यह ज्ञात है कि मूल चिह्न किसी संख्या का वर्गमूल होता है। हालांकि, मूल चिह्न का अर्थ न केवल एक बीजीय संक्रिया है, बल्कि इसका उपयोग लकड़ी के काम में भी किया जाता है - सापेक्ष आकारों की गणना में।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

यदि आप "साथ" या "बिना" कारकों को गुणा करना सीखना चाहते हैं, तो यह लेख आपके लिए है। इसमें, हम जड़ों को गुणा करने के तरीकों पर विचार करेंगे:

• गुणकों के बिना;
• गुणकों के साथ;
• विभिन्न संकेतकों के साथ।

गुणकों के बिना मूल गुणन विधि

क्रिया एल्गोरिथ्म:

सुनिश्चित करें कि जड़ में समान घातांक (डिग्री) हैं। याद रखें कि मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर डिग्री लिखी जाती है। यदि कोई डिग्री पदनाम नहीं है, तो इसका मतलब है कि मूल वर्ग है, अर्थात। डिग्री 2 के साथ, और इसे डिग्री 2 के साथ अन्य जड़ों से गुणा किया जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: 18 × 2 = ?

उदाहरण 2: 10 × 5 = ?

उदाहरण

उदाहरण 1: 18 × 2 = 36

उदाहरण 2: 10 × 5 = 50

उदाहरण 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

मूल भावों को सरल कीजिए।जब हम मूलों को एक-दूसरे से गुणा करते हैं, तो हम परिणामी मूलक व्यंजक को किसी संख्या (या व्यंजक) के गुणनफल में पूर्ण वर्ग या घन से सरल बना सकते हैं:

उदाहरण

उदाहरण 1: 36 = 6। 36 छह का वर्गमूल है (6 × 6 = 36)।

उदाहरण 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2। हम संख्या 50 को 25 और 2 के गुणनफल में विघटित करते हैं। 25 का मूल 5 है, इसलिए हम मूल चिह्न के नीचे से 5 निकालते हैं और व्यंजक को सरल करते हैं।

उदाहरण 3: 27 3 = 3। 27 का घनमूल 3:3 × 3 × 3 = 27 है।

गुणकों के साथ संकेतकों को गुणा करने की विधि

क्रिया एल्गोरिथ्म:

गुणक गुणक।गुणक वह संख्या है जो मूल चिह्न से पहले आती है। गुणक की अनुपस्थिति में, इसे डिफ़ॉल्ट रूप से एक माना जाता है। अगला, आपको कारकों को गुणा करने की आवश्यकता है:

उदाहरण

उदाहरण 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 एक्स 1 = 3

उदाहरण 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

रूट साइन के तहत संख्याओं को गुणा करें।एक बार जब आप गुणनखंडों को गुणा कर लेते हैं, तो बेझिझक मूल चिह्न के नीचे की संख्याओं को गुणा करें:

उदाहरण

उदाहरण 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

उदाहरण 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

मूल व्यंजक को सरल कीजिए।अगला, आपको उन मानों को सरल बनाना चाहिए जो मूल चिह्न के अंतर्गत हैं - आपको संबंधित संख्याओं को मूल चिह्न से बाहर निकालने की आवश्यकता है। उसके बाद, आपको मूल चिह्न से पहले आने वाली संख्याओं और कारकों को गुणा करना होगा:

उदाहरण

उदाहरण 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

उदाहरण 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

विभिन्न घातांक के साथ मूल गुणन विधि

क्रिया एल्गोरिथ्म:

घातांकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए।लघुत्तम समापवर्त्य वह छोटी से छोटी संख्या है जो दोनों घातांकों से विभाज्य है।

उदाहरण

निम्नलिखित अभिव्यक्ति के लिए संकेतकों का एलसीएम खोजना आवश्यक है:

घातांक 3 और 2 हैं। इन दो संख्याओं के लिए, सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 6 है (यह शेषफल के बिना 3 और 2 दोनों से विभाज्य है)। जड़ों को गुणा करने के लिए, 6 के घातांक की आवश्यकता होती है।

