विश्लेषण का मुख्य प्रमेय

विश्लेषण का मुख्य प्रमेयया न्यूटन-लीबनिज सूत्रदो संक्रियाओं के बीच संबंध देता है: एक निश्चित समाकलन लेना और प्रतिअवकलन की गणना करना

शब्दों

फ़ंक्शन के अभिन्न पर विचार करें आप = एफ(एक्स) एक स्थिर संख्या के भीतर एकसंख्या तक एक्स, जिसे हम परिवर्तनशील मानेंगे। हम निम्नलिखित रूप में अभिन्न लिखते हैं:

इस प्रकार के समाकलन को परिवर्ती ऊपरी सीमा के साथ समाकलन कहा जाता है। मीन-इन-डेफिनिट इंटीग्रल प्रमेय का उपयोग करके, यह दिखाना आसान है कि दिया गया फ़ंक्शन निरंतर और अवकलनीय है। और बिंदु x पर इस फलन का अवकलज भी समाकलनीय फलन के बराबर होता है। यहाँ से यह इस प्रकार है कि किसी भी सतत फलन में एक चतुर्भुज के रूप में एक प्रतिअवकलन होता है: . और चूँकि फलन f के प्रतिअवकलजों का वर्ग एक स्थिरांक से भिन्न होता है, इसलिए यह दिखाना आसान है कि: फलन f का निश्चित समाकलन, बिंदु b और a पर प्रतिअवकलन के मानों के बीच के अंतर के बराबर है।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

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• 6174 (संख्या)

देखें कि "विश्लेषण का मुख्य प्रमेय" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

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बीजगणित का मौलिक प्रमेय- दावा करता है कि जटिल गुणांक वाले प्रत्येक गैर-स्थिर बहुपद (एक चर के) में जटिल संख्याओं के क्षेत्र में कम से कम एक मूल होता है। प्रमेय का समतुल्य सूत्रीकरण इस प्रकार है: सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र ... ... विकिपीडिया

न्यूटन का प्रमेय- न्यूटन लाइबनिज का सूत्र या विश्लेषण का मुख्य प्रमेय दो संक्रियाओं के बीच संबंध देता है: एक निश्चित समाकलन लेना और प्रतिअवकलन की गणना करना। यदि यह एक खंड पर निरंतर है और इस खंड पर इसका कोई विरोधी है, तो इसमें ... विकिपीडिया

न्यूटन-लीबनिज सूत्र

न्यूटन - लाइबनिज सूत्र- विश्लेषण का मुख्य प्रमेय या न्यूटन लाइबनिज़ का सूत्र दो संक्रियाओं के बीच संबंध देता है: एक निश्चित समाकलन लेना और प्रतिअवकलन सूत्रीकरण की गणना करना फ़ंक्शन y \u003d f (x) के समाकलन पर एक स्थिर संख्या a से लेकर ... पर विचार करें। .. विकिपीडिया

अभिन्न- एक आकृति के क्षेत्र के रूप में निश्चित अभिन्न इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, इंटीग्रल (बहुविकल्पी) देखें। किसी फ़ंक्शन का इंटीग्रल ... विकिपीडिया - किसी फ़ंक्शन के लिए, यह किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स का संग्रह है। यदि कोई फ़ंक्शन अंतराल पर परिभाषित और निरंतर है और इसके प्रतिपक्षी, यानी, पर, तो ... विकिपीडिया

एक बार, मैं और मेरे पिता एक कार में बहुत दूर जा रहे थे। और स्मार्ट बातचीत के लिए यह एक अच्छा कारण है।

हम "मूल प्रमेय" के बारे में बात कर रहे हैं। अंकगणित की मूल प्रमेय यह है कि किसी भी पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में और एक अनोखे तरीके से विघटित किया जा सकता है। बीजगणित का मूल प्रमेय यह है कि एक बहुपद की उतनी ही जड़ें होती हैं जितनी इसकी घात होती है (हालाँकि योगों के साथ नरक होता है)। और फिर विश्लेषण का मुख्य प्रमेय किसी तरह मेरे सिर से उड़ गया।

पिता ने सुझाव दिया कि विश्लेषण का मूल सिद्धांत न्यूटन-लीबनिज प्रमेय है। "इसके बारे में क्या है?" मैंने पूछ लिया। पिता: "मुझे सटीक शब्द याद नहीं है, लेकिन इस तथ्य के बारे में कुछ है कि एकीकरण भेदभाव के विपरीत एक ऑपरेशन है।"

रुको, क्या यह परिभाषा के अनुसार नहीं है?

