इस लेख में हम दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की अवधारणा पर करीब से नज़र डालेंगे। हम आवश्यक परिभाषाएँ देंगे, एक वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र लिखेंगे, उसके गुणों की सूची बनाएंगे और उनका औचित्य सिद्ध करेंगे। इसके बाद, हम दो वैक्टरों के वेक्टर उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ पर ध्यान देंगे और विभिन्न विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे।
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क्रॉस उत्पाद की परिभाषा.
एक सदिश उत्पाद को परिभाषित करने से पहले, आइए त्रि-आयामी अंतरिक्ष में क्रमबद्ध त्रिगुण सदिशों के अभिविन्यास को समझें।
आइए सदिशों को एक बिंदु से आलेखित करें। वेक्टर की दिशा के आधार पर, तीन दाएं या बाएं हो सकते हैं। आइए वेक्टर के अंत से देखें कि वेक्टर से सबसे छोटा मोड़ कैसे होता है। यदि सबसे छोटा घूर्णन वामावर्त होता है, तो सदिशों का त्रिगुण कहलाता है सही, अन्यथा - बाएं.
अब आइए दो असंरेख सदिश लें और। आइए हम सदिशों को बिंदु A से आलेखित करें। आइए और और दोनों पर लंबवत कुछ वेक्टर बनाएं। जाहिर है, एक वेक्टर का निर्माण करते समय, हम दो चीजें कर सकते हैं, इसे या तो एक दिशा दे सकते हैं या विपरीत (चित्रण देखें)।
सदिश की दिशा के आधार पर, सदिशों का क्रमित त्रिक दाएं हाथ या बाएं हाथ का हो सकता है।
यह हमें वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के करीब लाता है। यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो वैक्टरों के लिए दिया गया है।
परिभाषा।
दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पादऔर, त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट, को एक वेक्टर कहा जाता है
सदिशों के क्रॉस उत्पाद को इस रूप में दर्शाया जाता है।
वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक.
अब हम एक वेक्टर उत्पाद की दूसरी परिभाषा देंगे, जो आपको दिए गए वैक्टर के निर्देशांक से इसके निर्देशांक खोजने की अनुमति देता है।
परिभाषा।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो सदिशों का सदिश गुणनफल 
और 
एक सदिश है, निर्देशांक सदिश कहां हैं।
यह परिभाषा हमें समन्वित रूप में क्रॉस उत्पाद प्रदान करती है।
वेक्टर उत्पाद को तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है, जिसकी पहली पंक्ति वेक्टर है, दूसरी पंक्ति में वेक्टर के निर्देशांक होते हैं, और तीसरी में दिए गए वेक्टर के निर्देशांक होते हैं आयताकार समन्वय प्रणाली: 
यदि हम इस निर्धारक को पहली पंक्ति के तत्वों में विस्तारित करते हैं, तो हम निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद की परिभाषा से समानता प्राप्त करते हैं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें): 
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वेक्टर उत्पाद का समन्वय रूप इस आलेख के पहले पैराग्राफ में दी गई परिभाषा के साथ पूरी तरह से सुसंगत है। इसके अलावा, एक क्रॉस उत्पाद की ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। इस तथ्य का प्रमाण आप लेख के अंत में दी गई पुस्तक में देख सकते हैं।
एक वेक्टर उत्पाद के गुण.
चूँकि निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद को मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, निम्नलिखित को आसानी से आधार पर उचित ठहराया जा सकता है क्रॉस उत्पाद के गुण:
उदाहरण के तौर पर, आइए हम एक वेक्टर उत्पाद के एंटीकम्यूटेटिव गुण को साबित करें।
ए-प्राथमिकता 
और 
. हम जानते हैं कि यदि दो पंक्तियों की अदला-बदली की जाती है तो मैट्रिक्स के निर्धारक का मान उलट जाता है, इसलिए, 
, जो एक वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिव संपत्ति को साबित करता है।
वेक्टर उत्पाद - उदाहरण और समाधान।
समस्याएँ मुख्यतः तीन प्रकार की होती हैं।
पहले प्रकार की समस्याओं में, दो सदिशों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है, और आपको सदिश उत्पाद की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। इस मामले में, सूत्र का उपयोग किया जाता है 
.
उदाहरण।
यदि ज्ञात हो तो सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए 
.
समाधान।
परिभाषा से हम जानते हैं कि सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होती है, इसलिए, 
.
उत्तर:
.
दूसरे प्रकार की समस्याएँ सदिशों के निर्देशांकों से संबंधित होती हैं, जिसमें दिए गए सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से सदिश उत्पाद, उसकी लंबाई या कुछ और खोजा जाता है। और .
यहां बहुत सारे अलग-अलग विकल्प संभव हैं। उदाहरण के लिए, सदिशों के निर्देशांक निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते, बल्कि प्रपत्र के निर्देशांक सदिशों में उनका विस्तार निर्दिष्ट किया जा सकता है 
और, या वैक्टर और उनके प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।
आइए विशिष्ट उदाहरण देखें.