प्रत्येक व्यंजक को एक नए घातांक के साथ लिखें:

एलसीएम प्राप्त करने के लिए उन संख्याओं को खोजें जिनसे आपको संकेतकों को गुणा करने की आवश्यकता है।

व्यंजक 5 3 में आपको 6 प्राप्त करने के लिए 3 को 2 से गुणा करना होगा। और व्यंजक 2 2 में - इसके विपरीत, 6 प्राप्त करने के लिए 3 से गुणा करना आवश्यक है।

मूल चिह्न के नीचे की संख्या को पिछले चरण में मिली संख्या के बराबर घात तक बढ़ाएँ। पहली अभिव्यक्ति के लिए, 5 को 2 की शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है, और दूसरे - 2 को 3 की शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

अभिव्यक्ति की शक्ति तक बढ़ाएँ और परिणाम को मूल चिह्न के नीचे लिखें:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

जड़ के नीचे की संख्याओं को गुणा करें:

(8×25) 6

परिणाम लिखें:

(8 × 25) 6 = 200 6

यदि संभव हो तो व्यंजक को सरल कीजिए, लेकिन इस स्थिति में यह सरल नहीं है।

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हैलो बिल्ली के बच्चे! पिछली बार हमने विस्तार से विश्लेषण किया था कि जड़ें क्या हैं (यदि आपको याद नहीं है, तो मैं पढ़ने की सलाह देता हूं)। उस पाठ का मुख्य निष्कर्ष: जड़ों की केवल एक सार्वभौमिक परिभाषा है, जिसे आपको जानना आवश्यक है। बाकी सब बकवास है और समय की बर्बादी है।

आज हम और आगे बढ़ते हैं। हम जड़ों को गुणा करना सीखेंगे, हम गुणन से जुड़ी कुछ समस्याओं का अध्ययन करेंगे (यदि इन समस्याओं को हल नहीं किया जाता है, तो वे परीक्षा में घातक हो सकते हैं) और हम ठीक से अभ्यास करेंगे। तो पॉपकॉर्न पर स्टॉक करें, अपने आप को सहज बनाएं - और हम शुरू करेंगे। :)

आपने अभी तक धूम्रपान नहीं किया है, है ना?

पाठ काफी बड़ा निकला, इसलिए मैंने इसे दो भागों में विभाजित किया:

1. सबसे पहले, हम गुणन के नियमों को देखेंगे। टोपी इशारा कर रही है: यह तब होता है जब दो जड़ें होती हैं, उनके बीच एक "गुणा" चिह्न होता है - और हम इसके साथ कुछ करना चाहते हैं।
2. फिर हम विपरीत स्थिति का विश्लेषण करेंगे: एक बड़ी जड़ है, और हम इसे दो जड़ों के उत्पाद के रूप में सरल तरीके से प्रस्तुत करने के लिए अधीर थे। यह किस डर से जरूरी है, यह एक अलग सवाल है। हम केवल एल्गोरिथम का विश्लेषण करेंगे।

उन लोगों के लिए जो सीधे भाग 2 में कूदने का इंतजार नहीं कर सकते, आपका स्वागत है। आइए बाकी क्रम से शुरू करें।

मूल गुणन नियम

आइए सबसे सरल से शुरू करें - शास्त्रीय वर्गमूल। जिन्हें $\sqrt(a)$ और $\sqrt(b)$ द्वारा दर्शाया जाता है। उनके लिए, सब कुछ आम तौर पर स्पष्ट है:

गुणन नियम। एक वर्गमूल को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको बस उनके मूल भावों को गुणा करना होगा, और परिणाम को सामान्य मूलांक के तहत लिखना होगा:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

दाएं या बाएं संख्याओं पर कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं लगाया गया है: यदि गुणक जड़ें मौजूद हैं, तो उत्पाद भी मौजूद है।

उदाहरण। एक साथ संख्याओं के साथ चार उदाहरणों पर विचार करें:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ और \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ और \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ और \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस नियम का मुख्य अर्थ अपरिमेय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना है। और अगर पहले उदाहरण में हमने बिना किसी नए नियम के 25 और 4 से जड़ें निकाली होंगी, तो टिन शुरू होता है: $\sqrt(32)$ और $\sqrt(2)$ खुद से गिनती नहीं करते हैं, लेकिन उनका गुणनफल एक सटीक वर्ग बनता है, इसलिए इसका मूल एक परिमेय संख्या के बराबर होता है.

