चलो समारोह यू = एफ (एक्स, वाई, जेड)किसी क्षेत्र में निरंतर डीऔर इस क्षेत्र में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है। आइए विचार क्षेत्र में एक बिंदु चुनें एम (एक्स, वाई, जेड)और इसमें से एक वेक्टर ड्रा करें एस, जिसकी दिशा कोज्या cosα, cosβ, cosγ है। वेक्टर पर एस दूरी पर एसइसकी शुरुआत से हम एक बिंदु पाते हैं एम 1 (एक्स+Δ एक्स, वाई+Δ वाई, जेड+Δ जेड), कहाँ पे
आइए फ़ंक्शन की पूर्ण वृद्धि का प्रतिनिधित्व करें एफजैसा:
कहाँ पे 
. द्वारा विभाजित करने के बाद एसहम पाते हैं:
क्यों कि 
पिछली समानता को फिर से लिखा जा सकता है:
ढाल।
परिभाषापर संबंध की सीमा कहलाती है फ़ंक्शन व्युत्पन्न यू = एफ (एक्स, वाई, जेड)वेक्टर की दिशा में एस और निरूपित किया जाता है।
इस मामले में, (1) से हम प्राप्त करते हैं:
(2)
टिप्पणी 1. आंशिक व्युत्पन्न दिशात्मक व्युत्पन्न का एक विशेष मामला है। उदाहरण के लिए, जब 
हम पाते हैं:
टिप्पणी 2. ऊपर, दो चरों के एक फलन के आंशिक अवकलजों के ज्यामितीय अर्थ को सतह के प्रतिच्छेदन की रेखाओं के स्पर्शरेखा के ढलान गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया था, जो कि समतलों के साथ फलन का ग्राफ है। एक्स = एक्स 0तथा वाई = वाई 0. इसी तरह, हम दिशा के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार कर सकते हैं मैंबिंदु पर एम (एक्स 0, वाई 0)दी गई सतह के प्रतिच्छेदन रेखा की ढलान और बिंदु से गुजरने वाले तल के रूप में एमओ अक्ष के समानांतर जेडऔर प्रत्यक्ष मैं.
परिभाषाएक सदिश जिसका किसी क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर निर्देशांक फलन के आंशिक अवकलज होते हैं यू = एफ (एक्स, वाई, जेड)इस बिंदु पर कहा जाता है ढालकार्यों यू = एफ (एक्स, वाई, जेड)।
पदनाम: ग्रेड तुम = .
ढाल गुण।
1. कुछ वेक्टर की दिशा के संबंध में व्युत्पन्न एस वेक्टर ग्रेड के प्रक्षेपण के बराबर है तुमप्रति वेक्टर एस . सबूत। इकाई दिशा वेक्टर एस रूप है ई सो =(cosα, cosβ, cosγ), इसलिए सूत्र का दाहिना भाग (4.7) सदिश ग्रेड का अदिश गुणन है तुमतथा ई सो , यानी निर्दिष्ट प्रक्षेपण।
2. सदिश की दिशा में दिए गए बिंदु पर अवकलज एस |grad . के बराबर सबसे बड़ा मान है तुम| यदि यह दिशा ढाल की दिशा के समान है। सबूत। सदिशों के बीच के कोण को निरूपित करें एस और ग्रेड तुमके माध्यम से फिर यह संपत्ति 1 से इस प्रकार है कि |grad तुम|∙cosφ, (4.8) इसलिए, इसका अधिकतम मान φ=0 पर पहुंच गया है और यह |grad . के बराबर है तुम|.
3. वेक्टर ग्रेड के लंबवत वेक्टर की दिशा के संबंध में व्युत्पन्न तुम, शून्य के बराबर।
सबूत। इस मामले में, सूत्र (4.8) में 
4. अगर जेड = एफ (एक्स, वाई)दो चर का एक कार्य है, फिर ग्रेड एफ= समतल रेखा के लंबवत निर्देशित एफ (एक्स, वाई) = सी,इस बिंदु से गुजरते हुए।
कई चर के कार्यों का चरम। एक चरम के लिए एक आवश्यक शर्त। एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति। सशर्त चरम। लैग्रेंज गुणकों की विधि। सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ढूँढना।
परिभाषा 1.दूरसंचार विभाग एम 0 (एक्स 0, वाई 0)बुलाया अधिकतम बिंदुकार्यों जेड = एफ (एक्स, वाई),यदि एफ (एक्स ओ, वाई ओ) > एफ (एक्स, वाई)सभी बिंदुओं के लिए (एक्स, वाई) एम 0.
