तो यह एन्हार्मोनिक सख्ती से आवधिक दोलनों के साथ है (और लगभग - एक सफलता या किसी अन्य के साथ - और गैर-आवधिक दोलन, कम से कम आवधिकता के करीब)।
जब भिगोना के साथ एक हार्मोनिक थरथरानवाला के दोलनों की बात आती है, तो अवधि को इसके दोलन घटक (भिगोना को अनदेखा करना) की अवधि के रूप में समझा जाता है, जो शून्य के माध्यम से दोलन मात्रा के निकटतम मार्ग के बीच के समय अंतराल के दोगुने के साथ मेल खाता है। सिद्धांत रूप में, इस परिभाषा को कम या ज्यादा सटीक और उपयोगी रूप से कुछ सामान्यीकरण में अन्य गुणों के साथ भीगने वाले दोलनों तक बढ़ाया जा सकता है।
पदनाम:दोलन की अवधि के लिए सामान्य मानक संकेतन है: टी (\ डिस्प्लेस्टाइल टी)(हालांकि अन्य आवेदन कर सकते हैं, सबसे आम है (\displaystyle \tau ), कभी-कभी (\displaystyle \थीटा )आदि।)।
टी = 1 , ν = 1 टी। (\displaystyle T=(\frac (1)(\nu )),\ \ \ \nu =(\frac (1)(T)).)तरंग प्रक्रियाओं के लिए, अवधि भी स्पष्ट रूप से तरंग दैर्ध्य से संबंधित होती है (\displaystyle \लैम्ब्डा )
v = λ , T = λ v , (\displaystyle v=\lambda \nu ,\ \ \ T=(\frac (\lambda )(v)),)कहाँ पे वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी)- तरंग प्रसार वेग (अधिक सटीक, चरण-वेग)।
क्वांटम भौतिकी मेंदोलन की अवधि सीधे ऊर्जा से संबंधित होती है (क्योंकि क्वांटम भौतिकी में, किसी वस्तु की ऊर्जा - उदाहरण के लिए, एक कण - अपने तरंग कार्य के दोलन की आवृत्ति होती है)।
सैद्धांतिक खोजएक विशेष भौतिक प्रणाली की दोलन अवधि, एक नियम के रूप में, इस प्रणाली का वर्णन करने वाले गतिशील समीकरणों (समीकरण) का समाधान खोजने के लिए कम हो जाती है। रैखिक प्रणालियों की श्रेणी के लिए (और लगभग एक रैखिक सन्निकटन में रैखिक प्रणालियों के लिए, जो अक्सर बहुत अच्छा होता है), मानक अपेक्षाकृत सरल गणितीय तरीके हैं जो इसे करने की अनुमति देते हैं (यदि भौतिक समीकरण स्वयं जो सिस्टम का वर्णन करते हैं, ज्ञात हैं) .
प्रयोगात्मक निर्धारण के लिएअवधि, घड़ियां, स्टॉपवॉच, आवृत्ति मीटर, स्ट्रोबोस्कोप, स्ट्रोब टैकोमीटर, ऑसिलोस्कोप का उपयोग किया जाता है। बीट्स का भी उपयोग किया जाता है, विभिन्न रूपों में हेटेरोडाइनिंग की विधि, अनुनाद के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। तरंगों के लिए, आप अप्रत्यक्ष रूप से अवधि को माप सकते हैं - तरंग दैर्ध्य के माध्यम से, जिसके लिए इंटरफेरोमीटर, विवर्तन झंझरी आदि का उपयोग किया जाता है। कभी-कभी परिष्कृत तरीकों की भी आवश्यकता होती है, विशेष रूप से एक विशिष्ट कठिन मामले के लिए विकसित (कठिनाई समय की माप दोनों हो सकती है, खासकर जब यह बहुत कम या इसके विपरीत बहुत लंबे समय की बात आती है, और उतार-चढ़ाव वाली मात्रा को देखने की कठिनाई)।
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विभिन्न भौतिक प्रक्रियाओं के दोलनों की अवधि के बारे में एक विचार लेख आवृत्ति अंतराल में दिया गया है (यह देखते हुए कि सेकंड में अवधि हर्ट्ज में आवृत्ति का पारस्परिक है)।
विभिन्न भौतिक प्रक्रियाओं की अवधियों के मूल्यों का कुछ विचार विद्युत चुम्बकीय दोलनों के आवृत्ति पैमाने द्वारा भी दिया जा सकता है (देखें विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम)।
