द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच, मूल सूत्रों के अतिरिक्त, अन्य उपयोगी संबंध भी हैं जो निम्न द्वारा दिए गए हैं विएटा का प्रमेय. इस लेख में, हम द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय का सूत्रीकरण और प्रमाण देंगे। इसके बाद, हम विएटा के प्रमेय के विलोम प्रमेय पर विचार करते हैं। उसके बाद, हम सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे। अंत में, हम वियत सूत्र लिखते हैं जो वास्तविक जड़ों के बीच संबंध को परिभाषित करते हैं बीजीय समीकरणडिग्री n और इसके गुणांक।

पृष्ठ नेविगेशन।

विएटा का प्रमेय, सूत्रीकरण, प्रमाण

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 की जड़ों के सूत्रों से, जहां D=b 2 −4 a c , संबंध x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = सीए । इन परिणामों की पुष्टि विएटा का प्रमेय:

प्रमेय।

यदि एक x 1 और x 2 द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 के मूल हैं, तो मूलों का योग गुणांक b और a के अनुपात के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया है, और का गुणनफल जड़ें गुणांक c और a के अनुपात के बराबर हैं, अर्थात, ।

प्रमाण।

हम निम्नलिखित योजना के अनुसार वियत प्रमेय को सिद्ध करेंगे: हम ज्ञात मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण के मूलों का योग और गुणनफल बनाते हैं, उसके बाद हम परिणामी व्यंजकों को रूपांतरित करते हैं, और सुनिश्चित करते हैं कि वे −b के बराबर हैं /ए और सी/ए, क्रमशः।

आइए जड़ों के योग से शुरू करें, इसकी रचना करें। अब हम भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं, हमारे पास है। परिणामी भिन्न के अंश में, जिसके बाद : . अंत में, 2 के बाद, हमें मिलता है। यह द्विघात समीकरण के मूलों के योग के लिए Vieta के प्रमेय का पहला संबंध सिद्ध करता है। चलिए दूसरे पर चलते हैं।

हम द्विघात समीकरण की जड़ों के उत्पाद की रचना करते हैं:। भिन्नों के गुणन के नियम के अनुसार, अंतिम गुणनफल को इस प्रकार लिखा जा सकता है। अब हम अंश में ब्रैकेट को ब्रैकेट से गुणा करते हैं, लेकिन इस उत्पाद को किसके द्वारा संक्षिप्त करना तेज़ है वर्ग सूत्र का अंतर, इसलिए । फिर, याद करते हुए, हम अगला संक्रमण करते हैं। और चूंकि सूत्र D=b 2 −4 a·c द्विघात समीकरण के विवेचक से मेल खाता है, तो b 2 −4·a·c को D के बजाय अंतिम भिन्न में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, हम पाते हैं। कोष्ठकों को खोलने और समान पदों को कम करने के बाद, हम भिन्न पर पहुंचते हैं, और इसमें 4·a की कमी करने पर . यह जड़ों के गुणनफल के लिए वियत प्रमेय का दूसरा संबंध सिद्ध करता है।

यदि हम स्पष्टीकरणों को छोड़ देते हैं, तो विएटा प्रमेय का प्रमाण संक्षिप्त रूप लेगा:
,
.

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि जब विवेचक शून्य के बराबर होता है, तो द्विघात समीकरण का एक मूल होता है। हालांकि, अगर हम मानते हैं कि इस मामले में समीकरण की दो समान जड़ें हैं, तो विएटा प्रमेय से समानताएं भी होती हैं। वास्तव में, D=0 के लिए द्विघात समीकरण का मूल है , तब और , और चूंकि D=0 , यानी b 2 −4·a·c=0 , जहां से b 2 =4·a·c , तब ।

व्यवहार में, Vieta के प्रमेय का प्रयोग x 2 +p·x+q=0 रूप के कम द्विघात समीकरण (उच्चतम गुणांक 1 के बराबर) के संबंध में किया जाता है। कभी-कभी इसे केवल इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के लिए तैयार किया जाता है, जो व्यापकता को सीमित नहीं करता है, क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण को इसके दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित करके एक समान समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यहाँ विएटा के प्रमेय का संगत सूत्रीकरण है:

प्रमेय।

घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + p x + q \u003d 0 के मूलों का योग x पर गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, और जड़ों का गुणनफल मुक्त पद होता है, अर्थात x 1 + एक्स 2 \u003d -पी, एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।

वियत के प्रमेय के विपरीत प्रमेय

विएटा प्रमेय का दूसरा सूत्रीकरण, पिछले पैराग्राफ में दिया गया है, यह दर्शाता है कि यदि x 1 और x 2 कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं, तो संबंध x 1 +x 2 = - पी , एक्स 1 एक्स 2 = क्यू। दूसरी ओर, लिखित संबंधों से x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, यह इस प्रकार है कि x 1 और x 2 द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं। दूसरे शब्दों में, विएटा के प्रमेय के विपरीत अभिकथन सत्य है। हम इसे एक प्रमेय के रूप में बनाते हैं, और इसे सिद्ध करते हैं।

प्रमेय।

यदि संख्याएँ x 1 और x 2 ऐसी हैं कि x 1 +x 2 =−p और x 1 x 2 =q, तो x 1 और x 2 कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं। .

प्रमाण।

गुणांक p और q को उनके व्यंजक के समीकरण x 2 +p x+q=0 में x 1 और x 2 से बदलने के बाद, यह एक तुल्य समीकरण में बदल जाता है।

हम परिणामी समीकरण में x के बजाय संख्या x 1 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास समानता है x 1 2 -(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, जो किसी भी x 1 और x 2 के लिए सही संख्यात्मक समानता 0=0 है, क्योंकि x 1 2 -(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. इसलिए, x 1 समीकरण का मूल है x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, जिसका अर्थ है कि x 1 समतुल्य समीकरण x 2 +p x+q=0 का मूल है।

यदि समीकरण में x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x के बजाय संख्या x 2 को प्रतिस्थापित करें, तो हमें समानता मिलती है x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. यह सही समीकरण है क्योंकि x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. इसलिए, x 2 भी समीकरण का मूल है x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, और इसलिए समीकरण x 2 +p x+q=0 ।

यह प्रमेय के प्रमाण को विएटा के प्रमेय के विपरीत पूरा करता है।

Vieta के प्रमेय का उपयोग करने के उदाहरण

यह वियत के प्रमेय और इसके व्युत्क्रम प्रमेय के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में बात करने का समय है। इस उपधारा में, हम कई सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधानों का विश्लेषण करेंगे।

हम Vieta के प्रमेय के विलोम प्रमेय को लागू करके प्रारंभ करते हैं। इसका उपयोग यह जांचने के लिए सुविधाजनक है कि दी गई दो संख्याएं किसी दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं या नहीं। इस मामले में, उनके योग और अंतर की गणना की जाती है, जिसके बाद संबंधों की वैधता की जांच की जाती है। यदि ये दोनों संबंध संतुष्ट हैं, तो, प्रमेय के आधार पर वियत के प्रमेय के विपरीत, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि ये संख्याएं समीकरण की जड़ें हैं। यदि कम से कम एक संबंध संतुष्ट नहीं है, तो ये संख्याएं द्विघात समीकरण के मूल नहीं हैं। इस दृष्टिकोण का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करते समय पाया गया जड़ों की जांच के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण।

संख्याओं का कौन-सा युग्म 1) x 1 =−5, x 2 =3, या 2), या 3) द्विघात समीकरण 4 x 2 −16 x+9=0 के मूलों का युग्म है?

फेसला।

दिए गए द्विघात समीकरण 4 x 2 −16 x+9=0 के गुणांक हैं a=4 , b=−16 , c=9 । विएटा के प्रमेय के अनुसार, द्विघात समीकरण के मूलों का योग −b/a के बराबर होना चाहिए, अर्थात 16/4=4 और जड़ों का गुणनफल c/a के बराबर होना चाहिए, अर्थात 9 /4.

