पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर टिकी हुई है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से समय में अलग-अलग बिंदुओं पर ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे आंदोलन के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखो।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्य के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक ट्रम्प इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन वह सब नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निकालने पर आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग इस संख्या प्रणाली में लगातार काम करते हैं, वे संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में स्वचालित रूप से देखते हैं।

वीडियो पाठ "एक इकाई सर्कल पर साइन और कोसाइन को परिभाषित करना" प्रासंगिक विषय पर एक पाठ के लिए एक दृश्य सामग्री है। पाठ के दौरान, एक इकाई सर्कल के बिंदुओं के अनुरूप संख्याओं के लिए साइन और कोसाइन की अवधारणाओं पर विचार किया जाता है, कई उदाहरणों का वर्णन किया जाता है जो उन कार्यों को हल करने की क्षमता बनाते हैं जहां अवधारणाओं की इस व्याख्या का उपयोग किया जाता है। समाधान के सुविधाजनक और समझने योग्य चित्रण, तर्क का एक विस्तृत पाठ्यक्रम सीखने के लक्ष्यों को तेजी से प्राप्त करने में मदद करता है, पाठ की प्रभावशीलता को बढ़ाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। प्रदर्शन की शुरुआत में, एक संख्या की साइन और कोसाइन की परिभाषा दी गई है। मूल में केंद्र के साथ यूनिट सर्कल स्क्रीन पर दिखाया गया है, समन्वय अक्ष ए, बी, सी, डी के साथ यूनिट सर्कल के चौराहे के बिंदु चिह्नित हैं। फिर इस बिंदु का भुज संख्या टी की कोज्या है और निरूपित किया जाता है क्योंकि t, बिंदु की कोटि ज्या है और इसे sin t निरूपित किया जाता है। परिभाषा की आवाज इकाई सर्कल पर बिंदु एम की छवि के साथ है, जो इसके एब्सिस्सा और कोर्डिनेट को दर्शाती है। एक संक्षिप्त संकेतन प्रस्तुत किया गया है कि M (t) \u003d M (x; y), x \u003d cos t, y \u003d sin t के लिए। किसी संख्या की कोज्या और ज्या के मान पर लगाए गए प्रतिबंधों को दर्शाया गया है। माना आंकड़ों के अनुसार, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.

आकृति से यह देखना भी आसान है कि बिंदु किस तिमाही में स्थित है, इसके आधार पर फ़ंक्शन का संकेत कैसे बदलता है। स्क्रीन पर एक तालिका संकलित की जाती है, जिसमें प्रत्येक कार्य के लिए तिमाही के आधार पर इसका संकेत दिया जाता है। पहली और चौथी तिमाही में cos t का चिह्न प्लस और दूसरी और तीसरी तिमाही में माइनस होता है। साइन टी साइन पहली और दूसरी तिमाही में प्लस है, तीसरी और चौथी तिमाही में माइनस है।

विद्यार्थियों को इकाई वृत्त समीकरण x 2 + y 2 = 1 की याद दिलाई जाती है। यह ध्यान दिया जाता है कि संबंधित कार्यों के निर्देशांक के बजाय प्रतिस्थापन के बाद, हम प्राप्त करते हैं cos 2 t+ sin 2 t=1 - मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान। यूनिट सर्कल का उपयोग करके पाप टी और कॉस टी को खोजने की विधि का उपयोग करते हुए, साइन और कोसाइन के मूल मूल्यों की एक तालिका / 4 के चरण के साथ 0 से 2π तक की संख्या के लिए और π / 6 से संख्याओं के लिए भरी जाती है। 11π / 6 / 6 के एक चरण के साथ। इन तालिकाओं को स्क्रीन पर प्रदर्शित किया जाता है। उनकी और ड्राइंग की मदद से, शिक्षक यह जांच सकते हैं कि सामग्री कैसे सीखी जाती है और छात्र पाप टी और कॉस टी मूल्यों की उत्पत्ति को कैसे समझते हैं।

एक उदाहरण माना जाता है जिसमें sin t और cos t की गणना t=41π/4 के लिए की जाती है। समाधान को एक आकृति द्वारा दर्शाया गया है जो मूल पर केंद्रित एक इकाई वृत्त को दर्शाता है। इस पर बिंदु 41π/4 अंकित है। यह ध्यान दिया जाता है कि यह बिंदु बिंदु π/4 की स्थिति के साथ मेल खाता है। यह दिए गए भिन्न को मिश्रित एक 41π/4=π/4+2π·5 के रूप में निरूपित करके सिद्ध किया जाता है। कोसाइन मानों की तालिका का उपयोग करके, हम cos /4=√2/2 और sinπ/4=√2/2 के मान प्राप्त करते हैं। प्राप्त जानकारी से, यह निम्नानुसार है कि cos 41π/4=√2/2 और sin 41π/4=√2/2।

दूसरे उदाहरण में, आपको t=-25π/3 के लिए sin t और cos t की गणना करने की आवश्यकता है। स्क्रीन एक इकाई वृत्त प्रदर्शित करती है जिस पर एक बिंदु t=-25π/3 अंकित होता है। सबसे पहले, समस्या को हल करने के लिए, संख्या -25π / 3 को मिश्रित अंश के रूप में दर्शाया जाता है ताकि यह पता लगाया जा सके कि इसका sin t और cos t किस तालिका मान के अनुरूप होगा। परिवर्तन के बाद, हमें -25π/3=-π/3+2π (-4) मिलता है। जाहिर है, t=-25π/3 वृत्त पर बिंदु -π/3 या 5π/3 के साथ संपाती होगा। तालिका से, ज्या और कोज्या cos 5π/3=1/2 और sin 5π/3=-√3/2 के संगत मानों का चयन करें। ये मान मानी गई संख्या cos (-25π/3)=1/2 और sin (-25π/3)=-√3/2 के लिए सही होंगे। समस्या हल हो गई।

उदाहरण 3 को इसी तरह हल किया गया है, जिसमें t=37π के लिए sin t और cos t की गणना करना आवश्यक है। उदाहरण को हल करने के लिए, और 2π को अलग करके संख्या 37π का विस्तार किया जाता है। इस निरूपण में, हमें 37π=π+2π 18 प्राप्त होता है। यूनिट सर्कल पर, जो समाधान के बगल में दिखाया गया है, इस बिंदु को y-अक्ष के नकारात्मक भाग और यूनिट सर्कल - बिंदु के चौराहे पर चिह्नित किया गया है। यह स्पष्ट है कि संख्या के साइन और कोसाइन के मान π के सारणीबद्ध मूल्यों के साथ मेल खाएंगे। तालिका से हम मान पाते हैं sin π=-1 तथा cos =0. तदनुसार, ये वही मान वांछित हैं, अर्थात् पाप 37π=-1 और cos 37π=0.

