यांत्रिक प्रणाली

यांत्रिक प्रणाली - भौतिक बिंदुओं का एक सेट:- शास्त्रीय यांत्रिकी के नियमों के अनुसार चलना; और - एक दूसरे के साथ और इस सेट में शामिल नहीं निकायों के साथ बातचीत।

वज़न

प्रकृति में द्रव्यमान कई तरह से प्रकट होता है।

निष्क्रिय गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमानदिखाता है कि शरीर बाहरी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के साथ किस बल से संपर्क करता है - वास्तव में, यह द्रव्यमान आधुनिक मेट्रोलॉजी में वजन करके द्रव्यमान को मापने का आधार है।

सक्रिय गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमानदिखाता है कि यह शरीर किस तरह का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बनाता है - गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम में दिखाई देते हैं।

जड़त्वीय द्रव्यमाननिकायों की जड़ता की विशेषता है और न्यूटन के दूसरे नियम के निर्माण में से एक में प्रकट होता है। यदि vinertial संदर्भ प्रणाली में एक मनमाना बल अलग-अलग प्रारंभिक गतिहीन निकायों को समान रूप से गति देता है, तो इन निकायों को समान जड़त्वीय द्रव्यमान सौंपा जाता है।

गुरुत्वाकर्षण और जड़त्वीय द्रव्यमान एक दूसरे के बराबर होते हैं (उच्च सटीकता के साथ - लगभग 10 -13 - प्रयोगात्मक रूप से, और अधिकांश भौतिक सिद्धांतों में, प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि किए गए सभी सहित - बिल्कुल), इसलिए, उस मामले में जब हम "नए" के बारे में बात नहीं कर रहे हैं भौतिकी" , केवल द्रव्यमान के बारे में बात करें, यह निर्दिष्ट किए बिना कि उनका क्या मतलब है।

शास्त्रीय यांत्रिकी में निकायों की प्रणाली का द्रव्यमान बराबर हैइसके घटक निकायों के द्रव्यमान का योग। सापेक्षतावादी यांत्रिकी में, द्रव्यमान एक योगात्मक भौतिक मात्रा नहीं है, अर्थात, एक प्रणाली का द्रव्यमान आम तौर पर घटकों के द्रव्यमान के योग के बराबर नहीं होता है, लेकिन इसमें बाध्यकारी ऊर्जा शामिल होती है और कणों की गति की प्रकृति पर निर्भर करती है। एक दूसरे को

सेंटर ऑफ मास - (यांत्रिकी में) एक ज्यामितीय बिंदु जो पूरे शरीर या कणों की एक प्रणाली की गति को दर्शाता है। यह गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की अवधारणा के समान नहीं है (हालांकि अधिकतर समान)।

शास्त्रीय यांत्रिकी में भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र (जड़ता का केंद्र) की स्थिति निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:

द्रव्यमान के केंद्र का त्रिज्या-सदिश कहाँ है, त्रिज्या-सदिश है मैंप्रणाली का -वाँ बिंदु, -मास मैं-वां बिंदु।

निरंतर बड़े पैमाने पर वितरण के मामले में:

प्रणाली का कुल द्रव्यमान कहाँ है, आयतन है, घनत्व है। द्रव्यमान का केंद्र इस प्रकार एक पिंड या कणों की प्रणाली पर द्रव्यमान के वितरण की विशेषता है।

यह दिखाया जा सकता है कि यदि प्रणाली में भौतिक बिंदु नहीं होते हैं, लेकिन द्रव्यमान के साथ विस्तारित निकायों का होता है, तो ऐसी प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र का त्रिज्या वेक्टर शरीर के संबंध से द्रव्यमान के केंद्रों के त्रिज्या वैक्टर से संबंधित होता है :

दूसरे शब्दों में, विस्तारित निकायों के मामले में, एक सूत्र मान्य होता है, जो इसकी संरचना में भौतिक बिंदुओं के लिए उपयोग किए जाने वाले के साथ मेल खाता है।

यांत्रिकी में!!!

द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा का व्यापक रूप से यांत्रिकी और भौतिकी में उपयोग किया जाता है।

एक कठोर पिंड की गति को द्रव्यमान के केंद्र की गति और उसके द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर पिंड की घूर्णी गति के सुपरपोजिशन के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में, द्रव्यमान का केंद्र उसी तरह चलता है जैसे समान द्रव्यमान वाला शरीर, लेकिन आकार में असीम रूप से छोटा (भौतिक बिंदु) चलता है। उत्तरार्द्ध का अर्थ है, विशेष रूप से, कि इस गति का वर्णन करने के लिए न्यूटन के सभी नियम लागू होते हैं। कई मामलों में, कोई व्यक्ति शरीर के आयामों और आकार को पूरी तरह से अनदेखा कर सकता है और केवल उसके द्रव्यमान के केंद्र की गति पर विचार कर सकता है।

द्रव्यमान के केंद्र से जुड़े संदर्भ के एक फ्रेम में एक बंद प्रणाली की गति पर विचार करना अक्सर सुविधाजनक होता है। ऐसी संदर्भ प्रणाली को द्रव्यमान प्रणाली का केंद्र (सी-सिस्टम), या जड़ता प्रणाली का केंद्र कहा जाता है। इसमें एक बंद निकाय का कुल संवेग हमेशा शून्य के बराबर रहता है, जो हमें इसकी गति के समीकरणों को सरल बनाने की अनुमति देता है।

सजातीय आंकड़ों के द्रव्यमान के केंद्र

खंड में एक मध्य है।

बहुभुजों के लिए (ठोस सपाट आंकड़े और वायरफ्रेम दोनों):

एक समांतर चतुर्भुज विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

त्रिभुज में माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है ( केन्द्रक).

