इस पाठ में, हम अंतरिक्ष में समरूपता के प्रकारों का वर्णन करेंगे, एक नियमित बहुफलक की अवधारणा से परिचित होंगे।

जैसा कि प्लानिमेट्री में, अंतरिक्ष में हम एक बिंदु के संबंध में और एक रेखा के संबंध में समरूपता पर विचार करेंगे, लेकिन इसके अलावा, एक समतल के संबंध में समरूपता दिखाई देगी।

परिभाषा।

बिंदु A और बिंदु O (समरूपता का केंद्र) के बारे में सममित कहलाते हैं, यदि O खंड का मध्य बिंदु है। बिंदु O अपने आप में सममित है।

किसी दिए गए बिंदु A के लिए बिंदु O के संबंध में एक सममित बिंदु प्राप्त करने के लिए, आपको बिंदु A और O के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचनी होगी, बिंदु O से OA के बराबर खंड को अलग करना होगा, और वांछित बिंदु प्राप्त करना होगा ( आकृति 1)।

चावल। 1. एक बिंदु के बारे में समरूपता

इसी तरह, बिंदु B और बिंदु O के बारे में सममित हैं, क्योंकि O खंड का मध्य बिंदु है।

तो, एक कानून दिया गया है जिसके अनुसार विमान का प्रत्येक बिंदु विमान के दूसरे बिंदु पर जाता है, और हमने कहा कि कोई भी दूरी संरक्षित है, अर्थात।

अंतरिक्ष में एक रेखा के संबंध में समरूपता पर विचार करें।

किसी दिए गए बिंदु A के लिए किसी सीधी रेखा a के संबंध में एक सममित बिंदु प्राप्त करने के लिए, आपको बिंदु A से सीधी रेखा तक लंबवत को कम करना होगा और उस पर एक समान खंड सेट करना होगा (चित्र 2)।

चावल। 2. अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के संबंध में सममिति

परिभाषा।

बिंदु A और रेखा a (समरूपता की धुरी) के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि रेखा a खंड के बीच से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है। रेखा का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित है।

परिभाषा।

बिंदु A और समतल (समरूपता का तल) के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि विमान खंड के बीच से होकर गुजरता है और इसके लंबवत है। समतल का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित है (चित्र 3)।

चावल। 3. समतल के संबंध में सममिति

कुछ ज्यामितीय आकृतियों में सममिति का केंद्र, सममिति का अक्ष, सममिति का तल हो सकता है।

परिभाषा।

यदि आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के किसी बिंदु के सापेक्ष सममित हो तो बिंदु O को आकृति का सममिति केंद्र कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, एक समांतर चतुर्भुज और एक समानांतर चतुर्भुज में, सभी विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु सममिति का केंद्र होता है। आइए एक समानांतर चतुर्भुज के लिए उदाहरण दें।

चावल। 4. समांतर चतुर्भुज का सममिति केंद्र

तो, समांतर चतुर्भुज में बिंदु O के बारे में सममिति के साथ बिंदु A बिंदु पर जाता है, बिंदु B बिंदु पर जाता है, आदि, इस प्रकार, बॉक्स अपने आप में चला जाता है।

परिभाषा।

एक सीधी रेखा को किसी आकृति की सममिति का अक्ष कहा जाता है यदि आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के किसी बिंदु पर सममित हो।

उदाहरण के लिए, एक समचतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण उसके लिए समरूपता का अक्ष होता है, एक समचतुर्भुज अपने आप में तब परिवर्तित हो जाता है जब वह किसी विकर्ण के प्रति सममित होता है।

अंतरिक्ष में एक उदाहरण पर विचार करें - एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज (पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं, आधारों पर समान आयत)। इस तरह के समानांतर चतुर्भुज में समरूपता की कुल्हाड़ियाँ होती हैं। उनमें से एक समानांतर चतुर्भुज (विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु) और ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों के समरूपता के केंद्र से होकर गुजरता है।

परिभाषा।

यदि आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के किसी बिंदु के सापेक्ष सममित हो तो समतल को किसी आकृति का सममित तल कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, एक घनाभ में सममिति के तल होते हैं। उनमें से एक ऊपरी और निचले आधारों के विपरीत किनारों के बीच से होकर गुजरता है (चित्र 5)।

चावल। 5. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की सममिति का तल

समरूपता के तत्व नियमित पॉलीहेड्रा में निहित हैं।

परिभाषा।

उत्तल पॉलीहेड्रॉन को नियमित कहा जाता है यदि इसके सभी चेहरे समान नियमित बहुभुज होते हैं, और किनारों की समान संख्या प्रत्येक शीर्ष पर मिलती है।

प्रमेय।

कोई नियमित पॉलीहेड्रॉन नहीं है जिसके चेहरे नियमित एन-गॉन के लिए हैं।

सबूत:

उस मामले पर विचार करें जब एक नियमित षट्भुज हो। इसके सभी आंतरिक कोण बराबर हैं:

फिर आंतरिक कोणों पर बड़ा होगा।

पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक शीर्ष पर, कम से कम तीन किनारों का अभिसरण होता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक शीर्ष में कम से कम तीन समतल कोण होते हैं। उनका कुल योग (यह मानते हुए कि प्रत्येक उससे बड़ा या उसके बराबर है) उससे अधिक या उसके बराबर है। यह कथन का खंडन करता है: उत्तल पॉलीहेड्रॉन में, प्रत्येक शीर्ष पर सभी समतल कोणों का योग से कम होता है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

घन (चित्र 6):

चावल। 6. घन

घन छह वर्गों से बना है; एक वर्ग एक नियमित बहुभुज है;

प्रत्येक शीर्ष तीन वर्गों का एक शीर्ष है, उदाहरण के लिए, शीर्ष A, वर्गाकार फलक ABCD के लिए उभयनिष्ठ है, ;

प्रत्येक शीर्ष पर सभी समतल कोणों का योग होता है, क्योंकि इसमें तीन समकोण होते हैं। यह उससे कम है, जो एक नियमित बहुफलक की धारणा को संतुष्ट करता है;

घन में समरूपता का केंद्र होता है - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु;

घन में समरूपता की कुल्हाड़ियाँ हैं, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएँ a और b (चित्र 6), जहाँ सीधी रेखा a विपरीत फलकों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरती है, और b विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरती है;

एक घन में समरूपता के तल होते हैं, जैसे एक तल जो रेखाओं a और b से होकर गुजरता है।

2. नियमित टेट्राहेड्रोन (नियमित त्रिकोणीय पिरामिड, जिसके सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं):

चावल। 7. नियमित चतुष्फलक

एक नियमित चतुष्फलक चार समबाहु त्रिभुजों से बना होता है;

प्रत्येक शीर्ष पर सभी समतल कोणों का योग होता है, क्योंकि एक नियमित चतुष्फलक में तीन समतल कोण होते हैं। यह उससे कम है, जो एक नियमित बहुफलक की धारणा को संतुष्ट करता है;

एक नियमित टेट्राहेड्रोन में समरूपता की कुल्हाड़ियाँ होती हैं; वे विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं, उदाहरण के लिए, सीधी रेखा MN। इसके अलावा, एमएन क्रॉसिंग लाइनों एबी और सीडी के बीच की दूरी है, एमएन किनारों एबी और सीडी के लंबवत है;

एक नियमित चतुष्फलक में समरूपता के तल होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक किनारे और विपरीत किनारे के मध्य बिंदु से होकर गुजरता है (चित्र 7);

एक नियमित टेट्राहेड्रोन में समरूपता का कोई केंद्र नहीं होता है।

3. नियमित अष्टफलक:

आठ समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बनता है;

प्रत्येक शीर्ष पर चार किनारों का अभिसरण होता है;

प्रत्येक शीर्ष पर सभी समतल कोणों का योग होता है, क्योंकि एक नियमित अष्टफलक में चार समतल कोण होते हैं। यह उससे कम है, जो एक नियमित बहुफलक की अवधारणा को संतुष्ट करता है।

4. नियमित icosahedron:

बीस समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बनता है;

प्रत्येक शीर्ष पर पांच किनारों का अभिसरण होता है;

प्रत्येक शीर्ष पर सभी समतल कोणों का योग होता है, क्योंकि एक नियमित icosahedron में साथ में पाँच समतल कोण होते हैं। यह उससे कम है, जो एक नियमित बहुफलक की अवधारणा को संतुष्ट करता है।

5. नियमित डोडेकाहेड्रॉन:

बारह नियमित पेंटागन से मिलकर बनता है;

प्रत्येक शीर्ष पर तीन किनारों का अभिसरण होता है;

प्रत्येक शीर्ष पर सभी समतल कोणों का योग होता है . यह उससे कम है, जो एक नियमित बहुफलक की अवधारणा को संतुष्ट करता है।

इसलिए, हमने अंतरिक्ष में समरूपता के प्रकारों पर विचार किया और सख्त परिभाषाएँ दीं। हमने एक नियमित पॉलीहेड्रॉन की अवधारणा को भी परिभाषित किया, ऐसे पॉलीहेड्रा और उनके गुणों के उदाहरण माने जाते हैं।

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गृहकार्य

1. घनाभ की सममिति के अक्षों की संख्या निर्दिष्ट करें;
2. एक नियमित पंचकोणीय प्रिज्म की सममिति कुल्हाड़ियों की संख्या को इंगित करें;
3. अष्टफलक के सममिति तलों की संख्या बता सकेंगे;
4. एक पिरामिड का निर्माण करें जिसमें समरूपता के सभी तत्व हों।

- (परिभाषा) एक ज्यामितीय निकाय जो सभी पक्षों पर समतल बहुभुजों से घिरा होता है - चेहरे के.