उदाहरण 4 में, t=-12π पर sin t और cos t की गणना करना आवश्यक है। हम संख्या को -12π=0+2π (-6) के रूप में निरूपित करते हैं। तदनुसार, बिंदु -12π बिंदु 0 के साथ मेल खाता है। इस बिंदु के कोसाइन और साइन के मान sin 0=1 और cos 0=0 हैं। ये मान वांछित पाप (-12π)=1 और cos (-12π)=0 हैं।

पांचवें उदाहरण में, आपको समीकरण sin t=√3/2 को हल करने की आवश्यकता है। समीकरण को हल करने में, किसी संख्या की ज्या की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। चूंकि यह बिंदु M(t) की कोटि का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए कोटि √3/2 वाला एक बिंदु खोजना आवश्यक है। समाधान के साथ दिया गया आंकड़ा दर्शाता है कि कोटि √3/2 दो बिंदुओं से मेल खाती है - पहला π/3 और दूसरा 2π/3। फ़ंक्शन की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि t=π/3+2πk और t= 2π/3+2πk पूर्णांक k के लिए।

उदाहरण 6 में, कोज्या के साथ एक समीकरण हल किया जाता है - cos t=-1/2. समीकरण के समाधान की खोज में, हम इकाई वृत्त पर भुज 2π/3 के साथ अंक पाते हैं। स्क्रीन पर एक चित्र दिखाया गया है, जिस पर भुज -1/2 अंकित है। यह सर्कल पर दो बिंदुओं से मेल खाता है - 2π/3 और -2π/3। कार्यों की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, पाया गया समाधान t=2π/3+2πk और t=-2π/3+2πk के रूप में लिखा जाता है, जहां k एक पूर्णांक है।

उदाहरण 7 में, समीकरण sin t-1=0 हल हो गया है। समाधान खोजने के लिए, समीकरण को sin t=1 में बदल दिया जाता है। साइन 1 संख्या /2 से मेल खाती है। फ़ंक्शन की आवधिकता को देखते हुए, पाया गया समाधान t=π/2+2πk के रूप में लिखा जाता है, जहां k एक पूर्णांक है। इसी तरह, उदाहरण 8 में, समीकरण cos t+1=0 हल हो गया है। आइए समीकरण को cos t=-1 के रूप में बदलें। एक बिंदु जिसका भुज -1 है, संख्या से मेल खाती है। इस बिंदु को पाठ समाधान के बगल में स्थित इकाई वृत्त पर चिह्नित किया गया है। तदनुसार, इस समीकरण का हल संख्या t=π+2πk है, जहां k एक पूर्णांक है। उदाहरण 9 में समीकरण cos t+1=1 का समाधान अधिक कठिन नहीं है। समीकरण को रूपांतरित करने के बाद, हमें cos t=0 प्राप्त होता है। समाधान के बगल में दिखाए गए यूनिट सर्कल पर, हम अंक -π/2 और -3π/2 को चिह्नित करते हैं, जिस पर कोसाइन मान 0 लेता है। जाहिर है, इस समीकरण का समाधान मानों की एक श्रृंखला होगी t =π/2+πk, जहां k एक पूर्णांक है।

उदाहरण 10 में, sin 2 और cos 3 के मानों की तुलना की जाती है। समाधान को स्पष्ट करने के लिए, एक चित्र दिखाया गया है जहाँ अंक 2 और 3 अंकित हैं। यह जानकर कि / 2≈1.57, हम बिंदुओं की दूरी का अनुमान लगाते हैं यह से। आंकड़ा दिखाता है कि बिंदु 2 π/2 से 0.43 दूर है, जबकि बिंदु 3 1.43 दूर है, इसलिए बिंदु 2 में बिंदु 3 से बड़ा भुज है। इसका मतलब है कि sin 2>cos 3.

उदाहरण 11 पाप 5π/4 व्यंजक की गणना का वर्णन करता है। चूँकि 5π / 4 / 4 + है, तो कमी सूत्रों का उपयोग करके, अभिव्यक्ति को रूप में परिवर्तित किया जा सकता है - पाप / 4। तालिका से उसका मान चुनें - sin /4=-√2/2. इसी प्रकार, उदाहरण 12 में, व्यंजक cos7π/6 का मान मिलता है। इसे cos(π/6+π) के रूप में बदलने पर, हम व्यंजक - cos π/6 प्राप्त करते हैं। तालिका मान cos /6=-√3/2 है। यह मान समाधान होगा।

इसके अलावा, महत्वपूर्ण समानताओं को याद रखने का प्रस्ताव है जो समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं - ये पाप (-t) \u003d -sin t और cos (-t) \u003d cos t हैं। वास्तव में, यह अभिव्यक्ति कोसाइन की समता और ज्या की विषमता को प्रदर्शित करती है। यूनिट सर्कल की छवि में, समानता के बगल में, आप देख सकते हैं कि ये समानताएं समन्वय विमान पर कैसे काम करती हैं। दो समानताएं भी प्रस्तुत की जाती हैं जो कार्यों की आवधिकता को दर्शाती हैं जो समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण हैं sin(t+2πk)= sin t और cos (t+2πk)=cos t। समीकरण प्रदर्शित किए जाते हैं जो इकाई सर्कल sin(t+π)= -sin t और cos (t+π)=-cos t पर बिंदुओं की सममित व्यवस्था को दर्शाते हैं। समानता के बगल में एक छवि बनाई गई है, जो यूनिट सर्कल पर इन बिंदुओं के स्थान को प्रदर्शित करती है। और अंतिम प्रस्तुत समानताएँ sin(t+π/2)= cos t and cos (t+π/2)=- sin t.

