान था, जिसका अध्ययन हम पहले ही हाई स्कूल में कर चुके हैं।
10 :
अलेक्जेंडर, आप सही कह रहे हैं, आप एक स्तंभ और बड़ी डिग्री की जड़ों में निकाल सकते हैं। मैं सिर्फ क्यूब रूट को खोजने के तरीके के बारे में लिखने जा रहा हूं।
12 सर्गेई वैलेंटाइनोविच:
प्रिय एलिजाबेथ अलेक्जेंड्रोवना! 70 के दशक के उत्तरार्ध में, मैंने स्वचालित (यानी, चयन द्वारा नहीं) वर्गों की गणना के लिए एक योजना विकसित की। फेलिक्स एडिंग मशीन पर रूट करें। यदि आप रुचि रखते हैं, तो मैं विवरण भेज सकता हूं।
14 व्लाद औस एंगेल्सस्टेड:
((((एक कॉलम में वर्गमूल निकालना)))
यदि आप 2-nd नंबर सिस्टम का उपयोग करते हैं, तो एल्गोरिथ्म सरल हो जाता है, जिसका अध्ययन कंप्यूटर विज्ञान में किया जाता है, लेकिन यह गणित में भी उपयोगी है। एक। कोलमोगोरोव ने स्कूली बच्चों के लिए लोकप्रिय व्याख्यान में इस एल्गोरिथ्म का हवाला दिया। उनका लेख "चेबीशेव संग्रह" में पाया जा सकता है (गणितीय जर्नल, इंटरनेट पर इसके लिए एक लिंक देखें)
इस अवसर के लिए कहें:
जी. लिबनिज़ एक समय में शुरुआती (जूनियर स्कूली बच्चों) के लिए अपनी सादगी और पहुंच के कारण 10 वीं संख्या प्रणाली से बाइनरी में संक्रमण के विचार के साथ पहुंचे। लेकिन स्थापित परंपराओं को तोड़ना अपने माथे से किले के फाटकों को तोड़ने जैसा है: यह संभव है, लेकिन यह बेकार है। तो यह पता चला है, जैसा कि पुराने दिनों में सबसे अधिक उद्धृत दाढ़ी वाले दार्शनिक के अनुसार: सभी मृत पीढ़ियों की परंपराएं जीवित लोगों की चेतना को दबा देती हैं।फिर मिलते हैं।
15 व्लाद औस एंगेल्सस्टेड:
)) सर्गेई वैलेंटाइनोविच, हाँ, मुझे दिलचस्पी है ... ((
मैं शर्त लगाता हूं कि यह लगातार अनुमानों द्वारा वर्ग घोड़े को निकालने की बेबीलोनियन विधि का फेलिक्स रूपांतर है। इस एल्गोरिथम को न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) द्वारा ओवरराइड किया गया था
मुझे आश्चर्य है कि क्या मैंने पूर्वानुमान में कोई गलती की है?
18 :
2व्लाद औस एंगेल्सस्टेड
हां, बाइनरी में एल्गोरिदम सरल होना चाहिए, यह बहुत स्पष्ट है।
न्यूटन की विधि के बारे में शायद यह है, लेकिन यह अभी भी दिलचस्प है
20 सिरिल:
आपका बहुत बहुत धन्यवाद। लेकिन एल्गोरिथ्म अभी भी मौजूद नहीं है, यह ज्ञात नहीं है कि यह कहाँ से आया है, लेकिन परिणाम सही है। बहुत-बहुत धन्यवाद! लंबे समय से इसकी तलाश कर रहे थे
21 सिकंदर:
और संख्या से जड़ का निष्कर्षण कैसे होगा, जहां बाएं से दाएं का दूसरा समूह बहुत छोटा है? उदाहरण के लिए, सभी का पसंदीदा नंबर 4 398 046 511 104 है। पहले घटाव के बाद, एल्गोरिथम के अनुसार सब कुछ जारी रखना असंभव है। कृपया समझाईए।
22 एलेक्सी:
हाँ, मैं इस तरह से जानता हूँ। मुझे याद है इसे किसी पुराने संस्करण की किताब "बीजगणित" में पढ़ा था। फिर, सादृश्य द्वारा, उन्होंने स्वयं यह अनुमान लगाया कि एक ही कॉलम में क्यूब रूट कैसे निकाला जाए। लेकिन यह वहां पहले से ही अधिक जटिल है: प्रत्येक अंक अब एक (एक वर्ग के लिए) में निर्धारित नहीं किया जाता है, लेकिन दो घटाव में, और यहां तक कि हर बार आपको लंबी संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता होती है।
23 आर्टेम:
56789.321 का वर्गमूल लेने के उदाहरण में गलतियाँ हैं। संख्या 32 के समूह को संख्या 145 और 243 में दो बार असाइन किया गया है, संख्या 2388025 में दूसरे 8 को 3 से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। फिर अंतिम घटाव इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: 2431000 - 2383025 = 47975।
इसके अतिरिक्त, उत्तर के दोगुने मान (अल्पविराम को छोड़कर) से शेष को विभाजित करने पर, हमें महत्वपूर्ण अंकों की एक अतिरिक्त संख्या (47975/(2*238305) = 0.100658819…) मिलती है, जिसे उत्तर में जोड़ा जाना चाहिए (√56789.321 = 238.305… = 238.305100659)।24 सर्गेई:
स्पष्ट रूप से एल्गोरिथम आइजैक न्यूटन की पुस्तक "सामान्य अंकगणित या अंकगणितीय संश्लेषण और विश्लेषण के बारे में एक पुस्तक" से आया है। पेश है उसका एक अंश:
जड़ों के बारे में
किसी संख्या से वर्गमूल निकालने के लिए, सबसे पहले, आपको इकाइयों से शुरू करते हुए, इसकी संख्याओं पर एक से होकर एक बिंदु लगाना चाहिए। फिर भागफल में या मूल में वह संख्या लिखना आवश्यक है जिसका वर्ग पहले बिंदु से पहले की संख्याओं या अंक के दोष के बराबर या निकटतम है। इस वर्ग को घटाने के बाद, मूल के शेष अंक क्रमागत रूप से शेष को मूल के पहले से निकाले गए भाग के मूल्य के दोगुने से विभाजित करके और वर्ग के शेष से हर बार अंतिम अंक और उसके दस गुना उत्पाद को घटाकर प्राप्त किया जाएगा। नामित विभाजक।
25 सर्गेई:
"सामान्य अंकगणित या अंकगणितीय संश्लेषण और विश्लेषण के बारे में एक पुस्तक" पुस्तक का शीर्षक सही करें।
26 सिकंदर:
रोचक सामग्री के लिए धन्यवाद। लेकिन यह विधि मुझे आवश्यकता से कुछ अधिक जटिल लगती है, उदाहरण के लिए, एक स्कूली बच्चे के लिए। मैं पहले दो डेरिवेटिव का उपयोग करके द्विघात फ़ंक्शन के विस्तार के आधार पर अधिक सरल विधि का उपयोग करता हूं। इसका सूत्र है:
sqrt(x)=A1+A2-A3 जहां
A1 एक पूर्णांक है जिसका वर्ग x के सबसे निकट है;
A2 एक भिन्न है, अंश x-A1 में, हर 2*A1 में।
स्कूल के पाठ्यक्रम में आने वाली अधिकांश संख्याओं के लिए, यह परिणाम सौवें तक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है।
यदि आपको अधिक सटीक परिणाम की आवश्यकता है, तो लें
A3 एक भिन्न है, अंश A2 वर्ग में, हर 2 * A1 + 1 में।
बेशक, आपको आवेदन करने के लिए पूर्णांकों के वर्गों की एक तालिका की आवश्यकता है, लेकिन यह स्कूल में कोई समस्या नहीं है। इस सूत्र को याद रखना काफी सरल है।
हालांकि, यह मुझे भ्रमित करता है कि मुझे स्प्रेडशीट के साथ प्रयोगों के परिणामस्वरूप ए 3 अनुभवजन्य रूप से मिला है और यह समझ में नहीं आता कि इस शब्द का ऐसा रूप क्यों है। शायद आप सलाह दे सकते हैं?27 सिकंदर:
हां, मैंने इन बातों पर भी विचार किया है, लेकिन शैतान विवरण में है। तुम लिखो:
"क्योंकि a2 और b पहले से ही काफी भिन्न हैं।" सवाल वास्तव में कितना छोटा है।
यह सूत्र दूसरे दस की संख्या पर और पहले दस की संख्या पर बहुत खराब (सौवें तक नहीं, केवल दसवें तक) पर अच्छा काम करता है। ऐसा क्यों होता है, डेरिवेटिव को शामिल किए बिना समझना पहले से ही मुश्किल है।28 सिकंदर:
मैं स्पष्ट करूंगा कि मेरे द्वारा प्रस्तावित सूत्र का लाभ मुझे कहां दिखाई दे रहा है। इसे अंकों के जोड़े में संख्याओं के बिल्कुल स्वाभाविक विभाजन की आवश्यकता नहीं होती है, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, अक्सर त्रुटियों के साथ किया जाता है। इसका अर्थ स्पष्ट है, लेकिन विश्लेषण से परिचित व्यक्ति के लिए यह तुच्छ है। 100 से 1000 तक की संख्या पर अच्छा काम करता है, जो स्कूल में सबसे आम है।
29 सिकंदर:
वैसे, मैंने कुछ खुदाई की और अपने सूत्र में A3 के लिए सटीक अभिव्यक्ति पाई:
ए3= ए22/2(ए1+ए2)30 वासिल स्ट्रीज़क:
हमारे समय में, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का व्यापक उपयोग, व्यावहारिक दृष्टिकोण से एक संख्या से एक वर्ग घोड़े को निकालने का प्रश्न इसके लायक नहीं है। लेकिन गणित के प्रेमियों के लिए, निश्चित रूप से, इस समस्या को हल करने के लिए विभिन्न विकल्प रुचि के हैं। स्कूल के पाठ्यक्रम में, अतिरिक्त धन को आकर्षित किए बिना इस गणना की विधि एक कॉलम में गुणा और भाग के बराबर होनी चाहिए। गणना एल्गोरिथ्म को न केवल याद किया जाना चाहिए, बल्कि समझने योग्य भी होना चाहिए। सार के प्रकटीकरण के साथ चर्चा के लिए इस सामग्री में प्रदान की गई शास्त्रीय विधि उपरोक्त मानदंडों का पूरी तरह से अनुपालन करती है।