किसी व्यक्ति को सुनाई देने वाली ध्वनि के दोलन की अवधि सीमा में होती है
5 10 −5 से 0.2 . तक
(इसकी स्पष्ट सीमाएँ कुछ हद तक मनमानी हैं)।
दृश्य प्रकाश के विभिन्न रंगों के अनुरूप विद्युत चुम्बकीय दोलनों की अवधि - सीमा में
1.1 10 −15 से 2.3 10 −15 तक।
चूंकि, अत्यंत बड़ी और अत्यंत छोटी दोलन अवधि के लिए, माप के तरीके अधिक से अधिक अप्रत्यक्ष हो जाते हैं (सैद्धांतिक एक्सट्रपलेशन में एक सहज प्रवाह तक), प्रत्यक्ष रूप से मापी गई दोलन अवधि के लिए एक स्पष्ट ऊपरी और निचली सीमा का नाम देना मुश्किल है। ऊपरी सीमा के लिए कुछ अनुमान आधुनिक विज्ञान (सैकड़ों वर्ष) के अस्तित्व के समय से दिया जा सकता है, और निचले एक के लिए - अब तक ज्ञात सबसे भारी कण के तरंग कार्य की दोलन अवधि ()।
फिर भी निचली सीमाप्लैंक समय के रूप में कार्य कर सकता है, जो इतना छोटा है कि, आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, यह न केवल किसी भी तरह से भौतिक रूप से मापा जा सकता है, बल्कि यह संभावना नहीं है कि कम या ज्यादा निकट भविष्य में यह होगा परिमाण के और भी बड़े क्रमों के मापन तक पहुंचना संभव है, और ऊपरी सीमा- ब्रह्मांड के अस्तित्व का समय - दस अरब से अधिक वर्ष।
सरलतम भौतिक प्रणालियों के दोलनों की अवधि
स्प्रिंग पेंडुलम
गणितीय पेंडुलम
T = 2 l g (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (l)(g))))
कहाँ पे एल (\ डिस्प्लेस्टाइल एल)- निलंबन की लंबाई (उदाहरण के लिए, धागे), जी (\ डिस्प्लेस्टाइल जी)- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण।
1 मीटर लंबे गणितीय लोलक के छोटे दोलनों (पृथ्वी पर) की अवधि अच्छी सटीकता के साथ 2 सेकंड के बराबर होती है।
भौतिक लोलक
T = 2 J m g l (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (J)(mgl))))
कहाँ पे जे (\ डिस्प्लेस्टाइल जे)- रोटेशन की धुरी के बारे में पेंडुलम की जड़ता का क्षण, एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम) -
हमारे चारों ओर की दोलन प्रक्रियाओं की विविधता इतनी महत्वपूर्ण है कि आप बस आश्चर्य करते हैं - क्या ऐसा कुछ है जो दोलन नहीं करता है? यह संभावना नहीं है, क्योंकि एक पूरी तरह से गतिहीन वस्तु, एक पत्थर जो हजारों वर्षों से गतिहीन है, अभी भी दोलन प्रक्रियाएं करता है - यह समय-समय पर दिन के दौरान गर्म होता है, बढ़ता है, और रात में ठंडा होता है और आकार में घट जाता है। और निकटतम उदाहरण - पेड़ और शाखाएँ - जीवन भर अथक रूप से चलते रहते हैं। लेकिन वह पत्थर है, पेड़ है। और अगर 100 मंजिला इमारत हवा के दबाव से उसी तरह से उतार-चढ़ाव करती है? उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि शीर्ष 5-12 मीटर आगे और पीछे विचलित होता है, 500 मीटर ऊंचा एक पेंडुलम क्यों नहीं और तापमान परिवर्तन से ऐसी संरचना आकार में कितनी वृद्धि करती है? मशीन निकायों और तंत्र के कंपन को भी यहां शामिल किया जा सकता है। जरा सोचिए, जिस विमान में आप उड़ रहे हैं, वह लगातार दोलन कर रहा है। उड़ान के बारे में सोच रहे हो? यह इसके लायक नहीं है, क्योंकि उतार-चढ़ाव हमारे आस-पास की दुनिया का सार है, आप उनसे छुटकारा नहीं पा सकते हैं - उन्हें केवल ध्यान में रखा जा सकता है और "इसके लिए" लागू किया जा सकता है।
