एक लघुगणकीय कार्य की अवधारणा

सबसे पहले, आइए याद करें कि लघुगणक क्या है।

परिभाषा 1

एक संख्या $b\in R$ का आधार $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) का लघुगणक वह संख्या है $c$ जिस पर संख्या प्राप्त करने के लिए संख्या $a$ को बढ़ाया जाना चाहिए $बी$।

घातांक फ़ंक्शन पर विचार करें $f\left(x\right)=a^x$, जहां $a >1$। यह फ़ंक्शन बढ़ रहा है, निरंतर है और वास्तविक अक्ष को अंतराल $(0,+\infty)$ पर मैप करता है। फिर, एक व्युत्क्रम निरंतर फ़ंक्शन के अस्तित्व पर प्रमेय द्वारा, सेट $Y=(0,+\infty)$ में इसका एक उलटा फ़ंक्शन $x=f^(-1)(y)$ है, जो भी है निरंतर और $Y $ में बढ़ता है और अंतराल $(0,+\infty)$ को संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर मैप करता है। इस प्रतिलोम फलन को आधार $a\ (a >1)$ में लघुगणकीय फलन कहा जाता है और इसे $y=((log)_a x\ )$ के रूप में दर्शाया जाता है।

अब घातांक फ़ंक्शन $f\left(x\right)=a^x$ पर विचार करें, जहां $0

इस प्रकार, हमने आधार $a$ के सभी संभावित मानों के लिए एक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को परिभाषित किया है। आइए इन दोनों मामलों पर अलग से विचार करें।

1%24"> फ़ंक्शन $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

विचार करना गुणयह समारोह।

$Oy$ अक्ष के साथ कोई चौराहा नहीं है।

फ़ंक्शन $x\in (1,+\infty)$ के लिए सकारात्मक है और $x\in (0,1)$ के लिए ऋणात्मक है

$y"=\frac(1)(xlna)$;

न्यूनतम और अधिकतम अंक:

परिभाषा के पूरे क्षेत्र में कार्य बढ़ता है;

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

\[-\frac(1)(x^2lna) फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे डोमेन पर उत्तल है;

$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;

फंक्शन ग्राफ (चित्र 1)।

चित्र 1. फ़ंक्शन का ग्राफ़ $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

समारोह $y=((log)_a x\ ), \ 0

इस फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करें।

परिभाषा का क्षेत्र अंतराल $(0,+\infty)$ है;

मूल्य की सीमा सभी वास्तविक संख्याएं हैं;

फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम।

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:

$Oy$ अक्ष के साथ कोई चौराहा नहीं है।

$y=0$ के लिए, $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ $Ox$ अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: (1,0)।

फ़ंक्शन $x\in (0,1)$ के लिए सकारात्मक है और $x\in (1,+\infty)$ के लिए ऋणात्मक है

$y"=\frac(1)(xlna)$;

न्यूनतम और अधिकतम अंक:

\[\frac(1)(xlna)=0-जड़\ नहीं\]

कोई अधिकतम या न्यूनतम अंक नहीं हैं।

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

उत्तलता और अवतल अंतराल:

\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]

फंक्शन ग्राफ (चित्र 2)।

लघुगणक कार्यों के अनुसंधान और निर्माण के उदाहरण

उदाहरण 1

$y=2-((log)_2 x\ )$ . फ़ंक्शन को एक्सप्लोर करें और ग्राफ़ करें

परिभाषा का क्षेत्र अंतराल $(0,+\infty)$ है;

मूल्य की सीमा सभी वास्तविक संख्याएं हैं;

फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम।

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:

$Oy$ अक्ष के साथ कोई चौराहा नहीं है।

$y=0$, $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ के लिए $Ox$ अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: (4,0)।

फ़ंक्शन $x\in (0,4)$ के लिए सकारात्मक है और $x\in (4,+\infty)$ के लिए ऋणात्मक है

$y"=-\frac(1)(xln2)$;

न्यूनतम और अधिकतम अंक:

\[-\frac(1)(xln2)=0-जड़\ नहीं\]

कोई अधिकतम या न्यूनतम अंक नहीं हैं।

परिभाषा के पूरे डोमेन में फ़ंक्शन घटता है;

$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;

उत्तलता और अवतल अंतराल:

\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]

फ़ंक्शन परिभाषा के संपूर्ण डोमेन पर अवतल है;

$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=-\infty ,\ $;

चित्र तीन

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन निरूपित किया जाता है

इसका y x के मान के संगत x की प्राकृत संख्या कहलाता है। परिभाषा के अनुसार, संबंध (1) बराबर है

(इ - )। चूँकि किसी वास्तविक y के लिए e y > 0, तब लघुगणक फलन केवल x > 0 के लिए परिभाषित होता है। अधिक सामान्य अर्थ में, लघुगणक फलन को फलन कहा जाता है।

जहाँ a > 0 (a 1) मनमाना है। हालाँकि, गणितीय विश्लेषण में, InX फ़ंक्शन की एक विशेष विशेषता होती है; फ़ंक्शन लॉग एक्स को सूत्र द्वारा कम किया जाता है:

जहां एम = 1/इन ए। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन मुख्य में से एक है; उसका कार्यक्रम चावल। एक) कहा जाता है । बुनियादी लॉगरिदमिक फ़ंक्शन घातीय फ़ंक्शन और लॉगरिदम के संबंधित गुणों से अनुसरण करते हैं; जैसे लॉगरिदमिक फ़ंक्शन कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है

चावल। 1 से कला। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन।

1 के लिए< х, 1 справедливо разложение Логарифмическая функция в степенной ряд:

लॉग(1 + एक्स) = एक्स

कई लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं; उदाहरण के लिए

,

.

गणितीय विश्लेषण और उसके अनुप्रयोगों में लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का लगातार सामना करना पड़ता है।

17 वीं शताब्दी में लघुगणकीय कार्य अच्छी तरह से जाना जाता था। पहली बार, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त चर के बीच संबंध को जे (1614) द्वारा माना गया था। उन्होंने समानांतर सीधी रेखाओं के साथ चलने वाले दो बिंदुओं का उपयोग करके संख्याओं और उनके लघुगणक के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व किया ( चावल। 2) उनमें से एक (Y) समान रूप से चलता है, C से शुरू होता है, और दूसरा (X), A से शुरू होकर, B के समानुपाती के साथ चलता है। यदि हम SU = y, XB = x डालते हैं, तो इस परिभाषा के अनुसार, डीएक्स / डीई = केएक्स, कहां से।

एक जटिल पर एक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन एक बहु-मूल्यवान (अनंत-मूल्यवान) फ़ंक्शन है जो सभी z ¹ 0 के लिए परिभाषित किया गया है जिसे Lnz द्वारा दर्शाया गया है। इस फ़ंक्शन की एक स्पष्ट शाखा, जिसे परिभाषित किया गया है

Inz = आधा z½ + i arg z,

पृष्ठ 1

लॉगरिदमिक फंक्शन (80) एक स्ट्रिप में कट के साथ पूरे प्लेन w का व्युत्क्रम मैपिंग करता है - i / /: i, एक पूर्ण z - प्लेन पर एक अनंत-शीटेड रीमैन सतह।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन: y लॉगैक्स, जहां लॉगरिदम का आधार एक सकारात्मक संख्या है, एक के बराबर नहीं।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन एल्गोरिदम के विकास और विश्लेषण में एक विशेष भूमिका निभाता है, इसलिए यह अधिक विस्तार से विचार करने योग्य है। चूंकि हम अक्सर विश्लेषणात्मक परिणामों से निपटते हैं जहां स्थिर कारक छोड़ा जाता है, हम आधार को छोड़कर लॉग टीवी नोटेशन का उपयोग करते हैं। लॉगरिदम के आधार को बदलने से केवल एक स्थिर कारक द्वारा लघुगणक का मान बदल जाता है, हालांकि, कुछ संदर्भों में लघुगणक के आधार के विशेष मूल्य उत्पन्न होते हैं।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन घातांक का विलोम है। इसका ग्राफ (चित्र। 247) पहले समन्वय कोण के द्विभाजक के साथ चित्र को झुकाकर घातीय फ़ंक्शन (उसी आधार के साथ) के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। किसी भी प्रतिलोम फलन का आलेख भी प्राप्त किया जाता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को तब घातीय के पारस्परिक के रूप में पेश किया जाता है। दोनों कार्यों के गुण इन परिभाषाओं से कठिनाई के बिना प्राप्त होते हैं। यह परिभाषा थी जिसे गॉस द्वारा अनुमोदित किया गया था, जिन्होंने उसी समय गॉटिंगेन वैज्ञानिक समाचार की समीक्षा में दिए गए मूल्यांकन के साथ असहमति व्यक्त की थी। उसी समय, गॉस ने इस मुद्दे को दा कुन्हा की तुलना में व्यापक दृष्टिकोण से देखा। उत्तरार्द्ध ने खुद को वास्तविक क्षेत्र में घातीय और लघुगणक कार्यों पर विचार करने के लिए सीमित कर दिया, जबकि गॉस ने अपनी परिभाषा को जटिल चर तक बढ़ा दिया।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन y लॉगैक्स इसकी परिभाषा के पूरे डोमेन पर मोनोटोनिक है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर और अलग-अलग है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है यदि एक I, जब 0 a 1, आधार के साथ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन मोनोटोनिक रूप से घटता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन केवल x के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है और एक-से-एक अंतराल (0; 4 - oc.

लघुगणकीय फलन y loga x, घातांकीय फलन yax का प्रतिलोम फलन है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन: y ogax, जहां लघुगणक का आधार एक धनात्मक संख्या है जो एक के बराबर नहीं है।

लॉगरिदमिक कार्यों को पॉलीइथाइलीन रेंगने की प्रकृति की भौतिक अवधारणाओं के साथ अच्छी तरह से जोड़ा जाता है, जहां तनाव की दर कम होती है। इस संबंध में, वे एंड्राडे समीकरण के साथ मेल खाते हैं, इसलिए उन्हें कभी-कभी प्रयोगात्मक डेटा का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, या प्राकृतिक लॉगरिदम, u z में, u के संबंध में ट्रान्सेंडैंटल समीकरण r ei को हल करके निर्धारित किया जाता है। x और y के वास्तविक मानों की श्रेणी में, शर्त x 0 के तहत, यह समीकरण एक अद्वितीय समाधान स्वीकार करता है।

स्कूल पाठ्यक्रम "गणितीय विश्लेषण" में लघुगणक अनुभाग का बहुत महत्व है। लघुगणक कार्यों के लिए कार्य असमानताओं और समीकरणों के कार्यों के अलावा अन्य सिद्धांतों पर आधारित होते हैं। लॉगरिदम और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की अवधारणाओं की परिभाषाओं और बुनियादी गुणों का ज्ञान विशिष्ट USE समस्याओं का सफल समाधान सुनिश्चित करेगा।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन क्या है, यह समझाने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह एक लघुगणक की परिभाषा का उल्लेख करने योग्य है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें: a log a x = x, जहाँ a › 0, a 1.

लघुगणक के मुख्य गुणों को कई बिंदुओं में सूचीबद्ध किया जा सकता है:

लोगारित्म

लॉगरिदम एक गणितीय ऑपरेशन है जो किसी संख्या या व्यंजक के लघुगणक को खोजने के लिए किसी अवधारणा के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:

लॉगरिदम फ़ंक्शन और इसके गुण

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का रूप है

हम तुरंत ध्यान दें कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक › 1 के लिए बढ़ सकता है और 0 a ‹ 1 के लिए घट सकता है। इस पर निर्भर करते हुए, फ़ंक्शन वक्र का एक रूप या दूसरा रूप होगा।

लघुगणक के आलेखों को आलेखित करने के गुण और विधि इस प्रकार हैं:

• f(x) का प्रांत सभी धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है, अर्थात। x अंतराल (0; + ) से कोई भी मान ले सकता है;
• ODZ फ़ंक्शन - सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, अर्थात। y अंतराल से किसी भी संख्या के बराबर हो सकता है (- ; +∞);
• यदि लघुगणक का आधार a > 1 है, तो f(x) परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है;
• यदि लघुगणक का आधार 0 a 1 है, तो F घट रहा है;
• लॉगरिदमिक फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम;
• ग्राफ वक्र हमेशा निर्देशांक (1;0) के साथ बिंदु से गुजरता है।

दोनों प्रकार के ग्राफ़ बनाना बहुत सरल है, आइए एक उदाहरण का उपयोग करके प्रक्रिया को देखें

सबसे पहले आपको एक साधारण लघुगणक और उसके कार्य के गुणों को याद रखना होगा। उनकी मदद से, आपको विशिष्ट x और y मानों के लिए एक तालिका बनाने की आवश्यकता है। फिर, समन्वय अक्ष पर, प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित किया जाना चाहिए और एक चिकनी रेखा से जोड़ा जाना चाहिए। यह वक्र अभीष्ट ग्राफ होगा।

लघुगणक फलन y= a x द्वारा दिए गए घातांकीय फलन का व्युत्क्रम है। इसे सत्यापित करने के लिए, एक ही निर्देशांक अक्ष पर दोनों वक्रों को खींचना पर्याप्त है।

जाहिर है, दोनों रेखाएं एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब हैं। एक सीधी रेखा y = x की रचना करके, आप सममिति की धुरी देख सकते हैं।

समस्या का उत्तर जल्दी से खोजने के लिए, आपको y = log 2⁡ x के लिए अंकों के मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है, और फिर निर्देशांक बिंदुओं के मूल को ओए अक्ष के नीचे तीन डिवीजनों और 2 डिवीजनों को स्थानांतरित करें। OX अक्ष के साथ बाईं ओर।

प्रमाण के रूप में, हम ग्राफ़ y = log 2 (x + 2) -3 के बिंदुओं के लिए एक गणना तालिका तैयार करेंगे और प्राप्त मूल्यों की आकृति के साथ तुलना करेंगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तालिका से निर्देशांक और ग्राफ़ पर अंक मेल खाते हैं, इसलिए, कुल्हाड़ियों के साथ स्थानांतरण सही ढंग से किया गया था।

विशिष्ट USE समस्याओं को हल करने के उदाहरण

अधिकांश परीक्षण कार्यों को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: परिभाषा का डोमेन खोजना, ग्राफ़ ड्राइंग के अनुसार फ़ंक्शन के प्रकार को निर्दिष्ट करना, यह निर्धारित करना कि फ़ंक्शन बढ़ रहा है या घट रहा है।

कार्यों के त्वरित उत्तर के लिए, यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि f(x) बढ़ता है यदि लघुगणक का घातांक a > 1 और घटता है - जब 0 a 1. हालांकि, न केवल आधार, बल्कि तर्क भी फ़ंक्शन वक्र के रूप को बहुत प्रभावित कर सकता है।

एक चेक मार्क के साथ चिह्नित एफ (एक्स) सही उत्तर हैं। इस मामले में संदेह उदाहरण 2 और 3 के कारण होता है। लॉग के सामने "-" चिन्ह घटते हुए और इसके विपरीत बढ़ता जा रहा है।

इसलिए, ग्राफ़ y=-log 3⁡ x परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटता है, और y= -log (1/3) ⁡x बढ़ता है, इस तथ्य के बावजूद कि आधार 0 a 1 है।

जवाब: 3,4,5.

जवाब: 4.

इस प्रकार के कार्यों को आसान माना जाता है और 1-2 बिंदुओं पर अनुमानित किया जाता है।

कार्य 3.

निर्धारित करें कि फ़ंक्शन घट रहा है या बढ़ रहा है और इसकी परिभाषा के दायरे को इंगित करें।

वाई = लॉग 0.7 (0.1x-5)

चूँकि लघुगणक का आधार एक से कम लेकिन शून्य से बड़ा है, x का फलन घट रहा है। लघुगणक के गुणों के अनुसार, तर्क भी शून्य से बड़ा होना चाहिए। आइए असमानता को हल करें:

जवाब: परिभाषा D(x) का क्षेत्र अंतराल (50; + ) है।

जवाब: 3, 1, OX अक्ष, दाईं ओर।

ऐसे कार्यों को औसत के रूप में वर्गीकृत किया जाता है और 3-4 बिंदुओं पर अनुमानित किया जाता है।

टास्क 5. किसी फ़ंक्शन के लिए सीमा खोजें:

लघुगणक के गुणों से यह ज्ञात होता है कि तर्क केवल सकारात्मक हो सकता है। इसलिए, हम फ़ंक्शन के स्वीकार्य मानों के क्षेत्र की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, दो असमानताओं की प्रणाली को हल करना आवश्यक होगा।

लघुगणक के मुख्य गुण, लघुगणक का आलेख, परिभाषा का क्षेत्र, मानों का समुच्चय, मूल सूत्र, वृद्धि और ह्रास दिए गए हैं। लघुगणक का व्युत्पन्न ढूँढना माना जाता है। साथ ही अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं के माध्यम से प्रतिनिधित्व।

लघुगणक की परिभाषा

आधार a . के साथ लघुगणकवाई फ़ंक्शन है (एक्स) = लॉग एक्स, आधार a: x . के साथ घातांकीय फलन के व्युत्क्रम (वाई) = एक वाई.

दशमलव लघुगणकसंख्या के आधार का लघुगणक है 10 : लॉग एक्स लॉग 10 एक्स.

प्राकृतिकई के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स ≡ लॉग ई एक्स.

2,718281828459045... ;
.

लघुगणक का ग्राफ घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ से सीधी रेखा y \u003d x के बारे में दर्पण प्रतिबिंब द्वारा प्राप्त किया जाता है। बाईं ओर फ़ंक्शन y . के ग्राफ़ हैं (एक्स) = लॉग एक्सचार मूल्यों के लिए लघुगणक के आधार:ए= 2 , ए = 8 , ए = 1/2 और एक = 1/8 . ग्राफ दर्शाता है कि a > . के लिए 1 लघुगणक नीरस रूप से बढ़ रहा है। जैसे-जैसे x बढ़ता है, वृद्धि काफी धीमी हो जाती है। पर 0 < a < 1 लघुगणक नीरस रूप से घट रहा है।

लघुगणक के गुण

डोमेन, मानों का सेट, आरोही, अवरोही

लॉगरिदम एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

कार्यक्षेत्र	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
एक लय	एकरसता से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
शून्य, y= 0	एक्स = 1	एक्स = 1
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	नहीं	नहीं
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

निजी मूल्य

आधार 10 लघुगणक कहलाता है दशमलव लघुगणकऔर इस तरह चिह्नित किया गया है:

आधार लघुगणक इबुलाया प्राकृतिक:

मूल लघुगणक सूत्र

व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा से निम्नलिखित लघुगणक के गुण:

लघुगणक की मुख्य संपत्ति और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

लोगारित्मलघुगणक लेने की गणितीय संक्रिया है। लॉगरिदम लेते समय, कारकों के उत्पादों को शर्तों के योग में बदल दिया जाता है।

क्षमतालॉगरिदम के विपरीत गणितीय ऑपरेशन है। पोटेंशियेटिंग करते समय, दिए गए आधार को उस अभिव्यक्ति की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस मामले में, शर्तों के योग कारकों के उत्पादों में परिवर्तित हो जाते हैं।

लघुगणक के मूल सूत्रों का प्रमाण

लघुगणक से संबंधित सूत्र घातीय कार्यों के लिए सूत्रों से और व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

घातीय फ़ंक्शन की संपत्ति पर विचार करें
.
फिर
.
घातांक फ़ंक्शन की संपत्ति लागू करें
:
.

आइए हम आधार परिवर्तन सूत्र को सिद्ध करें।
;
.
c = b सेट करना, हमारे पास है:

उलटा काम करना

आधार लघुगणक a का व्युत्क्रम घातांक a के साथ घातांकीय फलन है।

तो अगर

तो अगर

लघुगणक का व्युत्पन्न

लघुगणक मॉड्यूल x का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

एक लघुगणक के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, इसे आधार तक घटाया जाना चाहिए इ.
;
.

अभिन्न

लघुगणक के समाकलन की गणना भागों द्वारा समाकलन करके की जाती है : .
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

सम्मिश्र संख्या फलन पर विचार करें जेड:
.
आइए एक सम्मिश्र संख्या व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
फिर, लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या

हालांकि, तर्क φ स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं। अगर हम डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह भिन्न के लिए समान संख्या होगी एन.

इसलिए, एक जटिल चर के एक समारोह के रूप में लघुगणक, एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति श्रृंखला विस्तार

के लिए, विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।