समस्या का निरूपण

कार्य में उपयोगकर्ता को संख्यात्मक तरीकों की बुनियादी अवधारणाओं से परिचित कराना शामिल है, जैसे कि निर्धारक और उलटा मैट्रिक्स, और उनकी गणना करने के विभिन्न तरीके। इस सैद्धान्तिक प्रतिवेदन में सरल एवं सुगम भाषा में सर्वप्रथम आधारभूत संकल्पनाओं एवं परिभाषाओं का परिचय दिया जाता है, जिसके आधार पर आगे अनुसंधान किया जाता है। उपयोगकर्ता को संख्यात्मक विधियों और रैखिक बीजगणित के क्षेत्र में विशेष ज्ञान नहीं हो सकता है, लेकिन आसानी से इस कार्य के परिणामों का उपयोग करने में सक्षम होगा। स्पष्टता के लिए, सी ++ प्रोग्रामिंग भाषा में लिखे गए कई तरीकों से मैट्रिक्स निर्धारक की गणना के लिए एक कार्यक्रम दिया गया है। रिपोर्ट के लिए चित्र बनाने के लिए कार्यक्रम का उपयोग प्रयोगशाला स्टैंड के रूप में किया जाता है। और रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों का भी अध्ययन किया जा रहा है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना की बेकारता साबित होती है, इसलिए पेपर बिना गणना किए समीकरणों को हल करने के लिए अधिक इष्टतम तरीके प्रदान करता है। यह समझाया गया है कि निर्धारकों और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए इतने सारे अलग-अलग तरीके क्यों हैं और उनकी कमियों का विश्लेषण किया जाता है। सारणिक की गणना में त्रुटियों पर भी विचार किया जाता है और प्राप्त सटीकता का अनुमान लगाया जाता है। रूसी शब्दों के अलावा, उनके अंग्रेजी समकक्षों का उपयोग यह समझने के लिए भी किया जाता है कि पुस्तकालयों में संख्यात्मक प्रक्रियाओं की खोज करने के लिए किन नामों के तहत और उनके मापदंडों का क्या अर्थ है।

बुनियादी परिभाषाएँ और सरल गुण

सिद्ध

आइए हम किसी भी कोटि के वर्ग मैट्रिक्स के सारणिक की परिभाषा का परिचय दें। यह परिभाषा होगी आवर्तक, अर्थात्, यह स्थापित करने के लिए कि ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है, आपको पहले से ही यह जानना होगा कि ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है। यह भी ध्यान दें कि सारणिक केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है।

एक वर्ग आव्यूह के सारणिक को या det द्वारा निरूपित किया जाएगा।

परिभाषा 1. सिद्धवर्ग मैट्रिक्स द्वितीय क्रम संख्या कहलाती है .

सिद्ध कोटि के वर्ग आव्यूह को संख्या कहा जाता है

पहली पंक्ति और संख्या के साथ कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स से प्राप्त ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक कहां है।

स्पष्टता के लिए, हम लिखते हैं कि आप चौथे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना कैसे कर सकते हैं:

टिप्पणी।परिभाषा के आधार पर तीसरे क्रम से ऊपर के मैट्रिक्स के लिए निर्धारकों की वास्तविक गणना का उपयोग असाधारण मामलों में किया जाता है। एक नियम के रूप में, गणना अन्य एल्गोरिदम के अनुसार की जाती है, जिस पर बाद में चर्चा की जाएगी और जिसके लिए कम कम्प्यूटेशनल कार्य की आवश्यकता होती है।

टिप्पणी।परिभाषा 1 में, यह कहना अधिक सटीक होगा कि निर्धारक वर्ग क्रम मैट्रिक्स के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और संख्याओं के सेट में मान लेता है।

टिप्पणी।साहित्य में, "निर्धारक" शब्द के बजाय, "निर्धारक" शब्द का भी उपयोग किया जाता है, जिसका एक ही अर्थ है। "निर्धारक" शब्द से पदनाम det प्रकट हुआ।

आइए हम सारणिकों के कुछ गुणों पर विचार करें, जिन्हें हम अभिकथन के रूप में निरूपित करते हैं।

कथन 1.मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय, निर्धारक नहीं बदलता है, अर्थात।

कथन 2.वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का निर्धारक गुणनखंडों के निर्धारकों के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात्।

कथन 3.यदि एक मैट्रिक्स में दो पंक्तियों की अदला-बदली की जाती है, तो इसका सारणिक चिन्ह बदल जाएगा।

कथन 4.यदि एक मैट्रिक्स में दो समान पंक्तियाँ हैं, तो इसका सारणिक शून्य है।

भविष्य में, हमें तार जोड़ने और एक संख्या से एक स्ट्रिंग को गुणा करने की आवश्यकता होगी। हम इन कार्यों को पंक्तियों (स्तंभों) पर उसी तरह करेंगे जैसे पंक्ति मैट्रिक्स (स्तंभ मैट्रिक्स) पर संचालन, यानी तत्व द्वारा तत्व। परिणाम एक पंक्ति (स्तंभ) होगा, जो एक नियम के रूप में, मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों से मेल नहीं खाता है। पंक्तियों (स्तंभों) को जोड़ने और उन्हें एक संख्या से गुणा करने के संचालन की उपस्थिति में, हम पंक्तियों (स्तंभों) के रैखिक संयोजनों के बारे में भी बात कर सकते हैं, अर्थात संख्यात्मक गुणांक वाले योग।

कथन 5.यदि किसी मैट्रिक्स की एक पंक्ति को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके सारणिक को उस संख्या से गुणा किया जाएगा।

कथन 6.यदि मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति है, तो इसका सारणिक शून्य है।

कथन 7.यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक संख्या से गुणा किए गए दूसरे के बराबर है (पंक्तियां आनुपातिक हैं), तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है।