हमेशा की तरह इन मौलिक प्रमेयों के साथ, वे जो कहते हैं वह स्पष्ट लगता है जब आप इसे पहले ही पढ़ चुके होते हैं। लेकिन वास्तव में, यह मुख्य प्रमेय है जो हमें एकीकरण और भेदभाव को उलटा संचालन के रूप में मानने की अनुमति देता है। गहन वैज्ञानिक-विरोधी तर्क और आगे बढ़ेंगे, जहाँ कोई भी गणितज्ञ 100500 औपचारिक त्रुटियाँ पायेगा, लेकिन यह अब महत्वपूर्ण नहीं है।

विभेदीकरण क्या है? यह तब होता है जब हम फ़ंक्शन के प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचते हैं और उस कोण की स्पर्शरेखा पाते हैं जिस पर वह क्षितिज तक जाती है, जैसे:

अब, यदि प्रत्येक बिंदु को पाया स्पर्शरेखा नियत किया जाता है, तो एक नया फलन प्राप्त होगा, जिसे अवकलज कहा जाता है। आपको याद दिला दूं कि नंबर इकि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न भूतपूर्वके बराबर है भूतपूर्व, अर्थात्, प्रत्येक बिंदु पर, कोण की स्पर्शरेखा स्वयं फलन के मान के बराबर होती है।

एकीकरण क्या है? यह कुछ ऊर्ध्वाधर सीमाओं से बंधे फ़ंक्शन के वक्र के नीचे एक आकृति का क्षेत्र ढूंढ रहा है एकतथा बीऔर क्षैतिज अक्ष:

यदि आप आयतों की बढ़ती हुई संख्या से भाग दें और क्षेत्रफलों के योग की सीमा देखें, तो आपको केवल इस आकृति का क्षेत्रफल प्राप्त होता है। इस क्षेत्र को फलन का निश्चित समाकल कहते हैं आप = एफ (एक्स)खंड पर [ एक; बी] और इस तरह चिह्नित किया गया है:

सच कहूं तो यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि कोणों के बारे में बकवास और क्षेत्र के बारे में बकवास आम तौर पर किसी न किसी तरह से जुड़े हुए हैं।

और इस तरह वे जुड़े हुए हैं। किसी फलन के व्युत्क्रम अवकलज को प्रतिअवकलन कहते हैं। से व्युत्पन्नी एफ (एक्स)एक ऐसा फंक्शन है जी (एक्स)कि इसका व्युत्पन्न जी´(एक्स) = एफ (एक्स). उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन आप = एक्स 2 + 8 व्युत्पन्न आप = 2एक्स. तो समारोह के लिए आप = एक्ससमारोह आप = (एक्स 2/2) + 4 अवकलज विरोधी है।

यह देखना आसान है कि ऐसे कार्यों की अनंत संख्या है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न आप = एक्स 2 + 28 भी है आप = 2एक्स. तो समारोह के लिए आप = एक्ससमारोह ( एक्स 2/2) +14 भी एक प्रतिअवकलन है। यह तार्किक है, क्योंकि व्युत्पन्न प्रत्येक बिंदु पर कोण है, और यह स्वाभाविक है कि यह उस ऊंचाई के आधार पर नहीं बदलता है जिस पर हम पूरे फ़ंक्शन के पूरे ग्राफ को लंबवत रूप से बढ़ाते हैं। तो समारोह के लिए एक्सआदिम is एक्स 2/2 प्लस आप जितना चाहें उतना.

तो, यह पता चला है, फ़ंक्शन के तहत आकृति के क्षेत्र को खोजने के लिए आप = एफ (एक्स)से लेकर एकइससे पहले बी, आपको इसके किसी भी प्रतिपक्षी का मान लेना होगा जी (एक्स)बिंदुओं पर बीतथा एकऔर एक को दूसरे से घटाएं:

यहां जी- हालांकि कोई भी, लेकिन फिर भी किसी प्रकार का एक आदिम, इसलिए, "जितने चाहें उतने" इसके लिए समान होंगे, वे एक दूसरे से घटाए जाएंगे और परिणाम को प्रभावित नहीं करेंगे। आप कुछ सरल कार्य कर सकते हैं जैसे आप = 2एक्स, जहां अभिन्न के बिना क्षेत्र आपके दिमाग में गणना करना और जांचना आसान है। काम करता है!

इस सूत्र को विश्लेषण का मौलिक प्रमेय या न्यूटन-लीबनिज प्रमेय कहा जाता है। यदि यह साबित हो जाता है, तो हम पहले से ही प्रतिपक्षी एकीकरण की खोज कह सकते हैं और आम तौर पर भेदभाव और एकीकरण को पारस्परिक रूप से उलटा संचालन के रूप में मानते हैं।

§ 5. विश्लेषण का मुख्य प्रमेय

1. मुख्य प्रमेय। एकीकरण की अवधारणा, और कुछ हद तक विभेदीकरण, न्यूटन और लाइबनिज के काम से पहले अच्छी तरह से विकसित किया गया था। लेकिन नव निर्मित गणितीय विश्लेषण के विशाल विकास को गति देने के लिए एक बहुत ही सरल खोज करना नितांत आवश्यक था। दो प्रतीत होता है कि पारस्परिक रूप से गैर-सन्निहित सीमित प्रक्रियाएं, एक को विभेदन के लिए उपयोग किया जाता है, दूसरा कार्यों को एकीकृत करने के लिए, निकट से संबंधित निकला। वास्तव में, वे परस्पर हैं

				रिवर्स ऑपरेशन,
				जैसे संचालन के लिए अच्छा है
				जोड़ और घटाव, स्मार्ट
				काटने और विभाजन। अंतर-
				सामाजिक और अभिन्न
				संख्याएं हैं
				कुछ एकीकृत।
				न्यू की बड़ी उपलब्धि
				टोन और लाइबनिज is
				उसमें वे पहली बार
चावल। 274. अंतः एक समारोह के रूप में खेलाऊपर				लेकिन समझा और इस्तेमाल किया
				विश्लेषण का यह मुख्य प्रमेय
				प्रति. एक शक के बिना, वे खुले हैं

टाई लेट नो लेकिन सीधा रास्ता हैवैज्ञानिक विकास, और बिल्कुल भी आश्चर्यजनक नहीं उल्लेखनीय रूप से, अंतरउपरोक्त परिस्थिति की स्पष्ट समझ के लिए ये व्यक्ति स्वतंत्र रूप से और लगभग एक साथ आए।

मुख्य प्रमेय को सटीक रूप से तैयार करने के लिए, हम एक स्थिर संख्या a से एक संख्या x तक के परिसर में y = f(x) फ़ंक्शन के अभिन्न पर विचार करते हैं, जिसे हम चर मानेंगे। समाकलन x की ऊपरी सीमा को समाकलन चिह्न के नीचे प्रदर्शित होने वाले चर के साथ भ्रमित न करने के लिए, हम समाकल को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं (देखें पृष्ठ 428):

एफ (एक्स) = जेड

इस प्रकार समाकलन को इसकी ऊपरी सीमा के फलन F(x) के रूप में अध्ययन करने के हमारे इरादे को प्रदर्शित करता है (चित्र 274)। यह फलन F (x) वक्र y = f(u) के अंतर्गत बिंदु u = a से बिंदु u = x तक का क्षेत्र है। कभी-कभी चर ऊपरी सीमा वाले समाकलन F(x) को "अनिश्चित समाकलन" कहा जाता है।

विश्लेषण का मुख्य प्रमेय निम्नानुसार पढ़ता है:

अपनी ऊपरी सीमा x के संबंध में अनिश्चितकालीन अभिन्न (1) का व्युत्पन्न बिंदु u = x पर फ़ंक्शन f(u) के मान के बराबर है:

एफ 0 (एक्स) = एफ (एक्स)।

विश्लेषण का मुख्य सिद्धांत

दूसरे शब्दों में, फलन f(x) से फलन F(x) तक जाने वाली समाकलन प्रक्रिया फलन F(x) पर लागू विभेदन की व्युत्क्रम प्रक्रिया द्वारा "नष्ट" हो जाती है।

सहज ज्ञान युक्त आधार पर, इस प्रस्ताव का प्रमाण कठिन नहीं है। यह एक क्षेत्र के रूप में अभिन्न एफ (एक्स) की व्याख्या पर आधारित है, और अगर हम फ़ंक्शन एफ (एक्स) को प्लॉट करने की कोशिश करते हैं और संबंधित ढलान के रूप में व्युत्पन्न एफ 0 (एक्स) की व्याख्या करने की कोशिश करते हैं तो यह अस्पष्ट हो जाएगा। व्युत्पन्न की पहले से स्थापित ज्यामितीय व्याख्या को छोड़कर, हम एक क्षेत्र के रूप में अभिन्न एफ (एक्स) की ज्यामितीय व्याख्या को बनाए रखेंगे, और हम फ़ंक्शन एफ (एक्स) को अलग करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि बन जाएंगे। अंतर

एफ (एक्स 1) - एफ (एक्स)

वक्र y = f(u) के नीचे का क्षेत्र u = x1 और u = x (चित्र 275) के बीच का क्षेत्र है, और यह समझना आसान है कि इस क्षेत्र का संख्यात्मक मान संख्याओं (x1 - x) के बीच स्थित है। ) एम और (एक्स 1 - एक्स) एम:

(x1 - x)m 6 F (x1 ) - F (x) 6 (x1 - x)M,

जहाँ M और m क्रमशः u = x से u = x1 के अंतराल में फलन f(u) के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान हैं। वास्तव में, ये उत्पाद दो आयतों का क्षेत्रफल देते हैं, जिनमें से एक में विचाराधीन वक्रीय क्षेत्र होता है, और दूसरा इसमें निहित होता है।

चावल। 275. मुख्य प्रमेय के प्रमाण पर

यह संकेत करता है

एम 6 एफ (एक्स 1) - एफ (एक्स) 6 एम। एक्स 1 - एक्स

आइए मान लें कि फलन f(u) निरंतर है, ताकि x, x की ओर प्रवृत्त हो, दोनों मात्राएँ M और m, फलन f(u) के मान u = x पर, अर्थात् के मान की ओर प्रवृत्त हों। एफ (एक्स)। इस मामले में, कोई विचार कर सकता है

468 गणितीय विश्लेषण Ch. आठवीं

सिद्ध किया कि
एफ 0 (एक्स) = लिम	एफ (एक्स 1) - एफ (एक्स)
x1→x	x1 - x

इस परिणाम का सहज अर्थ यह है कि जैसे-जैसे यह बढ़ता है, वक्र y = f(x) के अंतर्गत क्षेत्र के परिवर्तन की दर x पर वक्र की ऊंचाई के बराबर होती है।

कुछ मैनुअल में, इस मुख्य प्रमेय की सामग्री खराब चुनी गई शब्दावली के कारण अस्पष्ट है। अर्थात्, कई लेखक पहले एक व्युत्पन्न की अवधारणा का परिचय देते हैं, और फिर "अनिश्चितकालीन अभिन्न" को परिभाषित करते हैं, बस भेदभाव के विपरीत ऑपरेशन के परिणाम के रूप में: वे कहते हैं कि फ़ंक्शन G (x) फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न है f(x) ) यदि

जी0 (एक्स) = एफ (एक्स)।

इस प्रकार, प्रस्तुति का यह तरीका सीधे "अभिन्न" शब्द के साथ भेदभाव को जोड़ता है। यह केवल बाद में है कि "निश्चित अभिन्न" की अवधारणा को पेश किया गया है, एक क्षेत्र के रूप में या रकम के अनुक्रम की सीमा के रूप में माना जाता है, और इस बात पर पर्याप्त जोर नहीं दिया जाता है कि "अभिन्न" शब्द का अर्थ अब पहले की तुलना में पूरी तरह से अलग है। और अब यह पता चला है कि सिद्धांत में निहित सबसे महत्वपूर्ण चीज केवल गुप्त रूप से प्राप्त की जाती है - पिछले दरवाजे से, और छात्र को मामले के सार को समझने के अपने प्रयासों में गंभीर कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। हम फ़ंक्शन G(x) को कॉल करना पसंद करते हैं जिसके लिए G0 (x) = f(x) "अनिश्चित अभिन्न" नहीं है, लेकिन फ़ंक्शन f(x) के एंटीडेरिवेटिव हैं। तब मुख्य प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

फलन F (x), जो फलन f(x) का एक अभिन्न अंग है, जिसकी एक स्थिर निचली और एक चर ऊपरी सीमा x है, फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है।

हम कहते हैं कि "एक" प्रतिअवकलन फलन इस कारण से है कि यदि G(x) f(x) का एक प्रतिअवकलन फलन है, तो यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि H(x) = G(x) + c के रूप का कोई फलन (सी - मनमाना स्थिरांक) भी एक प्रतिअवकलन है, क्योंकि H0 (x) = G0 (x) है। इसका उलटा भी सच है। दो व्युत्पन्न कार्य G(x)

और H(x) एक दूसरे से केवल एक स्थिर पद से भिन्न हो सकते हैं। वास्तव में, अंतर U(x) = G(x) - H(x) में U0 (x) = G0 (x) - H0 (x) = f(x) - f(x) = 0 व्युत्पन्न के रूप में है, अर्थात। , अर्थात्, यह अंतर स्थिर है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ उसके प्रत्येक बिंदु पर क्षैतिज है, तो ग्राफ़ द्वारा दर्शाया गया फ़ंक्शन स्वयं निश्चित रूप से स्थिर होना चाहिए।

यह a और b के बीच समाकल की गणना के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम की ओर ले जाता है - यह मानते हुए कि हम फलन f(x) के कुछ प्रतिअवकलन फलन G(x) को जानते हैं। हमारे मुख्य के अनुसार

विश्लेषण का मुख्य सिद्धांत

प्रमेय, कार्य

फलन f(x) का एक व्युत्पन्नी फलन भी है। तो एफ (एक्स) =

G(x) + c, जहाँ c एक अचर है। इस स्थिरांक का मान निर्धारित किया जाएगा,

अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि एफ (ए) = एफ (यू) डु = 0. इसका मतलब है:

0 = जी (ए) + सी, इसलिए सी = -जी (ए)। तब a और x के बीच निश्चित समाकल समानता को समान रूप से संतुष्ट करता है

एफ (एक्स) = एफ (यू) डु = जी (एक्स) - जी (ए);

x को b से बदलने पर सूत्र प्राप्त होता है

एफ (यू) डु = जी (बी) - जी (ए),

इस बात की परवाह किए बिना कि कौन से एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन "लॉन्च" किए गए थे। दूसरे शब्दों में: एक निश्चित गणना करने के लिए-

समाकलन f(x) dx, यह एक फलन G(x) खोजने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए

झुंड G0 (x) = f(x), और फिर अंतर G(b) - G(a) करें।

2. पहले आवेदन। कार्यों का एकीकरण xr , cos x, sin x। आर्कटिक एक्स फ़ंक्शन। यहां मुख्य प्रमेय की भूमिका का एक विस्तृत विचार देना असंभव है, और हम खुद को कुछ अभिव्यंजक उदाहरण देने तक ही सीमित रखते हैं। यांत्रिकी और भौतिकी में या स्वयं गणित में आने वाली समस्याओं में, कुछ निश्चित अभिन्न के संख्यात्मक मान की गणना करना अक्सर आवश्यक होता है। अभिन्न को एक सीमा के रूप में खोजने का एक सीधा प्रयास दुर्गम रूप से कठिन हो सकता है। दूसरी ओर, जैसा कि हमने 3 में देखा, किसी भी विभेदन को अपेक्षाकृत आसानी से किया जाता है, और बहुत बड़ी संख्या में विभेदन सूत्रों को जमा करना मुश्किल नहीं है। ऐसा प्रत्येक सूत्र G0 (x) = f(x), इसके विपरीत, फलन f(x) के प्रतिअवकलन फलन G(x) को परिभाषित करने वाले सूत्र के रूप में माना जा सकता है।

सूत्र (3) किसी दिए गए अंतराल में फलन f(x) के समाकल की गणना करने के लिए ज्ञात प्रतिअवकलन फलन का उपयोग करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम सामान्य रूप से x2, x3, या xn घातों के समाकलों को खोजना चाहते हैं, तो सबसे सरल बात यह है कि § 1 में बताए अनुसार आगे बढ़ें। घात विभेदन सूत्र द्वारा, xn का अवकलज nxn−1 है।

470 गणितीय विश्लेषण Ch. आठवीं

तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

जी (एक्स) = एन एक्स
	1 (एन 6= -1)

एक समारोह है

जी0 (एक्स) = एन एन + + 1 1 एक्सएन = एक्सएन।

एक्सएन+1

इस स्थिति में, फलन n + 1 प्रतिअवकलन फलन है

फलन f(x) = xn के संबंध में, और इसलिए हम तुरंत सूत्र प्राप्त करते हैं

x n dx = G(b) - G(a) = b n+1 - a n+1 । एन + 1

यह तर्क सीधे योग की सीमा के रूप में अभिन्न की गणना के लिए बोझिल प्रक्रिया से अतुलनीय रूप से सरल है।

अधिक सामान्य स्थिति के रूप में, हमने § 3 में पाया कि किसी भी परिमेय s के लिए, सकारात्मक और नकारात्मक दोनों के लिए, फ़ंक्शन xs का व्युत्पन्न sxs−1 के बराबर है, और इसलिए, s = r + 1 के लिए, फ़ंक्शन

एक्स आर+1

एक व्युत्पन्न f(x) = G0 (x) = xr है (हम मानते हैं कि r 6= −1,

एक्स आर+1

यानी वह s 6 = 0)। तो फलन r + 1 प्रतिअवकलन फलन है, या

xr का "अनिश्चित समाकलन", और हमें (धनात्मक a और b के लिए और r 6= −1 के लिए) सूत्र प्राप्त होता है

एक्सआर डीएक्स =	बी आर+1 - एक आर+1

सूत्र (4) में, किसी को यह मानना ​​होगा कि इंटीग्रल के तहत फ़ंक्शन xr परिभाषित है और एकीकरण अंतराल में निरंतर है, इसलिए बिंदु x = 0 को बाहर रखा जाना चाहिए यदि r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

यदि हम G(x) = - cos x सेट करते हैं, तो हम G0 (x) = sin x प्राप्त करते हैं, और इसलिए संबंध उत्पन्न होता है

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

इसी प्रकार, यदि G(x) = sin x, तो G0 (x) = cos x, और इसलिए

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.

विश्लेषण का 5 मुख्य प्रमेय 471

एक विशेष रूप से दिलचस्प परिणाम आर्कटग x फ़ंक्शन को अलग करने के सूत्र से प्राप्त होता है:

	चूँकि फलन चाप x फलन के सन्दर्भ में अवकलज-विरोधी है
							1+x2

फिर, सूत्र (3) के आधार पर, हम लिख सकते हैं

आर्कटन बी - आर्कटन 0 = जेड 0	1 + x2dx।

लेकिन आर्कटान 0 = 0 (स्पर्शरेखा का शून्य मान कोण के शून्य मान से मेल खाता है)। तो हमारे पास

आर्कटिक बी = जेड 0

1+x2

विशेष रूप से,

अर्थ

स्पर्शरेखा,

1, मैच

45◦ पर, जो रेडियन माप में . से मेल खाती है

पी डालता है। इस प्रकार, हम

हम पाते हैं

प्रशंसनीय

1 + x2dx।

दिखाता है

कौनसा इलाका

अनुसूची

1 + x 2 x = 0 से x = . तक

1 इकाई के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है

276. क्री के अंतर्गत क्षेत्र

कोई घेरा नहीं।

अंदर

3. सूत्र

लाइबनिट्स

1+x2

सुराग

पी के लिए नवीनतम परिणाम

सबसे सुंदर का

17 वीं शताब्दी में खोजे गए गणितीय सूत्र - एक संकेत-चर के लिए

लीबनिज़ श्रृंखला के लिए, जो p की गणना करने की अनुमति देता है:

4 पी = 1 1 - 3 1 + 5 1 - 7 1 + 9 1 - 11 1 +। . .

+ प्रतीक। . . इस अर्थ में समझा जाना चाहिए कि परिमित "आंशिक रकम" का क्रम प्राप्त होने पर के दाहिने हाथ की ओर

समानता के, योग के केवल n पदों को लिया जाता है, सीमा p की ओर जाता है

n की असीमित वृद्धि

गणितीय विश्लेषण

इस उल्लेखनीय सूत्र को सिद्ध करने के लिए, हमें केवल एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र को याद करने की आवश्यकता है

1 - क्यूएन = 1 + क्यू + क्यू 2 +। . . + qn−1 ,

जहां "अवशिष्ट शब्द" आरएन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

आरएन = (−1)n x 2n 2 ।

समानता (8) को 0 से 1 की सीमा के भीतर एकीकृत किया जा सकता है। निम्नलिखित नियम a) 3 से, हमें दाईं ओर व्यक्तिगत शब्दों के समाकलों का योग लेना चाहिए। (4) के आधार पर हम जानते हैं कि

एक्सएम डीएक्स =

बीएम+1

- हूँ+1

विशेष रूप से, हम प्राप्त करते हैं

एक्सएम डीएक्स =

कहाँ से, तो

1+x2

1 − 3 +

और इसके परिणामस्वरूप,

− 7

+। . . + (−1)n−1

2n - 1 + टीएन ,

पी आर0

1+x2

टीएन = (

सूत्र (5) के अनुसार, प्रपत्र का बायाँ भाग है

ली (9) is

के बीच अंतर

और निजी राशि

(−1)n−1

एसएन = 1 -

- एसएन = टीएन। यह साबित करना बाकी है कि Tn शून्य की ओर जाता है

बढ़ती हुई n. हमारे पास असमानता है

एक्स 2एन 6 एक्स 2एन।

1+x2

सूत्र (13) 1 को याद करते हुए, जो असमानता को स्थापित करता है

f(x) dx 6 g(x) dx f(x) 6 g(x) और a . के लिए< b,

एकीकरण की अवधारणा, और कुछ हद तक विभेदीकरण, न्यूटन और लाइबनिज के काम से पहले अच्छी तरह से विकसित किया गया था। लेकिन नव निर्मित गणितीय विश्लेषण के विशाल विकास को गति देने के लिए एक बहुत ही सरल खोज करना नितांत आवश्यक था। दो प्रतीत होता है कि पारस्परिक रूप से गैर-सन्निहित सीमित प्रक्रियाएं, एक को विभेदन के लिए उपयोग किया जाता है, दूसरा कार्यों को एकीकृत करने के लिए, निकट से संबंधित निकला। वास्तव में, वे परस्पर प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं, जैसे जोड़ और घटाव, गुणा और भाग जैसी संक्रियाएँ। डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस एक चीज है।

न्यूटन और लाइबनिज की महान उपलब्धि यह है कि उन्होंने पहली बार विश्लेषण के इस मूल सिद्धांत को स्पष्ट रूप से समझा और प्रयोग किया। निस्संदेह, उनकी खोज प्राकृतिक वैज्ञानिक विकास के सीधे रास्ते पर थी, और यह बिल्कुल भी आश्चर्य की बात नहीं है कि विभिन्न व्यक्ति स्वतंत्र रूप से और लगभग एक साथ उपरोक्त परिस्थिति की स्पष्ट समझ के लिए आए।

चावल। 274. अपर लिमिट के फंक्शन के रूप में इंटीग्रल

मुख्य प्रमेय को सटीक रूप से तैयार करने के लिए, हम एक अचर संख्या a से लेकर एक संख्या x तक के फलन के समाकलन पर विचार करते हैं, जिसे हम चर मानेंगे। समाकलन x की ऊपरी सीमा को समाकलन चिह्न के नीचे प्रदर्शित होने वाले चर के साथ भ्रमित न करने के लिए, हम समाकल को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं (देखें पृष्ठ 459):

इस प्रकार समाकलन को उसकी ऊपरी सीमा के फलन के रूप में अध्ययन करने के हमारे इरादे को प्रदर्शित करता है (चित्र 274)। यह फलन एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक वक्र के नीचे का क्षेत्र है। कभी-कभी एक चर ऊपरी सीमा के साथ एक अभिन्न को "अनिश्चित अभिन्न" कहा जाता है।

विश्लेषण का मुख्य प्रमेय निम्नानुसार पढ़ता है: अनिश्चितकालीन अभिन्न (1) का व्युत्पन्न इसकी ऊपरी सीमा x के संबंध में बिंदु पर फ़ंक्शन के मान के बराबर है

दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन से फ़ंक्शन तक जाने वाली एकीकरण प्रक्रिया फ़ंक्शन पर लागू भेदभाव की व्युत्क्रम प्रक्रिया द्वारा "नष्ट" होती है

चावल। 275. मुख्य प्रमेय के प्रमाण पर

सहज ज्ञान युक्त आधार पर, इस प्रस्ताव का प्रमाण कठिन नहीं है। यह एक क्षेत्र के रूप में अभिन्न की व्याख्या पर आधारित है, और अगर हम फ़ंक्शन को प्लॉट करने और संबंधित ढलान के रूप में व्युत्पन्न की व्याख्या करने की कोशिश करते हैं, तो यह अस्पष्ट हो जाएगा। व्युत्पन्न की पहले से स्थापित ज्यामितीय व्याख्या को छोड़कर, हम एक क्षेत्र के रूप में अभिन्न की ज्यामितीय व्याख्या को बनाए रखेंगे, और हम एक फ़ंक्शन को अलग करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि बन जाएंगे। अंतर

सीमाओं के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्र बस है (चित्र 275), और यह समझना मुश्किल नहीं है कि इस क्षेत्र का संख्यात्मक मान संख्याओं के बीच संलग्न है

जहां हैं (क्रमशः, से अंतराल में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान) वास्तव में, ये उत्पाद दो आयतों के क्षेत्र देते हैं, जिनमें से एक में वक्रता वाला क्षेत्र होता है, और दूसरा इसमें निहित होता है।

यह संकेत करता है:

आइए मान लें कि फलन निरंतर है, ताकि दोनों मात्राएँ फलन के मान की ओर प्रवृत्त हों

बिंदु पर, अर्थात्, मूल्य के लिए इस मामले में, हम इसे साबित कर सकते हैं कि

इस परिणाम का सहज अर्थ यह है कि जैसे-जैसे यह बढ़ता है, वक्र के नीचे के क्षेत्र के परिवर्तन की दर x पर वक्र की ऊंचाई के बराबर होती है।

कुछ मैनुअल में, इस मुख्य प्रमेय की सामग्री खराब चुनी गई शब्दावली के कारण अस्पष्ट है। अर्थात्, कई लेखक पहले एक व्युत्पन्न की अवधारणा का परिचय देते हैं, और फिर "अनिश्चितकालीन अभिन्न" को परिभाषित करते हैं, बस भेदभाव के विपरीत ऑपरेशन के परिणाम के रूप में: वे कहते हैं कि एक फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न है यदि

इस प्रकार, प्रस्तुति का यह तरीका सीधे "अभिन्न" शब्द के साथ भेदभाव को जोड़ता है। यह केवल बाद में है कि "निश्चित अभिन्न" की अवधारणा को पेश किया गया है, एक क्षेत्र के रूप में या रकम के अनुक्रम की सीमा के रूप में माना जाता है, और इस बात पर पर्याप्त जोर नहीं दिया जाता है कि "अभिन्न" शब्द का अर्थ अब पहले की तुलना में पूरी तरह से अलग है। और अब यह पता चला है कि सिद्धांत में निहित सबसे महत्वपूर्ण चीज केवल गुप्त रूप से प्राप्त की जाती है - पिछले दरवाजे से, और छात्र को मामले के सार को समझने के अपने प्रयासों में गंभीर कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। हम ऐसे फलनों को प्राथमिकता देते हैं जिनके लिए हम "अनिश्चित समाकलन" नहीं कहते हैं, बल्कि किसी फलन के प्रतिअवकलन फलन कहते हैं। तब मुख्य प्रमेय को निम्नानुसार सूत्रबद्ध किया जा सकता है:

एक फ़ंक्शन जो एक निरंतर निचली और एक चर ऊपरी सीमा x के साथ एक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग है, फ़ंक्शन के विरोधी कार्यों में से एक है

हम कहते हैं कि "इनमें से एक" एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन इस कारण से है कि यदि एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन है तो यह तुरंत स्पष्ट है कि फॉर्म का कोई भी फ़ंक्शन (सी एक मनमाना स्थिरांक है) भी एक एंटीडेरिवेटिव है, क्योंकि बातचीत का दावा भी सत्य है। दो प्रतिअवकलन फलन एक दूसरे से केवल नियत पद से भिन्न हो सकते हैं। दरअसल, अंतर एक व्युत्पन्न के रूप में है यानी। यह अंतर स्थिर है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि यदि प्रत्येक में फ़ंक्शन ग्राफ

एकीकरण की अवधारणा, और कुछ हद तक विभेदीकरण, न्यूटन और लाइबनिज के काम से पहले अच्छी तरह से विकसित किया गया था। लेकिन नव निर्मित गणितीय विश्लेषण के विशाल विकास को गति देने के लिए एक बहुत ही सरल खोज करना नितांत आवश्यक था। दो प्रतीत होता है कि पारस्परिक रूप से गैर-सन्निहित सीमित प्रक्रियाएं, एक को विभेदन के लिए उपयोग किया जाता है, दूसरा कार्यों को एकीकृत करने के लिए, निकट से संबंधित निकला। वास्तव में, वे परस्पर प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं, जैसे जोड़ और घटाव, गुणा और भाग जैसी संक्रियाएँ। डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस एक चीज है।

न्यूटन और लाइबनिज की महान उपलब्धि यह है कि पहली बार उन्होंने इसे स्पष्ट रूप से पहचाना और प्रयोग किया विश्लेषण का मुख्य सिद्धांत।निस्संदेह, उनकी खोज प्राकृतिक वैज्ञानिक विकास के सीधे रास्ते पर थी, और यह बिल्कुल भी आश्चर्य की बात नहीं है कि विभिन्न व्यक्ति स्वतंत्र रूप से और लगभग एक साथ उपरोक्त परिस्थिति की स्पष्ट समझ के लिए आए।

मुख्य प्रमेय को ठीक से तैयार करने के लिए, हम फ़ंक्शन के अभिन्न अंग पर विचार करते हैं वाई = एफ (एक्स)एक अचर संख्या a से लेकर एक संख्या x तक, जिसे हम परिवर्तनशील मानेंगे। समाकलन x की ऊपरी सीमा को समाकलन चिह्न के नीचे प्रदर्शित होने वाले चर के साथ भ्रमित न करने के लिए, हम समाकल को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं (देखें पृष्ठ 435):

इस प्रकार इसकी ऊपरी सीमा के F(x) के फलन के रूप में समाकलन का अध्ययन करने के हमारे इरादे को प्रदर्शित करता है (चित्र 274)। यह फलन F(x) वक्र के नीचे का क्षेत्र है वाई = एफ (यू)बिन्दु से यू = एमुद्दे पर यू = एक्स. कभी-कभी चर ऊपरी सीमा वाले समाकलन F(x) को "अनिश्चित समाकलन" कहा जाता है।

विश्लेषण का मुख्य प्रमेय निम्नानुसार पढ़ता है: अनिश्चित समाकलन (1) का अवकलज, इसकी ऊपरी सीमा x के सापेक्ष, फलन f (u) के मान के बराबर होता है, जो बिंदु u = x पर होता है:

एफ "(एक्स) \u003d एफ (एक्स)।

दूसरे शब्दों में, फलन f(x) से फलन F(x) तक जाने वाली समाकलन प्रक्रिया फलन F(x) पर लागू विभेदन की व्युत्क्रम प्रक्रिया द्वारा "नष्ट" हो जाती है।

सहज ज्ञान युक्त आधार पर, इस प्रस्ताव का प्रमाण कठिन नहीं है। यह एक क्षेत्र के रूप में अभिन्न एफ (एक्स) की व्याख्या पर आधारित है, और अगर हम फ़ंक्शन एफ (एक्स) को प्लॉट करने की कोशिश करते हैं और संबंधित ढलान के रूप में व्युत्पन्न एफ "(एक्स) की व्याख्या करने की कोशिश करते हैं तो यह अस्पष्ट हो जाएगा। पहले को छोड़कर व्युत्पन्न की स्थापित ज्यामितीय व्याख्या, हम एक क्षेत्र के रूप में अभिन्न एफ (एक्स) की ज्यामितीय व्याख्या रखेंगे, और फ़ंक्शन एफ (एक्स) को अलग करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि बन जाएगी।

एफ (एक्स 1) - एफ (एक्स)

वक्र के नीचे का क्षेत्र है वाई = एफ (यू)सीमा u = x 1 और . के बीच यू = एक्स(चित्र 275), और यह समझना आसान है कि इस क्षेत्र का संख्यात्मक मान संख्याओं के बीच संलग्न है (एक्स 1 - एक्स) एमतथा (एक्स 1 - एक्स) एम:

(एक्स 1 - एक्स) एम≤एफ (एक्स 1) - एफ (एक्स) ≤ (एक्स 1 - एक्स) एम,

जहाँ M और m क्रमशः u = x से u = x 1 के अंतराल में फलन f (u) के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान हैं। वास्तव में, ये उत्पाद दो आयतों का क्षेत्रफल देते हैं, जिनमें से एक में विचाराधीन वक्रीय क्षेत्र होता है, और दूसरा इसमें निहित होता है।

यह संकेत करता है:

मान लीजिए कि फ़ंक्शन f (u) निरंतर है, ताकि x 1 x की ओर बढ़े, M और m दोनों मात्राएँ f (u) के बिंदु u \u003d x पर, यानी, के मान पर निर्भर करती हैं। एफ (एक्स)। इस मामले में, यह सिद्ध माना जा सकता है कि

इस परिणाम का सहज अर्थ यह है कि जैसे-जैसे वक्र के नीचे के क्षेत्र के परिवर्तन की दर बढ़ती है, वाई = एफ (एक्स) x पर वक्र की ऊंचाई के बराबर।

कुछ मैनुअल में, इस मुख्य प्रमेय की सामग्री खराब चुनी गई शब्दावली द्वारा अस्पष्ट है। अर्थात्, कई लेखक पहले एक व्युत्पन्न की अवधारणा का परिचय देते हैं, और फिर "अनिश्चित अभिन्न" को केवल भेदभाव के विपरीत ऑपरेशन के परिणाम के रूप में परिभाषित करते हैं: वे कहते हैं कि फ़ंक्शन G (x) फ़ंक्शन f (x) का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है। ) यदि

जी"(एक्स) = एफ(एक्स)।

इस प्रकार, प्रस्तुति का यह तरीका सीधे "अभिन्न" शब्द के साथ भेदभाव को जोड़ता है। यह केवल बाद में है कि "निश्चित अभिन्न" की अवधारणा को पेश किया गया है, एक क्षेत्र के रूप में या रकम के अनुक्रम की सीमा के रूप में माना जाता है, और इस बात पर पर्याप्त जोर नहीं दिया जाता है कि "अभिन्न" शब्द का अर्थ अब पहले की तुलना में पूरी तरह से अलग है। और अब यह पता चला है कि सिद्धांत में निहित सबसे महत्वपूर्ण चीज केवल पिछले दरवाजे से प्राप्त की जाती है, और छात्र को मामले के सार को समझने के अपने प्रयासों में गंभीर कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। हम फ़ंक्शन G(x) पसंद करते हैं जिसके लिए जी "(एक्स) \u003d एफ (एक्स), "अनिश्चित अभिन्न" नहीं कहते हैं, लेकिन विरोधी व्युत्पन्न कार्यफलन f(x) से। तब मुख्य प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

फलन F (x), जो कि फलन f (x) का समाकलन है, जिसकी निरंतर निचली और परिवर्तनशील ऊपरी सीमा x है, फलन f (x) के प्रतिअवकलजों में से एक है।

हम कहते हैं कि "एक" प्रतिअवकलन फलन इस कारण से है कि यदि G(x) f(x) का एक प्रतिअवकलन फलन है, तो यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि रूप का कोई फलन एच (एक्स) = जी (एक्स) + सी(c एक मनमाना स्थिरांक है) भी एक प्रतिअवकलन है, क्योंकि एच "(एक्स) = जी" (एक्स). इसका उलटा भी सच है। दो प्रतिअवकलन फलन G(x) और H(x) केवल एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न हो सकते हैं।दरअसल, अंतर यू (एक्स) = जी (एक्स) - एच (एक्स)व्युत्पन्न के रूप में है यू "(एक्स) \u003d जी" (एक्स) - एच "(एक्स) \u003d एफ (एक्स) - एफ (एक्स) \u003d 0, अर्थात यह अंतर स्थिर है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ उसके प्रत्येक बिंदु पर क्षैतिज है, तो ग्राफ़ द्वारा दर्शाया गया फ़ंक्शन स्वयं निश्चित रूप से स्थिर होना चाहिए।