एक नियमित बहुभुज में केंद्र रोटेशन समरूपता होती है।

एक अर्धवृत्त में एक बिंदु होता है जो वृत्त के केंद्र से लंबवत त्रिज्या को 4:3π के अनुपात में विभाजित करता है।

गति की मात्रा = गति

सिस्टम की गति (सिस्टम की गति)।

गति (शरीर की गति)शरीर द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर एक सदिश भौतिक मात्रा है:

मोमेंटम (मोमेंटम) शरीर या निकायों की प्रणाली की गति की सबसे मौलिक विशेषताओं में से एक है।

हम न्यूटन के द्वितीय नियम को एक अलग रूप में लिखते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि त्वरण तब, इसलिए,

बल का गुणनफल और उसकी क्रिया का समय पिंड के संवेग में वृद्धि के बराबर होता है (चित्र 1):

बल का संवेग कहाँ होता है, जो दर्शाता है कि बल की क्रिया का परिणाम न केवल उसके मूल्य पर, बल्कि उसकी क्रिया की अवधि पर भी निर्भर करता है।

चित्र .1

प्रणाली की गति की मात्रा (आवेग) प्रणाली के सभी बिंदुओं की गति (आवेग) की मात्रा के ज्यामितीय योग (प्रमुख वेक्टर) के बराबर वेक्टर मात्रा है(रेखा चित्र नम्बर 2):

ड्राइंग से यह देखा जा सकता है कि, सिस्टम के बिंदुओं के वेगों की परवाह किए बिना (जब तक कि ये वेग समानांतर न हों), वेक्टर किसी भी मान को ले सकता है और यहां तक ​​​​कि शून्य के बराबर हो सकता है जब बहुभुज से निर्मित होता है वैक्टर बंद हो जाता है। नतीजतन, सिस्टम की गति की प्रकृति को उसके परिमाण से पूरी तरह से आंकना असंभव है।

रेखा चित्र नम्बर 2

आइए एक सूत्र खोजें जिसकी सहायता से मूल्य की गणना करना और साथ ही इसके अर्थ को समझना बहुत आसान है।

समानता से

उसका अनुसरण करता है

दोनों भागों का समय व्युत्पन्न लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

यहाँ से हम पाते हैं कि

प्रणाली की गति (संवेग) की मात्रा पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के गुणनफल और उसके द्रव्यमान केंद्र की गति के बराबर होती है . कठोर निकायों की गति की गणना करते समय यह परिणाम उपयोग करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक है।

यह सूत्र से देखा जा सकता है कि यदि शरीर (या प्रणाली) इस तरह से चलता है कि द्रव्यमान का केंद्र स्थिर रहता है, तो शरीर का संवेग शून्य होता है। उदाहरण के लिए, अपने द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली एक निश्चित धुरी के चारों ओर घूमने वाली वस्तु का संवेग शून्य होगा।

यदि पिंड की गति जटिल है, तो मान द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर गति के घूर्णी भाग को चिह्नित नहीं करेगा। उदाहरण के लिए, एक रोलिंग व्हील के लिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि पहिया अपने द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर कैसे घूमता है साथ में.

इस प्रकार, गति की मात्रा केवल प्रणाली की अनुवाद गति की विशेषता है। जटिल गति के मामले में, मात्रा द्रव्यमान के केंद्र के साथ-साथ सिस्टम की गति के केवल अनुवादकीय भाग की विशेषता है।

का मुख्य बिंदु एसटीवी डीवी प्रणाली की इझेनिया (गति)।

किसी दिए गए केंद्र के सापेक्ष प्रणाली के संवेग (या कोणीय संवेग) का मुख्य क्षण हेइस केंद्र के सापेक्ष प्रणाली के सभी बिंदुओं की गति की मात्राओं के ज्यामितीय योग के बराबर मात्रा कहलाती है।

इसी तरह, निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष प्रणाली की गति की मात्रा के क्षण निर्धारित किए जाते हैं:

इस मामले में, वे एक साथ समन्वय अक्षों पर वेक्टर के अनुमान हैं।

जिस प्रकार किसी निकाय का संवेग उसकी स्थानांतरीय गति की विशेषता है, प्रणाली की गति का मुख्य क्षण प्रणाली की घूर्णी गति की विशेषता है।

चित्र 6

मात्रा के यांत्रिक अर्थ को समझने के लिए ली 0 और समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र हैं, हम एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर के कोणीय गति की गणना करते हैं (चित्र 6) इस मामले में, हमेशा की तरह, वेक्टर की परिभाषा अपने अनुमानों को परिभाषित करने के लिए नीचे आता है।

आइए पहले अनुप्रयोगों के लिए सबसे महत्वपूर्ण सूत्र खोजें, जो मात्रा निर्धारित करता है लीजेड, यानी घूर्णन की धुरी के बारे में एक घूर्णन पिंड का कोणीय संवेग।

शरीर के किसी भी बिंदु के लिए जो रोटेशन के अक्ष से दूरी पर है, गति। इसलिए, इस बिंदु के लिए। फिर पूरे शरीर के लिए, सामान्य कारक को ब्रैकेट से निकालकर, हम प्राप्त करते हैं

कोष्ठक में मान धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है जेड. अंत में हम पाते हैं

इस प्रकार, घूर्णन की धुरी के बारे में एक घूर्णन शरीर का गतिज क्षण शरीर के कोणीय वेग द्वारा इस धुरी के बारे में शरीर की जड़ता के क्षण के उत्पाद के बराबर होता है।

यदि सिस्टम में एक ही धुरी के चारों ओर घूमने वाले कई पिंड होते हैं, तो जाहिर है, वहाँ होगा

सूत्रों के बीच समानता को देखना आसान है और: गति की मात्रा द्रव्यमान के उत्पाद के बराबर होती है (अनुवादात्मक गति के दौरान शरीर की जड़ता को दर्शाने वाला मूल्य) और गति; गतिज क्षण कोणीय वेग द्वारा जड़ता के क्षण (घूर्णन गति के दौरान शरीर की जड़ता को दर्शाने वाला मान) के गुणनफल के बराबर होता है।

भौतिक बिंदुओं की उसी प्रणाली पर फिर से विचार करें। आइए निम्नलिखित नियम के अनुसार त्रिज्या वेक्टर का निर्माण करें:

सिस्टम के उस भौतिक बिंदु का त्रिज्या वेक्टर कहां है, और इसका द्रव्यमान है।

त्रिज्या वेक्टर अंतरिक्ष में स्थिति निर्धारित करता है जड़ता का केंद्र (द्रव्यमान का केंद्र)सिस्टम

यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि कोई भौतिक बिंदु निकाय के द्रव्यमान के केंद्र में हो।

उदाहरण।आइए दो छोटी गेंदों से युक्त एक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र खोजें - एक भारहीन छड़ से जुड़े भौतिक बिंदु (चित्र। 3.29)। शरीर की इस प्रणाली को डम्बल कहा जाता है।

चावल। 3.29. मास डम्बल का केंद्र

अंजीर से। यह स्पष्ट है कि

इन समानताओं में द्रव्यमान के केंद्र के त्रिज्या वेक्टर के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना

यह इस प्रकार है कि द्रव्यमान का केंद्र गेंदों के केंद्रों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा पर स्थित होता है। दूरी मैं 1 और मैं 2 गेंदों और द्रव्यमान के केंद्र के बीच क्रमशः बराबर हैं

द्रव्यमान का केंद्र गेंद के करीब होता है, जिसका द्रव्यमान अधिक होता है, जैसा कि संबंध से देखा जा सकता है:

आइए हम उस गति को निर्धारित करें जिसके साथ सिस्टम की जड़ता का केंद्र चलता है। आइए समय के संदर्भ में दोनों भागों में अंतर करें:

दाईं ओर परिणामी अभिव्यक्ति के अंश में सभी बिंदुओं के आवेगों का योग होता है, अर्थात प्रणाली का आवेग। हर प्रणाली का कुल द्रव्यमान है

हमने पाया है कि जड़त्व के केंद्र की गति प्रणाली की गति और उसके कुल द्रव्यमान से संबंधित है जो एक भौतिक बिंदु के लिए मान्य है:

वीडियो 3.11. एक स्प्रिंग से जुड़ी दो समान गाड़ियों के द्रव्यमान केंद्र की गति।

एक बंद प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र हमेशा स्थिर गति से चलता है, क्योंकि इस तरह की प्रणाली की गति संरक्षित होती है।

यदि अब हम निकाय के संवेग के व्यंजक को समय के संबंध में विभेदित करें और इस बात को ध्यान में रखें कि निकाय के संवेग का व्युत्पन्न बाह्य बलों का परिणाम है, तो हम प्राप्त करते हैं निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति का समीकरणसामान्य रूप में:

यह स्पष्ट है कि

सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र ठीक उसी तरह चलता है जैसे सिस्टम के सभी कणों के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान वाला भौतिक बिंदु सिस्टम पर लागू सभी बाहरी बलों के वेक्टर योग की क्रिया के तहत चलता है।

यदि भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली है, जिसकी आंतरिक स्थिति और गति हमें रूचि नहीं देती है, तो हमें इसे जड़ता के केंद्र के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक और योग के बराबर द्रव्यमान के साथ एक भौतिक बिंदु पर विचार करने का अधिकार है। प्रणाली के भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान का।

यदि हम भौतिक बिंदुओं (कणों) की एक बंद प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र के साथ एक संदर्भ प्रणाली को जोड़ते हैं (इसे कहा जाता है गुरुत्वाकर्षण प्रणाली का केंद्र), तो ऐसी प्रणाली में सभी कणों का कुल संवेग शून्य के बराबर होगा। इस प्रकार, द्रव्यमान प्रणाली के केंद्र में, कणों की बंद प्रणाली पूरा का पूराआराम पर है, और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष केवल कणों की गति होती है। इसलिए, एक बंद प्रणाली में होने वाली आंतरिक प्रक्रियाओं के गुण स्पष्ट रूप से प्रकट होते हैं।

मामले में जब प्रणाली एक निरंतर द्रव्यमान वितरण वाला निकाय है, तो द्रव्यमान के केंद्र की परिभाषा अनिवार्य रूप से वही रहती है। हम अपने शरीर में एक छोटे से आयतन के साथ एक मनमाना बिंदु को घेर लेते हैं। इस आयतन में निहित द्रव्यमान के बराबर है, जहां शरीर के पदार्थ का घनत्व है, जो इसके आयतन पर स्थिर नहीं हो सकता है। ऐसे सभी प्राथमिक द्रव्यमानों के योग को अब शरीर के पूरे आयतन पर एक समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है, ताकि पिंड के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति के लिए व्यंजक प्राप्त किया जा सके।

यदि शरीर का पदार्थ सजातीय है, तो इसका घनत्व स्थिर है, और इसे अभिन्न चिन्ह के नीचे से निकाला जा सकता है, जिससे यह अंश और हर में कम हो जाएगा। तब पिंड के द्रव्यमान केंद्र के त्रिज्या सदिश के लिए व्यंजक रूप लेता है

शरीर का आयतन कहाँ है।

और निरंतर जन वितरण के मामले में, कथन सत्य है कि

एक कठोर शरीर के द्रव्यमान का केंद्र उसी तरह चलता है जैसे शरीर के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान वाला भौतिक बिंदु शरीर पर लागू सभी बाहरी बलों के वेक्टर योग की क्रिया के तहत आगे बढ़ता है।

उदाहरण. यदि प्रक्षेप्य अपने परवलयिक प्रक्षेपवक्र में किसी बिंदु पर फट जाता है, तो टुकड़े विभिन्न प्रकार के प्रक्षेपवक्र के साथ उड़ते हैं, लेकिन इसका द्रव्यमान केंद्र परवलय के साथ चलता रहता है।

कई अलग-अलग संरचनाएं और संरचनाएं हैं, जिन्हें देखकर कोई भी आश्चर्य करता है कि वे संतुलन कैसे बनाए रखते हैं। शायद उनमें से सबसे प्रसिद्ध पीसा का प्रसिद्ध लीनिंग टॉवर है, जिसे 1360 में बनाया गया था और इसकी अनजाने ढलान को बरकरार रखा गया था। पीसा की झुकी मीनार अपना संतुलन क्यों रखती है? रहस्य सरल है। टावर के द्रव्यमान केंद्र का लंबवत प्रक्षेपण इसके आधार पर होता है। यह किसी भी अन्य इमारत के लिए सच है। इसके अलावा, यदि किसी वस्तु को उस बिंदु से निलंबित किया जाता है जो द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो निलंबित वस्तु भी संतुलन बनाए रखेगी। विभिन्न वस्तुओं से सबसे विचित्र आकार की संरचनाओं को इकट्ठा करना भी संभव है, जो संतुलन में होगा यदि द्रव्यमान के केंद्र के स्थान की सही गणना की जाए। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि विभिन्न सपाट आंकड़ों के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक की गणना कैसे करें।