आइए अब दिए गए तीन जोड़े में से प्रत्येक में संख्याओं के योग और गुणनफल की गणना करें, और उनकी तुलना अभी प्राप्त मूल्यों से करें।

पहले मामले में, हमारे पास x 1 +x 2 =−5+3=−2 है। परिणामी मान 4 से भिन्न है, इसलिए, आगे सत्यापन नहीं किया जा सकता है, लेकिन प्रमेय द्वारा, विएटा के प्रमेय के विपरीत, हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संख्याओं की पहली जोड़ी किसी दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों की जोड़ी नहीं है .

चलिए दूसरे मामले पर चलते हैं। यहाँ, अर्थात् पहली शर्त संतुष्ट है। हम दूसरी शर्त की जांच करते हैं: , परिणामी मान 9/4 से भिन्न होता है। इसलिए, संख्याओं का दूसरा युग्म द्विघात समीकरण के मूलों का युग्म नहीं है।

आखिरी मामला बाकी है। यहाँ और । दोनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए ये संख्याएँ x 1 और x 2 दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं।

जवाब:

प्रमेय, Vieta के प्रमेय के विपरीत, एक द्विघात समीकरण की जड़ों का चयन करने के लिए अभ्यास में इस्तेमाल किया जा सकता है। आमतौर पर, पूर्णांक गुणांक वाले दिए गए द्विघात समीकरणों की पूर्णांक जड़ों का चयन किया जाता है, क्योंकि अन्य मामलों में ऐसा करना काफी कठिन होता है। उसी समय, वे इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि यदि दो संख्याओं का योग ऋण चिह्न के साथ लिए गए द्विघात समीकरण के दूसरे गुणांक के बराबर है, और इन संख्याओं का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है, तो ये संख्याएँ हैं इस द्विघात समीकरण की जड़ें। आइए एक उदाहरण के साथ इससे निपटें।

आइए द्विघात समीकरण x 2 −5 x+6=0 लेते हैं। इस समीकरण की जड़ें x 1 और x 2 के लिए, दो समानताएँ x 1 +x 2 \u003d 5 और x 1 x 2 \u003d 6 संतुष्ट होनी चाहिए। ऐसी संख्याओं को चुनना बाकी है। इस मामले में, यह करना काफी आसान है: 2+3=5 और 2 3=6 के बाद से ऐसी संख्याएं 2 और 3 हैं। इस प्रकार, 2 और 3 इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।

विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय विशेष रूप से कम द्विघात समीकरण की दूसरी जड़ को खोजने के लिए सुविधाजनक है जब जड़ों में से एक पहले से ही ज्ञात या स्पष्ट है। इस मामले में, दूसरी जड़ किसी भी रिश्ते से मिलती है।

उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 512 x 2 −509 x−3=0 लेते हैं। यहाँ यह देखना आसान है कि इकाई समीकरण का मूल है, क्योंकि इस द्विघात समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है। तो एक्स 1 = 1। दूसरा मूल x 2 पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संबंध x 1 x 2 =c/a से। हमारे पास 1 x 2 =−3/512 है, जहां से x 2 =−3/512 है। इसलिए हमने द्विघात समीकरण के दोनों मूलों को परिभाषित किया है: 1 और −3/512।

यह स्पष्ट है कि जड़ों का चयन केवल सरलतम मामलों में ही समीचीन है। अन्य मामलों में, जड़ों को खोजने के लिए, आप विभेदक के माध्यम से द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्रों को लागू कर सकते हैं।

प्रमेय का एक और व्यावहारिक अनुप्रयोग, विएटा के प्रमेय के विपरीत, दिए गए मूल x 1 और x 2 के लिए द्विघात समीकरणों का संकलन है। ऐसा करने के लिए, यह जड़ों के योग की गणना करने के लिए पर्याप्त है, जो दिए गए द्विघात समीकरण के विपरीत चिह्न के साथ x का गुणांक देता है, और जड़ों का उत्पाद, जो मुक्त शब्द देता है।

उदाहरण।

एक द्विघात समीकरण लिखिए जिसके मूल संख्या −11 और 23 हैं।

फेसला।

x 1 =−11 और x 2 =23 को निरूपित करें। हम इन संख्याओं के योग और गुणनफल की गणना करते हैं: x 1 + x 2 \u003d 12 और x 1 x 2 \u003d −253। इसलिए, ये संख्याएं दूसरे गुणांक -12 और मुक्त पद -253 के साथ दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं। अर्थात्, x 2 −12·x−253=0 वांछित समीकरण है।