सिकंदर द्वारा प्रस्तावित विधि का एक महत्वपूर्ण दोष पूर्णांकों के वर्गों की तालिका का उपयोग है। स्कूल के पाठ्यक्रम में कितनी संख्या का सामना करना पड़ा, यह सीमित है, लेखक चुप है। जहां तक सूत्र का संबंध है, कुल मिलाकर यह गणना की अपेक्षाकृत उच्च सटीकता को देखते हुए मुझे प्रभावित करता है।31 सिकंदर:
30 वासिल स्ट्रीज़हाकी के लिए
मुझे कुछ भी याद नहीं आया। वर्गों की तालिका 1000 तक मानी जाती है। स्कूल में मेरे समय में, उन्होंने इसे स्कूल में बस याद किया और यह गणित की सभी पाठ्यपुस्तकों में था। मैंने इस अंतराल को स्पष्ट रूप से नाम दिया है।
जहां तक कंप्यूटर तकनीक का सवाल है, इसका उपयोग मुख्य रूप से गणित के पाठों में नहीं किया जाता है, जब तक कि कैलकुलेटर का उपयोग करने का कोई विशेष विषय न हो। कैलकुलेटर अब उन उपकरणों में निर्मित हो गए हैं जो परीक्षा में उपयोग के लिए प्रतिबंधित हैं।32 वासिल स्ट्रीज़क:
अलेक्जेंडर, स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद! मैंने सोचा कि प्रस्तावित विधि के लिए सैद्धांतिक रूप से सभी दो अंकों की संख्याओं के वर्गों की तालिका को याद रखना या उपयोग करना आवश्यक है। फिर 100 से 10000 के अंतराल में शामिल नहीं होने वाली मूल संख्याओं के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं अल्पविराम को स्थानांतरित करके आवश्यक आदेशों की संख्या से उन्हें बढ़ाने या घटाने की विधि।
33 वासिल स्ट्रीज़क:
39 सिकंदर:
सोवियत मशीन "इस्क्रा 555" पर "यम" भाषा में मेरा पहला कार्यक्रम एक कॉलम एल्गोरिथम के अनुसार एक संख्या से वर्गमूल निकालने के लिए लिखा गया था! और अब मैं भूल गया कि इसे मैन्युअल रूप से कैसे निकालना है!
आइए एक उदाहरण के साथ इस एल्गोरिदम पर विचार करें। हमे पता करने दें
पहला कदम। हम मूल के नीचे की संख्या को दो अंकों (दाएं से बाएं) में विभाजित करते हैं:
दूसरा चरण। हम पहले फलक से वर्गमूल निकालते हैं, अर्थात संख्या 65 से हमें संख्या 8 प्राप्त होती है। पहले फलक के नीचे हम संख्या 8 का वर्ग लिखते हैं और घटाते हैं। हम शेष के लिए दूसरे फलक (59) का श्रेय देते हैं:
(संख्या 159 पहला शेषफल है)।
तीसरा चरण। हम पाए गए रूट को दोगुना करते हैं और परिणाम को बाईं ओर लिखते हैं:
चौथा चरण। हम शेष (159) में दाईं ओर एक अंक अलग करते हैं, बाईं ओर हमें दहाई की संख्या मिलती है (यह 15 के बराबर है)। फिर हम 15 को मूल के दोगुने पहले अंक से, यानी 16 से भाग देते हैं, क्योंकि 15, 16 से विभाज्य नहीं है, तो भागफल में हमें शून्य मिलता है, जिसे हम मूल के दूसरे अंक के रूप में लिखते हैं। तो, भागफल में हमें संख्या 80 मिली, जिसे हम फिर से दोगुना करते हैं, और अगले चेहरे को ध्वस्त करते हैं
(संख्या 15901 दूसरा शेषफल है)।
5 वां चरण। हम दूसरे अंक में एक अंक को दायें से अलग करते हैं और परिणामी संख्या 1590 को 160 से विभाजित करते हैं। परिणाम (संख्या 9) को मूल के तीसरे अंक के रूप में लिखा जाता है और संख्या 160 को सौंपा जाता है। परिणामी संख्या 1609 को 9 से गुणा किया जाता है। और हम निम्नलिखित शेष (1420) पाते हैं:
एल्गोरिथ्म में इंगित अनुक्रम में आगे की क्रियाएं की जाती हैं (जड़ को सटीकता की आवश्यक डिग्री के साथ निकाला जा सकता है)।
टिप्पणी। यदि मूल व्यंजक दशमलव भिन्न है, तो उसके पूर्णांक भाग को दाएँ से बाएँ दो अंकों में विभाजित किया जाता है, भिन्नात्मक भाग को बाएँ से दाएँ दो अंकों में विभाजित किया जाता है, और निर्दिष्ट एल्गोरिथम के अनुसार रूट निकाला जाता है।
उपदेशात्मक सामग्री
1. संख्या का वर्गमूल लें: a) 32; बी) 32.45; ग) 249.5; घ) 0.9511।
एक वर्गमूल क्या है?
ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")
यह अवधारणा बहुत सरल है। स्वाभाविक, मैं कहूंगा। गणितज्ञ हर क्रिया के लिए प्रतिक्रिया खोजने की कोशिश करते हैं। जोड़ है और घटाव है। गुणा है और विभाजन है। वहाँ वर्ग है ... तो वहाँ भी है वर्गमूल निकालना!बस इतना ही। यह क्रिया ( वर्गमूल लेना) गणित में इस आइकन द्वारा दर्शाया गया है:
आइकन को ही सुंदर शब्द कहा जाता है " मौलिक".