आइए मान लें कि आप एक तीर के आकार सहित विभिन्न आकृतियों से युक्त नए साल की माला बनाने का निर्णय लेते हैं। सबसे पहले आपको नए साल के पैटर्न के साथ मोटे कागज से एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटने की जरूरत है। फिर आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में भी एक कटआउट बनाने की आवश्यकता है, ताकि परिणामी आकृति के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु पर हो पर(तस्वीर देखने)। आइए निर्देशांक खोजें एक्स सीऔर वाईसीएक आयताकार समन्वय प्रणाली में इस आकृति के द्रव्यमान का केंद्र योऑक्स.

समतल आकृतियों के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति ज्ञात होती है: एक त्रिभुज के द्रव्यमान का केंद्र उसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है, एक आयत के द्रव्यमान का केंद्र उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है, जिसका केंद्र एक वृत्त का द्रव्यमान उसके केंद्र के साथ मेल खाता है। त्रिभुज के बाद से एसीडी- समद्विबाहु, फिर, एक सीधी रेखा के संबंध में इसकी समरूपता के आधार पर ओए, उसका अनुसरण करता है एक्स सी = 0.

निर्देशांक की गणना करने के लिए वाईसीआइए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

कहाँ पे एस (एसीडी)और एसबीसीडी- त्रिभुजों के क्षेत्रफल एसीडीऔर बीसीडी,ए वाई सी 1और वाई सी 2क्रमशः उनके द्रव्यमान केंद्रों के निर्देशांक हैं। फिर:

यह मानते हुए कि द्रव्यमान का केंद्र बिंदु पर होना चाहिए बी, हम पाते हैं:

|ओबी | = ½ |ओए |. मुद्दा यह है बी- खंड के मध्य |ओए|.

प्रस्तावित विधि के अनुसार, हमारा सुझाव है कि आप समस्या का समाधान करें:

त्रिज्या के एक वृत्त के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक की गणना करें आरकट सर्कल त्रिज्या के साथ आर(तस्वीर देखने)। निर्धारित करें कि त्रिज्या का अनुपात क्या होना चाहिए आरऔर आरताकि आकृति के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु पर हो बी. परिणाम का विश्लेषण करें।

अनुदेश

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति सीधे इस बात पर निर्भर करती है कि इसका द्रव्यमान शरीर के आयतन पर कैसे वितरित किया जाता है। द्रव्यमान का केंद्र शरीर में ही नहीं भी हो सकता है, ऐसी वस्तु का एक उदाहरण एक सजातीय वलय है, जिसमें द्रव्यमान का केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र में स्थित होता है। अर्थात - । गणना में, द्रव्यमान के केंद्र को एक गणितीय बिंदु माना जा सकता है जिस पर शरीर का पूरा द्रव्यमान केंद्रित होता है।

यहां आर.टी.एम. द्रव्यमान के केंद्र का त्रिज्या वेक्टर है, मील i-वें बिंदु का द्रव्यमान है, ri प्रणाली के i-वें बिंदु का त्रिज्या-सदिश है। व्यवहार में, कई मामलों में द्रव्यमान का केंद्र खोजना आसान होता है यदि वस्तु का एक निश्चित सख्त ज्यामितीय आकार होता है। उदाहरण के लिए, एक सजातीय छड़ के लिए, यह ठीक बीच में है। एक समांतर चतुर्भुज के लिए, यह विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर होता है, एक त्रिभुज के लिए यह एक बिंदु होता है, और एक नियमित बहुभुज के लिए, द्रव्यमान का केंद्र घूर्णी समरूपता के केंद्र में होता है।

अधिक जटिल निकायों के लिए, गणना कार्य अधिक जटिल हो जाता है, इस मामले में वस्तु को सजातीय मात्रा में तोड़ना आवश्यक है। उनमें से प्रत्येक के लिए अलग-अलग, द्रव्यमान के केंद्र, जिसके बाद पाए गए मूल्यों को संबंधित सूत्रों में बदल दिया जाता है और अंतिम मूल्य पाया जाता है।

व्यवहार में, द्रव्यमान के केंद्र (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र) को निर्धारित करने की आवश्यकता आमतौर पर डिजाइन कार्य से जुड़ी होती है। उदाहरण के लिए, जहाज को डिजाइन करते समय, इसकी स्थिरता सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है। यदि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र बहुत अधिक है, तो यह झुक सकता है। जहाज जैसी जटिल वस्तु के लिए आवश्यक पैरामीटर की गणना कैसे करें? ऐसा करने के लिए, इसके व्यक्तिगत तत्वों और विधानसभाओं के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पाए जाते हैं, जिसके बाद उनके स्थान को ध्यान में रखते हुए पाए गए मूल्यों को जोड़ा जाता है। डिजाइन करते समय, वे आमतौर पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को यथासंभव कम रखने की कोशिश करते हैं, इसलिए सबसे भारी इकाइयाँ बहुत नीचे स्थित होती हैं।

स्रोत:

• सेंटर ऑफ मास
• भौतिकी में समस्याओं का समाधान

द्रव्यमान का केंद्र शरीर की सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय और तकनीकी विशेषता है। इसके निर्देशांक की गणना के बिना, मैकेनिकल इंजीनियरिंग में डिजाइनिंग, निर्माण और वास्तुकला की समस्याओं को हल करने की कल्पना करना असंभव है। द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक का सटीक निर्धारण अभिन्न कलन का उपयोग करके किया जाता है।

