क्षैतिज प्रक्षेपण तल से किसी बिंदु की दूरी कहलाती है। बिंदुओं के ओर्थोगोनल अनुमानों का निर्माण

अनुमानों के प्रोफाइल विमान पर विचार करें। दो लंबवत विमानों पर अनुमान आमतौर पर आकृति की स्थिति निर्धारित करते हैं और इसके वास्तविक आयामों और आकार का पता लगाना संभव बनाते हैं। लेकिन ऐसे समय होते हैं जब दो अनुमान पर्याप्त नहीं होते हैं। फिर तीसरे प्रक्षेपण के निर्माण को लागू करें।

तीसरा प्रक्षेपण विमान किया जाता है ताकि यह एक ही समय में दोनों प्रक्षेपण विमानों के लंबवत हो (चित्र 15)। तीसरे विमान को कहा जाता है प्रोफ़ाइल.

ऐसे निर्माणों में, क्षैतिज और ललाट तलों की उभयनिष्ठ रेखा कहलाती है एक्सिस एक्स , क्षैतिज और प्रोफ़ाइल विमानों की सामान्य रेखा - एक्सिस पर , और ललाट और प्रोफ़ाइल विमानों की सामान्य सीधी रेखा - एक्सिस जेड . दूरसंचार विभाग हे, जो तीनों तलों से संबंधित है, उद्गम बिंदु कहलाता है।

चित्र 15a बिंदु को दर्शाता है लेकिनऔर इसके तीन अनुमान। प्रोफाइल प्लेन पर प्रोजेक्शन ( ए) कहा जाता है प्रोफ़ाइल प्रक्षेपणऔर निरूपित करें ए.

बिंदु A का आरेख प्राप्त करने के लिए, जिसमें तीन अनुमान होते हैं ए, ए ए, y अक्ष के साथ सभी विमानों द्वारा गठित त्रिभुज को काटना आवश्यक है (चित्र 15b) और इन सभी विमानों को ललाट प्रक्षेपण के विमान के साथ जोड़ दें। क्षैतिज विमान को अक्ष के बारे में घुमाया जाना चाहिए एक्स, और प्रोफ़ाइल विमान अक्ष के निकट है जेडचित्र 15 में तीर द्वारा इंगित दिशा में।

चित्र 16 अनुमानों की स्थिति दिखाता है ए, एऔर एअंक लेकिन, तीनों विमानों को ड्राइंग प्लेन के साथ मिलाने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।

कट के परिणामस्वरूप, आरेख पर y-अक्ष दो अलग-अलग स्थानों पर होता है। एक क्षैतिज तल पर (चित्र 16), यह एक ऊर्ध्वाधर स्थिति लेता है (अक्ष के लंबवत .) एक्स), और प्रोफ़ाइल तल पर - क्षैतिज (अक्ष के लंबवत .) जेड).

चित्र 16 तीन अनुमान दिखाता है ए, एऔर एअंक ए की आरेख पर एक कड़ाई से परिभाषित स्थिति है और स्पष्ट शर्तों के अधीन हैं:

एऔर एहमेशा अक्ष के लंबवत एक लंबवत सीधी रेखा पर स्थित होना चाहिए एक्स;

एऔर एहमेशा अक्ष के लंबवत समान क्षैतिज रेखा पर स्थित होना चाहिए जेड;

3) जब एक क्षैतिज प्रक्षेपण और एक क्षैतिज रेखा के माध्यम से खींचा जाता है, लेकिन एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण के माध्यम से ए- एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा, निर्मित रेखाएं अनिवार्य रूप से प्रक्षेपण अक्षों के बीच के कोण के द्विभाजक पर प्रतिच्छेद करेंगी, क्योंकि आकृति ओएपर ए 0 ए n एक वर्ग है।

एक बिंदु के तीन प्रक्षेपणों का निर्माण करते समय, प्रत्येक बिंदु के लिए तीनों शर्तों की पूर्ति की जांच करना आवश्यक है।

बिंदु निर्देशांक

अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को तीन संख्याओं का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिन्हें इसकी . कहा जाता है COORDINATES. प्रत्येक निर्देशांक कुछ प्रक्षेपण विमान से एक बिंदु की दूरी से मेल खाता है।

बिंदु दूरी लेकिनप्रोफ़ाइल विमान के लिए निर्देशांक है एक्स, जिसमें एक्स = ए˝ए(चित्र 15), ललाट तल की दूरी - निर्देशांक y द्वारा, और y = आ, और क्षैतिज तल की दूरी निर्देशांक है जेड, जिसमें जेड = आ.

चित्र 15 में, बिंदु A एक आयताकार बॉक्स की चौड़ाई पर कब्जा कर लेता है, और इस बॉक्स की माप इस बिंदु के निर्देशांक के अनुरूप होती है, अर्थात, प्रत्येक निर्देशांक चित्र 15 में चार बार प्रस्तुत किया जाता है, अर्थात:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = а y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝।

आरेख (चित्र 16) पर, x और z निर्देशांक तीन बार आते हैं:

एक्स \u003d ए जेड ए ́ \u003d ओए एक्स \u003d ए वाई ए,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

निर्देशांक के अनुरूप सभी खंड एक्स(या जेड) एक दूसरे के समानांतर हैं। कोआर्डिनेट परऊर्ध्वाधर अक्ष द्वारा दो बार दर्शाया गया है:

वाई \u003d ओए वाई \u003d ए एक्स ए

और दो बार - क्षैतिज रूप से स्थित:

वाई \u003d ओए वाई \u003d ए जेड ए˝।

यह अंतर इस तथ्य के कारण प्रकट हुआ कि y-अक्ष दो अलग-अलग स्थितियों में आरेख पर मौजूद है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक प्रक्षेपण की स्थिति आरेख पर केवल दो निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात्:

1) क्षैतिज - निर्देशांक एक्सऔर पर,

2) ललाट - निर्देशांक एक्सऔर जेड,

3) प्रोफाइल - निर्देशांक परऔर जेड.

निर्देशांक का उपयोग करना एक्स, वाईऔर जेड, आप आरेख पर एक बिंदु के अनुमान बना सकते हैं।

यदि बिंदु A को निर्देशांक द्वारा दिया जाता है, तो उनका रिकॉर्ड निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है: A ( एक्स; वाई; जेड).

बिंदु अनुमानों का निर्माण करते समय लेकिननिम्नलिखित शर्तों की जाँच की जानी चाहिए:

1) क्षैतिज और ललाट अनुमान एऔर ए एक्स एक्स;

2) ललाट और प्रोफ़ाइल अनुमान एऔर एअक्ष के समान लंबवत पर स्थित होना चाहिए जेड, क्योंकि उनके पास एक सामान्य समन्वय है जेड;

3) क्षैतिज प्रक्षेपण और अक्ष से भी हटा दिया गया एक्स, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण की तरह एधुरी से दूर जेड, क्योंकि अनुमानों a′ और a˝ का एक सामान्य समन्वय है पर.