जड़ कैसे निकालें?विचार करना बेहतर है उदाहरण.
9 का वर्गमूल क्या है? और कौन सी संख्या का वर्ग हमें 9 देगा? 3 चुकता हमें 9 देता है! वे:
शून्य का वर्गमूल क्या होता है? कोई बात नहीं! चुकता शून्य क्या संख्या देता है? हाँ, वह स्वयं शून्य देता है! माध्यम:
पकड़ा गया एक वर्गमूल क्या है?तब हम विचार करते हैं उदाहरण:
उत्तर (अव्यवस्था में): 6; एक; 4; नौ; 5.
तय? सच में, यह बहुत आसान है!
लेकिन... जब कोई व्यक्ति किसी कार्य को जड़ से देखता है तो वह क्या करता है?
एक व्यक्ति तरसने लगता है ... वह जड़ों की सादगी और हल्केपन में विश्वास नहीं करता है। हालांकि उसे पता लगता है वर्गमूल क्या है...
ऐसा इसलिए है क्योंकि जड़ों का अध्ययन करते समय एक व्यक्ति ने कई महत्वपूर्ण बिंदुओं को नजरअंदाज कर दिया है। फिर ये सनक टेस्ट और परीक्षा का बेरहमी से बदला लेती हैं...
बिंदु एक। जड़ों को नजर से पहचानना चाहिए!
49 का वर्गमूल क्या है? सात? सही! आपको कैसे पता चला कि सात थे? सात का वर्ग और 49 मिला? सही ढंग से! कृपया ध्यान दें कि जड़ निकालें 49 में से हमें उल्टा ऑपरेशन करना था - वर्ग 7! और सुनिश्चित करें कि हम चूकें नहीं। या वे चूक सकते हैं ...
इसमें कठिनाई है जड़ निष्कर्षण. बराबरीकोई भी संख्या बिना किसी समस्या के संभव है। एक कॉलम में संख्या को अपने आप से गुणा करें - और बस इतना ही। लेकिन के लिए जड़ निष्कर्षणऐसी कोई सरल और परेशानी मुक्त तकनीक नहीं है। के लिये उत्तरदयी होना उठानाउत्तर दें और इसे हिट बाय स्क्वेयरिंग के लिए जांचें।
यह जटिल रचनात्मक प्रक्रिया - एक उत्तर चुनना - बहुत सरल है यदि आप याद रखनालोकप्रिय संख्याओं के वर्ग। गुणन तालिका की तरह। यदि, मान लें, आपको 4 को 6 से गुणा करने की आवश्यकता है - आप चार को 6 बार नहीं जोड़ते हैं, है ना? उत्तर तुरंत 24 आता है। हालाँकि, सभी के पास यह नहीं है, हाँ ...
जड़ों के साथ स्वतंत्र और सफल कार्य के लिए, 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्गों को जानना पर्याप्त है। इसके अलावा, वहाँऔर वापस।वे। आप दोनों को आसानी से नाम देने में सक्षम होना चाहिए, कहते हैं, 11 वर्ग और 121 का वर्गमूल। इस याद को प्राप्त करने के लिए, दो तरीके हैं। सबसे पहले वर्गों की तालिका सीखना है। यह उदाहरणों के साथ बहुत मदद करेगा। दूसरा अधिक उदाहरणों को हल करना है। वर्गों की तालिका को याद रखना बहुत अच्छा है।
और कोई कैलकुलेटर नहीं! केवल सत्यापन के लिए। नहीं तो परीक्षा के दौरान आप बेरहमी से धीमे हो जाएंगे...
इसलिए, वर्गमूल क्या हैऔर कैसे जड़ें निकालें- मुझे लगता है कि यह समझ में आता है। अब आइए जानें कि आप उन्हें किससे निकाल सकते हैं।
बिंदु दो। रूट, मैं तुम्हें नहीं जानता!
आप किन संख्याओं से वर्गमूल निकाल सकते हैं? हाँ, लगभग कोई भी। यह समझना आसान है क्या यह वर्जित हैउन्हें निकालें।
आइए इस रूट की गणना करने का प्रयास करें:
ऐसा करने के लिए, आपको एक संख्या चुननी होगी जो चुकता हमें -4 देगा। हम चुनते हैं।
क्या नहीं चुना गया है? 2 2 +4 देता है। (-2) 2 फिर से +4 देता है! बस... ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या देगी! भले ही मैं संख्या जानता हूं। लेकिन मैं आपको नहीं बताऊंगा।) कॉलेज जाओ और खुद पता लगाओ।
यही कहानी किसी भी नेगेटिव नंबर की होगी। इसलिए निष्कर्ष:
एक व्यंजक जिसमें एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत है - कोई मतलब नहीं! यह एक निषिद्ध ऑपरेशन है। जैसा कि शून्य से विभाजन के रूप में निषिद्ध है। इस तथ्य को ध्यान में रखें!या, दूसरे शब्दों में:
आप ऋणात्मक संख्याओं से वर्गमूल नहीं निकाल सकते!