कथन 8.मैट्रिक्स में i-वें पंक्ति को इस तरह दिखने दें। फिर, जहां मैट्रिक्स को पंक्ति के साथ i-th पंक्ति को प्रतिस्थापित करके मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है, और i-th पंक्ति को पंक्ति के साथ प्रतिस्थापित करके मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है।

कथन 9.यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक को दूसरे में जोड़ा जाता है, एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो मैट्रिक्स का निर्धारक नहीं बदलेगा।

कथन 10.यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक इसकी अन्य पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है।

परिभाषा 2. बीजीय जोड़मैट्रिक्स तत्व के लिए एक संख्या के बराबर कहा जाता है, जहां i-वें पंक्ति और j-वें कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है। एक मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण।रहने दो . फिर

टिप्पणी।बीजीय योगों का उपयोग करते हुए, 1 सारणिक की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:

कथन 11. एक मनमानी स्ट्रिंग में निर्धारक का अपघटन।

मैट्रिक्स निर्धारक सूत्र को संतुष्ट करता है

उदाहरण।गणना .

फेसला।आइए विस्तार का उपयोग तीसरी पंक्ति में करें, यह अधिक लाभदायक है, क्योंकि तीसरी पंक्ति में तीन में से दो संख्याएँ शून्य हैं। पाना

कथन 12.क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, हमारे पास संबंध है .

कथन 13.पंक्तियों के लिए तैयार किए गए निर्धारक के सभी गुण (कथन 1 - 11) भी स्तंभों के लिए मान्य हैं, विशेष रूप से, जे-वें स्तंभ में निर्धारक का अपघटन मान्य है और समानता पर ।

कथन 14.त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक इसके मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

परिणाम।पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक एक के बराबर है, .

निष्कर्ष।ऊपर सूचीबद्ध गुण अपेक्षाकृत कम मात्रा में गणनाओं के साथ पर्याप्त रूप से उच्च कोटि के मैट्रिक्स के निर्धारकों को खोजना संभव बनाते हैं। गणना एल्गोरिथ्म निम्नलिखित है।

एक कॉलम में शून्य बनाने के लिए एल्गोरिथम।आदेश निर्धारक की गणना करने के लिए इसे आवश्यक होने दें। यदि , तो पहली पंक्ति और किसी अन्य पंक्ति को स्वैप करें जिसमें पहला तत्व शून्य नहीं है। नतीजतन, सारणिक, विपरीत चिह्न के साथ नए मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा। यदि प्रत्येक पंक्ति का पहला तत्व शून्य के बराबर है, तो मैट्रिक्स में एक शून्य स्तंभ है और, कथन 1, 13 के अनुसार, इसका सारणिक शून्य के बराबर है।

तो, हम मानते हैं कि पहले से ही मूल मैट्रिक्स में है। पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ दें। आइए दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को संख्या से गुणा करते हैं। तब दूसरी पंक्ति का पहला तत्व बराबर होगा .

नई दूसरी पंक्ति के शेष तत्वों को , द्वारा दर्शाया जाएगा। कथन 9 के अनुसार नए मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर है। पहली पंक्ति को संख्या से गुणा करें और इसे तीसरी में जोड़ें। नई तीसरी पंक्ति का पहला तत्व बराबर होगा

नई तीसरी पंक्ति के शेष तत्वों को , द्वारा दर्शाया जाएगा। कथन 9 के अनुसार नए मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर है।

हम स्ट्रिंग्स के पहले तत्वों के बजाय शून्य प्राप्त करने की प्रक्रिया जारी रखेंगे। अंत में, हम पहली पंक्ति को एक संख्या से गुणा करते हैं और इसे अंतिम पंक्ति में जोड़ते हैं। परिणाम एक मैट्रिक्स है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है, जिसका रूप है

और । मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, हम पहले कॉलम में विस्तार का उपयोग करते हैं

तब से

ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक दाईं ओर है। हम इसके लिए एक ही एल्गोरिथ्म लागू करते हैं, और मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना को ऑर्डर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए कम कर दिया जाएगा। प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक हम दूसरे क्रम के निर्धारक तक नहीं पहुंच जाते, जिसकी गणना परिभाषा द्वारा की जाती है।

यदि मैट्रिक्स में कोई विशिष्ट गुण नहीं है, तो प्रस्तावित एल्गोरिथम की तुलना में गणना की मात्रा को काफी कम करना संभव नहीं है। इस एल्गोरिदम का एक और अच्छा पक्ष यह है कि कंप्यूटर के लिए बड़े ऑर्डर के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करने के लिए एक प्रोग्राम लिखना आसान है। निर्धारकों की गणना के लिए मानक कार्यक्रमों में, इस एल्गोरिथ्म का उपयोग कंप्यूटर गणनाओं में गोलाई त्रुटियों और इनपुट डेटा त्रुटियों के प्रभाव को कम करने से जुड़े मामूली परिवर्तनों के साथ किया जाता है।

उदाहरण।गणना मैट्रिक्स निर्धारक .

फेसला।पहली पंक्ति अपरिवर्तित छोड़ दी गई है। दूसरी पंक्ति में हम पहली, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। तीसरी पंक्ति में हम पहली, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। चौथी पंक्ति में हम पहली, संख्या से गुणा करते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता है। नतीजतन, हमें मिलता है

उसी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम क्रम 3 के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करते हैं, जो दाईं ओर है। हम पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं :

तीसरी पंक्ति में हम पहली जोड़ते हैं, संख्या से गुणा करते हैं :

नतीजतन, हमें मिलता है

जवाब। .