यदि बिंदु किसी भी प्रक्षेपण तल में स्थित है, तो इसका एक निर्देशांक शून्य के बराबर होता है।

जब कोई बिंदु प्रक्षेपण अक्ष पर स्थित होता है, तो उसके दो निर्देशांक शून्य होते हैं।

यदि कोई बिंदु मूल बिंदु पर स्थित है, तो उसके तीनों निर्देशांक शून्य हैं।

एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण

एक रेखा को परिभाषित करने के लिए दो बिंदुओं की आवश्यकता होती है। एक बिंदु को क्षैतिज और ललाट तलों पर दो अनुमानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, अर्थात, क्षैतिज और ललाट तल पर इसके दो बिंदुओं के अनुमानों का उपयोग करके एक सीधी रेखा निर्धारित की जाती है।

चित्र 17 अनुमानों को दर्शाता है ( एऔर ए, बीऔर बी) दो बिंदु लेकिनऔर बी. उनकी मदद से, किसी सीधी रेखा की स्थिति अब. इन बिंदुओं के समान-नाम के अनुमानों को जोड़ते समय (अर्थात। एऔर बी ० एऔर बी) आप अनुमान प्राप्त कर सकते हैं अबऔर अबप्रत्यक्ष एबी।

चित्र 18 दोनों बिंदुओं के अनुमानों को दर्शाता है, और चित्र 19 उनके माध्यम से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुमानों को दर्शाता है।

यदि एक सीधी रेखा के अनुमानों को उसके दो बिंदुओं के अनुमानों द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो उन्हें दो आसन्न लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, जो सीधी रेखा पर लिए गए बिंदुओं के अनुमानों के पदनामों के अनुरूप होते हैं: स्ट्रोक के साथ ललाट प्रक्षेपण को इंगित करने के लिए सीधी रेखा या बिना स्ट्रोक के - क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए।

यदि हम एक सीधी रेखा के अलग-अलग बिंदुओं पर नहीं, बल्कि इसके अनुमानों पर विचार करें, तो इन अनुमानों को संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है।

अगर कुछ बिंदु साथ मेंएक सीधी रेखा पर स्थित है अब, इसके प्रक्षेपण с और с́ एक ही रेखा के अनुमानों पर हैं अबऔर अब. चित्र 19 इस स्थिति को दर्शाता है।

सीधे निशान

सीधे ट्रेस- यह किसी समतल या सतह के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है (चित्र 20)।

क्षैतिज ट्रैक सीधाकुछ बिंदु कहा जाता है एचजहाँ रेखा क्षैतिज तल से मिलती है, तथा ललाट- डॉट वी, जिसमें यह सीधी रेखा ललाट तल से मिलती है (चित्र 20)।

चित्र 21a, चित्र 21b में एक सीधी रेखा के क्षैतिज निशान और उसके ललाट के निशान को दिखाता है।

कभी-कभी एक सीधी रेखा का प्रोफाइल ट्रेस भी माना जाता है, वू- एक प्रोफ़ाइल विमान के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु।

क्षैतिज ट्रेस क्षैतिज तल में है, अर्थात इसका क्षैतिज प्रक्षेपण एचइस निशान के साथ मेल खाता है, और ललाट एच x-अक्ष पर स्थित है। ललाट निशान ललाट तल में स्थित है, इसलिए इसका ललाट प्रक्षेपण इसके साथ मेल खाता है, और क्षैतिज v x-अक्ष पर स्थित है।

इसलिए, एच = एच, और वी= वी. इसलिए, एक सीधी रेखा के निशान को दर्शाने के लिए अक्षरों का उपयोग किया जा सकता है एचऔर वी.

रेखा के विभिन्न पद

सीधी रेखा कहलाती है प्रत्यक्ष सामान्य स्थिति, यदि यह न तो समानांतर है और न ही किसी प्रक्षेपण तल के लंबवत है। सामान्य स्थिति में एक रेखा के प्रक्षेपण भी प्रक्षेपण अक्षों के समानांतर या लंबवत नहीं होते हैं।

सीधी रेखाएं जो प्रक्षेपण विमानों में से एक के समानांतर होती हैं (कुल्हाड़ियों में से एक के लंबवत)।चित्र 22 एक सीधी रेखा दिखाता है जो क्षैतिज तल के समानांतर है (z-अक्ष के लंबवत), एक क्षैतिज सीधी रेखा है; चित्र 23 एक सीधी रेखा को दर्शाता है जो ललाट तल के समानांतर है (अक्ष के लंबवत) पर), ललाट सीधी रेखा है; चित्र 24 एक सीधी रेखा को दर्शाता है जो प्रोफ़ाइल तल के समानांतर है (अक्ष के लंबवत) एक्स), एक प्रोफ़ाइल सीधी रेखा है। इस तथ्य के बावजूद कि इनमें से प्रत्येक रेखा कुल्हाड़ियों में से एक के साथ एक समकोण बनाती है, वे इसे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, लेकिन केवल इसके साथ प्रतिच्छेद करती हैं।

इस तथ्य के कारण कि क्षैतिज रेखा (चित्र 22) क्षैतिज तल के समानांतर है, इसके ललाट और प्रोफ़ाइल अनुमान उन अक्षों के समानांतर होंगे जो क्षैतिज तल को परिभाषित करते हैं, अर्थात, कुल्हाड़ियों एक्सऔर पर. इसलिए अनुमान अब|| एक्सऔर अभय|| पर जेड. क्षैतिज प्रक्षेपण ab आरेख पर कोई भी स्थिति ले सकता है।

ललाट रेखा पर (चित्र 23) प्रक्षेपण अब|| एक्स और अभय || जेड, अर्थात वे अक्ष के लंबवत हैं पर, और इसलिए इस मामले में ललाट प्रक्षेपण अबरेखा कोई भी स्थिति ले सकती है।

प्रोफाइल लाइन पर (चित्र 24) अब|| वाई, अबू|| जेड, और दोनों x-अक्ष के लंबवत हैं। प्रक्षेपण अभयआरेख पर किसी भी तरह से रखा जा सकता है।

उस समतल पर विचार करते समय जो क्षैतिज रेखा को ललाट तल पर प्रक्षेपित करता है (चित्र 22), आप देख सकते हैं कि यह इस रेखा को प्रोफ़ाइल तल पर भी प्रक्षेपित करता है, अर्थात यह एक ऐसा तल है जो एक साथ दो प्रक्षेपण विमानों पर रेखा को प्रक्षेपित करता है - ललाट और प्रोफ़ाइल। इसी कारण इसे कहते हैं डबल प्रोजेक्टिंग प्लेन. उसी तरह, ललाट रेखा (चित्र। 23) के लिए, दोगुना प्रक्षेपित विमान इसे क्षैतिज और प्रोफ़ाइल अनुमानों के विमानों पर और प्रोफ़ाइल के लिए (चित्र 23) - क्षैतिज और ललाट अनुमानों के विमानों पर प्रोजेक्ट करता है। .