लेकिन बाकी सब - आप कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, गणना करना संभव है
पहली नज़र में, यह बहुत मुश्किल है। भिन्न उठाओ, लेकिन वर्ग बनाओ ... चिंता मत करो। जब हम जड़ों के गुणों के बारे में बात करते हैं, तो ऐसे उदाहरणों को उसी वर्ग तालिका में घटा दिया जाएगा। जीवन आसान हो जाएगा!
ठीक अंश। लेकिन हम अभी भी इस तरह के भावों में आते हैं:
ठीक है। सब एक जैसे। दो का वर्गमूल वह संख्या है, जिसका वर्ग करने पर हमें एक ड्यूस प्राप्त होता है। केवल संख्या पूरी तरह से असमान है ... यहाँ यह है:
दिलचस्प बात यह है कि यह भिन्न कभी समाप्त नहीं होती... ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है। वर्गमूल में, यह सबसे आम बात है। वैसे, इसीलिए जड़ वाले व्यंजक कहलाते हैं तर्कहीन. यह स्पष्ट है कि इस तरह के अनंत अंश को हर समय लिखना असुविधाजनक है। इसलिए, अनंत भिन्न के बजाय, वे इसे इस तरह छोड़ देते हैं:
यदि, उदाहरण को हल करते समय, आपको कुछ ऐसा मिलता है जो निकालने योग्य नहीं है, जैसे:
फिर हम इसे ऐसे ही छोड़ देते हैं। यह उत्तर होगा।
आपको स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है कि आइकन के नीचे क्या है
बेशक, अगर संख्या की जड़ ली जाती है निर्बाध, आपको ऐसा करना चाहिए। उदाहरण के लिए प्रपत्र में कार्य का उत्तर
काफी पूरा जवाब।
और, ज़ाहिर है, आपको स्मृति से अनुमानित मूल्यों को जानने की जरूरत है:
यह ज्ञान जटिल कार्यों में स्थिति का आकलन करने में बहुत मदद करता है।
बिंदु तीन। सबसे शातिर।
जड़ों के साथ काम करने में मुख्य भ्रम सिर्फ इस सनक द्वारा लाया जाता है। यह वह है जो आत्म-संदेह देता है ... चलो इस सनक से ठीक से निपटें!
शुरू करने के लिए, हम फिर से उनके चारों का वर्गमूल निकालते हैं। क्या, क्या मैं तुम्हें पहले ही इस जड़ से मिला चुका हूँ?) कुछ नहीं, अब यह दिलचस्प होगा!
4 के वर्ग में क्या अंक आयेगा ? खैर, दो, दो - मैं असंतुष्ट उत्तर सुनता हूं ...
सही। दो। लेकिन घटा दो 4 चुकता देगा ... इस बीच, उत्तर
सही और उत्तर
सबसे बड़ी गलती। इस प्रकार सं.
तो सौदा क्या है?
दरअसल, (-2) 2 = 4. और चार . के वर्गमूल की परिभाषा के तहत घटा दोकाफी उपयुक्त ... यह भी चार का वर्गमूल है।
लेकिन! गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में वर्गमूलों पर विचार करने की प्रथा है केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ!यानी शून्य और सभी सकारात्मक। यहां तक कि एक विशेष शब्द गढ़ा गया था: संख्या से ए- यह गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग है ए. अंकगणितीय वर्गमूल निकालने पर नकारात्मक परिणाम आसानी से छोड़ दिए जाते हैं। स्कूल में, सभी वर्गमूल - अंकगणित. हालांकि इसका विशेष रूप से उल्लेख नहीं किया गया है।
ठीक है, यह समझ में आता है। नकारात्मक परिणामों के साथ खिलवाड़ न करना और भी बेहतर है... यह अभी भ्रम की स्थिति नहीं है।
द्विघात समीकरणों को हल करते समय भ्रम शुरू होता है। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।
समीकरण सरल है, हम उत्तर लिखते हैं (जैसा सिखाया गया है):
यह उत्तर (बिल्कुल सही, वैसे) सिर्फ एक संक्षिप्त संकेतन है दोउत्तर:
रुक रुक! थोड़ा ऊपर मैंने लिखा कि वर्गमूल एक संख्या है हमेशागैर नकारात्मक! और यहाँ एक उत्तर है - नकारात्मक! विकार। यह पहली (लेकिन आखिरी नहीं) समस्या है जो जड़ों के अविश्वास का कारण बनती है ... आइए इस समस्या को हल करें। आइए उत्तर इस प्रकार लिखें (विशुद्ध रूप से समझने के लिए!):
कोष्ठक उत्तर के सार को नहीं बदलते हैं। मैं बस कोष्ठक के साथ अलग हो गया लक्षणसे जड़. अब यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि मूल स्वयं (कोष्ठक में) अभी भी एक गैर-ऋणात्मक संख्या है! और संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम. आखिरकार, किसी भी समीकरण को हल करते समय हमें लिखना चाहिए सब x, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही परिणाम देगा। पांच (सकारात्मक!) की जड़ हमारे प्लस और माइनस दोनों के समीकरण के लिए उपयुक्त है।
इस प्रकार सं. अगर तुम बस वर्गमूल लेंआप किसी भी चीज़ से हमेशापाना एक गैर नकारात्मकनतीजा। उदाहरण के लिए:
क्योंकि यह - अंकगणित वर्गमूल.