जवाब:

x 2 -12 x−253=0 ।

विएटा के प्रमेय का उपयोग अक्सर द्विघात समीकरणों की जड़ों के संकेतों से संबंधित कार्यों को हल करने में किया जाता है। वीटा की प्रमेय कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 की जड़ों के संकेतों से कैसे संबंधित है? यहां दो प्रासंगिक कथन दिए गए हैं:

• यदि मुक्त पद q एक धनात्मक संख्या है और यदि द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हैं, तो या तो वे दोनों धनात्मक हैं या दोनों ऋणात्मक हैं।
• यदि मुक्त पद q एक ऋणात्मक संख्या है और यदि द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हैं, तो उनके चिह्न भिन्न हैं, दूसरे शब्दों में, एक मूल धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है।

ये कथन सूत्र x 1 x 2 =q के साथ-साथ सकारात्मक, ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। उनके आवेदन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

आर सकारात्मक है। विभेदक सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , व्यंजक r 2 का मान +8 किसी भी वास्तविक r के लिए धनात्मक है, इस प्रकार किसी भी वास्तविक r के लिए D>0। इसलिए, मूल द्विघात समीकरण में पैरामीटर r के किसी भी वास्तविक मान के लिए दो जड़ें हैं।

अब आइए जानें कि जड़ों के अलग-अलग चिन्ह कब होते हैं। यदि मूलों के चिह्न भिन्न हैं, तो उनका गुणनफल ऋणात्मक होता है, और विएटा प्रमेय द्वारा दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। इसलिए, हम r के उन मानों में रुचि रखते हैं जिनके लिए मुक्त पद r−1 ऋणात्मक है। इस प्रकार, r के मूल्यों को खोजने के लिए जो हमारे लिए रुचिकर हैं, हमें करने की आवश्यकता है एक रैखिक असमानता को हल करेंआर-1<0 , откуда находим r<1 .

जवाब:

r . पर<1 .

वियत सूत्र

ऊपर, हमने द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय के बारे में बात की और उन संबंधों का विश्लेषण किया जो यह दावा करता है। लेकिन ऐसे सूत्र हैं जो न केवल द्विघात समीकरणों के वास्तविक मूलों और गुणांकों को जोड़ते हैं, बल्कि घन समीकरणों, चौगुनी समीकरणों और सामान्य रूप से भी, बीजीय समीकरणडिग्री एन. वे कहते हैं वियत सूत्र.

हम फॉर्म की डिग्री n के बीजीय समीकरण के लिए Vieta सूत्र लिखते हैं, जबकि हम मानते हैं कि इसकी n वास्तविक जड़ें x 1, x 2, ..., x n हैं (उनमें से एक ही हो सकती है):

Vieta सूत्र प्राप्त करें बहुपद गुणन प्रमेय, साथ ही उनके सभी संगत गुणांकों की समानता के माध्यम से समान बहुपदों की परिभाषा। अत: बहुपद और इसका रैखिक गुणनखंडों में प्रसार बराबर होता है। अंतिम उत्पाद में कोष्ठक खोलना और संबंधित गुणांकों की बराबरी करना, हम Vieta सूत्र प्राप्त करते हैं।

विशेष रूप से, n=2 के लिए हम द्विघात समीकरण के लिए पहले से ही परिचित Vieta सूत्र हैं।

घन समीकरण के लिए, Vieta सूत्रों का रूप है

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि विएटा सूत्रों के बाईं ओर तथाकथित प्राथमिक हैं सममित बहुपद.