परिभाषा 2. दूरसंचार विभाग एम 0 (एक्स 0, वाई 0)बुलाया न्यूनतम बिंदुकार्यों जेड = एफ (एक्स, वाई),यदि एफ (एक्स ओ, वाई ओ) < एफ (एक्स, वाई)सभी बिंदुओं के लिए (एक्स, वाई)बिंदु के किसी मोहल्ले से एम 0.
टिप्पणी 1. अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदुकई चर के कार्य।
टिप्पणी 2. किसी भी संख्या में चरों के एक फलन के लिए चरम बिंदु को इसी तरह परिभाषित किया गया है।
प्रमेय 1(आवश्यक चरम स्थितियां)। यदि एक एम 0 (एक्स 0, वाई 0)समारोह का चरम बिंदु है जेड = एफ (एक्स, वाई),तो इस बिंदु पर इस फ़ंक्शन के प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।
सबूत।
आइए वेरिएबल का मान ठीक करें परगिनती वाई = वाई 0. फिर समारोह एफ (एक्स, वाई 0)एक चर का एक कार्य होगा एक्स, जिसके लिए एक्स = एक्स 0चरम बिंदु है। इसलिए, Fermat के प्रमेय द्वारा या मौजूद नहीं है। के लिए भी यही दावा सिद्ध होता है।
परिभाषा 3.कई चरों वाले फलन के प्रांत से संबंधित बिंदु, जिन पर फलन के आंशिक अवकलज शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं, कहलाते हैं स्थिर बिंदुयह समारोह।
टिप्पणी। इस प्रकार, एक चरम पर केवल स्थिर बिंदुओं पर ही पहुंचा जा सकता है, लेकिन यह जरूरी नहीं कि उनमें से प्रत्येक पर देखा जाए।
प्रमेय 2(एक चरम के लिए पर्याप्त शर्तें)। चलो बिंदु के कुछ पड़ोस में एम 0 (एक्स 0, वाई 0), जो फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु है जेड = एफ (एक्स, वाई),इस फ़ंक्शन में तीसरे क्रम तक निरंतर आंशिक डेरिवेटिव शामिल हैं। तब निरूपित करें:
1) एफ (एक्स, वाई)बिंदु पर है एम 0अधिकतम अगर एसी-बी² > 0, ए < 0;
2) एफ (एक्स, वाई)बिंदु पर है एम 0न्यूनतम अगर एसी-बी² > 0, ए > 0;
3) महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है यदि एसी-बी² < 0;
4) अगर एसी-बी= 0, अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।
उदाहरण। आइए फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें जेड = एक्स- 2 xy + 2आप+ 2 एक्स।स्थिर बिंदुओं की खोज के लिए, हम सिस्टम को हल करते हैं 
. तो, स्थिर बिंदु (-2,-1) है। जिसमें ए = 2, पर = -2, से= 4. तब एसी-बी² = 4> 0, इसलिए, स्थिर बिंदु पर एक चरम पर पहुंच जाता है, अर्थात् न्यूनतम (चूंकि .) ए > 0).
सशर्त चरम।
परिभाषा 4.यदि फ़ंक्शन तर्क एफ (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन)प्रपत्र में अतिरिक्त शर्तों द्वारा बाध्य एमसमीकरण ( एम< n) :
1 ( एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) = 0, 2 ( एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) = 0, ..., मीटर ( एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) = 0, (1)
जहाँ फलन में निरंतर आंशिक अवकलज होते हैं, तब समीकरण (1) कहलाते हैं कनेक्शन समीकरण.
परिभाषा 5.फंक्शन एक्सट्रीमम एफ (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन)शर्तों के तहत (1) कहा जाता है सशर्त चरम.
टिप्पणी। हम दो चर के एक फ़ंक्शन के सशर्त चरम की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या का प्रस्ताव कर सकते हैं: फ़ंक्शन के तर्क दें एफ (एक्स, वाई)समीकरण . द्वारा संबंधित हैं (एक्स, वाई)= 0, समतल O . में किसी वक्र को परिभाषित करते हुए हू. इस वक्र के प्रत्येक बिंदु से विमान O . पर लंबवत बहाल होने के बाद हूसतह पार करने से पहले जेड = एफ (एक्स, वाई),हम वक्र . के ऊपर की सतह पर स्थित एक स्थानिक वक्र प्राप्त करते हैं (एक्स, वाई)= 0. समस्या परिणामी वक्र के चरम बिंदुओं को खोजने के लिए है, जो निश्चित रूप से, सामान्य मामले में फ़ंक्शन के बिना शर्त चरम बिंदुओं से मेल नहीं खाती है एफ (एक्स, वाई)।
आइए हम निम्नलिखित परिभाषा को पहले से पेश करके दो चर के एक समारोह के लिए आवश्यक सशर्त चरम स्थितियों को परिभाषित करें:
परिभाषा 6.समारोह एल (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) = एफ (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) + λ 1 φ 1 (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) +
+ λ 2 φ 2 (x 1, x 2,…, x n) +…+λ m φ m (x 1, x 2,…, x n), (2)
कहाँ पे मैं -कुछ स्थिरांक, जिन्हें कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन, और संख्या मैं– अनिश्चितकालीन लैग्रेंज गुणक.