लेकिन अगर आप कुछ द्विघात समीकरण हल करते हैं जैसे:
तब हमेशायह पता चला है दोउत्तर (प्लस और माइनस के साथ):
क्योंकि यह एक समीकरण का हल है।
आशा, वर्गमूल क्या हैआपने अपने अंक के साथ इसे सही पाया। अब यह पता लगाना बाकी है कि जड़ों का क्या किया जा सकता है, उनके गुण क्या हैं। और सनक और पानी के नीचे के बक्से क्या हैं ... क्षमा करें, पत्थर!)
यह सब - अगले पाठों में।
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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)
आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।
तथ्य 1.
\(\bullet\) कुछ गैर-ऋणात्मक संख्या लें \(a\) (यानी \(a\geqslant 0\) )। तब (अंकगणित) वर्गमूलसंख्या \(a\) से ऐसी गैर-ऋणात्मक संख्या \(b\) कहलाती है, इसका वर्ग करने पर हमें संख्या \(a\) प्राप्त होती है: \[\sqrt a=b\quad \text(उसी तरह )\quad a=b^2\]यह परिभाषा से इस प्रकार है कि \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ये प्रतिबंध एक वर्गमूल के अस्तित्व के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त है और इसे याद रखना चाहिए!
याद रखें कि कोई भी संख्या जब चुकता है तो एक गैर-ऋणात्मक परिणाम देता है। यानी, \(100^2=10000\geqslant 0\) और \((-100)^2=10000\geqslant 0\) ।
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) क्या है? हम जानते हैं कि \(5^2=25\) और \((-5)^2=25\) । चूँकि परिभाषा के अनुसार हमें एक गैर-ऋणात्मक संख्या ज्ञात करनी है, \(-5\) उपयुक्त नहीं है, इसलिए \(\sqrt(25)=5\) (चूंकि \(25=5^2\) )।
\(\sqrt a\) का मान ज्ञात करना \(a\) का वर्गमूल लेना कहलाता है, और संख्या \(a\) को मूल व्यंजक कहा जाता है।
\(\bullet\) परिभाषा के आधार पर, भाव \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , आदि। कोई मतलब नहीं।
तथ्य 2.
त्वरित गणना के लिए, \(1\) से \(20\) तक प्राकृत संख्याओं के वर्गों की तालिका सीखना उपयोगी होगा: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 और \quad14^2=196\\ 5^2=25 और \quad15^2=225\\ 6^2=36 और \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 और \quad17^2=289\\ 8^2=64 और \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(सरणी)\]
तथ्य 3.
वर्गमूलों से क्या किया जा सकता है?
\(\गोली\) वर्गमूल का योग या अंतर योग या अंतर के वर्गमूल के बराबर नहीं होता है, अर्थात। \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]इस प्रकार, यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , तो शुरू में आपको \(\sqrt(25)\) और \(\sqrt मान खोजने होंगे (49)\ ) और फिर उन्हें जोड़ दें। इसलिये, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] यदि \(\sqrt a\) या \(\sqrt b\) को \(\sqrt a+\sqrt b\) जोड़ते समय मान नहीं मिल सकते हैं, तो ऐसी अभिव्यक्ति आगे परिवर्तित नहीं होती है और जैसी है वैसी ही रहती है। उदाहरण के लिए, योग \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) में हम \(\sqrt(49)\) पा सकते हैं - यह \(7\) है, लेकिन \(\sqrt 2\) नहीं हो सकता किसी भी तरह से परिवर्तित, इसीलिए \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). इसके अलावा, दुर्भाग्य से, इस अभिव्यक्ति को किसी भी तरह से सरल नहीं बनाया जा सकता है।\(\bullet\) वर्गमूल का गुणनफल/भागफल गुणनफल/भागफल के वर्गमूल के बराबर होता है, अर्थात। \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (बशर्ते कि समानता के दोनों भाग अर्थपूर्ण हों)
उदाहरण: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) इन गुणों का उपयोग करते हुए, बड़ी संख्याओं के वर्गमूलों को गुणन करके निकालना सुविधाजनक होता है।
एक उदाहरण पर विचार करें। \(\sqrt(44100)\) खोजें। चूंकि \(44100:100=441\) , तो \(44100=100\cdot 441\) । विभाज्यता की कसौटी के अनुसार, संख्या \(441\) \(9\) से विभाज्य है (क्योंकि इसके अंकों का योग 9 है और 9 से विभाज्य है), इसलिए, \(441:9=49\) , वह है, \(441=9\ cdot 49\) ।
इस प्रकार, हमें मिला: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]आइए एक और उदाहरण देखें: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) आइए दिखाते हैं कि व्यंजक \(5\sqrt2\) (अभिव्यक्ति \(5\cdot \sqrt2\) के लिए संक्षिप्त) के उदाहरण का उपयोग करके वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत संख्याएं कैसे दर्ज करें। चूँकि \(5=\sqrt(25)\) , तब \
यह भी ध्यान दें कि, उदाहरण के लिए,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) ।
ऐसा क्यों है? आइए उदाहरण 1 के साथ समझाएं)। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, हम किसी तरह \(\sqrt2\) संख्या को रूपांतरित नहीं कर सकते। कल्पना कीजिए कि \(\sqrt2\) कुछ संख्या \(a\) है। तदनुसार, व्यंजक \(\sqrt2+3\sqrt2\) और कुछ नहीं बल्कि \(a+3a\) (एक संख्या \(a\) और समान संख्याओं के तीन और अधिक हैं \(a\) )। और हम जानते हैं कि यह चार ऐसी संख्याओं \(a\) के बराबर है, यानी \(4\sqrt2\) ।
तथ्य 4.