वीडियो पाठ "एक इकाई सर्कल पर साइन और कोसाइन को परिभाषित करना" की सिफारिश की जाती है कि इसका उपयोग गणित के पारंपरिक स्कूल पाठ में इसकी प्रभावशीलता को बढ़ाने और शिक्षक के स्पष्टीकरण की स्पष्टता सुनिश्चित करने के लिए किया जाए। इसी उद्देश्य के लिए दूरस्थ शिक्षा के दौरान सामग्री का उपयोग किया जा सकता है। सामग्री में महारत हासिल करते समय छात्रों में कार्यों को हल करने के लिए उपयुक्त कौशल के निर्माण के लिए भी मैनुअल उपयोगी हो सकता है।

पाठ व्याख्या:

"यूनिट सर्कल पर साइन और कोसाइन की परिभाषा"।

आइए एक संख्या की ज्या और कोज्या की परिभाषा दें

परिभाषा: यदि संख्यात्मक इकाई वृत्त का बिंदु M संख्या t (te) से मेल खाता है, तो बिंदु M के भुज को संख्या t (te) की कोज्या और निरूपित लागत कहा जाता है, और बिंदु M की कोटि है संख्या t (te) की ज्या कहलाती है और sint (चावल) को निरूपित करती है।

तो, यदि M (t) \u003d M (x, y) (em से te, निर्देशांक x और y के साथ em के बराबर है), तो x \u003d लागत, y \u003d sint (x, te के कोसाइन के बराबर है, y ते की ज्या के बराबर है। इसलिए, - 1≤ लागत 1, -1≤ sint 1 (कोसाइन ते ऋण से एक से अधिक या बराबर है, लेकिन एक से कम या बराबर है; साइन ते इससे बड़ा या बराबर है शून्य से एक, लेकिन एक से कम या बराबर)। xOy प्रणाली में अपने स्वयं के निर्देशांक होते हैं, आप एक सर्कल के क्वार्टर में साइन और कोसाइन के मूल्य की एक तालिका बना सकते हैं, जहां कोसाइन का मूल्य सकारात्मक है पहली और चौथी तिमाही और, तदनुसार, दूसरी और तीसरी तिमाही में नकारात्मक।

ज्या का मान पहली और दूसरी तिमाही में धनात्मक और तीसरी और चौथी तिमाही में क्रमशः ऋणात्मक होता है। (ड्राइंग पर दिखाएं)

चूँकि संख्या वृत्त के समीकरण का रूप होता है एक्स 2 + वाई 2 = 1 (x चुकता जमा y चुकता बराबर एक), तो हमें समानता मिलती है:

(कोज्या चुकता ते जमा ज्या चुकता ते बराबर एक)।

संख्यात्मक सर्कल के बिंदुओं के निर्देशांक का निर्धारण करते समय हमने जो तालिकाओं को संकलित किया है, उसके आधार पर, हम मूल्यों के लिए संख्यात्मक सर्कल के बिंदुओं के निर्देशांक के लिए तालिकाओं को संकलित करेंगे लागत और पाप।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1. यदि t = (te इकतालीस pi बटा चार के बराबर है) तो cos t और sin t परिकलित करें।

समाधान। संख्या t = संख्या के रूप में संख्यात्मक वृत्त के उसी बिंदु से मेल खाती है, क्योंकि = = (10 +) = + 2π 5 (इकतालीस pi बटा चार, pi बटा चार के योग के बराबर है और दो पाई बटा पांच का गुणनफल)। और बिंदु t \u003d के लिए तालिका के अनुसार, कोसाइन 1 का मान cos \u003d और sin \u003d है। फलस्वरूप,

उदाहरण 2. गणना करें क्योंकिटी और पाप t अगर t = (ते माइनस पच्चीस पाई गुना तीन के बराबर है)।

हल: संख्या t = संख्या के समान अंक वाले वृत्त के बिंदु से मेल खाती है, क्योंकि = = - (8 +) = + 2π (- 4) (माइनस पच्चीस पाई बटा तीन बराबर है माइनस पाई बटा थ्री का योग और दो पाई गुना माइनस चार का गुणनफल)। और संख्या संख्या सर्कल पर संख्या के समान बिंदु से मेल खाती है। और बिंदु t = के लिए तालिका 2 के अनुसार, हमारे पास cos = और sin = है। इसलिए, cos () = और sin () =।

उदाहरण 3. यदि t = 37π; (ते सैंतीस पाई के बराबर)।

हल : 37π = 36π + = + 2π 18. इसलिए, संख्या 37π संख्या के समान संख्यात्मक वृत्त के उसी बिंदु से मेल खाती है। और बिंदु t = के लिए तालिका 1 के अनुसार हमारे पास cos = -1, sin π=0 है। इसलिए, cos37π = -1, sin37π=0।

उदाहरण 4. यदि t = -12π (माइनस बारह pi के बराबर) हो तो cos t और sin t परिकलित करें।

हल: - 12π = 0 + 2π (- 6), यानी संख्या - 12π अंक वृत्त के उसी बिंदु से मेल खाती है जो संख्या शून्य है। और बिंदु t = 0 के लिए, तालिका 1 के अनुसार, हमारे पास cos 0 = 1, sin 0 = 0 है। इसलिए, cos (-12π) = 1, sin (-12π) = 0।

उदाहरण 5. समीकरण sin t = को हल कीजिए।

समाधान। यह मानते हुए कि sin t अंकीय वृत्त के बिंदु M (t) (em से te) की कोटि है, हम संख्यात्मक वृत्त पर कोटि वाले बिंदु ढूंढते हैं और लिखते हैं कि वे किन संख्याओं से मेल खाते हैं। एक बिंदु एक संख्या से मेल खाता है, और इसलिए + 2πk के रूप में किसी भी संख्या से मेल खाता है। दूसरा बिंदु एक संख्या से मेल खाता है, और इसलिए + 2πk के रूप में किसी भी संख्या से मेल खाता है। उत्तर: t = + 2πk, जहाँ kϵZ (ka zet से संबंधित है), टी= + 2πk, जहाँ kϵZ (ka, zet से संबंधित है)।

उदाहरण 6. समीकरण को हल करें क्योंकि t = .

