10 वीं कक्षा के छात्र यूरी कोटोविचिन

छात्र 6 वीं कक्षा से पहले से ही मॉड्यूल के साथ समीकरणों का अध्ययन करना शुरू करते हैं, वे सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों की स्थिरता के अंतराल पर मॉड्यूल के विस्तार का उपयोग करके हल करने की मानक विधि का अध्ययन करते हैं। मैंने इस विशेष विषय को चुना क्योंकि मुझे लगता है कि इसके लिए गहन और अधिक गहन अध्ययन की आवश्यकता है, मॉड्यूल वाले कार्य छात्रों के लिए बहुत मुश्किलें पैदा करते हैं। स्कूल के पाठ्यक्रम में ऐसे कार्य होते हैं जिनमें एक मॉड्यूल होता है जो बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों के रूप में होता है और परीक्षा में, इसलिए हमें ऐसे कार्य को पूरा करने के लिए तैयार रहना चाहिए।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

नगरपालिका शिक्षण संस्थान

माध्यमिक विद्यालय №5

विषय पर शोध कार्य:

« एक मापांक युक्त समीकरणों और असमानताओं का बीजगणितीय और ग्राफिकल समाधान»

मैंने काम कर लिया है:

10वीं कक्षा का छात्र

कोटोवचिखिन यूरी

सुपरवाइज़र:

गणित शिक्षक

शांता एन.पी.

उरीपिंस्क

1. परिचय …………………………………………… .3

2. संकल्पनाएं और परिभाषाएं………………………………………5

3. प्रमेय का प्रमाण ………………………………………… 6

4. मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करने के तरीके ……………… 7

12

4.2.समीकरणों को हल करने के लिए मॉड्यूल की ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करना........................................................................14

4.3 पूर्ण मान के चिह्न वाले सरलतम कार्यों के रेखांकन।

………………………………………………………………………15

4.4 मॉड्यूल वाले अमानक समीकरणों का हल .... 16

5.निष्कर्ष……………………………………………………17

6. प्रयुक्त साहित्य की सूची………………………………………………………………………………18

कार्य का उद्देश्य: छात्र 6 वीं कक्षा से पहले से ही मॉड्यूल के साथ समीकरणों का अध्ययन करना शुरू करते हैं, वे सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों की निरंतरता के अंतराल पर मॉड्यूल के विस्तार का उपयोग करके हल करने की मानक विधि का अध्ययन करते हैं। मैंने इस विशेष विषय को चुना क्योंकि मुझे लगता है कि इसके लिए गहन और अधिक गहन अध्ययन की आवश्यकता है, मॉड्यूल वाले कार्य छात्रों के लिए बहुत मुश्किलें पैदा करते हैं। स्कूल के पाठ्यक्रम में ऐसे कार्य होते हैं जिनमें एक मॉड्यूल होता है जो बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों के रूप में होता है और परीक्षा में, इसलिए हमें ऐसे कार्य को पूरा करने के लिए तैयार रहना चाहिए।

1 परिचय:

शब्द "मॉड्यूल" लैटिन शब्द "मॉड्यूलस" से आया है, जिसका अर्थ है "माप"। यह एक बहु-मूल्यवान शब्द (समनाम) है जिसके कई अर्थ हैं और इसका उपयोग न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला, भौतिकी, इंजीनियरिंग, प्रोग्रामिंग और अन्य सटीक विज्ञानों में भी किया जाता है।

आर्किटेक्चर में, यह किसी दिए गए आर्किटेक्चरल स्ट्रक्चर के लिए स्थापित माप की प्रारंभिक इकाई है और इसके घटक तत्वों के कई अनुपातों को व्यक्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

इंजीनियरिंग में, यह प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाने वाला एक शब्द है जिसका कोई सार्वभौमिक अर्थ नहीं है और विभिन्न गुणांक और मात्राओं को निरूपित करने के लिए कार्य करता है, उदाहरण के लिए, सगाई मापांक, लोच का मापांक, आदि।

थोक मापांक (भौतिकी में) बढ़ाव के लिए एक सामग्री में सामान्य तनाव का अनुपात है।

2. अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

एक वास्तविक संख्या A का मॉड्यूल - निरपेक्ष मान - |A| द्वारा निरूपित किया जाता है।

इस विषय का गहराई से अध्ययन करने के लिए, आपको सबसे सरल परिभाषाओं से परिचित होने की आवश्यकता है जिनकी मुझे आवश्यकता होगी:

एक समीकरण एक समानता है जिसमें चर होते हैं।

मापांक के साथ एक समीकरण एक समीकरण है जिसमें निरपेक्ष मान चिह्न (मापांक चिह्न के अंतर्गत) के अंतर्गत एक चर होता है।

किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना, या यह सिद्ध करना कि कोई मूल नहीं है।

3. प्रमेयों का प्रमाण

प्रमेय 1। एक वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान दो संख्याओं में से एक या -a के बराबर होता है।

सबूत

1. यदि संख्या a धनात्मक है, तो -a ऋणात्मक है, अर्थात -a

उदाहरण के लिए, संख्या 5 धनात्मक है, तो -5 ऋणात्मक है और -5 है

इस मामले में |ए| = ए, यानी |ए| दो संख्याओं में से बड़ी संख्या a और - a से मेल खाता है।

2. यदि a ऋणात्मक है, तो -a धनात्मक है और a

परिणाम। यह प्रमेय से निकलता है कि |-ए| = |ए|.

दरअसल, दोनों तथा बड़ी संख्या के बराबर हैं -ए और ए, और इसलिए एक दूसरे के बराबर हैं।

प्रमेय 2। किसी भी वास्तविक संख्या का पूर्ण मान A के अंकगणितीय वर्गमूल के बराबर होता है 2 .

वास्तव में, यदि तब, किसी संख्या के मापांक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास lAl>0 होगा दूसरी ओर, A>0 के लिए, तब |a| = √ए 2

यदि एक 2

यह प्रमेय |a| को प्रतिस्थापित करना संभव बनाता है पर

ज्यामितीय रूप से |ए| का अर्थ है समन्वय रेखा पर उस बिंदु से दूरी जो संख्या a को मूल बिंदु तक दर्शाती है।

यदि तब समन्वय रेखा पर शून्य से समान दूरी पर दो बिंदु a और -a होते हैं, जिनके मॉड्यूल समान होते हैं।

यदि a = 0, तो निर्देशांक रेखा |a| पर बिंदु 0 द्वारा दर्शाया गया

4. मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करने के तरीके।

निरपेक्ष मान के चिह्न वाले समीकरणों को हल करने के लिए, हम संख्या के मापांक की परिभाषा और संख्या के निरपेक्ष मान के गुणों पर आधारित होंगे। हम कई उदाहरणों को अलग-अलग तरीकों से हल करेंगे और देखेंगे कि मापांक वाले समीकरणों को हल करने का कौन सा तरीका आसान है।

उदाहरण 1. हम विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से समीकरण |x + 2| को हल करते हैं = 1।

फैसला

विश्लेषणात्मक समाधान

पहला तरीका

हम एक मॉड्यूल की परिभाषा के आधार पर तर्क करेंगे। यदि मापांक के तहत अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक है, अर्थात x + 2 ≥0 , तो यह मापांक चिन्ह को एक प्लस चिह्न के साथ "छोड़ देगा" और समीकरण रूप लेगा: x + 2 = 1. यदि मान मापांक चिह्न के अंतर्गत व्यंजक ऋणात्मक हैं, तो, परिभाषा के अनुसार, यह इसके बराबर होगा: या x + 2=-1

इस प्रकार, हमें या तो x + 2 = 1, या x + 2 = -1 प्राप्त होता है। परिणामी समीकरणों को हल करते हुए, हम पाते हैं: X + 2 \u003d 1 या X + 2 + -1

एक्स = -1 एक्स = 3

उत्तर:-3;-1.

अब हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि किसी व्यंजक का मापांक वास्तविक धनात्मक संख्या a के बराबर है, तो मापांक के अंतर्गत अभिव्यक्ति या तो a या -a है।

ग्राफिक समाधान

मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करने का एक तरीका ग्राफिकल विधि है। इस पद्धति का सार इन कार्यों के रेखांकन का निर्माण करना है। यदि ग्राफ़ प्रतिच्छेद करते हैं, तो इन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। यदि ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है। मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करने के लिए इस पद्धति का उपयोग शायद दूसरों की तुलना में कम बार किया जाता है, क्योंकि, सबसे पहले, इसमें बहुत समय लगता है और यह हमेशा तर्कसंगत नहीं होता है, और दूसरी बात, ग्राफ़ प्लॉट करते समय प्राप्त परिणाम हमेशा सटीक नहीं होते हैं।