\(\bullet\) अक्सर कहा जाता है कि "जड़ नहीं निकाल सकता" जब किसी संख्या का मान ज्ञात करते समय रूट (कट्टरपंथी) के चिह्न \(\sqrt () \ \) से छुटकारा पाना संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आप संख्या को रूट कर सकते हैं \(16\) क्योंकि \(16=4^2\) , इसलिए \(\sqrt(16)=4\) । लेकिन संख्या \(3\) से रूट निकालना, यानी \(\sqrt3\) खोजना असंभव है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो चुकता \(3\) देगी।
ऐसी संख्याएँ (या ऐसी संख्याओं वाले व्यंजक) अपरिमेय हैं। उदाहरण के लिए, संख्या \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)आदि। तर्कहीन हैं।
साथ ही अपरिमेय संख्याएँ \(\pi\) (संख्या "pi", लगभग \(3,14\) के बराबर), \(e\) (इस संख्या को यूलर संख्या कहा जाता है, लगभग \(2 के बराबर) ,7\)) आदि।
\(\bullet\) कृपया ध्यान दें कि कोई भी संख्या या तो परिमेय होगी या अपरिमेय। और सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ मिलकर एक समुच्चय बनाती हैं जिसे कहा जाता है वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का समूह।इस सेट को \(\mathbb(R)\) अक्षर से दर्शाया जाता है।
इसका मतलब है कि वे सभी संख्याएँ जिन्हें हम वर्तमान में जानते हैं, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।
तथ्य 5.
\(\bullet\) एक वास्तविक संख्या का मापांक \(a\) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है \(|a|\) वास्तविक पर बिंदु \(a\) से \(0\) तक की दूरी के बराबर रेखा। उदाहरण के लिए, \(|3|\) और \(|-3|\) 3 के बराबर हैं, क्योंकि \(3\) और \(-3\) से \(0\) तक की दूरी हैं समान और बराबर \(3 \) ।
\(\bullet\) अगर \(a\) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो \(|a|=a\) ।
उदाहरण: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) । \(\bullet\) यदि \(a\) एक ऋणात्मक संख्या है, तो \(|a|=-a\) ।
उदाहरण: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
वे कहते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए, मॉड्यूल माइनस को "खाता है", और धनात्मक संख्याओं के साथ-साथ संख्या \(0\) , मॉड्यूल अपरिवर्तित रहता है।
लेकिनयह नियम केवल संख्याओं पर लागू होता है। यदि आपके पास मॉड्यूल साइन के तहत एक अज्ञात \(x\) (या कोई अन्य अज्ञात) है, उदाहरण के लिए, \(|x|\) , जिसके बारे में हम नहीं जानते कि यह सकारात्मक है, शून्य के बराबर या नकारात्मक है, तो उस मॉड्यूल से छुटकारा पाएं जो हम नहीं कर सकते। इस स्थिति में, यह व्यंजक इस प्रकार बना रहता है: \(|x|\) । \(\bullet\) निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं: \[(\बड़ा(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\बड़ा((\sqrt(a))^2=a)), \text(प्रदान किया गया) a\geqslant 0\]निम्नलिखित गलती अक्सर की जाती है: वे कहते हैं कि \(\sqrt(a^2)\) और \((\sqrt a)^2\) एक ही चीज हैं। यह तभी सत्य है जब \(a\) एक धनात्मक संख्या या शून्य हो। लेकिन अगर \(a\) एक ऋणात्मक संख्या है, तो यह सत्य नहीं है। इस तरह के एक उदाहरण पर विचार करना पर्याप्त है। आइए \(a\) के स्थान पर \(-1\) नंबर लें। तब \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , लेकिन व्यंजक \((\sqrt (-1))^2\) बिल्कुल मौजूद नहीं है (क्योंकि यह है मूल चिह्न के तहत असंभव नकारात्मक संख्याएं डालें!)
इसलिए, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि \(\sqrt(a^2)\) बराबर नहीं है \((\sqrt a)^2\) !उदाहरण 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), क्योंकि \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) । \(\bullet\) चूंकि \(\sqrt(a^2)=|a|\) , तो \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (व्यंजक \(2n\) एक सम संख्या को दर्शाता है)
यानी किसी संख्या से जो कुछ अंश में हो, जड़ निकालने पर यह अंश आधा हो जाता है।
उदाहरण:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (ध्यान दें कि यदि मॉड्यूल सेट नहीं है, तो यह पता चलता है कि संख्या का मूल \(-25) के बराबर है \) ; लेकिन हमें याद है, जो, रूट की परिभाषा के अनुसार, यह नहीं हो सकता है: रूट निकालते समय, हमें हमेशा एक सकारात्मक संख्या या शून्य प्राप्त करना चाहिए)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (चूंकि सम घात के लिए कोई भी संख्या ऋणात्मक नहीं है)
तथ्य 6.
दो वर्गमूलों की तुलना कैसे करें?
\(\bullet\) वर्गमूलों के लिए सही: यदि \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) \(\sqrt(50)\) और \(6\sqrt2\) की तुलना करें। सबसे पहले, हम दूसरी अभिव्यक्ति को . में बदलते हैं \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). इस प्रकार, चूंकि \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) किस पूर्णांक के बीच \(\sqrt(50)\) है?
चूंकि \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , और \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) \(\sqrt 2-1\) और \(0,5\) की तुलना करें। मान लीजिए \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\शुरू (गठबंधन) और\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text(((दोनों पक्षों में एक जोड़ें))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((दोनों भागों को चौकोर करें))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]हम देखते हैं कि हमने एक गलत असमानता प्राप्त की है। इसलिए, हमारी धारणा गलत थी और \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
ध्यान दें कि असमानता के दोनों पक्षों में एक निश्चित संख्या जोड़ने से इसका चिन्ह प्रभावित नहीं होता है। असमानता के दोनों भागों को धनात्मक संख्या से गुणा/भाग करने से भी उसके चिन्ह पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, लेकिन ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करने से असमानता का चिन्ह उलट जाता है!
एक समीकरण/असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग तभी किया जा सकता है जब दोनों पक्ष ऋणात्मक न हों। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण से असमानता में, आप असमानता में दोनों पक्षों को वर्ग कर सकते हैं \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\बुलेट\) ध्यान दें कि \[\शुरू (गठबंधन) और\sqrt 2\लगभग 1,4\\ &\sqrt 3\लगभग 1,7 \end(गठबंधन)\]इन संख्याओं का अनुमानित अर्थ जानने से आपको संख्याओं की तुलना करने में मदद मिलेगी! \(\bullet\) किसी बड़ी संख्या से जड़ निकालने के लिए (यदि इसे निकाला जाता है) जो वर्गों की तालिका में नहीं है, तो आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि यह किस "सैकड़ों" के बीच है, फिर किस "दसियों" के बीच है, और फिर इस संख्या का अंतिम अंक ज्ञात करें। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे काम करता है।
\(\sqrt(28224)\) लें। हम जानते हैं कि \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) इत्यादि। ध्यान दें कि \(28224\) \(10\,000\) और \(40\,000\) के बीच है। इसलिए, \(\sqrt(28224)\) \(100\) और \(200\) के बीच है।
अब आइए निर्धारित करें कि हमारी संख्या किस "दहाई" के बीच है (अर्थात, उदाहरण के लिए, \(120\) और \(130\) के बीच)। हम वर्गों की तालिका से यह भी जानते हैं कि \(11^2=121\) , \(12^2=144\) आदि, फिर \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . तो हम देखते हैं कि \(28224\) \(160^2\) और \(170^2\) के बीच है। इसलिए, संख्या \(\sqrt(28224)\) \(160\) और \(170\) के बीच है।
आइए अंतिम अंक निर्धारित करने का प्रयास करें। आइए याद करें कि \ (4 \) के अंत में वर्ग करने पर कौन-सी एकल-अंकीय संख्याएँ प्राप्त होती हैं? ये हैं \(2^2\) और \(8^2\) । इसलिए, \(\sqrt(28224)\) 2 या 8 में समाप्त होगा। आइए इसे जांचें। खोजें \(162^2\) तथा \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) ।
अत: \(\sqrt(28224)=168\) । वोइला!
गणित में परीक्षा को पर्याप्त रूप से हल करने के लिए, सबसे पहले, सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना आवश्यक है, जो कई प्रमेयों, सूत्रों, एल्गोरिदम आदि का परिचय देता है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि यह काफी सरल है। हालांकि, किसी भी स्तर के प्रशिक्षण वाले छात्रों के लिए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के सिद्धांत को आसानी से और समझने के लिए एक स्रोत खोजना वास्तव में एक कठिन काम है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकें हमेशा हाथ में नहीं रखी जा सकतीं। और गणित में परीक्षा के लिए बुनियादी सूत्र खोजना इंटरनेट पर भी मुश्किल हो सकता है।
केवल परीक्षा देने वालों के लिए ही नहीं, गणित में सिद्धांत का अध्ययन करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?
- क्योंकि यह आपके क्षितिज को विस्तृत करता है. गणित में सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन उन सभी के लिए उपयोगी है जो दुनिया के ज्ञान से संबंधित व्यापक प्रश्नों के उत्तर प्राप्त करना चाहते हैं। प्रकृति में सब कुछ व्यवस्थित है और इसका एक स्पष्ट तर्क है। यह ठीक वही है जो विज्ञान में परिलक्षित होता है, जिसके माध्यम से दुनिया को समझना संभव है।
- क्योंकि इससे बुद्धि का विकास होता है. गणित में परीक्षा के लिए संदर्भ सामग्री का अध्ययन करने के साथ-साथ विभिन्न समस्याओं को हल करने से व्यक्ति तार्किक रूप से सोचना और तर्क करना सीखता है, विचारों को सही और स्पष्ट रूप से तैयार करता है। वह विश्लेषण, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करता है।
हम आपको शैक्षिक सामग्री के व्यवस्थितकरण और प्रस्तुति के लिए हमारे दृष्टिकोण के सभी लाभों का व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करने के लिए आमंत्रित करते हैं।