समाधान। यह मानते हुए कि cos t संख्यात्मक वृत्त के बिंदु M (t) (em से te) का भुज है, हम संख्यात्मक वृत्त पर भुज के साथ बिंदु पाते हैं और लिखते हैं कि वे किन संख्याओं से मेल खाते हैं। एक बिंदु एक संख्या से मेल खाता है, और इसलिए + 2πk के रूप में किसी भी संख्या से मेल खाता है। और दूसरा बिंदु संख्या या, और इसलिए + 2πk या + 2πk के रूप की किसी भी संख्या से मेल खाता है।

उत्तर: t = + 2πk, t=+ 2πk (या ± + 2πk (प्लस घटा दो pi बटा तीन जमा दो pi ka), जहां kϵZ (ka z से संबंधित है)।

उदाहरण 7. समीकरण को हल करें क्योंकि t = .

समाधान। इसी तरह पिछले उदाहरण के लिए, संख्या सर्कल पर आपको एक एब्सिस्सा के साथ अंक खोजने की जरूरत है और यह लिखें कि वे किस संख्या से मेल खाते हैं।

यह चित्र से देखा जा सकता है कि दो बिंदुओं E और S में एक भुज है, और हम अभी तक यह नहीं कह सकते कि वे किन संख्याओं से मेल खाते हैं। हम इस मुद्दे पर बाद में लौटेंगे।

उदाहरण 8. समीकरण sin t = - 0.3 को हल कीजिए।

समाधान। संख्या वृत्त पर हम कोटि - 0.3 के साथ अंक पाते हैं और लिखते हैं कि वे किस संख्या के अनुरूप हैं।

दो बिंदु P और H का कोटि - 0.3 है, और हम अभी तक यह नहीं कह सकते कि वे किन संख्याओं से मेल खाते हैं। हम इस मुद्दे पर भी बाद में लौटेंगे।

उदाहरण 9. समीकरण को हल करें sin t -1 = 0

समाधान। हम माइनस वन को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें साइनस ते एक के बराबर मिलता है (पाप टी \u003d 1)। संख्या वृत्त पर हमें एक ऐसा बिंदु ज्ञात करना है जिसकी कोटि एक हो। यह बिंदु एक संख्या से मेल खाता है, और इसलिए फॉर्म के सभी नंबरों के लिए + 2πk (पाई गुणा दो प्लस दो चोटियां)।

उत्तर: t = + 2πk, kϵZ(ka जेट से संबंधित है)।

उदाहरण 10. समीकरण cos t + 1 = 0 को हल कीजिए।

हम इकाई को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें कोसाइन ते माइनस वन (cos t \u003d - 1) के बराबर मिलता है। एब्सिस्सा माइनस वन में संख्यात्मक सर्कल पर एक बिंदु होता है, जो संख्या से मेल खाता है, जो अर्थात् + 2πk के रूप की सभी संख्याएँ। उत्तर: टी = π+ 2πk, kϵZ।

उदाहरण 11. समीकरण को हल कीजिए क्योंकि t + 1 = 1 है।

हम इकाई को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें कोसाइन ते शून्य के बराबर मिलता है (cos t \u003d 0)। अंक बी और डी (छवि 1) में शून्य एब्सिस्सा है, जो संख्याओं के अनुरूप है, आदि। ये संख्याएं + k के रूप में लिखा जा सकता है। उत्तर: टी = + k, kϵZ।

उदाहरण 12. दोनों में से कौन सी संख्या बड़ी है, cos 2 या cos 3? (दो की कोज्या या तीन की कोज्या)

समाधान। आइए प्रश्न को एक अलग तरीके से सुधारें: अंक 2 और 3 अंक वृत्त पर अंकित हैं। उनमें से किसके पास एक बड़ा भुज है?

आइए अंक 2 और 3 अंक वृत्त पर अंकित करें। 3 x 1.43 (एक बिंदु तैंतालीस सौवां)। इसलिए, बिंदु 2 बिंदु 3 की तुलना में बिंदु के करीब है, इसलिए इसका एक बड़ा भुज है (हमने ध्यान में रखा कि दोनों भुज ऋणात्मक हैं)।

उत्तर: cos 2 > cos 3.

उदाहरण 13. पाप की गणना करें (पांच पाई गुणा चार की ज्या)

समाधान। sin(+ π) = - sin = (पांच pi गुणा चार की ज्या, pi गुणा चार का योग है और pi, pi गुणा चार की ज्या घटा है, दो गुणा दो का वर्गमूल घटा है).

उदाहरण 14. cos की गणना करें (सात pi गुणा छह का कोज्या)।

कॉस (+ ) = - कॉस =। (पाई बटा छह और पीआई के योग के रूप में सात पाई बटा छह का प्रतिनिधित्व करता है और तीसरा समीकरण लागू करता है)।

साइन और कोसाइन के लिए, हमें कुछ महत्वपूर्ण सूत्र मिलते हैं।

1. t के किसी भी मान के लिए, समानताएं

पाप (-टी) = -सिन टी

cos (-t) = cos t

माइनस ते की ज्या ऋण ते की ज्या के बराबर है

मीनू ते की कोज्या ते की कोज्या के बराबर है।

चित्र से पता चलता है कि भुज अक्ष के सममित बिंदु E और L का भुज समान है, जिसका अर्थ है

cos(-t) = लागत, लेकिन निर्देशांक निरपेक्ष मान में बराबर और साइन में विपरीत होते हैं (इसका अर्थ है sin(- t) = - sint.

2. t के किसी भी मान के लिए, समानताएं

पाप (टी+2πके) = सिंट

cos (t+2πk) = cos t

ते जमा दो पाई की ज्या, ते की ज्या के बराबर होती है

ते जमा दो पाई की कोज्या, ते की कोज्या के बराबर होती है

यह सच है, क्योंकि एक ही बिंदु संख्या t और t + 2πk से मेल खाती है।

3. t के किसी भी मान के लिए, समानताएं

पाप (टी+π) = -सिन टी

cos (t+π) = -cos t

ते जमा पीआई की ज्या घटा ते की ज्या के बराबर होती है

ते प्लस पीआई की कोज्या टीई की कोज्या घटा के बराबर होती है

मान लीजिए कि संख्या t अंकीय वृत्त के बिंदु E के अनुरूप है, तो संख्या t + बिंदु L से मेल खाती है, जो मूल बिंदु के संबंध में बिंदु E के सममित है। चित्र से पता चलता है कि इन बिंदुओं में निरपेक्ष मान के बराबर और चिह्न के विपरीत भुज और निर्देशांक हैं। इसका मतलब है की,

cos(t+π)= - लागत;