दो अनुमान एक सीधी रेखा को परिभाषित नहीं कर सकते। दो अनुमान 1 और एकप्रोफ़ाइल सीधी रेखा (चित्र 25) उन पर इस सीधी रेखा के दो बिंदुओं के अनुमानों को निर्दिष्ट किए बिना अंतरिक्ष में इस सीधी रेखा की स्थिति निर्धारित नहीं करेगी।

एक समतल में जो समरूपता के दो दिए गए विमानों के लंबवत है, वहाँ अनंत संख्या में रेखाएँ हो सकती हैं जिनके लिए आरेख पर डेटा 1 और एकउनके अनुमान हैं।

यदि कोई बिंदु एक रेखा पर है, तो सभी मामलों में उसके प्रक्षेपण इस रेखा पर उसी नाम के अनुमानों पर स्थित हैं। प्रोफाइल लाइन के लिए विपरीत स्थिति हमेशा सही नहीं होती है। इसके अनुमानों पर, आप मनमाने ढंग से एक निश्चित बिंदु के अनुमानों को इंगित कर सकते हैं और यह सुनिश्चित नहीं कर सकते कि यह बिंदु किसी दी गई रेखा पर स्थित है।

तीनों विशेष स्थितियों (चित्र 22, 23 और 24) में, अनुमानों के तल के संबंध में सीधी रेखा की स्थिति इसका मनमाना खंड है अब, प्रत्येक सीधी रेखा पर लिया गया, विरूपण के बिना प्रक्षेपण विमानों में से एक पर प्रक्षेपित किया जाता है, अर्थात उस विमान पर जिसके समानांतर यह है। रेखा खंड अबक्षैतिज सीधी रेखा (चित्र 22) एक क्षैतिज तल पर एक आदमकद प्रक्षेपण देती है ( अब = अब); रेखा खंड अबललाट सीधी रेखा (चित्र 23) - ललाट तल V के तल पर पूर्ण आकार में ( अब = अब) और खंड अबप्रोफ़ाइल सीधी रेखा (चित्र 24) - प्रोफ़ाइल तल पर पूर्ण आकार में वू (अभय\u003d एबी), यानी ड्राइंग पर खंड के वास्तविक आकार को मापना संभव है।

दूसरे शब्दों में, आरेखों की सहायता से, कोणों के प्राकृतिक आयामों को निर्धारित किया जा सकता है कि प्रक्षेपण विमानों के साथ विचाराधीन रेखा बनती है।

वह कोण जो एक सीधी रेखा एक क्षैतिज तल के साथ बनाती है एच, यह अक्षर α को निरूपित करने के लिए प्रथागत है, ललाट तल के साथ - अक्षर β, प्रोफ़ाइल विमान के साथ - अक्षर ।

विचाराधीन किसी भी सीधी रेखा के समानांतर समतल पर कोई निशान नहीं है, अर्थात, क्षैतिज सीधी रेखा में कोई क्षैतिज निशान नहीं है (चित्र 22), ललाट सीधी रेखा में कोई ललाट निशान नहीं है (चित्र 23), और प्रोफ़ाइल सीधी रेखा में कोई प्रोफ़ाइल ट्रेस नहीं है (चित्र 24)।

दो तलों पर बिंदुओं के प्रक्षेपणों पर विचार करें, जिसके लिए हम दो लंबवत तल (चित्र 4) लेते हैं, जिसे हम क्षैतिज ललाट और तल कहते हैं। इन विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा को प्रक्षेपण अक्ष कहा जाता है। हम एक फ्लैट प्रोजेक्शन का उपयोग करके एक बिंदु ए को माना विमानों पर प्रोजेक्ट करते हैं। ऐसा करने के लिए, विचार किए गए विमानों पर दिए गए बिंदु से लंबवत एए और ए को कम करना आवश्यक है।

एक क्षैतिज तल पर प्रक्षेपण को कहा जाता है योजना देखेंअंक लेकिन, और प्रक्षेपण ए?ललाट तल पर कहा जाता है सामने प्रक्षेपण.

जिन बिंदुओं को वर्णनात्मक ज्यामिति में प्रक्षेपित किया जाना है, उन्हें आमतौर पर बड़े लैटिन अक्षरों का उपयोग करके दर्शाया जाता है। ए, बी, सी. बिंदुओं के क्षैतिज अनुमानों को निर्दिष्ट करने के लिए छोटे अक्षरों का उपयोग किया जाता है। ए, बी, सी... ललाट अनुमानों को शीर्ष पर एक स्ट्रोक के साथ छोटे अक्षरों में दर्शाया गया है ए ?, बी ?, सी?…

रोमन अंकों I, II, ... के साथ अंकों के पदनाम का भी उपयोग किया जाता है, और उनके अनुमानों के लिए - अरबी अंकों 1, 2 ... और 1?, 2 के साथ? ...

जब क्षैतिज तल को 90° घुमाया जाता है, तो एक चित्र प्राप्त किया जा सकता है जिसमें दोनों तल एक ही तल में हों (चित्र 5)। इस तस्वीर को कहा जाता है प्वाइंट प्लॉट.

लंबवत रेखाओं के माध्यम से एएचऔर आह?एक समतल खींचिए (चित्र 4)। परिणामी विमान ललाट और क्षैतिज विमानों के लंबवत है क्योंकि इसमें इन विमानों के लंबवत होते हैं। इसलिए, यह तल समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है। परिणामी सीधी रेखा क्षैतिज तल को एक सीधी रेखा में काटती है आ x, और ललाट तल - एक सीधी रेखा में हुह?एक्स। सीधे आह और हुह? x समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष के लंबवत हैं। अर्थात आह?एक आयत है।

क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण विमानों का संयोजन करते समय एऔर ए?विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के एक लंबवत पर स्थित होगा, क्योंकि जब क्षैतिज विमान घूमता है, तो खंडों की लंबवतता आएक्स और हुह?एक्स टूटा नहीं है।

हम इसे प्रक्षेपण आरेख पर प्राप्त करते हैं एऔर ए?एक समय पर लेकिनहमेशा समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष के समान लंब पर स्थित होते हैं।

दो अनुमान ए और ए?किसी बिंदु पर A अंतरिक्ष में अपनी स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित कर सकता है (चित्र 4)। इसकी पुष्टि इस तथ्य से होती है कि प्रक्षेपण a से क्षैतिज तल पर लंबवत निर्माण करते समय, यह बिंदु A से होकर गुजरेगा। इसी प्रकार, प्रक्षेपण से लंबवत ए?ललाट तल बिंदु से होकर गुजरेगा लेकिन, यानी बिंदु लेकिनएक ही समय में दो निश्चित रेखाओं पर स्थित है। बिंदु A उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है, अर्थात यह निश्चित है।

एक आयत पर विचार करें एएएएक्स ए?(चित्र 5), जिसके लिए निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1) बिंदु दूरी लेकिनललाट तल से समतल के प्रतिच्छेदन के अक्ष से उसके क्षैतिज प्रक्षेपण की दूरी के बराबर है, अर्थात।

आह? = आएक्स;

2) बिंदु दूरी लेकिनअनुमानों के क्षैतिज तल से इसके ललाट प्रक्षेपण की दूरी के बराबर है ए?विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी से, अर्थात्।

एएच = हुह?एक्स।

दूसरे शब्दों में, यहां तक कि भूखंड पर बिंदु के बिना, केवल इसके दो अनुमानों का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि यह बिंदु प्रत्येक प्रक्षेपण विमान से कितनी दूरी पर स्थित है।

दो प्रक्षेपण विमानों का प्रतिच्छेदन अंतरिक्ष को चार भागों में विभाजित करता है, जिन्हें कहा जाता है तिमाहियों(चित्र 6)।

विमानों के चौराहे की धुरी क्षैतिज विमान को दो तिमाहियों में विभाजित करती है - आगे और पीछे, और ललाट विमान ऊपरी और निचले क्वार्टर में। ललाट तल के ऊपरी भाग और क्षैतिज तल के अग्र भाग को प्रथम तिमाही की सीमाएँ माना जाता है।