हमेशा की तरह, ज्ञान के सबसे जटिल क्षेत्रों (और वे सरल नहीं हैं) का अध्ययन सबसे सरल मॉडल के साथ एक परिचित के साथ शुरू होता है। और एक पेंडुलम की तुलना में दोलन प्रक्रिया का कोई सरल और अधिक समझने योग्य मॉडल नहीं है। यह यहाँ है, भौतिकी कक्षा में, हम पहली बार ऐसा रहस्यमय वाक्यांश सुनते हैं - "गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि"। लोलक एक धागा और एक भार है। और यह विशेष पेंडुलम क्या है - गणितीय? और सब कुछ बहुत सरल है, इस पेंडुलम के लिए यह माना जाता है कि इसके धागे का कोई वजन नहीं है, अविभाज्य है, लेकिन आदि के प्रभाव में दोलन करता है। प्रयोग में शामिल सभी प्रतिभागी। उसी समय, प्रक्रिया पर उनमें से कुछ का प्रभाव नगण्य है। उदाहरण के लिए, यह एक स्पष्ट प्राथमिकता है कि कुछ शर्तों के तहत पेंडुलम धागे के वजन और लोच का गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि पर ध्यान देने योग्य प्रभाव नहीं पड़ता है, क्योंकि वे नगण्य हैं, इसलिए उनके प्रभाव को विचार से बाहर रखा गया है।
एक पेंडुलम की परिभाषा, शायद सबसे सरल ज्ञात, इस प्रकार है: अवधि वह समय है जिसके दौरान एक पूर्ण दोलन होता है। आइए भार की गति के चरम बिंदुओं में से एक पर एक निशान बनाएं। अब, हर बार जब बिंदु बंद होता है, हम पूर्ण दोलनों की संख्या और समय की गणना करते हैं, मान लीजिए, 100 दोलन। एक अवधि की अवधि निर्धारित करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। आइए हम निम्नलिखित स्थितियों में एक तल में दोलन करने वाले लोलक के लिए यह प्रयोग करें:
विभिन्न प्रारंभिक आयाम;
कार्गो का अलग वजन।
हमें एक परिणाम मिलेगा जो पहली नज़र में आश्चर्यजनक है: सभी मामलों में, गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि अपरिवर्तित रहती है। दूसरे शब्दों में, किसी भौतिक बिंदु का प्रारंभिक आयाम और द्रव्यमान अवधि की अवधि को प्रभावित नहीं करता है। आगे की प्रस्तुति के लिए केवल एक ही असुविधा है - क्योंकि। आंदोलन के दौरान लोड की ऊंचाई बदल जाती है, फिर प्रक्षेपवक्र के साथ पुनर्स्थापना बल परिवर्तनशील होता है, जो गणना के लिए असुविधाजनक होता है। चलो थोड़ा धोखा दें - पेंडुलम को अनुप्रस्थ दिशा में भी घुमाएं - यह एक शंकु के आकार की सतह का वर्णन करना शुरू कर देगा, इसके घूर्णन की अवधि टी वही रहेगी, गति वी एक स्थिर है जिसके साथ लोड एस = 2πr चलता है , और प्रत्यावर्तन बल त्रिज्या के अनुदिश निर्देशित होता है।
फिर हम गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि की गणना करते हैं:
टी \u003d एस / वी \u003d 2πr / वी
यदि धागे की लंबाई l लोड के आयामों (कम से कम 15-20 गुना) से बहुत बड़ी है, और धागे के झुकाव का कोण छोटा (छोटे आयाम) है, तो हम मान सकते हैं कि पुनर्स्थापना बल P है अभिकेन्द्र बल F के बराबर:
पी \u003d एफ \u003d एम * वी * वी / आरदूसरी ओर, पुनर्स्थापना बल और भार का क्षण बराबर होता है, और फिर
P * l = r *(m*g), जहाँ से हम प्राप्त करते हैं, यह देखते हुए कि P = F, निम्नलिखित समानता है: r * m * g/l = m*v*v/r