टिप्पणी।यद्यपि गणना में भिन्नों का उपयोग किया गया था, परिणाम एक पूर्णांक था। वास्तव में, निर्धारकों के गुणों और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि मूल संख्याएं पूर्णांक हैं, भिन्नों के साथ संचालन से बचा जा सकता है। लेकिन इंजीनियरिंग अभ्यास में, संख्याएं बहुत कम ही पूर्णांक होती हैं। इसलिए, एक नियम के रूप में, सारणिक के तत्व दशमलव भिन्न होंगे और गणना को सरल बनाने के लिए किसी भी तरकीब का उपयोग करना उचित नहीं है।

उलटा मैट्रिक्स

परिभाषा 3.मैट्रिक्स कहा जाता है उलटा मैट्रिक्सएक वर्ग मैट्रिक्स के लिए यदि .

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि उलटा मैट्रिक्स मैट्रिक्स के समान क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स होगा (अन्यथा उत्पादों में से एक या परिभाषित नहीं किया जाएगा)।

मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार, यदि मौजूद है, तो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है कि मैट्रिक्स मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है, अर्थात। आव्यूह और एक दूसरे के प्रतिलोम या परस्पर प्रतिलोम कहे जा सकते हैं।

यदि किसी मैट्रिक्स का सारणिक शून्य है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए यह महत्वपूर्ण है कि मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है या नहीं, हम निम्नलिखित परिभाषाओं का परिचय देते हैं।

परिभाषा 4.आइए वर्ग मैट्रिक्स को कॉल करें पतितया विशेष मैट्रिक्स, अगर गैर पतितया गैर-एकवचन मैट्रिक्स, अगर ।

कथन।यदि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

कथन।यदि एक वर्ग मैट्रिक्स गैर-डीजेनरेट है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद है और (1) तत्वों में बीजगणितीय जोड़ कहाँ हैं।

प्रमेय।एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है यदि और केवल अगर मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, तो उलटा मैट्रिक्स अद्वितीय है, और सूत्र (1) मान्य है।

टिप्पणी।व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र में बीजीय योगों के कब्जे वाले स्थानों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए: पहला सूचकांक संख्या दिखाता है कॉलम, और दूसरा नंबर है पंक्तियां, जिसमें परिकलित बीजीय पूरक लिखा जाना चाहिए।

उदाहरण। .

फेसला।निर्धारक ढूँढना

तब से, मैट्रिक्स गैर-डीजेनरेट है, और इसके लिए व्युत्क्रम मौजूद है। बीजगणितीय जोड़ ढूँढना:

हम पाए गए बीजीय योगों को रखकर व्युत्क्रम मैट्रिक्स की रचना करते हैं ताकि पहली अनुक्रमणिका स्तंभ से मेल खाती हो, और दूसरी पंक्ति से: (2)

परिणामी मैट्रिक्स (2) समस्या का उत्तर है।

टिप्पणी।पिछले उदाहरण में, इस तरह उत्तर लिखना अधिक सटीक होगा:
(3)

हालांकि, अंकन (2) अधिक कॉम्पैक्ट है और इसके साथ आगे की गणना, यदि कोई हो, करना अधिक सुविधाजनक है। इसलिए, यदि आव्यूह के अवयव पूर्णांक हैं, तो उत्तर को फॉर्म (2) में लिखना बेहतर है। और इसके विपरीत, यदि मैट्रिक्स के तत्व दशमलव अंश हैं, तो विपरीत मैट्रिक्स को बिना किसी कारक के सामने लिखना बेहतर है।

टिप्पणी।उलटा मैट्रिक्स ढूंढते समय, आपको अंतिम मैट्रिक्स में बीजगणितीय जोड़ों को व्यवस्थित करने के लिए काफी गणना और असामान्य नियम करना होगा। इसलिए गड़बड़ी की संभावना ज्यादा है। त्रुटियों से बचने के लिए, आपको एक जांच करनी चाहिए: मूल मैट्रिक्स के उत्पाद को एक क्रम या किसी अन्य में अंतिम द्वारा परिकलित करें। यदि परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स है, तो उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया जाता है। अन्यथा, आपको एक त्रुटि की तलाश करने की आवश्यकता है।

उदाहरण।मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए .

फेसला। - मौजूद।

जवाब: .

निष्कर्ष।सूत्र (1) द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है। चौथे क्रम और उच्चतर के मैट्रिसेस के लिए, यह अस्वीकार्य है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए वास्तविक एल्गोरिथ्म बाद में दिया जाएगा।

गॉस विधि का उपयोग करके निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना

सारणिक और प्रतिलोम मैट्रिक्स को खोजने के लिए गॉस विधि का उपयोग किया जा सकता है।

अर्थात्, मैट्रिक्स निर्धारक det के बराबर है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स गाऊसी उन्मूलन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करके पाया जाता है:

पहचान मैट्रिक्स का जे-वें कॉलम कहां है, वांछित वेक्टर है।

परिणामी समाधान वैक्टर - फॉर्म, जाहिर है, मैट्रिक्स के कॉलम, चूंकि .

निर्धारक के लिए सूत्र

1. यदि मैट्रिक्स निरर्थक है, तो और (प्रमुख तत्वों का उत्पाद)।

चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए यह महत्वपूर्ण है कि मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है या नहीं, हम निम्नलिखित परिभाषाओं का परिचय देते हैं।

परिभाषा 14.9आइए वर्ग मैट्रिक्स को कॉल करें पतितया विशेष मैट्रिक्स, अगर गैर पतितया गैर-एकवचन मैट्रिक्स, अगर ।

ऑफर 14.21 यदि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

प्रमाण. दो आव्यूह दें और आव्यूह का व्युत्क्रम हो। फिर

इसलिये, ।

क्रैमर का नियम.