आरेख प्राप्त होने पर, क्षैतिज तल घूमता है और ललाट तल के साथ मेल खाता है (चित्र 7)। इस मामले में, क्षैतिज विमान का अगला भाग ललाट तल के तल के साथ, और क्षैतिज तल का पिछला भाग ललाट तल के शीर्ष के साथ मेल खाएगा।

आंकड़े 8-11 अंतरिक्ष के विभिन्न क्वार्टरों में स्थित बिंदु ए, बी, सी, डी दिखाते हैं। बिंदु A पहली तिमाही में है, बिंदु B दूसरे में है, बिंदु C तीसरे में है, और बिंदु D चौथे में है।

जब अंक उनकी पहली या चौथी तिमाही में स्थित हों क्षैतिज अनुमानक्षैतिज तल के सामने स्थित है, और आरेख पर वे विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के नीचे स्थित होंगे। जब एक बिंदु दूसरी या तीसरी तिमाही में स्थित होता है, तो इसका क्षैतिज प्रक्षेपण क्षैतिज तल के पीछे होगा, और भूखंड पर यह विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के ऊपर होगा।

सामने के अनुमानपहली या दूसरी तिमाही में स्थित बिंदु ललाट तल के ऊपरी भाग पर स्थित होंगे, और आरेख पर वे विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के ऊपर स्थित होंगे। जब एक बिंदु तीसरी या चौथी तिमाही में स्थित होता है, तो इसका ललाट प्रक्षेपण विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के नीचे होता है।

सबसे अधिक बार, वास्तविक निर्माणों में, आकृति को अंतरिक्ष की पहली तिमाही में रखा जाता है।

कुछ विशेष मामलों में, बिंदु ( इ) एक क्षैतिज तल पर स्थित हो सकता है (चित्र 12)। इस मामले में, इसका क्षैतिज प्रक्षेपण ई और बिंदु स्वयं ही मेल खाएगा। ऐसे बिंदु का ललाट प्रक्षेपण विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी पर होगा।

मामले में जहां बिंदु सेवाललाट तल पर स्थित है (चित्र 13), इसका क्षैतिज प्रक्षेपण कविमानों के चौराहे की धुरी पर स्थित है, और ललाट क?उस बिंदु का वास्तविक स्थान दिखाता है।

ऐसे बिंदुओं के लिए, यह संकेत है कि यह प्रक्षेपण विमानों में से एक पर स्थित है, इसका एक प्रक्षेपण विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी पर है।

यदि कोई बिंदु प्रक्षेपण तलों के प्रतिच्छेदन अक्ष पर स्थित है, तो वह और उसके दोनों प्रक्षेपण संपाती होते हैं।

जब कोई बिंदु प्रक्षेपण तल पर स्थित नहीं होता है, तो उसे कहा जाता है सामान्य स्थिति का बिंदु. निम्नलिखित में, यदि कोई विशेष अंक नहीं हैं, तो विचाराधीन बिंदु सामान्य स्थिति में एक बिंदु है।

2. प्रक्षेपण अक्ष का अभाव

यह समझाने के लिए कि लंबवत प्रक्षेपण विमानों (चित्र 4) पर एक बिंदु के मॉडल अनुमानों को कैसे प्राप्त किया जाए, एक लम्बी आयत के रूप में मोटे कागज का एक टुकड़ा लेना आवश्यक है। इसे अनुमानों के बीच झुकाने की जरूरत है। गुना रेखा विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी को दर्शाएगी। यदि उसके बाद मुड़े हुए कागज के टुकड़े को फिर से सीधा किया जाता है, तो हमें चित्र में दिखाए गए चित्र के समान एक आरेख प्राप्त होता है।

ड्रॉइंग प्लेन के साथ दो प्रोजेक्शन प्लेन को मिलाकर आप फोल्ड लाइन नहीं दिखा सकते हैं, यानी डायग्राम पर प्लेन के इंटरसेक्शन की एक्सिस को ड्रा न करें।

आरेख पर निर्माण करते समय, आपको हमेशा अनुमान लगाना चाहिए एऔर ए?एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर बिंदु A (चित्र 14), जो समतलों के प्रतिच्छेदन की धुरी के लंबवत है। इसलिए, भले ही विमानों के चौराहे की धुरी की स्थिति अपरिभाषित हो, लेकिन इसकी दिशा निर्धारित हो, विमानों के चौराहे की धुरी केवल आरेख पर सीधी रेखा के लंबवत हो सकती है आह?.

यदि बिंदु आरेख पर कोई प्रक्षेपण अक्ष नहीं है, जैसा कि पहले चित्र 14a में है, तो आप अंतरिक्ष में इस बिंदु की स्थिति की कल्पना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, रेखा के लंबवत किसी भी स्थान पर ड्रा करें आह?प्रक्षेपण अक्ष, जैसा कि दूसरी आकृति (चित्र 14) में है और इस अक्ष के साथ चित्र को मोड़ें। यदि हम बिंदुओं पर लंबों को पुनर्स्थापित करते हैं एऔर ए?इससे पहले कि वे प्रतिच्छेद करें, आप एक बिंदु प्राप्त कर सकते हैं लेकिन. प्रक्षेपण अक्ष की स्थिति बदलते समय, प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदु के विभिन्न स्थान प्राप्त होते हैं, लेकिन प्रक्षेपण अक्ष की स्थिति की अनिश्चितता अंतरिक्ष में कई बिंदुओं या आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति को प्रभावित नहीं करती है।

3. तीन प्रक्षेपण विमानों पर एक बिंदु का प्रक्षेपण

चित्र 15a बिंदु को दर्शाता है लेकिनऔर इसके तीन अनुमान। प्रोफाइल प्लेन पर प्रोजेक्शन ( ए??) कहा जाता है प्रोफ़ाइल प्रक्षेपणऔर निरूपित करें ए??.

चित्र 16 अनुमानों की स्थिति दिखाता है आह, हुह?और ए??अंक लेकिन, तीनों विमानों को ड्राइंग प्लेन के साथ मिलाने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।

चित्र 16 तीन अनुमान दिखाता है आह, हुह?और ए??अंक ए की आरेख पर एक कड़ाई से परिभाषित स्थिति है और स्पष्ट शर्तों के अधीन हैं:

एऔर ए?हमेशा अक्ष के लंबवत एक लंबवत सीधी रेखा पर स्थित होना चाहिए एक्स;

ए?और ए??हमेशा अक्ष के लंबवत समान क्षैतिज रेखा पर स्थित होना चाहिए जेड;

3) जब एक क्षैतिज प्रक्षेपण और एक क्षैतिज रेखा के माध्यम से खींचा जाता है, लेकिन एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण के माध्यम से ए??- एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा, निर्मित रेखाएं अनिवार्य रूप से प्रक्षेपण अक्षों के बीच के कोण के द्विभाजक पर प्रतिच्छेद करेंगी, क्योंकि आकृति ओएपर ए 0 ए n एक वर्ग है।

4. बिंदु निर्देशांक

बिंदु दूरी लेकिनप्रोफ़ाइल विमान के लिए निर्देशांक है एक्स, जिसमें एक्स = हुह?(चित्र 15), ललाट तल की दूरी - निर्देशांक y द्वारा, और y = हुह?, और क्षैतिज तल की दूरी निर्देशांक है जेड, जिसमें जेड = आ.