लोलक की गति ज्ञात करना कठिन नहीं है: v = r*√g/l।
और अब हम अवधि के लिए पहली अभिव्यक्ति को याद करते हैं और गति के मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:
Т=2πr/ r*√g/l
तुच्छ परिवर्तनों के बाद, गणितीय पेंडुलम के अंतिम रूप में दोलन अवधि का सूत्र इस तरह दिखता है:
टी \u003d 2 एल / जी
अब, भार के द्रव्यमान और आयाम से दोलनों की अवधि की स्वतंत्रता के पहले प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त परिणामों की विश्लेषणात्मक रूप में पुष्टि की गई है और ऐसा बिल्कुल भी "अद्भुत" नहीं लगता है, जैसा कि वे कहते हैं, जिसके लिए आवश्यक था साबित हो।
अन्य बातों के अलावा, गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि के लिए अंतिम अभिव्यक्ति पर विचार करते हुए, गुरुत्वाकर्षण के त्वरण को मापने का एक उत्कृष्ट अवसर देखा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, यह पृथ्वी पर किसी भी बिंदु पर एक निश्चित संदर्भ पेंडुलम को इकट्ठा करने और इसके दोलनों की अवधि को मापने के लिए पर्याप्त है। तो, अप्रत्याशित रूप से, एक सरल और सरल पेंडुलम ने हमें पृथ्वी की पपड़ी के घनत्व के वितरण का अध्ययन करने का एक बड़ा अवसर दिया, पृथ्वी के खनिजों के भंडार की खोज तक। लेकिन यह पूरी तरह से अलग कहानी है।
(अव्य. आयाम- परिमाण) - यह संतुलन की स्थिति से दोलन करने वाले शरीर का सबसे बड़ा विचलन है।
एक पेंडुलम के लिए, यह अधिकतम दूरी है जो गेंद अपनी संतुलन स्थिति (नीचे चित्र) से चलती है। छोटे आयामों वाले दोलनों के लिए, इस दूरी को चाप 01 या 02 की लंबाई के साथ-साथ इन खंडों की लंबाई के रूप में लिया जा सकता है।
दोलन आयाम को लंबाई - मीटर, सेंटीमीटर, आदि की इकाइयों में मापा जाता है। दोलन ग्राफ पर, आयाम को साइनसॉइडल वक्र के अधिकतम (मॉड्यूलो) कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है, (नीचे चित्र देखें)।
दोलन काल।
दोलन अवधि- यह समय की सबसे छोटी अवधि है जिसके बाद प्रणाली, दोलन करते हुए, फिर से उसी स्थिति में लौट आती है जिसमें वह समय के प्रारंभिक क्षण में थी, जिसे मनमाने ढंग से चुना गया था।
दूसरे शब्दों में, दोलन अवधि ( टी) वह समय है जिसके लिए एक पूर्ण दोलन होता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में, पेंडुलम के वजन को संतुलन बिंदु के माध्यम से सबसे दाहिने बिंदु से स्थानांतरित करने में लगने वाला समय है हेसबसे बाएं बिंदु पर और बिंदु के माध्यम से वापस हेफिर से सबसे दाईं ओर।
दोलन की पूरी अवधि के लिए, इसलिए, शरीर चार आयामों के बराबर पथ की यात्रा करता है। दोलन अवधि को समय - सेकंड, मिनट आदि की इकाइयों में मापा जाता है। दोलन अवधि को प्रसिद्ध दोलन ग्राफ (नीचे चित्र देखें) से निर्धारित किया जा सकता है।
"दोलन अवधि" की अवधारणा, कड़ाई से बोलते हुए, केवल तभी मान्य होती है जब दोलन मात्रा के मूल्यों को एक निश्चित अवधि के बाद, यानी हार्मोनिक दोलनों के लिए बिल्कुल दोहराया जाता है। हालाँकि, यह अवधारणा लगभग दोहराई जाने वाली मात्राओं के मामलों पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए, के लिए नम दोलन.