पाप(टी + )= - पाप।

4. t के किसी भी मान के लिए, समानताएं

पाप (टी+) = क्योंकि टी

cos (t+) = -sin t

ते जोड़ pi गुणा दो की ज्या, te . की कोज्या के बराबर होती है

ते प्लस पीआई गुणा दो की कोज्या घटा ते की ज्या के बराबर है।

नंबर सर्कलएक इकाई वृत्त है जिसके अंक कुछ वास्तविक संख्याओं के अनुरूप होते हैं।

एक इकाई वृत्त त्रिज्या 1 का एक वृत्त है।

संख्या वृत्त का सामान्य दृश्य।

1) इसकी त्रिज्या माप की इकाई के रूप में ली जाती है।

2) क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर व्यास संख्यात्मक वृत्त को चार तिमाहियों में विभाजित करते हैं। उन्हें क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय और चतुर्थ तिमाही कहा जाता है।

3) क्षैतिज व्यास को एसी नामित किया गया है, जिसमें ए चरम है सहीबिंदु
ऊर्ध्वाधर व्यास को बीडी नामित किया गया है, जिसमें बी उच्चतम बिंदु है।
क्रमश:

पहली तिमाही चाप AB . है

दूसरी तिमाही - चाप ईसा पूर्व

तीसरी तिमाही - चाप सीडी

चौथी तिमाही - चाप डीए

4) संख्यात्मक वृत्त का प्रारंभिक बिंदु बिंदु A है।

संख्या चक्र को दक्षिणावर्त या वामावर्त में गिना जा सकता है।

बिंदु A से गिनती के खिलाफदक्षिणावर्त कहा जाता है सकारात्मक दिशा.

बिंदु A से गिनती परदक्षिणावर्त कहा जाता है नकारात्मक दिशा.

निर्देशांक तल पर संख्या वृत्त।

संख्यात्मक वृत्त की त्रिज्या का केंद्र मूल बिंदु (संख्या 0) से मेल खाता है।

क्षैतिज व्यास अक्ष से मेल खाती है एक्स, लंबवत - कुल्हाड़ियों आप.

प्रारंभिक बिंदु A संख्या वृत्तती अक्ष पर हैएक्सऔर निर्देशांक हैं (1; 0)।

नंबर सर्कल के मुख्य बिंदुओं के नाम और स्थान:

नंबर सर्कल के नाम कैसे याद रखें।

कुछ सरल पैटर्न हैं जो आपको संख्या चक्र के मूल नामों को आसानी से याद रखने में मदद करेंगे।

शुरू करने से पहले, हम याद करते हैं: उलटी गिनती सकारात्मक दिशा में है, यानी बिंदु ए (2π) से वामावर्त।

1) आइए निर्देशांक अक्षों पर चरम बिंदुओं से शुरू करें।

प्रारंभिक बिंदु 2π है (अक्ष पर सबसे दाहिना बिंदु एक्स 1 के बराबर)।

जैसा कि आप जानते हैं, 2π एक वृत्त की परिधि है। तो आधा वृत्त 1π या है। एक्सिस एक्ससर्कल को आधा में विभाजित करता है। तदनुसार, अक्ष पर सबसे बायां बिंदु एक्स-1 के बराबर कहलाता है।

अक्ष पर उच्चतम बिंदु पर, 1 के बराबर, ऊपरी अर्धवृत्त को समद्विभाजित करता है। अतः यदि अर्धवृत्त π है, तो अर्धवृत्त का आधा /2 है।

वहीं, /2 भी एक वृत्त का एक चौथाई है। हम पहली से तीसरी तक तीन ऐसी तिमाहियों की गिनती करते हैं - और हम धुरी पर सबसे निचले बिंदु पर आ जाएंगे पर-1 के बराबर। लेकिन अगर इसमें तीन तिमाहियों को शामिल किया जाए, तो इसका नाम 3π/2 है।

2) अब शेष बिन्दुओं पर चलते हैं। कृपया ध्यान दें: सभी विपरीत बिंदुओं में एक ही भाजक होता है - इसके अलावा, ये विपरीत बिंदु होते हैं और अक्ष के सापेक्ष होते हैं पर, और कुल्हाड़ियों के केंद्र के सापेक्ष, और अक्ष के सापेक्ष एक्स. इससे हमें बिना रटके उनके बिंदु मूल्यों को जानने में मदद मिलेगी।

केवल पहली तिमाही के अंकों के मूल्य को याद रखना आवश्यक है: / 6, / 4 और / 3। और फिर हम कुछ पैटर्न "देखेंगे":

- अक्ष संबंधी पर दूसरी तिमाही के बिंदुओं पर, पहली तिमाही के बिंदुओं के विपरीत, अंशों में संख्याएँ हर से 1 कम होती हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु π/6 लें। अक्ष के विपरीत बिंदु परइसके हर में 6 और अंश में 5 (1 कम) है। यानी इस बिंदु का नाम: 5π/6. /4 के विपरीत बिंदु में भी हर में 4 और अंश में 3 (1 से कम) होता है - यानी यह बिंदु 3π/4 है।
π/3 के विपरीत बिंदु में भी हर में 3 और अंश में 1 कम होता है: 2π/3।

- निर्देशांक अक्षों के केंद्र के सापेक्षविपरीत सत्य है: विपरीत बिंदुओं (तीसरी तिमाही में) के अंशों में संख्याएँ हर के मान से 1 अधिक हैं। बिंदु π/6 फिर से लें। केंद्र के सापेक्ष इसके विपरीत बिंदु में भी हर में 6 होता है, और अंश में संख्या 1 अधिक होती है - अर्थात यह 7π / 6 होती है।
बिंदु π/4 के विपरीत बिंदु में भी हर में 4 है, और अंश में संख्या 1 और है: 5π/4।
बिंदु π/3 के विपरीत बिंदु में भी हर में 3 है, और अंश में संख्या 1 और है: 4π/3।