एक्स \u003d ए? ए \u003d ओए एक्स \u003d ए वाई ए \u003d ए जेड ए?;

वाई \u003d ए? ए \u003d ओए वाई \u003d ए एक्स ए \u003d ए जेड ए?;

जेड = एए = ओए जेड = ए एक्स ए? = ए वाई ए?.

आरेख (चित्र 16) पर, x और z निर्देशांक तीन बार आते हैं:

एक्स \u003d ए जेड ए? \u003d ओए एक्स \u003d ए वाई ए,

जेड = ए एक्स ए? = ओए जेड = ए वाई ए?।

वाई \u003d ओए वाई \u003d ए एक्स ए

और दो बार - क्षैतिज रूप से स्थित:

वाई \u003d ओए वाई \u003d ए जेड ए?।

1) क्षैतिज - निर्देशांक एक्सऔर पर,

2) ललाट - निर्देशांक एक्सऔर जेड,

3) प्रोफाइल - निर्देशांक परऔर जेड.

1) क्षैतिज और ललाट अनुमान एऔर ए? एक्स एक्स;

2) ललाट और प्रोफ़ाइल अनुमान ए?और ए?अक्ष के समान लंबवत पर स्थित होना चाहिए जेड, क्योंकि उनके पास एक सामान्य समन्वय है जेड;

3) क्षैतिज प्रक्षेपण और अक्ष से भी हटा दिया गया एक्स, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण की तरह एधुरी से दूर जेडप्रक्षेपण के बाद से आह? और हुह? एक सामान्य समन्वय है पर.

यदि कोई बिंदु मूल बिंदु पर स्थित है, तो उसके तीनों निर्देशांक शून्य हैं।

अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को उसके दो ओर्थोगोनल अनुमानों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, क्षैतिज और ललाट, ललाट और प्रोफ़ाइल। किसी भी दो ओर्थोगोनल अनुमानों का संयोजन आपको एक बिंदु के सभी निर्देशांकों के मूल्य का पता लगाने, तीसरा प्रक्षेपण बनाने, उस अष्टक को निर्धारित करने की अनुमति देता है जिसमें यह स्थित है। आइए वर्णनात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम से कुछ विशिष्ट कार्यों पर विचार करें।

बिंदु A और B के दिए गए जटिल आरेखण के अनुसार, यह आवश्यक है:

आइए पहले बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात करें, जिसे A (x, y, z) के रूप में लिखा जा सकता है। बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण बिंदु A "है, जिसके निर्देशांक x, y हैं। बिंदु A" से x, y अक्षों पर लंबवत ड्रा करें और क्रमशः A x, A y खोजें। बिंदु A के लिए x-निर्देशांक एक प्लस चिह्न के साथ खंड A x O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि A x धनात्मक x-अक्ष मानों के क्षेत्र में स्थित है। ड्राइंग के पैमाने को ध्यान में रखते हुए, हम x \u003d 10 पाते हैं। y निर्देशांक एक ऋण चिह्न के साथ खंड A y O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि t। A y नकारात्मक y- अक्ष मानों के क्षेत्र में स्थित है। . ड्राइंग के पैमाने को देखते हुए, y = -30। बिंदु A - बिंदु A"" के ललाट प्रक्षेपण में x और z निर्देशांक हैं। आइए A"" से z-अक्ष पर लम्बवत छोड़ें और A z खोजें। बिंदु A का z-निर्देशांक एक ऋण चिह्न के साथ खंड A z O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि A z z-अक्ष के ऋणात्मक मानों के क्षेत्र में स्थित है। ड्राइंग के पैमाने को देखते हुए, z = -10। इस प्रकार, बिंदु A के निर्देशांक (10, -30, -10) हैं।

बिंदु B के निर्देशांकों को B (x, y, z) के रूप में लिखा जा सकता है। बिंदु B - बिंदु B के क्षैतिज प्रक्षेपण पर विचार करें। "चूंकि यह x अक्ष पर स्थित है, तो B x \u003d B" और निर्देशांक B y \u003d 0. बिंदु B का भुज x खंड की लंबाई के बराबर है बी एक्स ओ प्लस चिह्न के साथ। ड्राइंग के पैमाने को ध्यान में रखते हुए, x = 30. बिंदु B - बिंदु B˝ के ललाट प्रक्षेपण में निर्देशांक x, z हैं। B"" से z-अक्ष पर एक लंब खींचिए, इस प्रकार B z ज्ञात कीजिए। बिंदु B का अनुप्रयुक्त z एक ऋण चिह्न के साथ खंड B z O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि B z z-अक्ष के ऋणात्मक मानों के क्षेत्र में स्थित है। ड्राइंग के पैमाने को ध्यान में रखते हुए, हम मान z = -20 निर्धारित करते हैं। तो बी निर्देशांक हैं (30, 0, -20)। सभी आवश्यक निर्माण नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

बिंदुओं के अनुमानों का निर्माण

P 3 तल में बिंदु A और B के निम्नलिखित निर्देशांक हैं: A""" (y, z); B""" (y, z)। इस स्थिति में, A"" और A""" z-अक्ष के समान लंब पर स्थित हैं, क्योंकि उनके पास एक उभयनिष्ठ z-निर्देशांक है। उसी तरह, B"" और B""" एक उभयनिष्ठ लंबवत पर स्थित हैं जेड-अक्ष के लिए। t. A का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ज्ञात करने के लिए, हम y-अक्ष के अनुदिश पहले पाए गए संगत निर्देशांक के मान को अलग रखते हैं। आकृति में, यह त्रिज्या A y O के एक वृत्त के चाप का उपयोग करके किया जाता है। उसके बाद, हम बिंदु A "" से z अक्ष पर बहाल किए गए लंबवत के साथ चौराहे पर A y से एक लंब खींचते हैं। इन दो लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु A""" की स्थिति निर्धारित करता है।

बिंदु B""" z-अक्ष पर स्थित है, क्योंकि इस बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है। इस समस्या में बिंदु B का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ज्ञात करने के लिए, केवल B"" से z पर एक लंब खींचना आवश्यक है। -अक्ष। z-अक्ष के साथ इस लंबवत का प्रतिच्छेदन बिंदु B """ है।

अंतरिक्ष में बिंदुओं की स्थिति का निर्धारण

प्रक्षेपण विमानों पी 1, पी 2 और पी 3, अष्टक के स्थान के साथ-साथ आरेखों में लेआउट के परिवर्तन के क्रम से बना एक स्थानिक लेआउट की कल्पना करते हुए, आप सीधे यह निर्धारित कर सकते हैं कि टी। ए ऑक्टेंट III में स्थित है, और टी. बी विमान पी 2 में स्थित है।

इस समस्या को हल करने का एक अन्य विकल्प अपवादों की विधि है। उदाहरण के लिए, बिंदु A के निर्देशांक (10, -30, -10) हैं। धनात्मक भुज x यह निर्णय करना संभव बनाता है कि बिंदु पहले चार अष्टक में स्थित है। एक ऋणात्मक y-ऑर्डिनेट इंगित करता है कि बिंदु दूसरे या तीसरे अष्टक में है। अंत में, z का ऋणात्मक अनुप्रयोग इंगित करता है कि बिंदु A तीसरे अष्टक में है। दिए गए तर्क को निम्न तालिका द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है।

अष्टक	निर्देशांक संकेत
अष्टक	एक्स	आप	जेड
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