पॉलीहेड्रा के उदाहरण:

फलकों के किनारों को किनारे कहा जाता है, और किनारों के सिरों को कोने कहा जाता है। चेहरों की संख्या के अनुसार, 4-हेड्रॉन, 5-हेड्रॉन आदि प्रतिष्ठित हैं। बहुफलक कहलाता है उत्तल, यदि यह सभी इसके प्रत्येक फलक के तल के एक ओर स्थित है। बहुफलक कहलाता है सही, यदि इसके फलक नियमित बहुभुज हैं (अर्थात वे जिनमें सभी भुजाएँ और कोण समान हैं) और शीर्षों पर सभी बहुफलकीय कोण समान हैं। नियमित पॉलीहेड्रा पांच प्रकार के होते हैं: टेट्राहेड्रोन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन, डोडेकेहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन।

बहुतलत्रि-आयामी अंतरिक्ष में (एक पॉलीहेड्रॉन की अवधारणा) - फ्लैट बहुभुजों की एक सीमित संख्या का संग्रह जैसे कि

1) एक का प्रत्येक पक्ष एक ही समय में दूसरे का एक पक्ष होता है (लेकिन केवल एक), जिसे पहले (इस तरफ) के निकट कहा जाता है;

2) किसी भी बहुभुज से जो पॉलीहेड्रॉन बनाते हैं, उनमें से किसी एक से सटे एक से गुजरकर, और इससे, बदले में, उससे सटे एक तक, आदि तक पहुंच सकते हैं।

इन बहुभुजों को कहा जाता है चेहरे के, उनके पक्ष पसलियां, और उनके शीर्ष हैं चोटियोंबहुफलक।

बहुफलक के शीर्ष

पॉलीहेड्रॉन किनारों

एक बहुफलक के पहलू

एक पॉलीहेड्रॉन को उत्तल कहा जाता है यदि यह अपने किसी भी चेहरे के विमान के एक तरफ स्थित होता है।

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि उत्तल बहुफलक के सभी फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। उत्तल पॉलीहेड्रॉन की सतह में ऐसे चेहरे होते हैं जो विभिन्न विमानों में स्थित होते हैं। इस मामले में, पॉलीहेड्रॉन के किनारे बहुभुज के किनारे होते हैं, पॉलीहेड्रॉन के कोने चेहरों के शिखर होते हैं, पॉलीहेड्रॉन के फ्लैट कोने बहुभुज के कोने होते हैं - चेहरे।

एक उत्तल बहुफलक जिसके सभी शीर्ष दो समांतर तलों में स्थित होते हैं, कहलाते हैं प्रिज्माटॉइड. एक प्रिज्म, एक पिरामिड और एक छोटा पिरामिड एक प्रिज्मेटोइड के विशेष मामले हैं। एक प्रिज्मेटॉइड के सभी पार्श्व फलक त्रिभुज या चतुर्भुज होते हैं, और चतुर्भुज फलक समलम्बाकार या समांतर चतुर्भुज होते हैं।

पॉलीहेड्रा न केवल ज्यामिति में एक प्रमुख स्थान रखता है, बल्कि प्रत्येक व्यक्ति के दैनिक जीवन में भी होता है। विभिन्न बहुभुजों के रूप में कृत्रिम रूप से निर्मित घरेलू वस्तुओं का उल्लेख नहीं करना, एक माचिस से शुरू होकर वास्तुशिल्प तत्वों के साथ समाप्त होना, एक घन (नमक), प्रिज्म (क्रिस्टल), पिरामिड (स्कीलाइट), ऑक्टाहेड्रोन (हीरा) के रूप में क्रिस्टल, आदि घ.

एक बहुफलक की अवधारणा, ज्यामिति में बहुफलक के प्रकार

विज्ञान के रूप में ज्यामिति में स्टीरियोमेट्री का एक खंड होता है जो त्रि-आयामी निकायों की विशेषताओं और गुणों का अध्ययन करता है, जिसके पक्ष त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सीमित विमानों (चेहरे) द्वारा बनते हैं, "पॉलीहेड्रा" कहलाते हैं। पॉलीहेड्रा के प्रकारों में एक दर्जन से अधिक प्रतिनिधि शामिल हैं, जो चेहरे की संख्या और आकार में भिन्न हैं।

हालांकि, सभी पॉलीहेड्रा में सामान्य गुण होते हैं:

1. उन सभी में 3 अभिन्न घटक होते हैं: एक चेहरा (बहुभुज की सतह), एक शीर्ष (चेहरे के जंक्शन पर बने कोने), एक किनारा (आकृति का पक्ष या दो चेहरों के जंक्शन पर गठित एक खंड) )
2. प्रत्येक बहुभुज किनारा दो, और केवल दो को जोड़ता है, जो एक दूसरे से सटे हुए हैं।
3. उत्तलता का अर्थ है कि शरीर पूरी तरह से समतल के केवल एक तरफ स्थित होता है, जिस पर एक फलक होता है। यह नियम बहुफलक के सभी फलकों पर लागू होता है। स्टीरियोमेट्री में ऐसी ज्यामितीय आकृतियों को उत्तल पॉलीहेड्रा कहा जाता है। अपवाद स्टार के आकार का पॉलीहेड्रा है, जो नियमित पॉलीहेड्रल ज्यामितीय ठोस के व्युत्पन्न हैं।

पॉलीहेड्रा में विभाजित किया जा सकता है:

1. उत्तल पॉलीहेड्रा के प्रकार, निम्नलिखित वर्गों से मिलकर: साधारण या शास्त्रीय (प्रिज्म, पिरामिड, समानांतर चतुर्भुज), नियमित (जिसे प्लेटोनिक ठोस भी कहा जाता है), अर्ध-नियमित (दूसरा नाम - आर्किमिडीयन ठोस)।
2. गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा (तारकीय)।

प्रिज्म और उसके गुण

ज्यामिति की एक शाखा के रूप में स्टीरियोमेट्री त्रि-आयामी आकृतियों के गुणों का अध्ययन करती है, पॉलीहेड्रा के प्रकार (एक प्रिज्म उनमें से एक है)। एक प्रिज्म एक ज्यामितीय निकाय है जिसमें आवश्यक रूप से दो बिल्कुल समान चेहरे होते हैं (उन्हें आधार भी कहा जाता है) समानांतर विमानों में स्थित होते हैं, और n-वें पक्ष समानांतर चतुर्भुज के रूप में होते हैं। बदले में, प्रिज्म की भी कई किस्में होती हैं, जिनमें इस प्रकार के पॉलीहेड्रा शामिल हैं:

1. एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण होता है यदि आधार एक समांतर चतुर्भुज है - एक बहुभुज जिसमें समान विपरीत कोणों के 2 जोड़े और सर्वांगसम विपरीत पक्षों के 2 जोड़े हैं।
2. आधार के लंबवत पसलियां हैं।
3. चेहरे और आधार के बीच गैर-समकोण (90 के अलावा) की उपस्थिति की विशेषता है।
4. एक नियमित प्रिज्म को आधारों द्वारा समान पार्श्व चेहरों के रूप में चित्रित किया जाता है।

प्रिज्म के मुख्य गुण:

• अनुरूप आधार।
• प्रिज्म के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं।
• सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज के आकार के होते हैं।

पिरामिड

एक पिरामिड एक ज्यामितीय निकाय है, जिसमें एक आधार और त्रिकोणीय चेहरों की n-वें संख्या होती है, जो एक बिंदु पर जुड़ा होता है - शीर्ष। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि पिरामिड के पार्श्व चेहरों को आवश्यक रूप से त्रिभुजों द्वारा दर्शाया गया है, तो आधार पर या तो एक त्रिकोणीय बहुभुज, या एक चतुर्भुज, और एक पंचकोण, और इसी तरह एड इनफिनिटम हो सकता है। इस मामले में, पिरामिड का नाम आधार पर बहुभुज के अनुरूप होगा। उदाहरण के लिए, यदि पिरामिड के आधार पर एक त्रिभुज है - यह एक चतुर्भुज - चतुर्भुज, आदि है।

पिरामिड शंकु के आकार के पॉलीहेड्रा होते हैं। इस समूह के पॉलीहेड्रा के प्रकार, ऊपर सूचीबद्ध लोगों के अलावा, निम्नलिखित प्रतिनिधि भी शामिल हैं:

1. आधार पर एक नियमित बहुभुज है, और इसकी ऊंचाई आधार में खुदे हुए या इसके चारों ओर वर्णित एक वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होती है।
2. एक आयताकार पिरामिड तब बनता है जब एक भुजा का किनारा आधार के साथ समकोण पर प्रतिच्छेद करता है। ऐसे में इस किनारे को पिरामिड की ऊंचाई कहना भी उचित है।

पिरामिड गुण:

• यदि पिरामिड के सभी किनारे एक समान (समान ऊंचाई के) हैं, तो वे सभी एक ही कोण पर आधार के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, और आधार के चारों ओर आप केंद्र के साथ एक वृत्त खींच सकते हैं जो शीर्ष के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है पिरामिड।
• यदि एक नियमित बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो सभी पक्ष किनारे सर्वांगसम होते हैं, और फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

नियमित पॉलीहेड्रॉन: पॉलीहेड्रा के प्रकार और गुण

स्टीरियोमेट्री में, बिल्कुल समान चेहरों वाले ज्यामितीय निकायों द्वारा एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लिया जाता है, जिसके शीर्ष पर समान संख्या में किनारे जुड़े होते हैं। इन ठोसों को प्लेटोनिक ठोस या नियमित पॉलीहेड्रा कहा जाता है। ऐसे गुणों वाले पॉलीहेड्रा के प्रकारों में केवल पाँच आकृतियाँ होती हैं:

1. चतुष्फलक।
2. हेक्साहेड्रोन।
3. अष्टफलक।
4. डोडेकेहेड्रॉन।
5. इकोसाहेड्रोन।

नियमित पॉलीहेड्रा का नाम प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने लेखन में इन ज्यामितीय निकायों का वर्णन किया और उन्हें प्राकृतिक तत्वों से जोड़ा: पृथ्वी, जल, अग्नि, वायु। पांचवें आंकड़े को ब्रह्मांड की संरचना के साथ समानता से सम्मानित किया गया था। उनकी राय में, आकार में प्राकृतिक तत्वों के परमाणु नियमित पॉलीहेड्रा के प्रकार के समान होते हैं। अपनी सबसे आकर्षक संपत्ति - समरूपता के कारण, ये ज्यामितीय निकाय न केवल प्राचीन गणितज्ञों और दार्शनिकों के लिए, बल्कि सभी समय के वास्तुकारों, कलाकारों और मूर्तिकारों के लिए भी बहुत रुचि रखते थे। पूर्ण समरूपता के साथ केवल 5 प्रकार के पॉलीहेड्रा की उपस्थिति को एक मौलिक खोज माना जाता था, उन्हें दैवीय सिद्धांत के साथ संबंध से भी सम्मानित किया गया था।

हेक्साहेड्रोन और उसके गुण

प्लेटो के उत्तराधिकारियों ने एक षट्भुज के रूप में पृथ्वी के परमाणुओं की संरचना के साथ समानता ग्रहण की। बेशक, वर्तमान में, इस परिकल्पना का पूरी तरह से खंडन किया गया है, जो, हालांकि, आंकड़ों को आधुनिक समय में अपने सौंदर्यशास्त्र के साथ प्रसिद्ध हस्तियों के दिमाग को आकर्षित करने से नहीं रोकता है।

ज्यामिति में, हेक्साहेड्रोन, जिसे घन के रूप में भी जाना जाता है, को समानांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला माना जाता है, जो बदले में, एक प्रकार का प्रिज्म होता है। तदनुसार, घन के गुणों में अंतर केवल इतना है कि घन के सभी फलक और कोने एक दूसरे के बराबर हैं। निम्नलिखित गुण इससे अनुसरण करते हैं:

1. एक घन के सभी किनारे सर्वांगसम होते हैं और एक दूसरे के सापेक्ष समांतर तलों में स्थित होते हैं।
2. सभी फलक सर्वांगसम वर्ग हैं (एक घन में कुल 6 होते हैं), जिनमें से किसी को भी आधार के रूप में लिया जा सकता है।
3. सभी अंतरफलकीय कोण 90 हैं।
4. प्रत्येक शीर्ष से समान संख्या में किनारे आते हैं, अर्थात् 3।
5. क्यूब में 9 होते हैं जो सभी हेक्साहेड्रोन के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे समरूपता का केंद्र कहा जाता है।

चतुर्पाश्वीय

एक चतुष्फलक त्रिभुज के रूप में समान फलकों वाला एक चतुष्फलक है, जिसका प्रत्येक शीर्ष तीन फलकों का एक जंक्शन बिंदु है।

एक नियमित चतुष्फलक के गुण:

1. चतुष्फलक के सभी फलक - इससे यह पता चलता है कि चतुष्फलक के सभी फलक सर्वांगसम होते हैं।
2. चूंकि आधार को एक नियमित ज्यामितीय आकृति द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात इसकी समान भुजाएँ होती हैं, तो चतुष्फलक के फलक एक ही कोण पर अभिसरित होते हैं, अर्थात सभी कोण समान होते हैं।
3. प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180 होता है, क्योंकि सभी कोण बराबर होते हैं, तो एक सम चतुष्फलक का कोई भी कोण 60 होता है।
4. प्रत्येक कोने को विपरीत (ऑर्थोसेंटर) फलक की ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

ऑक्टाहेड्रोन और उसके गुण

नियमित पॉलीहेड्रा के प्रकारों का वर्णन करते हुए, कोई ऐसी वस्तु को ऑक्टाहेड्रोन के रूप में नोट करने में विफल नहीं हो सकता है, जिसे नेत्रहीन रूप से दो चतुष्कोणीय नियमित पिरामिडों के रूप में दर्शाया जा सकता है जो आधारों पर एक साथ चिपके हुए हैं।

अष्टफलक गुण:

1. एक ज्यामितीय निकाय का नाम ही उसके चेहरों की संख्या का सुझाव देता है। ऑक्टाहेड्रोन में 8 सर्वांगसम समबाहु त्रिभुज होते हैं, जिनमें से प्रत्येक कोने में समान संख्या में चेहरे अभिसरण होते हैं, अर्थात् 4।
2. चूँकि एक ऑक्टाहेड्रोन के सभी फलक समान होते हैं, इसलिए इसके इंटरफ़ेस कोण भी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक 60 के बराबर होता है, और किसी भी कोने के समतल कोणों का योग इस प्रकार 240 होता है।

द्वादशफ़लक

यदि हम कल्पना करते हैं कि एक ज्यामितीय निकाय के सभी फलक एक नियमित पंचभुज हैं, तो हमें एक डोडेकाहेड्रॉन मिलता है - 12 बहुभुजों की एक आकृति।

डोडेकाहेड्रोन गुण:

1. प्रत्येक शीर्ष पर तीन फलक प्रतिच्छेद करते हैं।
2. सभी फलक समान हैं और उनके किनारे की लंबाई और क्षेत्रफल समान है।
3. डोडेकाहेड्रॉन में 15 अक्ष और समरूपता के विमान हैं, और उनमें से कोई भी चेहरे के शीर्ष और विपरीत किनारे के मध्य से होकर गुजरता है।

विंशतिफलक

डोडेकाहेड्रॉन से कम दिलचस्प नहीं, आईकोसाहेड्रोन एक त्रि-आयामी ज्यामितीय निकाय है जिसमें 20 बराबर चेहरे होते हैं। एक नियमित बीस-हेड्रोन के गुणों में, निम्नलिखित पर ध्यान दिया जा सकता है:

1. आईकोसाहेड्रोन के सभी फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
2. पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक शीर्ष पर पांच चेहरे अभिसरण होते हैं, और शीर्ष के आसन्न कोणों का योग 300 होता है।
3. डोडेकाहेड्रोन की तरह इकोसाहेड्रोन में 15 अक्ष और समरूपता के विमान विपरीत चेहरों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं।

अर्ध-नियमित बहुभुज

प्लेटोनिक ठोस के अलावा, उत्तल पॉलीहेड्रा के समूह में आर्किमिडीयन ठोस भी शामिल हैं, जिन्हें नियमित पॉलीहेड्रा काटा जाता है। इस समूह के पॉलीहेड्रा के प्रकारों में निम्नलिखित गुण हैं:

1. ज्यामितीय निकायों में कई प्रकार के समान चेहरे होते हैं, उदाहरण के लिए, एक काटे गए टेट्राहेड्रोन में एक नियमित टेट्राहेड्रोन की तरह 8 चेहरे होते हैं, लेकिन एक आर्किमिडीयन ठोस के मामले में, 4 चेहरे त्रिकोणीय होंगे और 4 हेक्सागोनल होंगे।
2. एक शीर्ष के सभी कोण सर्वांगसम होते हैं।

स्टार पॉलीहेड्रा

गैर-वॉल्यूमेट्रिक प्रकार के ज्यामितीय निकायों के प्रतिनिधि तारे के आकार के पॉलीहेड्रा होते हैं, जिनके चेहरे एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। वे दो नियमित त्रि-आयामी निकायों को मिलाकर या उनके चेहरों को जारी रखकर बनाए जा सकते हैं।

इस प्रकार, इस तरह के तारकीय पॉलीहेड्रा के रूप में जाना जाता है: ऑक्टाहेड्रोन के तारकीय रूप, डोडेकेहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन, क्यूबोक्टाहेड्रोन, इकोसिडोडेकेड्रोन।

अविश्वसनीय रूप से सुंदर सामग्री के साथ एक बैठक की आशा करते हुए, स्कूल ज्यामिति में विशेष विषय हैं जिनका आप इंतजार कर रहे हैं। इन विषयों में "नियमित पॉलीहेड्रा" शामिल है।यहां, न केवल अद्वितीय गुणों वाले ज्यामितीय निकायों की अद्भुत दुनिया खुलती है, बल्कि दिलचस्प वैज्ञानिक परिकल्पनाएं भी खुलती हैं। और फिर ज्यामिति पाठ सामान्य स्कूल विषय के अप्रत्याशित पहलुओं का एक प्रकार का अध्ययन बन जाता है।

किसी भी ज्यामितीय निकाय में नियमित पॉलीहेड्रा जैसी पूर्णता और सुंदरता नहीं होती है। एल। कैरोल ने एक बार लिखा था, "नियमित पॉलीहेड्रा बहुत कम हैं," लेकिन यह टुकड़ी, जो संख्या में बहुत मामूली है, विभिन्न विज्ञानों की गहराई में जाने में कामयाब रही।

यह कितनी छोटी संख्या है और उनमें से इतने सारे क्यों हैं। और कितना? यह पता चला है कि ठीक पाँच - न अधिक, न कम। उत्तल बहुफलकीय कोण को खोलकर इसकी पुष्टि की जा सकती है। दरअसल, किसी भी नियमित पॉलीहेड्रॉन को उसकी परिभाषा के अनुसार प्राप्त करने के लिए, समान संख्या में चेहरों को प्रत्येक शीर्ष पर अभिसरण करना चाहिए, जिनमें से प्रत्येक एक नियमित बहुभुज है। एक बहुफलकीय कोण के समतल कोणों का योग 360 o से कम होना चाहिए, अन्यथा कोई बहुफलकीय सतह प्राप्त नहीं होगी। असमानताओं के संभावित पूर्णांक समाधानों से गुजरना: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

नियमित पॉलीहेड्रा के नाम ग्रीस से आते हैं। ग्रीक "टेट्राहेड्रॉन", "ऑक्टाहेड्रोन", "हेक्साहेड्रोन", "डोडेकेहेड्रोन", "आइकोसाहेड्रोन" से शाब्दिक अनुवाद में अर्थ: "टेट्राहेड्रॉन", "ऑक्टाहेड्रोन", "हेक्साहेड्रोन"। डोडेकाहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन। यूक्लिड के तत्वों की 13वीं किताब इन्हीं खूबसूरत शरीरों को समर्पित है। उन्हें प्लेटो का शरीर भी कहा जाता है, क्योंकि। उन्होंने प्लेटो की ब्रह्मांड की संरचना की दार्शनिक अवधारणा में एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा कर लिया। चार पॉलीहेड्रॉन इसमें चार सार या "तत्व" हैं। चतुष्फलक आग का प्रतीक है, क्योंकि। इसका शीर्ष ऊपर की ओर निर्देशित है; icosahedron - पानी, क्योंकि वह सबसे "सुव्यवस्थित" है; घन - पृथ्वी, सबसे "स्थिर" के रूप में; अष्टफलक - वायु, सबसे "हवादार" के रूप में। पांचवां पॉलीहेड्रॉन, डोडेकेहेड्रोन, "सब कुछ जो मौजूद है" को सन्निहित करता है, पूरे ब्रह्मांड का प्रतीक है, और इसे मुख्य माना जाता था।

प्राचीन यूनानियों ने सामंजस्यपूर्ण संबंधों को ब्रह्मांड का आधार माना था, इसलिए उनके चार तत्व इस तरह के अनुपात से जुड़े हुए थे: पृथ्वी/जल = वायु/अग्नि. प्लेटो द्वारा "तत्वों" के परमाणुओं को एक गीत के चार तारों की तरह पूर्ण अनुरूपता में ट्यून किया गया था। मैं आपको याद दिला दूं कि एक सुखद व्यंजन को व्यंजन कहा जाता है। यह कहा जाना चाहिए कि प्लेटोनिक ठोस में अजीबोगरीब संगीत संबंध विशुद्ध रूप से सट्टा हैं और इनका कोई ज्यामितीय आधार नहीं है। न तो प्लेटोनिक ठोस के शीर्षों की संख्या, न ही नियमित पॉलीहेड्रा की मात्रा, न ही किनारों या चेहरों की संख्या इन संबंधों से जुड़ी हुई है।

इन निकायों के संबंध में, यह कहना उचित होगा कि तत्वों की पहली प्रणाली, जिसमें चार तत्व शामिल थे - पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि - अरस्तू द्वारा विहित किया गया था। ये तत्व कई शताब्दियों तक ब्रह्मांड के चार कोने के पत्थर बने रहे। हमारे लिए ज्ञात पदार्थ की चार अवस्थाओं - ठोस, तरल, गैसीय और प्लाज्मा के साथ उनकी पहचान करना काफी संभव है।

आई। केप्लर द्वारा दुनिया की सामंजस्यपूर्ण संरचना की प्रणाली में नियमित पॉलीहेड्रा द्वारा एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा कर लिया गया था। सद्भाव, सुंदरता और ब्रह्मांड की गणितीय रूप से नियमित संरचना में सभी समान विश्वास ने आई। केप्लर को इस विचार के लिए प्रेरित किया कि चूंकि पांच नियमित पॉलीहेड्रा हैं, केवल छह ग्रह उनके अनुरूप हैं। उनकी राय में, ग्रहों के गोले उनमें खुदे हुए प्लेटोनिक ठोस पदार्थों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं। चूंकि प्रत्येक नियमित पॉलीहेड्रॉन के लिए खुदा हुआ और परिचालित क्षेत्रों के केंद्र मेल खाते हैं, पूरे मॉडल में एक ही केंद्र होगा, जिसमें सूर्य स्थित होगा।

एक विशाल कम्प्यूटेशनल कार्य करने के बाद, 1596 में I. केप्लर ने अपनी खोज के परिणामों को "द सीक्रेट ऑफ़ द यूनिवर्स" पुस्तक में प्रकाशित किया। वह एक घन को शनि की कक्षा के क्षेत्र में, एक घन में - बृहस्पति के गोले में, बृहस्पति के क्षेत्र में - एक टेट्राहेड्रोन में अंकित करता है, और इसी तरह मंगल के क्षेत्र में एक दूसरे में क्रमिक रूप से फिट होता है - एक डोडेकाहेड्रॉन, पृथ्वी का गोला - एक आइकोसाहेड्रोन, शुक्र का गोला - एक अष्टफलक, बुध का गोला। ब्रह्मांड का रहस्य खुला लगता है।

आज यह कहना सुरक्षित है कि ग्रहों के बीच की दूरियों का किसी बहुफलक से कोई संबंध नहीं है। हालांकि, यह संभव है कि आई. केप्लर, नियमित पॉलीहेड्रा द्वारा "ब्रह्मांड के रहस्य", "विश्व के सद्भाव" के बिना, आई केप्लर के तीन प्रसिद्ध कानून नहीं होते, जो गति का वर्णन करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। ग्रहों की।

आप इन अद्भुत निकायों को और कहां देख सकते हैं? हमारी सदी की शुरुआत के जर्मन जीवविज्ञानी ई. हेकेल की एक बहुत ही खूबसूरत किताब में, "द ब्यूटी ऑफ फॉर्म्स इन नेचर," कोई भी निम्नलिखित पंक्तियों को पढ़ सकता है: "प्रकृति अपनी छाती में अद्भुत जीवों की एक अटूट संख्या का पोषण करती है जो अब तक सुंदरता और विविधता में मानव कला द्वारा बनाए गए सभी रूपों को पार करें।" इस पुस्तक में प्रकृति की रचनाएँ सुंदर और सममित हैं। यह प्राकृतिक सद्भाव की एक अविभाज्य संपत्ति है। लेकिन यहां आप एककोशिकीय जीव भी देख सकते हैं - फियोडारी, जिसका आकार इकोसाहेड्रोन को सटीक रूप से बताता है। इस तरह के प्राकृतिक ज्यामितीयकरण के कारण क्या हुआ? हो सकता है कि समान संख्या में फलकों वाले सभी पॉलीहेड्रा के कारण, यह आइसोसाहेड्रोन है जिसमें सबसे बड़ा आयतन और सबसे छोटा सतह क्षेत्र होता है। यह ज्यामितीय गुण समुद्री सूक्ष्मजीवों को पानी के स्तंभ के दबाव को दूर करने में मदद करता है।

यह भी दिलचस्प है कि विषाणुओं के आकार के संबंध में अपने विवादों में जीव विज्ञानियों के ध्यान का केंद्र बिंदु आईकोसाहेड्रोन था। जैसा कि पहले सोचा गया था, वायरस पूरी तरह गोल नहीं हो सकता। इसके आकार को स्थापित करने के लिए, उन्होंने विभिन्न पॉलीहेड्रॉन लिए, उन पर उसी कोण पर प्रकाश का निर्देशन किया जिस तरह से वायरस में परमाणुओं का प्रवाह होता है। यह पता चला कि केवल एक पॉलीहेड्रॉन बिल्कुल वही छाया देता है - इकोसाहेड्रोन। ऊपर वर्णित इसके ज्यामितीय गुण आनुवंशिक जानकारी को सहेजने की अनुमति देते हैं। नियमित पॉलीहेड्रा सबसे फायदेमंद आंकड़े हैं। और प्रकृति इसका फायदा उठाती है। हमारे परिचित कुछ पदार्थों के क्रिस्टल नियमित पॉलीहेड्रा के रूप में होते हैं। तो, क्यूब सोडियम क्लोराइड क्रिस्टल NaCl के आकार को बताता है, एल्यूमीनियम-पोटेशियम फिटकिरी (KAlSO4) 2 12H2O के एकल क्रिस्टल में एक ऑक्टाहेड्रोन का आकार होता है, सल्फर पाइराइट FeS के क्रिस्टल में एक डोडेकेहेड्रोन का आकार होता है, एंटीमनी सोडियम सल्फेट होता है एक चतुष्फलक, बोरॉन एक icosahedron है। नियमित पॉलीहेड्रा कुछ रसायनों के क्रिस्टल जाली के आकार को निर्धारित करता है। मैं इस विचार को निम्नलिखित समस्या के साथ स्पष्ट करूंगा।

एक कार्य। CH4 मीथेन अणु के मॉडल में एक नियमित टेट्राहेड्रोन का आकार होता है, जिसके चार शीर्षों पर हाइड्रोजन परमाणु और केंद्र में एक कार्बन परमाणु होता है। दो CH आबंधों के बीच आबंध कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान।चूंकि एक नियमित टेट्राहेड्रोन में छह समान किनारे होते हैं, इसलिए ऐसा घन चुनना संभव है ताकि इसके चेहरों के विकर्ण एक नियमित टेट्राहेड्रोन के किनारे हों (चित्र 2)। क्यूब का केंद्र भी टेट्राहेड्रोन का केंद्र है, क्योंकि टेट्राहेड्रोन के चार कोने भी क्यूब के कोने हैं, और उनके चारों ओर वर्णित क्षेत्र विशिष्ट रूप से चार बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है जो एक ही विमान में नहीं होते हैं। दो CH आबंधों के बीच वांछित कोण j कोण AOC के बराबर होता है। त्रिभुज AOC समद्विबाहु है। इसलिए, जहाँ a घन की भुजा है, d चतुष्फलक के पार्श्व फलक या किनारे के विकर्ण की लंबाई है। तो, कहाँ से \u003d 54.73561 O और j \u003d 109.47 O

दुनिया की सामंजस्यपूर्ण संरचना के साथ नियमित पॉलीहेड्रा के संबंध के बारे में पाइथागोरस, प्लेटो, आई। केप्लर के विचारों ने हमारे समय में एक दिलचस्प वैज्ञानिक परिकल्पना में अपनी निरंतरता पाई है, जिसके लेखक (80 के दशक की शुरुआत में) मास्को इंजीनियर थे वी। मकारोव और वी। मोरोज़ोव। उनका मानना ​​​​है कि पृथ्वी के मूल में बढ़ते क्रिस्टल का आकार और गुण हैं जो ग्रह पर होने वाली सभी प्राकृतिक प्रक्रियाओं के विकास को प्रभावित करते हैं। इस क्रिस्टल की किरणें, या यों कहें, इसका बल क्षेत्र, पृथ्वी की इकोसाहेड्रल-डोडेकेड्रल संरचना (चित्र 3) का निर्धारण करता है, जो इस तथ्य में प्रकट होता है कि ग्लोब में अंकित नियमित पॉलीहेड्रा के अनुमान पृथ्वी की पपड़ी में दिखाई देते हैं: इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन। लेखकों द्वारा नोड्स कहे जाने वाले किनारों के उनके 62 कोने और मध्य बिंदुओं में कई विशिष्ट गुण होते हैं जो कुछ समझ से बाहर होने वाली घटनाओं की व्याख्या करना संभव बनाते हैं।