उदाहरण।
एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो वेक्टर दिए गए हैं 
. उनका क्रॉस उत्पाद ढूंढें.
समाधान।
दूसरी परिभाषा के अनुसार, निर्देशांक में दो सदिशों का सदिश गुणनफल इस प्रकार लिखा जाता है: 
यदि वेक्टर उत्पाद को निर्धारक के रूप में लिखा गया होता तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते 
उत्तर:
.
उदाहरण।
सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए और आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के इकाई सदिश कहां हैं।
समाधान।
सबसे पहले हम वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक ज्ञात करते हैं 
किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में।
चूँकि सदिशों के क्रमशः निर्देशांक होते हैं (यदि आवश्यक हो, तो एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सदिश के निर्देशांक लेख देखें), तो एक सदिश उत्पाद की दूसरी परिभाषा के अनुसार हमारे पास है 
यानी वेक्टर उत्पाद किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में निर्देशांक होते हैं।
हम एक वेक्टर उत्पाद की लंबाई को उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में पाते हैं (हमने एक वेक्टर की लंबाई खोजने के अनुभाग में एक वेक्टर की लंबाई के लिए यह सूत्र प्राप्त किया है):
उत्तर:
.
उदाहरण।
एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए जाते हैं। कुछ ऐसे सदिश खोजें जो लंबवत हों और एक ही समय में हों।
समाधान।
वेक्टर और क्रमशः निर्देशांक होते हैं (बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से एक वेक्टर के निर्देशांक खोजने वाला लेख देखें)। यदि हम सदिशों का सदिश गुणनफल पाते हैं, तो परिभाषा के अनुसार यह to और to दोनों के लिए लंबवत एक सदिश है, अर्थात यह हमारी समस्या का समाधान है। आइए उसे खोजें 
उत्तर:
- लंबवत सदिशों में से एक।
तीसरे प्रकार की समस्याओं में सदिशों के सदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करने के कौशल का परीक्षण किया जाता है। गुणों को लागू करने के बाद, संबंधित सूत्र लागू किए जाते हैं।
उदाहरण।
सदिश और लंबवत हैं और उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 4 है। क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात करें 
.
समाधान।
किसी सदिश उत्पाद के वितरण गुण से हम लिख सकते हैं 
संयोजन गुण के कारण, हम अंतिम अभिव्यक्ति में वेक्टर उत्पादों के चिह्न से संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं: 
वेक्टर उत्पाद और शून्य के बराबर हैं, क्योंकि 
और 
, तब ।
चूँकि वेक्टर उत्पाद एंटीकम्यूटेटिव है, तो।
इसलिए, वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम समानता पर पहुंचे 
.
शर्त के अनुसार, सदिश और लंबवत हैं, अर्थात उनके बीच का कोण बराबर है। अर्थात्, आवश्यक लंबाई ज्ञात करने के लिए हमारे पास सारा डेटा है 
उत्तर:
.
एक सदिश उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ.
परिभाषा के अनुसार, सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई है 
. और एक हाई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की दोनों भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के आधे के बराबर होता है। नतीजतन, वेक्टर उत्पाद की लंबाई एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर होती है, जिसकी भुजाएँ वेक्टर हैं और, यदि उन्हें एक बिंदु से प्लॉट किया जाता है। दूसरे शब्दों में, सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई और भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है और उनके बीच का कोण बराबर होता है। यह वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ है।
इस पाठ में हम वैक्टर के साथ दो और ऑपरेशन देखेंगे: सदिशों का सदिश गुणनफलऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (जिन्हें इसकी आवश्यकता है उनके लिए तत्काल लिंक). यह ठीक है, कभी-कभी ऐसा होता है कि पूर्ण सुख के लिए भी सदिशों का अदिश गुणनफल, और अधिक की आवश्यकता है। यह वेक्टर एडिक्शन है. ऐसा लग सकता है कि हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जंगल में जा रहे हैं। यह गलत है। उच्च गणित के इस खंड में आमतौर पर पिनोच्चियो के लिए पर्याप्त लकड़ी को छोड़कर, बहुत कम लकड़ी होती है। वास्तव में, सामग्री बहुत सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक जटिल हो अदिश उत्पाद, सामान्य कार्य भी कम होंगे। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जैसा कि कई लोग आश्वस्त होंगे या पहले ही आश्वस्त हो चुके हैं, गणना में गलतियाँ नहीं करना है। एक मंत्र की तरह दोहराएँ और आप खुश हो जायेंगे =)
यदि सदिश कहीं दूर चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली चमकती है, तो कोई बात नहीं, पाठ से शुरुआत करें डमी के लिए वेक्टरवैक्टर के बारे में बुनियादी ज्ञान को पुनर्स्थापित या पुनः प्राप्त करना। अधिक तैयार पाठक चुनिंदा जानकारी से परिचित हो सकते हैं; मैंने उदाहरणों का सबसे संपूर्ण संग्रह एकत्र करने का प्रयास किया जो अक्सर व्यावहारिक कार्यों में पाए जाते हैं
कौन सी चीज़ आपको तुरंत खुश कर देगी? जब मैं छोटा था तो मैं दो या तीन गेंदें भी खेल सकता था। इसने अच्छा काम किया. अब आपको बिल्कुल भी जुगाड़ नहीं करना पड़ेगा, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल स्थानिक सदिश, और दो निर्देशांक वाले फ्लैट वेक्टर छोड़ दिए जाएंगे। क्यों? इस प्रकार इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वेक्टर और वेक्टर के मिश्रित उत्पाद परिभाषित होते हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं। यह पहले से ही आसान है!
