लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एकवह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एकएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट .

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एकतथा बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एकतथा बी.

सामान्य बहुअनेक संख्याओं को वह संख्या कहा जाता है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 में 180 का एक सामान्य गुणक है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सामान्य गुणक हैं। सभी सामान्य गुणकों में हमेशा सबसे छोटा होता है, इस स्थिति में यह 90 होता है। इस संख्या को कहा जाता है कम से कमकॉमन मल्टीपल (LCM).

LCM हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है, जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)। गुण।

कम्यूटेटिविटी:

सहयोगीता:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमतथा एनअन्य सभी सामान्य गुणकों का भाजक है एमतथा एन. इसके अलावा, सामान्य गुणकों का सेट एम, एनएलसीएम के लिए गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

के लिए स्पर्शोन्मुख को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. साथ ही:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निकलता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना।

अनापत्ति प्रमाण पत्र ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात है, तो आप LCM के साथ इसके संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

2. मान लीजिए कि दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात है:

कहाँ पे पी 1 ,...,पी केविभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और डी 1,...,डीकेतथा ई 1,...,ईकेगैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य अपघटन में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)।

फिर एलसीएम ( एक,बी) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम विस्तार में सभी प्रमुख कारक शामिल होते हैं जो कम से कम एक संख्या विस्तार में शामिल होते हैं ए, बी, और इस कारक के दो घातांक में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के LCM की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

- वांछित उत्पाद के कारकों के लिए सबसे बड़ा विस्तार स्थानांतरित करें (दिए गए लोगों की सबसे बड़ी संख्या के कारकों का उत्पाद), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से कारक जोड़ें जो पहली संख्या में नहीं होते हैं या इसमें हैं कम संख्या में बार;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का LCM होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या प्रसार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी गुणनफल (84) वह सबसे छोटी संख्या होगी जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के 5 के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा है और शेष के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है। यह सबसे छोटा संभव गुणनफल (150, 250, 300...) है कि सभी दी गई संख्याएँ इसके गुणज हैं।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं का LCM निकालने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

आपको आवश्यक कई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के लिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातों को लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एकवह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एकएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट .

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एकतथा बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एकतथा बी.

सामान्य बहुअनेक संख्याओं को वह संख्या कहा जाता है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 में 180 का एक सामान्य गुणक है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सामान्य गुणक हैं। सभी सामान्य गुणकों में हमेशा सबसे छोटा होता है, इस स्थिति में यह 90 होता है। इस संख्या को कहा जाता है कम से कमकॉमन मल्टीपल (LCM).

LCM हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है, जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)। गुण।

कम्यूटेटिविटी:

सहयोगीता:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमतथा एनअन्य सभी सामान्य गुणकों का भाजक है एमतथा एन. इसके अलावा, सामान्य गुणकों का सेट एम, एनएलसीएम के लिए गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

के लिए स्पर्शोन्मुख को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. साथ ही:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निकलता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना।

अनापत्ति प्रमाण पत्र ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात है, तो आप LCM के साथ इसके संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

2. मान लीजिए कि दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात है:

कहाँ पे पी 1 ,...,पी केविभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और डी 1,...,डीकेतथा ई 1,...,ईकेगैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य अपघटन में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)।

फिर एलसीएम ( एक,बी) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम विस्तार में सभी प्रमुख कारक शामिल होते हैं जो कम से कम एक संख्या विस्तार में शामिल होते हैं ए, बी, और इस कारक के दो घातांक में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के LCM की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

- वांछित उत्पाद के कारकों के लिए सबसे बड़ा विस्तार स्थानांतरित करें (दिए गए लोगों की सबसे बड़ी संख्या के कारकों का उत्पाद), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से कारक जोड़ें जो पहली संख्या में नहीं होते हैं या इसमें हैं कम संख्या में बार;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का LCM होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या प्रसार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी गुणनफल (84) वह सबसे छोटी संख्या होगी जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के 5 के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा है और शेष के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है। यह सबसे छोटा संभव गुणनफल (150, 250, 300...) है कि सभी दी गई संख्याएँ इसके गुणज हैं।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं का LCM निकालने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

आपको आवश्यक कई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के लिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातों को लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

प्राकृतिक संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM) और सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) ज्ञात करना।

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) हम इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखते हैं और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 5 जोड़ते हैं। हमें मिलता है: 2*2*3*5*5=300. एनओसी मिला, यानी। यह योग = 300। आयाम को न भूलें और उत्तर लिखें:
उत्तर: माँ प्रत्येक को 300 रूबल देती है।

जीसीडी की परिभाषा:सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)प्राकृतिक संख्या एकतथा मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या का नाम बताइए सी, जिसके लिए और एक, तथा बीशेष के बिना विभाजित। वे। सीसबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए और एकतथा बीगुणक हैं।

अनुस्मारक:प्राकृत संख्याओं की परिभाषा के दो उपागम हैं

• में प्रयुक्त संख्याएँ: वस्तुओं की गणना (नंबरिंग) (पहली, दूसरी, तीसरी, ...); - स्कूलों में, आमतौर पर.
• वस्तुओं की संख्या का संकेत देना (कोई पोकेमॉन नहीं - शून्य, एक पोकेमॉन, दो पोकेमॉन, ...)।

नकारात्मक और गैर-पूर्णांक (परिमेय, वास्तविक, ...) संख्याएं प्राकृतिक नहीं हैं। कुछ लेखक शून्य को प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में शामिल करते हैं, अन्य नहीं। सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है एन

अनुस्मारक:एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एकनंबर पर कॉल करें बी,किसको एकशेष के बिना विभाजित। प्राकृत संख्या का गुणज बीएक प्राकृतिक संख्या कहा जाता है एक, जिसे से विभाजित किया गया है बीएक ट्रेस के बिना। यदि संख्या बी- संख्या भाजक एक, फिर एकके गुणक बी. उदाहरण: 2, 4 का भाजक है और 4, 2 का गुणज है। 3, 12 का भाजक है, और 12, 3 का गुणज है।
अनुस्मारक:प्राकृत संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं यदि वे केवल अपने आप और 1 से शेषफल के बिना विभाज्य हों। Coprime वे संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक 1 के बराबर होता है।

सामान्य स्थिति में GCD को कैसे खोजें इसकी परिभाषा: GCD (सबसे बड़ा सामान्य भाजक) खोजने के लिएकई प्राकृतिक संख्याओं की आवश्यकता है:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें। (इसके लिए प्राइम नंबर चार्ट बहुत मददगार हो सकता है।)
2) इनमें से किसी एक के प्रसार में शामिल कारकों को लिखिए।
3) जो शेष संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं, उन्हें हटा दें।
4) पैराग्राफ 3 में प्राप्त कारकों को गुणा करें)।

कार्य 2 चालू (NOK):नए साल तक, कोल्या पुजाटोव ने शहर में 48 हम्सटर और 36 कॉफी पॉट खरीदे। कक्षा में सबसे ईमानदार लड़की के रूप में, फेक्ला डॉर्मिडोंटोवा को इस संपत्ति को शिक्षकों के लिए उपहार सेटों की सबसे बड़ी संख्या में विभाजित करने का कार्य दिया गया था। सेट की संख्या क्या है? सेट की संरचना क्या है?

उदाहरण 2.1. जीसीडी खोजने की समस्या को हल करना। चयन द्वारा जीसीडी ढूँढना।
समाधान:प्रत्येक संख्या 48 और 36 उपहारों की संख्या से विभाज्य होनी चाहिए।
1) भाजक लिखिए 48:48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) भाजक 36: 36, 18, लिखिए। 12 , 9, 6, 3, 2, 1 सबसे बड़ा सामान्य भाजक चुनें। ओप-ला-ला! मिला, यह 12 टुकड़ों के सेट की संख्या है।
3) 48 को 12 से भाग दें, 4 प्राप्त करें, 36 को 12 से भाग दें, 3 प्राप्त करें। आयाम को न भूलें और उत्तर लिखें:
उत्तर आपको 4 हम्सटर के 12 सेट और प्रत्येक सेट में 3 कॉफी पॉट मिलेंगे।

किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो समूह में प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। साथ ही, LCM की गणना कई अन्य विधियों का उपयोग करके की जा सकती है जो दो या अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की एक श्रृंखला

इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो दोनों 10 से कम होती हैं। यदि बड़ी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, संख्याओं 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

1. किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन तालिका में कई संख्याएँ पाई जा सकती हैं।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं वे हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो पंक्तियों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणकों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 8 के गुणज हैं वे हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।कुल ज्ञात करने के लिए आपको गुणकों की लंबी श्रंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणकों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या सबसे छोटी संख्या है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणकों की श्रृंखला में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40, 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो दोनों 10 से बड़ी होती हैं। यदि छोटी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याओं 20 और 84 का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

   2. पहली संख्या का गुणनखंड करें।यानी आपको ऐसी अभाज्य संख्याएँ ढूंढनी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर आपको एक दी गई संख्या मिलती है। अभाज्य गुणनखंडों को खोजने के बाद, उन्हें एक समानता के रूप में लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)तथा 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10. इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .

   3. दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।इसे वैसे ही करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें, जिन्हें गुणा करने पर यह संख्या मिले।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\बार 6=42)तथा 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .

   4. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड लिखिए।गुणन संक्रिया के रूप में ऐसे कारकों को लिखिए। जब आप प्रत्येक गुणनखंड को लिखते हैं, तो उसे दोनों भावों में काट दें (ऐसे भाव जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन का वर्णन करते हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखिए 2 × (\displaystyle 2\बार )और दोनों भावों में 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखिए 2 × 2 (\displaystyle 2\बार 2)और दूसरे 2 को दोनों भावों में काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंडों को जोड़ें।ये ऐसे गुणनखंड हैं जिन्हें दोनों व्यंजकों में काट नहीं दिया जाता है, अर्थात ऐसे गुणनखंड जो दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\बार 2\गुना 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को पार नहीं किया गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों ड्यूस (2) को भी काट दिया जाता है। गुणनखंड 7 और 3 को काटकर नहीं निकाला जाता है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).

   6. कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   सामान्य भाजक ढूँढना

   1. एक ग्रिड बनाएं जैसे आप टिक-टैक-टो के खेल के लिए करेंगे।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएँ होती हैं जो दो अन्य समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इसका परिणाम तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों में होगा (ग्रिड बहुत कुछ # चिह्न जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहली संख्या लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरी संख्या लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में 18 लिखिए, और पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में 30 लिखिए।

   2. दोनों संख्याओं का भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिख लें। अभाज्य भाजक की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई पूर्वापेक्षा नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका उभयनिष्ठ भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को पहले भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के नीचे लिखिए। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 9 अंडर 18 लिखें।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), अत: 15 के अंतर्गत 30 लिखें।

   4. दोनों भागफलों के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में भाजक लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संबंधित भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 अंडर 9 लिखें।
      • 15 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), इसलिए 5 अंडर 15 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि भागफल में एक सामान्य भाजक न हो।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं को सर्कल करें।फिर हाइलाइट की गई संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिथम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे भाग देना है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेष वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बची है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)विश्राम। 3:
        15 विभाज्य है
        6 भाजक है
        2 निजी है
        3 शेष है।

एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना चाहिए।

A का गुणज एक प्राकृत संख्या है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य है। इस प्रकार, 15, 20, 25, इत्यादि को 5 का गुणज माना जा सकता है।

किसी विशेष संख्या के भाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन अनंत गुणज होते हैं।

प्राकृत संख्याओं का एक उभयनिष्ठ गुणज एक ऐसी संख्या है जो उनके द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (दो, तीन या अधिक) वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो इन सभी संख्याओं से समान रूप से विभाजित होती है।

एनओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि उनमें से एक सामान्य न हो जाए। रिकॉर्ड में गुणकों को बड़े अक्षर K से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणज इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

के(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के(6) = (12, 18, 24, ...)

तो, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 24 है। यह प्रविष्टि इस प्रकार की जाती है:

एलसीएम(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात कीजिए, तो LCM की गणना के लिए किसी अन्य तरीके का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, प्रस्तावित संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करना आवश्यक है।

सबसे पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्याओं का विस्तार लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के विस्तार में भिन्न भिन्न गुणनखंड हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणित करें।

छोटी संख्या के विस्तार में, पहली सबसे बड़ी संख्या के विस्तार में जो गुणनखंड नहीं हैं, उन्हें रेखांकित करें और फिर उन्हें उसमें जोड़ दें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक ड्यूस गायब है।

अब हम 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना कर सकते हैं।

एलसीएम (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

इस प्रकार, बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल और दूसरी संख्या के गुणनखंड, जो बड़ी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं हैं, अल्पतम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, उन सभी को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाना चाहिए, जैसा कि पिछले मामले में था।

उदाहरण के तौर पर, आप 16, 24, 36 संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इस प्रकार, सोलह के अपघटन से केवल दो ड्यूस बड़ी संख्या के गुणनखंड में शामिल नहीं थे (एक चौबीस के अपघटन में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के अपघटन में जोड़ने की आवश्यकता है।

एलसीएम (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

कम से कम सामान्य गुणक निर्धारित करने के विशेष मामले हैं। इसलिए, यदि किसी एक संख्या को शेषफल के बिना दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या सबसे छोटी सामान्य गुणज होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस की एनओसी चौबीस होगी।

यदि ऐसे सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करना आवश्यक है जिनमें समान भाजक नहीं हैं, तो उनका LCM उनके गुणनफल के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम(10, 11) = 110।