यदि आप विश्व पर प्राचीन विश्व की सबसे बड़ी और सबसे उल्लेखनीय संस्कृतियों और सभ्यताओं के केंद्र रखते हैं, तो आप ग्रह के भौगोलिक ध्रुवों और भूमध्य रेखा के सापेक्ष उनके स्थान में एक पैटर्न देख सकते हैं। कई खनिज जमा एक इकोसाहेड्रल-डोडेकेड्रल ग्रिड के साथ फैले हुए हैं। इन पसलियों के चौराहे पर और भी आश्चर्यजनक चीजें होती हैं: यहां सबसे प्राचीन संस्कृतियों और सभ्यताओं के केंद्र हैं: पेरू, उत्तरी मंगोलिया, हैती, ओब संस्कृति और अन्य। इन बिंदुओं पर, वायुमंडलीय दबाव के मैक्सिमा और मिनिमा, विश्व महासागर के विशाल एडी, यहां स्कॉटिश लोच नेस, बरमूडा त्रिभुज हैं। पृथ्वी के आगे के अध्ययन, शायद, इस सुंदर वैज्ञानिक परिकल्पना के प्रति दृष्टिकोण निर्धारित करेंगे, जिसमें, जाहिरा तौर पर, नियमित पॉलीहेड्रा एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है।

तो, यह पता चला कि ठीक पाँच नियमित पॉलीहेड्रा हैं। और उनमें किनारों, चेहरों, शीर्षों की संख्या कैसे निर्धारित करें? पॉलीहेड्रा के लिए किनारों की एक छोटी संख्या के साथ ऐसा करना मुश्किल नहीं है, लेकिन उदाहरण के लिए, एक आईकोसाहेड्रोन के लिए ऐसी जानकारी कैसे प्राप्त करें? प्रसिद्ध गणितज्ञ एल. यूलर ने सूत्र В+Г-Р=2 प्राप्त किया, जो किसी भी बहुफलक के शीर्षों /В/, फलकों /Г/ और किनारों /Р/ की संख्या से संबंधित है। इस सूत्र की सरलता यह है कि इसका दूरी या कोण से कोई लेना-देना नहीं है। एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के किनारों, कोने और चेहरों की संख्या निर्धारित करने के लिए, हम सबसे पहले संख्या k \u003d 2y - xy + 2x पाते हैं, जहां x एक चेहरे से संबंधित किनारों की संख्या है, y अभिसरण चेहरों की संख्या है एक शीर्ष पर। एक नियमित बहुफलक के फलकों, शीर्षों और किनारों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सूत्रों का उपयोग करते हैं। उसके बाद, नियमित पॉलीहेड्रा के तत्वों के बारे में जानकारी प्रदान करने वाली तालिका को भरना आसान है:

पॉलीहेड्रॉन एच डब्ल्यू आर

चतुष्फलक 4-4-6

हेक्साहेड्रोन 6-8-12

अष्टफलक 8-6-12

डोडेकाहेड्रोन 12-20-30

इकोसाहेड्रोन 20-12-30

और नियमित पॉलीहेड्रा के संबंध में एक और सवाल उठता है: क्या उनके साथ जगह भरना संभव है ताकि उनके बीच कोई अंतराल न हो? यह नियमित बहुभुजों के सादृश्य से उत्पन्न होता है, जिनमें से कुछ विमान को भर सकते हैं। यह पता चला है कि आप केवल एक नियमित पॉलीहेड्रॉन-क्यूब की मदद से जगह भर सकते हैं। अंतरिक्ष को समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रॉन से भी भरा जा सकता है। इसे समझने के लिए, आपको समस्या को हल करने की आवश्यकता है।

एक कार्य।एक स्थानिक "क्रॉस" बनाने वाले सात क्यूब्स की मदद से, एक समचतुर्भुज डोडेकेहेड्रॉन बनाएं और दिखाएं कि वे स्थान भर सकते हैं।

समाधान।क्यूब्स जगह भर सकते हैं। चित्र 4 में दर्शाए गए घन जालक के एक भाग पर विचार कीजिए। हम मध्य क्यूब को अछूता छोड़ देते हैं, और प्रत्येक "बाउंडिंग" क्यूब में हम विपरीत किनारों के सभी छह जोड़े के माध्यम से विमान खींचते हैं। इस मामले में, "आसपास के" क्यूब्स को छह बराबर पिरामिडों में वर्गाकार आधारों और क्यूब के आधे विकर्ण के बराबर किनारों के साथ विभाजित किया जाएगा। अछूते घन से सटे पिरामिड बाद में एक समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रॉन के साथ मिलकर बनते हैं। इससे यह स्पष्ट होता है कि पूरा स्थान समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रॉन से भरा जा सकता है। एक परिणाम के रूप में, हम प्राप्त करते हैं कि एक समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रॉन का आयतन एक घन के आयतन के दोगुने के बराबर होता है जिसका किनारा डोडेकाहेड्रॉन चेहरे के छोटे विकर्ण के साथ मेल खाता है।

पिछली समस्या को हल करते हुए, हम समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रॉन में आए। दिलचस्प बात यह है कि मधुमक्खी कोशिकाएं, जो बिना अंतराल के भी जगह भरती हैं, आदर्श रूप से ज्यामितीय आकार की होती हैं। मधुमक्खी कोशिका का ऊपरी भाग समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रॉन का एक भाग होता है।

इसलिए, नियमित पॉलीहेड्रा ने हमें विश्व सद्भाव के रहस्य तक पहुंचने के लिए वैज्ञानिकों के प्रयासों का खुलासा किया और ज्यामिति के अप्रतिरोध्य आकर्षण को दिखाया।

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शिक्षा मंत्रालय

माध्यमिक शिक्षा स्कूल 3

निबंध

ज्यामिति में

विषय:

"पॉलीहेड्रा"।

प्रदर्शन किया: 11- "बी" कक्षा के छात्र एमओयू माध्यमिक विद्यालय नंबर 3 अल्याबयेवा यूलिया। चेक किया गया:गणित के शिक्षक सर्गेवा हुसोव अलेक्सेवना।

स्टावरोपोल

योजना

I. प्रस्तावना। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 द्वितीय. सैद्धांतिक भाग

डायहेड्रल कोण। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . चार त्रिफलक और बहुफलकीय कोण। . . . . . . . . . . . . . . . चार बहुफलक। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 प्रिज्म। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 एक प्रिज्म की छवि और उसके वर्गों का निर्माण। . . . . 7 प्रत्यक्ष प्रिज्म। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 पैरेललेपाइप्ड। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 एक समानांतर चतुर्भुज की केंद्रीय समरूपता। . . . . . . . दस आयताकार समानांतर चतुर्भुज। . . . . . . . . . . . . . . . . . ग्यारह

10. समांतर चतुर्भुज की समरूपता। . . . 12 11. पिरामिड। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 12. पिरामिड और उसके समतल खंडों का निर्माण। . . . . . 13 13. काटे गए पिरामिड। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . पंद्रह 14. सही पिरामिड। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . पंद्रह 15. नियमित पॉलीहेड्रा। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III. व्यावहारिक भाग। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 चतुर्थ। निष्कर्ष। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 वी. साहित्य। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . बीस

I. प्रस्तावना

अविश्वसनीय रूप से सुंदर सामग्री के साथ एक बैठक की आशा करते हुए, स्कूल ज्यामिति में विशेष विषय हैं जिनका आप इंतजार कर रहे हैं। ऐसे विषयों में "पॉलीहेड्रा" शामिल है। यहां, न केवल अद्वितीय गुणों वाले ज्यामितीय निकायों की अद्भुत दुनिया खुलती है, बल्कि दिलचस्प वैज्ञानिक परिकल्पनाएं भी खुलती हैं। और फिर ज्यामिति पाठ सामान्य स्कूल विषय के अप्रत्याशित पहलुओं का एक प्रकार का अध्ययन बन जाता है। किसी भी ज्यामितीय निकाय में पॉलीहेड्रा जैसी पूर्णता और सुंदरता नहीं है। एल. कैरोल ने एक बार लिखा था, "बहुत कम पॉलीहेड्रॉन हैं," लेकिन यह टुकड़ी, जो संख्या में बहुत मामूली है, विभिन्न विज्ञानों की गहराई में जाने में कामयाब रही।

द्वितीय. सैद्धांतिक भाग।

1. डायहेड्रल कोण द्विफलक कोणदो "अर्ध-तलों द्वारा बनाई गई एक आकृति कहलाती है जो उन्हें एक सामान्य सीधी रेखा से बांधती है (चित्र। 1)। अर्ध-तल कहलाते हैं चेहरे के,और वह रेखा जो उन्हें बांधती है किनाराडायहेड्रल कोण। एक विकर्ण कोण के एक किनारे पर लंबवत एक विमान इसके चेहरों को दो अर्ध-रेखाओं के साथ काटता है। इन अर्ध-रेखाओं से बनने वाले कोण को कहते हैं रैखिक। कोनाडायहेड्रल कोण। एक डायहेड्रल कोण का माप संबंधित रैखिक कोण के माप के रूप में लिया जाता है। एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे बराबर हैं। इसलिए, एक डायहेड्रल कोण का माप एक रैखिक कोण की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। 2. त्रिफलक और बहुफलकीय कोण तीन बीमों पर विचार करें ए, बी, सी,एक ही बिंदु से निकल रहा है और एक ही तल में नहीं पड़ा है। त्रिभुज कोण (एबीसी)"तीन समतल कोणों" से बनी आकृति कहलाती है (एबी),(बीसी) और (एसी) (छवि 2)। इन कोणों को कहा जाता है चेहरे केत्रिफलक कोण, और उनकी भुजाएँ - पसलियांसमतल कोनों का उभयनिष्ठ शीर्ष कहलाता है बैठकत्रिकोणीय कोण। त्रिभुज कोण के फलकों द्वारा बनने वाले द्विफलक कोण कहलाते हैं एक त्रिभुज कोण के डायहेड्रल कोण।एक बहुफलकीय कोण की अवधारणा को इसी तरह परिभाषित किया गया है (चित्र 3)।