अनुदेश

आपको हमेशा से शुरू करना चाहिए, धीरे-धीरे अधिक जटिल परिस्थितियों में आगे बढ़ना चाहिए। इस तथ्य से आगे बढ़ें कि एक निरंतर सपाट आकृति D के द्रव्यमान का केंद्र, जिसमें स्थिर है और अपनी सीमा के भीतर समान रूप से वितरित है, निर्धारित किया जाना है। x तर्क a से b, y से c से d तक जाता है। आकृति को लंबवत (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) और क्षैतिज रेखाओं (y=y(j-1), y=xj ( j=1, 2,…,m)) को आधार i=xi-x(i-1) और ऊंचाई ∆yj=yj-y(j-1) के साथ प्राथमिक आयतों में बदलें (चित्र 1 देखें)। इस मामले में, प्राथमिक खंड ∆хi के मध्य को ξi=(1/2) के रूप में, और ऊंचाई ∆yj को ηj=(1/2) के रूप में खोजें। चूंकि घनत्व समान रूप से वितरित किया जाता है, इसलिए प्राथमिक आयत के द्रव्यमान का केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र के साथ मेल खाएगा। वह है Хцi=ξi, Yцi=ηj।

एक समतल आकृति का द्रव्यमान M (यदि यह अज्ञात है), क्षेत्रफल के गुणनफल के रूप में परिकलित करें। प्राथमिक क्षेत्र को ds=∆хi∆yj=dxdy से बदलें। mij को dM=ρdS=ρdxdy के रूप में निरूपित करें और आकृति में दिखाए गए सूत्र का उपयोग करके इसका द्रव्यमान प्राप्त करें। 2ए. छोटे वेतन वृद्धि के साथ, मान लें कि mij निर्देशांक Хцi=ξi, Yцi=ηj के साथ एक भौतिक बिंदु पर केंद्रित है। समस्याओं से यह ज्ञात होता है कि भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र का प्रत्येक समन्वय एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश स्थिर द्रव्यमान क्षणों का योग होता है जो संबंधित अक्ष के सापेक्ष होता है, और बराबर होता है इन द्रव्यमानों का योग। द्रव्यमान mν का स्थिर क्षण, 0x अक्ष के सापेक्ष yν*mν है, और 0y xν*mν के सापेक्ष है।

इसे विचाराधीन स्थिति में लागू करें और स्थिर क्षणों के अनुमानित मान प्राप्त करें Jx और Jy रूप में अंतिम व्यंजक में शामिल योग अभिन्न हैं। ∆хν→0 yν→0 पर उनसे सीमा तक जाएं और अंतिम लिख दें (चित्र 2ख देखें)। आंकड़े M के कुल द्रव्यमान से संबंधित सांख्यिकीय क्षण को विभाजित करके द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक खोजें।

स्थानिक आकृति जी के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक प्राप्त करने की पद्धति केवल उस ट्रिपल इंटीग्रल में भिन्न होती है, और स्थिर क्षणों को समन्वय विमानों के सापेक्ष माना जाता है। हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि घनत्व आवश्यक रूप से स्थिर नहीं है, अर्थात (x,y,z)≠const है। इसलिए, अंतिम और सबसे सामान्य का रूप है (चित्र 3 देखें)।

स्रोत:

• पिस्कुनोव एन.एस. विभेदक और अभिन्न कलन। टी.2., एम.: 1976, 576 पी., बीमार।

1666 में न्यूटन द्वारा खोजे गए और 1687 में प्रकाशित सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम में कहा गया है कि द्रव्यमान वाले सभी पिंड एक दूसरे को आकर्षित करते हैं। गणितीय सूत्रीकरण न केवल निकायों के पारस्परिक आकर्षण के तथ्य को स्थापित करने की अनुमति देता है, बल्कि इसकी ताकत को मापने की भी अनुमति देता है।

अनुदेश

न्यूटन से पहले भी, कई लोगों ने सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के अस्तित्व के बारे में अनुमान लगाया था। शुरू से ही उनके लिए यह स्पष्ट था कि किन्हीं दो पिंडों के बीच का आकर्षण उनके द्रव्यमान पर निर्भर होना चाहिए और दूरी के साथ कमजोर होना चाहिए। जोहान्स केप्लर, जिन्होंने सबसे पहले सौर मंडल की अण्डाकार कक्षाओं का वर्णन किया था, का मानना ​​था कि सूर्य दूरी के व्युत्क्रमानुपाती बल के साथ आकर्षित करता है।

अंत में, सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम निम्नानुसार तैयार किया गया है: द्रव्यमान वाले कोई भी दो निकाय परस्पर आकर्षित होते हैं, और उनके आकर्षण बल के बराबर होता है

एफ = जी * ((एम 1 * एम 2) / आर ^ 2),

जहाँ m1 और m2 - पिंडों का द्रव्यमान, R - दूरी, G - गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक।

यदि गुरुत्वाकर्षण में भाग लेने वाले शरीर का आकार लगभग गोलाकार है, तो दूरी R को इसकी सतह से नहीं, बल्कि द्रव्यमान के केंद्र से मापा जाना चाहिए। एक ही द्रव्यमान वाला एक भौतिक बिंदु, बिल्कुल केंद्र में स्थित, बिल्कुल वही आकर्षक बल उत्पन्न करेगा।

विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, उस बल की गणना करते समय जिसके साथ पृथ्वी उस पर खड़े किसी व्यक्ति को आकर्षित करती है, दूरी R शून्य के बराबर नहीं है, बल्कि त्रिज्या के बराबर है। वास्तव में, यह पृथ्वी के केंद्र और किसी व्यक्ति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बीच की दूरी के बराबर है, लेकिन सटीकता के नुकसान के बिना इस अंतर की उपेक्षा की जा सकती है।

गुरुत्वाकर्षण आकर्षण हमेशा पारस्परिक होता है: न केवल पृथ्वी एक व्यक्ति को आकर्षित करती है, बल्कि बदले में, पृथ्वी को भी आकर्षित करती है। ग्रह पर किसी व्यक्ति के द्रव्यमान के बीच भारी अंतर के कारण, यह अगोचर है। इसी तरह, अंतरिक्ष वाहनों के प्रक्षेपवक्र की गणना करते समय, यह तथ्य कि अंतरिक्ष यान ग्रहों और धूमकेतुओं को अपनी ओर आकर्षित करता है, की आमतौर पर उपेक्षा की जाती है।

हालाँकि, यदि परस्पर क्रिया करने वाली वस्तुओं का द्रव्यमान तुलनीय है, तो उनका पारस्परिक आकर्षण सभी प्रतिभागियों के लिए ध्यान देने योग्य हो जाता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी की दृष्टि से यह कहना बिल्कुल सही नहीं है कि चंद्रमा पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगाता है। वास्तव में, चंद्रमा और पृथ्वी द्रव्यमान के एक सामान्य केंद्र के चारों ओर घूमते हैं। चूंकि हमारा ग्रह अपने प्राकृतिक ग्रह से बहुत बड़ा है, इसलिए यह केंद्र इसके अंदर स्थित है, लेकिन फिर भी यह पृथ्वी के केंद्र से मेल नहीं खाता है।

संबंधित वीडियो

स्रोत:

• जिज्ञासु के लिए शांत भौतिकी - सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम

गणित और भौतिकी शायद मनुष्य के लिए उपलब्ध सबसे आश्चर्यजनक विज्ञान हैं। अच्छी तरह से परिभाषित और गणना योग्य कानूनों के संदर्भ में दुनिया का वर्णन करके, वैज्ञानिक "एक कलम की नोक पर" ऐसे मान प्राप्त कर सकते हैं, जो पहली नज़र में, मापना असंभव प्रतीत होता है।

अनुदेश

भौतिकी के बुनियादी नियमों में से एक गुरुत्वाकर्षण का नियम है। यह कहता है कि सभी पिंड F=G*m1*m2/r^2 के बराबर बल के साथ एक दूसरे की ओर आकर्षित होते हैं। इस मामले में, G एक निश्चित स्थिरांक है (यह सीधे गणना के दौरान इंगित किया जाएगा), m1 और m2 पिंडों के द्रव्यमान हैं, और r उनके बीच की दूरी है।

द्रव्यमानप्रयोग के आधार पर भूमि की गणना की जा सकती है। एक पेंडुलम और एक स्टॉपवॉच का उपयोग करके, आप फ्री फॉल एक्सेलेरेशन g (चरण अप्रासंगिक के रूप में छोड़ दिया जाएगा) की गणना कर सकते हैं, 10 m / s ^ 2 के बराबर। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, F को m*a के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, पृथ्वी की ओर आकर्षित किसी पिंड के लिए: m2*a2=G*m1*m2/r^2, जहां m2 पिंड का द्रव्यमान है, m1 पृथ्वी का द्रव्यमान है, a2=g। परिवर्तन के बाद (दोनों भागों में m2 की कमी, m1 को बाईं ओर और a2 को दाईं ओर स्थानांतरित करना), समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा: m1=(ar)^2/G। मान प्रतिस्थापन देता है m1=6*10^27

चंद्रमा के द्रव्यमान की गणना नियम पर आधारित है: पिंडों से लेकर निकाय के द्रव्यमान के केंद्र तक, पिंडों के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। यह ज्ञात है कि पृथ्वी और चंद्रमा एक निश्चित बिंदु (Cm) के चारों ओर घूमते हैं, और केंद्रों से इस बिंदु की दूरी 1/81.3 है। इसलिए, एमएल \u003d एमजेड / 81.3 \u003d 7.35 * 10 ^ 25।

आगे की गणना केप्लर के तीसरे नियम पर आधारित है, जिसके अनुसार (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, जहां T एक खगोलीय परिक्रमण की अवधि है चारों ओर का शरीर रवि, एल बाद की दूरी है, एम 1, एम 2 और मैक क्रमशः दो खगोलीय पिंडों के द्रव्यमान हैं और। दो प्रणालियों (+ चंद्रमा - / पृथ्वी - चंद्रमा) के लिए समीकरणों का संकलन, आप देख सकते हैं कि समीकरण का एक हिस्सा सामान्य निकला, जिसका अर्थ है कि दूसरे को बराबर किया जा सकता है।

सबसे सामान्य रूप में गणना सूत्र Lz^3/(Tz^2*(Mc+Mz)=Ll^3/(Tl^2*(Mz+Ml) है। खगोलीय पिंडों के द्रव्यमान की गणना सैद्धांतिक रूप से की गई है; कैलकुलस या व्यावहारिक तरीकों का उपयोग एल की गणना के लिए किया जाता है। आवश्यक मूल्यों को सरल और प्रतिस्थापित करने के बाद, समीकरण रूप लेगा: एमएस / एमएस + एमएल \u003d 329.390। इसलिए, सुश्री \u003d 3.3 * 10^33।

गतिज ऊर्जा एक यांत्रिक प्रणाली की ऊर्जा है, जो इसके प्रत्येक बिंदु की गति की गति पर निर्भर करती है। दूसरे शब्दों में, गतिज ऊर्जा विचाराधीन प्रणाली की कुल ऊर्जा और शेष ऊर्जा के बीच का अंतर है, जो गति के कारण प्रणाली की कुल ऊर्जा का वह हिस्सा है। गतिज ऊर्जा को विभाजित किया जाता है ऊर्जाअनुवाद और घूर्णी गति। गतिज ऊर्जा का SI मात्रक जूल है।

अनुदेश

ट्रांसलेशनल मोशन की स्थिति में, सिस्टम (बॉडी) के सभी बिंदुओं की गति की गति समान होती है, जो कि पिंड के द्रव्यमान के केंद्र की गति की गति के बराबर होती है। इस मामले में, गतिज प्रणाली Tpost बराबर है:
तपोस्ट = ? (एमके Vс2)/2,
जहाँ mk पिंड का द्रव्यमान है, Vс द्रव्यमान का केंद्र है। इस प्रकार, एक ट्रांसलेशनल बॉडी के साथ, गतिज ऊर्जा पिंड के द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर होती है और द्रव्यमान के केंद्र के वेग के वर्ग को विभाजित किया जाता है। दो से। इस मामले में, गतिज का मान गति पर निर्भर नहीं करता है।

इंजीनियरिंग अभ्यास में, ऐसा होता है कि सरल तत्वों से युक्त एक जटिल सपाट आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक हो जाता है जिसके लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का स्थान ज्ञात होता है। यह कार्य निर्धारित करने के कार्य का हिस्सा है ...