अदिश उत्पाद की तरह ही इस ऑपरेशन में भी शामिल है दो वैक्टर. यह अविनाशी अक्षर हों।
क्रिया ही द्वारा चिह्नितइस अनुसार: । अन्य विकल्प भी हैं, लेकिन मैं वेक्टर के वेक्टर उत्पाद को क्रॉस के साथ वर्गाकार कोष्ठक में इस तरह से दर्शाने का आदी हूं।
और तुरंत सवाल: मैं फ़िन सदिशों का अदिश गुणनफलदो सदिश शामिल हैं, और यहाँ भी दो सदिशों को गुणा किया गया है क्या अंतर है? स्पष्ट अंतर, सबसे पहले, परिणाम में है:
सदिशों के अदिश गुणनफल का परिणाम NUMBER है:
वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम वेक्टर है: , अर्थात, हम सदिशों को गुणा करते हैं और फिर से एक सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब. दरअसल, यहीं से ऑपरेशन का नाम आता है। विभिन्न शैक्षिक साहित्य में, पदनाम भी भिन्न हो सकते हैं; मैं पत्र का उपयोग करूंगा।
क्रॉस उत्पाद की परिभाषा
पहले चित्र के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणियाँ।
परिभाषा: वेक्टर उत्पाद गैर समरेखवेक्टर, इसी क्रम में लिया गया, जिसे वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से है समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर, इन वैक्टरों पर निर्मित; वेक्टर सदिशों के लिए ओर्थोगोनल, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो: 
आइए परिभाषा को टुकड़े-टुकड़े करके देखें, यहां बहुत सारी दिलचस्प चीजें हैं!
तो, निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर प्रकाश डाला जा सकता है:
1) मूल वेक्टर, परिभाषा के अनुसार, लाल तीरों द्वारा दर्शाया गया है संरेख नहीं. संरेख सदिशों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करना उचित होगा।
2) सदिश लिये गये हैं कड़ाई से परिभाषित क्रम में: – "a" को "be" से गुणा किया जाता है, "ए" के साथ "बी" नहीं। सदिश गुणन का परिणामवेक्टर है, जो नीले रंग में दर्शाया गया है। यदि सदिशों को उल्टे क्रम में गुणा किया जाए, तो हमें लंबाई में बराबर और दिशा में विपरीत (रास्पबेरी रंग) एक सदिश प्राप्त होता है। अर्थात् समानता सत्य है 
.
3) अब आइए वेक्टर उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ से परिचित हों। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! नीले वेक्टर (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) की लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है। चित्र में, यह समांतर चतुर्भुज काले रंग से छायांकित है।
टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है, और, स्वाभाविक रूप से, वेक्टर उत्पाद की नाममात्र लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।
आइए हम ज्यामितीय सूत्रों में से एक को याद करें: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है. इसलिए, उपरोक्त के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:
मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र वेक्टर की लंबाई के बारे में है, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक अर्थ क्या है? और तात्पर्य यह है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अक्सर एक वेक्टर उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:
आइए दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त करें। एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण (लाल बिंदीदार रेखा) इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, सदिशों (लाल छायांकन) पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
4) एक समान रूप से महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि वेक्टर वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है, अर्थात 
. बेशक, विपरीत दिशा में निर्देशित वेक्टर (रास्पबेरी तीर) भी मूल वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है।
5) वेक्टर को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है आधारयह है सहीअभिविन्यास। के बारे में पाठ में एक नए आधार पर संक्रमणमैंने इसके बारे में पर्याप्त विस्तार से बात की समतल अभिविन्यास, और अब हम समझेंगे कि अंतरिक्ष अभिविन्यास क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दांया हाथ. मानसिक रूप से गठबंधन करें तर्जनी अंगुलीवेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ. अनामिका और छोटी उंगलीइसे अपनी हथेली में दबाएँ. नतीजतन अँगूठा- वेक्टर उत्पाद ऊपर दिखेगा। यह एक अधिकार-उन्मुख आधार है (चित्र में यही है)। अब वेक्टर बदलें ( तर्जनी और मध्यमा उंगलियाँ) कुछ स्थानों पर, परिणामस्वरूप अंगूठा घूम जाएगा, और वेक्टर उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी अधिकारोन्मुख आधार है। आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: वामपंथी रुझान किस आधार पर है? उन्हीं उंगलियों को "असाइन करें"। बायां हाथवेक्टर, और अंतरिक्ष का बायां आधार और बायां अभिविन्यास प्राप्त करें (इस मामले में, अंगूठा निचले वेक्टर की दिशा में स्थित होगा). लाक्षणिक रूप से कहें तो, ये आधार स्थान को "मोड़" देते हैं या अलग-अलग दिशाओं में उन्मुख करते हैं। और इस अवधारणा को कुछ दूर की कौड़ी या अमूर्त नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष का अभिविन्यास सबसे साधारण दर्पण द्वारा बदल दिया जाता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दिखने वाले कांच से बाहर खींचते हैं", तो सामान्य मामले में यह इसे "मूल" के साथ जोड़ना संभव नहीं होगा। वैसे, तीन अंगुलियों को दर्पण तक पकड़ें और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)
...यह कितना अच्छा है जिसके बारे में अब आप जानते हैं दाएँ- और बाएँ-उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास में बदलाव के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान डरावने हैं =)
संरेख सदिशों का क्रॉस उत्पाद
परिभाषा पर विस्तार से चर्चा की गई है, यह पता लगाना बाकी है कि जब वेक्टर संरेख होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश संरेख हैं, तो उन्हें एक सीधी रेखा पर रखा जा सकता है और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "मुड़" जाता है। ऐसा क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमांतर चतुर्भुज शून्य के बराबर है. सूत्र से भी यही पता चलता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल शून्य है
इस प्रकार, यदि, तो 
और 
. कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद स्वयं शून्य वेक्टर के बराबर है, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह भी शून्य के बराबर है।
एक विशेष मामला एक वेक्टर का स्वयं के साथ क्रॉस उत्पाद है:
वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की संरेखता की जांच कर सकते हैं, और हम अन्य समस्याओं के अलावा इस समस्या का भी विश्लेषण करेंगे।
हल करने के लिए आपको व्यावहारिक उदाहरणों की आवश्यकता हो सकती है त्रिकोणमितीय तालिकाइससे ज्या का मान ज्ञात करना।
खैर, चलो आग जलाएं:
उदाहरण 1
ए) यदि सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात करें 
b) यदि सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें 
समाधान: नहीं, यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है, मैंने जानबूझकर खंडों में प्रारंभिक डेटा को वही बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!
a) शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा लंबाईवेक्टर (क्रॉस उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:
उत्तर:
यदि आपसे लंबाई के बारे में पूछा गया था, तो उत्तर में हम आयाम - इकाइयों का संकेत देते हैं।
b) शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा वर्गसदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से वेक्टर उत्पाद की लंबाई के बराबर है:
उत्तर:
कृपया ध्यान दें कि उत्तर वेक्टर उत्पाद के बारे में बिल्कुल भी बात नहीं करता है; हमसे इसके बारे में पूछा गया था आकृति का क्षेत्रफलतदनुसार, आयाम वर्ग इकाई है।
हम हमेशा यह देखते हैं कि स्थिति के अनुसार हमें क्या खोजने की आवश्यकता है, और, इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं स्पष्टउत्तर। यह शाब्दिकवाद की तरह लग सकता है, लेकिन शिक्षकों के बीच बहुत सारे शाब्दिकवाद हैं, और असाइनमेंट को पुनरीक्षण के लिए लौटाए जाने की अच्छी संभावना है। हालाँकि यह कोई विशेष रूप से दूर की कौड़ी नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो किसी को यह आभास होता है कि व्यक्ति सरल चीज़ों को नहीं समझता है और/या कार्य के सार को नहीं समझ पाया है। उच्च गणित और अन्य विषयों में भी किसी भी समस्या को हल करते समय इस बिंदु को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए।
बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, इसे अतिरिक्त रूप से समाधान से जोड़ा जा सकता था, लेकिन प्रविष्टि को छोटा करने के लिए, मैंने ऐसा नहीं किया। मुझे आशा है कि हर कोई इसे समझता है और यह उसी चीज़ के लिए एक पदनाम है।
DIY समाधान के लिए एक लोकप्रिय उदाहरण:
उदाहरण 2
यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें 
वेक्टर उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र परिभाषा की टिप्पणियों में दिया गया है। समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।
व्यवहार में, यह कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है; त्रिकोण आम तौर पर आपको पीड़ा दे सकते हैं।
अन्य समस्याओं को हल करने के लिए हमें आवश्यकता होगी:
सदिशों के सदिश गुणनफल के गुण
हम पहले ही वेक्टर उत्पाद के कुछ गुणों पर विचार कर चुके हैं, हालाँकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूँगा।
मनमाना वैक्टर और मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:
1) जानकारी के अन्य स्रोतों में, इस आइटम को आमतौर पर गुणों में हाइलाइट नहीं किया जाता है, लेकिन व्यावहारिक दृष्टि से यह बहुत महत्वपूर्ण है। तो रहने दो।
2) 
-संपत्ति की चर्चा ऊपर भी की गई है, कभी-कभी इसे भी कहा जाता है प्रतिसंक्रामकता. दूसरे शब्दों में, सदिशों का क्रम मायने रखता है।
3) - साहचर्य या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद कानून. स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के बाहर आसानी से ले जाया जा सकता है। सचमुच, उन्हें वहां क्या करना चाहिए?
4)- वितरण या विभाजित करनेवालावेक्टर उत्पाद कानून. ब्रैकेट खोलने में भी कोई समस्या नहीं है।
प्रदर्शित करने के लिए, आइए एक संक्षिप्त उदाहरण देखें:
उदाहरण 3
यदि खोजें 
समाधान:स्थिति में फिर से वेक्टर उत्पाद की लंबाई खोजने की आवश्यकता होती है। आइए अपना लघुचित्र बनाएं: 
(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के दायरे से बाहर लेते हैं।
(2) हम स्थिरांक को मॉड्यूल के बाहर ले जाते हैं, और मॉड्यूल ऋण चिह्न को "खा लेता है"। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती.
(3) बाकी सब स्पष्ट है.
उत्तर: 
अब आग में और लकड़ी डालने का समय आ गया है:
उदाहरण 4
यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें 
समाधान: सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें 
. समस्या यह है कि सदिश "tse" और "de" स्वयं सदिशों के योग के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। यहां एल्गोरिथ्म मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण संख्या 3 और 4 की याद दिलाता है वैक्टर का डॉट उत्पाद. स्पष्टता के लिए, हम समाधान को तीन चरणों में विभाजित करेंगे:
1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद को वेक्टर उत्पाद के माध्यम से व्यक्त करते हैं, वास्तव में, आइए एक सदिश को सदिश के रूप में व्यक्त करें. लंबाई पर अभी तक कोई शब्द नहीं!
(1) सदिशों के भावों को प्रतिस्थापित करें।
(2) वितरण नियमों का प्रयोग करते हुए हम बहुपदों के गुणन नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं।
(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम सभी स्थिरांकों को सदिश उत्पादों से परे ले जाते हैं। थोड़े से अनुभव के साथ, चरण 2 और 3 को एक साथ निष्पादित किया जा सकता है।
(4) प्रथम और अंतिम पद अच्छे गुण के कारण शून्य (शून्य सदिश) के बराबर हैं। दूसरे पद में हम एक वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी की संपत्ति का उपयोग करते हैं:
(5) हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं।
परिणामस्वरूप, वेक्टर को एक वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया गया, जिसे प्राप्त करने की आवश्यकता थी: 
2) दूसरे चरण में, हमें आवश्यक वेक्टर उत्पाद की लंबाई ज्ञात होती है। यह क्रिया उदाहरण 3 के समान है: 
3) आवश्यक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: 
समाधान के चरण 2-3 को एक पंक्ति में लिखा जा सकता था।
उत्तर:
जिस समस्या पर विचार किया गया है वह परीक्षणों में काफी सामान्य है, इसे स्वयं हल करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:
उदाहरण 5
यदि खोजें
पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने चौकस थे ;-)
निर्देशांक में सदिशों का क्रॉस उत्पाद
, ऑर्थोनॉर्मल आधार में निर्दिष्ट, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:
सूत्र वास्तव में सरल है: सारणिक की शीर्ष पंक्ति में हम निर्देशांक सदिश लिखते हैं, दूसरी और तीसरी पंक्तियों में हम सदिशों के निर्देशांक "डालते हैं", और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले "ve" वेक्टर के निर्देशांक, फिर "डबल-वे" वेक्टर के निर्देशांक। यदि सदिशों को भिन्न क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो पंक्तियों की अदला-बदली की जानी चाहिए: 
उदाहरण 10
जाँचें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:
ए)
बी) 
समाधान: जाँच इस पाठ के एक कथन पर आधारित है: यदि वेक्टर संरेख हैं, तो उनका वेक्टर उत्पाद शून्य (शून्य वेक्टर) के बराबर है: 
.
ए) वेक्टर उत्पाद खोजें: 
इस प्रकार, सदिश संरेख नहीं हैं।
बी) वेक्टर उत्पाद खोजें: 
उत्तर: ए) संरेख नहीं, बी)
यहाँ, शायद, सदिशों के सदिश गुणनफल के बारे में सारी बुनियादी जानकारी है।
यह खंड बहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि ऐसी कुछ समस्याएं हैं जहां वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ कार्य सूत्रों पर निर्भर करेगा।
सदिशों का मिश्रित गुणनफल तीन सदिशों का गुणनफल होता है:
इसलिए वे एक ट्रेन की तरह कतार में खड़े हो गए और पहचाने जाने का इंतजार नहीं कर सकते।
सबसे पहले, फिर से, एक परिभाषा और एक चित्र:
परिभाषा: मिश्रित कार्य गैर समतलीयवेक्टर, इसी क्रम में लिया गया, बुलाया समांतर चतुर्भुज आयतन, इन वैक्टरों पर निर्मित, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न से सुसज्जित है, और यदि आधार बाएँ है तो "-" चिह्न से सुसज्जित है।
चलो ड्राइंग बनाते हैं. हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ बिंदीदार रेखाओं से खींची जाती हैं: 
आइए परिभाषा में उतरें:
2) सदिश लिये गये हैं एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टरों की पुनर्व्यवस्था, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणामों के बिना नहीं होती है।
3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं एक स्पष्ट तथ्य पर ध्यान दूंगा: सदिशों का मिश्रित गुणनफल एक संख्या है: . शैक्षिक साहित्य में, डिज़ाइन थोड़ा अलग हो सकता है; मैं एक मिश्रित उत्पाद को, और गणना के परिणाम को "पे" अक्षर से निरूपित करने का आदी हूँ।
ए-प्राथमिकता मिश्रित उत्पाद समांतर चतुर्भुज का आयतन है, सदिशों पर निर्मित (आकृति लाल सदिशों और काली रेखाओं से खींची गई है)। अर्थात्, संख्या किसी दिए गए समान्तर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।
टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है.
4) आइए आधार और स्थान के अभिविन्यास की अवधारणा के बारे में फिर से चिंता न करें। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में ऋण चिह्न जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, एक मिश्रित उत्पाद नकारात्मक हो सकता है:।
परिभाषा से सीधे वैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना के लिए सूत्र का पालन किया जाता है।
टेस्ट नंबर 1
सदिश. उच्च बीजगणित के तत्व
1-20. सदिशों की लंबाई तथा तथा ज्ञात हैं; – इन सदिशों के बीच का कोण.
गणना करें: 1) और, 2).3) सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
एक चित्र बनाओ.
समाधान। वैक्टर के डॉट उत्पाद की परिभाषा का उपयोग करना:
और अदिश उत्पाद के गुण: 
,
1) वेक्टर का अदिश वर्ग ज्ञात करें:
अर्थात्, फिर .
इसी तरह तर्क करते हुए, हम पाते हैं
अर्थात्, फिर .
एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के अनुसार: ,
इसे ध्यान में रखते हुए
सदिशों से निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल तथा के बराबर होता है
21-40. तीन शीर्षों के ज्ञात निर्देशांक ए, बी, डीचतुर्भुज ए बी सी डी. वेक्टर बीजगणित का उपयोग करते हुए, आपको चाहिए:
ए(3;0;-7), बी(2;4;6), डी(-7;-5;1)
समाधान।
यह ज्ञात है कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं। इसलिए, बिंदु के निर्देशांक इ- विकर्णों का प्रतिच्छेदन - खंड के मध्य के निर्देशांक के रूप में खोजें बी.डी. द्वारा उन्हें निरूपित करना एक्स इ ,य इ , जेड इहमें वह मिल गया
हम पाते हैं।
बिंदु के निर्देशांक जानना इ- विकर्ण का मध्यबिंदु बी.डीऔर इसके एक सिरे के निर्देशांक ए(3;0;-7), सूत्रों का उपयोग करके हम शीर्ष के आवश्यक निर्देशांक निर्धारित करते हैं साथसमांतर चतुर्भुज:
तो, शीर्ष.
2) किसी सदिश पर किसी सदिश का प्रक्षेपण ज्ञात करने के लिए, हम इन सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं: ,
इसी तरह. एक वेक्टर पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:
3) समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का कोण सदिशों के बीच के कोण के रूप में पाया जाता है
और अदिश गुणनफल के गुण से:
तब 
4) वेक्टर उत्पाद के मापांक के रूप में समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
5) पिरामिड का आयतन सदिशों के मिश्रित उत्पाद के मापांक के छठे भाग के रूप में पाया जाता है, जहाँ O(0;0;0), तो
फिर आवश्यक आयतन (घन इकाई)
41-60. दिए गए मैट्रिक्स:
वी सी -1 +3ए टी
पदनाम:
सबसे पहले, हम मैट्रिक्स C का व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं।
ऐसा करने के लिए, हम इसका निर्धारक ढूंढते हैं:
सारणिक शून्य से भिन्न है, इसलिए, मैट्रिक्स गैर-एकवचन है और इसके लिए आप व्युत्क्रम मैट्रिक्स C -1 पा सकते हैं
आइए हम सूत्र का उपयोग करके बीजगणितीय पूरक खोजें, तत्व का लघुगणक कहां है:
तब , ।
61–80. रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
क्रैमर की विधि; 2. मैट्रिक्स विधि.
समाधान।
ए) क्रैमर विधि
आइए सिस्टम के निर्धारक को खोजें
चूँकि, सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।
आइए निर्धारकों को ढूंढें और गुणांक मैट्रिक्स में क्रमशः पहले, दूसरे, तीसरे कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करें।
क्रैमर के सूत्रों के अनुसार:
बी)मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके)।
हम इस प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं और व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके इसे हल करते हैं।
होने देना ए- अज्ञात के लिए गुणांक का मैट्रिक्स; एक्स- अज्ञात का मैट्रिक्स-कॉलम एक्स, य, जेडऔर एन- मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स-कॉलम:
सिस्टम के बाईं ओर (1) को मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, और दाईं ओर को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है एन. इसलिए हमारे पास मैट्रिक्स समीकरण है
मैट्रिक्स के निर्धारक के बाद से एशून्य (बिंदु "ए") से भिन्न है, फिर मैट्रिक्स एएक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है. आइए बाईं ओर समानता के दोनों पक्षों (2) को मैट्रिक्स से गुणा करें, हमें मिलता है
कहाँ से इपहचान मैट्रिक्स है, और, फिर
आइए हमारे पास एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स A है:
फिर हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं:
कहाँ ए आईजे- किसी तत्व का बीजगणितीय पूरक ए आईजेमैट्रिक्स के निर्धारक में ए, जो (-1) i+j और लघु (निर्धारक) का गुणनफल है एन-1हटाकर आदेश प्राप्त किया गया i-वेंलाइनें और जे.टी.एचमैट्रिक्स ए के निर्धारक में कॉलम:
यहां से हमें व्युत्क्रम मैट्रिक्स मिलता है:
कॉलम एक्स: एक्स=ए -1 एच
81–100. गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें
समाधान। आइए सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में लिखें:
हम स्ट्रिंग्स के साथ प्राथमिक परिवर्तन करते हैं।
दूसरी पंक्ति से हम 2 से गुणा की गई पहली पंक्ति को घटाते हैं। पंक्ति 3 से हम 4 से गुणा की गई पहली पंक्ति को घटाते हैं। पंक्ति 4 से हम पहली पंक्ति को घटाते हैं, हमें मैट्रिक्स मिलता है:
इसके बाद, हमें अगली पंक्तियों के पहले कॉलम में शून्य मिलता है; ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति से तीसरी पंक्ति घटाएँ। तीसरी पंक्ति से, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके घटाएँ। चौथी पंक्ति से, दूसरी पंक्ति को 3 से गुणा करके घटाएँ। परिणामस्वरूप, हमें फॉर्म का एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है:
चौथी पंक्ति से हम तीसरी घटाते हैं।
आइए अंतिम और अंतिम पंक्तियों की अदला-बदली करें:
अंतिम मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली के बराबर है:
सिस्टम के अंतिम समीकरण से हम पाते हैं।
अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं 
.
सिस्टम के दूसरे समीकरण से यह पता चलता है 
पहले समीकरण से हम x पाते हैं:
उत्तर:
टेस्ट नंबर 2
विश्लेषणात्मक ज्यामिति
1-20. त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं एबीसी.खोजो:
1) पार्श्व की लंबाई एमें;
2) पक्षों के समीकरण अबऔर सूरजऔर उनके कोणीय गुणांक;
3) कोण मेंरेडियन में दो अंकों तक सटीक;
4) ऊंचाई समीकरण सीडीऔर इसकी लंबाई;
5) माध्यिका समीकरण ऐ
ऊंचाई सीडी;
कोकिनारे के समानांतर एबी,
7) एक चित्र बनाएं.
ए(3;6), बी(15;-3), सी(13;11)
समाधान।
(1) लगाने पर, हम भुजा की लंबाई ज्ञात करते हैं अब:
2) पक्षों के समीकरण अबऔर सूरजऔर उनके कोणीय गुणांक:
बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण और रूप होता है
बिंदुओं के निर्देशांक को (2) में प्रतिस्थापित करना एऔर में, हम पक्ष का समीकरण प्राप्त करते हैं अब:
(अब).
(ईसा पूर्व).
3) कोण मेंदो अंकों की सटीकता के साथ रेडियन में।
यह ज्ञात है कि दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की स्पर्शरेखा, जिसके कोणीय गुणांक क्रमशः बराबर होते हैं और सूत्र द्वारा गणना की जाती है
आवश्यक कोण मेंसीधी रेखाओं द्वारा निर्मित अबऔर सूरज, जिसके कोणीय गुणांक पाए जाते हैं: ; . (3) लगाने पर हमें प्राप्त होता है
; , या
4) ऊंचाई समीकरण सीडीऔर इसकी लंबाई.
बिंदु C से सीधी रेखा AB की दूरी: 
5) माध्यिका समीकरण ऐऔर इस माध्यिका के प्रतिच्छेदन के बिंदु K के निर्देशांक
ऊंचाई सीडी.