3. पॉलीहेड्रॉन

स्टीरियोमेट्री में, अंतरिक्ष में आकृतियों, जिन्हें पिंड कहा जाता है, का अध्ययन किया जाता है। नेत्रहीन, एक (ज्यामितीय) शरीर की कल्पना एक भौतिक शरीर के कब्जे वाले स्थान के हिस्से के रूप में की जानी चाहिए और एक सतह से घिरा होना चाहिए। एक पॉलीहेड्रॉन एक ऐसा पिंड है जिसकी सतह में समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या होती है (चित्र 4)। एक पॉलीहेड्रॉन को उत्तल कहा जाता है यदि यह अपनी सतह पर प्रत्येक फ्लैट बहुभुज के विमान के एक तरफ स्थित होता है। इस तरह के एक विमान के सामान्य भाग और उत्तल पॉलीहेड्रॉन की सतह को एक चेहरा कहा जाता है। उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। फलकों के किनारों को पॉलीहेड्रॉन के किनारे कहा जाता है, और कोने को पॉलीहेड्रॉन के कोने कहा जाता है। आइए समझाएं कि एक परिचित घन के उदाहरण पर क्या कहा गया था (चित्र 5)। घन एक उत्तल बहुफलक है। इसकी सतह में छह वर्ग होते हैं: ABCD, BEFC, .... वे इसके फलक हैं। घन के किनारे इन वर्गों की भुजाएँ हैं: AB, BC, BE,.... क्यूब के कोने वर्गों के शीर्ष हैं: ए, बी, सी, डी, ई, .... क्यूब के छह चेहरे, बारह किनारे और आठ कोने हैं। सबसे सरल पॉलीहेड्रा - प्रिज्म और पिरामिड, जो होंगे हमारे अध्ययन का मुख्य उद्देश्य - हम ऐसी परिभाषा देंगे, जो अनिवार्य रूप से शरीर की अवधारणा का उपयोग नहीं करती हैं। उन्हें ज्यामितीय आकृतियों के रूप में परिभाषित किया जाएगा, जो उनसे संबंधित अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं को दर्शाती हैं। सामान्य स्थिति में एक ज्यामितीय निकाय और इसकी सतह की अवधारणा बाद में दी जाएगी।

4. चश्मे

एक प्रिज्म एक पॉलीहेड्रॉन होता है, जिसमें दो फ्लैट बहुभुज होते हैं जो अलग-अलग विमानों में स्थित होते हैं और समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं, और इन बहुभुजों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड (चित्र 6)। बहुभुजों को प्रिज्म का आधार कहा जाता है, और संबंधित शीर्षों को जोड़ने वाले खंड प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहलाते हैं। चूँकि समानांतर अनुवाद गति है, प्रिज्म के आधार समान हैं। चूंकि, समानांतर स्थानांतरण के दौरान, विमान एक समानांतर विमान (या स्वयं में) में गुजरता है, तो प्रिज्म के आधार समानांतर विमानों में स्थित होते हैं। किनारे समानांतर और बराबर होते हैं। एक प्रिज्म की सतह में आधार और एक पार्श्व सतह होती है। पार्श्व सतह में समांतर चतुर्भुज होते हैं। इनमें से प्रत्येक समांतर चतुर्भुज के लिए, दो भुजाएँ आधारों की संगत भुजाएँ हैं, और अन्य दो आसन्न भुजाएँ हैं। एक प्रिज्म की ऊँचाई उसके आधारों के तलों के बीच की दूरी है। प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ने वाला खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है, प्रिज्म का विकर्ण कहलाता है। एक प्रिज्म को n-gonal कहा जाता है यदि उसके आधार n-gons हों। भविष्य में, हम केवल उन प्रिज्मों पर विचार करेंगे जिनके आधार उत्तल बहुभुज हैं। ऐसे प्रिज्म उत्तल पॉलीहेड्रा होते हैं। चित्र 6 एक पंचकोणीय प्रिज्म दिखाता है। इसके आधार पंचभुज हैं। लेकिन 1 लेकिन 2 ...लेकिन 5 , लेकिन 1 ’ लेकिन" 2 ...लेकिन" 5 . एक्सएक्स"-आधारों के संगत बिंदुओं को जोड़ने वाला एक रेखाखंड। प्रिज्म-खंडों के पार्श्व किनारे लेकिन 1 लेकिन" 2 , लेकिन 1 लेकिन" 2 , ..., लेकिन 5 लेकिन" 5 . प्रिज्म के पार्श्व फलक - समांतर चतुर्भुज लेकिन 1 लेकिन 2 लेकिन" 2 लेकिन 1 , लेकिन 2 लेकिन 3 लेकिन ’ 3 लेकिन" 2 , ... .

5. एक प्रिज्म की छवि और उसके वर्गों का निर्माण

समानांतर प्रक्षेपण के नियमों के अनुसार, एक प्रिज्म की छवि इस प्रकार बनाई जाती है। सबसे पहले, आधारों में से एक बनाया गया है आर(चित्र 7)। यह कुछ समतल बहुभुज होगा। फिर बहुभुज के शीर्षों से आरप्रिज्म की पार्श्व पसलियों को समान लंबाई के समानांतर खंडों के रूप में खींचा जाता है। इन खंडों के सिरे जुड़े हुए हैं, और प्रिज्म का एक और आधार प्राप्त होता है। अदृश्य किनारों को धराशायी रेखाओं से खींचा जाता है। पार्श्व किनारों के समानांतर विमानों द्वारा प्रिज्म के खंड समांतर चतुर्भुज हैं। विशेष रूप से, विकर्ण खंड समांतर चतुर्भुज होते हैं। ये दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले विमानों द्वारा खंड हैं जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं (चित्र 8)। व्यवहार में, विशेष रूप से, समस्याओं को हल करते समय, किसी दी गई सीधी रेखा से गुजरने वाले विमान द्वारा प्रिज्म के एक खंड का निर्माण करना अक्सर आवश्यक होता है जीप्रिज्म के आधारों में से एक के तल पर। ऐसी रेखा कहलाती है अगलाआधार के तल पर विमान काटना। प्रिज्म के एक खंड का निर्माण करने के लिए, प्रिज्म के चेहरों के साथ छेदक विमान के प्रतिच्छेदन के खंडों का निर्माण करना पर्याप्त है। आइए हम दिखाते हैं कि यदि कोई बिंदु ज्ञात हो तो ऐसे खंड का निर्माण कैसे किया जाता है लेकिनखंड से संबंधित प्रिज्म की सतह पर (चित्र 9)। यदि यह बिंदु लेकिनप्रिज्म के दूसरे आधार के अंतर्गत आता है, तो काटने वाले विमान के साथ इसका प्रतिच्छेदन एक खंड है रवि,जागने के समानांतर जीऔर दिए गए बिंदु से युक्त लेकिन(चित्र। 9, ए)। यदि यह बिंदु लेकिनसाइड फेस के अंतर्गत आता है, फिर कटिंग प्लेन के साथ इस फेस का चौराहा बनाया जाता है, जैसा कि चित्र 9 में दिखाया गया है, बी।अर्थात्: पहले एक बिंदु बनाया गया है डी,जिसमें चेहरे का तल दिए गए निशान को काटता है जी।फिर बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींची जाती है लेकिनतथा डी।रेखा खंड रविसीधा विज्ञापनमाना चेहरे पर काटने वाले विमान के साथ इस चेहरे का प्रतिच्छेदन है। यदि चेहरा बिंदु युक्त है लेकिन,ट्रेस के समानांतर जी, फिरकाटने वाला विमान इस चेहरे को खंड के साथ काटता है रवि,एक बिंदु से गुजरना लेकिनऔर रेखा जी के समानांतर।

लाइन समाप्त होती है रविपड़ोसी चेहरों के हैं। इसलिए, वर्णित तरीके से, हमारे काटने वाले विमान के साथ इन चेहरों के चौराहे का निर्माण करना संभव है। और इसी तरह। चित्र 10 एक सीधी रेखा से गुजरने वाले समतल द्वारा एक चतुर्भुज प्रिज्म के एक खंड के निर्माण को दर्शाता है एकप्रिज्म के निचले आधार के तल में और एक बिंदु लेकिनएक तरफ की पसलियों पर। 6. सीधा प्रिज्म एक प्रिज्म को सीधा कहा जाता है यदि इसके किनारे के किनारे आधारों के लंबवत हों। अन्यथा, प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है। एक सीधे प्रिज्म के लिए, पार्श्व फलक आयताकार होते हैं। आकृति में एक सीधे प्रिज्म का चित्रण करते समय, पार्श्व पसलियों को आमतौर पर लंबवत रूप से खींचा जाता है (चित्र 11)। एक सही प्रिज्म को नियमित कहा जाता है यदि उसके आधार नियमित बहुभुज हों। प्रिज्म की पार्श्व सतह (अधिक सटीक रूप से, पार्श्व सतह का क्षेत्र) पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है। प्रिज्म की कुल सतह पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रों के योग के बराबर होती है। प्रमेय 19.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात पार्श्व किनारे की लंबाई।सबूत। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयताकार होते हैं। इन आयतों के आधार प्रिज्म के आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाएँ हैं, और ऊँचाई भुजाओं के किनारों की लंबाई के बराबर है। यह इस प्रकार है कि प्रिज्म की पार्श्व सतह बराबर है