बीम और छड़ के मिश्रित क्रॉस सेक्शन की ज्यामितीय विशेषताएं। अक्सर इस तरह के सवालों का सामना डिजाइन इंजीनियरों द्वारा किया जाता है, जब दबाव के केंद्र के निर्देशांक का निर्धारण करते समय, विभिन्न वाहनों के लिए लोडिंग योजनाओं के डेवलपर्स, लोड करते समय, तत्वों के वर्गों का चयन करते समय धातु संरचनाओं के निर्माण के डिजाइनर और निश्चित रूप से, अध्ययन करते समय छात्रों की मृत्यु हो जाती है। विषयों "सैद्धांतिक यांत्रिकी" और "सामग्री की ताकत"।

प्राथमिक आंकड़ों का पुस्तकालय।

सममित समतल आकृतियों के लिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है। प्राथमिक वस्तुओं के सममित समूह में शामिल हैं: एक वृत्त, एक आयत (एक वर्ग सहित), एक समांतर चतुर्भुज (एक समचतुर्भुज सहित), एक नियमित बहुभुज।

ऊपर की आकृति में दिखाए गए दस आंकड़ों में से केवल दो बुनियादी हैं। यही है, त्रिकोण और मंडलियों के क्षेत्रों का उपयोग करके, आप व्यावहारिक रुचि के लगभग किसी भी आंकड़े को जोड़ सकते हैं। किसी भी मनमाना वक्र को वर्गों में विभाजित किया जा सकता है और वृत्तों के चापों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

शेष आठ आंकड़े सबसे आम हैं, यही वजह है कि उन्हें इस तरह के पुस्तकालय में शामिल किया गया था। हमारे वर्गीकरण में, ये तत्व बुनियादी नहीं हैं। एक आयत, एक समांतर चतुर्भुज और एक समलम्ब चतुर्भुज दो त्रिभुजों से मिलकर बना हो सकता है। एक षट्भुज चार त्रिभुजों का योग होता है। वृत्त का खंड वृत्त के त्रिज्यखंड और त्रिभुज के बीच का अंतर है। सर्कल का कुंडलाकार क्षेत्र दो क्षेत्रों के बीच का अंतर है। एक वृत्त एक वृत्त का एक त्रिज्यखंड है जिसका कोण α=2*π=360˚ है। एक अर्धवृत्त क्रमशः α=π=180˚ कोण वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है।

एक यौगिक आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक के एक्सेल में गणना।

विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक गणनाओं पर इस मुद्दे का अध्ययन करने की तुलना में एक उदाहरण पर विचार करके जानकारी को प्रसारित करना और समझना हमेशा आसान होता है। समस्या के समाधान पर विचार करें "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कैसे खोजें?" इस पाठ के नीचे की आकृति में दिखाए गए यौगिक आकृति के उदाहरण पर।

एक यौगिक खंड एक आयत है (आयामों के साथ ए1 =80 मिमी, बी1 \u003d 40 मिमी), जिसमें ऊपर बाईं ओर से एक समद्विबाहु त्रिभुज जोड़ा गया था (आधार के आकार के साथ) ए2 =24 मिमी और ऊंचाई एच2 \u003d 42 मिमी) और जिसमें से ऊपर दाईं ओर से एक अर्धवृत्त काटा गया था (निर्देशांक के साथ बिंदु पर केंद्रित) एक्स03 =50 मिमी और आप03 =40 मिमी, त्रिज्या आर3 = 26 मिमी)।

गणना करने में आपकी मदद करने के लिए, हम कार्यक्रम को शामिल करेंगे एमएस एक्सेल या कार्यक्रम ऊ कैल्क . उनमें से कोई भी आसानी से हमारे कार्य का सामना करेगा!

कोशिकाओं में पीला भरना संभव है सहायक प्रारंभिक गणना .

हल्के पीले रंग की भरण वाली कोशिकाओं में, हम परिणाम गिनते हैं।

नीला फ़ॉन्ट है आरंभिक डेटा .

काला फ़ॉन्ट है मध्यम गणना परिणाम .

लाल फ़ॉन्ट है अंतिम गणना परिणाम .

हम समस्या को हल करना शुरू करते हैं - हम अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक खोजना शुरू करते हैं।

आरंभिक डेटा:

1. प्राथमिक आंकड़ों के नाम जो संयुक्त खंड बनाते हैं, तदनुसार दर्ज किए जाएंगे

सेल D3 के लिए: आयत

सेल E3 के लिए: त्रिकोण

सेल F3 के लिए: आधा गोला

2. इस लेख में प्रस्तुत "प्राथमिक आंकड़ों के पुस्तकालय" का उपयोग करते हुए, हम समग्र खंड के तत्वों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। एक्ससीआईऔर वाईसीआईमिमी में मनमाने ढंग से चुने गए अक्षों के सापेक्ष 0x और 0y और लिखें

सेल D4 के लिए: =80/2 = 40,000

एक्ससी 1 = ए 1 /2

सेल D5 के लिए: =40/2 =20,000

वाईसी 1 = बी 1 /2

सेल E4 के लिए: =24/2 =12,000

एक्ससी 2 = ए 2 /2

सेल E5 के लिए: =40+42/3 =54,000

वाईसी 2 = बी 1 + एच 2 /3

सेल F4 के लिए: =50 =50,000

एक्ससी 3 = एक्स03

सेल F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

वाईसी 3 = आप 03 -4* r3 /3/ π

3. तत्वों के क्षेत्र की गणना करें एफ 1 , एफ 2 , एफ3 मिमी 2 में, "प्राथमिक आंकड़ों की लाइब्रेरी" खंड के सूत्रों का फिर से उपयोग करना

सेल D6 में: =40*80 =3200

एफ1 = ए 1 * बी1

सेल E6 में: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 / 2

सेल F6 में: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

तीसरे तत्व का क्षेत्रफल - अर्धवृत्त - ऋणात्मक है क्योंकि यह कटआउट एक खाली स्थान है!