बिंदु बी निर्देशांक (30, 0, -20)। चूँकि t. B की कोटि शून्य के बराबर है, यह बिंदु प्रक्षेपण तल П 2 में स्थित है। पॉज़िटिव एब्सिस्सा और पॉइंट बी के नेगेटिव एप्लीकेट से संकेत मिलता है कि यह तीसरे और चौथे अष्टक की सीमा पर स्थित है।

विमान पी 1, पी 2, पी 3 . की प्रणाली में बिंदुओं की एक दृश्य छवि का निर्माण

ललाट आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन का उपयोग करके, हमने तीसरे ऑक्टेंट का एक स्थानिक लेआउट बनाया। यह एक आयताकार त्रिभुज है, जिसके फलक P 1, P 2, P 3 तल हैं और कोण (-y0x) 45 है। इस प्रणाली में, x, y, z अक्षों के साथ खंडों को विरूपण के बिना पूर्ण आकार में प्लॉट किया जाएगा।

बिंदु A (10, -30, -10) की एक दृश्य छवि का निर्माण इसके क्षैतिज प्रक्षेपण A " से शुरू होगा। भुज और निर्देशांक के साथ संबंधित निर्देशांक को अलग करने के बाद, हम बिंदु A x और A y पाते हैं। A x और A y से क्रमशः x और y अक्षों पर बहाल किए गए लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु A की स्थिति निर्धारित करता है। A" को z अक्ष के समानांतर उसके ऋणात्मक मान खंड AA की ओर रखते हुए, जिसकी लंबाई 10 के बराबर है, हम बिंदु A की स्थिति पाते हैं।

बिंदु बी (30, 0, -20) की एक दृश्य छवि इसी तरह से बनाई गई है - पी 2 विमान में, संबंधित निर्देशांक को एक्स और जेड अक्षों के साथ अलग रखा जाना चाहिए। B x और B z से पुनर्निर्मित लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु B की स्थिति निर्धारित करेगा।

मल्टीड्राइंग की सहायक रेखा

अंजीर में दिखाए गए चित्र में। 4.7, ए,प्रक्षेपण कुल्हाड़ियों को खींचा जाता है, और चित्र संचार लाइनों द्वारा परस्पर जुड़े होते हैं। क्षैतिज और प्रोफ़ाइल अनुमान एक बिंदु पर केंद्रित चापों का उपयोग करके संचार लाइनों द्वारा जुड़े हुए हैं हेअक्ष चौराहों। हालांकि, व्यवहार में, एकीकृत ड्राइंग का एक और कार्यान्वयन भी उपयोग किया जाता है।

अक्षविहीन रेखाचित्रों पर छवियों को प्रक्षेपण संबंध में भी रखा जाता है। हालांकि, तीसरे प्रक्षेपण को करीब या आगे दूर रखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण को दाईं ओर रखा जा सकता है (चित्र। 4.7, बी, द्वितीय) या बाईं ओर (चित्र। 4.7, ख, मैं) यह स्थान बचाने और आकार में आसानी के लिए महत्वपूर्ण है।

चावल। 4.7.

यदि अक्षविहीन प्रणाली के अनुसार बनाए गए चित्र में शीर्ष दृश्य और बाएँ दृश्य के बीच संचार रेखाएँ खींचना आवश्यक है, तो जटिल रेखाचित्र की सहायक सीधी रेखा का उपयोग किया जाता है। ऐसा करने के लिए, लगभग शीर्ष दृश्य के स्तर पर और इसके थोड़ा दाईं ओर, ड्राइंग फ्रेम के लिए 45 ° के कोण पर एक सीधी रेखा खींची जाती है (चित्र। 4.8, ए) इसे जटिल रेखाचित्र की सहायक रेखा कहते हैं। इस सीधी रेखा का उपयोग करके चित्र बनाने की प्रक्रिया को अंजीर में दिखाया गया है। 4.8, बी, सी.

यदि तीन दृश्य पहले ही बनाए जा चुके हैं (चित्र 4.8, डी), तो सहायक लाइन की स्थिति को मनमाने ढंग से नहीं चुना जा सकता है। सबसे पहले आपको उस बिंदु को खोजने की जरूरत है जिसके माध्यम से यह गुजरेगा। ऐसा करने के लिए, क्षैतिज और प्रोफ़ाइल अनुमानों के समरूपता के अक्ष के पारस्परिक चौराहे तक और परिणामी बिंदु के माध्यम से जारी रखने के लिए पर्याप्त है क 45° के कोण पर एक सरल रेखाखंड खींचिए (चित्र 4.8, डी) यदि समरूपता की कोई कुल्हाड़ी नहीं है, तो बिंदु पर प्रतिच्छेदन तक जारी रखें कएक सीधी रेखा के रूप में प्रक्षेपित किसी भी फलक का 1 क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण (चित्र 4.8, डी).

चावल। 4.8.

संचार रेखाएँ खींचने की आवश्यकता, और, परिणामस्वरूप, एक सहायक सीधी रेखा, लापता अनुमानों का निर्माण करते समय उत्पन्न होती है और जब चित्र बनाते हैं, जिस पर भाग के व्यक्तिगत तत्वों के अनुमानों को स्पष्ट करने के लिए बिंदुओं के अनुमानों को निर्धारित करना आवश्यक होता है।

सहायक लाइन के उपयोग के उदाहरण अगले पैराग्राफ में दिए गए हैं।

किसी वस्तु की सतह पर पड़े किसी बिंदु का प्रक्षेपण

चित्र बनाते समय किसी भाग के अलग-अलग तत्वों के अनुमानों को सही ढंग से बनाने के लिए, सभी ड्राइंग छवियों पर अलग-अलग बिंदुओं के अनुमानों को खोजने में सक्षम होना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, अंजीर में दिखाए गए भाग का क्षैतिज प्रक्षेपण करना मुश्किल है। 4.9 व्यक्तिगत बिंदुओं के अनुमानों का उपयोग किए बिना ( ए, बी, सी, डी, ईऔर आदि।)। ड्राइंग में अपनी सपाट छवियों के अनुसार कल्पना में किसी वस्तु के आकार को फिर से बनाने के साथ-साथ पूर्ण ड्राइंग की शुद्धता की जांच के लिए बिंदुओं, किनारों, चेहरों के सभी अनुमानों को खोजने की क्षमता भी आवश्यक है।

चावल। 4.9.

आइए किसी वस्तु की सतह पर दिए गए बिंदु के दूसरे और तीसरे अनुमानों को खोजने के तरीकों पर विचार करें।

यदि किसी वस्तु के चित्र में किसी बिंदु का एक प्रक्षेपण दिया जाता है, तो सबसे पहले उस सतह के अनुमानों को खोजना आवश्यक है जिस पर यह बिंदु स्थित है। फिर समस्या को हल करने के लिए नीचे वर्णित दो विधियों में से एक चुनें।

पहला तरीका

इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब कम से कम एक अनुमान दी गई सतह को एक रेखा के रूप में दिखाता है।

अंजीर पर। 4.10, एएक सिलेंडर दिखाया गया है, जिसके ललाट प्रक्षेपण पर प्रक्षेपण सेट है ए"अंक लेकिन,इसकी सतह के दृश्य भाग पर झूठ बोलना (दिए गए अनुमानों को दोहरे रंग के वृत्तों से चिह्नित किया गया है)। एक बिंदु के क्षैतिज प्रक्षेपण को खोजने के लिए लेकिन,वे इस प्रकार तर्क देते हैं: बिंदु सिलेंडर की सतह पर स्थित है, जिसका क्षैतिज प्रक्षेपण एक चक्र है। इसका मतलब है कि इस सतह पर स्थित एक बिंदु का प्रक्षेपण भी वृत्त पर होगा। संचार की एक रेखा खींचें और सर्कल के साथ इसके चौराहे पर वांछित बिंदु को चिह्नित करें ए।तीसरा प्रक्षेपण ए"

चावल। 4.10.