एस = ए 1 एल+ए 1 एल+...+ए एन एल = पीएल,

कहाँ पे एक 1 ,..., एक एन- आधार के किनारों की लंबाई, आर -प्रिज्म के आधार की परिधि, और 1 -पार्श्व पसलियों की लंबाई। प्रमेय सिद्ध हो चुका है। 7. समांतर चतुर्भुज यदि प्रिज्म का आधार एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसे समानांतर चतुर्भुज कहा जाता है। समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं। चित्र 12 में, एक झुका हुआ समानांतर चतुर्भुज दिखाया गया है, और चित्र 12 में, b - एक सीधा समानांतर चतुर्भुज। समांतर चतुर्भुज के फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं, विपरीत फलक कहलाते हैं। प्रमेय 19.2. समानांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक होते हैं जो समानांतर और बराबर होते हैं। सबूत। समानांतर चतुर्भुज के कुछ दो विपरीत चेहरों पर विचार करें, उदाहरण के लिए A1A2A"2A"1 और A3A4A"4A"3। (चित्र 13)। चूँकि समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं, रेखा A1A2 रेखा A4A3 के समानांतर है, और रेखा A1A"1 रेखा A4A4" के समानांतर है। इससे यह इस प्रकार है कि माने गए चेहरों के तल समानांतर हैं। इस तथ्य से कि समानांतर चतुर्भुज के चेहरे समांतर चतुर्भुज हैं, यह इस प्रकार है कि खंड A1A4, A1 "A4", A "2A" 3 और A2A3 समानांतर और समान हैं। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि फलक A1A2A"2A"1 को किनारे A1A4 के साथ समानांतर अनुवाद द्वारा संयोजित किया गया है। एक चेहरे के साथ A3A4A "4A" 3. तो ये किनारे बराबर हैं। समानांतर चतुर्भुज के किसी भी अन्य विपरीत चेहरों की समानता और समानता इसी तरह साबित होती है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
8. समानांतर चतुर्भुज की केंद्रीय समरूपता प्रमेय 19.3. समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है। सबूत। समानांतर चतुर्भुज के कुछ दो विकर्णों पर विचार करें, उदाहरण के लिए, ए 1 ए "3 और ए 4 ए" 2 (चित्र 14)। चूंकि चतुर्भुज ए 1 ए 2 ए 3 ए 4 और ए 2 ए "2 ए" 3 ए 3 एक आम पक्ष ए 2 ए 3 के साथ समांतर चतुर्भुज हैं, तो उनके पक्ष ए 1 ए 4 और ए "2 ए" 3 समानांतर हैं एक दूसरे, जिसका अर्थ है कि वे एक ही विमान में झूठ बोलते हैं। यह तल समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलकों के तलों को समानांतर रेखाओं A 1 A" 2 और A 4 A" 3 के अनुदिश काटता है। अत: चतुर्भुज A 4 A 1 A "2 A" 3 एक समांतर चतुर्भुज है। समांतर चतुर्भुज A 1 A "3 और A 4 A" 2 के विकर्ण इस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं। इसलिए, वे प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु O आधे में विभाजित होता है। इसी प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है कि विकर्ण A1A"3 और A2A"4, साथ ही विकर्ण A1A"3 और A3A"1 प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित होते हैं। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समानांतर चतुर्भुज के सभी चार विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है। प्रमेय 19.3 का तात्पर्य है कि समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इसकी सममिति का केंद्र है। 9. आयताकार बॉक्स एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज कहलाता है। घनाभ के सभी फलक आयताकार होते हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे समान हों, घन कहलाता है। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के गैर-समानांतर किनारों की लंबाई को इसके रैखिक आयाम (माप) कहा जाता है। एक घनाभ के तीन आयाम होते हैं। प्रमेय 19.4. एक घनाभ में, किसी भी विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।सबूत। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज ABCDA"B"C"D" (चित्र 15) पर विचार करें। समकोण त्रिभुज AC "C से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

एसी" 2 = एसी 2 + सीसी" 2।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा समकोण त्रिभुज ASV से, हम प्राप्त करते हैं

एसी 2 \u003d एबी 2 + बीसी 2.

इसलिए एसी" 2 \u003d सीसी" 2 + एबी 2 + बीसी 2.

किनारे AB, BC और CC" समानांतर नहीं हैं, और इसलिए, उनकी लंबाई समानांतर चतुर्भुज के रैखिक आयाम हैं। प्रमेय सिद्ध हो गया है। 10. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की सममिति एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज, किसी भी समानांतर चतुर्भुज की तरह, समरूपता का केंद्र होता है - इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु। इसमें समरूपता के तीन तल भी चेहरे के समानांतर समरूपता के केंद्र से गुजरते हैं। चित्र 16 इनमें से एक विमान को दिखाता है। यह समांतर चतुर्भुज के चार समानांतर किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरता है। किनारों के सिरे सममित बिंदु हैं। यदि एक समानांतर चतुर्भुज के सभी रैखिक आयाम अलग-अलग हैं, तो उसके नाम के अलावा कोई अन्य समरूपता का विमान नहीं है। यदि समानांतर चतुर्भुज के दो रैखिक आयाम समान हैं, तो इसमें समरूपता के दो और तल हैं। ये चित्र 17 में दिखाए गए विकर्ण वर्गों के तल हैं। यदि एक समानांतर चतुर्भुज में सभी रैखिक आयाम समान हैं, अर्थात यह एक घन है, तो इसका किसी भी विकर्ण खंड का तल समरूपता का एक तल है। इस प्रकार, घन में सममिति के नौ तल हैं। 11. पिरामिड पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसमें एक समतल बहुभुज होता है - पिरामिड आधार,बिंदु आधार के तल में नहीं पड़ा है, - पिरामिड के शीर्षऔर पिरामिड के शीर्ष को आधार के बिंदुओं से जोड़ने वाले सभी खंड (चित्र 18)। पिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्ष से जोड़ने वाले खंड कहलाते हैं पार्श्व पसलियों।पिरामिड की सतह में एक आधार और पार्श्व फलक होते हैं। प्रत्येक भुजा का फलक एक त्रिभुज है। इसका एक शीर्ष पिरामिड का शीर्ष है, और विपरीत पक्ष पिरामिड के आधार का पक्ष है। पिरामिड ऊंचाई,पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल पर गिरा हुआ लंब कहलाता है। एक पिरामिड को n-gonal कहा जाता है यदि उसका आधार n-gon हो। त्रिभुजाकार पिरामिड को भी कहा जाता है चतुष्फलकचित्र 18 में दिखाए गए पिरामिड का एक आधार है - एक बहुभुज A 1 A 2 ... A n, पिरामिड का शीर्ष - S, पार्श्व किनारे - SA 1, S A 2, ..., S A n, पार्श्व फलक - एसए 1 ए 2,  एसए 2 ए 3, ...। निम्नलिखित में, हम आधार पर उत्तल बहुभुज वाले केवल पिरामिडों पर विचार करेंगे। ऐसे पिरामिड उत्तल पॉलीहेड्रा हैं। 12. पिरामिड और उसके समतल खंडों का निर्माण समानांतर प्रक्षेपण के नियमों के अनुसार, पिरामिड की छवि का निर्माण इस प्रकार किया जाता है। सबसे पहले, नींव का निर्माण किया जाता है। यह कुछ समतल बहुभुज होगा। फिर पिरामिड के शीर्ष को चिह्नित किया जाता है, जो पार्श्व पसलियों द्वारा आधार के शीर्ष से जुड़ा होता है। चित्र 18 एक पंचकोणीय पिरामिड की एक छवि दिखाता है। इसके शीर्ष से गुजरने वाले तलों द्वारा पिरामिड के खंड त्रिभुज हैं (चित्र 19)। विशेष रूप से, विकर्ण खंड त्रिभुज होते हैं। ये पिरामिड के दो गैर-आसन्न किनारों से गुजरने वाले विमानों द्वारा खंड हैं (चित्र 20)। आधार के तल पर दिए गए ट्रेस जी के साथ एक विमान द्वारा पिरामिड का खंड उसी तरह से बनाया गया है जैसे प्रिज्म का खंड। एक समतल द्वारा पिरामिड के एक भाग का निर्माण करने के लिए, काटने वाले तल के साथ इसके पार्श्व फलकों के चौराहों का निर्माण करना पर्याप्त है। यदि खंड से संबंधित कुछ बिंदु ए को ट्रेस जी के समानांतर एक चेहरे पर जाना जाता है, तो इस चेहरे के विमान के साथ काटने वाले विमान के ट्रेस जी के चौराहे का निर्माण पहले किया जाता है - चित्रा 21 में बिंदु डी। बिंदु डी है बिंदु A से एक सीधी रेखा से जुड़ा है। फिर चेहरे से संबंधित इस रेखा का खंड काटने वाले विमान के साथ इस चेहरे का प्रतिच्छेदन है। यदि बिंदु A, ट्रेस g के समानांतर एक फलक पर स्थित है, तो छेदक तल इस फलक को रेखा g के समानांतर एक खंड के अनुदिश काटता है। बगल के किनारे पर जाकर, वे कटिंग प्लेन आदि के साथ इसके चौराहे का निर्माण करते हैं। परिणामस्वरूप, पिरामिड का आवश्यक खंड प्राप्त होता है।
चित्र 22 आधार के किनारे से गुजरने वाले एक समतल द्वारा चतुर्भुज पिरामिड के एक खंड को दिखाता है और इसके एक किनारे पर बिंदु A को दर्शाता है।