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना:

4. अंतिम आकृति का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एफ0 मिमी2 . में

मर्ज किए गए सेल में D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

एफ0 = एफ 1 + एफ 2 + एफ3

5. समग्र आकृति के स्थिर क्षणों की गणना करें एसएक्सऔर एसवाईमिमी3 में चयनित अक्षों के सापेक्ष 0x और 0y

मर्ज किए गए सेल में D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

एसएक्स = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

मर्ज किए गए सेल में D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

एसवाई = एक्ससी1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. और अंत में, हम समग्र खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करते हैं एक्ससीऔर वाईसीचयनित समन्वय प्रणाली में मिमी में 0x - 0y

मर्ज किए गए सेल में D11E11F11: =D10/D8 =30,640

एक्ससी = एसवाई / एफ0

मर्ज किए गए सेल में D12E12F12: =D9/D8 =22,883

वाईसी = एसएक्स / एफ0

समस्या हल हो गई है, एक्सेल में गणना पूरी हो गई है - तीन सरल तत्वों का उपयोग करके संकलित अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक पाए जाते हैं!

निष्कर्ष।

एक जटिल खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गणना के लिए कार्यप्रणाली को समझना आसान बनाने के लिए लेख में उदाहरण को बहुत सरल चुना गया था। विधि इस तथ्य में निहित है कि किसी भी जटिल आकृति को गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों के ज्ञात स्थानों के साथ सरल तत्वों में विभाजित किया जाना चाहिए और पूरे खंड के लिए अंतिम गणना की जानी चाहिए।

यदि अनुभाग लुढ़का हुआ प्रोफाइल - कोनों और चैनलों से बना है, तो उन्हें कट आउट सर्कुलर "π / 2" - सेक्टरों के साथ आयतों और वर्गों में तोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है। इन प्रोफाइलों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक GOST तालिकाओं में दिए गए हैं, अर्थात, कोने और चैनल दोनों आपके समग्र वर्गों की गणना में बुनियादी प्राथमिक तत्व होंगे (यह आई-बीम, पाइप के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है) , बार और षट्भुज - ये केंद्रीय रूप से सममित खंड हैं)।

निर्देशांक कुल्हाड़ियों का स्थान, निश्चित रूप से, आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति को प्रभावित नहीं करता है! इसलिए, एक समन्वय प्रणाली चुनें जो आपकी गणना को सरल करे। यदि, उदाहरण के लिए, मैंने अपने उदाहरण में समन्वय प्रणाली को 45˚ दक्षिणावर्त घुमाया, तो एक आयत, त्रिभुज और अर्धवृत्त के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों के निर्देशांक की गणना करना एक और अलग और बोझिल गणना चरण में बदल जाएगा जो आप नहीं कर सकते " अपने सिर में"।

नीचे प्रस्तुत एक्सेल गणना फ़ाइल इस मामले में कोई प्रोग्राम नहीं है। बल्कि, यह एक कैलकुलेटर, एक एल्गोरिथम, एक टेम्प्लेट का एक स्केच है जो प्रत्येक मामले में अनुसरण करता है। चमकीले पीले रंग की भरण वाले कक्षों के लिए सूत्रों का अपना स्वयं का अनुक्रम बनाएं.

तो, अब आप जानते हैं कि किसी भी खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का पता कैसे लगाया जाता है! मनमाना जटिल मिश्रित वर्गों की सभी ज्यामितीय विशेषताओं की पूरी गणना पर अगले लेखों में से एक में शीर्षक "" के तहत विचार किया जाएगा। ब्लॉग पर खबर का पालन करें।

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एक गिलास, एक सिक्का और दो कांटे के बारे में कुछ शब्द, जिन्हें लेख की शुरुआत में "आइकन-चित्रण" पर दर्शाया गया है। आप में से बहुत से लोग निश्चित रूप से इस "चाल" से परिचित हैं जो बच्चों और अशिक्षित वयस्कों से प्रशंसात्मक झलकियाँ पैदा करता है। इस लेख का विषय गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है। यह वह और आधार है, जो हमारी चेतना और अनुभव के साथ खेल रहा है, बस हमारे दिमाग को मूर्ख बनाता है!

"कांटे + सिक्का" प्रणाली का गुरुत्वाकर्षण केंद्र हमेशा स्थित होता है हल किया गयादूरी लंबवत नीचेसिक्के के किनारे से, जो बदले में आधार है। यह स्थिर संतुलन की स्थिति है!यदि आप कांटे हिलाते हैं, तो यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि सिस्टम अपनी पूर्व स्थिर स्थिति लेने का प्रयास कर रहा है! एक पेंडुलम की कल्पना करें - लंगर बिंदु (= कांच के किनारे पर सिक्के के समर्थन का बिंदु), पेंडुलम की छड़-अक्ष (= हमारे मामले में, अक्ष आभासी है, क्योंकि दो कांटों का द्रव्यमान है अंतरिक्ष की अलग-अलग दिशाओं में अलग) और धुरी के तल पर वजन (= संपूर्ण "कांटा" प्रणाली + सिक्का का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र)। यदि आप किसी भी दिशा (आगे, पीछे, बाएं, दाएं) में लंबवत से पेंडुलम को विचलित करना शुरू करते हैं, तो यह अनिवार्य रूप से गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा। संतुलन की स्थिर स्थिति(हमारे कांटे और सिक्के के साथ भी ऐसा ही होता है)!

कौन नहीं समझा, लेकिन समझना चाहता है - इसे स्वयं समझें। अपने आप तक "पहुंचना" बहुत दिलचस्प है! मैं जोड़ूंगा कि स्थिर संतुलन का उपयोग करने का एक ही सिद्धांत रोली-गेट अप टॉय में भी लागू किया गया है। इस खिलौने का केवल गुरुत्वाकर्षण केंद्र फुलक्रम के ऊपर स्थित है, लेकिन सहायक सतह के गोलार्ध के केंद्र के नीचे है।

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