मान लीजिए मैट्रिक्स समीकरण कुल्हाड़ी = बी

कहाँ ; निर्धारक से प्राप्त निर्धारक है डीप्रतिस्थापन मैंमैट्रिक्स के मुक्त सदस्यों के कॉलम द्वारा -वां कॉलम बी:

प्रमाणप्रमेय को तीन भागों में बांटा गया है:

1. प्रणाली का समाधान (1) मौजूद है और अद्वितीय है।

2. समानताएं (2) मैट्रिक्स समीकरण (1) का परिणाम हैं।

3. समानताएं (2) मैट्रिक्स समीकरण (1) को लागू करती हैं।

चूँकि , एक अद्वितीय व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी मौजूद है।
मैट्रिक्स समीकरण (1) के दोनों भागों को बाईं ओर से गुणा करने पर, हम इस समीकरण का हल प्राप्त करते हैं:

विशिष्टताव्युत्क्रम मैट्रिक्स प्रमेय के पहले भाग को सिद्ध करता है।

आइए प्रमाण पर चलते हैं प्रत्येक से अलग पत्राचारसूत्र (1) और (2) के बीच।

सूत्र (4) का प्रयोग करते हुए, हम के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं मैं-वें तत्व। इसके लिए आपको गुणा करना होगा मैं-मैट्रिक्स की पंक्ति

प्रति कॉलम बी.

मान लीजिये मैं-संबंधित मैट्रिक्स की पंक्ति बीजीय जोड़ से बनी है, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

Cramer के सूत्रों की व्युत्पत्ति पूर्ण हो गई है। आइए अब हम दिखाते हैं कि व्यंजक

आइए परिणामी व्यंजक के दाईं ओर योग के क्रम को बदलें:

डेल्टा क्रोनकर प्रतीक कहाँ है।

यह देखते हुए कि डेल्टा प्रतीक किसी एक सूचकांक पर योग को हटा देता है, हम आवश्यक परिणाम प्राप्त करते हैं:

जटिल आंकड़े: विचार ज्ञात वस्तुओं की सहायता से नई वस्तुओं को परिभाषित करना है। वास्तविक संख्याएँ एक सीधी रेखा पर स्थित होती हैं। विमान से गुजरते समय, हमें सम्मिश्र संख्याएँ प्राप्त होती हैं। परिभाषा: एक सम्मिश्र संख्या वास्तविक संख्याओं का एक युग्म है z = (a,b)। संख्या a = Re z वास्तविक भाग कहलाती है, और b = Im z सम्मिश्र संख्या z का काल्पनिक भाग है।

सम्मिश्र संख्याओं पर संचालन:सम्मिश्र संख्याएँ z1 z2 हैं Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 और Im z1 = Im z2। योग:जेड = जेड 1 + जेड 2। Rez=Rez1+Rez2 और Imz1+ Imz2. संख्या (0,0) को 0 से निरूपित किया जाता है। यह तटस्थ तत्व है। यह सत्यापित किया जाता है कि सम्मिश्र संख्याओं के योग में वास्तविक संख्याओं के योग के समान गुण होते हैं। (1. Z1+ z2 = z2 + z1 - क्रमविनिमेयता; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 - सहबद्धता; 3. Z1 + 0 = z1 - शून्य का अस्तित्व (तटस्थ तत्व); 4. z + (−z) = 0 - विपरीत तत्व का अस्तित्व)। गुणा: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. एक सम्मिश्र संख्या z वास्तविक अक्ष पर स्थित है यदि Imz = 0 है। ऐसी संख्याओं पर संक्रियाओं के परिणाम सामान्य वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं के परिणामों के साथ मेल खाते हैं। सम्मिश्र संख्याओं के गुणन में क्लोजर, कम्यूटेटिविटी और एसोसिएटिविटी के गुण होते हैं। संख्या (1,0) को 1 से दर्शाया जाता है। यह गुणन द्वारा एक तटस्थ तत्व है। यदि a∈ R, z ∈C, तो Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz। परिभाषासंख्या (0,1) को द्वारा निरूपित किया जाता है मैंऔर काल्पनिक इकाई कहलाती है। इस संकेतन में, हम बीजीय रूप में एक जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं: z = a + ib, a,b∈ R। मैं = -1।(ए,बी)=(ए,0)+(0,बी) ;(ए,0)+बी(0,1)=ए+आईबी=जेड; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (ए+आईबी)(1+0i)=ए+आईबी; z(a,b), z(0+i0)=0; जेड! = 0; a 2 + b 2 > 0 (a + ib) (a-ib / a 2 + b 2) = 1. संख्या कहलाती है संयुग्मसे z यदि Re =Re z ; मैं हूँ =- मैं जेड.

= + ; = ; जेड =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2एक संख्या z का मापांक एक वास्तविक संख्या है| जेड |= । फेयर फॉर्मूला| जेड| 2 = z यह परिभाषा से इस प्रकार है कि z 0⇔| जेड | ≠ 0. जेड -1 = /|जेड| 2 (1)

एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप:ए = आरसीओएस (टी); बी = आर पाप (टी)। Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) सम्मिश्र संख्या का t-तर्क। Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2pk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( एक)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

आर(cos(t)-isin(t))

परिभाषा:एकता से घात n का मूल समीकरण z n = 1 प्रस्ताव का हल है। एकता की n विशिष्ट nth जड़ें हैं। उन्हें z = cos(2 k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 के रूप में लिखा जाता है। प्रमेय।सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में, समीकरण के हमेशा n समाधान होते हैं। Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-पूर्णांक। K, Z से संबंधित है। k=2=E 2 =E n-1 E n; ई एन = 1; ई एन + पी = ई पी। इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है कि समीकरण के हल एक नियमित n-gon के शीर्ष हैं, और उनमें से एक शीर्ष 1 के साथ मेल खाता है।

z 0 . का nवां मूल. जेड के \u003d जेड 0; Z0 = 0 => Z = 0; जेड 0! = 0; जेड = आर (कॉस (टी) -इसिन (टी)); Z 0 \u003d r 0 (cos (t0) + isin (t0)); r0!=0; Z n \u003d r n (cos (nt) + isin (nt))

