पिछले खंड में, एक निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ के विश्लेषण के लिए समर्पित, हमने एक वक्रीय समलम्ब के क्षेत्र की गणना के लिए कई सूत्र प्राप्त किए:

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

S (G) = a b f (x) d x एक सतत और गैर-ऋणात्मक फलन के लिए y = f (x) खंड पर [ a ; बी] ,

S (G) = - a b f (x) d x एक सतत और गैर-धनात्मक फलन के लिए y = f (x) खंड पर [ a ; बी] ।

ये सूत्र अपेक्षाकृत सरल समस्याओं को हल करने के लिए लागू होते हैं। वास्तव में, हमें अक्सर अधिक जटिल आकृतियों के साथ काम करना पड़ता है। इस संबंध में, हम इस खंड को आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के लिए एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए समर्पित करेंगे, जो एक स्पष्ट रूप में कार्यों द्वारा सीमित हैं, अर्थात। जैसे y = f(x) या x = g(y) ।

प्रमेय

माना फलन y = f 1 (x) और y = f 2 (x) खंड [ a ; पर परिभाषित और सतत हैं; b ] , और f 1 (x) ≤ f 2 (x) किसी भी मान x के लिए [ a ; बी] । फिर एक आकृति के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) और y \u003d f 2 (x) से घिरा हुआ S जैसा दिखेगा ( जी) \u003d ए बी एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) डी एक्स।

इसी तरह का सूत्र y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) और x \u003d g 2 (y) रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्र के लिए लागू होगा: S (जी) \u003d सी डी (जी 2 (वाई) - जी 1 (वाई) डी वाई ।

सबूत

हम तीन मामलों का विश्लेषण करेंगे जिनके लिए सूत्र मान्य होगा।

पहले मामले में, क्षेत्र के योगात्मक गुण को ध्यान में रखते हुए, मूल आकृति G और वक्रतारेखीय समलम्बाकार G 1 के क्षेत्रफलों का योग आकृति G 2 के क्षेत्रफल के बराबर है। इसका मतलब है कि

इसलिए, एस (जी) = एस (जी 2) - एस (जी 1) = ए बी एफ 2 (एक्स) डी एक्स - ए बी एफ 1 (एक्स) डी एक्स = ∫ ए बी (एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) घ एक्स.

हम निश्चित समाकल की तीसरी संपत्ति का उपयोग करके अंतिम संक्रमण कर सकते हैं।

दूसरे मामले में, समानता सत्य है: एस (जी) = एस (जी 2) + एस (जी 1) = ∫ ए बी एफ 2 (एक्स) डी एक्स + - ∫ ए बी एफ 1 (एक्स) डी एक्स = ∫ ए बी (एफ 2 ( एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स

ग्राफिक चित्रण इस तरह दिखेगा:

यदि दोनों फलन गैर-धनात्मक हैं, तो हम प्राप्त करते हैं: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - a b f 2 (x) d x - - a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स। ग्राफिक चित्रण इस तरह दिखेगा:

आइए सामान्य स्थिति पर विचार करें जब y = f 1 (x) और y = f 2 (x) अक्ष O x को प्रतिच्छेद करते हैं।

हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं को x i , i = 1, 2 , के रूप में निरूपित करेंगे। . . , एन - 1। ये बिंदु खंड को तोड़ते हैं [ a ; ख ] n भागों में x i - 1 ; एक्स मैं , मैं = 1 , 2 , . . . , n , जहां α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

फलस्वरूप,

एस (जी) = ∑ आई = 1 एन एस (जी आई) = ∑ आई = 1 एन ∫ एक्स आई एक्स आई एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स = = ∫ एक्स 0 एक्स एन (एफ 2 (एक्स) - एफ ( एक्स)) डी एक्स = ∫ ए बी एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) डी एक्स

हम निश्चित समाकल के पांचवें गुण का उपयोग करके अंतिम संक्रमण कर सकते हैं।

आइए हम ग्राफ पर सामान्य स्थिति का वर्णन करें।

सूत्र S (G) = a b f 2 (x) - f 1 (x) d x को सिद्ध माना जा सकता है।

और अब आइए y \u003d f (x) और x \u003d g (y) द्वारा सीमित आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के उदाहरणों के विश्लेषण पर आगे बढ़ते हैं।

किसी भी उदाहरण पर विचार करते हुए, हम एक ग्राफ के निर्माण के साथ शुरू करेंगे। छवि हमें जटिल आकृतियों को सरल आकृतियों के संयोजन के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देगी। यदि उन पर रेखांकन और आकृतियों को आलेखित करना आपके लिए कठिन है, तो आप मूल प्राथमिक फलन, फलन के रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन, साथ ही किसी फलन के अध्ययन के दौरान आलेखन पर अनुभाग का अध्ययन कर सकते हैं।

उदाहरण 1

आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है, जो कि परवलय y \u003d - x 2 + 6 x - 5 और सीधी रेखाओं y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d द्वारा सीमित है 1, एक्स \u003d 4.

समाधान

आइए कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में ग्राफ पर रेखाओं को आलेखित करें।

अंतराल पर [ 1 ; 4] परवलय का ग्राफ y = - x 2 + 6 x - 5 सीधी रेखा y = - 1 3 x - 1 2 के ऊपर स्थित है। इस संबंध में, एक उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करते हैं, साथ ही न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न की गणना करने की विधि का उपयोग करते हैं:

एस (जी) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

उत्तर: एस (जी) = 13

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो y = x + 2 , y = x , x = 7 द्वारा सीमित है।

समाधान

इस मामले में, हमारे पास x-अक्ष के समानांतर केवल एक सीधी रेखा है। यह एक्स = 7 है। इसके लिए हमें दूसरी एकीकरण सीमा स्वयं ढूंढनी होगी।

आइए एक ग्राफ बनाते हैं और उस पर समस्या की स्थिति में दी गई रेखाएँ डालते हैं।

हमारी आंखों के सामने एक ग्राफ होने से, हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि एकीकरण की निचली सीमा एक सीधी रेखा y \u003d x और एक अर्ध-परवलय y \u003d x + 2 के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज होगी। एब्सिस्सा को खोजने के लिए, हम समानता का उपयोग करते हैं:

वाई = एक्स + 2 ओ डीजेड: एक्स - 2 एक्स 2 = एक्स + 2 2 एक्स 2 - एक्स - 2 = 0 डी = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ओ डी जी एक्स 2 = 1 - 9 2 = - 1 ओ डी जी

यह पता चला है कि प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज x = 2 है।

हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि ड्राइंग में सामान्य उदाहरण में, रेखाएँ y = x + 2 , y = x बिंदु (2; 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए इस तरह की विस्तृत गणना बेमानी लग सकती है। हमने यहां इतना विस्तृत समाधान केवल इसलिए प्रदान किया है क्योंकि अधिक जटिल मामलों में समाधान इतना स्पष्ट नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि विश्लेषणात्मक रूप से लाइनों के चौराहे के निर्देशांक की गणना करना हमेशा बेहतर होता है।

अंतराल पर [ 2 ; 7 ] फलन y = x का आलेख फलन y = x + 2 के आलेख के ऊपर स्थित होता है। क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करें:

एस (जी) = ∫ 2 7 (एक्स - एक्स + 2) डी एक्स = एक्स 2 2 - 2 3 (एक्स + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

उत्तर: एस (जी) = 59 6

उदाहरण 3

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो कि y \u003d 1 x और y \u003d - x 2 + 4 x - 2 के कार्यों के रेखांकन द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए ग्राफ़ पर रेखाएँ खींचते हैं।

आइए एकीकरण की सीमाओं को परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, हम व्यंजकों 1 x और - x 2 + 4 x - 2 को समान करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। बशर्ते कि x शून्य के बराबर न हो, समानता 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 तीसरी डिग्री के समीकरण के बराबर हो जाती है - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 पूर्णांक गुणांक के साथ . आप "घन समीकरणों का समाधान" खंड का हवाला देकर ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम की स्मृति को ताज़ा कर सकते हैं।

इस समीकरण का मूल x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 है।

व्यंजक - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 को द्विपद x - 1 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

हम शेष मूल समीकरण x 2 - 3 x - 1 = 0 से प्राप्त कर सकते हैं:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3। 3; एक्स 2 \u003d 3 - 13 2 - 0। 3

हमें एक अंतराल x ∈ 1 मिला है; 3 + 13 2, जहाँ G नीली रेखा के ऊपर और लाल रेखा के नीचे संलग्न है। यह हमें आकार के क्षेत्र को निर्धारित करने में मदद करता है:

एस (जी) = ∫ 1 3 + 13 2 - एक्स 2 + 4 एक्स - 2 - 1 एक्स डी एक्स = - एक्स 3 3 + 2 एक्स 2 - 2 एक्स - एलएन एक्स 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - एलएन 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - एलएन 1 = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उत्तर: एस (जी) \u003d 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उदाहरण 4

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो घटता y \u003d x 3, y \u003d - लॉग 2 x + 1 और x- अक्ष द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए सभी पंक्तियों को ग्राफ़ पर रखें। हम फलन y = - log 2 x + 1 का आलेख y = log 2 x से प्राप्त कर सकते हैं यदि हम इसे x-अक्ष पर सममित रूप से रखते हैं और इसे एक इकाई ऊपर ले जाते हैं। एक्स-अक्ष y \u003d 0 का समीकरण।

आइए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निरूपित करें।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, कार्यों के रेखांकन y \u003d x 3 और y \u003d 0 बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (0; 0) । ऐसा इसलिए है क्योंकि x \u003d 0 समीकरण x 3 \u003d 0 का एकमात्र वास्तविक मूल है।

x = 2 समीकरण का एकमात्र मूल है - log 2 x + 1 = 0, इसलिए फलन y = - log 2 x + 1 और y = 0 के आलेख (2; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

x = 1 समीकरण का एकमात्र मूल है x 3 = - log 2 x + 1 । इस संबंध में, कार्यों के रेखांकन y \u003d x 3 और y \u003d - लॉग 2 x + 1 बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (1; 1) । अंतिम कथन स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन समीकरण x 3 \u003d - लॉग 2 x + 1 में एक से अधिक रूट नहीं हो सकते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन y \u003d x 3 सख्ती से बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y \u003d - लॉग 2 x +1 सख्ती से घट रहा है।

अगले चरण में कई विकल्प शामिल हैं।

विकल्प संख्या 1

हम आकृति G को भुज अक्ष के ऊपर स्थित दो वक्रीय समलम्बाकारों के योग के रूप में निरूपित कर सकते हैं, जिनमें से पहला खंड x 0 पर मध्य रेखा के नीचे स्थित है; 1 , और दूसरा खंड x 1 पर लाल रेखा के नीचे है; 2. इसका अर्थ है कि क्षेत्रफल S (G) = 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x के बराबर होगा।

विकल्प संख्या 2

आकृति G को दो अंकों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से पहला x-अक्ष के ऊपर और खंड x 0 पर नीली रेखा के नीचे स्थित है; 2 , और दूसरा खंड x ∈ 1 पर लाल और नीली रेखाओं के बीच है; 2. यह हमें इस तरह के क्षेत्र को खोजने की अनुमति देता है:

एस (जी) = ∫ 0 2 एक्स 3 डी एक्स - ∫ 1 2 एक्स 3 - (- लॉग 2 एक्स + 1) डी एक्स

इस मामले में, क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको फॉर्म एस (जी) \u003d सी डी (जी 2 (वाई) - जी 1 (वाई)) डी वाई के फॉर्मूले का उपयोग करना होगा। वास्तव में, आकृति को बाध्य करने वाली रेखाओं को y तर्क के कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए समीकरण y = x 3 और - x के संबंध में 2 x + 1 लॉग करें:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - लघुगणक 2 x + 1 लघुगणक 2 x = 1 - y x = 2 1 - y

हमें आवश्यक क्षेत्र मिलता है:

एस (जी) = 0 1 (2 1 - वाई - वाई 3) डी वाई = - 2 1 - वाई एलएन 2 - वाई 4 4 0 1 = - 2 1 - 1 एलएन 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 एलएन 2 - 0 4 4 = - 1 एलएन 2 - 1 4 + 2 एलएन 2 = 1 एलएन 2 - 1 4

उत्तर: एस (जी) = 1 एलएन 2 - 1 4

उदाहरण 5

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो कि y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 द्वारा सीमित है।

समाधान

फ़ंक्शन y = x द्वारा दी गई लाल रेखा के साथ चार्ट पर एक रेखा खींचें। रेखा y = - 1 2 x + 4 नीले रंग से खींचिए, और रेखा y = 2 3 x - 3 को काले रंग से चिह्नित कीजिए।

चौराहे के बिंदुओं पर ध्यान दें।

फलन y = x और y = - 1 2 x + 4 के आलेखों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 मैं समीकरण का हल है x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 x 2 = 4 समीकरण का हल है (4 ; 2) प्रतिच्छेदन बिंदु i y = x और y = - 1 2 x + 4

फलन y = x और y = 2 3 x - 3 के आलेखों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 चेक: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 समीकरण का हल है (9; 3) बिंदु और प्रतिच्छेदन y = x और y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 x 2 = 9 4 समीकरण का हल नहीं है

रेखाओं y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3 का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 (6 1) प्रतिच्छेद बिंदु y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3

विधि संख्या 1

हम व्यक्तिगत आंकड़ों के क्षेत्रों के योग के रूप में वांछित आकृति के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं।

तब आकृति का क्षेत्रफल है:

एस (जी) = 4 6 एक्स - - 1 2 एक्स + 4 डी एक्स + ∫ 6 9 एक्स - 2 3 एक्स - 3 डी एक्स = = 2 3 एक्स 3 2 + एक्स 2 4 - 4 एक्स 4 6 + 2 3 एक्स 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

विधि संख्या 2

मूल आकृति के क्षेत्रफल को अन्य दो आकृतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फिर हम x के लिए रेखा समीकरण को हल करते हैं, और उसके बाद ही हम आकृति के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं।

y = x x = y 2 लाल रेखा y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 काली रेखा y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

तो क्षेत्र है:

एस (जी) = 1 2 3 2 वाई + 9 2 - - 2 वाई + 8 डी वाई + ∫ 2 3 3 2 वाई + 9 2 - वाई 2 डी वाई = = 1 2 7 2 वाई - 7 2 डी वाई + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान मेल खाते हैं।

उत्तर: एस (जी) = 11 3

परिणाम

दी गई रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें समतल पर रेखाएँ खींचनी होंगी, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने होंगे और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र लागू करना होगा। इस खंड में, हमने कार्यों के लिए सबसे सामान्य विकल्पों की समीक्षा की है।

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समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

अब हम समाकलन कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं। इस पाठ में, हम एक विशिष्ट और सबसे सामान्य कार्य का विश्लेषण करेंगे। एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक निश्चित समाकल का उपयोग कैसे करें. अंत में, जो उच्च गणित में अर्थ की तलाश करते हैं - वे इसे पा सकते हैं। आपको कभी नहीं जानते। वास्तविक जीवन में, आपको प्राथमिक कार्यों के साथ एक ग्रीष्मकालीन कुटीर का अनुमान लगाना होगा और एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके अपना क्षेत्र ढूंढना होगा।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) कम से कम एक मध्यवर्ती स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को समझें। इस प्रकार, डमी को पहले पाठ पढ़ना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और निश्चित समाकलन की गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न के साथ मधुर मैत्रीपूर्ण संबंध स्थापित कर सकते हैं समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण.

वास्तव में, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको अनिश्चित और निश्चित अभिन्न के इतने ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता है, इसलिए आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल अधिक प्रासंगिक मुद्दा होगा। इस संबंध में, यह मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन की स्मृति को ताज़ा करने के लिए उपयोगी है, और, कम से कम, एक सीधी रेखा, एक परवलय और एक अतिपरवलय का निर्माण करने में सक्षम होने के लिए। यह किया जा सकता है (कई लोगों को इसकी आवश्यकता होती है) कार्यप्रणाली सामग्री और ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों पर एक लेख की मदद से।

दरअसल, स्कूल के समय से ही एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्र खोजने की समस्या से हर कोई परिचित है, और हम स्कूली पाठ्यक्रम से थोड़ा आगे जाएंगे। यह लेख शायद मौजूद ही नहीं है, लेकिन तथ्य यह है कि समस्या 100 में से 99 मामलों में होती है, जब एक छात्र को उच्च गणित में एक पाठ्यक्रम में महारत हासिल करने वाले उत्साह के साथ एक घृणास्पद टॉवर द्वारा सताया जाता है।

इस कार्यशाला की सामग्री को सरलता से, विस्तार से और न्यूनतम सिद्धांत के साथ प्रस्तुत किया गया है।

आइए एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज से शुरू करते हैं।

वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजअक्ष, सीधी रेखाओं, और एक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलता है, से घिरा एक सपाट आकृति कहलाता है। इस आकृति को स्थित होने दें कम नहीं हैभुज:

फिर एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकल के बराबर होता है. कोई भी निश्चित समाकल (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। सबक पर समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरणमैंने कहा कि एक निश्चित समाकल एक संख्या है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकल क्षेत्र है.

वह है, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से किसी आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड विमान पर एक वक्र को परिभाषित करता है जो अक्ष के ऊपर स्थित होता है (जो लोग ड्राइंग को पूरा करना चाहते हैं), और निश्चित अभिन्न स्वयं संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1

यह एक विशिष्ट कार्य विवरण है। निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण क्षण एक चित्र का निर्माण है. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

ब्लूप्रिंट बनाते समय, मैं निम्नलिखित आदेश की अनुशंसा करता हूं: पहलासभी लाइनों (यदि कोई हो) का निर्माण करना बेहतर है और केवल बाद में- परवलय, अतिपरवलय, अन्य कार्यों के रेखांकन। फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए अधिक लाभदायक हैं बिन्दुवार, बिंदुवार निर्माण की तकनीक के साथ संदर्भ सामग्री में पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. वहां आप ऐसी सामग्री भी पा सकते हैं जो हमारे पाठ के संबंध में बहुत उपयोगी है - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है।
आइए एक चित्र बनाएं (ध्यान दें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है):

मैं एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड नहीं बनाऊंगा, यह स्पष्ट है कि हम यहां किस क्षेत्र की बात कर रहे हैं। समाधान इस तरह जारी है:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

उत्तर:

निश्चित समाकल की गणना करने और न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में किसे कठिनाई होती है , व्याख्यान का संदर्भ लें समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण.

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास उत्तर होता: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं एक गलती हुई थी - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक, प्रश्न में आकृति में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं, और अक्षों से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें और अक्षों का समन्वय करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाते हैं:

यदि वक्रीय समलम्बाकार स्थित है धुरी के नीचे(या कम से कम उच्चतर नहींदी गई धुरी), तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:
इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

1) यदि आपको बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकल को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह ऋणात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित समाकल का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है! यही कारण है कि माइनस अभी विचार किए गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे विमानों दोनों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से, हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान: सबसे पहले आपको ड्राइंग पूरी करनी होगी। सामान्यतया, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है। हम समीकरण हल करते हैं:

इसलिए, एकीकरण की निचली सीमा, एकीकरण की ऊपरी सीमा।
यदि संभव हो तो इस पद्धति का उपयोग न करना सबसे अच्छा है।.

बिंदु-दर-बिंदु लाइनों का निर्माण करना अधिक लाभदायक और तेज़ है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। विभिन्न चार्टों के लिए बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक पर सहायता में विस्तार से चर्चा की गई है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जाती है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

हम अपने कार्य पर लौटते हैं: पहले एक सीधी रेखा और उसके बाद ही एक परवलय का निर्माण करना अधिक तर्कसंगत है। आइए एक चित्र बनाएं:

मैं दोहराता हूं कि बिंदुवार निर्माण के साथ, एकीकरण की सीमाएं अक्सर "स्वचालित रूप से" पाई जाती हैं।

और अब कार्य सूत्र: यदि अंतराल पर कोई सतत फलन है से बड़ा या बराबरकुछ निरंतर कार्य, फिर इन कार्यों के रेखांकन और सीधी रेखाओं से घिरे आकृति का क्षेत्र, सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

यहां यह सोचने की आवश्यकता नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, और, मोटे तौर पर बोलते हुए, यह मायने रखता है कि कौन सा चार्ट ऊपर है(दूसरे ग्राफ के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक परवलय और नीचे से एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।
खंड पर, संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

वास्तव में, निचले आधे तल में एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (सरल उदाहरण संख्या 3 देखें) सूत्र का एक विशेष मामला है . चूंकि अक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है, और फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है उच्चतर नहींकुल्हाड़ियों, फिर

और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना के लिए समस्याओं को हल करने के दौरान, कभी-कभी एक मजेदार घटना होती है। ड्राइंग सही ढंग से बनाई गई थी, गणना सही थी, लेकिन असावधानी के कारण ... गलत आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया, इस तरह आपका आज्ञाकारी सेवक कई बार पंगा ले चुका है। यहाँ एक वास्तविक जीवन का मामला है:

उदाहरण 7

रेखा , , , , द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान: आइए पहले एक चित्र बनाते हैं:

...अरे, ड्राइंग बकवास निकली, लेकिन सब कुछ सुपाठ्य प्रतीत होता है।

जिस आकृति का क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग में छायांकित है।(हालत को ध्यान से देखें - कैसे आंकड़ा सीमित है!) लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, एक "गड़बड़" अक्सर होता है, कि आपको हरे रंग में छायांकित आकृति के क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता होती है!

यह उदाहरण इस मायने में भी उपयोगी है कि इसमें दो निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की गणना की जाती है। सचमुच:

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक अतिपरवलय ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और चाहिए), इसलिए:

उत्तर:

आइए एक और सार्थक कार्य की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना कीजिए,
आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें, और बिंदु-दर-बिंदु आरेखण करें:

ड्राइंग से देखा जा सकता है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छा" है:।
लेकिन निचली सीमा क्या है? यह स्पष्ट है कि यह एक पूर्णांक नहीं है, लेकिन क्या है? शायद ? लेकिन इस बात की गारंटी कहां है कि ड्राइंग सही सटीकता के साथ बनाई गई है, यह अच्छी तरह से हो सकता है। या जड़। क्या होगा अगर हमें ग्राफ बिल्कुल सही नहीं मिला?

ऐसे मामलों में, व्यक्ति को अतिरिक्त समय बिताना पड़ता है और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को परिष्कृत करना पड़ता है।

आइए रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:


,

सचमुच, ।

आगे का समाधान तुच्छ है, मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों, यहां गणना सबसे आसान नहीं है।

खंड पर , इसी सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

खैर, पाठ के अंत में, हम दो कार्यों को और अधिक कठिन मानेंगे।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

समाधान: इस आकृति को चित्र में खींचिए।

धिक्कार है, मैं शेड्यूल पर हस्ताक्षर करना भूल गया, और तस्वीर को फिर से करना, क्षमा करें, हॉटज़ नहीं। चित्र नहीं, संक्षेप में, आज का दिन है =)

बिंदु-दर-बिंदु निर्माण के लिए, साइनसॉइड की उपस्थिति को जानना आवश्यक है (और सामान्य तौर पर यह जानना उपयोगी होता है सभी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन), साथ ही साथ कुछ साइन मान, वे इसमें पाए जा सकते हैं त्रिकोणमितीय तालिका. कुछ मामलों में (जैसा कि इस मामले में), इसे एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाने की अनुमति है, जिस पर रेखांकन और एकीकरण सीमा को सिद्धांत रूप से सही ढंग से प्रदर्शित किया जाना चाहिए।

यहां एकीकरण सीमा के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे शर्त से पालन करते हैं: - "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। हम एक और निर्णय लेते हैं:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के ऊपर स्थित होता है, इसलिए:

एक आकृति के क्षेत्र की गणनायह शायद क्षेत्र सिद्धांत की सबसे कठिन समस्याओं में से एक है। स्कूल ज्यामिति में, उन्हें बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों को खोजने के लिए सिखाया जाता है जैसे, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज, एक समचतुर्भुज, एक आयत, एक समलम्ब, एक वृत्त, आदि। हालांकि, किसी को अक्सर अधिक जटिल आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना से निपटना पड़ता है। ऐसी समस्याओं को हल करने में ही समाकलन कलन का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है।

परिभाषा।

वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजकुछ आकृति G को y = f(x), y = 0, x = a और x = b रेखाओं से घिरा कहा जाता है, और फलन f(x) खंड [a; b] और उस पर अपना चिन्ह नहीं बदलता (चित्र एक)।एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल S(G) द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

फलन f(x) के लिए निश्चित समाकल ʃ a b f(x)dx, जो खंड [a; बी], और इसी वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्र है।

अर्थात्, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a और x \u003d b द्वारा बंधी हुई आकृति G के क्षेत्र को खोजने के लिए, गणना करना आवश्यक है निश्चित समाकल a b f (x) dx.

इस तरह, एस (जी) = ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

यदि फलन y = f(x) [a; पर धनात्मक नहीं है; बी], फिर वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है एस (जी) = -ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

उदाहरण 1

y \u003d x 3 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 1; एक्स = 2.

समाधान।

दी गई रेखाएं आकृति ABC बनाती हैं, जिसे हैचिंग करके दिखाया गया है चावल। 2.

वांछित क्षेत्र वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज DACE और वर्ग DABE के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है।

सूत्र S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) का प्रयोग करके हम समाकलन की सीमाएँ ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते हैं:

(वाई \u003d एक्स 3,
(वाई = 1.

इस प्रकार, हमारे पास x 1 \u003d 1 - निचली सीमा और x \u003d 2 - ऊपरी सीमा है।

तो, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: 11/4 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 2

रेखा y \u003d √x से घिरे आंकड़े के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 2; एक्स = 9.

समाधान।

दी गई रेखाएं आकृति ABC बनाती हैं, जो ऊपर से फलन के ग्राफ द्वारा परिबद्ध है

y \u003d √x, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे से y \u003d 2. परिणामी आकृति को हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। 3.

वांछित क्षेत्र S = a b (√x - 2) के बराबर है। आइए एकीकरण की सीमाएँ ज्ञात करें: b = 9, a खोजने के लिए, हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

(वाई = x,
(वाई = 2.

इस प्रकार, हमारे पास x = 4 = a निचली सीमा है।

तो, एस = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: एस = 2 2/3 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 3

y \u003d x 3 - 4x की रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 0; एक्स 0.

समाधान।

आइए फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x x 0 के लिए प्लॉट करें। ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न y ' पाते हैं:

y' = 3x 2 - 4, y' = 0 पर = ±2/√3 ≈ 1.1 क्रांतिक बिंदु हैं।

यदि हम वास्तविक अक्ष पर महत्वपूर्ण बिंदु खींचते हैं और व्युत्पन्न के संकेत रखते हैं, तो हम पाते हैं कि फ़ंक्शन शून्य से घटकर 2/√3 हो जाता है और 2/√3 से प्लस अनंत तक बढ़ जाता है। तब x = 2/√3 न्यूनतम बिंदु है, फलन y का न्यूनतम मान न्यूनतम = -16/(3√3) ≈ -3 है।

आइए निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें:

यदि x \u003d 0, तो y \u003d 0, जिसका अर्थ है कि A (0; 0) ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है;

यदि y \u003d 0, तो x 3 - 4x \u003d 0 या x (x 2 - 4) \u003d 0, या x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, जहां से x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (उपयुक्त नहीं, क्योंकि x 0)।

अंक A(0; 0) और B(2; 0) ऑक्‍स अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

दी गई रेखाएँ OAB आकृति बनाती हैं, जिसे हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। चार।

चूंकि फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x (0; 2) पर ऋणात्मक मान लेता है, तब

एस = |ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx|।

हमारे पास है: 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2/2)| 0 2 \u003d -4, जहां से एस \u003d 4 वर्ग मीटर। इकाइयों

उत्तर: एस = 4 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 4

परवलय y \u003d 2x 2 - 2x + 1, सीधी रेखाओं x \u003d 0, y \u003d 0 और इस परवलय की स्पर्शरेखा द्वारा भुज x 0 \u003d के साथ बिंदु पर परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 2.

समाधान।

सबसे पहले, हम परवलय y \u003d 2x 2 - 2x + 1 के स्पर्शरेखा के समीकरण को भुज x₀ \u003d 2 के साथ बिंदु पर बनाते हैं।

चूँकि अवकलज y' = 4x - 2 है, तो x 0 = 2 के लिए हमें k = y'(2) = 6 प्राप्त होता है।

स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5।

इसलिए, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: y - 5 \u003d 6 (x - 2) या y \u003d 6x - 7।

आइए रेखाओं से घिरी एक आकृति बनाएं:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - परवलय। समन्वय अक्षों के साथ चौराहे के बिंदु: ए(0; 1) - ओए अक्ष के साथ; ऑक्स अक्ष के साथ - कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, क्योंकि समीकरण 2x 2 - 2x + 1 = 0 का कोई हल नहीं है (D .)< 0). Найдем вершину параболы:

एक्स बी \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, यानी परवलय बिंदु B के शीर्ष में निर्देशांक B (1/2; 1/2) है।

अत: जिस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, उसे हैचिंग द्वारा दर्शाया गया है चावल। 5.

हमारे पास है: एस ओ ए बी डी \u003d एस ओएबीसी - एस एडीबीसी।

शर्त से बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

6x - 7 = 0, अर्थात्। x \u003d 7/6, फिर DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6।

हम सूत्र S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC का उपयोग करके त्रिभुज DBC का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इस तरह,

एस एडीबीसी = 1/2 5/6 5 = 25/12 वर्ग। इकाइयों

एस ओएबीसी = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (वर्ग इकाइयाँ)।

अंत में हमें मिलता है: एस ओ ए बी डी \u003d एस ओएबीसी - एस एडीबीसी \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: एस = 1 1/4 वर्ग। इकाइयों

हमने उदाहरणों की समीक्षा की है दी गई रेखाओं से घिरी हुई आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करना. ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको एक समतल पर कार्यों की रेखाएँ और ग्राफ़ बनाने, रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने, क्षेत्र को खोजने के लिए एक सूत्र लागू करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि कुछ इंटीग्रल की गणना करने की क्षमता और कौशल।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

परिभाषा।अंतर F (b) - F (a) को खंड [ a ; पर फलन f (x) का समाकल कहा जाता है; b ] और इसे निम्नानुसार दर्शाया गया है: = F (b) - F (a) - न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र।

अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ।

अंतराल पर एक निरंतर सकारात्मक ग्राफ से घिरा एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र [ a ; b ] फ़ंक्शन f (x), ऑक्स अक्ष और सीधी रेखाएं x=a और x=b:

इंटीग्रल का उपयोग करके क्षेत्रों की गणना करना।

1. अंतराल पर निरंतर ऋणात्मक के ग्राफ द्वारा परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल [ a ; b ] फ़ंक्शन f (x), ऑक्स अक्ष और सीधी रेखाएं x=a और x=b:

2. निरंतर कार्यों f (x), और सीधी रेखाओं x \u003d a, x \u003d b के रेखांकन से घिरे एक आकृति का क्षेत्र:

3. निरंतर फलन f (x) और के रेखांकन द्वारा परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल:

4. निरंतर कार्यों f (x) और ऑक्स अक्ष के ग्राफ से घिरे एक आकृति का क्षेत्र:

"इंटीग्रल। इंटीग्रल का उपयोग करके क्षेत्रों की गणना करना" विषय पर कार्य और परीक्षण

• अभिन्न

  पाठ: 4 कार्य: 13 परीक्षण: 1

• इंटीग्रल का उपयोग करके क्षेत्रों की गणना करना - एंटिडेरिवेटिव और इंटीग्रल ग्रेड 11

  पाठ: 1 असाइनमेंट: 10 क्विज़: 1

• antiderivative - एंटिडेरिवेटिव और इंटीग्रल ग्रेड 11

  पाठ: 1 कार्य: 11 परीक्षण: 1

• प्लानिमेट्री: लंबाई और क्षेत्रफल की गणना

  कार्य: 7

• गणना और परिवर्तन - गणित में परीक्षा की तैयारी

  कार्य: 10

इससे पहले कि आप दी गई रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना शुरू करें, इस आकृति को एक समन्वय प्रणाली में खींचने का प्रयास करें। इससे समस्या के समाधान में काफी सुविधा होगी।

इस विषय पर सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन आपको एंटीडेरिवेटिव और इंटीग्रल की अवधारणाओं में महारत हासिल करने का अवसर देता है, उनके बीच संबंध सीखता है, इंटीग्रल कैलकुलस की सबसे सरल तकनीक में महारत हासिल करता है, फ़ंक्शन द्वारा सीमित आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना के लिए इंटीग्रल को लागू करना सीखता है। रेखांकन।

उदाहरण।

1. अभिन्न की गणना करें

समाधान:

उत्तर: 0.

2. रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक) एफ(एक्स) = 2 एक्स – एक्स 2 और x-अक्ष

समाधान:फ़ंक्शन का ग्राफ़ f (x) \u003d 2x - x 2 परवलय। वर्टेक्स: (1; 1)।

उत्तर:(वर्ग इकाइयों)।