- अक्ष संबंधी एक्स(चौथी तिमाही)बात अधिक कठिन है। यहां हर के मान में एक ऐसी संख्या जोड़ना आवश्यक है जो 1 कम हो - यह योग विपरीत बिंदु के अंश के संख्यात्मक भाग के बराबर होगा। आइए फिर से π/6 से शुरू करते हैं। आइए 6 के बराबर हर के मान में जोड़ें, एक संख्या जो इस संख्या से 1 कम है - यानी, 5. हमें मिलता है: 6 + 5 = 11. इसलिए, अक्ष के संबंध में इसके विपरीत एक्सबिंदु में हर में 6 और अंश में 11 होगा - यानी 11π / 6।

प्वाइंट /4. हम हर के मान में 1 कम संख्या जोड़ते हैं: 4 + 3 = 7. इसलिए, अक्ष के संबंध में इसके विपरीत एक्सबिंदु के हर में 4 और अंश में 7 है, यानी 7π/4।
बिंदु / 3। हर 3 है। हम 3 में एक कम संख्या जोड़ते हैं - यानी, 2. हमें 5 मिलता है। इसलिए, विपरीत बिंदु के अंश में 5 है - और यह बिंदु 5π / 3 है।

3) तिमाहियों के मध्य बिंदुओं के लिए एक और नियमितता। यह स्पष्ट है कि उनका हर 4 है। आइए अंशों पर ध्यान दें। पहली तिमाही के मध्य का अंश 1π है (लेकिन 1 लिखने की प्रथा नहीं है)। दूसरी तिमाही के मध्य का अंश 3π है। तीसरी तिमाही के मध्य का अंश 5π है। चौथी तिमाही के मध्य का अंश 7π है। यह पता चला है कि तिमाहियों के मध्य बिंदुओं के अंशों में आरोही क्रम में पहली चार विषम संख्याएँ हैं:
(1)π, 3π, 5π, 7π।
यह भी बहुत आसान है। चूंकि सभी तिमाहियों के मध्य में हर में 4 होते हैं, हम पहले से ही उनके पूरे नाम जानते हैं: /4, 3π/4, 5π/4, 7π/4।

संख्या चक्र की विशेषताएं। एक संख्या रेखा के साथ तुलना।

जैसा कि आप जानते हैं, संख्या रेखा पर, प्रत्येक बिंदु एक ही संख्या से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सीधी रेखा पर बिंदु A 3 के बराबर है, तो वह किसी अन्य संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

यह संख्या वृत्त पर भिन्न है क्योंकि यह एक वृत्त है। उदाहरण के लिए, वृत्त के बिंदु A से बिंदु M पर आने के लिए, आप इसे एक सीधी रेखा के रूप में कर सकते हैं (केवल चाप को पार करने के बाद), या आप पूरे वृत्त के चारों ओर घूम सकते हैं, और फिर बिंदु M पर आ सकते हैं। निष्कर्ष:

मान लीजिए कि बिंदु M किसी संख्या t के बराबर है। जैसा कि हम जानते हैं कि एक वृत्त की परिधि 2π होती है। इसलिए, हम वृत्त t के बिंदु को दो तरह से लिख सकते हैं: t या t + 2π। ये समकक्ष मूल्य हैं।
यानी टी = टी + 2π। फर्क सिर्फ इतना है कि पहले मामले में आप बिना वृत्त बनाए तुरंत बिंदु M पर आ गए, और दूसरे मामले में आपने एक वृत्त बनाया, लेकिन उसी बिंदु M पर समाप्त हुए। आप ऐसे दो, तीन और दो सौ बना सकते हैं मंडलियां.. यदि हम वृत्तों की संख्या को अक्षर से निरूपित करते हैं एन, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलती है:
टी = टी + 2π एन.

इसलिए सूत्र:

एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर, डिग्री में कोणों के अतिरिक्त, हम देखते हैं।

रेडियन के बारे में अधिक जानकारी:

एक रेडियन को एक चाप के कोणीय मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसकी लंबाई इसकी त्रिज्या के बराबर होती है। तदनुसार, चूंकि परिधि है , तो यह स्पष्ट है कि रेडियन वृत्त में फिट बैठता है, अर्थात

1 रेड 57.295779513° ≈ 57° 17′44.806″ ≈ 206265″।

हर कोई जानता है कि एक रेडियन है

तो, उदाहरण के लिए, ए। इस तरह हम रेडियन को कोण में बदलना सीखें.

अब इसके विपरीत डिग्री को रेडियन में बदलते हैं.

मान लीजिए कि हमें रेडियन में बदलने की जरूरत है। हमारी मदद करेंगे। हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

चूंकि, रेडियन, तो तालिका भरें:

हम एक सर्कल में साइन और कोसाइन के मूल्यों को खोजने के लिए प्रशिक्षित करते हैं

आइए निम्नलिखित को स्पष्ट करें।

खैर, यह अच्छा है अगर हमें गणना करने के लिए कहा जाए, कहें, - आमतौर पर यहां कोई भ्रम नहीं है - हर कोई पहले सर्कल पर देखना शुरू कर देता है।

और अगर उन्हें गणना करने के लिए कहा जाता है, उदाहरण के लिए, ... कई, अचानक, यह नहीं समझने लगते हैं कि इस शून्य को कहां देखना है ... अक्सर वे इसे मूल में ढूंढते हैं। क्यों?

1) आइए एक बार और सभी के लिए सहमत हों!तर्क के बाद क्या आता है या है = कोण, और हमारे कोने हैं वृत्त पर, उन्हें x अक्ष पर न देखें!(यह सिर्फ इतना है कि व्यक्तिगत बिंदु वृत्त और अक्ष दोनों पर पड़ते हैं ...) और साइन और कोसाइन के मान स्वयं - हम कुल्हाड़ियों की तलाश में हैं!