आर एन \u003d आर 0, एनटी-टी 0 \u003d 2pk; आर =; टी = (2пk+t0)/एन; z= (cos((2pk+t0)/n)+isin((2pk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2pk/n)+isin(2pk/n) )=Z 1 ई के; जेड = जेड 1 ई के; जेड 1 एन = जेड 0, के = 0, एन = 1

मैट्रिक्स। परिभाषा:एक एम × एन मैट्रिक्स एक आयताकार तालिका है जिसमें एम पंक्तियां और एन कॉलम होते हैं, जिनके तत्व वास्तविक या जटिल संख्याएं होते हैं। मैट्रिक्स तत्वों में दोहरे सूचकांक होते हैं।

यदि m = n, तो यह m क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है, और समान सूचकांक वाले तत्व मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण बनाते हैं।

मैट्रिक्स संचालन: परिभाषा:दो आव्यूह A,B कहलाते हैं

बराबर यदि उनके आकार समान हैं और A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

योग।समान आकार के मैट्रिक्स माने जाते हैं। परिभाषा:सी = ए + बी ⇔ सी = ए + बी, i, जे प्रस्ताव. मैट्रिक्स जोड़ कम्यूटेटिव, साहचर्य है, एक तटस्थ तत्व है और प्रत्येक मैट्रिक्स के लिए एक विपरीत तत्व है।

तटस्थ तत्व शून्य मैट्रिक्स है, जिसके सभी तत्व 0 के बराबर हैं। इसे द्वारा दर्शाया गया है।

गुणन।एक एम × एन मैट्रिक्स ए को एमएन द्वारा दर्शाया गया है . परिभाषा: सी एमके =ए एमएन बी एनके ó

सी =ध्यान दें कि, सामान्य तौर पर, गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता है। एक निश्चित आकार के वर्ग मैट्रिक्स के लिए बंदता मान्य है। मान लीजिए तीन मैट्रिक्स Amn , Bnk , Ckr दिए गए हैं। तब (एबी) सी = ए (बीसी)। यदि 3 आव्यूहों का गुणनफल मौजूद है, तो वह साहचर्य है।

क्रोनकर प्रतीक ij । यह 1 है यदि सूचकांक मेल खाते हैं, और 0 अन्यथा। परिभाषा। पहचान मैट्रिक्स I n क्रम n का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसके लिए समानताएं n I n [ i | जे] = ij प्रस्ताव।समानताएं मैं एम ए एमएन = ए एमएन मैं एन = ए एमएन

मैट्रिक्स का जोड़ और गुणा वितरण के नियमों से जुड़ा हुआ है। ए (बी + सी) = एबी + एसी; (ए+बी)सी=एसी+बीसी;(ए(बी+सी)= = = +

मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन।एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसे कॉलम के साथ पंक्तियों को बदलकर मूल से प्राप्त किया जाता है।

(ए+बी) टी = ए टी + बी टी

(एबी) टी \u003d बी टी ए टी; (एबी) टी \u003d (एबी) \u003d \u003d (बी टी ए टी)

मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना।संख्या a और मैट्रिक्स A mn के गुणनफल को नया मैट्रिक्स B=aA . कहा जाता है

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

ए (बीसी) = (एबी) सी = बी (एसी); (एबी) ए = ए (बीए) = बी (एए)

रैखिक स्थान(L) क्षेत्र F के ऊपर सदिशों का समुच्चय L=(α,β..) कहलाता है

1.α+β=β+α(commutativity) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(सहयोगिता) 3.α+θ=α, α∙1=α(तटस्थ का अस्तित्व) 4.α+(-α)=θ (विपरीत का अस्तित्व)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. दस्तावेज़ीकरण (|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a और b>0, |a +b|=a+b,|a|=a,|b|=b.) aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

एक रेखीय स्थान का एक उदाहरण निश्चित आकार के मैट्रिक्स का एक सेट है जिसमें एक संख्या से जोड़ और गुणा के संचालन होते हैं।

रैखिक सदिशों के निकाय को कहते हैं रैखिक रूप से आश्रित, यदि 1.a 1,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1,a 2 α 2 ..a n α n =θ यदि निकाय रैखिक रूप से निर्भर नहीं है, तो यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है। 1 पर विचार करें। n=1 α 1 निर्भर करता है। a 1 ≠0, a 1 α 1 =θ, a 1 -1 (a 1 α 1)= a 1 -1∙ =θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1, α 2 निर्भर करते हैं। ए 1 ≠0, ए 1 α 1 + ए 2 α 2 =θ, α 1 = -ए 1 -1 ए 2 α 2 = बी 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n निर्भर करते हैं। a 1 ≠0, α 1 =Σ k =2 n b k α k , 1α 1 - Σ k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0

प्रस्ताव: 1 से अधिक वेक्टर वाले वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है, तो सिस्टम का कुछ वेक्टर दूसरों का एक रैखिक संयोजन होता है।