दोलन आवृत्ति।
दोलन आवृत्तिसमय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या है, उदाहरण के लिए, 1 s में।
आवृत्ति की SI इकाई का नाम है हेटर्स(हर्ट्ज) जर्मन भौतिक विज्ञानी जी. हर्ट्ज़ (1857-1894) के सम्मान में। यदि दोलन आवृत्ति ( वी) के बराबर है 1 हर्ट्ज, तो इसका मतलब है कि हर सेकंड के लिए एक दोलन होता है। आवृत्ति और दोलनों की अवधि संबंधों से संबंधित हैं:
दोलनों के सिद्धांत में, अवधारणा का भी उपयोग किया जाता है चक्रीय, या वृत्ताकार आवृत्ति ω . यह सामान्य आवृत्ति से संबंधित है वीऔर दोलन अवधि टीअनुपात:
.चक्रीय आवृत्तिप्रति दोलनों की संख्या है 2πसेकंड।
हार्मोनिक दोलन - साइन और कोसाइन के नियमों के अनुसार किए गए दोलन। निम्नलिखित आंकड़ा कोसाइन के नियम के अनुसार समय के साथ एक बिंदु के निर्देशांक में परिवर्तन का एक ग्राफ दिखाता है।
चित्र
दोलन आयाम
एक हार्मोनिक दोलन का आयाम संतुलन की स्थिति से शरीर के विस्थापन का सबसे बड़ा मूल्य है। आयाम विभिन्न मूल्यों पर ले सकता है। यह इस बात पर निर्भर करेगा कि हम समय के प्रारंभिक क्षण में संतुलन की स्थिति से शरीर को कितना विस्थापित करते हैं।
आयाम प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, समय के प्रारंभिक क्षण में शरीर को दी गई ऊर्जा। चूंकि साइन और कोसाइन -1 से 1 की सीमा में मान ले सकते हैं, समीकरण में कारक Xm होना चाहिए, जो दोलनों के आयाम को व्यक्त करता है। हार्मोनिक कंपन के लिए गति का समीकरण:
एक्स = एक्सएम * कॉस (ω0 * टी)।
दोलन अवधि
दोलन की अवधि एक पूर्ण दोलन के लिए लगने वाला समय है। दोलन की अवधि को T अक्षर से निरूपित किया जाता है। अवधि की इकाइयाँ समय की इकाइयों के अनुरूप होती हैं। यानी SI में यह सेकंड होता है।
दोलन आवृत्ति - प्रति इकाई समय में दोलनों की संख्या। दोलन आवृत्ति को अक्षर से निरूपित किया जाता है। दोलन आवृत्ति को दोलन अवधि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
वी = 1 / टी।
एसआई 1/सेकंड में आवृत्ति इकाइयाँ। माप की इस इकाई को हर्ट्ज़ कहते हैं। 2 * pi सेकंड के समय में दोलनों की संख्या बराबर होगी:
0 = 2*pi* = 2*pi/T.
दोलन आवृत्ति
इस मान को चक्रीय दोलन आवृत्ति कहते हैं। कुछ साहित्य में वृत्ताकार आवृत्ति नाम मिलता है। एक दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति मुक्त दोलनों की आवृत्ति होती है।
प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति सामग्री के गुणों और भार के द्रव्यमान पर निर्भर करती है। वसंत की कठोरता जितनी अधिक होगी, प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी। भार का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति उतनी ही कम होगी।
ये दो निष्कर्ष स्पष्ट हैं। वसंत जितना सख्त होगा, सिस्टम के असंतुलित होने पर यह शरीर को उतना ही अधिक त्वरण प्रदान करेगा। शरीर का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, इस शरीर की गति उतनी ही धीमी होगी।
मुक्त दोलनों की अवधि:
टी = 2 * पीआई / ω0 = 2 * पीआई * √ (एम / के)
यह उल्लेखनीय है कि छोटे विक्षेपण कोणों पर, वसंत पर शरीर के दोलन की अवधि और पेंडुलम के दोलन की अवधि दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करेगी।
आइए गणितीय पेंडुलम के लिए मुक्त दोलनों की अवधि और आवृत्ति के लिए सूत्र लिखें।
तो अवधि होगी
टी = 2 * पीआई * √ (एल / जी)।
यह सूत्र केवल छोटे विक्षेपण कोणों के लिए ही मान्य होगा। सूत्र से हम देखते हैं कि लोलक के धागे की लंबाई के साथ दोलन की अवधि बढ़ती जाती है। लंबाई जितनी लंबी होगी, शरीर उतना ही धीमा होगा।
दोलन की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है। लेकिन यह फ्री फॉल एक्सेलेरेशन पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे g घटता है, दोलन काल बढ़ता जाएगा। इस संपत्ति का व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, मुक्त त्वरण के सटीक मूल्य को मापने के लिए।
दोलन की अवधि क्या है? यह राशि क्या है, इसका क्या भौतिक अर्थ है और इसकी गणना कैसे की जाती है? इस लेख में, हम इन मुद्दों से निपटेंगे, विभिन्न सूत्रों पर विचार करेंगे जिनके द्वारा दोलनों की अवधि की गणना की जा सकती है, और यह भी पता लगाया जा सकता है कि ऐसी भौतिक मात्राओं के बीच क्या संबंध है जैसे कि किसी निकाय / प्रणाली के दोलनों की अवधि और आवृत्ति।
परिभाषा और भौतिक अर्थ
दोलन की अवधि एक ऐसी अवधि है जिसमें शरीर या प्रणाली एक दोलन (आवश्यक रूप से पूर्ण) बनाती है। समानांतर में, हम उस पैरामीटर को नोट कर सकते हैं जिस पर दोलन को पूर्ण माना जा सकता है। ऐसी स्थिति की भूमिका शरीर की मूल स्थिति (मूल समन्वय में) की वापसी है। एक समारोह की अवधि के साथ सादृश्य बहुत अच्छी तरह से तैयार किया गया है। संयोग से, यह सोचना एक गलती है कि यह केवल सामान्य और उच्च गणित में होता है। जैसा कि आप जानते हैं, ये दोनों विज्ञान अटूट रूप से जुड़े हुए हैं। और कार्यों की अवधि का सामना न केवल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय किया जा सकता है, बल्कि भौतिकी की विभिन्न शाखाओं में भी किया जा सकता है, अर्थात्, हम यांत्रिकी, प्रकाशिकी और अन्य के बारे में बात कर रहे हैं। गणित से भौतिकी में दोलन अवधि को स्थानांतरित करते समय, इसे केवल एक भौतिक मात्रा (और एक फ़ंक्शन नहीं) के रूप में समझा जाना चाहिए, जो कि गुजरने वाले समय पर प्रत्यक्ष निर्भरता है।
उतार-चढ़ाव क्या हैं?