ग्रंथ सूची।

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच। - 11 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।
• बीजगणितऔर गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफाइल। स्तर / [यू। एम। कोल्यागिन, एम। वी। तकाचेवा, एन। ई। फेडोरोवा, एम। आई। शबुनिन]; ईडी। ए बी झिझचेंको। - तीसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2010.- 368 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-022771-1।

इस तकनीक का सार विवेचक की सहायता के बिना जड़ों को खोजना है। x2 + bx + c = 0 के रूप के समीकरण के लिए, जहाँ दो वास्तविक भिन्न मूल हैं, दो कथन सत्य हैं।

पहला कथन कहता है कि इस समीकरण के मूलों का योग चर x के गुणांक के मान के बराबर है (इस मामले में यह b है), लेकिन विपरीत चिह्न के साथ। देखने में, यह इस तरह दिखता है: x1 + x2 = −b।

दूसरा कथन अब योग से नहीं, बल्कि उन्हीं दो मूलों के गुणनफल से जुड़ा है। यह उत्पाद एक मुक्त गुणांक के बराबर है, अर्थात। सी। या, x1 * x2 = c. इन दोनों उदाहरणों को सिस्टम में हल किया जाता है।

विएटा का प्रमेय समाधान को बहुत सरल करता है, लेकिन इसकी एक सीमा है। एक द्विघात समीकरण जिसकी जड़ें इस तकनीक का उपयोग करके पाई जा सकती हैं, को कम किया जाना चाहिए। गुणांक a के लिए उपरोक्त समीकरण में, x2 से पहले वाला एक के बराबर है। किसी भी समीकरण को पहले गुणांक से व्यंजक को विभाजित करके एक समान रूप में घटाया जा सकता है, लेकिन यह संक्रिया हमेशा तर्कसंगत नहीं होती है।

प्रमेय का प्रमाण

आरंभ करने के लिए, हमें यह याद रखना चाहिए कि कैसे, परंपरा के अनुसार, द्विघात समीकरण की जड़ों की तलाश करने की प्रथा है। पहली और दूसरी जड़ें पाई जाती हैं, अर्थात्: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2। आम तौर पर 2a से विभाज्य होता है, लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, प्रमेय केवल तभी लागू किया जा सकता है जब a=1.

विएटा के प्रमेय से ज्ञात होता है कि मूलों का योग ऋण चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर होता है। इसका अर्थ है कि x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

अज्ञात जड़ों के गुणनफल के लिए भी यही सच है: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4। बदले में, D = b2-4c (फिर से, a=1 के साथ)। यह पता चला है कि परिणाम है: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

उपरोक्त सरल प्रमाण से, केवल एक निष्कर्ष निकाला जा सकता है: विएटा की प्रमेय पूरी तरह से पुष्टि की गई है।

दूसरा सूत्रीकरण और प्रमाण

विएटा के प्रमेय की एक और व्याख्या है। अधिक सटीक होने के लिए, यह एक व्याख्या नहीं है, बल्कि एक शब्द है। तथ्य यह है कि यदि पहले मामले की तरह ही शर्तें पूरी होती हैं: दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो प्रमेय को एक अलग सूत्र में लिखा जा सकता है।

यह समानता इस तरह दिखती है: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2)। यदि फलन P(x) दो बिंदुओं x1 और x2 पर प्रतिच्छेद करता है, तो इसे P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में जब P के पास दूसरी डिग्री है, और यह ठीक वैसा ही मूल व्यंजक जैसा दिखता है, तब R एक अभाज्य संख्या है, अर्थात् 1। यह कथन इस कारण से सत्य है कि अन्यथा समानता नहीं रहेगी। कोष्ठक खोलते समय गुणांक x2 एक से अधिक नहीं होना चाहिए, और व्यंजक वर्गाकार रहना चाहिए।

विएटा के प्रमेय का प्रयोग अक्सर पहले से पाई गई जड़ों का परीक्षण करने के लिए किया जाता है। यदि आपको जड़ें मिल गई हैं, तो आप मानों की गणना करने के लिए सूत्रों \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) का उपयोग कर सकते हैं \(p\ ) और \(क्यू\ )। और अगर वे मूल समीकरण के समान हो जाते हैं, तो जड़ें सही पाई जाती हैं।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण को हल करें \(x^2+x-56=0\) का उपयोग करें और मूल प्राप्त करें: \(x_1=7\), \(x_2=-8\)। आइए देखें कि क्या हमने हल करने की प्रक्रिया में कोई गलती की है। हमारे मामले में, \(p=1\), और \(q=-56\)। विएटा के प्रमेय से हमारे पास है:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

दोनों कथनों का अभिसरण हुआ, जिसका अर्थ है कि हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया।

यह परीक्षण मौखिक रूप से किया जा सकता है। यह 5 सेकंड का समय लेगा और आपको बेवकूफी भरी गलतियों से बचाएगा।

उलटा वीटा प्रमेय

अगर \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), तो \(x_1\) और \(x_2\) द्विघात समीकरण के मूल हैं \ (x^ 2+px+q=0\)।

या सरल तरीके से: यदि आपके पास \(x^2+px+q=0\) फॉर्म का समीकरण है, तो सिस्टम को हल करके \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) आप इसके मूल पाएंगे।

इस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप एक द्विघात समीकरण की जड़ों को जल्दी से ढूंढ सकते हैं, खासकर अगर ये जड़ें हैं। यह कौशल महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बहुत समय बचाता है।

उदाहरण . समीकरण को हल करें \(x^2-5x+6=0\)।

फेसला : व्युत्क्रम वियत प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि जड़ें शर्तों को पूरा करती हैं: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\)।
\(x_1 \cdot x_2=6\) प्रणाली के दूसरे समीकरण को देखें। संख्या \(6\) को किन दो में विघटित किया जा सकता है? \(2\) और \(3\), \(6\) और \(1\) या \(-2\) और \(-3\), और \(-6\) और \(- पर एक\)। और किस जोड़ी को चुनना है, सिस्टम का पहला समीकरण बताएगा: \(x_1+x_2=5\)। \(2\) और \(3\) समान हैं, क्योंकि \(2+3=5\)।
जवाब : \(x_1=2\), \(x_2=3\)।

उदाहरण . विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम का उपयोग करते हुए, द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:
ए) \(x^2-15x+14=0\); बी) \(x^2+3x-4=0\); सी) \(x^2+9x+20=0\); डी) \(x^2-88x+780=0\)।

फेसला :
a) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) किन कारकों में विघटित होता है? \(2\) और \(7\), \(-2\) और \(-7\), \(-1\) और \(-14\), \(1\) और \(14\ ) संख्याओं के कौन-से युग्म \(15\) का योग करते हैं? उत्तर: \(1\) और \(14\)।

b) \(x^2+3x-4=0\) - किन कारकों में \(-4\) विघटित होता है? \(-2\) और \(2\), \(4\) और \(-1\), \(1\) और \(-4\)। संख्याओं के कौन-से युग्म \(-3\) का योग करते हैं? उत्तर: \(1\) और \(-4\)।

ग) \(x^2+9x+20=0\) - किन कारकों में \(20\) विघटित होता है? \(4\) और \(5\), \(-4\) और \(-5\), \(2\) और \(10\), \(-2\) और \(-10\ ), \(-20\) और \(-1\), \(20\) और \(1\)। संख्याओं के कौन-से युग्म \(-9\) का योग करते हैं? उत्तर: \(-4\) और \(-5\)।

d) \(x^2-88x+780=0\) - किन कारकों में \(780\) विघटित होता है? \(390\) और \(2\)। क्या वे \(88\) तक जोड़ते हैं? नहीं। \(780\) के और कौन से गुणक हैं? \(78\) और \(10\)। क्या वे \(88\) तक जोड़ते हैं? हां। उत्तर: \(78\) और \(10\)।

अंतिम पद को सभी संभावित कारकों में विघटित करना आवश्यक नहीं है (जैसा कि अंतिम उदाहरण में है)। आप तुरंत जांच सकते हैं कि उनका योग \(-p\) देता है या नहीं।

जरूरी!विएटा की प्रमेय और विलोम प्रमेय केवल के साथ काम करते हैं, अर्थात, जिसका गुणांक \(x^2\) के सामने एक के बराबर है। यदि हमारे पास शुरू में एक गैर-घटित समीकरण है, तो हम इसे केवल \ (x ^ 2 \) के सामने गुणांक से विभाजित करके कम कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण \(2x^2-4x-6=0\) दिया जाए और हम विएटा के प्रमेयों में से एक का उपयोग करना चाहते हैं। लेकिन हम ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि \(x^2\) से पहले का गुणांक \(2\) के बराबर है। आइए पूरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करके इससे छुटकारा पाएं।

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

तैयार। अब हम दोनों प्रमेयों का उपयोग कर सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों के उत्तर

प्रश्न: विएटा के प्रमेय से, आप कोई भी हल कर सकते हैं?
जवाब: दुर्भाग्यवश नहीं। यदि समीकरण में पूर्णांक नहीं हैं या समीकरण का कोई मूल नहीं है, तो विएटा का प्रमेय मदद नहीं करेगा। इस मामले में, आपको उपयोग करने की आवश्यकता है विभेदक . सौभाग्य से, स्कूल गणित पाठ्यक्रम के 80% समीकरणों में पूर्णांक हल होते हैं।

द्विघात फंक्शन।

सूत्र y = ax2 + bx + c द्वारा दिया गया फ़ंक्शन, जहां x और y चर हैं और a, b, c को 0 के बराबर नहीं के साथ संख्याएं दी गई हैं।
बुलाया द्विघात फंक्शन

एक पूर्ण वर्ग का चयन।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति, उनके अस्तित्व की शर्तें और संख्याएँ।

द्विघात समीकरण का विवेचक है।

Vieta के प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय।

एक वर्ग ट्रिनोमियल का रैखिक कारकों में अपघटन।

प्रमेय। रहने दो

एक्स 1 और एक्स 2 - एक वर्ग त्रिपद की जड़ेंएक्स 2 + पिक्सल + क्यू. फिर यह ट्रिनोमियल निम्नानुसार रैखिक कारकों में विघटित हो जाता है:एक्स 2 + पिक्सल + क्यू = (एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2).

प्रमाण। के स्थान पर प्रतिस्थापित करें

पीऔर क्यूके माध्यम से उनके भावएक्स 1 और एक्स 2 और समूहन विधि का उपयोग करें:

एक्स 2 + पिक्सल + क्यू = एक्स 2 - (एक्स 1 + एक्स 2 ) एक्स + एक्स 1 एक्स 2 = एक्स 2 - एक्स 1 एक्स - एक्स 2 एक्स + एक्स 1 एक्स 2 = एक्स (एक्स - एक्स 1 ) - एक्स 2 (एक्स - एक्स 1 ) = = (एक्स - एक्स 1 ) (एक्स - एक्स 2 ). प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

द्विघात समीकरण। स्क्वायर ट्रिनोमियल प्लॉट

समीकरण टाइप करें

द्विघात समीकरण कहलाता है। संख्या D = b 2 - 4ac इस समीकरण का विभेदक है।
यदि एक

फिर नंबर

द्विघात समीकरण के मूल (या समाधान) हैं। यदि D = 0 है, तो मूल संपाती होते हैं:

अगर डी< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
मान्य सूत्र:

- वियत सूत्र; ए
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d ए (एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2) -
गुणनखंडन सूत्र।
द्विघात फलन का ग्राफ (वर्ग त्रिपद) y \u003d ax 2 + bx + c एक परवलय है। गुणांक a और विवेचक D के संकेतों के आधार पर परवलय का स्थान अंजीर में दिखाया गया है।


x-अक्ष पर x 1 और x 2 की संख्याएँ द्विघात समीकरण ax 2 + bx + + c \u003d 0 के मूल हैं; सभी मामलों में परवलय (बिंदु ए) के शीर्ष के निर्देशांक

y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0; c) हैं।
एक सीधी रेखा और एक वृत्त की तरह, एक परवलय एक तल को दो भागों में विभाजित करता है। इन भागों में से एक में, सभी बिंदुओं के निर्देशांक असमानता y> ax 2 + bx + c और दूसरे में विपरीत को संतुष्ट करते हैं। विमान के चुने हुए हिस्से में असमानता का निशान विमान के इस हिस्से में किसी बिंदु पर इसे ढूंढकर निर्धारित किया जाता है।
एक परवलय (या एक वृत्त) के स्पर्शरेखा की अवधारणा पर विचार करें। एक रेखा y - kx + 1 एक परवलय (या एक वृत्त) की स्पर्श रेखा कहलाएगी यदि इस वक्र के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु है।