अलग से, मैं अंतिम पंक्ति को नोट करना चाहूंगा। वहां, दोनों मूल भाव भिन्न हैं। उत्पाद के लिए धन्यवाद, कई कारक रद्द हो जाते हैं, और संपूर्ण अभिव्यक्ति पर्याप्त संख्या में बदल जाती है।

बेशक, सब कुछ हमेशा इतना सुंदर नहीं होगा। कभी-कभी जड़ों के नीचे पूरी बकवास होगी - यह स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ क्या करना है और गुणा के बाद कैसे बदलना है। थोड़ी देर बाद, जब आप अपरिमेय समीकरणों और असमानताओं का अध्ययन करना शुरू करते हैं, तो सामान्य रूप से सभी प्रकार के चर और कार्य होंगे। और बहुत बार, समस्याओं के संकलनकर्ता केवल इस तथ्य पर भरोसा कर रहे हैं कि आपको कुछ अनुबंधित शर्तें या कारक मिलेंगे, जिसके बाद कार्य बहुत सरल हो जाएगा।

इसके अलावा, बिल्कुल दो जड़ों को गुणा करना आवश्यक नहीं है। आप एक साथ तीन गुणा कर सकते हैं, चार - हाँ दस भी! इससे नियम नहीं बदलेगा। जरा देखो तो:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ और \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

और फिर दूसरे उदाहरण पर एक छोटी सी टिप्पणी। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे गुणक में, जड़ के नीचे एक दशमलव अंश होता है - गणना की प्रक्रिया में, हम इसे नियमित रूप से बदल देते हैं, जिसके बाद सब कुछ आसानी से कम हो जाता है। इसलिए: मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि किसी भी अपरिमेय भाव में दशमलव अंशों से छुटकारा पाएं (अर्थात, जिसमें कम से कम एक मूल चिह्न हो)। यह आपको भविष्य में बहुत समय और तंत्रिकाओं की बचत करेगा।

लेकिन यह एक गेय विषयांतर था। अब आइए एक अधिक सामान्य मामले पर विचार करें - जब मूल प्रतिपादक में एक मनमाना संख्या $n$ होती है, न कि केवल "शास्त्रीय" दो।

एक मनमाना संकेतक का मामला

इसलिए, हमने वर्गमूलों का पता लगाया। और क्यूब्स के साथ क्या करना है? या सामान्य रूप से मनमानी डिग्री $n$ की जड़ों के साथ? हाँ, सब कुछ वैसा ही है। नियम वही रहता है:

डिग्री $n$ की दो जड़ों को गुणा करने के लिए, उनके मूल भावों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद परिणाम एक मूलांक के तहत लिखा जाता है।

सामान्य तौर पर, कुछ भी जटिल नहीं है। जब तक गणना की मात्रा अधिक नहीं हो सकती। आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण। उत्पादों की गणना करें:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ और \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\बाएं(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \अंत (संरेखित करें)\]

और दूसरी अभिव्यक्ति पर फिर से ध्यान दें। हम घन की जड़ों को गुणा करते हैं, दशमलव अंश से छुटकारा पाते हैं, और परिणामस्वरूप हमें हर में संख्या 625 और 25 का गुणनफल मिलता है। यह एक बड़ी संख्या है - व्यक्तिगत रूप से, मैं तुरंत गणना नहीं करूंगा कि यह क्या बराबर है को।