दोलनों को हार्मोनिक और एनहार्मोनिक, साथ ही आवधिक और गैर-आवधिक में विभाजित किया गया है। यह मानना तर्कसंगत होगा कि हार्मोनिक दोलनों के मामले में, वे कुछ हार्मोनिक फ़ंक्शन के अनुसार होते हैं। यह या तो साइन या कोसाइन हो सकता है। इस मामले में, संपीड़न-खिंचाव और वृद्धि-कमी के गुणांक भी मामले में हो सकते हैं। इसके अलावा, कंपन भीग रहे हैं। यही है, जब एक निश्चित बल सिस्टम पर कार्य करता है, जो धीरे-धीरे दोलनों को "धीमा" करता है। इस मामले में, अवधि कम हो जाती है, जबकि दोलनों की आवृत्ति हमेशा बढ़ जाती है। पेंडुलम का उपयोग करने वाला सबसे सरल प्रयोग इस तरह के भौतिक स्वयंसिद्ध को बहुत अच्छी तरह से प्रदर्शित करता है। यह वसंत प्रकार के साथ-साथ गणितीय भी हो सकता है। यह मायने नहीं रखता। वैसे, ऐसी प्रणालियों में दोलन अवधि विभिन्न सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाएगी। लेकिन उस पर बाद में। अब उदाहरण देते हैं।
पेंडुलम के साथ अनुभव
आप पहले कोई भी लोलक ले सकते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ेगा। भौतिकी के नियम भौतिकी के नियम हैं, कि किसी भी मामले में उनका सम्मान किया जाता है। लेकिन किसी कारण से, गणितीय पेंडुलम मुझे अधिक पसंद है। यदि कोई नहीं जानता कि यह क्या है: यह एक अविभाज्य धागे पर एक गेंद है जो पैरों से जुड़ी एक क्षैतिज पट्टी से जुड़ी होती है (या वे तत्व जो अपनी भूमिका निभाते हैं - सिस्टम को संतुलन में रखने के लिए)। गेंद को धातु से सबसे अच्छा लिया जाता है, ताकि अनुभव स्पष्ट हो।
इसलिए, यदि आप इस तरह की प्रणाली को संतुलन से बाहर करते हैं, तो गेंद पर कुछ बल लागू करें (दूसरे शब्दों में, इसे धक्का दें), फिर गेंद एक निश्चित प्रक्षेपवक्र के बाद, धागे पर स्विंग करना शुरू कर देगी। समय के साथ, आप देख सकते हैं कि गेंद जिस प्रक्षेपवक्र के साथ गुजरती है वह कम हो जाती है। साथ ही गेंद तेजी से और तेजी से आगे-पीछे खिसकने लगती है। यह इंगित करता है कि दोलन आवृत्ति बढ़ रही है। लेकिन गेंद को अपनी मूल स्थिति में वापस आने में लगने वाला समय कम हो जाता है। लेकिन एक पूर्ण दोलन का समय, जैसा कि हमें पहले पता चला, आवर्त कहलाता है। यदि एक मान घटता है और दूसरा बढ़ता है, तो वे व्युत्क्रम आनुपातिकता की बात करते हैं। तो हमें पहले क्षण में मिला, जिसके आधार पर दोलनों की अवधि निर्धारित करने के लिए सूत्र बनाए जाते हैं। यदि हम परीक्षण के लिए एक स्प्रिंग लोलक लेते हैं, तो वहां कानून थोड़ा अलग रूप में देखा जाएगा। इसका सबसे स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम सिस्टम को एक ऊर्ध्वाधर विमान में गति में सेट करते हैं। इसे स्पष्ट करने के लिए, सबसे पहले यह कहने लायक था कि स्प्रिंग पेंडुलम क्या है। नाम से यह स्पष्ट है कि इसके डिजाइन में एक स्प्रिंग अवश्य मौजूद होना चाहिए। और वास्तव में यह है। फिर से, हमारे पास समर्थन पर एक क्षैतिज विमान है, जिसमें एक निश्चित लंबाई और कठोरता का वसंत निलंबित है। इसके लिए, बदले में, वजन को निलंबित कर दिया जाता है। यह एक बेलन, घन या कोई अन्य आकृति हो सकती है। यह कोई तृतीय-पक्ष आइटम भी हो सकता है। किसी भी मामले में, जब सिस्टम को संतुलन से बाहर कर दिया जाता है, तो यह नम दोलन करना शुरू कर देगा। आवृत्ति में वृद्धि बिना किसी विचलन के ऊर्ध्वाधर तल में सबसे स्पष्ट रूप से देखी जाती है। इस अनुभव पर, आप समाप्त कर सकते हैं।
इसलिए, उनके पाठ्यक्रम में, हमने पाया कि दोलनों की अवधि और आवृत्ति दो भौतिक मात्राएँ हैं जिनका व्युत्क्रम संबंध है।
मात्राओं और आयामों का पदनाम
आमतौर पर, दोलन अवधि को लैटिन अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है। बहुत कम बार, इसे अलग तरह से निरूपित किया जा सकता है। आवृत्ति को µ ("म्यू") अक्षर से दर्शाया जाता है। जैसा कि हमने शुरुआत में ही कहा था, एक अवधि उस समय से ज्यादा कुछ नहीं है जिसके दौरान सिस्टम में एक पूर्ण दोलन होता है। तब अवधि का आयाम एक सेकंड होगा। और चूंकि अवधि और आवृत्ति व्युत्क्रमानुपाती होती है, आवृत्ति आयाम एक सेकंड से विभाजित इकाई होगी। कार्यों के रिकॉर्ड में, सब कुछ इस तरह दिखेगा: T (s), µ (1/s)।
गणितीय पेंडुलम के लिए सूत्र। कार्य 1
प्रयोगों के मामले में, मैंने सबसे पहले गणितीय पेंडुलम से निपटने का फैसला किया। हम सूत्र की व्युत्पत्ति में विस्तार से नहीं जाएंगे, क्योंकि ऐसा कार्य मूल रूप से निर्धारित नहीं किया गया था। हां, और निष्कर्ष अपने आप में बोझिल है। लेकिन आइए स्वयं सूत्रों से परिचित हों, पता करें कि उनमें किस प्रकार की मात्राएँ शामिल हैं। तो, गणितीय पेंडुलम के लिए दोलन की अवधि का सूत्र इस प्रकार है:
जहाँ l धागे की लंबाई है, n \u003d 3.14, और g गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है (9.8 m / s ^ 2)। सूत्र को कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए। इसलिए, अतिरिक्त प्रश्नों के बिना, हम तुरंत गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि निर्धारित करने की समस्या को हल करने के लिए आगे बढ़ेंगे। 10 ग्राम वजन की एक धातु की गेंद को 20 सेंटीमीटर लंबे एक अविभाज्य धागे से लटकाया जाता है। सिस्टम के दोलन की अवधि की गणना करें, इसे गणितीय पेंडुलम के लिए लें। समाधान बहुत आसान है। जैसा कि भौतिकी में सभी समस्याओं में होता है, अनावश्यक शब्दों को त्यागकर इसे यथासंभव सरल बनाना आवश्यक है। निर्णायक को भ्रमित करने के लिए उन्हें संदर्भ में शामिल किया गया है, लेकिन वास्तव में उनका कोई वजन नहीं है। ज्यादातर मामलों में, बिल्कुल। यहां "अनटेंसिबल थ्रेड" के साथ पल को बाहर करना संभव है। इस वाक्यांश को स्तब्धता की ओर नहीं ले जाना चाहिए। और चूंकि हमारे पास एक गणितीय लोलक है, इसलिए हमें भार के द्रव्यमान में रुचि नहीं लेनी चाहिए। यानी लगभग 10 ग्राम शब्द भी केवल छात्र को भ्रमित करने के लिए बनाए गए हैं। लेकिन हम जानते हैं कि सूत्र में कोई द्रव्यमान नहीं है, इसलिए स्पष्ट विवेक के साथ हम समाधान के लिए आगे बढ़ सकते हैं। इसलिए, हम सूत्र लेते हैं और बस उसमें मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि सिस्टम की अवधि निर्धारित करना आवश्यक है। चूंकि कोई अतिरिक्त शर्तें निर्दिष्ट नहीं की गई थीं, हम मान को तीसरे दशमलव स्थान पर गोल करेंगे, जैसा कि प्रथागत है। मानों को गुणा और भाग करने पर, हम पाते हैं कि दोलन की अवधि 0.886 सेकंड है। समस्या सुलझ गयी।