यदि वैक्टर की एक प्रणाली में एक रैखिक रूप से निर्भर सबसिस्टम होता है, तो पूरी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।दस्तावेज़ीकरण: (α 1 ..α n निर्भर। सिस्टम: α 1 ..α n;α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) यदि सिस्टम में एक नल वेक्टर है, तो यह रैखिक रूप से निर्भर है। रैखिक अंतरिक्ष प्रमेय: (मान लीजिए सदिशों के 2 निकाय α 1 ..α m , β 1 ..β n दिए गए हैं। सदिशों का निकाय α को β के पदों में व्यक्त किया जाता है यदि प्रत्येक सदिश α एक रैखिक संयोजन है β α i = Σ k =1 n एक ik β k , (α ) ( (β), (β) ( (γ)→ (α) ( (γ)) प्रमेय:वैक्टर के 2 सिस्टम दिए गए हैं, α स्वतंत्र है और, (α) ( (β)→m≤n आइए हम साबित करें कि α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ( (β)→(α) ) निर्भर करता है (चलिए प्रेरण द्वारा सिद्ध करते हैं। ए 21 β 1 - ए 21 ए 11 β 1 =θ। α 1 = ए 11 β 1 +.. ए 1 एन -1 β एन -1 .. α एन = ए एन 1 β 1 + .. एक एनएन -1 β n - 1 यदि सभी गुणांक =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ पूरी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 - с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2, c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1, α 3 ′= α 3 -с 3 α 1। α n ′= α n -с n α 1. पूर्व-प्रेरण द्वारा, संख्याओं का एक गैर-शून्य सेट मौजूद होता है d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( (β) , m>n →(α )निर्भर करता है यदि (α) स्वतंत्र →m≤n)

एमएलएनपी-मैक्स.लाइन.इंडिपेंडेंट.सबसिस्टम। मान लीजिए कि कुछ सबसिस्टम के वैक्टर α 1 ..α n का सिस्टम दिया गया है। α i 1 ..α in को MLIS कहा जाता है यदि 1. α 1 ..α n स्वतंत्र2 है। α i 1 ..α ir , α ij निर्भर करता है। सिस्टम का प्रत्येक वेक्टर एमएलएलएम वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है। ( α i 1 ..α ir , α ij आश्रित a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir , a ij ≠0 यदि a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 विरोधाभास a ij 0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

परिणाम: वैक्टर की एक प्रणाली से किसी भी 2 एमएलआईएस में समान संख्या में वैक्टर होते हैं (α i 1 ..α ir) ( (α j 1 ..α jk) , (α j 1 ..α jk) ( (α i 1 . .α ir ) k≤r, r≤k →r=k एमएलएलएम वैक्टर की संख्या कहलाती है पदमूल प्रणाली। एक रैखिक स्थान के मामले में (वैक्टर की एक प्रणाली में अंतरिक्ष में सभी वैक्टर होते हैं), एमएलएलएम एमबी या तो सीमित या अनंत है। हम अंतिम मामले पर विचार करते हैं। वैक्टर की संख्या (रैंक) रैखिक स्थान का आयाम है। एमएलएनपी आधार। निर्देशित खंडों का स्थान।दो असंरेखीय सदिश बनाते हैं आधारविमान पर वैक्टर की जगह में। α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 । 3 वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2। शिकायत - 3 वैक्टर एक ही विमान के समानांतर हैं α 4 = α 4 ′+ α 5 ′ , α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 , α 5 ′= a 3 α 3 , α 4 = a 1 α 1 + ए 2 α 2 + ए 3 α 3। लंबाई n . के तारों का स्थान. α= प्रस्ताव:लंबाई n के तारों के स्थान का आयाम n है। (ξ 1 =<1…0>2 =<0,1…0>.. एन =<0…1>,a 1 1 + a 2 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n = 0 (रैखिक स्वतंत्रता) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →लंबाई n के तारों के स्थान का आयाम और n है।

मैट्रिक्स रैंक।

वैक्टर α और β की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि प्रत्येक वेक्टर

α(β(व्यक्त) और β( α.

प्रस्ताव।समकक्ष प्रणालियों के रैंक मेल खाते हैं।

α i 1, α i 2,…, α ir - MLLM α, β i 1, β i 2,…, β ik - MLLM β, α i 1, α i 2,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

α और β स्थानों की अदला-बदली करना → r>=k >>> इसलिए, r=k।

परिभाषा। मान लीजिए आव्यूह A=

α मैं =

मैट्रिक्स रैंकए को इस मैट्रिक्स से बना वैक्टर α1, α2,…, αm की प्रणाली का रैंक कहा जाता है >> रैंक (ए) -रैंक

परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि जब स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो रैंक नहीं बदलता है। आइए हम दिखाते हैं कि जब स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो रैंक भी नहीं बदलता है।

ए'=

α'i =

रैखिक निर्भर:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α' एम, बी 1 ए 11 +बी 2 ए 21 +…+बी एम एम 1=0

यह किसी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों के गुणनफल और उनके बीजगणितीय पूरक के योग के बराबर होता है, अर्थात। , जहां i 0 नियत है।
व्यंजक (*) को संख्या i 0 वाली पंक्ति के तत्वों के संदर्भ में सारणिक D का अपघटन कहा जाता है।

सेवा असाइनमेंट. यह सेवा वर्ड प्रारूप में संपूर्ण समाधान के निष्पादन के साथ मैट्रिक्स के निर्धारक को ऑनलाइन खोजने के लिए डिज़ाइन की गई है। साथ ही, Excel में एक समाधान टेम्पलेट बनाया जाता है।

निर्देश। मैट्रिक्स के आयाम का चयन करें, अगला क्लिक करें।

मैट्रिक्स आयाम 2 3 4 5 6 7 8 9 10

निर्धारक की गणना करने के दो तरीके हैं: ए-प्राथमिकताऔर पंक्ति या स्तंभ द्वारा अपघटन. यदि आप किसी एक पंक्ति या कॉलम में शून्य बनाकर सारणिक खोजना चाहते हैं, तो आप इस कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

निर्धारक खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. क्रम n=2 के आव्यूह के लिए, सारणिक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: =a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. क्रम n=3 के आव्यूहों के लिए, सारणिक की गणना बीजीय योगों द्वारा की जाती है या सरस विधि.
3. तीन से अधिक आयाम वाले मैट्रिक्स को बीजीय योगों में विघटित किया जाता है, जिसके लिए उनके निर्धारकों (नाबालिगों) की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, चौथा क्रम मैट्रिक्स निर्धारकपंक्तियों या स्तंभों में विस्तार के माध्यम से पाया जाता है (उदाहरण देखें)।