इसलिए, हमने केवल अंश और हर में सटीक घन का चयन किया, और फिर $n$th डिग्री के मूल के एक प्रमुख गुण (या, यदि आप चाहें, तो परिभाषा) का उपयोग किया:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ और \sqrt(((a)^(2n)))=\बाएं| ए\राइट|. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस तरह के "घोटाले" परीक्षा या परीक्षा में आपका बहुत समय बचा सकते हैं, इसलिए याद रखें:

रेडिकल एक्सप्रेशन में संख्याओं को गुणा करने में जल्दबाजी न करें। सबसे पहले, जांचें: क्या होगा यदि किसी अभिव्यक्ति की सटीक डिग्री वहां "एन्क्रिप्टेड" हो?

इस टिप्पणी की पूरी स्पष्टता के साथ, मुझे यह स्वीकार करना होगा कि अधिकांश अप्रस्तुत छात्र बिंदु रिक्त स्थान को सटीक डिग्री नहीं देखते हैं। इसके बजाय, वे आगे सब कुछ गुणा करते हैं, और फिर आश्चर्य करते हैं: उन्हें इतनी क्रूर संख्या क्यों मिली? :)

हालाँकि, अब हम जो अध्ययन करेंगे, उसकी तुलना में यह सब बच्चों का खेल है।

विभिन्न घातांक के साथ जड़ों का गुणन

खैर, अब हम एक ही घातांक के साथ जड़ों को गुणा कर सकते हैं। क्या होगा यदि स्कोर अलग हैं? कहो, आप एक साधारण $\sqrt(2)$ को $\sqrt(23)$ जैसे कुछ बकवास से कैसे गुणा करते हैं? क्या ऐसा करना भी संभव है?

हां बेशक आप कर सकते हैं। सब कुछ इस सूत्र के अनुसार किया जाता है:

मूल गुणन नियम। $\sqrt[n](a)$ को $\sqrt[p](b)$ से गुणा करने के लिए, बस निम्नलिखित परिवर्तन करें:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

हालाँकि, यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब कट्टरपंथी अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक हैं. यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण टिप्पणी है, जिस पर हम थोड़ी देर बाद लौटेंगे।

अभी के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ और \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ और \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। अब आइए जानें कि गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता कहां से आई और यदि हम इसका उल्लंघन करते हैं तो क्या होगा। :)

जड़ों को गुणा करना आसान है।

कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को गैर-नकारात्मक क्यों होना चाहिए?

बेशक, आप स्कूल के शिक्षकों की तरह बन सकते हैं और एक स्मार्ट लुक वाली पाठ्यपुस्तक को उद्धृत कर सकते हैं:

गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता सम और विषम डिग्री की जड़ों की विभिन्न परिभाषाओं से जुड़ी है (क्रमशः, उनकी परिभाषा के क्षेत्र भी भिन्न हैं)।

अच्छा, यह स्पष्ट हो गया? निजी तौर पर, जब मैंने 8वीं कक्षा में इस बकवास को पढ़ा, तो मैं अपने लिए कुछ इस तरह समझ गया: "गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता *#&^@(*#@^#)~%" से जुड़ी है - संक्षेप में, मैं उस समय बकवास समझ में नहीं आया। :)

तो अब मैं सब कुछ सामान्य तरीके से समझाऊंगा।

सबसे पहले, आइए जानें कि उपरोक्त गुणन सूत्र कहाँ से आता है। ऐसा करने के लिए, मैं आपको जड़ की एक महत्वपूर्ण संपत्ति की याद दिलाता हूं:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

दूसरे शब्दों में, हम रूट एक्सप्रेशन को किसी भी प्राकृतिक शक्ति $k$ तक सुरक्षित रूप से बढ़ा सकते हैं - इस मामले में, रूट इंडेक्स को उसी शक्ति से गुणा करना होगा। इसलिए, हम किसी भी मूल को आसानी से एक सामान्य संकेतक तक कम कर सकते हैं, जिसके बाद हम गुणा करते हैं। यह वह जगह है जहाँ से गुणन सूत्र आता है:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