स्प्रिंग लोलक का सूत्र। कार्य #2
पेंडुलम सूत्रों का एक सामान्य भाग होता है, जिसका नाम 2n है। यह मान एक साथ दो सूत्रों में मौजूद होता है, लेकिन वे मूल व्यंजक में भिन्न होते हैं। यदि स्प्रिंग पेंडुलम की अवधि से संबंधित समस्या में, भार का द्रव्यमान इंगित किया गया है, तो इसके उपयोग के साथ गणना से बचना असंभव है, जैसा कि गणितीय पेंडुलम के मामले में था। लेकिन आपको डरना नहीं चाहिए। स्प्रिंग पेंडुलम का आवर्त सूत्र इस प्रकार दिखता है:
इसमें m वसंत से निलंबित भार का द्रव्यमान है, k वसंत कठोरता का गुणांक है। समस्या में गुणांक का मान दिया जा सकता है। लेकिन अगर गणितीय पेंडुलम के सूत्र में आप वास्तव में स्पष्ट नहीं होते हैं - आखिरकार, 4 में से 2 मान स्थिरांक हैं - तो यहां एक तीसरा पैरामीटर जोड़ा जाता है, जो बदल सकता है। और आउटपुट पर हमारे पास 3 चर हैं: दोलनों की अवधि (आवृत्ति), वसंत कठोरता का गुणांक, निलंबित भार का द्रव्यमान। कार्य इनमें से किसी भी पैरामीटर को खोजने की दिशा में उन्मुख हो सकता है। फिर से अवधि खोजना बहुत आसान होगा, इसलिए हम स्थिति को थोड़ा बदल देंगे। वसंत की कठोरता का पता लगाएं यदि पूरे झूले का समय 4 सेकंड है और वसंत पेंडुलम का वजन 200 ग्राम है।
किसी भी शारीरिक समस्या को हल करने के लिए अच्छा होगा कि पहले एक रेखाचित्र बनाकर सूत्र लिखें। वे यहाँ आधी लड़ाई हैं। सूत्र लिखने के बाद, कठोरता गुणांक को व्यक्त करना आवश्यक है। यह हमारे मूल के नीचे है, इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, भागों को k से गुणा करें। अब हम समीकरण के बाईं ओर केवल गुणांक छोड़ते हैं, अर्थात, हम भागों को T^2 से विभाजित करते हैं। सिद्धांत रूप में, संख्याओं में एक अवधि नहीं, बल्कि एक आवृत्ति निर्धारित करके समस्या थोड़ी अधिक जटिल हो सकती है। किसी भी स्थिति में, गणना और गोल करते समय (हम तीसरे दशमलव स्थान तक गोल करने के लिए सहमत हुए), यह पता चला कि k = 0.157 N/m।
मुक्त दोलनों की अवधि। फ्री पीरियड फॉर्मूला
मुक्त दोलनों की अवधि के सूत्र का अर्थ उन सूत्रों से समझा जाता है जिनकी हमने पहले दी गई दो समस्याओं में जांच की थी। वे मुक्त दोलनों का एक समीकरण भी बनाते हैं, लेकिन वहां हम पहले से ही विस्थापन और निर्देशांक के बारे में बात कर रहे हैं, और यह प्रश्न एक अन्य लेख से संबंधित है।
1) किसी कार्य को करने से पहले, उससे जुड़े सूत्र को लिख लें।
2) सबसे सरल कार्यों में चित्र की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन असाधारण मामलों में उन्हें करने की आवश्यकता होगी।
3) यदि संभव हो तो जड़ों और हर से छुटकारा पाने का प्रयास करें। एक पंक्ति में लिखा गया एक समीकरण जिसमें हर नहीं होता है वह अधिक सुविधाजनक और हल करने में आसान होता है।