सूर्य पक्ष के मध्य:
फिर समीकरण AE:
हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
6) एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण कोकिनारे के समानांतर अब:
चूँकि वांछित रेखा भुजा के समानांतर है अब, तो इसका कोणीय गुणांक सीधी रेखा के कोणीय गुणांक के बराबर होगा अब. पाए गए बिंदु के निर्देशांक को (4) में प्रतिस्थापित करना कोऔर ढलान, हमें मिलता है
; (के.एफ).
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 12 वर्ग मीटर है। इकाइयाँ, इसके दो शीर्ष बिंदु हैं ए(-1;3)और बी(-2;4).इस समांतर चतुर्भुज के अन्य दो शीर्ष ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु x-अक्ष पर स्थित है। एक चित्र बनाओ.
समाधान। मान लीजिए कि विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं।
तो फिर ये तो जाहिर सी बात है
इसलिए, सदिशों के निर्देशांक हैं।
हम सूत्र का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं
फिर अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक हैं।
समस्या 51-60 में बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं ए और बी. आवश्यक:
इन बिंदुओं से गुजरने वाले हाइपरबोला के लिए एक विहित समीकरण लिखें ए और बी,यदि हाइपरबोला की नाभियाँ x-अक्ष पर स्थित हैं;
इस अतिपरवलय के अर्ध-अक्ष, नाभि, विलक्षणता और अनंतस्पर्शी समीकरण खोजें;
मूल बिंदु पर केंद्र वाले एक वृत्त के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन के सभी बिंदु खोजें, यदि यह वृत्त अतिपरवलय के नाभियों से होकर गुजरता है;
एक अतिपरवलय, उसके अनंतस्पर्शी और वृत्त की रचना कीजिए।
ए(6;-2), बी(-8;12).
समाधान। वांछित अतिपरवलय का समीकरण विहित रूप में लिखा जाता है
कहाँ ए- हाइपरबोला का वास्तविक अर्ध-अक्ष, बी-काल्पनिक अर्ध-अक्ष. बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करना एऔर मेंइस समीकरण में हमें ये अर्ध-अक्ष मिलते हैं:
– अतिपरवलय समीकरण: .
अर्ध-अक्ष a=4,
फोकल लंबाई फोकस (-8.0) और (8.0)
सनक
असिप्टोटेस:
यदि कोई वृत्त मूल बिन्दु से होकर गुजरता है तो उसका समीकरण होता है
किसी एक नाभि को प्रतिस्थापित करते हुए, हम वृत्त का समीकरण पाते हैं
हाइपरबोला और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:
हम एक चित्र बनाते हैं:
समस्या 61-80 में, अंतराल के माध्यम से मान देते हुए, बिंदु दर बिंदु एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। /8 (0 2). एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में रेखा का समीकरण खोजें (भुज का सकारात्मक अर्ध-अक्ष ध्रुवीय अक्ष के साथ मेल खाता है, और ध्रुव मूल के साथ मेल खाता है)।
समाधान।आइए पहले मानों और φ की तालिका भरकर, बिंदुओं के आधार पर एक रेखा बनाएं।
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संख्या |
φ , |
φ, डिग्री |
संख्या |
φ , खुश |
डिग्री |
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3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यह समीकरण एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है: अंक दिए गए हैं ए,में , सी, डी . ढूंढना होगा: 1. समतल समीकरण (क्यू), बिंदुओं से गुजरना ए, बी, सी डीप्लेन में (क्यू); 2. रेखा समीकरण (मैं),बिंदुओं से गुजरना मेंऔर डी; 3. समतल के बीच का कोण (क्यू)और सीधा (मैं); 4. समतल समीकरण (आर),एक बिंदु से गुजरना एएक सीधी रेखा के लंबवत (मैं); 5. तलों के बीच का कोण (आर)और (क्यू) ; 6. एक रेखा का समीकरण (टी),एक बिंदु से गुजरना एइसके त्रिज्या सदिश की दिशा में; 7. सीधी रेखाओं के बीच का कोण (मैं)और (टी)। ए(9;-8;1), बी(-9;4;5), सी(9;-5;5),डी(6;4;0) 1. समतल समीकरण (क्यू), बिंदुओं से गुजरना ए, बी, सीऔर जाँचें कि क्या बात झूठ है डीविमान में सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है खोजें: 1) . 2) वर्गसमांतर चतुर्भुज, बनाना परऔर। 3) समांतर चतुर्भुज का आयतन, बनाना पर वैक्टर, और। नियंत्रण कामइस टॉपिक पर " तत्वोंरैखिक स्थानों का सिद्धांत... योग्यता 080100 में स्नातक अंशकालिक अध्ययन के लिए परीक्षण पूरा करने के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें। दिशा में 62दिशा-निर्देशपिरामिड का समांतर चतुर्भुज और आयतन, बनाना पर वैक्टर, और। समाधान: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. के लिए कार्य नियंत्रण काम करता हैखंड I. रैखिक बीजगणित. 1 – 10. दिया गया... |