लेकिन एक समस्या है जो इन सभी सूत्रों के आवेदन को गंभीर रूप से सीमित कर देती है। इस संख्या पर विचार करें:

अभी दिए गए फॉर्मूले के अनुसार हम कोई भी डिग्री जोड़ सकते हैं। आइए $k=2$ जोड़ने का प्रयास करें:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

हमने माइनस को ठीक से हटा दिया क्योंकि वर्ग माइनस को जला देता है (किसी भी अन्य डिग्री की तरह)। और अब हम रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन करते हैं: घातांक और डिग्री में दोनों को "कम" करें। आखिरकार, किसी भी समानता को बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों में पढ़ा जा सकता है:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ए); \\ और \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन फिर कुछ पागल होता है:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

ऐसा नहीं हो सकता क्योंकि $\sqrt(-5) \lt 0$ और $\sqrt(5) \gt 0$। इसका मतलब है कि यहां तक ​​कि घातों और ऋणात्मक संख्याओं के लिए, हमारा सूत्र अब काम नहीं करता है। जिसके बाद हमारे पास दो विकल्प होते हैं:

1. दीवार के खिलाफ लड़ने के लिए यह कहने के लिए कि गणित एक बेवकूफ विज्ञान है, जहां "कुछ नियम हैं, लेकिन यह गलत है";
2. अतिरिक्त प्रतिबंध लागू करें जिसके तहत सूत्र 100% काम करने वाला हो जाएगा।

पहले विकल्प में, हमें लगातार "गैर-कामकाजी" मामलों को पकड़ना होगा - यह कठिन, लंबा और आम तौर पर फू है। इसलिए गणितज्ञों ने दूसरा विकल्प पसंद किया। :)

लेकिन घबराना नहीं! व्यवहार में, यह प्रतिबंध किसी भी तरह से गणना को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि सभी वर्णित समस्याएं केवल एक विषम डिग्री की जड़ों की चिंता करती हैं, और उनमें से माइनस निकाले जा सकते हैं।

इसलिए, हम एक और नियम बनाते हैं जो सामान्य रूप से जड़ों के साथ सभी क्रियाओं पर लागू होता है:

जड़ों को गुणा करने से पहले, सुनिश्चित करें कि मूल अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक हैं।

उदाहरण। संख्या $\sqrt(-5)$ में, आप मूल चिह्न के नीचे से ऋण निकाल सकते हैं - तब सब कुछ ठीक हो जाएगा:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

अंतर महसूस करें? यदि आप माइनस को रूट के नीचे छोड़ देते हैं, तो जब रेडिकल एक्सप्रेशन को चुकता किया जाता है, तो यह गायब हो जाएगा, और बकवास शुरू हो जाएगी। और यदि आप पहले माइनस निकालते हैं, तो आप एक वर्ग को तब तक बढ़ा / हटा सकते हैं जब तक कि आप नीले रंग के न हों - संख्या नकारात्मक रहेगी। :)

इस प्रकार, जड़ों को गुणा करने का सबसे सही और सबसे विश्वसनीय तरीका इस प्रकार है:

1. रेडिकल्स के नीचे से सभी माइनस को हटा दें। माइनस केवल विषम बहुलता की जड़ों में होते हैं - उन्हें रूट के सामने रखा जा सकता है और यदि आवश्यक हो, तो कम किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, यदि इनमें से दो माइनस हैं)।
2. आज के पाठ में ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार गुणा करें। यदि मूलों के सूचकांक समान हैं, तो बस मूल व्यंजकों को गुणा करें। और यदि वे भिन्न हैं, तो हम दुष्ट सूत्र \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) का उपयोग करते हैं ^(एन)))\]।
3. 3. हम परिणाम और अच्छे ग्रेड का आनंद लेते हैं। :)

कुंआ? क्या हम अभ्यास करें?

उदाहरण 1. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ वर्ग (64) = -4; \end(संरेखित)\]

यह सबसे सरल विकल्प है: जड़ों के संकेतक समान और विषम हैं, समस्या केवल दूसरे गुणक के ऋण में है। हम इस माइनस नफिग को सहते हैं, जिसके बाद सब कुछ आसानी से माना जाता है।

उदाहरण 2. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( संरेखित करें)\]

यहाँ, कई लोग इस तथ्य से भ्रमित होंगे कि आउटपुट एक अपरिमेय संख्या निकला। हां, ऐसा होता है: हम पूरी तरह से जड़ से छुटकारा नहीं पा सके, लेकिन कम से कम हमने अभिव्यक्ति को काफी सरल बना दिया।

उदाहरण 3. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((()) a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((ए)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

यही मैं आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। यहाँ दो बिंदु हैं:

1. जड़ के नीचे एक विशिष्ट संख्या या डिग्री नहीं है, लेकिन चर $a$ है। पहली नज़र में, यह थोड़ा असामान्य है, लेकिन वास्तव में, गणितीय समस्याओं को हल करते समय, आपको अक्सर चर से निपटना होगा।
2. अंत में, हम मूल प्रतिपादक और कट्टरपंथी अभिव्यक्ति में डिग्री को "कम" करने में कामयाब रहे। ऐसा काफी बार होता है। और इसका मतलब है कि यदि आप मुख्य सूत्र का उपयोग नहीं करते हैं तो गणनाओं को सरल बनाना संभव था।

उदाहरण के लिए, आप यह कर सकते हैं:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \अंत (संरेखित करें)\]

वास्तव में, सभी परिवर्तन केवल दूसरे कट्टरपंथी के साथ किए गए थे। और यदि आप सभी मध्यवर्ती चरणों को विस्तार से चित्रित नहीं करते हैं, तो अंत में गणना की मात्रा में काफी कमी आएगी।

वास्तव में, $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ उदाहरण को हल करते समय हम पहले ही ऊपर इसी तरह के कार्य का सामना कर चुके हैं। अब इसे बहुत आसान लिखा जा सकता है:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\बाएं(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\वर्ग (75)। \end(संरेखित करें)\]

खैर, हमने जड़ों के गुणन का पता लगा लिया। अब व्युत्क्रम संक्रिया पर विचार करें: जब कोई कार्य जड़ के नीचे हो तो क्या करें?

शक्ति सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीएक एन-एक संख्या की शक्ति एजब:

डिग्री के साथ संचालन।

1. एक ही आधार से डिग्रियों को गुणा करने पर, उनके संकेतक जुड़ते हैं:

हूँए एन = ए एम + एन।

2. एक ही आधार के साथ डिग्री के विभाजन में, उनके संकेतक घटाए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन बी एन सी एन …

4. भिन्न की घात, भाज्य और भाजक की अंशों के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन / बी एन।

5. किसी घात को घात में बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(एम) एन = एक एम एन।

ऊपर दिया गया प्रत्येक सूत्र बाएं से दाएं और इसके विपरीत दिशाओं में सही है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन।

1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:

2. अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. जब किसी जड़ को किसी घात में ऊपर उठाया जाता है, तो यह मूल संख्या को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त होता है:

4. यदि हम जड़ की मात्रा को में बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में बढ़ाएँ एन th पावर एक रूट नंबर है, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि हम जड़ की डिग्री को में घटा दें एनएक ही समय में जड़ एनमूलांक से th डिग्री, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री।एक गैर-सकारात्मक (पूर्णांक) घातांक के साथ एक निश्चित संख्या की डिग्री को गैर-सकारात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर एक घातांक के साथ समान संख्या की डिग्री से विभाजित के रूप में परिभाषित किया गया है:

सूत्र हूँ:ए एन = ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन यह भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्र के लिए हूँ:ए एन = ए एम - एननिष्पक्ष हो गया एम = एन, आपको शून्य डिग्री की उपस्थिति की आवश्यकता है।

शून्य घातांक के साथ डिग्री।शून्य घातांक वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात एक के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री।वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एएक स्तर तक मी/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एमइस संख्या की शक्ति ए.