मापांक वाले समीकरणों को हल करने का दूसरा तरीका संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करना है। इस मामले में, हमें संख्या रेखा को विभाजित करने की आवश्यकता है ताकि, मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, इन अंतरालों पर निरपेक्ष मान के चिह्न को हटाया जा सके। फिर, प्रत्येक अंतराल के लिए, हमें इस समीकरण को हल करना होगा और परिणामी जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना होगा (चाहे वे हमारे अंतर को संतुष्ट करें या नहीं)। अंतराल को संतुष्ट करने वाली जड़ें अंतिम उत्तर देंगी।

दूसरा तरीका

आइए स्थापित करें, एक्स के किन मूल्यों पर मापांक शून्य के बराबर है: |X+2|=0 , X=2

हमें दो अंतराल मिलते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर हम समीकरण को हल करते हैं:

हमें दो मिश्रित प्रणालियाँ मिलती हैं:

(1) एक्स + 2 0

X-2=1 X+2=1

आइए प्रत्येक प्रणाली को हल करें:

एक्स = -3 एक्स = -1

उत्तर:-3;-1.

ग्राफिक समाधान

y= |X+2|, y= 1।

ग्राफिक समाधान

समीकरण को आलेखीय रूप से हल करने के लिए, कार्यों को प्लॉट करना आवश्यक है और

एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए, हम एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करेंगे - यह एक ऐसा फ़ंक्शन है जो OX अक्ष और OY अक्ष को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज समीकरण का समाधान देंगे।

फ़ंक्शन y=1 का प्रत्यक्ष ग्राफ़, फ़ंक्शन y=|x + 2| के ग्राफ़ के साथ प्रतिच्छेद करता है निर्देशांक (-3; 1) और (-1; 1) वाले बिंदुओं पर, इसलिए, समीकरण का समाधान बिंदुओं का भुज होगा:

एक्स=-3, एक्स=-1

उत्तर:-3;-1

उदाहरण 2. समीकरण 1 + |x| को विश्लेषणात्मक और आलेखीय रूप से हल करें = 0.5।

फैसला:

विश्लेषणात्मक समाधान

चलिए इस समीकरण को बदलते हैं: 1 + |x| = 0.5

|एक्स| =0.5-1

|x|=-0.5

यह स्पष्ट है कि इस मामले में समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, मापांक हमेशा गैर-नकारात्मक होता है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

ग्राफिक समाधान

चलिए समीकरण को बदलते हैं: 1 + |x| = 0.5

|एक्स| =0.5-1

|x|=-0.5

फ़ंक्शन का ग्राफ़ किरणें हैं - पहले और दूसरे समन्वय कोणों के द्विभाजक। फ़ंक्शन का ग्राफ़ OX अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है और OY अक्ष पर बिंदु -0.5 से गुज़रता है।

ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, इसलिए समीकरण का कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं।

उदाहरण 3. समीकरण |-x + 2| को विश्लेषणात्मक और आलेखीय रूप से हल करें = 2x + 1।

फैसला:

विश्लेषणात्मक समाधान

पहला तरीका

पहले आपको चर के लिए मान्य मानों की श्रेणी निर्धारित करने की आवश्यकता है। एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है कि पिछले उदाहरणों में ऐसा करने की आवश्यकता क्यों नहीं थी, लेकिन अब यह उत्पन्न हो गया है।

तथ्य यह है कि इस उदाहरण में, समीकरण के बाईं ओर, कुछ अभिव्यक्ति का मापांक, और दाईं ओर एक संख्या नहीं है, लेकिन एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति है - यह महत्वपूर्ण परिस्थिति है जो इस उदाहरण को इस उदाहरण से अलग करती है पिछले वाले।

चूंकि बाईं ओर एक मॉड्यूल है, और दाईं ओर, एक अभिव्यक्ति जिसमें एक चर है, यह आवश्यक है कि यह अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक हो, अर्थात, इस प्रकार, मान्य की सीमा

मॉड्यूल मान

अब हम उसी तरह तर्क कर सकते हैं जैसे उदाहरण 1 में, जब समिका के दाईं ओर एक धनात्मक संख्या थी। हमें दो मिश्रित प्रणालियाँ मिलती हैं:

(1) -X+2≥0 और (2) -X+2

एक्स+2=2एक्स+1; X-2=2X+1

आइए प्रत्येक प्रणाली को हल करें:

(1) अंतराल में प्रवेश करता है और समीकरण का मूल है।

एक्स≤2

एक्स = ⅓

(2) एक्स> 2

एक्स = -3

X = -3 अंतराल में शामिल नहीं है और समीकरण का मूल नहीं है।

उत्तर: ⅓.