13. काटे गए पिरामिड प्रमेय 19.5। एक समतल पिरामिड को काटता है और उसके आधार के समानांतर एक समान पिरामिड को काटता है। सबूत। मान लीजिए S पिरामिड का शीर्ष है, A आधार का शीर्ष है, और A "- पार्श्व किनारे SA (चित्र 23) के साथ छेदक तल का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हम पिरामिड के संबंध में एक समरूपता परिवर्तन के अधीन हैं। समरूपता गुणांक के साथ शीर्ष S

इस समरूपता के साथ, आधार का तल बिंदु A " से गुजरने वाले समानांतर विमान में गुजरता है, अर्थात, छेदक तल में, और, परिणामस्वरूप, इस विमान द्वारा काटे गए भाग में संपूर्ण पिरामिड। चूंकि समरूपता एक समानता है परिवर्तन, पिरामिड का कट-ऑफ हिस्सा एक पिरामिड है, इसी के समान, प्रमेय सिद्ध होता है।

प्रमेय 19.5 के अनुसार, एक पिरामिड के आधार तल के समानांतर एक तल और इसके पार्श्व किनारों को प्रतिच्छेद करते हुए एक समान पिरामिड को काटता है। दूसरा भाग एक बहुफलक है, जिसे काटा हुआ पिरामिड कहा जाता है (चित्र 24)। समानांतर विमानों में पड़े एक काटे गए पिरामिड के चेहरों को आधार कहा जाता है; बाकी चेहरों को कहा जाता है किनारे के किनारे।काटे गए पिरामिड के आधार समान (इसके अलावा, समरूप) बहुभुज हैं, पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं। 14. सही पिरामिड एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई का आधार इस बहुभुज के केंद्र के साथ मेल खाता है। एक नियमित पिरामिड की धुरी एक सीधी रेखा होती है जिसमें इसकी ऊंचाई होती है। जाहिर है, एक नियमित पिरामिड के किनारे बराबर होते हैं; इसलिए, भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है, एपोथेम कहलाती है। पिरामिड की पार्श्व सतह उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। प्रमेय 19.6. एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के बराबर होती है।सबूत। यदि आधार पक्ष एक,पक्षों की संख्या पी,तो पिरामिड की पार्श्व सतह के बराबर है:

(a1/2)एपी \u003d a1p / 2 \u003d p1/2 "

कहाँ पे मैं-एपोथेम, ए पी-पिरामिड के आधार की परिधि। प्रमेय सिद्ध हो चुका है। एक काटे गए पिरामिड, जो एक नियमित पिरामिड से प्राप्त होता है, को भी कहा जाता है सही।एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं; उनकी ऊंचाई कहा जाता है एपोथेम्स। 15. नियमित पॉलीहेड्रा एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन को नियमित कहा जाता है यदि इसके चेहरे समान बहुभुज होते हैं जिनमें समान संख्या में भुजाएँ होती हैं और समान संख्या में किनारे पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक शीर्ष पर अभिसरण होते हैं।) पांच प्रकार के नियमित उत्तल पॉलीहेड्रा (चित्र 25) हैं: नियमित टेट्राहेड्रोन (1), क्यूब (2), ऑक्टाहेड्रोन (3), डोडेकेहेड्रोन (4); इकोसाहेड्रोन (5)।एक नियमित चतुष्फलक में ऐसे फलक होते हैं जो नियमित त्रिभुज होते हैं; प्रत्येक शीर्ष पर तीन किनारे अभिसरण होते हैं। एक चतुष्फलक एक त्रिभुजाकार पिरामिड होता है जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं। एक घन में, सभी फलक वर्ग होते हैं; प्रत्येक शीर्ष पर तीन किनारे अभिसरण होते हैं। घन समान किनारों वाला एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है। अष्टफलक फलक नियमित त्रिभुज होते हैं, लेकिन चतुष्फलक के विपरीत, इसके प्रत्येक शीर्ष पर चार किनारे अभिसरण होते हैं। डोडेकाहेड्रोन के चेहरे नियमित पेंटागन हैं। प्रत्येक शीर्ष पर तीन किनारे अभिसरण होते हैं। आईकोसाहेड्रॉन चेहरे नियमित त्रिकोण होते हैं, लेकिन टेट्राहेड्रोन और ऑक्टाहेड्रोन के विपरीत, प्रत्येक शीर्ष पर पांच किनारों का अभिसरण होता है।

III. व्यावहारिक भाग।

कार्य 1।विकर्ण कोण के फलकों पर स्थित बिंदुओं A और B से, लंबवत AA\ तथा BB\ कोण के किनारे पर गिराए जाते हैं। खंड AB की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c और डायहेड्रल कोण a (चित्र। 26) है। समाधान।रेखाएँ A 1 C||BB 1 और BC||A 1 B 1 ड्रा करें। चतुर्भुज A 1 B 1 BC एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है AA 1 \u003d\u003d BB 1 \u003d b। रेखा ए 1 बी 1 त्रिभुज एए 1 सी के विमान के लंबवत है, क्योंकि यह इस विमान एए 1 और सीए 1 में दो रेखाओं के लंबवत है। अत: इसके समांतर रेखा BC भी इस तल पर लंबवत होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज ABC समकोण C के साथ समकोण है। कोसाइन प्रमेय के अनुसार, AC 2 \u003d AA 1 2 + A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos  \u003d a 2 + b 2 - 2abcos . पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, AB \u003d AC 2 + BC 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos + c 2। कार्य 2.एक त्रिभुज कोण (abc) में एक सीधी रेखा के साथ एक किनारे पर एक डायहेड्रल कोण होता है, एक किनारे b पर एक डायहेड्रल कोण  के बराबर होता है, और एक समतल कोण (bс)  (, ) के बराबर होता है।</2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). समाधान।आइए हम एक मनमाना बिंदु A से किनारे a, लंबवत AB से किनारे b और लंबवत AC से किनारे c (चित्र 27) को छोड़ते हैं। तीन लंबवत प्रमेय के अनुसार, सीबी किनारे बी के लंबवत है। समकोण त्रिभुजों OAB, OSV, AOC और ABC से हम प्राप्त करते हैं: BC/sin )=tg sin टास्क 3. एक झुके हुए प्रिज्म में, एक खंड खींचा जाता है जो पार्श्व पसलियों के लंबवत होता है और सभी पार्श्व पसलियों को काटता है। प्रिज्म की पार्श्व सतह ज्ञात कीजिए यदि खंड का परिमाप p है और भुजाएँ l हैं। समाधान।खींचे गए खंड का तल प्रिज्म को दो भागों में विभाजित करता है (चित्र 28)। आइए उनमें से एक को समानांतर अनुवाद के अधीन करें जो प्रिज्म के आधारों को जोड़ता है। इस मामले में, हम एक सीधा प्रिज्म प्राप्त करते हैं, जिसमें मूल प्रिज्म का खंड आधार के रूप में कार्य करता है, और किनारे के किनारे l के बराबर होते हैं। इस प्रिज्म की पार्श्व सतह वही है जो मूल प्रिज्म की है। इस प्रकार, मूल प्रिज्म की पार्श्व सतह pl के बराबर होती है। कार्य 4.पिरामिड के पार्श्व किनारे को चार बराबर भागों में विभाजित किया गया है और आधार के समानांतर विमानों को विभाजन बिंदुओं के माध्यम से खींचा गया है। आधार क्षेत्र 400 सेमी2 है। वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। समाधान।अनुभाग , 2/4, और के समानता गुणांक वाले पिरामिड के आधार की तरह हैं। समान आकृतियों के क्षेत्रफल रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में संबंधित हैं। इसलिए, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों का पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल का अनुपात (¼) 2, (2/4) 2, और (¾) 2 है। इसलिए, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र 400 (¼) 2 \u003d 25 (सेमी 2), 400 (2/4) 2 \u003d 100 (सेमी 2), 400 (¾) 2 \u003d 225 (सेमी 2) हैं। कार्य 5.सिद्ध करें कि एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह आधारों और एपोथेम के परिमापों के आधे योग के गुणनफल के बराबर होती है। समाधान।एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समान ऊपरी आधार a, निचला b और ऊँचाई (एपोथेम) l के साथ समलंब होते हैं। इसलिए, एक फलक का क्षेत्रफल ½ (a + b)l के बराबर होता है। सभी फलकों का क्षेत्रफल, यानी पार्श्व सतह, ½ (a + bn)l के बराबर है, जहां n पिरामिड के आधार पर शीर्षों की संख्या है, a और bn आधारों के परिमाप हैं पिरामिड।

चतुर्थ। निष्कर्ष

इस काम के लिए धन्यवाद, मैंने 11 वीं कक्षा में अध्ययन के दौरान प्राप्त ज्ञान को संक्षेप और व्यवस्थित किया, रचनात्मक कार्य करने के नियमों से परिचित हुआ, नया ज्ञान प्राप्त किया और इसे व्यवहार में लाया। मैं अपनी 3 पसंदीदा पुस्तकों को हाइलाइट करना चाहूंगा: ए.वी. पोगोरेलोव "ज्यामिति", जी। याकुशेवा "गणित - एक स्कूली बच्चे की संदर्भ पुस्तक", एल.एफ. पिचुरिन "एक ज्यामिति पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे"। इन किताबों ने मुझे दूसरों की तुलना में अधिक मदद की है। मैं अपने नए अर्जित ज्ञान को अभ्यास में अधिक बार उपयोग करना चाहता हूं।

वी. साहित्य

1. ए.वी. पोगोरेलोव ज्यामिति। - एम।: शिक्षा, 1992 2. जी। यकुशेवा "गणित - एक स्कूली बच्चे का मार्गदर्शक।" एम.: स्लोवो, 1995 3. एल.डी. कुद्रियात्सेव "गणितीय विश्लेषण का पाठ्यक्रम" v.1, मास्को 1981 4. एल.एफ. पिचुरिन "एक ज्यामिति पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे"। - एम।: शिक्षा, 1990 5. आई.एन. बश्माकोव "ज्यामिति"।