अगर बिंदु पर,सिलेंडर के ऊपरी आधार पर स्थित है, जो इसके क्षैतिज प्रक्षेपण द्वारा दिया गया है बी,फिर संचार रेखाएँ सिलेंडर के ऊपरी आधार के ललाट और प्रोफ़ाइल अनुमानों को दर्शाने वाली सीधी रेखा के खंडों के साथ चौराहे तक खींची जाती हैं।

अंजीर पर। 4.10, बी विवरण - जोर दिखाता है। एक बिंदु के अनुमानों का निर्माण करने के लिए लेकिन,इसके क्षैतिज प्रक्षेपण द्वारा दिया गया ए,ऊपरी चेहरे के दो अन्य अनुमान खोजें (जिस पर बिंदु स्थित है लेकिन) और, इस चेहरे को दर्शाने वाले रेखा खंडों के साथ चौराहे पर कनेक्शन लाइनें खींचना, वांछित अनुमानों को निर्धारित करें - अंक ए"और ए"।दूरसंचार विभाग परबाईं ओर लंबवत चेहरे पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि इसके अनुमान भी इस चेहरे के अनुमानों पर होंगे। अतः दिए गए बिंदु से बी"संचार रेखाएँ खींचे (जैसा कि तीरों द्वारा दर्शाया गया है) जब तक कि वे इस चेहरे को दर्शाने वाले रेखा खंडों से न मिलें। ललाट प्रक्षेपण साथ"अंक साथ,एक झुके हुए (अंतरिक्ष में) चेहरे पर लेटे हुए, इस चेहरे और प्रोफ़ाइल को दर्शाने वाली रेखा पर पाए जाते हैं साथ"- कनेक्शन लाइन के चौराहे पर, चूंकि इस चेहरे का प्रोफाइल प्रोजेक्शन एक लाइन नहीं है, बल्कि एक फिगर है। बिंदु अनुमानों का निर्माण डीतीर द्वारा दिखाया गया है।

दूसरा रास्ता

इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब पहली विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है। फिर आपको यह करना चाहिए:

बिंदु के दिए गए प्रक्षेपण के माध्यम से दी गई सतह पर स्थित सहायक रेखा के प्रक्षेपण को आकर्षित करें;
इस रेखा का दूसरा प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए;
रेखा के पाए गए प्रक्षेपण के लिए, बिंदु के दिए गए प्रक्षेपण को स्थानांतरित करें (यह बिंदु के दूसरे प्रक्षेपण को निर्धारित करेगा);
संचार लाइनों के चौराहे पर तीसरा प्रक्षेपण (यदि आवश्यक हो) खोजें।

अंजीर पर। 4.10, ललाट प्रक्षेपण दिया गया है ए"अंक लेकिन,शंकु की सतह के दृश्य भाग पर झूठ बोलना। एक बिंदु के माध्यम से क्षैतिज प्रक्षेपण खोजने के लिए ए"बिंदु से गुजरने वाली सहायक सीधी रेखा का ललाट प्रक्षेपण करना लेकिनऔर शंकु के शीर्ष। कोई बात समझना वीशंकु के आधार के साथ खींची गई रेखा के मिलन बिंदु का प्रक्षेपण है। एक सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं के ललाट प्रक्षेपण होने से, कोई उनके क्षैतिज अनुमानों का पता लगा सकता है। क्षैतिज प्रक्षेपण एसशंकु के शीर्ष को जाना जाता है। दूरसंचार विभाग बीआधार की परिधि पर स्थित है। इन बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खंड खींचा जाता है और एक बिंदु को स्थानांतरित कर दिया जाता है (जैसा कि तीर द्वारा दिखाया गया है)। ए",एक बिंदु प्राप्त करना ए।तीसरा प्रक्षेपण ए"अंक लेकिनचौराहे पर स्थित है।

एक ही समस्या को अलग ढंग से हल किया जा सकता है (चित्र 4.10, जी).

एक बिंदु से गुजरने वाली सहायक रेखा के रूप में लेकिन,वे एक सीधी रेखा नहीं लेते हैं, जैसा कि पहले मामले में है, लेकिन एक वृत्त है। यह वृत्त बनता है यदि बिंदु . पर लेकिनआधार के समानांतर एक समतल के साथ शंकु को प्रतिच्छेद करें, जैसा कि दृश्य निरूपण में दिखाया गया है। इस वृत्त के ललाट प्रक्षेपण को एक सीधी रेखा खंड के रूप में दर्शाया जाएगा, क्योंकि वृत्त का तल ललाट प्रक्षेपण तल के लंबवत है। एक वृत्त के क्षैतिज प्रक्षेपण का व्यास इस खंड की लंबाई के बराबर होता है। निर्दिष्ट व्यास के एक वृत्त का वर्णन करते हुए, एक बिंदु से ड्रा करें ए"क्षैतिज प्रक्षेपण के बाद से सहायक सर्कल के साथ चौराहे के लिए कनेक्शन लाइन एअंक लेकिनसहायक लाइन पर स्थित है, अर्थात। निर्मित सर्कल पर। तीसरा प्रक्षेपण जैसा"अंक लेकिनसंचार लाइनों के चौराहे पर पाया गया।

उसी तरह, आप एक सतह पर पड़े एक बिंदु के अनुमानों को पा सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक पिरामिड। अंतर यह होगा कि जब इसे एक क्षैतिज तल से पार किया जाता है, तो एक वृत्त नहीं बनता है, बल्कि आधार के समान एक आकृति बनती है।

आयताकार प्रक्षेपण के साथ, प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में दो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमान होते हैं (चित्र। 2.1)। एक क्षैतिज रूप से रखने के लिए सहमत हुआ, और दूसरा लंबवत रूप से।

क्षैतिज रूप से स्थित प्रक्षेपणों के तल को कहा जाता है क्षैतिज प्रक्षेपण विमानऔर निरूपित करें विद्वान,और इसके लंबवत तल ललाट प्रक्षेपण विमानएल 2।प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली को ही निरूपित किया जाता है पी / पी 2।आमतौर पर संक्षिप्त अभिव्यक्तियों का उपयोग करें: समतल एल [,विमान एन 2।विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा विद्वानऔर 2 . तकबुलाया प्रक्षेपण अक्षओह।यह प्रत्येक प्रक्षेपण तल को दो भागों में विभाजित करता है - मंजिलों।अनुमानों के क्षैतिज तल में एक पूर्वकाल और पीछे की मंजिल होती है, जबकि ललाट तल में ऊपरी और निचली मंजिल होती है।

विमान विद्वानऔर पी 2अंतरिक्ष को चार भागों में विभाजित करें जिन्हें कहा जाता है तिमाहियोंऔर रोमन अंकों I, II, III और IV द्वारा निरूपित किया जाता है (चित्र 2.1 देखें)। पहली तिमाही को ऊपरी खोखले ललाट और सामने के खोखले क्षैतिज प्रक्षेपण विमानों से घिरा अंतरिक्ष का हिस्सा कहा जाता है। अंतरिक्ष के शेष तिमाहियों के लिए, परिभाषाएँ पिछले वाले के समान हैं।