मैट्रिक्स में कार्यों वाले निर्धारक की गणना करने के लिए, मानक विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीसरे क्रम मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:

आइए पहली पंक्ति विस्तार का उपयोग करें।
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

निर्धारकों की गणना के तरीके

बीजीय योगों द्वारा सारणिक ज्ञात करनाएक सामान्य तरीका है। इसका सरलीकृत संस्करण सरस नियम द्वारा निर्धारक की गणना है। हालांकि, बड़े मैट्रिक्स आयाम के साथ, निम्न विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. आदेश में कमी द्वारा निर्धारक की गणना
2. गाऊसी विधि द्वारा निर्धारक की गणना (मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में कम करके)।

एक्सेल में, निर्धारक की गणना करने के लिए, फ़ंक्शन = MOPRED (कोशिकाओं की श्रेणी) का उपयोग किया जाता है।

निर्धारकों का अनुप्रयुक्त उपयोग

एक वर्ग मैट्रिक्स के रूप में दिए गए एक विशिष्ट प्रणाली के लिए, एक नियम के रूप में, निर्धारकों की गणना की जाती है। कुछ प्रकार के कार्यों पर विचार करें मैट्रिक्स निर्धारक ढूँढना. कभी-कभी एक अज्ञात पैरामीटर को खोजने की आवश्यकता होती है जिसके लिए सारणिक शून्य के बराबर होगा। ऐसा करने के लिए, निर्धारक के लिए एक समीकरण तैयार करना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, के अनुसार त्रिभुज नियम) और, इसे 0 के बराबर करते हुए, पैरामीटर a की गणना करें।
कॉलम द्वारा अपघटन (पहले कॉलम द्वारा):
माइनर फॉर (1,1): मैट्रिक्स से पहली पंक्ति और पहला कॉलम हटाएं।
आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6।

आइए नाबालिग को (2,1) के लिए निर्धारित करें: ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स से दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम को हटाते हैं।

आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4। माइनर फॉर (3,1): मैट्रिक्स से तीसरी पंक्ति और पहला कॉलम हटाएं।
आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
मुख्य निर्धारक है: = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

आइए पंक्तियों द्वारा विस्तार (पहली पंक्ति द्वारा) का उपयोग करके निर्धारक को खोजें:
माइनर फॉर (1,1): मैट्रिक्स से पहली पंक्ति और पहला कॉलम हटाएं।

आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6। माइनर फॉर (1,2): मैट्रिक्स से पहली पंक्ति और दूसरा कॉलम हटाएं। आइए हम इस अवयस्क के लिए सारणिक की गणना करें। 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7। और (1,3) के लिए नाबालिग को खोजने के लिए हम मैट्रिक्स से पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम को हटाते हैं। आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। 1.3 = (3 2-1 2) = 4
हम मुख्य निर्धारक पाते हैं: \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों का निकायफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहाँ पे ऐजोऔर बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

अज्ञात के गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाएगा , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1 ,…,बी एमबुलाया मुक्त सदस्य।

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फेसलाइस प्रणाली का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों का वह निकाय जिसका कम से कम एक हल हो, कहलाता है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम

आइए उत्पाद खोजें

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाईं ओर प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एऔर बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स सारणिक शून्य से भिन्न है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। बाईं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . जहां तक ​​कि ए -1 ए = ईऔर इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक, यानी। अज्ञात पर गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

हम तीन और सारणिकों की रचना इस प्रकार करते हैं: हम निर्धारक D में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 स्तंभों को मुक्त पदों के एक स्तंभ से प्रतिस्थापित करते हैं

तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

प्रमाण. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजीय पूरक द्वारा गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और .

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

इसलिये, ।

समानताएं और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत

उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं ए 21 और गुणा करें - ए 11 और फिर 1 समीकरण के साथ जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को . में विभाजित करते हैं ए 31 और गुणा करें - ए 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:

अब, अंतिम समीकरण से, हम युक्त पद को समाप्त करते हैं x2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से x2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने के लिए खुद को सीमित कर लेते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

सेवा प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
2. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में अन्य पंक्तियों को जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

2.यदि │A│=0, तो मैट्रिक्स A पतित है और उलटा मैट्रिक्स A -1 मौजूद नहीं है।

यदि मैट्रिक्स A का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।

3. ए को स्थानांतरित ए टी खोजें।

4. ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के तत्वों के बीजगणितीय पूरक खोजें और उनसे आसन्न मैट्रिक्स की रचना करें। 5. हम सूत्र के अनुसार व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करते हैं: 6. व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना की शुद्धता की जांच करें, इसकी परिभाषा ए -1 ∙ ए = ए ∙ ए -1 = ई के आधार पर।

· №28

· एक mxn मैट्रिक्स में, किसी भी पंक्ति और कॉलम को हटाकर, कोई kth क्रम के वर्ग सबमैट्रिस का चयन कर सकता है, जहां k≤min(m; n)। ऐसे सबमैट्रिसेस के निर्धारकों को मैट्रिक्स A के k-वें कोटि के अवयस्क कहा जाता है।

· मैट्रिक्स A की रैंक इस मैट्रिक्स के गैर-शून्य नाबालिगों का उच्चतम क्रम है।

· एक मैट्रिक्स A की रैंक को रंग A या r(A) द्वारा दर्शाया जाता है।

· परिभाषा से इस प्रकार है:

· 1) आकार के मैट्रिक्स की रैंक m x n इसके सबसे छोटे आकार से अधिक नहीं है, अर्थात। आर (ए) मिनट (एम; एन)।

· 2) r(A)=0 यदि और केवल तभी जब आव्यूह के सभी अवयव शून्य के बराबर हों, अर्थात। ए = 0।

