निरपेक्ष मान के चिह्न वाले समीकरण। निरपेक्ष मूल्य और उनका वर्गीकरण

निरपेक्ष मूल्य के संकेत के तहत अज्ञात युक्त असमानताओं को हल करते समय, उसी तकनीक का उपयोग किया जाता है जब निरपेक्ष मूल्य के संकेत के तहत अज्ञात वाले समीकरणों को हल करते हैं, अर्थात्: मूल असमानता का समाधान कई असमानताओं को हल करने के लिए कम किया जाता है। निरपेक्ष आवर्धित के संकेतों के नीचे खड़े निरंतर संकेत अभिव्यक्तियों के अंतराल।

उदाहरण:असमानता को हल करें

हल: आइए व्यंजक x 2 - 2 के अचर चिह्न के अंतरालों पर विचार करें, जो निरपेक्ष मान के चिह्न के अंतर्गत है।

1) मान लीजिए कि

तब असमानता (*) रूप लेती है

इस असमानता और असमानता के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन x 2 -2 0 मूल असमानता के समाधान का पहला सेट है (चित्र 1): x (-2; -]।

2) मान लीजिए कि x 2 - 2
2 - एक्स 2 + एक्स

इस असमानता और असमानता के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन x 2 - 2

उत्तर: एक्स (-2; -1)।

समीकरणों के विपरीत, असमानताएँ प्रत्यक्ष सत्यापन की अनुमति नहीं देती हैं। हालांकि, ज्यादातर मामलों में, आप ग्राफिक रूप से प्राप्त परिणामों की शुद्धता को सत्यापित कर सकते हैं। दरअसल, हम उदाहरण की असमानता को फॉर्म में लिखते हैं

आइए विचाराधीन असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में शामिल y 1 =x 2 - 2 और y 2 = -x कार्यों का निर्माण करें, और तर्क के उन मानों को खोजें जिनके लिए y 1

अंजीर पर। 3, x-अक्ष के छायांकित क्षेत्र में वांछित x मान होते हैं। निरपेक्ष मान के चिन्ह वाली असमानताओं का समाधान कभी-कभी समानता x 2 \u003d x 2 का उपयोग करके काफी कम किया जा सकता है।

चित्र तीन

उदाहरण:असमानता को हल करें

हल: सभी x -2 के लिए मूल असमानता असमानता के बराबर है

एक्स -1 > एक्स + 2. (**)

असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग (**), समान पदों को कम करने के बाद, हम असमानता प्राप्त करते हैं

शर्त x -2 द्वारा निर्धारित प्रारंभिक असमानता के स्वीकार्य मूल्यों के सेट को ध्यान में रखते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं कि असमानता (*) सभी x(-; -2)(-2; -1/2) के लिए संतुष्ट है )

उत्तर: (-; -2)(-2; -1/2)।

उदाहरण:सबसे छोटा पूर्णांक x ज्ञात कीजिए जो असमानता को संतुष्ट करता है:

हल: चूँकि x +1 0 और, शर्त के अनुसार, x +1 0, तो यह असमानता निम्नलिखित के बराबर है: 2x + 5 > x +1। उत्तरार्द्ध, बदले में, असमानताओं की प्रणाली के बराबर है - (2x + 5)

-(2x + 5)
2x + 5 > x +1,

असमानताओं की इस प्रणाली को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक x 0 है। ध्यान दें कि x -1, अन्यथा इस असमानता के बाईं ओर की अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

उदाहरण:असमानता को हल करें:

उत्तर 1; एक]।

उदाहरण:असमानता को हल करें

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

समाधान। x 2 - 3x + 2 1 . पर ऋणात्मक है

2. - एस? एक्स? 1. हमारे पास असमानता x2 - x - 2 है? 0. उसका हल -1 है? एक्स? 2. इसलिए, संपूर्ण खंड -S? एक्स? 1 असमानता को संतुष्ट करता है।
4. एक्स? 2. असमानता वही है जो स्थिति 2 में है। केवल x = 2 उपयुक्त है।

उत्तर: 5 - 41 2 ? एक्स? 2.

उदाहरण:असमानता को हल करें।

एक्स 3 + एक्स - 3- 5 एक्स 3 - एक्स + 8।

समाधान। आइए इस असमानता को गैर-मानक तरीके से हल करें।

एक्स 3 + एक्स - 3 - 5 एक्स 3 - एक्स + 8,

एक्स 3 + एक्स - 3 - 5 - एक्स 3 + एक्स - 8

एक्स 3 + एक्स - 3 एक्स 3 - एक्स + 13

एक्स 3 + एक्स - 3 - एक्स 3 + एक्स - 3

एक्स 3 + एक्स - 3 एक्स 3 - एक्स + 13,

एक्स 3 + एक्स - 3 - एक्स 3 + एक्स - 13,

एक्स 3 + एक्स - 3 - एक्स 3 + एक्स - 3,

एक्स 3 + एक्स - 3 एक्स 3 - एक्स + 3

केमरोवो

समझौता ज्ञापन "माध्यमिक विद्यालय संख्या 37"

वैकल्पिक वैकल्पिक पाठ्यक्रम

कक्षा 10-11 . के छात्रों के लिए

समीकरण, असमानताएँ और प्रणालियाँ,

द्वारा संकलित:

कपलुनोवा ज़ोया निकोलायेवना

गणित शिक्षक

व्याख्यात्मक नोट……………………………………..पृष्ठ 2

शैक्षिक और विषयगत योजना …………………………… पी। 6

खोजशब्दों की सूची……………………………………पृष्ठ 7

शिक्षक के लिए साहित्य ……………………………………..पृष्ठ 8

छात्रों के लिए साहित्य…………………………………पी.8

व्याख्यात्मक नोट।

स्कूल में गणित पढ़ाने का मुख्य कार्य आधुनिक समाज के प्रत्येक सदस्य के लिए रोजमर्रा की जिंदगी और काम में आवश्यक गणितीय ज्ञान और कौशल की एक मजबूत और जागरूक महारत सुनिश्चित करना है, जो संबंधित विषयों का अध्ययन करने और शिक्षा जारी रखने के लिए पर्याप्त है।

मुख्य कार्य के समाधान के साथ, गणित का गहन अध्ययन छात्रों में विषय में एक स्थिर रुचि के गठन, उनकी गणितीय क्षमताओं की पहचान और विकास, उन व्यवसायों की ओर उन्मुखीकरण प्रदान करता है जो गणित से महत्वपूर्ण रूप से संबंधित हैं, और तैयारी विश्वविद्यालयों में अध्ययन के लिए।

गणित के शिक्षण में अंतर करने का मुद्दा प्रासंगिक बना हुआ है, जिससे एक ओर, बुनियादी गणितीय प्रशिक्षण प्रदान करने की अनुमति मिलती है, और दूसरी ओर, विषय में रुचि रखने वाले प्रत्येक व्यक्ति की आवश्यकताओं को पूरा करने की अनुमति मिलती है।

इस पाठ्यक्रम का कार्यक्रम "समीकरण, असमानता और निरपेक्ष मूल्य के संकेत वाले सिस्टम" ऐसे मुद्दों का अध्ययन प्रदान करता है जो बुनियादी स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में पूर्ण रूप से शामिल नहीं हैं, लेकिन इसके आगे के अध्ययन के लिए आवश्यक हैं।

एक निरपेक्ष मान (मापांक) की अवधारणा किसी संख्या की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक है, दोनों वास्तविक और जटिल संख्याओं के क्षेत्र में। इस अवधारणा का व्यापक रूप से न केवल स्कूल पाठ्यक्रम के विभिन्न वर्गों में, बल्कि विश्वविद्यालयों में अध्ययन किए गए उच्च गणित, भौतिकी और तकनीकी विज्ञान के पाठ्यक्रमों में भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुमानित गणना के सिद्धांत में, अनुमानित संख्या की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों की अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है। यांत्रिकी और ज्यामिति में, एक वेक्टर और उसकी लंबाई (वेक्टर मापांक) की अवधारणाओं का अध्ययन किया जाता है। गणितीय विश्लेषण में, एक संख्या के निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा एक सीमा, एक सीमित कार्य, आदि जैसी बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषाओं में निहित है। निरपेक्ष मूल्यों से संबंधित समस्याएं अक्सर गणितीय ओलंपियाड, विश्वविद्यालय प्रवेश परीक्षा और में पाई जाती हैं। एकीकृत राज्य परीक्षा।

गणित पाठ्यक्रम का स्कूली पाठ्यक्रम अध्ययन की पूरी अवधि में छात्रों द्वारा प्राप्त मॉड्यूल, उनके गुणों के बारे में ज्ञान के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण के लिए प्रदान नहीं करता है।

इस प्रकार, इस पाठ्यक्रम "समीकरणों, असमानताओं और प्रणालियों में पूर्ण मूल्य का संकेत होता है" का उद्देश्य बीजगणित के मूल पाठ्यक्रम और विश्लेषण की शुरुआत का विस्तार करना है और छात्रों को संबंधित कार्यों को पूरा करने के लिए बुनियादी तकनीकों और विधियों से परिचित होने का अवसर प्रदान करता है। मॉड्यूल। इन मुद्दों में अनुसंधान रुचि को जागृत करता है, तार्किक सोच विकसित करता है, एक कार्य के साथ अनुभव के अधिग्रहण में योगदान देता है जो आवश्यक स्तर की जटिलता से अधिक है।

पाठ्यक्रम "समीकरण, असमानता और निरपेक्ष मूल्य के संकेत वाले सिस्टम" ग्रेड 10-11 में छात्रों के प्रोफाइल प्रशिक्षण के लिए अभिप्रेत है और इसे 34 घंटे (प्रति सप्ताह 1 घंटे) के लिए डिज़ाइन किया गया है।

इस पाठ्यक्रम को पढ़ाने की प्रक्रिया में, छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि को सक्रिय करने के विभिन्न तरीकों के साथ-साथ उनके स्वतंत्र कार्य को व्यवस्थित करने के विभिन्न रूपों का उपयोग करने का प्रस्ताव है।

इस पाठ्यक्रम के अध्ययन के दौरान, छात्र सैद्धांतिक सामग्री में महारत हासिल करते हैं और व्यावहारिक कार्य करते हैं। पाठ्यक्रम कार्यक्रम में महारत हासिल करने का परिणाम अंतिम पाठ में रचनात्मक कार्यों की प्रस्तुति है

पाठ्यक्रम का अध्ययन करते समय, एक परीक्षण नियंत्रण प्रदान किया जाता है।

पाठ्यक्रम के उद्देश्य:

* "निरपेक्ष मूल्य" विषय पर ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण, विस्तार और गहनता;

*मॉड्यूल के साथ कार्यों को पूरा करने के लिए व्यावहारिक कौशल का अधिग्रहण;

*छात्रों की गणितीय तैयारी के स्तर में सुधार।

पाठ्यक्रम के उद्देश्य

* "पूर्ण मूल्य" विषय पर ज्ञान की एक प्रणाली के साथ छात्रों को लैस करें

* बदलती जटिलता की समस्याओं को हल करने में इस ज्ञान को लागू करने के कौशल का निर्माण करना;

* छात्रों को परीक्षा के लिए तैयार करें;

* स्वतंत्र कार्य के कौशल का निर्माण करना, समूहों में काम करना;

* संदर्भ साहित्य के साथ काम करने का कौशल तैयार करना;

शैक्षिक सामग्री को आत्मसात करने के स्तर के लिए आवश्यकताएँ

पाठ्यक्रम कार्यक्रम का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप, छात्र सक्षम होंगे

जानो और समझो:

*एक मापांक के साथ असमानताओं और प्रणालियों के समीकरणों को हल करने के लिए परिभाषाएं, अवधारणाएं और बुनियादी एल्गोरिदम;

*पूर्ण मान के चिह्न वाले फलनों के ग्राफ़ बनाने के नियम;

करने में सक्षम हो:

* परिभाषा को लागू करें, वास्तविक संख्या के निरपेक्ष मान के गुण वास्तविक संख्या के समाधान के लिए विशिष्ट समस्याओं के समाधान के लिए;

* मॉड्यूल साइन के तहत एक चर वाले समीकरणों, असमानताओं, समीकरणों की प्रणाली और असमानताओं को हल करें;

* स्वतंत्र रूप से छोटे शोध करने में सक्षम हो।

1. परिचय 1h।

पाठ्यक्रम के लक्ष्य और उद्देश्य। पाठ्यक्रम और इसकी संरचना में शामिल प्रश्न। साहित्य से परिचित, रचनात्मक कार्यों के विषय।

चौबीस घंटे)

निरपेक्ष मूल्य का निर्धारण। एक मॉड्यूल की अवधारणा की ज्यामितीय व्याख्या। निरपेक्ष मूल्यों पर संचालन। . समस्याओं को हल करते समय मॉड्यूल गुणों का अनुप्रयोग।

3. निरपेक्ष मूल्य के चिन्ह वाले कार्यों के रेखांकन। (8 घंटे)

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए नियम और एल्गोरिदम। एक समान कार्य की परिभाषा। मापांक चिह्न वाले कार्यों के रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन। सरलतम कार्यों के उदाहरणों पर मूल प्लॉटिंग। समीकरणों के रेखांकन: y=f|x|; वाई = एफ (- | एक्स |); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),जहां f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.निरपेक्ष मान वाले समीकरण। (10 घंटे)

परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल का प्रकटीकरण, मूल समीकरण से समतुल्य प्रणाली में संक्रमण, समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करना, अंतराल की विधि, चित्रमय विधि, निरपेक्ष मान के गुणों का उपयोग। फॉर्म के समीकरण: |f(x)|=0; एफ|एक्स|=ओ; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

निरपेक्ष मान वाले समीकरणों को हल करते समय चरों के परिवर्तन की विधि। निरपेक्ष मान वाले समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि। फॉर्म के समीकरण:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x)।

निरपेक्ष मान वाले समीकरणों का आलेखीय हल।

5. निरपेक्ष मान वाली असमानताएँ (10 घंटे)

एक अज्ञात के साथ असमानता। असमानताओं को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

मॉड्यूल के साथ |f(x)|>a. फॉर्म की असमानताएं a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|।

6. अंतिम पाठ (1 घंटा)

रचनात्मक कार्यों की प्रस्तुति।

खंड III। शैक्षिक और विषयगत योजना

अनुभागों और विषयों के शीर्षक	अभ्यास	आचरण प्रपत्र	नियंत्रण का रूप
परिचय		ज्ञान नीलामी	प्रश्नावली, अभिलेख

वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान		व्याख्यान, कार्यशाला	संदर्भ सारांश, समस्या समाधान
मॉड्यूलो साइन के तहत एक चर युक्त अभिव्यक्तियों को सरल बनाना		कार्यशाला	समस्या को सुलझाना
मापांक चिह्न वाले समीकरणों के रेखांकन
ग्राफ़ बनाने के लिए नियम और एल्गोरिदम		कार्यशाला	निर्माण के नियमों और एल्गोरिदम के साथ मेमो
एक समान कार्य की परिभाषा। ज्यामितीय प्लॉट परिवर्तन		संगोष्ठी - कार्यशाला	संदर्भ सारांश, कार्य समाधान
समीकरणों के रेखांकन: y=f\|x\|; वाई = एफ (- \| एक्स \|); y=\|f(x)\|; y=\|f\|x\|\|; \|y\|=f(x),जहां f(x)≥0; \|y\|=\|f(x)\|			साजिश के निष्पादन की जाँच
निरपेक्ष मान वाले समीकरण
एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके			सार, एल्गोरिदम
फॉर्म के समीकरण: \|f(x)\|=0; एफ\|एक्स\|=ओ; \|f(x)\|=g(x); \|f(x)\|=\|g(x)\|;		कार्यशाला	हल किए गए कार्यों की जाँच करना
मापांक के चिह्न वाले समीकरणों को हल करने में अंतराल की विधि। फॉर्म के समीकरण:\|f(x)\|±\|f(x)\|±\|f(x)\|±…±\|f(x)\|=0; \|f(x)\|±\|)f(x)\|±\|f(x)\|±…±\|f(x)\|=g(x)।		कार्यशाला	संदर्भ सार, हल किए गए कार्यों का सत्यापन
"मॉड्यूल में मॉड्यूल" वाले समीकरणों को हल करते समय मॉड्यूल के क्रमिक प्रकटीकरण की विधि		कार्यशाला	सार, ज्ञापन, असाइनमेंट जांचें
निरपेक्ष मान वाले समीकरणों का आलेखीय हल।		कार्यशाला	चार्ट परीक्षण
निरपेक्ष मूल्यों वाली असमानताएँ
एक अज्ञात के साथ असमानता।			सार
मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए बुनियादी तरीके		कार्यशाला	सार, समाधान जांच
फॉर्म की असमानताएं a\|f(x)\|>g(x); \|f(x)\|>\|g(x)\|।		कार्यशाला
मापांक के चिह्न वाली असमानताओं को हल करने में अंतराल की विधि।		कार्यशाला	परीक्षण नियंत्रण
अंतिम पाठ		सम्मेलन	एब्सट्रैक्ट

खंड IV। कीवर्ड सूची.

एल्गोरिथम, समीकरण, असमानता, मापांक, ग्राफ, समन्वय अक्ष, समानांतर अनुवाद, केंद्रीय और अक्षीय समरूपता, अंतराल विधि, वर्ग त्रिपद, बहुपद, बहुपद गुणन, घटा हुआ गुणन सूत्र, सममित समीकरण, पारस्परिक समीकरण, निरपेक्ष मान गुण, परिभाषा का डोमेन , मान्य मूल्यों की सीमा।

खंड वी। शिक्षक के लिए साहित्य।

1. बश्माकोव एम.आई. समीकरण और असमानताएँ। (पाठ) / एम.आई. बश्माकोव।-एम .: VZMSh

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में, 1983.-138s।

2. विलेनकिन एन। हां और अन्य। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण ग्रेड 11। (पाठ) / एन.वाई.ए.

विलेनकिन-एम .: ज्ञानोदय, 2007.-280s।

3. गेदुकोव आई.आई. निरपेक्ष मूल्य। (पाठ)/ गेदुकोव आई.आई. -एम।: ज्ञानोदय, 1968.-96 पी।

4. Gelfand I. M. et al। कार्य और रेखांकन। (पाठ) / I. M. Gelfand- M ।: MTsNMO,

5. गोल्डिच वी.ए. Zlotin S.E.t. बीजगणित में 3000 समस्याएं (पाठ) / वी.ए. गोल्डिच एसई-एम .:

एक्समो, 2009.-350s।

6. कोलेनिकोवा एस.आई. गणित। One . की तैयारी का गहन कोर्स

राज्य परीक्षा। (पाठ) / कोलेनिकोवा एस.आई. - एम।: आइरिस-प्रेस 2004.-299s।

7. निकोलसकाया आई.एल. गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम। (पाठ) / आई.एल. निकोल्सकाया-

एम.: ज्ञानोदय, 1995.-80 के दशक।

8.ओलेखनिक एस.एन. आदि समीकरण और असमानताएँ। गैर-मानक समाधान विधियां।

(पाठ) / .ओलेखनिक एस.एन.-एम.: बस्टर्ड, 2002.-219पी।

खंड VI. छात्रों के लिए साहित्य

1. गोल्डिच वी.ए. Zlotin S.E.t. बीजगणित में 3000 समस्याएं (पाठ) / वी.ए. गोल्डिच एसई-एम .:

एक्समो, 2009.-350s।

2. कोलेनिकोवा एस.आई. गणित। One . की तैयारी का गहन कोर्स

दस्तावेज़

... के लियेपसंदएक या एक अन्य शैक्षणिक विषय (पाठ्यक्रम के भीतर, अनुभाग: " निर्वाचितपाठ्यक्रम") में 10 -11 कक्षाओं...और में भी व्यवस्थाअतिरिक्त शिक्षा। के लियेये श्रेणियां छात्रोंविकसित और कार्यान्वित नेटवर्क प्रशिक्षण पाठ्यक्रमपरहर कोई...

गतिविधि एच 4 51-1 "सूचना प्रौद्योगिकी के कार्यान्वयन, वैज्ञानिक और शैक्षिक विकास के आधार पर कम से कम 18 विषयों में विषय-उन्मुख मॉड्यूल के निर्माण के आधार पर माध्यमिक विद्यालय में शिक्षण विधियों में सुधार

प्रतिवेदन

... छात्रों. यह अध्ययन प्रस्तुत करता है निर्वाचितकुंआपरगणित "गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत और उनके अनुप्रयोग" के लिये10 - 11 विशेष कक्षाओं... निर्भरता और संबंध (कार्य, समीकरण, असमानताओंआदि।)। यह आमतौर पर पहले निर्धारित किया जाता है ...

पाठ्यक्रम की मुख्य सामग्री

किसी संख्या का निरपेक्ष मान। मूल गुण (1h)।

किसी संख्या या मॉड्यूल का निरपेक्ष मान निर्धारित करना। परिभाषा का विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड। ज्यामितीय अर्थ। बुनियादी गुण। इतिहास संदर्भ।

मुख्य लक्ष्य "निरपेक्ष मूल्य" विषय पर छात्रों के ज्ञान को व्यवस्थित और सामान्य बनाना है, जो उन्हें कक्षा 6 और 8 में प्राप्त हुआ था; निरपेक्ष मूल्य और मुख्य गुणों के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें; "मॉड्यूल" और "मॉड्यूल साइन" शब्दों की शुरूआत पर एक ऐतिहासिक पृष्ठभूमि दें; उन उदाहरणों पर विचार करें जिनका समाधान मॉड्यूल की परिभाषा पर आधारित है।

मॉड्यूल (3 घंटे) के साथ समीकरणों का समाधान।

मॉड्यूल के साथ रैखिक, द्विघात समीकरणों का समाधान, साथ ही मापदंडों के साथ एक निरपेक्ष मान वाले समीकरण।

प्राथमिक लक्ष्य- अभिव्यक्ति की ज्यामितीय व्याख्या और फॉर्म के समीकरणों को हल करने के लिए इसका उपयोग; मॉड्यूल की परिभाषा के आधार पर रैखिक समीकरणों के समाधान पर विचार करें; द्विघात समीकरणों का समाधान जिसमें निरपेक्ष मान का चिह्न होता है, साथ ही मापदंडों के साथ निरपेक्ष मान वाले समीकरणों का चित्रमय समाधान होता है।

मॉड्यूल (3 घंटे) के साथ असमानताओं को हल करना।

मॉड्यूल के साथ रैखिक, वर्ग असमानताओं का समाधान, साथ ही पैरामीटर के साथ पूर्ण मूल्य वाली असमानताएं।

प्राथमिक लक्ष्य- विभिन्न तरीकों से मॉड्यूल के साथ रैखिक असमानताओं को हल करने की क्षमता विकसित करने के लिए (ज्यामितीय अर्थ का उपयोग करके, असमानता को चुकता करना, दोहरी असमानता का उपयोग करना); वर्ग फ़ंक्शन के ग्राफ़ के योजनाबद्ध स्केच के साथ-साथ अंतराल विधि का उपयोग करते हुए, निरपेक्ष मान के संकेत वाली द्विघात असमानताएं; मापदंडों के साथ निरपेक्ष मान वाली असमानताओं को हल करने का विचार दें।

अंतराल विधि (2h)।

अंतराल विधि का उपयोग करके निरपेक्ष मान वाले समीकरणों और असमानताओं का समाधान।

प्राथमिक लक्ष्य - स्कूली बच्चों को अंतराल विधि का उपयोग करके निरपेक्ष मान वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करना सिखाना; एक प्रमेय तैयार करें जिस पर निरंतरता के अंतराल की खोज आधारित हो; मॉड्यूल के शून्य का पता लगाना।

समतुल्य संक्रमण (2 घंटे) के माध्यम से हल किए गए फॉर्म की असमानताएं।

असमानताओं के एक सेट के लिए समान संक्रमणों के माध्यम से फॉर्म की असमानता को हल करना, और असमानताओं - असमानताओं की एक प्रणाली के लिए।

प्राथमिक लक्ष्य- तुल्यता की अवधारणा को समेकित करने के लिए, जो कक्षा 8 के छात्रों को ज्ञात है; एक असमानता से एक सेट और एक असमानता से एक प्रणाली में एक समान संक्रमण की संपत्ति तैयार करें (और एक "मजबूत" वर्ग में साबित करें)।

समीकरणों और असमानताओं (1h) को हल करने में निरपेक्ष मान के गुणों का अनुप्रयोग।

समीकरणों और असमानताओं को हल करना (रैखिक, वर्ग, दूसरी डिग्री से अधिक), साथ ही साथ एक निरपेक्ष मूल्य के गुणों का उपयोग करके समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली।

प्राथमिक लक्ष्य- दोहराएँ, यदि आवश्यक हो, मॉड्यूल के मुख्य गुण; छात्रों को समीकरणों और असमानताओं (रैखिक, द्विघात, दूसरे से ऊपर की डिग्री), साथ ही एक निरपेक्ष मूल्य के गुणों का उपयोग करके समीकरणों और असमानताओं की प्रणालियों को हल करना सिखाएं; प्रतिक्रिया लिखते समय ग्राफिक तकनीक दिखाएं; मापांक के साथ समीकरणों के वर्ग का विस्तार करें (दो चर वाले समीकरण पर विचार करें)।

निर्देशांक रेखा (1h) पर मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं का समाधान।

निर्देशांक रेखा पर मापांक के साथ रैखिक समीकरणों और असमानताओं का समाधान।

प्राथमिक लक्ष्य- दो बिंदुओं A के बीच की दूरी के लिए सूत्र दोहराएं ( एक्स 1) और बी( एक्स 2) समन्वय रेखा; समन्वय रेखा पर मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए छात्रों को सिखाएं।

मापांक और जड़ों का परिवर्तन (1h)।

अंकगणितीय जड़ों के साथ संचालन करते समय एक मॉड्यूल की अवधारणा का अनुप्रयोग। अपरिमेय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन, जिसके समाधान में मॉड्यूल का उपयोग किया जाता है।

प्राथमिक लक्ष्य- एक वर्गमूल वाले भावों के रूपांतरण करने की क्षमता विकसित करना, जिसमें मॉड्यूल का उपयोग किया जाता है।

मॉड्यूल और अपरिमेय समीकरण (2 घंटे)।

पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करना या एक नया चर पेश करना।

प्राथमिक लक्ष्य- कक्षा 8 के छात्रों को ज्ञात अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा दोहराएं; मॉड्यूल का उपयोग करने की आवश्यकता से संबंधित अपरिमेय समीकरणों के समाधान को उदाहरणों द्वारा दिखाएं।

शैक्षिक और विषयगत योजना

संख्या पी / पी	विषय	घंटों की संख्या	कक्षाओं के संचालन का रूप	नियंत्रण का रूप	शैक्षिक उत्पाद का नाम
1	किसी संख्या का निरपेक्ष मान। बुनियादी गुण।	1	भाषण	-	-
2	मॉड्यूल के साथ समीकरणों का समाधान: रैखिक; वर्ग; विकल्पों के साथ।	1	कार्यशाला कार्यशाला नई सामग्री सीखना	नियंत्रण कार्यों का समाधान नियंत्रण कार्यों का समाधान कार्यपुस्तिकाओं की जाँच	-
5	मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करना: रैखिक; वर्ग; विकल्पों के साथ।	1	कार्यशाला नई सामग्री सीखना	गृहकार्य जांच सवालों के जवाब कार्यपुस्तिकाओं की जाँच	-
8	अंतराल विधि।	1	संयुक्त पाठ प्रतियोगिता पाठ	सवालों के जवाब सहकर्मी समीक्षा पाठ	-
10	समतुल्य संक्रमणों के माध्यम से हल किए गए फॉर्म की असमानताओं को हल करना।	1	नई सामग्री सीखना अध्ययन सामग्री का समेकन	चेक नोट्स गणितीय श्रुतलेख	-
12	समीकरणों और असमानताओं को हल करने में निरपेक्ष मान के गुणों का अनुप्रयोग।	1		मौखिक पूछताछ	-
13	निर्देशांक रेखा पर मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं का समाधान।	1	ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण	स्वतंत्र काम	-
14	मापांक और जड़ों का परिवर्तन।	1	कार्यशाला	समूह के काम	-
15	मापांक और अपरिमेय समीकरण।	1	ZUN . की जाँच और सुधार परामर्श	घरेलू परीक्षण सवालों के जवाब	-
17	ऑफसेट।	1	नियंत्रण या परीक्षण कार्य	-	एक बुनियादी रूपरेखा संकलित करना

शिक्षक के लिए साहित्य की सूची

गोलूबेव वी.आई. गणित में प्रतियोगी परीक्षाओं में संख्या का निरपेक्ष मान (देश के प्रमुख विश्वविद्यालयों की सामग्री के आधार पर) - लवॉव: क्वांटर, 1991।
गोलूबेव वी। "निरपेक्ष मूल्य" विषय पर समस्याओं को हल करने के प्रभावी तरीके ।- एम।: चिश्ये प्रूडी, 2006।
डैंकोवा आई.एन., बोंडारेंको टी.ई., एमेलिना एल.एल., पलेटनेवा ओ.के. गणित में 9वीं कक्षा के छात्रों के लिए प्री-प्रोफाइल प्रशिक्षण - एम।: 5 ज्ञान के लिए, 2006।
रुरुकिन ए.एन. गणित में परीक्षा के लिए गहन तैयारी के लिए एक मैनुअल "स्नातक, प्रवेश, 5+ के लिए उपयोग करें" .- एम।: वाको, 2006।
स्माइकालोवा ई.वी. गणित (मॉड्यूल, पैरामीटर, बहुपद), प्री-प्रोफाइल प्रशिक्षण, ग्रेड 8-9 - सेंट पीटर्सबर्ग: एसएमआईओ-प्रेस, 2006।

छात्रों के लिए साहित्य की सूची

गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित। संदर्भ सामग्री। - एम।: शिक्षा, 1988।
डोरोफीव जी.वी., पोतापोव एम.के., रोज़ोव एन.के.एच. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित पर मैनुअल - एम।: नौका, 1973।
ज़ोरिन वी.वी. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित मैनुअल - एम।: हायर स्कूल, 1974।
इवलेव बी.एम., अब्रामोव एएम, डुडनित्सिन यू.पी., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. बीजगणित में बढ़ी हुई जटिलता और विश्लेषण की शुरुआत की समस्याएं। - एम।: शिक्षा, 1990।
कलनिन आर.ए. बीजगणित और प्राथमिक कार्य, नौका प्रकाशन गृह, भौतिक और गणितीय साहित्य का मुख्य संस्करण।- एम.: नौका, 1975।
क्रुलिकोवस्की एन.एन. आवेदकों के लिए गणितीय समस्याएं - टॉम्स्क: एड। टॉम्स्क विश्वविद्यालय, 1973।
नेस्टरेंको यू.वी., ओलेनिक एस.एन., पोतापोव एम.के. गणित में प्रवेश परीक्षाओं की समस्याएं - एम.: नौका, 1986।
शेरगिन आई.एफ. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित, मास्को, ड्रोफा, 1995।

विधिवत सामग्री

पाठ 1:किसी संख्या के निरपेक्ष मान (किसी संख्या का मापांक), उसके ज्यामितीय अर्थ और मूल गुणों का निर्धारण।

एक वास्तविक संख्या के निरपेक्ष मान (या मॉड्यूल) को यह संख्या ही कहा जाता है, यदि यह गैर-ऋणात्मक है, और यह संख्या, विपरीत चिह्न के साथ ली गई है, यदि यह ऋणात्मक है।

संख्या a का मापांक निम्नानुसार दर्शाया गया है:। किसी संख्या के मापांक और स्वयं संख्या के बीच संबंध स्थापित करते हुए, हम परिभाषा का एक विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड प्राप्त करते हैं:

किसी संख्या के मॉड्यूल को निर्देशांक रेखा पर इस संख्या को दर्शाने वाले मूल बिंदु से बिंदु तक की दूरी भी कहा जाता है। यह क्या है ज्यामितीय अर्थमापांक। उस। किसी संख्या के "मापांक", "पूर्ण मान" या "पूर्ण मान" शब्दों का उपयोग किया जाता है। उपरोक्त परिभाषा के अनुसार = 5, = 3, = 0। किसी संख्या के मापांक को a और - a की सबसे बड़ी संख्या के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

ऐतिहासिक संदर्भ: शब्द "मॉड्यूलस" (अक्षांश मापांक से - माप) अंग्रेजी गणितज्ञ आर। कोट्स (1682-1716) द्वारा पेश किया गया था, और जर्मन गणितज्ञ के। वीयरस्ट्रैस (1815-1897) द्वारा मॉड्यूल का संकेत दिया गया था। 1841 में।

मॉड्यूल के मुख्य गुण:

उन उदाहरणों पर विचार करें जिनका समाधान मॉड्यूल की परिभाषा पर आधारित है।

क्रमांक 1. समीकरण =4 को हल करें।

मॉड्यूल परिभाषा द्वारा; एक्स=4 या एक्स=-4.

संख्या 2. समीकरण को हल करें: \u003d 3.

समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

कहाँ पे: एक्स 1=2 और एक्स 2=-1.

संख्या 3. समीकरण हल करें: \u003d -2।

संपत्ति 1 से: किसी भी वास्तविक संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि कोई समाधान नहीं है।

संख्या 4. समीकरण को हल करें: = एक्स–5.

एक ही संपत्ति के लिए 1 : एक्स–50, एक्स 5.

संख्या 5. समीकरण हल करें: + एक्स=0.

=- x, एक्स 0.

संख्या 6. समीकरण को हल करें: = एक्स+2.

पिछले उदाहरण के विपरीत, इस समीकरण के दाईं ओर एक चर के साथ एक व्यंजक है। इसलिए, समीकरण का एक हल है बशर्ते कि एक्स+20, यानी एक्स-2. तो हमारे पास हैं:

2x+1=x+2 या

2x + 1 \u003d - x - 2।

उस। पर एक्स -2,अपने पास:

समीकरण हल करें:

पाठ 2. मॉड्यूल के साथ रैखिक समीकरणों का समाधान।

रैखिक समीकरणों को हल करते समय, किसी संख्या के मापांक के ज्यामितीय अर्थ या मापांक के संकेत के विस्तार का उपयोग किया जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें: समीकरण हल करें

a) हम किसी संख्या के मापांक के ज्यामितीय अर्थ का उपयोग करते हैं। आइए समीकरण को इस रूप में लिखें: +=7. फिर डी = х-5- बिंदु से दूरी एक्ससंख्या रेखा पर 5 को इंगित करने के लिए, च \u003d एक्स - (-2)- बिंदु से दूरी एक्सबिंदु तक (-2) समस्या की स्थिति के अनुसार, इन दूरियों का योग डी+एफ=7. आइए अंक 5 और -2 को संख्या रेखा पर आलेखित करें। यह जांचना आसान है कि खंड से किसी भी संख्या के लिए [-2;5] दूरियों का योग डी+एफखंड AB की लंबाई के बराबर, अर्थात्। 7. यह सेट करना उतना ही आसान है कि डॉट्स के लिए क्या है एक्स या एक्स>5दूरियों का योग डी+एफ>7. अतः समीकरण का हल अंतराल है।

b) आइए मॉड्यूल के साइन को खोलें। ऐसा करने के लिए अंक -2 और 5 को अंक रेखा पर लगाएं। ये बिंदु इसे तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं। प्रत्येक अंतराल में मॉड्यूल के संकेतों पर विचार करें।

अंतराल 1 . में (एक्स हमें मिलता है: -(x–5)–(x+2)=7या -x+5–x–2=7या - 2x+3=7, जहां से हमें मिलता है: एक्स = -2. लेकिन इस बिंदु को माना अंतराल में शामिल नहीं किया गया है। इसीलिए एक्स = -2समाधान नहीं है।

अंतराल 2 में: एक्सहम पाते हैं: -(x–5)+(x+2)=7या 7=7. चूंकि सही समानता निकली है, इस अंतराल का कोई भी बिंदु इस समीकरण का हल है।

अंतराल 3 . में (एक्स>5)हम पाते हैं: (x-5)+(x+2)=7या 2x-3=7, कहाँ पे एक्स = 5. दूरसंचार विभाग एक्स = 5माना अंतराल में शामिल नहीं है और समीकरण का समाधान नहीं है।

तो इस समीकरण का हल है: -2x5।

समीकरण हल करें:

पाठ संख्या 3. मापांक के साथ द्विघात समीकरणों का समाधान।

उदाहरणों का उपयोग करते हुए मॉड्यूल के साथ द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करें:

नंबर 1। प्रश्न हल करें

हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं =y, तो फिर 0 . परसमीकरण बन जाता है:

y 2 -6y+8=0, जहां से वाई 1 = 2 और वाई 2 = 4. ए एक्स = 2 या -2; 4 या -4।

नंबर 2. प्रश्न हल करें:

समीकरण प्रणाली के बराबर है: कहा पे एक्स=1.

संख्या 3। प्रश्न हल करें:

2एक्स – 1.

समीकरण का एक हल है बशर्ते कि 2 एक्स-10, और इस शर्त के तहत समानता संभव है: भावों के मूल्य एक्स 2 + एक्स-1 और 2 एक्स-1 समान या विपरीत हैं। उस। हमारे पास है: x0.5. आइए समीकरण बनाते हैं: एक्स 2 + एक्स–1=2एक्स-1 या एक्स 2+एक्स–1=-(2एक्स-एक); जिसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

संख्या 4. समीकरण की जड़ें खोजें: .

हम इस समीकरण को इस रूप में निरूपित करते हैं: = एक्स 2 - 1, कहाँ से:

एक्स - 1 \u003d एक्स 2 - 1,

या x - 1 \u003d - (x 2 - 1)।

x 2 - 1 के साथ एक्स - 1तथा एक्स 1समीकरणों को हल करने पर, हम पहले से प्राप्त करते हैं: एक्स = 0तथा एक्स = 1, दूसरे से: एक्स = -2तथा एक्स = 1।

उत्तर: एक्स = 1; एक्स = -2।

पाँच नंबर। समीकरण के पूर्णांक मूल ज्ञात कीजिए: = ।

मॉड्यूल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि भावों का मान है तो समानता संभव है एक्स-एक्स 2 -1तथा 2x+3–x 2बराबर या विपरीत हैं, अर्थात्। यह समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

समुच्चय को हल करने पर हमें इस समीकरण के मूल प्राप्त होते हैं: एक्स=-4;-0.5;2।उनमें से पूर्णांक: -4 और 2.

संख्या 6. प्रश्न हल करें: \u003d 2x 2 -3x + 1.

व्यंजक को निरूपित करें 3x-1-2x 2पत्र एक. तब यह समीकरण रूप लेगा: =-ए. मॉड्यूल की परिभाषा के विश्लेषणात्मक संकेतन के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह समीकरण असमानता के बराबर है: 3x-1-2x 2 0, जिसे हल करने पर हमें उत्तर मिलता है: x0.5तथा x1.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम।

प्रश्न हल करें:

नंबर 1. \u003d x 2 + x-20।

नंबर 2. + 3x -5 = 0,

संख्या 3। =(x-1)(x+1),

संख्या 4. एक्स 2 -6 + 5 \u003d 0,

पाँच नंबर। एक्स 2 +8=9,

नंबर 6. \u003d x 2 -6x + 6,

संख्या 7. एक्स = -8।

पाठ संख्या 4.मापदंडों के साथ निरपेक्ष मान वाले समीकरणों का समाधान।

एक उदाहरण पर विचार करें: एक पैरामीटर के साथ एक समीकरण हल करें

आइए कार्यों के रेखांकन बनाएं y=3–xतथा वाई =।अनुसूची y=3–xनिश्चित और पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है। अनुसूची वाई =फ़ंक्शन के ग्राफ से प्राप्त किया गया वाई =,पैरामीटर पर निर्भर करता है एक. तो आइए 3 मामलों पर विचार करें:

यह मामला, जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, एक। इन फलनों के ग्राफ़ एक बिंदु B पर प्रतिच्छेद करते हैं। त्रिभुज ABC पर विचार करें, जिसमें कोण A कोण B के बराबर है और 45 0 के बराबर है, हम इस त्रिभुज में VD की ऊँचाई खींचते हैं। इसलिये त्रिभुज ABC समद्विबाहु है, तो BD भी इस त्रिभुज की माध्यिका है। इसलिए, बिंदु D . का भुज एक्स=(ए + 3)/2.

यह मामला तब होता है जब एक=3. तब फलनों के रेखांकन खंड AB के अनुदिश संपाती होते हैं और इस किरण के किसी भी बिंदु का भुज इस समीकरण का हल होता है, अर्थात्। एक्स

इस मामले में एक>3. यह देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, अर्थात। सामान्य बिंदु नहीं हैं। इसलिए, समीकरण का कोई हल नहीं है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

समीकरणों को हल करें:

संख्या 3। (ए-2)=ए-2,

संख्या 4. ए 2 एक्स 2 + ए \u003d 0।

पाठ संख्या 5.मॉड्यूल के साथ रैखिक असमानताओं का समाधान।

मॉड्यूलो साइन के तहत एक चर वाली असमानताओं को विभिन्न तरीकों से हल किया जाता है; आइए एक काफी सरल उदाहरण देखें:

संख्या 1. असमानता को हल करें:

पहला तरीका: हमारे पास है: >4,

ज्यामितीय रूप से, व्यंजक का अर्थ है बिंदुओं के बीच समन्वय रेखा पर दूरी एक्सऔर 2.5. तो हमें ऐसे सभी बिंदुओं को खोजने की जरूरत है एक्स, जो बिंदु 2.5 से 2 से अधिक दूर हैं, अंतराल से बिंदु हैं एक्स और x>4.5.

दूसरा तरीका: चूंकि दी गई असमानता के दोनों भाग ऋणात्मक नहीं हैं, हम इस असमानता के दोनों भागों का वर्ग करेंगे: 2 >4 2 ।

(2х–5) 2 >4 2 ,

(2х–5) 2–16>0,

(2х–5–4)(2х–5+4)>0,

2(x–4.5) 2(x–0.5)>0,

(x–4.5)(x–0.5)>0.

अंतराल विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: एक्स, 5 और x>4.5.

तीसरा तरीका: अभिव्यक्ति 2x-5गैर-नकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। वे। हमारे पास दो प्रणालियों का एक सेट है:

कहाँ पे: एक्स और x>4.5.

आइए कुछ और उदाहरण देखें।

उदाहरण संख्या 2. असमानता को हल करें:

यह असमानता दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है:

पहली प्रणाली से हमें मिलता है 2x, दूसरे से -1-1

उदाहरण #3। असमानता को हल करें: 3 एक्स+3.

यह असमानता दोहरी असमानता के बराबर है -х-33х–3х+3या प्रणाली

हमारे पास है : 0x3.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

असमानताओं को हल करें:

№3. ->-2.

पाठ संख्या 6.मॉड्यूल के साथ द्विघात असमानताओं को हल करना।

उदाहरण # 1 पर विचार करें। असमानता को हल करें: +x-2.

इस असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल किया जा सकता है। निम्नलिखित कथन के आधार पर एक अन्य समाधान पर विचार करें: a के किसी भी मूल्य के लिए, असमानता असमानताओं की प्रणाली के बराबर है: ,और असमानताअसमानताओं के सेट के बराबर है.

इसलिए, हमारी असमानता असमानताओं की प्रणाली के बराबर है: जिसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है:

आइए उत्तर लिखें: (1-;2-)।

उदाहरण # 2। असमानता के संपूर्ण समाधान खोजें: 2x-x 2. असमानताओं की दो प्रणालियों के एक सेट को हल करने के लिए समस्या कम हो गई है:

हम पहली प्रणाली को हल करते हैं: पहली असमानता से हमारे पास है: x1; x2.

दूसरे से: 2x 2 -5x+20, या 0.5x2.

समन्वय रेखा पर पहली प्रणाली की पहली और दूसरी असमानताओं के पाए गए समाधानों को चिह्नित करने के बाद, हम समाधानों का प्रतिच्छेदन पाते हैं।

उस। 0.5x1तथा एक्स = 2. यह पहली प्रणाली का समाधान है।

हम दूसरी प्रणाली को हल करते हैं: पहली असमानता से हमारे पास है: 1-(x 2 -3x + 2) 2x-x 2, या - 2 +3х–2–2х+ 2 0, या x2.

निर्देशांक रेखा पर दूसरी प्रणाली की पहली और दूसरी असमानताओं के पाए गए समाधानों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 1

असमानताओं की प्रणालियों के लिए मिले समाधानों को मिलाना 0.5x1; एक्स = 2; 1 0.5x2आदि। संपूर्ण समाधान होगा एक्स = 1तथा एक्स = 2.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

असमानताओं को हल करें:

संख्या 4. एक्स 2 -3+2>0,

संख्या 6. एक्स 2 -6x+7-

संख्या 7. 3+x 2 -7>0,

№8. >.

पाठ संख्या 7. मापदंडों के साथ निरपेक्ष मान वाली असमानताओं को हल करना।

उदाहरण। किन मूल्यों पर एकवास्तविक असमानता: कुल्हाड़ी 2 +4+a+3 ?

पर X 0अपने पास कुल्हाड़ी 2 + 4x + ए + 3। वरिष्ठ गुणांक एकनकारात्मक होना चाहिए, विवेचक शून्य से कम होना चाहिए।

एक 16–4a(a+3) 0; ऐ ए> 1;

परवलय के शीर्ष का भुज x 0 \u003d -b / 2a \u003d - 4/2a \u003d -2 / a 0, कहाँ पे एक।

पर x हमारे पास है कुल्हाड़ी 2 -4x + ए + 3। इसी तरह तर्क करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: एक।

उत्तर: कब और यह असमानता x के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

मापदंडों के साथ असमानताओं को हल करें:

संख्या 3। क्या ऐसे मूल्य हैं जिनके लिए असमानता कुल्हाड़ी 2 >2+5कोई समाधान नहीं है?

पाठ #8 - 9. मापांक वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल की विधि।

समीकरण को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके अंतराल की विधि पर विचार करें

-+3-2=x+2.

इस असमानता को दूर करने के लिए मॉड्यूल का विस्तार करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम अंतराल का चयन करते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर मॉड्यूल साइन के तहत अभिव्यक्ति केवल सकारात्मक या नकारात्मक मान लेती है। ऐसे अंतरालों का पता लगाना प्रमेय पर आधारित होता है: यदि अंतराल (a; c) पर फलन f निरंतर है और लुप्त नहीं होता है, तो यह इस अंतराल पर एक स्थिर चिह्न रखता है।

निरंतरता के अंतराल को उजागर करने के लिए, हम उन बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर मॉड्यूल के तहत लिखे गए भाव गायब हो जाते हैं:

एक्स+1=0, एक्स=-1; एक्स = 0; x–1=0, x=1; एक्स-2 = 0, एक्स = 2।

परिणामी बिंदु रेखा को वांछित अंतराल में तोड़ देंगे। आइए भावों के संकेतों को परिभाषित करें

+1, х, х–1, х–2 इन अंतरालों पर:

संकेतों को देखते हुए, हम मॉड्यूल खोलेंगे। नतीजतन, हम इस समीकरण के बराबर सिस्टम का एक सेट प्राप्त करते हैं:

अंतिम सेट को फॉर्म में घटा दिया गया है:

प्रणालियों की समग्रता का समाधान और यह समीकरण: -2; एक्स 2.

इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक को कहा जाता है अंतराल विधि. इसका उपयोग असमानताओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।

असमानता को हल करें: +x-2

1) व्यंजक के शून्यक ज्ञात कीजिए: एक्स 2 -3x.

एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 3।

2) निर्देशांक रेखा को अंतरालों में विभाजित करें और व्यंजक का चिह्न सेट करें एक्स 2 -3xप्रत्येक अंतराल पर:

3) आइए मॉड्यूल का विस्तार करें:

पहली प्रणाली का समाधान: दूसरे का समाधान। इस असमानता का समाधान: .

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

№3

पाठ #10 - 11. फॉर्म की असमानताओं का समाधान , समकक्ष संक्रमणों के माध्यम से।

फॉर्म की असमानताओं पर विचार करें और। हम निम्नलिखित प्रमेय को बिना प्रमाण के स्वीकार करते हैं: असमानता के किसी भी मूल्य के लिएअसमानताओं और असमानताओं की एक प्रणाली के बराबर हैअसमानताओं के सेट के बराबर है

एक उदाहरण पर विचार करें: असमानता को हल करें: >एक्स+2.

सूत्रबद्ध प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम असमानताओं के समुच्चय को पास करते हैं:

व्यवस्था और असमानता 0x>2समाधान नहीं है। इसलिए, जनसंख्या का समाधान (और दी गई असमानता) है एक्स.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

पाठ संख्या 12।समीकरणों और असमानताओं को हल करने में निरपेक्ष मान के गुणों का अनुप्रयोग।

कुछ कार्यों को हल करते समय, मॉड्यूल के गुणों का उपयोग किया जाता है। (यदि आवश्यक हो, उन्हें दोहराएं, गतिविधि संख्या 1 देखें)।

व्याख्यात्मक नोट

गणित एक ऐसी भाषा है जो न केवल विज्ञान और प्रौद्योगिकी द्वारा बोली जाती है, गणित मानव सभ्यता की भाषा है। इसने मानव जीवन के लगभग सभी क्षेत्रों में प्रवेश किया है। आधुनिक उत्पादन, समाज का कम्प्यूटरीकरण, आधुनिक सूचना प्रौद्योगिकी की शुरूआत के लिए गणितीय साक्षरता की आवश्यकता है।

गणितीय शिक्षा एक सामान्य मानव संस्कृति के निर्माण में योगदान करती है। गणित का अध्ययन किसी व्यक्ति की सौंदर्य शिक्षा में योगदान देता है, गणितीय तर्क की सुंदरता और लालित्य को समझता है।

9 वर्गों में कार्यान्वयन के लिए वैकल्पिक पाठ्यक्रम "समीकरण और असमानताएं जिसमें पूर्ण मूल्य का संकेत होता है" बनाया गया था।

पाठ्यक्रम को एक संख्या के निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा से संबंधित मुद्दों पर छात्रों के ज्ञान और कौशल का विस्तार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, कार्यों के रेखांकन का निर्माण और समीकरणों और असमानताओं के चित्रमय समाधान जिसमें निरपेक्ष मूल्य का संकेत होता है।

निरपेक्ष मान (मापांक) की अवधारणा वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में किसी संख्या की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक है। इस अवधारणा का व्यापक रूप से न केवल स्कूल गणित पाठ्यक्रम के विभिन्न वर्गों में, बल्कि विश्वविद्यालयों में अध्ययन किए गए उच्च गणित, भौतिकी और तकनीकी विज्ञान के पाठ्यक्रमों में भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुमानित गणना के सिद्धांत में, अनुमानित संख्या की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों की अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है। यांत्रिकी और ज्यामिति में, एक वेक्टर और उसकी लंबाई (वेक्टर मापांक) की अवधारणाओं का अध्ययन किया जाता है। गणितीय विश्लेषण में, एक संख्या के निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा एक सीमा, एक बाध्य कार्य, आदि जैसी बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषाओं में निहित है। निरपेक्ष मूल्यों से संबंधित समस्याएं अक्सर गणितीय ओलंपियाड, विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षाओं में पाई जाती हैं। और एकीकृत राज्य परीक्षा।

पाठ्यक्रम शिक्षक को गणितीय ओलंपियाड के लिए सबसे गुणात्मक तरीके से छात्रों को तैयार करने में मदद करेगा, विश्वविद्यालयों में प्रवेश के लिए ओजीई, एकीकृत राज्य परीक्षा और परीक्षा उत्तीर्ण करेगा।

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के कार्यक्रम में विचाराधीन मुद्दों के सिद्धांत और व्यवहार से परिचित होना शामिल है और इसे 34 घंटे: 7.5 घंटे के व्याख्यान और 26.5 घंटे के व्यावहारिक प्रशिक्षण के लिए डिज़ाइन किया गया है।

पाठ्यक्रम की सामग्री में आठ खंड होते हैं, जिसमें एक परिचय और एक अंतिम सत्र शामिल है। शिक्षक, छात्रों की तैयारी के स्तर, अध्ययन की जा रही सामग्री की जटिलता के स्तर और छात्रों द्वारा इसकी धारणा के आधार पर, दूसरों के अध्ययन के लिए घंटों की संख्या में वृद्धि करते हुए, सभी विषयों को अध्ययन के लिए नहीं ले सकता है। शिक्षक प्रस्तुत सामग्री के कठिनाई स्तर को भी बदल सकता है।

कार्यक्रम में रचनात्मक कार्यों के विषय और प्रस्तावित विषयों पर साहित्य की एक सूची शामिल है।

इस पाठ्यक्रम का अध्ययन करने की प्रक्रिया में, स्कूली बच्चों की संज्ञानात्मक गतिविधि को सक्रिय करने के विभिन्न तरीकों के साथ-साथ उनके स्वतंत्र कार्य को व्यवस्थित करने के विभिन्न रूपों का उपयोग करना आवश्यक है।

पाठ्यक्रम कार्यक्रम में महारत हासिल करने का परिणाम स्कूली बच्चों द्वारा अंतिम पाठ में रचनात्मक व्यक्ति और समूह कार्यों की प्रस्तुति है।

पाठ्यक्रम के उद्देश्य:

गणित में छात्रों की सतत रुचि का निर्माण;
व्यावहारिक गतिविधियों में आवेदन के लिए आवश्यक विशिष्ट गणितीय ज्ञान की महारत;
बीजगणित और ज्यामिति में एक व्यवस्थित पाठ्यक्रम के सचेत रूप से आत्मसात करने की तैयारी;
"निरपेक्ष मूल्य" विषय पर ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण, विस्तार और गहनता; मॉड्यूल के साथ कार्यों को पूरा करने के लिए व्यावहारिक कौशल प्राप्त करना; स्कूली बच्चों के गणितीय प्रशिक्षण के स्तर में वृद्धि।

पाठ्यक्रम के उद्देश्य:

छात्रों में मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए, ज्यामितीय परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके, पूर्ण मूल्य के संकेत वाले कार्यों के ग्राफ बनाने की क्षमता बनाने के लिए;
विभिन्न जटिलताओं की विभिन्न समस्याओं को हल करने में इस ज्ञान को लागू करने के कौशल का निर्माण करना;
परीक्षा के लिए छात्रों को तैयार करना;
स्वतंत्र कार्य कौशल बनाने के लिए, छोटे समूहों में काम करें;
कंप्यूटर के साथ संदर्भ साहित्य के साथ काम करने का कौशल तैयार करना;
अनुसंधान कार्य के कौशल और क्षमताओं का निर्माण करना;
छात्रों की एल्गोरिथम सोच के विकास को बढ़ावा देना;
गणित में संज्ञानात्मक रुचि के गठन को बढ़ावा देना।

(प्रति सप्ताह 1 घंटा, कुल 34 घंटे)

1. परिचय (1 घंटा)

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के लक्ष्य और उद्देश्य। पाठ्यक्रम और इसकी संरचना में शामिल प्रश्न। साहित्य से परिचित, रचनात्मक कार्यों के विषय। पाठ्यक्रम प्रतिभागियों के लिए आवश्यकताएँ। नीलामी "मैं निरपेक्ष मूल्य के बारे में क्या जानता हूँ?"।

2. वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान a (4 घंटे)

एक वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान a. विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल। मॉड्यूल ए की अवधारणा की ज्यामितीय व्याख्या। योग का मापांक और वास्तविक संख्याओं की परिमित संख्या के अंतर का मापांक। दो संख्याओं के मापांक अंतर का मापांक। उत्पाद मॉड्यूल और भागफल मॉड्यूल। निरपेक्ष मूल्यों पर संचालन। मॉड्यूल साइन के तहत एक चर वाले भावों का सरलीकरण। ओलंपियाड की समस्याओं को हल करने में मॉड्यूल गुणों का अनुप्रयोग।

3. समीकरणों के रेखांकन (कार्यों सहित), जिसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान (5 घंटे) का संकेत होता है

कार्यों के रेखांकन के निर्माण में कंप्यूटर प्रोग्राम "उन्नत ग्राफर" का उपयोग, जिसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मापांक का संकेत होता है। समीकरणों के रेखांकन के निर्माण के लिए नियम और एल्गोरिदम जिनके विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मापांक चिह्न होता है। समीकरणों के रेखांकन

कुछ सरल कार्यों के रेखांकन, स्पष्ट रूप से और परोक्ष रूप से परिभाषित, जिनकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मापांक का संकेत होता है। समीकरणों के रेखांकन (कार्यों सहित), जिसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में ओलंपियाड कार्यों में निरपेक्ष मूल्य का संकेत होता है।

4. निरपेक्ष मान वाले समीकरण (11 घंटे)

एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके। परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल का प्रकटीकरण, मूल समीकरण से समतुल्य प्रणाली में संक्रमण, समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करना, अंतराल की विधि, चित्रमय विधि, निरपेक्ष मान के गुणों का उपयोग। फॉर्म के समीकरण

निरपेक्ष मान वाले समीकरणों को हल करने के लिए परिवर्तनीय परिवर्तन विधि। निरपेक्ष मान वाले समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि। फॉर्म के समीकरण

"मॉड्यूल में मॉड्यूल" वाले समीकरणों को हल करते समय एक मॉड्यूल के क्रमिक प्रकटीकरण की एक विधि। निरपेक्ष मान वाले समीकरणों का आलेखीय हल। समीकरणों को हल करने में निरपेक्ष मान के गुणों का उपयोग करना। निरपेक्ष मान वाले पैरामीटर वाले समीकरण। हल किए गए ओलंपियाड कार्यों का संरक्षण।

5. निरपेक्ष मान वाली असमानताएँ (7 घंटे)

फॉर्म की असमानताएं

मापांक के चिह्न वाली असमानताओं को हल करने में अंतराल की विधि। निरपेक्ष मान वाले मापदंडों के साथ असमानताएँ। दो चर के साथ असमानताएँ।

निरपेक्ष मूल्यों वाले समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली।

अन्य मुद्दे जिनके समाधान में निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

6. अंतिम पाठ (1 घंटा)

कैलेंडर-विषयक योजना

	नाम अनुभाग और विषय	घंटों की संख्या
	नाम अनुभाग और विषय	घंटों की संख्या
	परिचय
वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान a (4 घंटे)
	एक वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान a. मूल प्रमेय
	निरपेक्ष मूल्यों पर संचालन
	मॉड्यूलो साइन के तहत एक चर युक्त अभिव्यक्तियों को सरल बनाना
	ओलंपियाड समस्याओं को हल करने में मॉड्यूल गुणों का अनुप्रयोग
समीकरणों के रेखांकन, जिनकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान (5 घंटे) का चिन्ह होता है
	कार्यों के रेखांकन के निर्माण में कंप्यूटर प्रोग्राम "उन्नत ग्राफर" का उपयोग, जिसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मापांक चिह्न होता है
	रेखांकन (फ़ंक्शंस सहित) के निर्माण के लिए नियम और एल्गोरिदम, जिसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मापांक चिह्न होता है
	समीकरणों के रेखांकन
	कुछ सरल कार्यों के रेखांकन, स्पष्ट रूप से और परोक्ष रूप से परिभाषित, जिनकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मापांक चिह्न होता है
	समीकरणों के रेखांकन, जिसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में ओलंपियाड कार्यों में निरपेक्ष मूल्य का संकेत होता है
निरपेक्ष मान वाले समीकरण (11 घंटे)
	एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके
	फॉर्म के समीकरण
	निरपेक्ष मान वाले समीकरणों को हल करने के लिए परिवर्तनीय परिवर्तन विधि
	निरपेक्ष मान वाले समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि। फॉर्म के समीकरण
	"मॉड्यूल में मॉड्यूल" वाले समीकरणों को हल करते समय मॉड्यूल के क्रमिक प्रकटीकरण की विधि
	निरपेक्ष मान वाले समीकरणों का आलेखीय हल
	समीकरणों को हल करने में निरपेक्ष मान के गुणों का उपयोग करना
	निरपेक्ष मान वाले पैरामीटर वाले समीकरण
	हल किए गए ओलंपियाड कार्यों का संरक्षण
निरपेक्ष मान वाली असमानताएँ (13 घंटे)
	एक अज्ञात के साथ असमानता। मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए बुनियादी तरीके
	मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए बुनियादी तरीके
	फॉर्म की असमानताएं
	दो चर के साथ असमानता
	निरपेक्ष मूल्यों वाले समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली
	अन्य मुद्दे जिनके समाधान में निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा का उपयोग किया जाता है
	अंतिम पाठ

शैक्षिक और पद्धतिगत सामग्री की सूची

1. बश्माकोव एम.आई. समीकरण और असमानताएँ। - एम .: मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1983 में VZMSh।

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15. यस्त्रेबिनेत्स्की जी.ए. मापदंडों के साथ कार्य। - एम .: ज्ञानोदय, 1986।

रचनात्मक कार्यों की थीम

यांत्रिकी और वेक्टर बीजगणित में मॉड्यूल का अनुप्रयोग।
सीमा परिभाषा में मॉड्यूल।
त्रुटियाँ।
समीकरणों (कार्यों सहित) के रेखांकन के निर्माण के लिए नियमों और एल्गोरिदम का मसौदा ज्ञापन, जिसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मापांक चिह्न होता है।
"समीकरणों के रेखांकन" विषय पर खेल "गणितीय लोट्टो" बनाना, जिसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मॉड्यूल का संकेत होता है।
मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीकों के अनुसार संदर्भ संकेतों की परियोजना।
सबसे सरल कार्य, स्पष्ट रूप से और परोक्ष रूप से परिभाषित, जिनकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में मापांक और उनके रेखांकन का संकेत होता है।

"मॉड्यूल" फ़ंक्शन के ग्राफ़ के निर्माण के लिए कार्य और मापदंडों के साथ कार्य पारंपरिक रूप से गणित में सबसे कठिन विषयों में से एक हैं, इसलिए इसे हमेशा जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा के बढ़े हुए और उच्च स्तर के कार्यों में शामिल किया जाता है।

"मापांक" की अवधारणा का अध्ययन 6 वीं कक्षा से स्कूल में किया जाता है, और स्तर पर, केवल परिभाषाएँ और गणनाएँ, इस तथ्य के बावजूद कि यह स्कूल गणित पाठ्यक्रम के कई वर्गों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, के अध्ययन में अनुमानित संख्या की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियां; ज्यामिति और भौतिकी में, एक सदिश की अवधारणा और उसकी लंबाई (सदिश मापांक) का अध्ययन किया जाएगा। मॉड्यूल की अवधारणा का उपयोग उच्च शिक्षण संस्थानों में अध्ययन किए गए उच्च गणित, भौतिकी और तकनीकी विज्ञान के पाठ्यक्रमों में किया जाता है।

स्नातकों को एक समस्या का सामना करना पड़ता है - 9 वीं कक्षा में जीआईए को सफलतापूर्वक पास करने के लिए, और बाद में एकीकृत राज्य परीक्षा में।

इस वर्ष, गणित के पाठों में, हम एक रैखिक फलन की अवधारणा से परिचित हुए और सीखा कि इसका ग्राफ कैसे बनाया जाता है। यह दिखाया गया था कि उनके इस ग्राफ को "मॉड्यूल" फ़ंक्शन के निर्माण के आधार के रूप में लिया गया है। इसके अलावा, शिक्षक ने कहा कि एक और कई मॉड्यूल के साथ समीकरण हैं। मैंने इस विषय का अधिक गहराई से अध्ययन करने का फैसला किया, खासकर जब से परीक्षा उत्तीर्ण करते समय यह मेरे काम आएगा।

विषय "निरपेक्ष मान वाले समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफिक विधि"

उद्देश्य: एक मॉड्यूल और एक पैरामीटर युक्त समीकरणों को हल करने के लिए मॉड्यूल के साथ रेखांकन के तर्कसंगत निर्माण की संभावना का अध्ययन

मापांक के साथ समीकरणों के तरीकों को हल करने के सिद्धांत का अध्ययन करना।

निरपेक्ष मान के चिह्न वाले 1 डिग्री के समीकरणों को हल करना सीखें।

समीकरणों को हल करने के लिए आलेखीय विधियों का वर्गीकरण कीजिए।

"मॉड्यूल" फ़ंक्शन के ग्राफ़ के निर्माण के लिए विभिन्न तरीकों के फायदे और नुकसान का विश्लेषण करना।

पता करें कि एक पैरामीटर क्या है

एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने के लिए तर्कसंगत तरीके लागू करें

वस्तु - मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के तरीके

समीकरणों को हल करने के लिए विषय ग्राफिक विधि

अनुसंधान के तरीके: सैद्धांतिक और व्यावहारिक:

सैद्धांतिक - शोध के विषय पर साहित्य का अध्ययन है; इंटरनेट - सूचना;

व्यावहारिक - यह साहित्य के अध्ययन में प्राप्त जानकारी का विश्लेषण है, विभिन्न तरीकों से एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करके प्राप्त परिणाम;

समीकरणों को हल करने के तरीकों की तुलना एक मापांक के साथ विभिन्न समीकरणों को हल करने में उनके उपयोग की तर्कसंगतता का विषय है।

अवधारणाएं और परिभाषाएं

1.1 "मापांक" की अवधारणा का व्यापक रूप से स्कूली गणित पाठ्यक्रम के कई वर्गों में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, अनुमानित संख्या की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों के अध्ययन में; ज्यामिति और भौतिकी में, एक वेक्टर और उसकी लंबाई (वेक्टर मापांक) की अवधारणाओं का अध्ययन किया जाता है। मॉड्यूल की अवधारणा का उपयोग उच्च शिक्षण संस्थानों में अध्ययन किए गए उच्च गणित, भौतिकी और तकनीकी विज्ञान के पाठ्यक्रमों में किया जाता है।

शब्द "मॉड्यूल" लैटिन शब्द "मॉड्यूलस" से आया है, जिसका अनुवाद में "माप" होता है। इस शब्द के कई अर्थ हैं और इसका उपयोग न केवल गणित, भौतिकी और प्रौद्योगिकी में, बल्कि वास्तुकला, प्रोग्रामिंग और अन्य सटीक विज्ञानों में भी किया जाता है। ऐसा माना जाता है कि यह शब्द न्यूटन के एक छात्र कोट्स द्वारा प्रस्तावित किया गया था। मॉड्यूल साइन 19वीं शताब्दी में वीयरस्ट्रैस द्वारा पेश किया गया था।

वास्तुकला में, मॉड्यूल किसी दिए गए वास्तुशिल्प संरचना के लिए स्थापित माप की प्रारंभिक इकाई है। इंजीनियरिंग में, यह विभिन्न गुणांक और मात्राओं को दर्शाने के लिए प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाने वाला शब्द है, उदाहरण के लिए, लोच का मापांक, जुड़ाव का मापांक गणित में, मॉड्यूल के कई अर्थ हैं, लेकिन मैं इसे किसी संख्या के निरपेक्ष मान के रूप में मानूंगा।

परिभाषा : एक वास्तविक संख्या का मापांक (पूर्ण मान) एकनंबर ही कहा जाता है if एक 0, या विपरीत संख्या - एक, यदि और शून्य का मापांक शून्य है।

मापांक निर्देशांक रेखा पर शून्य से एक बिंदु तक की दूरी है।

1.2. मापांक वाला समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें निरपेक्ष मान चिह्न (मापांक चिह्न के तहत) के तहत एक चर होता है। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना, या यह सिद्ध करना कि कोई मूल नहीं है। मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने के तरीके:

1. मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार - "मॉड्यूल हटाना"। निर्णय परिभाषा पर आधारित है।

2. विश्लेषणात्मक विधि - समीकरण और मॉड्यूल गुणों में शामिल अभिव्यक्तियों के परिवर्तनों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

3. अंतराल की विधि: मॉड्यूल के "शून्य" द्वारा गठित अंतराल और आधे अंतराल पर मॉड्यूल का विस्तार।

4. ग्राफिक विधि। इस पद्धति का सार समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों का प्रतिनिधित्व करने वाले इन कार्यों के ग्राफ़ बनाना है। यदि रेखांकन प्रतिच्छेद करते हैं, तो इन आलेखों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज इस समीकरण के मूल होंगे।

1.3. मॉड्यूल के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के तरीके

1.3.1. परिभाषा से। दो पंक्तियों का निर्माण किया जाता है y=kx+b, कहा पे x>0, y=-kx+b, कहा पे x

1.3.2 समरूपता विधि। x> 0 के लिए एक ग्राफ का निर्माण y \u003d kx + v किया जाता है। x . पर सीधी रेखा का भाग

1.3.3 फ़ंक्शन रूपांतरण:

a) y=|x |+n ग्राफ को y-अक्ष पर इकाइयों द्वारा स्थानांतरित किया जाता है

b) y=|x |-n ग्राफ को y-अक्ष के अनुदिश नीचे खिसका दिया जाता है

सी) वाई=|एक्स + एन | ग्राफ को भुज अक्ष के अनुदिश बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है

d)y=|x -n | ग्राफ x-अक्ष के अनुदिश दायीं ओर खिसकता है

1.3.4. अंतराल विधि। निर्देशांक रेखा को मापांक शून्य द्वारा अंतराल और अर्ध-अंतराल में विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, मॉड्यूल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, प्रत्येक पाए गए क्षेत्र के लिए हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसे किसी दिए गए अंतराल पर हल किया जाना चाहिए और एक फ़ंक्शन प्राप्त करना चाहिए।

1.3.5. शून्य के क्षेत्रों के विस्तार की विधि। मामले में जब कई मॉड्यूल होते हैं, तो मॉड्यूल का विस्तार नहीं करना अधिक सुविधाजनक होता है, लेकिन निम्नलिखित कथन का उपयोग करना: मॉड्यूल का बीजगणितीय योग एनरेखीय व्यंजक एक टुकड़ा-वार रैखिक फलन है, जिसके ग्राफ़ में शामिल हैं एन+1 सीधी रेखा खंड।

फिर ग्राफ को के अनुसार बनाया जा सकता है एन+2 अंक, एनजिनमें से इंट्रा-मॉड्यूल एक्सप्रेशन की जड़ें हैं, दूसरा एक एब्सिस्सा के साथ एक मनमाना बिंदु है जो इन जड़ों के छोटे से छोटा है, और आखिरी एक एब्सिसा के साथ है जो जड़ों के बड़े से बड़ा है।

1.4. हमारे पास समीकरण है कुल्हाड़ी + बी = सी।इस समीकरण में एक्स- अनजान ए, बी, सीगुणांक हैं जो विभिन्न संख्यात्मक मान ले सकते हैं। इस तरह से परिभाषित गुणांकों को पैरामीटर कहा जाता है। पैरामीटर के साथ एक समीकरण समीकरणों का एक सेट निर्दिष्ट करता है (सभी संभावित पैरामीटर मानों के लिए)।

ये सभी समीकरण हैं जो मापदंडों के साथ एक समीकरण को परिभाषित करते हैं कुल्हाड़ी + बी = सी।

मापदंडों के साथ एक समीकरण को हल करने का अर्थ है:

संकेत दें कि मापदंडों के किन मूल्यों के लिए समीकरण की जड़ें हैं और उनमें से कितने मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए हैं।

जड़ों के लिए सभी भाव खोजें और उनमें से प्रत्येक के लिए उन मापदंडों के मूल्यों को इंगित करें जिनके लिए यह अभिव्यक्ति समीकरण की जड़ निर्धारित करती है।

1.5.निष्कर्ष:

इस प्रकार, मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ बनाने के लिए अलग-अलग तरीके हैं जिन्हें उनके तर्कसंगत अनुप्रयोग की संभावना के लिए जांच करने की आवश्यकता है।

मॉड्यूल और एप्लिकेशन वाले फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाने के तरीकों का विश्लेषण

3. अंतराल की विधि

4. विश्लेषणात्मक

3. नेस्टेड मॉड्यूल

|||x एन| एम || = ए

1. मॉड्यूल परिभाषा के अनुसार

2.ग्राफिक

निष्कर्ष: इस प्रकार, समीकरणों का वर्गीकरण हमें सभी प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीके देता है - यह परिभाषा के अनुसार एक मॉड्यूल और एक ग्राफिकल विधि है।

2.2.रेखांकन विश्लेषण.

2.2.1. प्रकार 1. निर्माण y=|x |

2.2.1.1.परिभाषा से.

1. हम एक सीधी रेखा बनाते हैं y \u003d x

2. x . पर सीधी रेखा के भाग का चयन करें 0

3. हम एक सीधी रेखा बनाते हैं y \u003d -x

4. x . पर सीधी रेखा के भाग का चयन करें

2.2.1.2. समरूपता विधि

1. हम एक सीधी रेखा बनाते हैं y \u003d x

2. हम x . पर भुज अक्ष के बारे में सममिति बनाते हैं

5. अंतराल पर रेखाओं के भागों का चयन करें

2.2.2.2.शून्य क्षेत्र विस्तार विधि

1. शून्य: 3 और 1; विस्तारित क्षेत्र: 2,4,0

2. मानों की गणना करें: 3,1,2,4,0 हैं: -2, -2, -2, 0, 0

3. बिंदुओं को उनके निर्देशांकों से व्यवस्थित करें और कनेक्ट करें

निष्कर्ष: शून्य के क्षेत्रफल के विस्तार की विधि अधिक तर्कसंगत है

2.2.3. टाइप 3. नेस्टेड मॉड्यूल - "मैत्रियोश्का"

और हम निर्माण की जांच करते हैं y=||x|-1|

2.2.3.1.मॉड्यूल परिभाषा के अनुसार

मुख्य मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

1) x>0 y=|x|-1

2. निम्नलिखित मॉड्यूल को "निकालें":

मॉड्यूल: y=x-1, x>0 और y=-x+1 x

y=-x+1 x>0 y=x-1 x

3. हम ग्राफ बनाते हैं

2.2.3.2 समरूपता विधि

1. वाई=|एक्स|-1

y=x-1, समरूपता

2. ग्राफ के भाग के भुज के बारे में समरूपता, जहां x-1

निष्कर्ष: समरूपता विधि अधिक तर्कसंगत है।

2.2.4। आइए एक तालिका में परिणामों के विश्लेषण को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

ज्ञान और कौशल

कमियां

परिभाषा से

मॉड्यूल परिभाषा

जानिए: सीधी रेखाओं के बिंदुओं के निर्देशांक कैसे निर्धारित होते हैं

असमानता से एक सीधी रेखा के एक भाग का चयन करने में सक्षम हो

बोझिल समाधान

बड़ी मात्रा में ज्ञान का अनुप्रयोग

मॉड्यूल को "हटाते समय", आप गलतियाँ कर सकते हैं

समरूपता विधि

फ़ंक्शन परिवर्तन को जानें और लागू करने में सक्षम हों

भुज अक्ष के बारे में समरूपता बनाएँ

रिक्ति विधि

मॉड्यूल शून्य खोजें

अंतराल और अर्ध-अंतराल को परिभाषित करें

मॉड्यूल का विस्तार करें

मॉड्यूल की गणना करें

समान शब्द लाओ

सीधी रेखाएँ बनाएँ

बोझिल समाधान

शून्य को हटाते समय कई गणना और परिवर्तन

लम्बा समय लगाया

अंतराल और अर्ध-अंतराल की परिभाषा की शुद्धता

शून्य क्षेत्र विस्तार विधि

मॉड्यूल शून्य खोजें

शून्य के क्षेत्र का विस्तार करने में सक्षम हो

इन बिंदुओं पर मॉड्यूल की गणना करने में सक्षम हो

उनके निर्देशांक द्वारा अंक बनाने में सक्षम होने के लिए

गणना में त्रुटि सहिष्णुता

फ़ंक्शन परिवर्तन विधि

रूपांतरण एल्गोरिदम को जानें

उनके निर्देशांक द्वारा अंक बनाने में सक्षम होने के लिए

अंक के निर्देशांक की गणना करने में सक्षम हो

रूपांतरण एल्गोरिदम लागू करने में सक्षम हो

चार्ट परिवर्तन एल्गोरिदम का ज्ञान

निष्कर्ष: तालिका का विश्लेषण करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि शून्य के क्षेत्र की समरूपता और विस्तार की विधि सबसे तर्कसंगत है, क्योंकि निर्माण करने के लिए सबसे कम क्रियाएं होती हैं, जिसका अर्थ है कि वे समय बचाते हैं।

2.3मॉड्यूलस और पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफ बनाने के लिए तर्कसंगत तरीकों का अनुप्रयोग

2.3.1. प्रश्न हल करें:

हम y= . बनाते हैं

और y=0.5-x

2. विस्तारित क्षेत्र: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. हम खंड और किरणें खींचते हैं

2.3.2. उपयोग 2009 a के सभी मान ज्ञात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण

, का ठीक 1 मूल है। a = 7. किए गए कार्य के दौरान, हम आलेखों को आलेखित करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन और विश्लेषण करने में सक्षम थे। ग्राफ बनाने के तरीकों के विश्लेषण और तुलना के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित निष्कर्ष प्राप्त हुए:

बीजीय समस्या का भाषा में अनुवाद जीरफीकोव बोझिल समाधानों से बचते हैं;

एक मापांक और एक पैरामीटर वाले समीकरणों को हल करते समय, चित्रमय विधि अधिक दृश्य और अपेक्षाकृत सरल होती है;

2 मॉड्यूल और "मैत्रियोशका" वाले ग्राफ़ का निर्माण करते समय, समरूपता विधि अधिक व्यावहारिक होती है;

यद्यपि समीकरणों को हल करने का आलेखीय तरीका अनुमानित है, क्योंकि सटीकता चयनित इकाई खंड, पेंसिल की मोटाई, कोण जिस पर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, आदि पर निर्भर करती है, लेकिन यह विधि आपको एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने के लिए समीकरण जड़ों की संख्या का अनुमान लगाने की अनुमति देती है।

यह देखते हुए कि USE और GIA के लिए सबसे लोकप्रिय कार्यों में से एक मॉड्यूल के साथ समीकरण हैं, तो मेरा मुख्य परिणाम यह है कि मैं एक मॉड्यूल और एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल कर सकता हूं।

ग्रन्थसूची

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5. यास्त्रेबिनेत्स्की जी.ए. मापदंडों के साथ कार्य। एम, 2006

मॉड्यूल की परिभाषा n वास्तविक संख्या x का मॉड्यूल (पूर्ण मान), यानी | x|, इस संख्या को गैर-ऋणात्मक होने पर स्वयं कहा जाता है, और यदि यह ऋणात्मक है तो इस संख्या को विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है

1. मॉड्यूल गुण 1. | ए बी | = | ए | | बी | किसी भी संख्या a और b के लिए 2. | |= 3. 0 | . पर के लिए a |2= a 2 किसी भी संख्या के लिए a

n n 2. मॉड्यूल वाले समीकरणों में सबसे सरल रूप का समीकरण है | एफ (एक्स) | = a, जहाँ, a 0. यह समीकरण समीकरणों के समुच्चय के तुल्य है। [यदि एक

n n n फॉर्म के समीकरण | एफ (एक्स) | = g(x), जहाँ f(x), g(x) वास्तविक चर x के कुछ फलन हैं। 1) g(x) 0 के लिए, मूल समीकरण सेट Γ f(x) = g(x), Lf(x) = -g(x) के बराबर है।

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें | 1 - 2 एक्स | = 3 x - 2 n हल: ध्यान दें कि Zx 2≥ 0, अर्थात् x या x (; +∞) समुच्चय x (; + ) पर, दिया गया समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है: 1 ) 2 x \u003d 3x-2 X 1 \u003d 2) 1 2 x \u003d (3x 2) X 2 \u003d 1 n चूंकि

n n अब फॉर्म के समीकरणों पर विचार करें | और 1 x - 1|+ | . में और 2 x - 2 में | +… + | चिंता - वीएन | \u003d ax + b, जहाँ a 1, a 2, a 3, ..., a, 1 में, 2 में, 3 में R से संबंधित कुछ संख्याएँ हैं, x निम्नलिखित योजना के अनुसार निर्मित एक वास्तविक चर है। दिए गए समीकरण के चर के स्वीकार्य मानों की सीमा को सेट में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक पर सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेत स्थिर हैं। ऐसे प्रत्येक सेट पर, मूल समीकरण को एक समान समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों को ध्यान में रखते हुए) जिसमें निरपेक्ष मान नहीं होते हैं। इस प्रकार प्राप्त समीकरणों के समुच्चय के हलों का मिलन दिए गए समीकरण का हल होता है।

उदाहरण 3. समीकरण को हल करें | 2 एक्स+5 | | 3 एक्स | = 0.5 एन एन एन समाधान। चर के स्वीकार्य मानों की सीमा संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है। आइए उन बिंदुओं को खोजें जहां सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन 0 के बराबर हैं: 2 x+5=0, यानी x1= 2, 5; 3 x = 0, अर्थात x2 = 3।

n n n n ; 2, 5) (2, 5; 3) (З; + ∞) 2 х + 5 + + 3-х + + इस प्रकार, प्रारंभिक समीकरण | 2x+5 | | 3 एक्स | \u003d 0.5 समीकरणों के एक सेट के बराबर है: 1) x

n 2) 2.5 x . पर

3. अब आइए कुछ कथनों पर विचार करें, जिनके आवेदन से हम मॉड्यूल के साथ समीकरणों के समाधान को काफी सरल बना सकते हैं। एन एन एन वक्तव्य 1. समानता | ए+बी | = | ए | + | में | सत्य है यदि av 0. प्रमाण। वास्तव में, इस समानता के दोनों भागों का वर्ग करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं | ए+बी |2 = |ए|2 + 2|एवी | + |in|2 a 2 + 2 av + in 2 = a 2 + 2|av |+ 2 में , कहाँ से | एवी | = av और अंतिम समानता av 0 के लिए सही होगी। कथन 2. समानता | एसी | = | ए | + | में | av 0 के लिए सत्य है। प्रमाण। प्रमाण के लिए, यह समानता में पर्याप्त है | ए+बी | = | ए | + | में | v को -v से बदलें, फिर a(-v) 0, जहां से av ≤ 0

एन एन वक्तव्य 3. समानता | ए | + | में | = a + b a 0 और b ≥ 0 के लिए धारण करता है। प्रमाण। चार मामलों पर विचार करने के बाद 0 और 0; एक 0 और

उदाहरण 4. समीकरण को हल करें: | 2 एक्स 2| = |x3 2 | + | 2 x x3 | n n n हल: चूँकि |х3 2 | + | 2 x x3 | = |x3 2 + 2 x x3 |, तो समीकरण के सभी मूल असमानता (x3 2)(2 x - x3) ≥ 0 (कथन 1) के समाधानों में से हैं। आइए इस असमानता को अंतरालों की विधि से हल करें; x(x3 - 2)(x2 - 2)≥ 0 x(x3 - 2)(x +)≤ 0 + + + 0 x उत्तर: [ ; 0]यू[; ]

4. अन्य उदाहरणों में, किसी को मॉड्यूल के प्रकटीकरण में जल्दबाजी नहीं करनी चाहिए, सबसे पहले व्यंजक को संपूर्ण उदाहरण के रूप में लेना चाहिए। समीकरण को हल करें: n "संपूर्ण" में दो भिन्नों का गुणनफल बराबर हो सकता है से केवल तीन मामलों में: n a) यदि भिन्न परस्पर प्रतिलोम हैं, अर्थात x+1= x+2 और | एक्स+1| = | x+2|, लेकिन यह किसी भी x के लिए संभव नहीं है। n b) यदि उनमें से प्रत्येक 1 के बराबर है, तो हमें और मिलता है। पहले समीकरण से x+1>0 x> 1 का अनुसरण होता है। दूसरे समीकरण से हमें x+2>0 x> 2 मिलता है। सामान्य समाधान: x> 1. c) यदि उनमें से प्रत्येक 1 के बराबर है, तो हम प्राप्त करते हैं यू पहले समीकरण से x + 1 . का अनुसरण होता है

एन एन एन

पाठ्यक्रम की मुख्य सामग्री

किसी संख्या का निरपेक्ष मान। मूल गुण (1h)।

मॉड्यूल (3 घंटे) के साथ समीकरणों का समाधान।

प्राथमिक लक्ष्य- अभिव्यक्ति की ज्यामितीय व्याख्या और रूप के समीकरणों को हल करने के लिए इसका उपयोग; मॉड्यूल की परिभाषा के आधार पर रैखिक समीकरणों के समाधान पर विचार करें; द्विघात समीकरणों का समाधान जिसमें निरपेक्ष मान का चिह्न होता है, साथ ही मापदंडों के साथ निरपेक्ष मान वाले समीकरणों का चित्रमय समाधान होता है।

मॉड्यूल (3 घंटे) के साथ असमानताओं को हल करना।

अंतराल विधि (2h)।

फॉर्म की असमानताओं को समतुल्य संक्रमणों (2h) के माध्यम से हल किया जाता है।

प्राथमिक लक्ष्य- तुल्यता की अवधारणा को समेकित करने के लिए, जो कक्षा 8 के छात्रों को ज्ञात है; एक असमानता से एक सेट में और एक असमानता से एक प्रणाली में एक समान संक्रमण की संपत्ति तैयार करें (और एक "मजबूत" वर्ग में साबित करें)।

निर्देशांक रेखा (1h) पर मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं का समाधान।

निर्देशांक रेखा पर मापांक के साथ रैखिक समीकरणों और असमानताओं का समाधान।

मापांक और जड़ों का परिवर्तन (1h)।

मॉड्यूल और अपरिमेय समीकरण (2 घंटे)।

शैक्षिक और विषयगत योजना

संख्या पी / पी	विषय	घंटों की संख्या	कक्षाओं के संचालन का रूप	नियंत्रण का रूप	शैक्षिक उत्पाद का नाम
1	किसी संख्या का निरपेक्ष मान। बुनियादी गुण।	1	भाषण	-	-
2	मॉड्यूल के साथ समीकरणों का समाधान: रैखिक; वर्ग; विकल्पों के साथ।	1	कार्यशाला कार्यशाला नई सामग्री सीखना	नियंत्रण कार्यों का समाधान नियंत्रण कार्यों का समाधान कार्यपुस्तिकाओं की जाँच	-
5	मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करना: रैखिक; वर्ग; विकल्पों के साथ।	1	कार्यशाला नई सामग्री सीखना	गृहकार्य जांच सवालों के जवाब कार्यपुस्तिकाओं की जाँच	-
8	अंतराल विधि।	1	संयुक्त पाठ प्रतियोगिता पाठ	सवालों के जवाब सहकर्मी समीक्षा पाठ	-
10	रूप की असमानताओं का समाधान, समतुल्य संक्रमणों के माध्यम से हल किया जाता है।	1	नई सामग्री सीखना अध्ययन सामग्री का समेकन	चेक नोट्स गणितीय श्रुतलेख	-
12	समीकरणों और असमानताओं को हल करने में निरपेक्ष मान के गुणों का अनुप्रयोग।	1		मौखिक पूछताछ	-
13	निर्देशांक रेखा पर मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं का समाधान।	1	ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण	स्वतंत्र काम	-
14	मापांक और जड़ों का परिवर्तन।	1	कार्यशाला	समूह के काम	-
15	मापांक और अपरिमेय समीकरण।	1	ZUN . की जाँच और सुधार परामर्श	घरेलू परीक्षण सवालों के जवाब	-
17	ऑफसेट।	1	नियंत्रण या परीक्षण कार्य	-	एक बुनियादी रूपरेखा संकलित करना

शिक्षक के लिए साहित्य की सूची

गोलूबेव वी.आई. गणित में प्रतियोगी परीक्षाओं में संख्या का निरपेक्ष मान (देश के प्रमुख विश्वविद्यालयों की सामग्री के आधार पर) - लवॉव: क्वांटर, 1991।
गोलूबेव वी। "निरपेक्ष मूल्य" विषय पर समस्याओं को हल करने के प्रभावी तरीके ।- एम।: चिश्ये प्रूडी, 2006।
डैंकोवा आई.एन., बोंडारेंको टी.ई., एमेलिना एल.एल., पलेटनेवा ओ.के. गणित में 9वीं कक्षा के छात्रों के लिए प्री-प्रोफाइल प्रशिक्षण - एम।: 5 ज्ञान के लिए, 2006।
रुरुकिन ए.एन. गणित में परीक्षा के लिए गहन तैयारी के लिए एक मैनुअल "स्नातक, प्रवेश, 5+ के लिए उपयोग करें" .- एम।: वाको, 2006।
स्माइकालोवा ई.वी. गणित (मॉड्यूल, पैरामीटर, बहुपद), प्री-प्रोफाइल प्रशिक्षण, ग्रेड 8-9 - सेंट पीटर्सबर्ग: एसएमआईओ-प्रेस, 2006।

छात्रों के लिए साहित्य की सूची

गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित। संदर्भ सामग्री। - एम।: शिक्षा, 1988।
डोरोफीव जी.वी., पोतापोव एम.के., रोज़ोव एन.के.एच. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित पर मैनुअल - एम।: नौका, 1973।
ज़ोरिन वी.वी. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित मैनुअल - एम।: हायर स्कूल, 1974।
इवलेव बी.एम., अब्रामोव एएम, डुडनित्सिन यू.पी., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. बीजगणित में बढ़ी हुई जटिलता और विश्लेषण की शुरुआत की समस्याएं। - एम।: शिक्षा, 1990।
कलनिन आर.ए. बीजगणित और प्राथमिक कार्य, नौका प्रकाशन गृह, भौतिक और गणितीय साहित्य का मुख्य संस्करण।- एम.: नौका, 1975।
क्रुलिकोवस्की एन.एन. आवेदकों के लिए गणितीय समस्याएं - टॉम्स्क: एड। टॉम्स्क विश्वविद्यालय, 1973।
नेस्टरेंको यू.वी., ओलेनिक एस.एन., पोतापोव एम.के. गणित में प्रवेश परीक्षाओं की समस्याएं - एम.: नौका, 1986।
शेरगिन आई.एफ. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित, मास्को, ड्रोफा, 1995।

विधिवत सामग्री

मॉड्यूल के मुख्य गुण:

उन उदाहरणों पर विचार करें जिनका समाधान मॉड्यूल की परिभाषा पर आधारित है।

क्रमांक 1. समीकरण =4 को हल करें।

मॉड्यूल परिभाषा द्वारा; एक्स=4 या एक्स=-4.

संख्या 2. समीकरण को हल करें: \u003d 3.

समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

कहाँ पे: एक्स 1=2 और एक्स 2=-1.

संख्या 3. समीकरण हल करें: \u003d -2।

संख्या 4. समीकरण को हल करें: = एक्स–5.

एक ही संपत्ति के लिए 1 : एक्स–50, एक्स 5.

संख्या 5. समीकरण हल करें: + एक्स=0.

=- x, एक्स 0.

संख्या 6. समीकरण को हल करें: = एक्स+2.

2x+1=x+2 या

2x + 1 \u003d - x - 2।

उस। पर एक्स -2,अपने पास:

समीकरण हल करें:

पाठ 2. मॉड्यूल के साथ रैखिक समीकरणों का समाधान।

a) हम किसी संख्या के मापांक के ज्यामितीय अर्थ का उपयोग करते हैं। आइए समीकरण को इस रूप में लिखें: +=7. फिर डी = х-5- बिंदु से दूरी एक्ससंख्या रेखा पर 5 को इंगित करने के लिए, च \u003d एक्स - (-2)- बिंदु से दूरी एक्सबिंदु तक (-2) समस्या की स्थिति के अनुसार, इन दूरियों का योग डी+एफ=7. आइए अंक 5 और -2 को संख्या रेखा पर आलेखित करें। यह जांचना आसान है कि खंड से किसी भी संख्या के लिए [-2;5] दूरियों का योग डी+एफखंड AB की लंबाई के बराबर, अर्थात्। 7. यह सेट करना उतना ही आसान है कि डॉट्स के लिए क्या है एक्स<2 या एक्स>5दूरियों का योग डी+एफ>7. अतः समीकरण का हल अंतराल है।

अंतराल 1 . में (एक्स<-2) हम पाते हैं: -(x–5)–(x+2)=7या -x+5–x–2=7या - 2x+3=7, जहां से हमें मिलता है: एक्स = -2. लेकिन इस बिंदु को माना अंतराल में शामिल नहीं किया गया है। इसीलिए एक्स = -2समाधान नहीं है।

तो इस समीकरण का हल है: -2x5।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

समीकरण हल करें:

पाठ संख्या 3. मापांक के साथ द्विघात समीकरणों का समाधान।

नंबर 1। प्रश्न हल करें

हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं =y, तो फिर 0 . परसमीकरण बन जाता है:

y 2 -6y+8=0, जहां से वाई 1 = 2 और वाई 2 = 4. ए एक्स = 2 या -2; 4 या -4।

नंबर 2. प्रश्न हल करें:

समीकरण प्रणाली के बराबर है: कहा पे एक्स=1.

संख्या 3। प्रश्न हल करें:

2एक्स – 1.

संख्या 4. समीकरण की जड़ें खोजें: .

हम इस समीकरण को इस रूप में निरूपित करते हैं: = एक्स 2 - 1, कहाँ से:

एक्स - 1 \u003d एक्स 2 - 1,

या x - 1 \u003d - (x 2 - 1)।

उत्तर: एक्स = 1; एक्स = -2।

पाँच नंबर। समीकरण के पूर्णांक मूल ज्ञात कीजिए: = ।

संख्या 6. प्रश्न हल करें: \u003d 2x 2 -3x + 1.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम।

प्रश्न हल करें:

नंबर 1. \u003d x 2 + x-20।

नंबर 2. + 3x -5 = 0,

संख्या 3। =(x-1)(x+1),

संख्या 4. एक्स 2 -6 + 5 \u003d 0,

पाँच नंबर। एक्स 2 +8=9,

नंबर 6. \u003d x 2 -6x + 6,

संख्या 7. एक्स = -8।

पाठ संख्या 4.मापदंडों के साथ निरपेक्ष मान वाले समीकरणों का समाधान।

एक उदाहरण पर विचार करें: एक पैरामीटर के साथ एक समीकरण हल करें

यह मामला, जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, एक<3 . इन फलनों के ग्राफ़ एक बिंदु B पर प्रतिच्छेद करते हैं। त्रिभुज ABC पर विचार करें, जिसमें कोण A कोण B के बराबर है और 45 0 के बराबर है, हम इस त्रिभुज में VD की ऊँचाई खींचते हैं। इसलिये त्रिभुज ABC समद्विबाहु है, तो BD भी इस त्रिभुज की माध्यिका है। इसलिए, बिंदु D . का भुज एक्स=(ए + 3)/2.

यह मामला तब होता है जब एक=3. तब फलनों के रेखांकन खंड AB के अनुदिश संपाती होते हैं और इस किरण के किसी भी बिंदु का भुज इस समीकरण का हल होता है, अर्थात्। एक्स<3.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

समीकरणों को हल करें:

संख्या 3। (ए-2)=ए-2,

संख्या 4. ए 2 एक्स 2 + ए \u003d 0।

पाठ संख्या 5.मॉड्यूल के साथ रैखिक असमानताओं का समाधान।

संख्या 1. असमानता को हल करें:

पहला तरीका: हमारे पास है: >4,

(2х–5) 2 >4 2 ,

(2х–5) 2–16>0,

(2х–5–4)(2х–5+4)>0,

2(x–4.5) 2(x–0.5)>0,

(x–4.5)(x–0.5)>0.

अंतराल विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: एक्स<0 ,5 और x>4.5.

कहाँ पे: एक्स<0,5 तथा x>4.5.

आइए कुछ और उदाहरण देखें।

उदाहरण संख्या 2. असमानता को हल करें:<3.

यह असमानता दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है:

पहली प्रणाली से हमें मिलता है 2x<5 , दूसरे से -1<х<2 . इन दो समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं: -1<х<5 .

उदाहरण #3। असमानता को हल करें: 3 एक्स+3.

यह असमानता दोहरी असमानता के बराबर है -х-33х–3х+3या प्रणाली

हमारे पास है : 0x3.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

असमानताओं को हल करें:

№1. <3х+1,

№3. ->-2.

पाठ संख्या 6.मॉड्यूल के साथ द्विघात असमानताओं को हल करना।

उदाहरण # 1 पर विचार करें। असमानता को हल करें: +x-2<0 .

आइए उत्तर लिखें: (1-;2-)।

हम पहली प्रणाली को हल करते हैं: पहली असमानता से हमारे पास है: x1; x2.

दूसरे से: 2x 2 -5x+20, या 0.5x2.

उस। 0.5x1तथा एक्स = 2. यह पहली प्रणाली का समाधान है।

हम दूसरी प्रणाली को हल करते हैं: पहली असमानता से हमारे पास है: 1<х<2 , दूसरे से: -(x 2 -3x + 2) 2x–x 2, या - 2 +3х–2–2х+ 2 0, या x2.

निर्देशांक रेखा पर दूसरी प्रणाली की पहली और दूसरी असमानताओं के पाए गए समाधानों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 1<х<2 . यह दूसरी प्रणाली का समाधान है।

असमानताओं की प्रणालियों के लिए मिले समाधानों को मिलाना 0.5x1; एक्स = 2; एक , हम पाते हैं: 0.5x2आदि। संपूर्ण समाधान होगा एक्स = 1तथा एक्स = 2.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

असमानताओं को हल करें:

№3. <3х–3,

संख्या 4. एक्स 2 -3+2>0,

पाँच नंबर। x 2's<3,

संख्या 6. एक्स 2 -6x+7-<0,

संख्या 7. 3+x 2 -7>0,

№8. >.

पाठ संख्या 7. मापदंडों के साथ निरपेक्ष मान वाली असमानताओं को हल करना।

उदाहरण। किन मूल्यों पर एकवास्तविक असमानता: कुल्हाड़ी 2 +4+ए+3<0 ?

पर X 0अपने पास कुल्हाड़ी 2 + 4x + ए + 3<0 . वरिष्ठ गुणांक एकनकारात्मक होना चाहिए, विवेचक शून्य से कम होना चाहिए।

एक<0, Д=16-4ए(ए+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; एक<-4 तथा ए> 1;

परवलय के शीर्ष का भुज x 0 \u003d -b / 2a \u003d - 4/2a \u003d -2 / a 0, कहाँ पे एक<-4 .

पर एक्स<0 अपने पास कुल्हाड़ी 2 -4x + ए + 3<0 . इसी तरह तर्क करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: एक<-4 .

उत्तर: कब एक<-4 यह असमानता x के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

मापदंडों के साथ असमानताओं को हल करें:

नंबर 2. (हा)<0,

संख्या 3। क्या ऐसे मूल्य हैं जिनके लिए असमानता कुल्हाड़ी 2 >2+5कोई समाधान नहीं है?

पाठ #8 - 9. मापांक वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल की विधि।

समीकरण को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके अंतराल की विधि पर विचार करें

-+3-2=x+2.

इस असमानता को दूर करने के लिए मॉड्यूल का विस्तार करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम अंतराल का चयन करते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर मॉड्यूल साइन के तहत अभिव्यक्ति केवल सकारात्मक या नकारात्मक मान लेती है। ऐसे अंतरालों का पता लगाना प्रमेय पर आधारित होता है: यदि अंतराल (a; c) पर फलन f निरंतर है और लुप्त नहीं होता है, तो यह इस अंतराल पर एक स्थिर चिह्न रखता है।

निरंतरता के अंतराल को उजागर करने के लिए, हम उन बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर मॉड्यूल के तहत लिखे गए भाव गायब हो जाते हैं:

एक्स+1=0, एक्स=-1; एक्स = 0; x–1=0, x=1; एक्स-2 = 0, एक्स = 2।

परिणामी बिंदु रेखा को वांछित अंतराल में तोड़ देंगे। आइए भावों के संकेतों को परिभाषित करें

+1, х, х–1, х–2 इन अंतरालों पर:

संकेतों को देखते हुए, हम मॉड्यूल खोलेंगे। नतीजतन, हम इस समीकरण के बराबर सिस्टम का एक सेट प्राप्त करते हैं:

अंतिम सेट को फॉर्म में घटा दिया गया है:

प्रणालियों की समग्रता का समाधान और यह समीकरण: -2; एक्स 2.

इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक को कहा जाता है अंतराल विधि. इसका उपयोग असमानताओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।

असमानता को हल करें: +x-2<0.

1) व्यंजक के शून्यक ज्ञात कीजिए: एक्स 2 -3x.

एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 3।

2) निर्देशांक रेखा को अंतरालों में विभाजित करें और व्यंजक का चिह्न सेट करें एक्स 2 -3xप्रत्येक अंतराल पर:

3) आइए मॉड्यूल का विस्तार करें:

पहली प्रणाली का समाधान: दूसरे का समाधान। इस असमानता का समाधान: .

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

№3

पाठ #10 - 11. फॉर्म की असमानताओं का समाधान , समकक्ष संक्रमणों के माध्यम से।

फॉर्म की असमानताओं पर विचार करें और . हम निम्नलिखित प्रमेय को बिना प्रमाण के स्वीकार करते हैं: असमानता के किसी भी मूल्य के लिएअसमानताओं और असमानताओं की एक प्रणाली के बराबर हैअसमानताओं के सेट के बराबर है

एक उदाहरण पर विचार करें: असमानता को हल करें: >एक्स+2.

सूत्रबद्ध प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम असमानताओं के समुच्चय को पास करते हैं:

व्यवस्था और असमानता 0x>2समाधान नहीं है। इसलिए, जनसंख्या का समाधान (और दी गई असमानता) है एक्स.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम:

पाठ संख्या 12।समीकरणों और असमानताओं को हल करने में निरपेक्ष मान के गुणों का अनुप्रयोग।

कुछ कार्यों को हल करते समय, मॉड्यूल के गुणों का उपयोग किया जाता है। (यदि आवश्यक हो, उन्हें दोहराएं, गतिविधि संख्या 1 देखें)।

आइए हम निम्नलिखित उदाहरणों को हल करने में मॉड्यूल गुणों के अनुप्रयोग का वर्णन करें।

पाठ मकसद:

शैक्षिक:
मापांक के चिह्न वाले समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों की पुनरावृत्ति;

विभिन्न तरीकों से समीकरणों को हल करना;

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में प्रवेश परीक्षा में पेश किए गए समीकरणों को हल करना;

मापांक और पैरामीटर के संकेत वाले समीकरणों का समाधान;

शैक्षिक:
ध्यान का विकास;

समाधान को सही ढंग से और स्पष्ट रूप से लिखने की क्षमता का विकास;

सहपाठियों के स्पष्टीकरण को सुनने की क्षमता का विकास;

अपने स्वयं के निर्णय की जांच करने की क्षमता का विकास;

विकसित होना:
हल करने का सबसे तर्कसंगत तरीका खोजने की क्षमता का विकास;

गणितीय सोच का विकास;

किसी के निर्णय को सही ठहराने की क्षमता का विकास;

अर्जित ज्ञान को सामान्य बनाने की क्षमता का विकास;

एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने की क्षमता का विकास;

उपकरण:
ब्लैकबोर्ड;

समूहों में काम के लिए कार्यों की शर्तों के साथ हैंडआउट;

एक कंप्यूटर;

प्रोजेक्टर;

स्क्रीन।

ज्ञान, कौशल, क्षमता।

पाठ के परिणामस्वरूप, छात्रों को मॉड्यूल चिह्न वाले समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तकनीकों को दोहराना चाहिए, स्कूल फाइनल और प्रतियोगी परीक्षाओं के स्तर पर समान समीकरणों को हल करना सीखें, समझना सीखें और समीकरणों का समाधान खोजने में सक्षम हों एक पैरामीटर।

कक्षाओं के दौरान

1) किसी संख्या के मापांक की परिभाषा और तर्क के चिन्ह के आधार पर इसे विस्तारित करने के तरीकों को दोहराएं।

2) अभिव्यक्ति के मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य विधियों को दोहराएं:

ए) मॉड्यूल को बाहरी तरीके से खोलकर समीकरणों को हल करना;

बी) मॉड्यूल को अंदर से खोलकर समीकरणों को हल करना;

ग) चर विधि के परिवर्तन द्वारा मॉड्यूल युक्त समीकरणों का समाधान;

डी) कई मॉड्यूल वाले समीकरणों का समाधान;

ई) एक साथ मॉड्यूल और पैरामीटर वाले समीकरणों का समाधान।

3) विभिन्न तरीकों से समीकरणों को हल करना (समूहों में काम करना)।

4) प्रतियोगी परीक्षाओं के समीकरणों को हल करना (कंप्यूटर का उपयोग करना)।

5) एक ही समय में मॉड्यूल और पैरामीटर वाले समीकरणों को हल करना (ब्लैकबोर्ड, कंप्यूटर और प्रोजेक्टर का उपयोग करना)।

6) पाठ का सारांश, ग्रेडिंग।

पाठ के लिए सामग्री:

1. प्रत्येक संकेतित समीकरण के लिए, एक समाधान विधि का चयन करें और इसे हल करें (बोर्ड पर और नोटबुक में समाधान)।

क) | 5 - 4x | = 1

बी) | 6x2 _ 5x + 1 | = 5x - 6x2 - 1

ग) x2 + 3|x+1| - 1 = 0

घ) | एक्स - 2| + |x + 4| = 8

ई) 2|x + 2| + 3 = (एक्स + 2)2

उत्तर: ए) 1; 1.5; बी) ; पहले में; घ) -5; 3; ई) -5; एक।

2. समूहों में कार्य करें (प्रत्येक समूह को कार्य के साथ एक लिफाफा और प्रदर्शन किए गए कार्य की ग्रेडिंग और स्व-मूल्यांकन के लिए एक कार्ड प्राप्त होता है)।

रेटिंग कार्ड का प्रकार। (अनुलग्नक 2)

मूल्यांकन पैमाना:

"5" - स्वतंत्र रूप से विभिन्न तरीकों से 5 समीकरणों को हल किया;

"4" - 5 समीकरणों को अलग-अलग तरीकों से हल किया और समूह के सदस्यों से एक परामर्श प्राप्त किया;

"3" - 5 समीकरणों को अलग-अलग तरीकों से हल किया और समूह के सदस्यों से दो या तीन परामर्श प्राप्त किए;

"2" - समीकरणों को हल करने में कठिनाइयों का अनुभव किया और समूह के सदस्यों के साथ लगातार परामर्श किया;

चर्चा के बाद समूह द्वारा ग्रेड निर्धारित किया जाता है और छात्र द्वारा स्वयं अंतिम ग्रेड शिक्षक द्वारा निर्धारित किया जाता है।

कार्ड #1

क) | 3x-3 | = 6;

बी) | एक्स 2 - 3x - 10 | \u003d 3x - x 2 + 10;

ग) 1/|x| + 1/(x + 1) = 2;

घ) | एक्स 2 - 9 | + | एक्स - 2| = 5;

ई) | एक्स - 1| + | एक्स - 2| + | एक्स - 3| = एक्स.

कार्ड #2

क) | 3-2x | = 4;

बी) | x 2 - 3x + 2 | \u003d 3x - x 2 - 2;

ग) 2/|x - 1| + 4/(x + 3) = 3;

घ) | एक्स 2 - 8x | - 9 = 0;

ई) | एक्स - 3 | + | एक्स + 2 | - | एक्स - 4 | = 3.

कार्ड #3

क) | 5x-4 | = 6;

बी) एक्स 2 + 2| एक्स - 1 | - 1 = 0;

ग) | एक्स 2 - 2x | - 3 = 0;

डी) (एक्स - 3.5) 2 + 2 | एक्स - 3.5 | = 1.25;

ई) | एक्स + 2 | - | एक्स - 3 | + | एक्स - 1 | = 1.

3. प्रतियोगी परीक्षाओं के समीकरणों को हल करना।

ए) समीकरण हल करें: |||| एक्स -3 | - 1 | + 2 | - 3| = 1

आइए मॉड्यूल को बाहरी तरीके से खोलें, हमें दो समीकरणों का एक सेट मिलता है:

||| एक्स - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = 1 और ||| एक्स - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = -1, जिसका रूपांतरण हमें मिलता है:

||| एक्स-3 | - 1 | + 2 | = 4 और ||| एक्स - 3 | - 1 | + 2 | = 2.

आइए मॉड्यूल को फिर से बाहरी रूप से खोलें, हमें चार समीकरणों का एक सेट मिलता है:

|| एक्स - 3 | - 1 | + 2 = 4; || एक्स - 3 | - 1 | + 2 = -4; || एक्स - 3 | - 1 | + 2 = 2 और

|| एक्स - 3 | - 1 | + 2 = -2।

हम फिर से प्राप्त समीकरणों को बदलते हैं:

|| एक्स - 3 | - 1 | = 2; || एक्स - 3 | - 1 | = -6; || एक्स-3 | - 1 | = 0 और || एक्स - 3 | - 1 | = -4।

यह देखना आसान है कि प्राप्त समीकरणों के दूसरे और चौथे का कोई हल नहीं है, क्योंकि मापांक ऋणात्मक मान नहीं ले सकता है।

मॉड्यूल के आगे विस्तार से उत्तर मिलता है: x = 0; 2; चार; 6.

बी) एक घरेलू कार्य के रूप में, निम्नलिखित समीकरणों को हल करने का प्रस्ताव है:

|| एक्स - 2 | - 4 | = 3;

|||| एक्स + 1| - 5 | + 1| - 2 | = 2;

|||| एक्स + 3| - 2 | + 1 | - 3| = 3;

|| 2x - 7 | - एक्स | = 7 - एक्स;

|| एक्स - 1 | - एक्स - 3 | + एक्स = 4;

|| 2x - 1 | - एक्स - 3 | = 4 - एक्स।

4. एक पैरामीटर के साथ समीकरणों का समाधान।

पैरामीटर के मूल्य के आधार पर समीकरण की जड़ों की संख्या निर्धारित करने का प्रस्ताव है एकऔर इस समीकरण को दो तरीकों से हल करें: विश्लेषणात्मक और ग्राफिकल:

| एक्स 2 - 2x - 3 | = एक।

ए) समीकरण को हल करने का ग्राफिकल तरीका:

इस समीकरण को हल करने के लिए, निम्नलिखित फलनों के आलेखों को आलेखित करना आवश्यक है: y 1 = |x 2 - 2x - 3| और वाई 2 = एक. पहले फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है, जिसमें फ़ंक्शन के नकारात्मक मूल्यों के क्षेत्र को चर के सकारात्मक मूल्यों के क्षेत्र में मैप किया जाता है परअक्ष के बारे में एक्स. दूसरे फ़ंक्शन का आलेख अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है एक्स.

यह देखना आसान है कि कब एक‹0 परिणामी रेखांकन प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, जो इस समीकरण के समाधान की अनुपस्थिति को इंगित करता है। पर ए = 0 हमारे पास ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं, और, परिणामस्वरूप, दो समाधान: x = -1 और x = 3. 0 पर <ए<ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के चार बिंदु हैं, और समाधान इस तरह दिखते हैं:

पर ए =तीन समाधान हैं: x 1 \u003d 1 - 22 और x 2 \u003d 1 + 22, और x 3 \u003d x 4 \u003d 1.

पर एक›4 समाधान, साथ ही रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु, केवल दो हैं:

बी) समीकरण को हल करने का विश्लेषणात्मक तरीका:

पहला निष्कर्ष तुरंत निकाला जा सकता है: एक> 0, क्योंकि मापांक ऋणात्मक मान नहीं ले सकता। इस प्रकार, अत ए‹0कोई समाधान नहीं हैं। पर एक\u003d 0 हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं: x 2 - 2x - 3 \u003d 0, जिसका समाधान x 1 \u003d -1 और x 2 \u003d 3 है। एक›0 हम दो समीकरणों को अलग-अलग हल करते हैं:

x 2 - 2x - 3 = एक(1) और x 2 - 2x - 3 = - एक (2).

समीकरण (1) के पैरामीटर के किसी भी मान के लिए दो समाधान हैं ए> 0. समीकरण (2) के केवल 0‹ के दो हल हैं एक‹4, पैरामीटर के इन मानों के लिए, द्विघात समीकरण (2) का विवेचक धनात्मक है, और समीकरण की जड़ें ग्राफ़िकल समाधान में पाए गए x 3 और x 4 के समान हैं। पर एक= 4 समीकरण (2) का विवेचक 0 के बराबर है, समीकरण (2) का हल समान है और 1 के बराबर है।

किसी भी प्रकार से हल करने पर निम्न उत्तर प्राप्त होता है:

पर एक‹0 कोई समाधान नहीं;

पर एक= 0x = -1; 3.

0 . पर <ए< 4:

पर ए = 4: x 1 \u003d 1 - 22 और x 2 \u003d 1 + 22, और x 3 \u003d x 4 \u003d 1.

पर एक>चार:

ग) एक घरेलू कार्य के रूप में, पैरामीटर के मूल्यों के आधार पर समीकरण की जड़ों की संख्या निर्धारित करना प्रस्तावित है:

1) | 5 + 2x - x 2 | = एक; 2) एक्स 2 - 6|एक्स| +5= एक; 3) एक्स 2 - 3|एक्स| = एक.

5. पाठ का सारांश, ग्रेडिंग।

निरपेक्ष मान के चिह्न वाले समीकरण और उनके सिस्टम
(पद्धतिगत विकास)
पैराग्राफ 1. बुनियादी जानकारी।
बिंदु 1. संख्या के निरपेक्ष मान का निर्धारण। सरलतम समीकरणों का हल।
किसी संख्या के निरपेक्ष मान (किसी संख्या का मापांक) की अवधारणा से परिचित होना इसकी ज्यामितीय व्याख्या के साथ शुरू करना बेहतर है: ज्यामिति में, मापांक संख्या अक्ष पर किसी दिए गए नंबर को दर्शाने वाले बिंदु से दूरी है या विमान को समन्वयित करता है। मूल। तो, संख्या 5 संख्यात्मक अक्ष पर शून्य के दाईं ओर स्थित है, और संख्या -5 शून्य के बाईं ओर है, लेकिन इन संख्याओं को मूल बिंदु से दर्शाने वाले बिंदुओं से दूरी समान और 5 के बराबर है। संख्या a के निरपेक्ष मान का मान कोष्ठक द्वारा निरूपित किया जाता है: .
आइए हम मॉड्यूल की ज्यामितीय परिभाषा को ग्राफिक रूप से समझाएं:
तदनुसार, एक निश्चित मात्रा के मापांक की बीजगणितीय परिभाषा स्थापित की जाती है:
.
आइए अब हम सबसे सरल (लेकिन सामग्री को समझने के लिए महत्वपूर्ण) समीकरणों पर विचार करें जिनमें निरपेक्ष मान का चिह्न शामिल है। से हमारा तात्पर्य अज्ञात चर वाले कुछ बीजीय व्यंजकों से है।
ए। फॉर्म के समीकरण, जहां एक दी गई संख्या है। (एक)
आइए हम अपने सामने कार्य निर्दिष्ट करें: यदि x समीकरण (1) का कोई हल है, तो, मापांक की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, वास्तविक रेखा पर बिंदु f मूल बिंदु से a की दूरी पर स्थित है। इसलिए, यदि a0, तो हमारे पास दो आवश्यक बिंदु हैं: f1=-a, f2=a.
इस प्रकार, समीकरण (1): a0 के लिए समीकरण u के हल हैं।
संक्षेप में, अंतिम कथन इस प्रकार लिखा गया है:
यह पढ़ता है: a>0 के लिए समीकरण के समाधान का सेट समीकरणों के समाधान के सेट का संघ है और।
उदाहरण 1. समीकरणों को हल करें: ए); बी) ; में) ; जी) ।
समाधान:
ए)
उत्तर: x1=1 ; x2=6.
B) => कोई समाधान नहीं है, क्योंकि किसी भी मान का मापांक (निरपेक्ष मान) ऋणात्मक नहीं हो सकता।
उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।
बी)
उत्तर: x1=-3; x2=0.
डी)
उत्तर: x1=-3; x2=3.
उदाहरण 2. समीकरणों को हल करें: a) ; बी) ।
समाधान:
ए) के अनुसार (1) इस मामले में =, यानी। एफ (एक्स) ≥2। इसलिए, समीकरण का कोई हल नहीं है।
उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।
उत्तर: x1=-5; x2=0; x3=2; x4=7.
बी फार्म के समीकरण (2) और (3)।
चूँकि किसी व्यंजक का मापांक एक ऋणेतर मान होता है, इसलिए यदि x समीकरण (2) का एक हल है, तो इस समीकरण का दायाँ पक्ष भी ऋणात्मक नहीं है, अर्थात्। . लेकिन फिर उसी समीकरण के बाईं ओर, परिभाषा के अनुसार, बस है। निष्कर्ष: एक अनिवार्य शर्त के तहत, हम एक पहचान पर आ गए हैं, इसलिए असमानता के समाधान एक साथ समीकरण (2) के समाधान होंगे।
इसी तरह तर्क करने पर, हम पाते हैं कि असमानता के सभी समाधान समीकरण (3) के समाधान हैं।
उदाहरण 3. समीकरणों को हल करें: ए); बी) ; में) ।
समाधान:
ए)
उत्तर: ।
बी)
उत्तर: ।
सी. फार्म के समीकरण (4)।
यदि x समीकरण (4) का एक हल है, तो, मापांक की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, वास्तविक रेखा पर बिंदु f और g से मूल बिंदु तक की दूरी बराबर होती है, अर्थात। या तो बिंदु f और g संपाती होते हैं (हमारे पास :) या निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में एक दूसरे के सममित होते हैं (हमारे पास :)। इसीलिए
एक विशेष के रूप में, समीकरण का उल्लेख किया जाना चाहिए।
इस समीकरण के सभी हल x हैं जिनके लिए व्यंजक परिभाषित किया गया है।
उदाहरण 4. समीकरणों को हल करें: a) ; बी) ; में) ; जी) ।
समाधान:
ए) यह समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है, जहां। यह फ़ंक्शन किसी भी वास्तविक x के लिए परिभाषित है, इसलिए x कोई भी है।
उत्तर: एक्स - कोई भी।
बी)
उत्तर: ।
बी)
.
उत्तर: ।
नोट: क्योंकि , तो समीकरण (4) के दोनों हिस्सों को मॉड्यूल से छुटकारा पाने के लिए चुकता किया जा सकता है, और परिणामी समीकरण की जड़ों के बीच हमारे लिए कोई "अनावश्यक" नहीं होगा।
उदाहरण के लिए: , हम कहाँ से प्राप्त करते हैं ।
D. फॉर्म के समीकरण। (5)
हमारे पास है: परिभाषा के अनुसार गैर-ऋणात्मक अभिव्यक्तियों का योग शून्य के बराबर है। इसलिए, प्रत्येक पद शून्य के बराबर होना चाहिए। इसलिये अगर और केवल अगर, और अगर और केवल अगर, इसलिए, समीकरण (5) सिस्टम के बराबर है:।
इस प्रणाली को निम्नानुसार हल करना अधिक तर्कसंगत है: समीकरणों में से एक सरल को चुनना, इसके समाधान खोजें और शेष समीकरण में प्रतिस्थापित करके पूरे सिस्टम के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें।
उदाहरण 5. समीकरणों को हल करें: a) ;
बी) ।
समाधान:
लेकिन)
हम पहले समीकरण में बारी-बारी से x=-1 और x=1 को प्रतिस्थापित करते हैं, हम पाते हैं कि निकाय के दोनों समीकरण केवल x=-1 पर संतुष्ट होते हैं।
उत्तर: एक्स = -1।
बी) यह समीकरण सिस्टम के बराबर (समकक्ष) है:
उत्तर: एक्स = -2।
बिंदु 2. अंतराल की विधि। सरलतम प्रणालियों का समाधान।
मान लीजिए कि हमें एक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। एक मॉड्यूल की बीजगणितीय परिभाषा के अनुसार:
इस प्रकार, बिंदु x=2 संख्यात्मक अक्ष को दो अंतरालों में विभाजित करता है, जिनमें से प्रत्येक पर अभिव्यक्ति x-2 पर मॉड्यूलर ब्रैकेट अलग-अलग विस्तारित होते हैं:
इसलिए, मूल समीकरण का समाधान दो संभावित स्थितियों के क्रमिक विचार के लिए कम हो गया है:
a) मान लीजिए कि x मूल समीकरण का हल है, इसके अलावा।
तब हमारे पास: , जो शर्त a से मेल खाती है)। अतः यह मूल समीकरण का हल है।
बी) मान लीजिए कि एक्स मूल समीकरण का समाधान है, और
तब हमारे पास: , जो शर्त b के अनुरूप नहीं है)। इसलिए, यह मूल समीकरण का हल नहीं है।
माना समीकरण का एक ही मूल है: .
समीकरण में कई मॉड्यूलर ब्रैकेट होने पर अंतराल विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है। कार्यों का एक स्पष्ट क्रम निर्धारित करने में एकमात्र कठिनाई है, इसलिए निम्नलिखित योजना का पालन करने की दृढ़ता से अनुशंसा की जाती है:
1) अज्ञात के सभी मूल्यों को निर्धारित करें, जिस पर मापांक के संकेतों के तहत भाव गायब हो जाते हैं या अनिश्चित हो जाते हैं, और प्राप्त बिंदुओं को वास्तविक अक्ष पर चिह्नित करते हैं।
2) प्रत्येक पहचाने गए संख्यात्मक अंतराल पर मूल समीकरण को हल करें।
3) पाए गए समाधानों को एक सामान्य उत्तर में मिलाएं।
पहले चरण के अंत में, यह लिखना उपयोगी है कि संख्यात्मक अक्ष पर अज्ञात की स्थिति के आधार पर, प्रत्येक मॉड्यूल ब्रैकेट का विस्तार कैसे किया जाता है।
व्यायाम: एक व्यंजक में मॉड्यूलर कोष्ठक का विस्तार करें।
सबसे पहले, हम आंतरिक कोष्ठक पर विचार करते हैं: इसलिए, हम संख्यात्मक अक्ष पर एक बिंदु को चिह्नित करते हैं।
फिर हम बाहरी कोष्ठक पर विचार करते हैं: हम समीकरण को हल करते हैं (उपरोक्त अंतराल की विधि द्वारा समाधान किया जाता है:
पहले समीकरण का कोई मूल नहीं है, और दूसरे के मूल संख्या 1 और -1 हैं, लेकिन x=1 शर्त को पूरा नहीं करता है)।
इसके अलावा, -1 से बड़ा एक मनमाना x चुनकर, उदाहरण के लिए x=0, हम सुनिश्चित करते हैं कि x>-1 के लिए; एक मनमाना x को -1 से कम चुनना, उदाहरण के लिए x=-2, हम सुनिश्चित करते हैं कि x . के लिए
परिणामस्वरूप, अंक x=-1 और x=0 अंकीय अक्ष पर अंकित हैं। प्रत्येक परिणामी अंतराल पर, मूल अभिव्यक्ति में मॉड्यूल एक "श्रृंखला" (*) में विस्तारित होते हैं:
पर;
पर;
पर।
उदाहरण 6. समीकरणों को हल करें: a) ; बी) ; में) ; जी) ।
समाधान:
ए) चरण I।
. इसीलिए:
.
द्वितीय चरण।
1) फिर, इसलिए, मूल समीकरण का रूप लेगा: .

2))। फिर, इसलिए, मूल समीकरण रूप लेगा: जो विचाराधीन खंड के अनुरूप नहीं है, इसलिए, इस अंतराल पर, मूल समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।
3) फिर, इसलिए, मूल समीकरण रूप लेगा: जो माना गया आधा-अंतराल से मेल खाता है, इसलिए, मूल समीकरण।
तृतीय चरण।
पहले और दूसरे संख्यात्मक अंतराल पर समीकरण का कोई हल नहीं है। तीसरे पर हमें निर्णय मिला।
उत्तर: ।
बी) स्टेज I।
इसीलिए:
हमारे पास निम्नलिखित संख्यात्मक अंतराल हैं:
द्वितीय चरण।
1) फिर, इसलिए, मूल समीकरण रूप लेगा:
हमें सही संख्यात्मक समानता मिली है, इसलिए इस आधे अंतराल में से कोई भी मूल समीकरण का हल है!
2))। हमारे पास पहले चरण के परिणामों के अनुसार मॉड्यूल का विस्तार है: जो विचाराधीन खंड से मेल खाता है, इसलिए मूल समीकरण का समाधान है।
3) मॉड्यूल का विस्तार करें:
हमें गलत संख्यात्मक समानता मिली है, इसलिए इस आधे अंतराल पर मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है।
तृतीय चरण।
पहले अंतराल पर:
दूसरे अंतराल पर:
तीसरे अंतराल पर: कोई समाधान नहीं।
नतीजा:
उत्तर:
सी) स्टेज I।
पहले हम "आंतरिक" मॉड्यूल पर विचार करते हैं, फिर "बाहरी" पर:
1) x=0 पर x=0 =>
2)
इस समीकरण को अलग से हल किया जाना चाहिए। ध्यान दें कि जिन संख्यात्मक अंतरालों पर विचार किया जाना है, वे पहले से ही ज्ञात हैं (देखें (*)):
जब हमारे पास कोई उपाय नहीं है
जब हम रखते है
लेकिन X1 शर्त से मेल नहीं खाता।
इसलिए, ।
व्यंजक स्वयं के लिए धनात्मक है (उदाहरण के लिए, x=10:) और ऋणात्मक (उदाहरण के लिए, x=1:)। इसीलिए:
हमारे पास निम्नलिखित संख्यात्मक अंतराल हैं:
द्वितीय चरण।
प्रत्येक अंतराल पर, पहले बाहरी मॉड्यूलर ब्रैकेट खोलें, फिर आंतरिक।
1) .
: , जो माना अंतराल से मेल खाती है, इसलिए मूल समीकरण का एक हल है।
2) .
: .
आइए दिए गए खंड में पाए गए जड़ों के पत्राचार की जांच करें: - जाहिर है, अब जांचते हैं कि संबंध संतुष्ट है या नहीं
जाहिर है, यानी। एक विदेशी जड़ है।
3) .
: . आइए दिए गए आधे अंतराल के अनुपालन के लिए प्राप्त की जांच करें: मूल समीकरण की जड़ है।
तृतीय चरण।
;
;
.
उत्तर: ।
डी) इस समीकरण की एक विशेषता एक अंश के हर में एक अज्ञात मात्रा की उपस्थिति है, इसलिए प्रत्येक संख्यात्मक अंतराल पर समीकरण (ओओयू) की परिभाषा का क्षेत्र खोजना आवश्यक है।
हमारे पास दो अर्ध-अंतराल हैं:
द्वितीय चरण।
1) मॉड्यूल का विस्तार और सरलीकरण, हम समीकरण प्राप्त करते हैं।
ओओयू:। के लिए, हम स्पष्ट रूप से GOC से सही समानता प्राप्त करते हैं, अर्थात। मूल समीकरण के सभी समाधान।
2) मापांक का विस्तार और सरलीकरण, हम ओओसी समीकरण प्राप्त करते हैं:। फिर, जो माना गया अर्ध-अंतराल से मेल खाता है, इसलिए, मूल समीकरण का एक हल है।
उत्तर: ।
बी। निरपेक्ष मूल्य के संकेत वाले समीकरणों की सरल प्रणालियों के समाधान में कठिनाइयों का कारण नहीं होना चाहिए: एक नियम के रूप में, यह छात्रों को ज्ञात प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है।
उदाहरण 7. समीकरणों के निकाय को हल करें:
ए बी सी डी)
समाधान:
ए) सिस्टम के पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं:
फिर, प्रतिस्थापन (*) के बाद, दूसरा समीकरण रूप लेगा:
.
(*) के अनुसार: पर।
उत्तर:
बी) प्रणाली के पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं:
.
प्रणाली के दूसरे समीकरण से, हम प्राप्त करते हैं
क्रमशः, एक्स = 2।
जब निकाय के दूसरे समीकरण से हम y=-5 प्राप्त करते हैं।
उत्तर: ।
सी) सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं:
.
पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।
पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं; क्रमश, ।
उत्तर: ।
डी) इस मामले में, अतिरिक्त विधि का उपयोग करना आसान है, और परिणामी समीकरण को हल करना - अंतराल विधि।
.
1) हमें कोई समाधान नहीं मिलता है;
2) हमें मिलता है।
निष्कर्ष: और अब हम पहले समीकरण से प्राप्त करते हैं।
उत्तर: ।
आइटम 3. समाधान के तर्कसंगत तरीके: सरल ज्यामितीय और बीजगणितीय विचार, अंतराल की विधि का सामान्यीकरण, चर का परिवर्तन।
ए। कुछ सरल समीकरण स्पष्ट ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देते हैं, उनका समाधान बहुत सरल है - "अनुचित" संख्यात्मक अंतराल को तुरंत विचार से बाहर रखा गया है।
आइए पहले हम यह दिखाएं कि ज्यामितीय रूप से संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले संख्यात्मक अक्ष के बिंदुओं के बीच की दूरी है और। ऐसा करने के लिए, संख्यात्मक अक्ष पर, जहां हम पहले ही चिह्नित कर चुके हैं और मूल बिंदु को एक बिंदु पर ले जाते हैं। बिंदुओं के निर्देशांक बदल जाएंगे:
नई संदर्भ प्रणाली के अनुसार, बिंदुओं और इसके बीच की दूरी, बिंदुओं के बीच की दूरी है और, यानी।
उदाहरण 8. समीकरणों को हल करें: a) b) c) d) e) ।
समाधान:
a) संख्यात्मक अक्ष पर ऐसे x को इंगित करना आवश्यक है कि x से 1 और x से 3 की दूरी का योग 3 इकाइयों के बराबर है। 1 और 3 के बीच की दूरी 2 इकाई है, इसलिए (अन्यथा)। यह पता चला है कि x या तो 1 के बाईं ओर स्थित है, या 3 के दाईं ओर - उनसे कुछ दूरी पर, और किसी भी स्थिति में। इसलिए, जहां।
अब x के दो मान आसानी से मिल जाते हैं।
उत्तर: ।
b) वास्तविक अक्ष पर ऐसे बिंदु 2x को इंगित करना आवश्यक है कि 2x से -2 की दूरी 2x से 7 की दूरी से 9.12 इकाई अधिक है।
यदि, माना गया अंतर हमेशा -9 है;
यदि, माना गया अंतर हमेशा 9 के बराबर होता है;
यदि माना गया अंतर 9 से कम या उसके बराबर है।
चलो, उदाहरण के लिए:
फिर।
उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।
सी) आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें। इसलिए, वांछित x 2 की तुलना में 3 के करीब तीन गुना है:
=> कोई समाधान नहीं है क्योंकि x हमेशा 3 से 2 के करीब होता है;
"आंख से";
=> "आंख से",।
उत्तर: ।
डी) यह उदाहरण दिखाता है कि अंतराल में संख्यात्मक अक्ष का "सख्त" विभाजन बहुत उपयोगी हो सकता है ("ओवरलैपिंग" दृश्य के बिना):
कोई उपाय नहीं हैं;
(माना गया आधा अंतराल के अनुरूप);
कोई समाधान नहीं हैं।
उत्तर: ।
ई) आइए अंतराल विधि को लागू करके शुरू करें:
अब हम ध्यान दें कि दिए गए खंड के अंदर और बाहर। इसलिए, केवल इस खंड पर समीकरण पर विचार करना समझ में आता है, और हम प्राप्त करते हैं: . जाहिर है एक्स = 2।
उत्तर: ।
बी। समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों की श्रेणियों का अध्ययन करके, अज्ञात के स्पष्ट रूप से अनुचित मूल्यों को छोड़कर, समाधान के पाठ्यक्रम को सरल बनाना अक्सर संभव होता है।
उदाहरण 9. समीकरणों को हल करें: a) b) c) d) ।
समाधान:
ए) समीकरण का बायां पक्ष किसी भी एक्स के लिए गैर-ऋणात्मक है, और दायां पक्ष एक ऋणात्मक संख्या है।
उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।
बी) समीकरण का बायां पक्ष किसी भी एक्स के लिए गैर-ऋणात्मक है, इसलिए, यदि एक्स एक समाधान है, तो दायां पक्ष भी गैर-ऋणात्मक है। इसलिए, यह क्षेत्र से केवल x मानों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है अर्थात। लेकिन तब हमें गलत समानता मिली।
उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।
ग) व्यंजक किसी भी x के लिए धनात्मक है, इसलिए बाहरी मॉड्यूलर कोष्ठकों को हटाया जा सकता है। साथ ही, यदि x एक हल है, तो दायां पक्ष भी धनात्मक है, इसलिए क्षेत्र से x पर विचार करना पर्याप्त है। तब हम प्राप्त करते हैं (क्षेत्र के अनुरूप)।
उत्तर: ।
डी) दो गैर-ऋणात्मक शब्दों का योग 1 के बराबर है यदि प्रत्येक शब्द एक से अधिक नहीं है: चूंकि, तब संकेतित खंड पर हमें मिलता है, तो, जाहिर है, हम संतुष्ट नहीं हैं। तो यदि x एक हल है, तो। और इस अर्ध-अंतराल पर हमें प्राप्त होता है
यह स्पष्ट है कि यह एक बाहरी जड़ है।
उत्तर: ।
सी। फॉर्म के समीकरणों पर विचार करें (1)
अंतराल विधि द्वारा इस समीकरण को हल करने पर, हम उन अंतरालों के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं, जहां और अंतराल के लिए एक समीकरण, जहां। यह स्पष्ट है कि प्रत्येक अंतराल पर अलग से विचार करने का कोई मतलब नहीं है - यह उन्हें दो संकेतित समूहों में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है: प्रत्येक के लिए संबंधित समीकरण को हल करना और स्थिति सेट के अनुपालन के लिए प्राप्त जड़ों की जांच करना आवश्यक है। इस तरह
एक अन्य प्रकार भी संभव है: यह स्पष्ट है कि समीकरण के हलों में, समीकरण (1) के वास्तविक मूल वे होंगे जिनके लिए मामले के लिए समान तर्क करने से, हम प्राप्त करते हैं
कौन सा विकल्प चुनना है यह फ़ंक्शन के प्रकार पर निर्भर करता है, उदाहरण के लिए, यदि सत्यापन के लिए समीकरणों के समाधान को प्रतिस्थापित करना आसान है, तो पहली विधि का उपयोग करना अधिक उचित है।
उदाहरण 10. समीकरणों को हल करें: a)
बी) सी)।
समाधान:
ए) मान लीजिए
तो हमारे पास हैं
मान लीजिए
फिर हमारे पास कोई उपाय नहीं है।
आइए अब प्राप्त जड़ों की जाँच करें। आइए मूल समीकरण को फिर से लिखें:
. क्योंकि दोनों जड़ें सच हैं।
उत्तर:
बी) मान लीजिए
फिर हमारे पास कोई उपाय नहीं है।
मान लीजिए
तो हमारे पास हैं
इन जड़ों की सच्चाई का निर्धारण करने के लिए, हम शर्त की पूर्ति की जांच करते हैं हमें मिलता है: जाहिर है, जड़ विदेशी है। आइए देखें कि क्या यह सच है। चूंकि, अर्थात्, माना गया असमानता संतुष्ट नहीं है।
उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।
सी) आइए समीकरण को फिर से लिखें: हम निम्नलिखित ग्राफिक चित्रण का उपयोग करते हैं: (यहां कार्यों के ग्राफ हैं और)।
अब यह स्पष्ट है कि परिणामी संख्यात्मक अंतरालों को निम्नलिखित तीन समूहों में जोड़ा जाना चाहिए:
एक) । हमें मिलता है (हालत के अनुरूप)।
2) हमें मिलता है
कोई समाधान नहीं हैं।
3) हमें मिलता है
कोई समाधान नहीं हैं।
उत्तर: ।
D. कुछ व्यंजकों को एक नए शाब्दिक चर से बदलने की विधि सर्वविदित है। यह केवल ध्यान दिया जा सकता है कि एक मापांक वाले समीकरणों को हल करते समय, एक नए चर के परिवर्तन की सीमा को तुरंत सीमित करना अक्सर संभव होता है।
उदाहरण 11. समीकरणों या समीकरणों के निकाय को हल करें: a) ;
बी) ;
में)
समाधान:
क) नए चर के स्थान पर हमें एक निकाय प्राप्त होता है जिसका अर्थ है कि और हमें प्राप्त होने वाले समीकरण के मूल हैं।
उत्तर: ।
बी) व्यंजक को एक नए चर के साथ बदलने पर, हमें समीकरण मिलता है। हम पाते हैं:
. इन समीकरणों को हल करना बाकी है।
उत्तर: ।
सी) आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें:
जाहिर है दो विकल्प हैं:
1)
2) आइए एक नए वेरिएबल से बदलें। ध्यान दें कि, प्रतिस्थापन के अर्थ के अनुसार और इस समीकरण के ODZ के अनुसार, अर्थात। (*) और समीकरण का रूप लेगा। चूंकि हमें मिलता है
(*) को ध्यान में रखते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं
तो, द्वारा प्रतिस्थापित, हम प्राप्त करते हैं
चूंकि, प्रतिस्थापन के अर्थ से, हम प्राप्त करते हैं
कार्यों को 1 पर नियंत्रित करें।
1) किसी संख्या के मापांक की परिभाषा का उपयोग करके हल करें:
ए) बी) सी) डी) ई) एफ) जी) एच) मैं) जे)।
2) "मानक" समीकरणों को हल करें:
ए) बी) सी) डी) ई) एफ) जी) एच) मैं) .
3) अंतराल विधि द्वारा हल करें:
ए) बी); सी) डी) ई) एफ) जी) एच) i) जे) के) एम) एन) ओ) पी) पी) सी) टी) वाई) एफ) एक्स) एच)
4) तर्कसंगत तरीके से हल करें:
ए) बी) सी) डी) ई) एफ) जी) एच) i) जे) के) एम) एन)
5) समीकरणों के सिस्टम को हल करें:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) m) n) o) p) p)

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