सभी इंजीनियरिंग चित्र एक ही तल पर बने चित्र हैं। अंजीर पर। 2.1 प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली स्थानिक है। उसी तल पर छवियों को स्थानांतरित करने के लिए, हम प्रक्षेपण विमानों को संयोजित करने के लिए सहमत हुए। आमतौर पर विमान पी 2गतिहीन छोड़ दिया, और विमान पीअक्ष के चारों ओर तीरों द्वारा इंगित दिशा में मुड़ें (चित्र 2.1 देखें)। ओहविमान के साथ संरेखित होने तक 90 ° के कोण पर एन 2।इस तरह के मोड़ के साथ, क्षैतिज तल का अगला तल नीचे चला जाता है, और पीछे वाला ऊपर उठ जाता है। संरेखण के बाद, विमानों का रूप दर्शाया गया है

अंजीर में महिला। 2.2. ऐसा माना जाता है कि प्रक्षेपण विमान अपारदर्शी होते हैं और पर्यवेक्षक हमेशा पहली तिमाही में होता है। अंजीर पर। 2.2, संरेखण के बाद अदृश्य विमानों का पदनाम कोष्ठक में लिया जाता है, जैसा कि चित्र में अदृश्य आंकड़ों को उजागर करने के लिए प्रथागत है।

प्रक्षेपित बिंदु अंतरिक्ष के किसी भी चौथाई भाग में या किसी प्रक्षेपण तल पर हो सकता है। सभी मामलों में, अनुमानों के निर्माण के लिए, इसके माध्यम से प्रक्षेपित रेखाएँ खींची जाती हैं और उनके मिलन बिंदु 711 और 712 विमानों के साथ मिलते हैं, जो प्रक्षेपण हैं।

पहली तिमाही में स्थित एक बिंदु के प्रक्षेपण पर विचार करें। प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली 711/712 और बिंदु लेकिन(चित्र। 2.3)। इसके माध्यम से दो सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, जो PLANES 71 के लंबवत होती हैं) और 71 2. उनमें से एक विमान 711 को बिंदु पर काटेगा लेकिन ",बुलाया बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण,और दूसरा विमान 71 2 बिंदु पर है लेकिन ",बुलाया बिंदु A का ललाट प्रक्षेपण।

प्रोजेक्टिंग लाइनें ए.ए."और ए.ए."प्रक्षेपण के विमान का निर्धारण ए। यह विमानों के लंबवत है किप 2,चूँकि यह उन पर लंबवत से होकर गुजरती है और प्रक्षेपण तलों को सीधी रेखाओं में काटती है ए "आह और ए" ए एक्स।प्रोजेक्शन अक्ष ओहदो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में समतल महासागर के लंबवत 71| और 71 2 तीसरे तल (ए) के लंबवत और इसलिए उसमें पड़ी किसी भी रेखा के लिए। विशेष रूप से, 0X1A "ए एक्सऔर 0X1A "ए एक्स।

विमानों का संयोजन करते समय, खंड ए "आह,समतल 2 को,स्थिर रहता है, और खंड ए "ए एक्सविमान 71 के साथ) अक्ष के चारों ओर घुमाया जाएगा ओहविमान के साथ संरेखित होने तक 71 2 . एक बिंदु के अनुमानों के साथ संयुक्त प्रक्षेपण विमानों का दृश्य लेकिनअंजीर में दिखाया गया है। 2.4, ए।बिंदु संरेखित करने के बाद ए", ए एक्स और ए"अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित होगा ओह।इसका तात्पर्य है कि एक ही बिंदु के दो अनुमान

प्रक्षेपण अक्ष के उभयनिष्ठ लंबवत पर स्थित है। एक ही बिंदु के दो प्रक्षेपणों को जोड़ने वाला यह लंबवत कहलाता है प्रक्षेपण रेखा।

अंजीर में चित्र। 2.4, एबहुत सरल किया जा सकता है। चित्र में संयुक्त प्रक्षेपण विमानों के पदनामों को चिह्नित नहीं किया गया है और प्रक्षेपण विमानों को सशर्त रूप से सीमित करने वाले आयतों को चित्रित नहीं किया गया है, क्योंकि विमान असीमित हैं। सरलीकृत बिंदु ड्राइंग लेकिन(चित्र। 2.4, बी)यह भी कहा जाता है आरेख(फ्रेंच से? शुद्ध - ड्राइंग)।

अंजीर में दिखाया गया है। 2.3 चतुर्भुज AE4 "ए एक्स ए"एक आयत है और इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर हैं। इसलिए, बिंदु से दूरी लेकिनविमान तक पी, एक खंड द्वारा मापा गया आ", ड्राइंग में खंड द्वारा निर्धारित किया जाता है ए "आह।खंड ए "ए एक्स = एए"आपको एक बिंदु से दूरी का न्याय करने की अनुमति देता है लेकिनविमान तक 2 को।इस प्रकार, एक बिंदु का चित्रण प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष उसके स्थान की पूरी तस्वीर देता है। उदाहरण के लिए, चित्र के अनुसार (चित्र देखें। 2.4, बी)यह तर्क दिया जा सकता है कि बिंदु लेकिनपहली तिमाही में स्थित है और विमान से हटा दिया गया है पी 2विमान ts b से कम दूरी के बाद से ए "ए एक्सए "आह।

आइए अंतरिक्ष के दूसरे, तीसरे और चौथे क्वार्टर में एक बिंदु को प्रक्षेपित करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

एक बिंदु पेश करते समय पर,दूसरी तिमाही में स्थित है (चित्र 2.5), विमानों के संयोजन के बाद, इसके दोनों अनुमान अक्ष के ऊपर होंगे ओह।

तीसरी तिमाही (चित्र 2.6) में दिए गए बिंदु C का क्षैतिज प्रक्षेपण, अक्ष के ऊपर स्थित है ओह,और सामने कम है।

बिंदु D को अंजीर में दर्शाया गया है। 2.7 चौथी तिमाही में स्थित है। प्रक्षेपण विमानों के संयोजन के बाद, इसके दोनों अनुमान अक्ष के नीचे होंगे ओह।

अंतरिक्ष के विभिन्न तिमाहियों में स्थित बिंदुओं के चित्र की तुलना (चित्र देखें। 2.4-2.7), आप देख सकते हैं कि प्रत्येक को अनुमानों की धुरी के सापेक्ष अनुमानों के अपने स्थान की विशेषता है। ओह।

विशेष मामलों में, प्रक्षेपित बिंदु प्रक्षेपण तल पर स्थित हो सकता है। फिर इसका एक प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है, और दूसरा प्रक्षेपण अक्ष पर स्थित होगा। उदाहरण के लिए, एक बिंदु के लिए इ,एक विमान पर झूठ बोलना विद्वान(चित्र। 2.8), क्षैतिज प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है, और ललाट प्रक्षेपण अक्ष पर है ओह।बिंदु पर इ,विमान पर स्थित 2 . तक(चित्र। 2.9), अक्ष पर क्षैतिज प्रक्षेपण ओह,और सामने वाला बिंदु के साथ ही मेल खाता है।

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण