एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी आर- पसली के बीच में अब, एस- ऊपर।
यह जाना जाता है कि एसआर = 6, और पार्श्व सतह क्षेत्र है 36 .
खंड की लंबाई पाएं ईसा पूर्व.

चलो एक शरारत करते हैं। एक नियमित पिरामिड में, पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

रेखा खंड एसआर- माध्यिका को आधार तक नीचे किया जाता है, और इसलिए पार्श्व चेहरे की ऊंचाई।

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है
तीन बराबर पक्ष एस साइड = 3 एस एबीएस. यहाँ से एस एबीएस = 36: 3 = 12- चेहरा क्षेत्र।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार गुणा उसकी ऊंचाई का आधा गुणनफल होता है।
एस एबीएस = 0.5 एबी एसआर. क्षेत्रफल और ऊँचाई जानने के बाद, हम आधार की भुजा ज्ञात करते हैं एबी = बीसी.
12 = 0.5 एबी 6
12 = 3 एबी
एबी = 4

उत्तर: 4

आप दूसरे छोर से समस्या से संपर्क कर सकते हैं। आधार के किनारे चलो एबी = बीसी = ए.
फिर चेहरे का क्षेत्र एस एबीएस = 0.5 एबी एसआर = 0.5 ए 6 = 3 ए.

तीनों चेहरों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल है 3 ए, तीन फलकों का क्षेत्रफल है 9a.
समस्या की स्थिति के अनुसार पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 36 है।
एस साइड = 9ए = 36.
यहाँ से ए = 4.

स्टीरियोमेट्री के स्कूल पाठ्यक्रम में, विभिन्न स्थानिक आंकड़ों के गुणों का अध्ययन किया जाता है। उनमें से एक पिरामिड है। यह लेख इस सवाल के लिए समर्पित है कि पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। एक काटे गए पिरामिड के लिए इस क्षेत्र को निर्धारित करने के सवाल का भी खुलासा किया गया है।

एक पिरामिड क्या है?

कई, "पिरामिड" शब्द सुनते हुए, तुरंत प्राचीन मिस्र की भव्य संरचनाओं की कल्पना करते हैं। दरअसल, चेप्स और खफरे की कब्रें नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड हैं। फिर भी, एक पिरामिड भी एक चतुष्फलक होता है, जिसमें पाँच-, छः-, n-कोणीय आधार वाले आंकड़े होते हैं।

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ज्यामिति में, पिरामिड की अवधारणा को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। यह आंकड़ा अंतरिक्ष में एक वस्तु के रूप में समझा जाता है, जो एक निश्चित बिंदु को एक फ्लैट एन-गॉन के कोनों से जोड़ने के परिणामस्वरूप बनता है, जहां n एक पूर्णांक है। नीचे दिया गया चित्र चार पिरामिडों को दिखाता है जिनके आधार पर विभिन्न संख्या में कोने हैं।

वह बिंदु जिससे आधार के सभी कोने जुड़े हुए हैं, इसके तल में नहीं होता है। इसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। यदि हम इसके आधार पर एक लंब खींचते हैं, तो हमें ऊँचाई प्राप्त होती है। वह आकृति जिसमें ऊँचाई ज्यामितीय केंद्र पर आधार को काटती है, एक सीधी रेखा कहलाती है। कभी-कभी एक सीधे पिरामिड का एक नियमित आधार होता है, जैसे कि एक वर्ग, एक समबाहु त्रिभुज, इत्यादि। इस मामले में, इसे सही कहा जाता है।

पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करते समय, नियमित आंकड़ों के साथ काम करना सुविधाजनक होता है।

पार्श्व आकृति का सतह क्षेत्र

पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे समझा जा सकता है यदि हम उपयुक्त परिभाषा का परिचय दें और इस आकृति के लिए एक समतल पर खुलने पर विचार करें।

कोई भी पिरामिड चेहरों से बनता है, जो किनारों से एक दूसरे से अलग होते हैं। आधार n-gon द्वारा निर्मित फलक है। अन्य सभी फलक त्रिभुज हैं। उनमें से n हैं, और साथ में वे आकृति की पार्श्व सतह बनाते हैं।

यदि हम किनारे के किनारे की सतह को काटते हैं और इसे एक समतल पर खोलते हैं, तो हमें एक पिरामिड का विकास मिलता है। उदाहरण के लिए, एक हेक्सागोनल पिरामिड नीचे दिखाया गया है।

यह देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह छह समान त्रिभुजों द्वारा बनाई गई है।

अब यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का पता कैसे लगाया जाए। ऐसा करने के लिए, सभी त्रिभुजों के क्षेत्रों को जोड़ें। एक एन-गोनल नियमित पिरामिड के मामले में, जिसका आधार पक्ष एक के बराबर है, विचाराधीन सतह के लिए, हम सूत्र लिख सकते हैं:

यहाँ hb पिरामिड का एपोथेम है। यही है, त्रिभुज की ऊंचाई, आकृति के शीर्ष से आधार के किनारे तक कम हो जाती है। यदि एपोथेम अज्ञात है, तो इसकी गणना एन-गॉन के मापदंडों और आकृति की ऊंचाई एच के मान को जानकर की जा सकती है।

काटे गए पिरामिड और उसकी सतह

जैसा कि आप नाम से अनुमान लगा सकते हैं, एक नियमित आकृति से एक छोटा पिरामिड प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आधार के समानांतर एक विमान के साथ शीर्ष को काट लें। नीचे दिया गया चित्र एक षट्कोणीय आकृति के लिए इस प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है।

इसकी पार्श्व सतह समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों का योग है। एक काटे गए पिरामिड (सही) के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र है:

एसबी = एचबी*एन*(ए1 + ए2)/2

यहाँ hb आकृति का एपोथेम है, जो समलंब की ऊँचाई है। मान a1 और a2 पक्षों के आधारों की लंबाई हैं।

त्रिकोणीय पिरामिड के लिए पार्श्व सतह की गणना

आइए दिखाते हैं कि पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक नियमित त्रिकोणीय है, आइए एक विशिष्ट समस्या का उदाहरण देखें। यह ज्ञात है कि आधार की भुजा, जो एक समबाहु त्रिभुज है, 10 सेमी है। आकृति की ऊंचाई 15 सेमी है।

इस पिरामिड का विकास चित्र में दिखाया गया है। एसबी के लिए सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको पहले एपोथेम एचबी खोजना होगा। एचबी और एच पक्षों पर बने पिरामिड के अंदर एक समकोण त्रिभुज को ध्यान में रखते हुए, समानता को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

एचबी = (एच2+ए2/12)

हम डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं और वह प्राप्त करते हैं hb≈15.275 सेमी।

अब आप Sb के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

एसबी \u003d एन * ए * एचबी / 2 \u003d 3 * 10 * 15.275 / 2 \u003d 229.125 सेमी 2

ध्यान दें कि एक त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार, उसके पार्श्व फलक की तरह, एक त्रिभुज द्वारा बनता है। हालाँकि, क्षेत्रफल Sb की गणना करते समय इस त्रिभुज को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

पिरामिड- आधार पर स्थित बहुभुजों और त्रिभुजों से बने बहुफलक की किस्मों में से एक और इसके फलक हैं।

इसके अलावा, पिरामिड के शीर्ष पर (यानी एक बिंदु पर), सभी चेहरे संयुक्त होते हैं।

पिरामिड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, यह निर्धारित करने योग्य है कि इसकी पार्श्व सतह में कई त्रिकोण होते हैं। और हम आसानी से उनके क्षेत्रों का पता लगा सकते हैं

विभिन्न सूत्र। हम त्रिभुजों के कौन-से आँकड़ों को जानते हैं, इसके आधार पर हम उनका क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं।

हम कुछ सूत्रों को सूचीबद्ध करते हैं जिनके साथ आप त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

1. एस = (ए * एच) / 2 . इस स्थिति में, हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं एच , जिसे किनारे पर उतारा जाता है एक .
2. एस = ए*बी*सिनβ . यहाँ त्रिभुज की भुजाएँ हैं एक , बी , और उनके बीच का कोण है β .
3. एस = (आर * (ए + बी + सी)) / 2 . यहाँ त्रिभुज की भुजाएँ हैं ए, बी, सी . एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है आर .
4. एस = (ए*बी*सी)/4*आर . त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है आर .
5. एस = (ए*बी)/2 = आर² + 2*आर*आर . यह सूत्र केवल तभी लागू किया जाना चाहिए जब त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज हो।
6. एस = (ए²*√3) / 4 . हम इस सूत्र को एक समबाहु त्रिभुज पर लागू करते हैं।

हमारे पिरामिड के फलक वाले सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की गणना करने के बाद ही हम इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करेंगे।

पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए कोई कठिनाई उत्पन्न नहीं होती है: आपको सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करना होगा। आइए इसे सूत्र द्वारा व्यक्त करें:

सपा = Si

यहां सि पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और एस पी पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है।

आइए एक उदाहरण देखें। एक नियमित पिरामिड को देखते हुए, इसके पार्श्व फलक कई समबाहु त्रिभुजों द्वारा बनते हैं,

« हमारे मानसिक संकायों के शोधन के लिए ज्यामिति सबसे शक्तिशाली उपकरण है।».

गैलिलियो गैलिली।

और वर्ग पिरामिड का आधार है। इसके अलावा, पिरामिड के किनारे की लंबाई 17 सेमी है आइए इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हम इस तरह तर्क करते हैं: हम जानते हैं कि पिरामिड के फलक त्रिभुज हैं, वे समबाहु हैं। हम यह भी जानते हैं कि इस पिरामिड के किनारे की लंबाई कितनी है। यह इस प्रकार है कि सभी त्रिभुजों की समान भुजाएँ होती हैं, उनकी लंबाई 17 सेमी होती है।

इनमें से प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

एस = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 सेमी²

चूँकि हम जानते हैं कि वर्ग पिरामिड के आधार पर स्थित है, यह पता चलता है कि हमारे पास चार समबाहु त्रिभुज हैं। इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है: 125.137 सेमी² * 4 = 50.548 सेमी²

हमारा उत्तर निम्नलिखित है: 500.548 सेमी² - यह इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है।

इस ज्यामितीय आकृति और इसके गुणों के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करने से पहले, कुछ शर्तों को समझना आवश्यक है। जब कोई व्यक्ति पिरामिड के बारे में सुनता है, तो वह मिस्र में विशाल इमारतों की कल्पना करता है। यह वही है जो सबसे सरल दिखता है। लेकिन वे विभिन्न प्रकार और आकृतियों में आते हैं, जिसका अर्थ है कि ज्यामितीय आकृतियों के लिए गणना सूत्र अलग होंगे।

चित्र प्रकार

पिरामिड - ज्यामितीय आकृति, कई चेहरों को निरूपित करना और उनका प्रतिनिधित्व करना। वास्तव में, यह वही पॉलीहेड्रॉन है, जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है, और इसके किनारों पर त्रिभुज होते हैं जो एक बिंदु पर जुड़ते हैं - शीर्ष। आकृति दो मुख्य प्रकार की है:

• सही;
• छोटा कर दिया

पहले मामले में, आधार एक नियमित बहुभुज है। यहाँ सभी भुजाएँ समान हैंआपस में और फिगर के बीच खुद एक परफेक्शनिस्ट की आंख को खुश कर देगा।

दूसरे मामले में, दो आधार होते हैं - बहुत नीचे एक बड़ा और शीर्ष के बीच एक छोटा, मुख्य के आकार को दोहराते हुए। दूसरे शब्दों में, एक छोटा पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें आधार के समानांतर एक खंड होता है।

शर्तें और संकेतन

मूल शर्तें:

• नियमित (समबाहु) त्रिभुजतीन समान कोणों और समान भुजाओं वाली एक आकृति। इस मामले में, सभी कोण 60 डिग्री हैं। यह आकृति नियमित पॉलीहेड्रा में सबसे सरल है। यदि यह आंकड़ा आधार पर स्थित है, तो ऐसे बहुफलक को एक नियमित त्रिभुज कहा जाएगा। यदि आधार एक वर्ग है, तो पिरामिड को नियमित चतुर्भुज पिरामिड कहा जाएगा।
• शिखर- उच्चतम बिंदु जहां किनारे मिलते हैं। शीर्ष की ऊंचाई पिरामिड के आधार से ऊपर से निकलने वाली एक सीधी रेखा से बनती है।
• किनाराबहुभुज के विमानों में से एक है। यह एक त्रिकोणीय पिरामिड के मामले में एक त्रिभुज के रूप में हो सकता है, या एक काटे गए पिरामिड के लिए एक ट्रेपोजॉइड के रूप में हो सकता है।
• क्रॉस सेक्शन- विच्छेदन के परिणामस्वरूप बनी एक सपाट आकृति। एक सेक्शन के साथ भ्रमित होने की नहीं, क्योंकि एक सेक्शन यह भी दिखाता है कि सेक्शन के पीछे क्या है।
• एपोथेम- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक खींचा गया एक खंड। यह चेहरे की ऊंचाई भी है जहां दूसरा ऊंचाई बिंदु है। यह परिभाषा केवल एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के संबंध में मान्य है। उदाहरण के लिए - यदि यह एक छोटा पिरामिड नहीं है, तो चेहरा एक त्रिभुज होगा। इस मामले में, इस त्रिकोण की ऊंचाई एक एपोटेम बन जाएगी।

क्षेत्र सूत्र

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिएकिसी भी प्रकार को कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आकृति सममित नहीं है और विभिन्न भुजाओं वाला बहुभुज है, तो इस मामले में सभी सतहों की समग्रता के माध्यम से कुल सतह क्षेत्र की गणना करना आसान है। दूसरे शब्दों में, आपको प्रत्येक चेहरे के क्षेत्र की गणना करने और उन्हें एक साथ जोड़ने की आवश्यकता है।

ज्ञात मापदंडों के आधार पर, एक वर्ग, एक समलम्ब, एक मनमाना चतुर्भुज, आदि की गणना के लिए सूत्रों की आवश्यकता हो सकती है। विभिन्न मामलों में स्वयं सूत्रभी अलग होगा।

एक नियमित आकृति के मामले में, क्षेत्र का पता लगाना बहुत आसान है। केवल कुछ प्रमुख मापदंडों को जानना पर्याप्त है। ज्यादातर मामलों में, ऐसे आंकड़ों के लिए सटीक गणना की आवश्यकता होती है। इसलिए, संबंधित सूत्र नीचे दिए जाएंगे। अन्यथा, आपको सब कुछ कई पन्नों पर रंगना होगा, जो केवल भ्रमित और भ्रमित करेगा।

गणना के लिए मूल सूत्रएक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र इस तरह दिखेगा:

एस \u003d ½ पा (पी आधार की परिधि है, और एपोथेम है)

आइए उदाहरणों में से एक पर विचार करें। पॉलीहेड्रॉन का आधार खंड A1, A2, A3, A4, A5 है, और वे सभी 10 सेमी के बराबर हैं। मान लीजिए कि एपोथेम 5 सेमी के बराबर है। पहले आपको परिधि खोजने की जरूरत है। चूंकि आधार के सभी पांच चेहरे समान हैं, इसलिए इसे निम्नानुसार पाया जा सकता है: पी \u003d 5 * 10 \u003d 50 सेमी। अगला, हम मूल सूत्र लागू करते हैं: एस \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 सेमी वर्ग .

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रगणना करने में सबसे आसान। सूत्र इस तरह दिखता है:

S =½* ab *3, जहां a एपोटेम है, b आधार का पहलू है। यहाँ तीन के गुणन का अर्थ है आधार के फलकों की संख्या, और पहला भाग पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है। एक उदाहरण पर विचार करें। 5 सेमी के एपोटेम और 8 सेमी के आधार चेहरे के साथ एक आकृति को देखते हुए हम गणना करते हैं: एस = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 सेमी वर्ग।

एक काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रगणना करना थोड़ा अधिक कठिन है। सूत्र इस तरह दिखता है: एस \u003d 1/2 * (पी _01 + पी _02) * ए, जहां पी_01 और पी_02 आधारों की परिधि हैं, और एपोथेम है। एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए, एक चतुर्भुज आकृति के लिए, आधारों के पक्षों के आयाम 3 और 6 सेमी हैं, एपोटेम 4 सेमी है।

यहां, शुरुआत के लिए, आपको आधारों की परिधि मिलनी चाहिए: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 सेमी; p_02=6*4=24 सेमी. यह मूल्यों को मुख्य सूत्र में बदलने और प्राप्त करने के लिए बनी हुई है: एस = 1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 सेमी वर्ग।

इस प्रकार, किसी भी जटिलता के नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजना संभव है। सावधान रहें भ्रमित न होंपूरे पॉलीहेड्रॉन के कुल क्षेत्रफल के साथ ये गणना। और अगर आपको अभी भी ऐसा करने की आवश्यकता है, तो यह पॉलीहेड्रॉन के सबसे बड़े आधार के क्षेत्र की गणना करने और इसे पॉलीहेड्रॉन की पार्श्व सतह के क्षेत्र में जोड़ने के लिए पर्याप्त है।

वीडियो

विभिन्न पिरामिडों के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के तरीके के बारे में जानकारी को समेकित करने के लिए, यह वीडियो आपकी सहायता करेगा।

गणित में परीक्षा की तैयारी करते समय, छात्रों को बीजगणित और ज्यामिति के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करना होता है। मैं सभी ज्ञात सूचनाओं को जोड़ना चाहता हूं, उदाहरण के लिए, पिरामिड के क्षेत्र की गणना कैसे करें। इसके अलावा, बेस और साइड फेस से शुरू होकर पूरे सतह क्षेत्र तक। यदि भुजाओं के फलकों के साथ स्थिति स्पष्ट है, क्योंकि वे त्रिभुज हैं, तो आधार हमेशा भिन्न होता है।

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय क्या करें?

यह बिल्कुल कोई भी आकृति हो सकती है: एक मनमाना त्रिभुज से n-gon तक। और यह आधार, कोणों की संख्या में अंतर के अलावा, एक नियमित आंकड़ा या गलत हो सकता है। स्कूली बच्चों के हित के यूएसई कार्यों में, आधार पर सही आंकड़ों के साथ ही कार्य होते हैं। इसलिए, हम केवल उनके बारे में बात करेंगे।

सही त्रिकोण

वह समबाहु है। एक जिसमें सभी भुजाएँ समान हैं और "a" अक्षर से निरूपित होती हैं। इस मामले में, पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = (ए 2 * √3) / 4।

वर्ग

इसके क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सबसे सरल है, यहाँ "a" फिर से भुजा है:

मनमाना नियमित n-gon

बहुभुज के किनारे का एक ही पदनाम है। कोनों की संख्या के लिए लैटिन अक्षर n का उपयोग किया जाता है।

एस = (एन * ए 2) / (4 * टीजी (180º/एन))।

पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना करते समय कैसे आगे बढ़ें?

चूँकि आधार एक नियमित आकृति है, पिरामिड के सभी फलक समान हैं। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि किनारे बराबर हैं। फिर, पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको समान मोनोमियल के योग से युक्त एक सूत्र की आवश्यकता होती है। पदों की संख्या आधार की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जिसमें आधार के आधे गुणनफल को ऊँचाई से गुणा किया जाता है। पिरामिड में इस ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है। इसका पदनाम "ए" है। पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सामान्य सूत्र है:

एस \u003d ½ पी * ए, जहां पी पिरामिड के आधार की परिधि है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आधार की भुजाएँ ज्ञात नहीं होती हैं, लेकिन भुजाएँ (c) और इसके शीर्ष पर समतल कोण (α) दिए जाते हैं। फिर पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए इस तरह के सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

एस = एन/2 * 2 पाप में α .

कार्य 1

स्थि‍ति।पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसका आधार 4 सेमी की भुजा के साथ स्थित है, और एपोथेम का मान √3 सेमी है।

समाधान।आपको आधार की परिधि की गणना करके शुरू करने की आवश्यकता है। चूंकि यह एक नियमित त्रिकोण है, तो पी \u003d 3 * 4 \u003d 12 सेमी। चूंकि एपोथेम ज्ञात है, आप तुरंत पूरे पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं: ½ * 12 * 3 = 6 3 सेमी 2.

आधार पर एक त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित क्षेत्रफल मान प्राप्त होगा: (4 2 * 3) / 4 \u003d 4√3 सेमी 2.

पूरे क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, आपको दो परिणामी मान जोड़ने होंगे: 6√3 + 4√3 = 10√3 सेमी 2।

उत्तर। 10√3 सेमी2।

कार्य #2

स्थि‍ति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड है। आधार के किनारे की लंबाई 7 मिमी है, किनारे का किनारा 16 मिमी है। आपको इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल जानना होगा।

समाधान।चूँकि बहुफलक चतुर्भुज और नियमित है, तो इसका आधार एक वर्ग है। आधार और पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों को जानने के बाद, पिरामिड के क्षेत्र की गणना करना संभव होगा। वर्ग का सूत्र ऊपर दिया गया है। और भुजाओं के फलकों पर त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात होती हैं। इसलिए, आप उनके क्षेत्रों की गणना करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल है और इस संख्या की ओर ले जाती है: 49 मिमी 2। दूसरे मान के लिए, आपको अर्ध-परिधि की गणना करनी होगी: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 मिमी। अब आप समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 मिमी 2. ऐसे केवल चार त्रिभुज हैं, इसलिए अंतिम संख्या की गणना करते समय, आपको इसे 4 से गुणा करना होगा।

यह पता चला है: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 मिमी 2.

उत्तर. वांछित मूल्य 267.576 मिमी 2 है।

कार्य #3

स्थि‍ति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आपको क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है। इसमें वर्ग की भुजा 6 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी है।

समाधान।परिधि और एपोथेम के उत्पाद के साथ सूत्र का उपयोग करना सबसे आसान तरीका है। पहला मूल्य खोजना आसान है। दूसरा थोड़ा और कठिन है।

हमें पाइथागोरस प्रमेय को याद रखना होगा और विचार करना होगा कि यह पिरामिड की ऊंचाई और एपोथेम से बना है, जो कर्ण है। दूसरा पैर वर्ग के आधे हिस्से के बराबर है, क्योंकि पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई इसके बीच में आती है।

वांछित एपोथेम (एक समकोण त्रिभुज का कर्ण) √(3 2 + 4 2) = 5 (सेमी) है।

अब आप वांछित मूल्य की गणना कर सकते हैं: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (सेमी 2)।

उत्तर। 96 सेमी2.

टास्क #4

स्थि‍ति।इसके आधार का दाहिना भाग 22 मिमी, पार्श्व पसली 61 मिमी है। इस बहुफलक के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल क्या है?

समाधान।इसमें तर्क वही है जो समस्या संख्या 2 में वर्णित है। केवल आधार पर एक वर्ग के साथ एक पिरामिड दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

सबसे पहले, आधार के क्षेत्र की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 सेमी 2.

अब आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करना है, जो एक पार्श्व फलक है। (22 + 61 * 2): 2 = 72 सेमी। यह बगुला सूत्र का उपयोग करके ऐसे प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए रहता है, और फिर इसे छह से गुणा करें और इसे उस एक में जोड़ दें जो इसके लिए निकला था आधार।

बगुला सूत्र का उपयोग करके गणना: (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 सेमी 2। गणना जो पार्श्व सतह क्षेत्र देगी: 660 * 6 \u003d 3960 सेमी 2। पूरी सतह का पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ना बाकी है: 5217.47≈5217 सेमी 2.

उत्तर।आधार - 726√3 सेमी 2, पार्श्व सतह - 3960 सेमी 2, संपूर्ण क्षेत्रफल - 5217 सेमी 2।