परवलय के लिए संपर्क बिंदु M(x; y) पर, समानता kx + 1 = ax 2 + bx + c पूरी होती है (वृत्त के लिए, समानता (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y) 0) 2 - आर 2)। परिणामी द्विघात समीकरण के विवेचक को शून्य से बराबर करते हुए (चूंकि समीकरण का एक अद्वितीय समाधान होना चाहिए), हम स्पर्शरेखा के गुणांकों की गणना के लिए शर्तों पर पहुंचते हैं।

विएटा का प्रमेय

आज्ञा देना और घटाए गए द्विघात समीकरण की जड़ों को निरूपित करना
(1) .
तब मूलों का योग गुणांक के बराबर होता है, जो विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है। जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
;
.

एकाधिक जड़ों के बारे में एक नोट

यदि समीकरण (1) का विवेचक शून्य है, तो इस समीकरण का एक मूल है। लेकिन, बोझिल फॉर्मूलेशन से बचने के लिए, आम तौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि इस मामले में, समीकरण (1) में दो बहु, या बराबर जड़ें हैं:
.

सबूत एक

आइए समीकरण (1) के मूल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र लागू करें:
;
;
.

जड़ों का योग ज्ञात करना:
.

उत्पाद खोजने के लिए, हम सूत्र लागू करते हैं:
.
फिर

.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमाण दो

यदि संख्याएँ और द्विघात समीकरण (1) के मूल हैं, तो
.
हम कोष्ठक खोलते हैं।

.
इस प्रकार, समीकरण (1) रूप लेगा:
.
(1) की तुलना में हम पाते हैं:
;
.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उलटा वीटा प्रमेय

मनमानी संख्या होने दें। तब और द्विघात समीकरण के मूल हैं
,
कहाँ पे
(2) ;
(3) .

विएटा के विलोम प्रमेय का प्रमाण

द्विघात समीकरण पर विचार करें
(1) .
हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि यदि और , तो और समीकरण (1) के मूल हैं।

स्थानापन्न (2) और (3) में (1):
.
हम समीकरण के बाईं ओर की शर्तों को समूहित करते हैं:
;
;
(4) .

में स्थानापन्न (4) :
;
.

में स्थानापन्न (4) :
;
.
समीकरण पूरा हो गया है। अर्थात् संख्या समीकरण (1) का मूल है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

अब पूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें
(5) ,
जहाँ , और कुछ संख्याएँ हैं। और ।

हम समीकरण (5) को इससे विभाजित करते हैं:
.
अर्थात्, हमने उपरोक्त समीकरण प्राप्त किया है
,
कहाँ पे ; .

फिर पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए वियत प्रमेय का निम्न रूप है।

मान लीजिए और पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ों को निरूपित करें
.
फिर जड़ों का योग और उत्पाद सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
.

घन समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

इसी तरह, हम एक घन समीकरण की जड़ों के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। घन समीकरण पर विचार करें
(6) ,
जहाँ , , , कुछ संख्याएँ हैं। और ।
आइए इस समीकरण को इसके द्वारा विभाजित करें:
(7) ,
कहाँ पे , , ।
मान लीजिए, समीकरण (7) (और समीकरण (6)) के मूल हैं। फिर

.

समीकरण (7) से तुलना करने पर हम पाते हैं:
;
;
.

nth डिग्री समीकरण के लिए Vieta की प्रमेय

इसी तरह, आप nth डिग्री के समीकरण के लिए जड़ों , , ... , , के बीच संबंध पा सकते हैं
.

nth डिग्री समीकरण के लिए Vieta के प्रमेय का निम्न रूप है:
;
;
;

.

इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में समीकरण लिखते हैं:
.
फिर हम गुणांकों को , , , ... पर समान करते हैं और मुक्त पद की तुलना करते हैं।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।
से। मी। निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव एट अल।, बीजगणित: शैक्षणिक संस्थानों की 8 वीं कक्षा के लिए एक पाठ्यपुस्तक, मॉस्को, शिक्षा, 2006।