4.1 संख्या ए और बी, उनके मॉड्यूल और इन नंबरों के वर्गों के बीच निर्भरता का उपयोग करके समाधान।

मेरे द्वारा ऊपर दिए गए तरीकों के अलावा, संख्याओं और दी गई संख्याओं के मॉड्यूल के साथ-साथ दिए गए नंबरों के वर्ग और मॉड्यूल के बीच एक निश्चित समानता है:

|ए|=|बी| ए = बी या ए = -बी

A2=b2 a=b या a=-b

इससे, बदले में, हमें वह मिलता है

|ए|=|बी| ए 2 = बी 2

उदाहरण 4. चलिए समीकरण |x + 1|=|2x - 5| को हल करते हैं दो अलग-अलग तरीकों से।

1. संबंध (1) पर विचार करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स + 1=2x - 5 या एक्स + 1=-2x + 5

एक्स - 2x=-5 - 1 एक्स + 2x=5 - 1

एक्स=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

पहले समीकरण का मूल x=6 है, दूसरे समीकरण का मूल x=11/3 है

इस प्रकार, मूल समीकरण x की जड़ें 1=6, x2=11/3

2. संबंध (2) के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

(x + 1)2=(2x - 5)2, या x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==> समीकरण के 2 भिन्न मूल हैं।

एक्स 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

एक्स 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

जैसा कि समाधान दिखाता है, इस समीकरण की जड़ें भी संख्याएँ 11/3 और 6 हैं

उत्तर: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

उदाहरण 5. समीकरण (2x + 3) को हल कीजिए। 2 =(एक्स - 1) 2 .

संबंध (2) को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं कि |2x + 3|=|x - 1|, जहां से पिछले उदाहरण के मॉडल के अनुसार (और संबंध (1) के अनुसार):

2x + 3=x - 1 या 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

एक्स=-4 एक्स=-0,(6)

अत: समीकरण के मूल हैं x1=-4, और x2=-0,(6)

उत्तर: X1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

उदाहरण 6. चलिए समीकरण को हल करते हैं |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

अनुपात का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 या x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

डी=36 - 4 15=36 - 60= -24 डी=16 - 4 3=4 >0==>2 आर.सी.

==> कोई जड़ नहीं है।

एक्स 1 \u003d (4- 2) / 2 \u003d 1

एक्स 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

जाँच करें: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(और)

उत्तर: x 1 =1; x2=3

4.2. समीकरणों को हल करने के लिए मापांक की ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करना।

परिमाण अंतर मापांक का ज्यामितीय अर्थ उनके बीच की दूरी है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति का ज्यामितीय अर्थ |x - a | - बिंदुओं को जोड़ने वाले समन्वय अक्ष के खंड की लंबाई a और x के साथ। एक बीजगणितीय समस्या का एक ज्यामितीय भाषा में अनुवाद अक्सर बोझिल समाधानों से बचना संभव बनाता है।

उदाहरण 7. आइए समीकरण को हल करें |x - 1| + |x - 2|=1 मापांक की ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करना।

हम निम्नानुसार तर्क देंगे: मापांक की ज्यामितीय व्याख्या के आधार पर, समीकरण का बायाँ भाग भुज x के किसी बिंदु से दूरी का योग है, जिसमें भुज 1 और 2 के साथ दो निश्चित बिंदु हैं। तब यह स्पष्ट है कि सभी खंड के भुज वाले बिंदुओं में आवश्यक संपत्ति होती है, और इस खंड के बाहर स्थित बिंदु - नहीं। इसलिए उत्तर: समीकरण के समाधान का सेट खंड है।

उत्तर:

उदाहरण 8। आइए समीकरण को हल करें |x - 1| - |x - 2|=1 1 मापांक की ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करके।

हम पिछले उदाहरण के समान तर्क देंगे, और हम पाएंगे कि भुज 1 और 2 के साथ बिंदुओं की दूरी में अंतर केवल 2 के दाईं ओर समन्वय अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए एक के बराबर है। इसलिए, समाधान यह समीकरण बिंदु 1 और 2 के बीच का खंड नहीं होगा, और बिंदु 2 से निकलने वाली किरण और OX अक्ष की सकारात्मक दिशा में निर्देशित होगी।

उत्तर: )