2) और भी बहुत कुछ!यदि हम प्रारंभिक बिंदु से प्रस्थान करते हैं घड़ी की विपरीत दिशा में(त्रिकोणमितीय वृत्त को बायपास करने की मुख्य दिशा), फिर हम कोणों के सकारात्मक मूल्यों को अलग करते हैं, जैसे-जैसे हम उस दिशा में आगे बढ़ते हैं, कोण बढ़ते जाते हैं।

यदि हम प्रारंभिक बिंदु से प्रस्थान करते हैं दक्षिणावर्त, फिर हम कोणों के नकारात्मक मूल्यों को अलग रखते हैं।

उदाहरण 1

मूल्य खोजें।

समाधान:

हम सर्कल पर पाते हैं। हम बिंदु को साइन अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं (अर्थात, हम बिंदु से साइन अक्ष (ओए) तक लंबवत खींचते हैं)।

हम 0 पर पहुंचते हैं। इसलिए, ।

उदाहरण 2

मूल्य खोजें।

समाधान:

हम सर्कल पर पाते हैं (हम वामावर्त और अधिक पास करते हैं)। हम साइन अक्ष पर एक बिंदु प्रोजेक्ट करते हैं (और यह पहले से हीसाइनस अक्ष पर स्थित है)।

हम साइन अक्ष के साथ -1 में आते हैं।

ध्यान दें कि "छिपे हुए" बिंदु के पीछे ऐसे बिंदु हैं (हम दक्षिणावर्त के रूप में चिह्नित बिंदु पर जा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि एक ऋण चिह्न दिखाई देता है), और असीम रूप से कई अन्य।

कोई निम्नलिखित सादृश्य बना सकता है:

स्टेडियम ट्रेडमिल के रूप में एक त्रिकोणमितीय सर्कल की कल्पना करें।

आखिरकार, आप "ध्वज" बिंदु पर समाप्त हो सकते हैं, मैं वामावर्त शुरू करता हूं, दौड़ना, कहना, 300 मीटर। या दौड़ना, कहते हैं, 100 मीटर दक्षिणावर्त (हम मानते हैं कि ट्रैक की लंबाई 400 मीटर है)।

और आप वामावर्त, 700 मीटर, 1100 मीटर, 1500 मीटर आदि दौड़कर "ध्वज" बिंदु ("प्रारंभ" के बाद) पर भी समाप्त हो सकते हैं। आप शुरू से ही दक्षिणावर्त 500 मीटर या 900 मीटर आदि दौड़कर फ्लैग प्वाइंट तक पहुंच सकते हैं।

मानसिक रूप से स्टेडियम के ट्रेडमिल को एक संख्या रेखा में विस्तारित करें। कल्पना कीजिए कि इस रेखा पर कहाँ होगा, उदाहरण के लिए, मान 300, 700, 1100, 1500, आदि। हम संख्या रेखा पर एक दूसरे से समान दूरी पर बिंदु देखेंगे। चलो पीछे मुड़ें। डॉट्स एक में "एक साथ चिपके रहते हैं"।

तो यह त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ है। प्रत्येक बिंदु के पीछे असीम रूप से कई अन्य हैं।

मान लीजिए कोण , , , आदि। एकल बिंदु के रूप में दिखाया गया है। और साइन के मूल्य, उनमें कोसाइन, निश्चित रूप से समान हैं। (क्या आपने देखा कि हमने जोड़ा/घटाया या? यह साइन और कोसाइन फ़ंक्शन की अवधि है।)

उदाहरण 3

मूल्य खोजें।

समाधान:

आइए सादगी के लिए डिग्री में बदलें।

(बाद में, जब आप त्रिकोणमितीय वृत्त के अभ्यस्त हो जाते हैं, तो आपको रेडियन को डिग्री में बदलने की आवश्यकता नहीं होगी):

हम बिंदु से दक्षिणावर्त घूमेंगे आइए आधा वृत्त () और अधिक चलते हैं

हम समझते हैं कि ज्या का मान ज्या के मान के साथ मेल खाता है और बराबर होता है

ध्यान दें कि यदि हम, उदाहरण के लिए, या, आदि लेते हैं, तो हमें वही साइन मान प्राप्त होगा।

उदाहरण 4

मूल्य खोजें।

समाधान:

हालांकि, हम रेडियन को डिग्री में नहीं बदलेंगे, जैसा कि पिछले उदाहरण में है।

यही है, हमें आधे सर्कल के वामावर्त और आधे सर्कल के दूसरे चौथाई जाने की जरूरत है और परिणामी बिंदु को कोसाइन अक्ष (क्षैतिज अक्ष) पर प्रोजेक्ट करें।

उदाहरण 5

मूल्य खोजें।

समाधान:

त्रिकोणमितीय सर्कल पर कैसे प्लॉट करें?

यदि हम पास होते हैं या, हाँ, कम से कम, हम अभी भी उस बिंदु पर समाप्त होंगे जिसे हमने "प्रारंभ" के रूप में नामित किया है। इसलिए, आप तुरंत वृत्त के एक बिंदु पर जा सकते हैं

उदाहरण 6

मूल्य खोजें।

समाधान:

हम एक बिंदु पर समाप्त होंगे (हमें वैसे भी शून्य बिंदु पर ले जाएंगे)। हम सर्कल के बिंदु को कोसाइन अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं (त्रिकोणमितीय सर्कल देखें), हम अंदर जाते हैं। वह है ।

त्रिकोणमितीय वृत्त - आपके हाथों में

आप पहले ही समझ चुके हैं कि मुख्य बात पहली तिमाही के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को याद रखना है। शेष तिमाहियों में, सब कुछ समान है, आपको बस संकेतों का पालन करने की आवश्यकता है। और मुझे आशा है कि आप त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की "श्रृंखला-सीढ़ी" को नहीं भूलेंगे।

कैसे ढूंढें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मानमुख्य कोण।

उसके बाद, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बुनियादी मूल्यों से परिचित होने के बाद, आप पास कर सकते हैं

एक खाली सर्कल टेम्पलेट पर। रेल गाडी!

स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन करते समय, प्रत्येक छात्र का सामना "संख्यात्मक वृत्त" की एक बहुत ही रोचक अवधारणा से होता है। यह स्कूल शिक्षक की यह समझाने की क्षमता पर निर्भर करता है कि यह क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, छात्र बाद में त्रिकोणमिति के बारे में कितनी अच्छी तरह जानेगा। दुर्भाग्य से, हर शिक्षक इस सामग्री को सुलभ तरीके से नहीं समझा सकता है। नतीजतन, कई छात्र भ्रमित हो जाते हैं कि कैसे मनाया जाए अंक वृत्त पर अंक. यदि आप इस लेख को अंत तक पढ़ते हैं, तो आप सीखेंगे कि इसे बिना किसी समस्या के कैसे किया जाए।

तो चलो शुरू करते है। आइए एक वृत्त खींचते हैं, जिसकी त्रिज्या 1 के बराबर है। इस वृत्त के सबसे "दाएं" बिंदु को अक्षर द्वारा दर्शाया जाएगा। हे:

बधाई हो, आपने अभी-अभी एक इकाई वृत्त खींचा है। चूँकि इस वृत्त की त्रिज्या 1 है, तो इसकी लंबाई है।

प्रत्येक वास्तविक संख्या को बिंदु से संख्या वृत्त के साथ प्रक्षेपवक्र की लंबाई के साथ जोड़ा जा सकता है हे. सकारात्मक दिशा के रूप में आंदोलन की दिशा वामावर्त है। नकारात्मक के लिए - दक्षिणावर्त:

एक संख्या वृत्त पर बिंदुओं की व्यवस्था

जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, संख्यात्मक वृत्त (इकाई वृत्त) की लंबाई बराबर होती है। तो इस सर्कल पर नंबर कहां स्थित होगा? स्पष्ट रूप से बिंदु से हेवामावर्त, आपको सर्कल की आधी लंबाई तक जाने की जरूरत है, और हम खुद को वांछित बिंदु पर पाएंगे। आइए इसे एक अक्षर से निरूपित करें बी:

ध्यान दें कि अर्धवृत्त को नकारात्मक दिशा में पार करके उसी बिंदु पर पहुंचा जा सकता है। फिर हम संख्या को इकाई वृत्त पर रखेंगे। अर्थात्, संख्याएँ और एक ही बिंदु के अनुरूप हैं।

इसके अलावा, वही बिंदु संख्याओं से मेल खाता है , , , और, सामान्य रूप से, संख्याओं का एक अनंत सेट जिसे फॉर्म में लिखा जा सकता है, जहां, यानी, पूर्णांक के सेट से संबंधित है। यह सब इसलिए है क्योंकि बिंदु से बीआप किसी भी दिशा में "दुनिया भर में" यात्रा कर सकते हैं (परिधि को जोड़ या घटा सकते हैं) और उसी बिंदु पर पहुंच सकते हैं। हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष मिलता है जिसे समझने और याद रखने की आवश्यकता है।

प्रत्येक संख्या संख्या वृत्त पर एक बिंदु से मेल खाती है। लेकिन संख्या वृत्त का प्रत्येक बिंदु अपरिमित रूप से अनेक संख्याओं के संगत होता है।

आइए अब संख्यात्मक वृत्त के ऊपरी अर्धवृत्त को एक बिंदु के साथ समान लंबाई के चापों में विभाजित करें सी. यह देखना आसान है कि चाप की लंबाई ओसीके बराबर है । आइए अब बिंदु से अलग रखें सीवामावर्त दिशा में समान लंबाई का चाप। नतीजतन, हम बिंदु पर पहुंच जाते हैं बी. परिणाम काफी अपेक्षित है, क्योंकि . आइए इस चाप को फिर से उसी दिशा में स्थगित करें, लेकिन अब बिंदु से बी. नतीजतन, हम बिंदु पर पहुंच जाते हैं डी, जो पहले से ही संख्या से मेल खाएगा:

फिर से ध्यान दें कि यह बिंदु न केवल संख्या से मेल खाता है, बल्कि उदाहरण के लिए, संख्या से भी मेल खाता है, क्योंकि इस बिंदु को बिंदु से अलग करके पहुंचा जा सकता है हेचौथाई चक्र दक्षिणावर्त दिशा में (नकारात्मक दिशा में)।

और, सामान्य तौर पर, हम फिर से ध्यान दें कि यह बिंदु उन अनंत संख्याओं से मेल खाता है जिन्हें फॉर्म में लिखा जा सकता है . लेकिन उन्हें इस प्रकार भी लिखा जा सकता है। या, यदि आप चाहें तो के रूप में। ये सभी रिकॉर्ड बिल्कुल समकक्ष हैं, और इन्हें एक दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है।

आइए अब चाप को में तोड़ें ओसीआधा बिंदु एम. अब सोचो चाप की लंबाई क्या है ओएम? यह सही है, आधा चाप ओसी. वह है । डॉट किस संख्या से मेल खाता है एमएक नंबर सर्कल पर? मुझे यकीन है कि अब आप समझ गए होंगे कि इन नंबरों को फॉर्म में लिखा जा सकता है।

लेकिन यह अन्यथा संभव है। आइए प्रस्तुत सूत्र में लेते हैं। तब हमें वह मिलता है . अर्थात् इन संख्याओं को इस प्रकार लिखा जा सकता है . वही परिणाम एक संख्या वृत्त का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। जैसा कि मैंने कहा, दोनों प्रविष्टियाँ समान हैं, और उन्हें एक दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है।

अब आप आसानी से अंक के अनुरूप संख्याओं का उदाहरण दे सकते हैं एन, पीतथा कनंबर सर्कल पर। उदाहरण के लिए, संख्याएं और :

अक्सर यह न्यूनतम सकारात्मक संख्याएं होती हैं जिन्हें संख्या सर्कल पर संबंधित बिंदुओं को नामित करने के लिए लिया जाता है। हालांकि यह बिल्कुल भी जरूरी नहीं है, और बिंदु एन, जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, अन्य संख्याओं की अनंत संख्या से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, संख्या सहित।

यदि आप चाप तोड़ते हैं ओसीबिंदुओं के साथ तीन बराबर चापों में एसतथा ली, तो बिंदु एसबिंदुओं के बीच स्थित होगा हेतथा ली, फिर चाप की लंबाई ओएसके बराबर होगा, और चाप की लंबाई राजभाषाके बराबर होगा। पाठ के पिछले भाग में प्राप्त ज्ञान का उपयोग करके, आप आसानी से यह पता लगा सकते हैं कि संख्या वृत्त के शेष बिंदु कैसे निकले:

संख्याएँ जो संख्या वृत्त पर π के गुणज नहीं हैं

आइए अब हम स्वयं से यह प्रश्न पूछें कि संख्या रेखा पर संख्या 1 के संगत बिंदु को कहाँ अंकित किया जाए? ऐसा करने के लिए, यूनिट सर्कल के सबसे "दाएं" बिंदु से यह आवश्यक है हेएक चाप को अलग रखें जिसकी लंबाई 1 के बराबर होगी। हम केवल वांछित बिंदु के स्थान को लगभग इंगित कर सकते हैं। आइए निम्नानुसार आगे बढ़ें।