प्रतिअवकलन फलन और अनिश्चित समाकलन

तथ्य 1. एकीकरण विभेदन के विपरीत है, अर्थात्, इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न से किसी फ़ंक्शन की बहाली। इस तरह से बहाल हुआ समारोह एफ(एक्स) कहा जाता है प्राचीनसमारोह के लिए एफ(एक्स).

परिभाषा 1. कार्य एफ(एक्स एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, अगर सभी मूल्यों के लिए एक्सइस अंतराल से समानता एफ "(एक्स)=एफ(एक्स), यानी यह फ़ंक्शन एफ(एक्स) एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ(एक्स). .

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ(एक्स) = पाप एक्स फंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव है एफ(एक्स) = कोस एक्स पूरी संख्या रेखा पर, क्योंकि x . के किसी भी मान के लिए (पाप) एक्स)" = (कोस एक्स) .

परिभाषा 2. किसी फलन का अनिश्चित समाकलन एफ(एक्स) इसके सभी एंटीडेरिवेटिव्स का संग्रह है. यह संकेतन का उपयोग करता है

∫

एफ(एक्स)डीएक्स

,

चिन्ह कहाँ है ∫ समाकल चिह्न कहलाता है, फलन एफ(एक्स) एक एकीकृत है, और एफ(एक्स)डीएक्स एकीकृत है।

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) के लिए कुछ व्युत्पन्न है एफ(एक्स) , तब

∫

एफ(एक्स)डीएक्स = एफ(एक्स) +सी

कहाँ पे सी - मनमाना स्थिरांक (स्थिर)।

किसी फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स के सेट को अनिश्चितकालीन अभिन्न के रूप में समझने के लिए, निम्नलिखित सादृश्य उपयुक्त है। एक दरवाजा (एक पारंपरिक लकड़ी का दरवाजा) होने दें। इसका कार्य "दरवाजा बनना" है। दरवाजा किससे बना है? एक पेड़ से। इसका मतलब यह है कि इंटीग्रैंड "टू बी ए डोर" के एंटीडेरिवेटिव्स का सेट, यानी इसका अनिश्चितकालीन इंटीग्रल, फ़ंक्शन "टू बी ए ट्री + सी" है, जहां सी एक स्थिरांक है, जो इस संदर्भ में निरूपित कर सकता है, के लिए उदाहरण के लिए, एक पेड़ की प्रजाति। जिस तरह एक दरवाजा कुछ उपकरणों के साथ लकड़ी से बना होता है, उसी तरह एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का "बना" होता है सूत्र जो हमने व्युत्पन्न का अध्ययन करके सीखा .

फिर सामान्य वस्तुओं और उनके संबंधित आदिम ("एक दरवाजा होना" - "एक पेड़ होना", "एक चम्मच होना" - "एक धातु होना", आदि) के कार्यों की तालिका की तालिका के समान है बुनियादी अनिश्चित समाकलन, जो नीचे दिया जाएगा। अनिश्चितकालीन इंटीग्रल की तालिका सामान्य कार्यों को सूचीबद्ध करती है, जो उन एंटीडेरिवेटिव्स को दर्शाती है जिनसे ये कार्य "बनाए गए" हैं। अनिश्चित इंटीग्रल को खोजने के कार्यों के हिस्से के रूप में, ऐसे इंटीग्रेंट्स दिए गए हैं जिन्हें बिना विशेष प्रयासों के सीधे एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात अनिश्चित इंटीग्रल की तालिका के अनुसार। अधिक जटिल समस्याओं में, समाकलन को पहले रूपांतरित किया जाना चाहिए ताकि सारणीबद्ध समाकलों का उपयोग किया जा सके।

तथ्य 2। एक फ़ंक्शन को एक एंटीडेरिवेटिव के रूप में बहाल करते हुए, हमें एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) को ध्यान में रखना चाहिए। सी, और 1 से अनंत तक विभिन्न स्थिरांक वाले प्रतिअवकलजों की सूची नहीं लिखने के लिए, आपको एक मनमाना स्थिरांक के साथ प्रतिअवकलन का एक सेट लिखने की आवश्यकता है सी, इस तरह: 5 एक्स+सी. इसलिए, एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) प्रतिअवकलन के व्यंजक में शामिल होता है, क्योंकि प्रतिअवकलन एक फलन हो सकता है, उदाहरण के लिए, 5 एक्स+4 या 5 एक्स+3 और 4 या 3 या कोई अन्य स्थिरांक का अंतर करने पर गायब हो जाता है।

हम एकीकरण समस्या निर्धारित करते हैं: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) ऐसा फ़ंक्शन ढूंढें एफ(एक्स), जिसका व्युत्पन्नके बराबर है एफ(एक्स).

उदाहरण 1किसी फलन के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात कीजिए

फेसला। इस फ़ंक्शन के लिए, एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन है

समारोह एफ(एक्स) को फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है एफ(एक्स) यदि व्युत्पन्न एफ(एक्स) के बराबर है एफ(एक्स), या, जो एक ही बात है, अंतर एफ(एक्स) के बराबर है एफ(एक्स) डीएक्स, अर्थात।

(2)

इसलिए, फ़ंक्शन फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव है। हालांकि, यह के लिए एकमात्र एंटीडेरिवेटिव नहीं है। वे भी कार्य हैं

कहाँ पे साथ मेंएक मनमाना स्थिरांक है। इसे विभेदन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि किसी फ़ंक्शन के लिए एक एंटीडेरिवेटिव है, तो उसके लिए एंटीडेरिवेटिव्स का एक अनंत सेट होता है जो एक निरंतर योग से भिन्न होता है। किसी फलन के सभी प्रतिअवकलज उपरोक्त रूप में लिखे गए हैं। यह निम्नलिखित प्रमेय से निकलता है।

प्रमेय (तथ्य 2 का औपचारिक कथन)।यदि एक एफ(एक्स) फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव है एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, तो कोई अन्य प्रतिअवकलन के लिए एफ(एक्स) एक ही अंतराल पर के रूप में दर्शाया जा सकता है एफ(एक्स) + सी, कहाँ पे साथ मेंएक मनमाना स्थिरांक है।

निम्नलिखित उदाहरण में, हम पहले से ही अभिन्नों की तालिका की ओर मुड़ते हैं, जो कि अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों के बाद, पैराग्राफ 3 में दी जाएगी। हम पूरी तालिका से परिचित होने से पहले ऐसा करते हैं, ताकि उपरोक्त का सार स्पष्ट हो। और तालिका और गुणों के बाद, हम उन्हें एकीकृत करते समय उनकी संपूर्णता में उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2एंटीडेरिवेटिव्स के सेट खोजें:

फेसला। हमें एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शंस के सेट मिलते हैं जिनसे ये फ़ंक्शन "बनाए गए" हैं। समाकलों की तालिका से सूत्रों का उल्लेख करते समय, अभी के लिए, यह स्वीकार करें कि ऐसे सूत्र हैं, और हम अनिश्चित समाकलों की तालिका का थोड़ा और आगे अध्ययन करेंगे।

1) के लिए समाकलकों की तालिका से सूत्र (7) लागू करना एन= 3, हमें प्राप्त होता है

2) के लिए समाकलकों की तालिका से सूत्र (10) का उपयोग करना एन= 1/3, हमारे पास है

3) चूंकि

फिर सूत्र के अनुसार (7) at एन= -1/4 खोजें

अभिन्न चिह्न के तहत, वे स्वयं फ़ंक्शन नहीं लिखते हैं एफ, और इसके उत्पाद अंतर द्वारा डीएक्स. यह प्राथमिक रूप से यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि प्रतिअवकलन के लिए किस चर की खोज की जा रही है। उदाहरण के लिए,

, ;

यहां दोनों मामलों में इंटीग्रैंड बराबर है, लेकिन माना मामलों में इसके अनिश्चित इंटीग्रल अलग हैं। पहले मामले में, इस फ़ंक्शन को एक चर के फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है एक्स, और दूसरे में - के एक समारोह के रूप में जेड .

किसी फलन का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने की प्रक्रिया को उस फलन का समाकलन कहते हैं।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

मान लीजिए कि यह एक वक्र खोजने के लिए आवश्यक है वाई = एफ (एक्स)और हम पहले से ही जानते हैं कि इसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा एक दिया हुआ फलन है एफ (एक्स)इस बिंदु के एब्सिसा।

व्युत्पत्ति के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, वक्र पर दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा वाई = एफ (एक्स)व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर एफ "(एक्स). तो, हमें इस तरह के एक समारोह को खोजने की जरूरत है एफ (एक्स), जिसके लिए एफ"(एक्स)=एफ(एक्स). कार्य में आवश्यक कार्य एफ (एक्स)से लिया गया है एफ (एक्स). समस्या की स्थिति एक वक्र से नहीं, बल्कि वक्रों के एक परिवार से संतुष्ट होती है। वाई = एफ (एक्स)- इनमें से एक वक्र, और कोई अन्य वक्र अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ओए.

आइए के प्रतिअवकलन फलन के ग्राफ को कहते हैं एफ (एक्स)अभिन्न वक्र। यदि एक एफ"(एक्स)=एफ(एक्स), फिर फ़ंक्शन का ग्राफ वाई = एफ (एक्स)एक अभिन्न वक्र है।

तथ्य 3. अनिश्चितकालीन अभिन्न सभी अभिन्न वक्रों के परिवार द्वारा ज्यामितीय रूप से दर्शाया जाता है जैसा कि नीचे चित्र में है। मूल बिंदु से प्रत्येक वक्र की दूरी एकीकरण के एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) द्वारा निर्धारित की जाती है सी.

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

तथ्य 4. प्रमेय 1. अनिश्चितकालीन समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है, और इसका अंतर समाकलन के बराबर होता है।

तथ्य 5. प्रमेय 2. किसी फलन के अवकलन का अनिश्चित समाकलन एफ(एक्स) फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) एक स्थिर अवधि तक , अर्थात।

(3)

प्रमेय 1 और 2 दर्शाते हैं कि विभेदन और समाकलन परस्पर प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं।

तथ्य 6. प्रमेय 3. समाकलन में अचर गुणनखंड को अनिश्चित समाकल के चिह्न से निकाला जा सकता है , अर्थात।

विभेदक कलन में, समस्या हल हो जाती है: दिए गए फलन के अंतर्गत (x) इसका अवकलज ज्ञात कीजिए(या अंतर)। इंटीग्रल कैलकुलस व्युत्क्रम समस्या को हल करता है: फ़ंक्शन F (x) को खोजने के लिए, इसके व्युत्पन्न F को जानना "(x) \u003d (x) (या अंतर)। वांछित फ़ंक्शन F (x) को फ़ंक्शन का एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है। (एक्स)।

फलन F(x) कहलाता है प्राचीनफ़ंक्शन (x) अंतराल पर (a; b), यदि किसी x (a; b) के लिए समानता

एफ " (एक्स)=ƒ(एक्स) (या डीएफ(एक्स)=ƒ(एक्स)डीएक्स)।

उदाहरण के लिए, प्रतिअवकलन फलन y \u003d x 2, x R, एक फलन है, क्योंकि

जाहिर है, एंटीडेरिवेटिव्स भी कोई फंक्शन होंगे

जहाँ C एक अचर है, क्योंकि

प्रमेय 29. 1. यदि फलन F(x) (a;b) पर फलन (x) का प्रतिअवकलन है, तो ƒ(x) के लिए सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय सूत्र F(x)+ द्वारा दिया जाता है। सी, जहां सी एक स्थिर संख्या है।

फलन F(x)+C, ƒ(x) का प्रतिअवकलन है।

वास्तव में, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x)।

मान लीजिए F(x) कुछ अन्य है, F(x), प्रतिअवकलन फलन ƒ(x) से भिन्न है, अर्थात, "(x)=ƒ(x)। तब किसी x є (a; b) के लिए हमारे पास है

और इसका अर्थ है (देखें परिणाम 25.1) कि

जहाँ C एक अचर संख्या है। इसलिए, Ф(х)=F(x)+С.▼

ƒ(x) के लिए सभी आदिम फलनों F(x)+C के समुच्चय को कहा जाता है फलन का अनिश्चित समाकल (x)और प्रतीक (x) dx द्वारा निरूपित किया जाता है।

तो परिभाषा के अनुसार

(x)dx= F(x)+C.

यहाँ (x) कहा जाता है एकीकृत, (एक्स)डीएक्स - एकीकृत,एक्स - एकीकरण चर, ∫ -अनिश्चित अभिन्न संकेत.

किसी फलन का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने की क्रिया इस फलन का समाकलन कहलाती है।

ज्यामितीय रूप से अनिश्चित अभिन्न "समानांतर" घटता y \u003d F (x) + C (C का प्रत्येक संख्यात्मक मान परिवार के एक निश्चित वक्र से मेल खाता है) का एक परिवार है (चित्र 166 देखें)। प्रत्येक अवकलज (वक्र) के ग्राफ को कहते हैं अभिन्न वक्र.

क्या प्रत्येक फलन का अनिश्चित समाकलन होता है?

एक प्रमेय है जिसमें कहा गया है कि "(ए; बी) पर निरंतर प्रत्येक फ़ंक्शन का इस अंतराल पर एक एंटीडेरिवेटिव होता है", और, परिणामस्वरूप, एक अनिश्चित अभिन्न।

हम अनिश्चित समाकल के कई गुणों को नोट करते हैं जो इसकी परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

1. अनिश्चित समाकल का अंतर समाकलन के बराबर होता है, और अनिश्चित समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है:

डी(∫ (x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ (x)dx) "=ƒ(x).

दरअसल, डी (∫ (एक्स) डीएक्स) \u003d डी (एफ (एक्स) + सी) \u003d डीएफ (एक्स) + डी (सी) \u003d एफ "(एक्स) डीएक्स \u003d ƒ (एक्स) डीएक्स

(∫ (एक्स) डीएक्स) "=(एफ(एक्स)+सी)"=एफ"(एक्स)+0 =ƒ(एक्स)।

इस संपत्ति के लिए धन्यवाद, भेदभाव द्वारा एकीकरण की शुद्धता की पुष्टि की जाती है। उदाहरण के लिए, समानता

(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

सच है, क्योंकि (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4।

2. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चितकालीन अभिन्न इस फ़ंक्शन के योग और एक मनमाना स्थिरांक के बराबर है:

dF(x)=F(x)+C.

सच में,

3. अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:

α 0 एक अचर है।

सच में,

(सी 1 / ए \u003d सी डालें)

4. निरंतर फलनों की एक सीमित संख्या के बीजीय योग का अनिश्चितकालीन समाकल फलन के पदों के समाकलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है:

चलो F"(x)=ƒ(x) और G"(x)=g(x)। फिर

जहां सी 1 ± सी 2 \u003d सी।

5. (एकीकरण सूत्र का व्युत्क्रम)।

यदि एक , जहां u=φ(x) एक मनमाना फलन है जिसका एक सतत अवकलज है।

▲ मान लीजिए x एक स्वतंत्र चर है, (x) एक सतत फलन है और F(x) इसका प्रतिअवकलन है। फिर

आइए अब हम u=φ(x) सेट करें, जहां (x) एक निरंतर अवकलनीय फलन है। एक जटिल फलन F(u)=F(φ(x)) पर विचार करें। फलन के प्रथम अवकलन के रूप में अपरिवर्तनशीलता के कारण (देखें पृष्ठ 160), हमारे पास है

यहाँ से▼

इस प्रकार, अनिश्चित समाकलन का सूत्र इस बात की परवाह किए बिना वैध रहता है कि समाकलन चर एक स्वतंत्र चर है या इसका कोई फलन जिसका एक सतत अवकलज है।

तो, सूत्र से x को u (u=φ(x)) से बदलने पर हमें प्राप्त होता है

विशेष रूप से,

उदाहरण 29.1।अभिन्न का पता लगाएं

जहाँ C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

उदाहरण 29.2।अभिन्न समाधान खोजें:

• 29.3. मूल अनिश्चित समाकलों की तालिका

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि समाकलन विभेदन का विलोम है, कोई व्यक्ति अवकलन (अंतरों की तालिका) के संगत सूत्रों को उलट कर और अनिश्चित समाकल के गुणों का उपयोग करके बुनियादी समाकलों की एक तालिका प्राप्त कर सकता है।

उदाहरण के लिए, जैसा

डी (पाप यू) = क्योंकि यू। डु,

एकीकरण के मुख्य तरीकों पर विचार करते समय कई तालिका सूत्रों की व्युत्पत्ति दी जाएगी।

नीचे दी गई तालिका में समाकलकों को सारणीबद्ध समाकलन कहा जाता है। उन्हें दिल से जाना जाना चाहिए। इंटीग्रल कैलकुलस में, डिफरेंशियल कैलकुलस की तरह, प्राथमिक कार्यों से एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए कोई सरल और सार्वभौमिक नियम नहीं हैं। एंटीडेरिवेटिव खोजने के तरीके (यानी, एक फ़ंक्शन को एकीकृत करना) को उन तरीकों को इंगित करने के लिए कम कर दिया जाता है जो एक सारणी के लिए दिए गए (वांछित) अभिन्न अंग लाते हैं। इसलिए, सारणीबद्ध समाकलों को जानना और उन्हें पहचानने में सक्षम होना आवश्यक है।

ध्यान दें कि मूल समाकलन की तालिका में, समाकलन चर और एक स्वतंत्र चर और एक स्वतंत्र चर के एक फलन दोनों को निरूपित कर सकता है (एकीकरण सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के अनुसार)।

नीचे दिए गए सूत्रों की वैधता को दाईं ओर के अंतर को लेकर सत्यापित किया जा सकता है, जो सूत्र के बाईं ओर के पूर्णांक के बराबर होगा।

आइए, उदाहरण के लिए, सूत्र 2 की वैधता को सिद्ध करें। फ़ंक्शन 1/u परिभाषित है और u के सभी गैर-शून्य मानों के लिए निरंतर है।

यदि u > 0, तब ln|u|=lnu, तब इसलिए

अगर आप<0, то ln|u|=ln(-u). Ноमाध्यम

तो फॉर्मूला 2 सही है। इसी तरह, आइए फॉर्मूला 15 की जाँच करें:

बुनियादी इंटीग्रल की तालिका

मित्र! हम आपको चर्चा करने के लिए आमंत्रित करते हैं। अगर आपकी कोई राय है तो हमें कमेंट में लिखें।

विभेदक कलन का मुख्य कार्यव्युत्पन्न खोजने के लिए है एफ'(एक्स)या अंतर डीएफ =एफ'(एक्स)डीएक्सकार्यों एफ(एक्स)।समाकलन में, व्युत्क्रम समस्या हल हो जाती है। दिए गए फ़ंक्शन के अनुसार एफ(एक्स) ऐसा फ़ंक्शन ढूंढना आवश्यक है एफ(एक्स),क्या एफ '(एक्स) =एफ(एक्स)या डीएफ (एक्स)=एफ'(एक्स)डीएक्स =एफ(एक्स)डीएक्स.

इस प्रकार, अभिन्न कलन का मुख्य कार्यएक पुनर्प्राप्ति कार्य है एफ(एक्स)इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न (अंतर) द्वारा। इंटीग्रल कैलकुलस में ज्यामिति, यांत्रिकी, भौतिकी और प्रौद्योगिकी में कई अनुप्रयोग हैं। यह क्षेत्र, आयतन, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र आदि खोजने के लिए एक सामान्य विधि देता है।

परिभाषा। समारोहएफ(x), , को फलन के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता हैएफ(x) सेट X पर यदि यह किसी के लिए अवकलनीय है औरएफ'(एक्स)=एफ(एक्स) याडीएफ (एक्स)=एफ(एक्स)डीएक्स.

प्रमेय। अंतराल पर कोई भी निरंतर [ए;बी] समारोहएफ(x) का इस खंड पर एक प्रतिअवकलन हैएफ (एक्स)।

प्रमेय। यदि एकएफ 1 (एक्स) औरएफ 2 (x) एक ही फलन के दो भिन्न अवकलज हैंएफ(x) समुच्चय x पर, तो वे एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं, अर्थात्।एफ 2 (एक्स)=एफ1एक्स)+सी, जहां सी स्थिर है.

अनिश्चितकालीन अभिन्न, इसके गुण।

परिभाषा। सकलएफ(एक्स)+सभी एंटीडेरिवेटिव्स का सीएफ(x) समुच्चय X पर अनिश्चित समाकल कहलाता है और इसे निरूपित किया जाता है:

- (1)

सूत्र में (1) एफ(एक्स)डीएक्सबुलाया एकीकृत,एफ(x) समाकलन है, x समाकलन चर है,ए सी एकीकरण का स्थिरांक है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों पर विचार करें जो इसकी परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

1. अनिश्चितकालीन समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है, अनिश्चित समाकल का अंतर समाकलन के बराबर होता है:

और ।

2. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चितकालीन अभिन्न इस फ़ंक्शन के योग और एक मनमाना स्थिरांक के बराबर है:

3. अचर गुणक a (a≠0) को अनिश्चित समाकल के चिह्न से निकाला जा सकता है:

4. कार्यों की एक सीमित संख्या के बीजीय योग का अनिश्चितकालीन समाकलन इन फलनों के समाकलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है:

5. यदि एकएफ(x) फलन का अवकलज हैएफ(एक्स), फिर:

6 (एकीकरण सूत्रों का व्युत्क्रम)। कोई भी एकीकरण सूत्र अपना स्वरूप बनाए रखता है यदि एकीकरण चर को इस चर के किसी भिन्न कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

कहाँ पेu एक अवकलनीय फलन है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न की तालिका।

चलो लाते हैं कार्यों को एकीकृत करने के लिए बुनियादी नियम।

चलो लाते हैं बुनियादी अनिश्चितकालीन अभिन्न की तालिका।(ध्यान दें कि यहां, डिफरेंशियल कैलकुलस की तरह, अक्षर तुमएक स्वतंत्र चर के रूप में संदर्भित किया जा सकता है (आप =एक्स), और स्वतंत्र चर का एक कार्य (आप =आप (एक्स)).)

(संख्या-1)। (ए> 0, ए≠1)। (ए≠0)। (ए≠0)। (|यू| > |ए|)।(|यू|< |a|).

समाकलन 1 - 17 कहलाते हैं सारणीबद्ध।

समाकलकों की तालिका के उपरोक्त कुछ सूत्र, जिनका व्युत्पन्नों की तालिका में कोई एनालॉग नहीं है, उनके दाहिने हाथ की भुजाओं को विभेदित करके सत्यापित किया जाता है।

अनिश्चित समाकलन में चरों का परिवर्तन और भागों द्वारा समाकलन।

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण (चर परिवर्तन)। मान लीजिए कि समाकल की गणना करना आवश्यक है

है, जो सारणीबद्ध नहीं है। प्रतिस्थापन विधि का सार यह है कि समाकलन में चर एक्सचर बदलें टीसूत्र के अनुसार एक्स = φ(टी),कहाँ पे डीएक्स = φ'(टी)दिनांक

प्रमेय। चलो समारोहएक्स = φ(टी) कुछ सेट टी पर परिभाषित और अलग-अलग है और एक्स को इस फ़ंक्शन के मानों का सेट होने दें जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित किया गया हैएफ(एक्स)। फिर यदि सेट X पर फंक्शनएफ(

यह लेख एक निश्चित अभिन्न के मुख्य गुणों के बारे में विस्तार से बात करता है। वे रीमैन और डारबौक्स इंटीग्रल की अवधारणा का उपयोग करके सिद्ध होते हैं। एक निश्चित अभिन्न की गणना, 5 गुणों के लिए धन्यवाद। उनमें से बाकी का उपयोग विभिन्न अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।

निश्चित समाकल के मुख्य गुणों पर जाने से पहले, यह सुनिश्चित कर लेना आवश्यक है कि a, b से अधिक नहीं है।

एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण

परिभाषा 1

फ़ंक्शन y \u003d f (x) , x \u003d a के लिए परिभाषित, निष्पक्ष समानता a a f (x) d x \u003d 0 के समान है।

सबूत 1

यहाँ से हम देखते हैं कि समाकलन सीमा के साथ समाकलन का मान शून्य के बराबर होता है। यह रीमैन इंटीग्रल का परिणाम है, क्योंकि अंतराल पर किसी भी विभाजन के लिए प्रत्येक इंटीग्रल योग [ a ; a ] और i का कोई भी विकल्प शून्य के बराबर होता है, क्योंकि x i - x i - 1 = 0 , i = 1, 2 , । . . , n, इसलिए हम पाते हैं कि समाकलन फलनों की सीमा शून्य है।

परिभाषा 2

खंड पर समाकलनीय फ़ंक्शन के लिए [ a ; b ] , शर्त a b f (x) d x = - b a f (x) d x संतुष्ट है।

सबूत 2

दूसरे शब्दों में, यदि आप स्थानों में एकीकरण की ऊपरी और निचली सीमाओं को बदलते हैं, तो समाकलन का मान मान को विपरीत में बदल देगा। यह संपत्ति रीमैन इंटीग्रल से ली गई है। हालाँकि, खंड के विभाजन की संख्या बिंदु x = b से शुरू होती है।

परिभाषा 3

a b f x ± g (x) d x = a b f (x) d x ± a b g (x) d x का उपयोग अंतराल पर परिभाषित y = f (x) और y = g (x) प्रकार के अभिन्न कार्यों के लिए किया जाता है [ a ; बी] ।

सबूत 3

i: = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = के दिए गए विकल्प के साथ खंडों में विभाजित करने के लिए फ़ंक्शन y = f (x) ± g (x) का अभिन्न योग लिखें। i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± i = 1 n g i x i - x i - 1 = σ f ± g

जहां f और g खंड को विभाजित करने के लिए y = f (x) और y = g (x) कार्यों के अभिन्न योग हैं। = m a x i = 1, 2 , पर सीमा तक जाने के बाद। . . , n (x i - x i - 1) → 0 हमें वह lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g मिलता है।

रीमैन की परिभाषा से, यह अभिव्यक्ति समतुल्य है।

परिभाषा 4

एक निश्चित अभिन्न के संकेत से निरंतर कारक लेना। अंतराल से एक समाकलनीय फलन [ a ; b ] k के मनमाना मान के साथ a b k · f (x) d x = k · a b f (x) d x के रूप में एक वैध असमानता है।

सबूत 4

एक निश्चित अभिन्न की संपत्ति का प्रमाण पिछले एक के समान है:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k f ⇒ लिम λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ a b k f (x) d x = k a b f (x) d x

परिभाषा 5

यदि y = f (x) के रूप का कोई फलन a x , b ∈ x के साथ अंतराल x पर समाकलनीय है, तो हम a b f (x) d x = a c f (x) d x + c b f (x) d x प्राप्त करते हैं।

सबूत 5

संपत्ति को c a के लिए वैध माना जाता है; बी, सी ए और सी ≥ बी के लिए। सबूत पिछले गुणों के समान ही किया जाता है।

परिभाषा 6

जब किसी फ़ंक्शन में खंड से समाकलनीय होने की क्षमता होती है [ a ; b ] , तो यह किसी भी आंतरिक खंड c के लिए संभव है; डी ए; बी।

सबूत 6

प्रमाण डारबौक्स संपत्ति पर आधारित है: यदि किसी खंड के मौजूदा विभाजन में अंक जोड़े जाते हैं, तो निचला डार्बौक्स योग कम नहीं होगा, और ऊपरी वाला नहीं बढ़ेगा।

परिभाषा 7

जब कोई फ़ंक्शन [ a ; पर समाकलनीय होता है ; b ] f (x) 0 f (x) ≤ 0 से x a के किसी भी मान के लिए; b , तो हम पाते हैं कि a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ।

संपत्ति को रीमैन इंटीग्रल की परिभाषा का उपयोग करके साबित किया जा सकता है: खंड के विभाजन बिंदुओं के किसी भी विकल्प के लिए कोई भी अभिन्न योग और i इस शर्त के साथ कि f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 गैर-ऋणात्मक है।

सबूत 7

यदि फलन y = f (x) और y = g (x) खंड [ a ; पर समाकलनीय हैं; बी] , तो निम्नलिखित असमानताओं को मान्य माना जाता है:

∫ a b f (x) d x ≤ a b g (x) d x , f (x) g (x) x ∈ a ; बी ∫ ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ≥ ए बी जी (एक्स) डी एक्स, एफ (एक्स) ≥ जी (एक्स) ∀ एक्स ∈ ए; बी

दावे के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि एकीकरण स्वीकार्य है। इस परिणाम का उपयोग अन्य संपत्तियों के प्रमाण में किया जाएगा।

परिभाषा 8

खंड [ a ; से एक समाकलनीय फलन y = f (x) के लिए; b ] हमारे पास a b f (x) d x a b f (x) d x के रूप की एक वैध असमानता है।

सबूत 8

हमारे पास वह है - f (x) f (x) f (x) । पिछली संपत्ति से, हमने प्राप्त किया कि असमानता को शब्द दर शब्द एकीकृत किया जा सकता है और यह फॉर्म की असमानता से मेल खाता है - a b f (x) d x a b f (x) d x a b f (x) d x । इस दोहरी असमानता को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है: a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ।

परिभाषा 9

जब फलन y = f (x) और y = g (x) खंड [ a ; बी] जी (एक्स) ≥ 0 के लिए किसी भी एक्स ∈ ए के लिए; बी, हम फॉर्म की असमानता प्राप्त करते हैं m a b g (x) d x a b f (x) g (x) d x M ∫ a b g (x) d x , जहां m = m i n x ∈ a ; बी एफ (एक्स) और एम = एम एक्स एक्स ∈ ए; बी एफ (एक्स)।

सबूत 9

प्रमाण इसी तरह से किया जाता है। M और m को खंड [ a ; से परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान माना जाता है; बी], फिर एम ≤ एफ (एक्स) ≤ एम। दोहरी असमानता को फलन y = g (x) से गुणा करना आवश्यक है, जो m g (x) f (x) g (x) M g (x) के रूप की दोहरी असमानता का मान देगा। इसे खंड पर एकीकृत करना आवश्यक है [ a ; b] , तब हम सिद्ध होने के लिए अभिकथन प्राप्त करते हैं।

परिणाम: g (x) = 1 के लिए, असमानता m b - a ≤ a b f (x) d x M (b - a) हो जाती है।

पहला औसत सूत्र

परिभाषा 10

y = f (x) के लिए अंतराल पर समाकलनीय [ a ; बी] एम = एम आई एन एक्स ∈ ए के साथ; बी एफ (एक्स) और एम = एम एक्स एक्स ∈ ए; b f (x) एक संख्या है μ m ; M , जो a b f (x) d x = μ · b - a फिट बैठता है।

परिणाम: जब फलन y = f (x) खंड [ a ; बी] , तो ऐसी संख्या सी ∈ ए है; b , जो समानता a b f (x) d x = f (c) b - a को संतुष्ट करता है।

सामान्यीकृत रूप में औसत मूल्य का पहला सूत्र

परिभाषा 11

जब फलन y = f (x) और y = g (x) खंड [ a ; बी] एम = एम आई एन एक्स ∈ ए के साथ; बी एफ (एक्स) और एम = एम एक्स एक्स ∈ ए; b f (x) , और g (x) > 0 x a के किसी भी मान के लिए; बी। अत: हमारे पास एक संख्या μ m है; एम, जो समानता ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · a b g (x) d x को संतुष्ट करता है।

दूसरा माध्य मान सूत्र

परिभाषा 12

जब फलन y = f (x) खंड [ a ; से समाकलनीय है; b ] , और y = g (x) मोनोटोनिक है, तो एक संख्या है कि c a ; बी, जहां हम फॉर्म की उचित समानता प्राप्त करते हैं ए बी एफ (एक्स) जी (एक्स) डी एक्स = जी (ए) ए सी एफ (एक्स) डी एक्स + जी (बी) ∫ सी बी एफ (एक्स) डी एक्स

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इस लेख में, हम एक निश्चित अभिन्न के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं। इनमें से अधिकांश गुण रीमैन और डारबौक्स की एक निश्चित अभिन्न की अवधारणाओं के आधार पर सिद्ध होते हैं।

निश्चित समाकल की गणना अक्सर पहले पांच गुणों का उपयोग करके की जाती है, इसलिए जब आवश्यक हो तो हम उनका उल्लेख करेंगे। निश्चित समाकल के शेष गुण मुख्य रूप से विभिन्न व्यंजकों का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

आगे बढ़ने से पहले एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण, हम सहमत हैं कि a, b से अधिक नहीं है।

x = a के लिए परिभाषित फलन y = f(x) के लिए, समानता सत्य है।

अर्थात् समान समाकलन सीमा वाले निश्चित समाकल का मान शून्य होता है। यह गुण रीमैन इंटीग्रल की परिभाषा का परिणाम है, क्योंकि इस मामले में अंतराल के किसी भी विभाजन के लिए प्रत्येक अभिन्न योग और अंक के किसी भी विकल्प शून्य के बराबर है, इसलिए, अभिन्न रकम की सीमा शून्य है।

एक खंड पर समाकलनीय फ़ंक्शन के लिए, हमारे पास है .

दूसरे शब्दों में, जब एकीकरण की ऊपरी और निचली सीमाओं को उलट दिया जाता है, तो निश्चित अभिन्न का मान उलट जाता है। एक निश्चित समाकलन का यह गुण भी रीमैन समाकलन की अवधारणा का अनुसरण करता है, केवल एक खंड के विभाजन की संख्या बिंदु x = b से शुरू होनी चाहिए।

फलनों के लिए y = f(x) और y = g(x) एक अंतराल पर समाकलनीय है।

प्रमाण।

हम फ़ंक्शन का अभिन्न योग लिखते हैं खंड के दिए गए विभाजन और बिंदुओं के दिए गए विकल्प के लिए:

खंड के दिए गए विभाजन के लिए क्रमशः y = f(x) और y = g(x) कार्यों के अभिन्न योग कहां और हैं।

सीमा तक जा रहा है हम प्राप्त करते हैं कि, रीमैन इंटीग्रल की परिभाषा के अनुसार, संपत्ति की पुष्टि के दावे के बराबर है।

अचर गुणनखंड को निश्चित समाकल के चिह्न से निकाला जा सकता है। अर्थात्, खंड y = f(x) और एक मनमाना संख्या k पर समाकलनीय फलन के लिए, समानता .

एक निश्चित अभिन्न के इस गुण का प्रमाण पिछले एक के समान है:


मान लीजिए फलन y = f(x) अंतराल X , और . पर समाकलनीय है और फिर .

यह संपत्ति या के लिए और दोनों के लिए मान्य है।

प्रमाण निश्चित समाकल के पिछले गुणों के आधार पर किया जा सकता है।

यदि कोई फलन किसी खंड पर समाकलनीय है, तो वह किसी भी आंतरिक खंड पर भी समाकलनीय है।

सबूत Darboux रकम की संपत्ति पर आधारित है: यदि खंड के मौजूदा विभाजन में नए अंक जोड़े जाते हैं, तो निचला Darboux योग कम नहीं होगा, और ऊपरी नहीं बढ़ेगा।

यदि फलन y = f(x) अंतराल पर और तर्क के किसी भी मान के लिए समाकलनीय है, तो .

यह गुण रीमैन इंटीग्रल की परिभाषा के माध्यम से सिद्ध होता है: खंड और बिंदुओं के विभाजन बिंदुओं के किसी भी विकल्प के लिए कोई भी अभिन्न योग गैर-ऋणात्मक (सकारात्मक नहीं) होगा।

परिणाम।

एक अंतराल पर समाकलनीय फलनों y = f(x) और y = g(x) के लिए, निम्नलिखित असमानताएँ होती हैं:


इस कथन का अर्थ है कि असमानताओं का एकीकरण स्वीकार्य है। हम इस उपफल का प्रयोग निम्नलिखित गुणों को सिद्ध करने के लिए करेंगे।

मान लें कि फलन y = f(x) खंड पर समाकलनीय है, तो असमानता .

प्रमाण।

जाहिर सी बात है . पिछली संपत्ति में, हमने पाया कि असमानता को शब्द दर शब्द एकीकृत किया जा सकता है, इसलिए, यह सच है . इस दोहरी असमानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है .

मान लें कि अंतराल पर फलन y = f(x) और y = g(x) समाकलनीय हैं और तर्क के किसी भी मान के लिए, तब , कहाँ पे और .

प्रमाण उसी तरह से किया जाता है। चूँकि m और M फलन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान हैं y = f(x) खंड पर, तो . दोहरी असमानता को गैर-ऋणात्मक फलन y = g(x) से गुणा करने पर हमें निम्नलिखित दोहरी असमानता प्राप्त होती है। इसे खंड पर एकीकृत करते हुए, हम सिद्ध होने के दावे पर पहुंचते हैं।

परिणाम।

यदि हम g(x) = 1 लेते हैं, तो असमानता का रूप ले लेती है .

औसत के लिए पहला सूत्र।

मान लीजिए फलन y = f(x) खंड पर समाकलनीय है, और , तो वहाँ एक संख्या मौजूद है कि .

परिणाम।

यदि फलन y = f(x) खंड पर सतत है, तो एक संख्या ऐसी है कि .

सामान्यीकृत रूप में औसत मूल्य का पहला सूत्र।

मान लें कि अंतराल पर फलन y = f(x) और y = g(x) अभिन्न हैं, और , और g(x) > 0 तर्क के किसी भी मान के लिए। फिर एक संख्या ऐसी है कि .

औसत के लिए दूसरा सूत्र।

यदि किसी खंड पर फलन y = f(x) समाकलनीय है और y = g(x) एक स्वर है, तो ऐसी संख्या मौजूद है कि समानता .