· 3) nवें कोटि के वर्ग आव्यूह के लिए, r(A) = n यदि और केवल यदि आव्यूह A एकवचन है।

· सामान्य स्थिति में, सभी अवयस्कों की गणना द्वारा मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना काफी श्रमसाध्य है। इस कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है जो मैट्रिक्स के रैंक को बनाए रखते हैं:

· 1) शून्य पंक्ति (स्तंभ) की अस्वीकृति।

· 2) एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

· 3) मैट्रिक्स की पंक्तियों (कॉलम) के क्रम को बदलना।

· 4) एक पंक्ति (स्तंभ) के प्रत्येक तत्व में दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों को किसी भी संख्या से गुणा करने पर जोड़ना।

· 5) मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन।

· प्रमेय। मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों के तहत मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलेगी।

№31

— मान लें कि निकाय में समीकरणों की संख्या (1) चरों की संख्या के बराबर है, अर्थात्। एम = एन। तब निकाय का आव्यूह वर्गाकार होता है, और इसके सारणिक =│А│ को निकाय का निर्धारक कहा जाता है।

— मान लीजिए कि │А│ शून्य के बराबर नहीं है, तो एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 है।

— मैट्रिक्स समानता के दोनों हिस्सों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 से गुणा करने पर हमें मिलता है:

— ए -1 (एएक्स) \u003d ए -1 बी।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली का समाधान कॉलम मैट्रिक्स होगा:

एक्स \u003d ए -1 बी।

(ए -1 ए) एक्स \u003d पूर्व \u003d एक्स

— क्रैमर का प्रमेय। मान लीजिए Δ सिस्टम A के मैट्रिक्स का निर्धारक है, और Δ j मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक हो, jth कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम से बदल देता है। फिर यदि शून्य के बराबर नहीं है, तो सिस्टम के पास क्रैमर फ़ार्मुलों द्वारा परिभाषित एक अनूठा समाधान है:

जहां j=1..n.

№33

—
गॉस विधि - चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि - इस तथ्य में शामिल है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, समीकरणों की प्रणाली को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय प्रकार के समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है।

— मैट्रिक्स पर विचार करें:

— इस मैट्रिक्स को सिस्टम (1) का विस्तारित मैट्रिक्स कहा जाता है, क्योंकि सिस्टम ए के मैट्रिक्स के अलावा, इसमें अतिरिक्त रूप से मुक्त सदस्यों का एक कॉलम शामिल होता है।

№26

— एक एन-आयामी वेक्टर n वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध सेट है जिसे X=(x 1,x 2,...x n) लिखा जाता है, जहां x i वेक्टर X का i-th घटक है।

— दो n-विमीय सदिश समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित घटक समान हों, अर्थात्। एक्स = वाई अगर एक्स मैं = वाई मैं , मैं = 1… एन।

वास्तविक घटकों वाले सदिशों का समुच्चय, जिसमें सदिशों को जोड़ने और एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने की संक्रियाएँ जो उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करती हैं, परिभाषित की जाती हैं, सदिश समष्टि कहलाती हैं।

— एक सदिश समष्टि R को n-विमीय कहा जाता है यदि इसमें n रैखिकतः स्वतंत्र सदिश हों और कोई भी n + 1 सदिश पहले से ही आश्रित हों। संख्या n को सदिश समष्टि R का आयाम कहा जाता है और इसे dim(R) दर्शाया जाता है।

№29

रैखिक ऑपरेटरों

— परिभाषा। यदि एक नियम (नियम) दिया गया है, जिसके अनुसार अंतरिक्ष का प्रत्येक सदिश x अंतरिक्ष के एक सदिश y से जुड़ा है

तब वे कहते हैं: कि संचालिका (रूपांतरण, मानचित्रण) A(x) दिया गया है, से अभिनय कर रहा है और

वाई = ए (एक्स) लिखें।

— एक संकारक को रैखिक कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के किसी सदिश x और y के लिए

और कोई भी संख्या , निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:

№37

— चलो А तत्वों की एक सीमित संख्या से मिलकर एक सेट बनें a 1, a 2 , a 3 …a n । समुच्चय A के विभिन्न तत्वों से समूह बनाए जा सकते हैं। यदि प्रत्येक समूह में समान संख्या में तत्व m (n में से m) हों, तो वे n तत्वों के यौगिक बनाते हैं जिनमें प्रत्येक m होता है। तीन प्रकार के कनेक्शन हैं: प्लेसमेंट, संयोजन और क्रमपरिवर्तन।

— सम्बन्ध,जिनमें से प्रत्येक में समुच्चय A के सभी n तत्व शामिल हैं और इसलिए, केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, n तत्वों के क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं। ऐसे क्रमपरिवर्तनों की संख्या को प्रतीक n द्वारा निरूपित किया जाता है।

№35

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा घटनाओं की समसंभाव्यता की अवधारणा पर आधारित है।

घटनाओं की तुल्यता का अर्थ है कि उनमें से किसी एक को दूसरों पर तरजीह देने का कोई कारण नहीं है।

आइए एक परीक्षण पर विचार करें, जिसके परिणामस्वरूप घटना ए हो सकती है। प्रत्येक परिणाम, जिसमें घटना ए होती है, को अनुकूल घटना ए कहा जाता है।

किसी घटना A की प्रायिकता (P(A) द्वारा निरूपित) घटना A (k द्वारा निरूपित) के अनुकूल परिणामों की संख्या और सभी परीक्षण परिणामों की संख्या का अनुपात है - N अर्थात। पी (ए) = के / एन।

— निम्नलिखित गुण प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

— किसी भी घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है।

— एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर होती है।

— असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है

№39, 40

— जोड़ प्रमेय। यदि A और B असंगत हैं, तो P(A + B) = P(A) + P(B)