प्रमेय(आवश्यक सशर्त चरम स्थितियां)। समारोह की सशर्त चरम सीमा जेड = एफ (एक्स, वाई)बाधा समीकरण की उपस्थिति में ( एक्स, वाई)= 0 केवल लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं पर ही पहुंचा जा सकता है एल (एक्स, वाई) = एफ (एक्स, वाई) + λφ (एक्स, वाई)।
(x, y, z) और बिंदु 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz) पर फलन u(x, y, z) पर विचार करें।
आइए बिंदुओं M और M 1 से होकर एक सदिश बनाएं। निर्देशांक अक्षों x, y, z की दिशा में इस वेक्टर के झुकाव के कोणों को क्रमशः a, b, g द्वारा दर्शाया जाएगा। इन कोणों की कोज्या कहलाती हैं दिशा कोज्यावेक्टर ।
वेक्टर पर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी को DS द्वारा दर्शाया जाएगा।
जहां ई 1, ई 2, ई 3 मात्राएं असीम रूप से छोटी हैं।
ज्यामितीय विचारों से यह स्पष्ट है:
इस प्रकार, उपरोक्त समानताओं को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
ध्यान दें कि s एक अदिश मान है। यह केवल वेक्टर की दिशा निर्धारित करता है।
इस समीकरण से निम्नलिखित परिभाषा का पालन होता है:
सीमा कहा जाता है सदिश की दिशा में फलन u(x, y, z) का अवकलजनिर्देशांक (x, y, z) के साथ बिंदु पर।
आइए हम एक उदाहरण के साथ उपरोक्त समानता का अर्थ स्पष्ट करें।
उदाहरण 9.1। वेक्टर की दिशा में बिंदु ए (1, 2) पर फ़ंक्शन z \u003d x 2 + y 2 x के व्युत्पन्न की गणना करें। में (3,0) ।
समाधान।सबसे पहले, वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।
हम सामान्य रूप में फ़ंक्शन z के आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं:
बिंदु A पर इन मात्राओं का मान: 
वेक्टर की दिशा कोसाइन खोजने के लिए, हम निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं:
=
किसी दिए गए वेक्टर के साथ निर्देशित एक मनमाना वेक्टर को एक मान के रूप में लिया जाता है, अर्थात। विभेदन की दिशा निर्धारित करना।
यहां से हम वेक्टर की दिशा कोसाइन के मान प्राप्त करते हैं:
कोसा =; कोसब=-
अंत में हमें मिलता है: 
- वेक्टर की दिशा में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान।
यदि कोई फंक्शन u = u(x, y, z) किसी डोमेन D में दिया गया है और कुछ वेक्टर जिसका निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण संबंधित बिंदु पर फ़ंक्शन u के मानों के बराबर है
,
तब इस वेक्टर को कहा जाता है ढालकार्य यू.
इस मामले में, हम कहते हैं कि क्षेत्र डी में ग्रेडियेंट का एक क्षेत्र दिया गया है।
प्रमेय: मान लें कि फलन u = u(x, y, z) दिया गया है और ढाल क्षेत्र
.
फिर कुछ वेक्टर की दिशा के संबंध में व्युत्पन्न वेक्टर पर वेक्टर ग्रेडू के प्रक्षेपण के बराबर है।
सबूत: एक इकाई वेक्टर और कुछ फ़ंक्शन u = u(x, y, z) पर विचार करें और वैक्टर के अदिश उत्पाद का पता लगाएं और डिग्री.
इस समानता के दाईं ओर का व्यंजक दिशा s में फलन u का व्युत्पन्न है।
वे। 
. यदि सदिशों के बीच का कोण डिग्रीऔर j द्वारा निरूपित किया जाता है, तो अदिश उत्पाद को इन सदिशों के मॉड्यूल और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि वेक्टर इकाई है, अर्थात। इसका मापांक एक के बराबर है, हम लिख सकते हैं:
इस समानता के दायीं ओर का व्यंजक सदिश का प्रक्षेपण है ग्रेड यूवेक्टर को।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
ग्रेडिएंट के ज्यामितीय और भौतिक अर्थ को स्पष्ट करने के लिए, मान लें कि ग्रेडिएंट एक वेक्टर है जो किसी बिंदु पर किसी स्केलर फ़ील्ड के सबसे तेज़ परिवर्तन की दिशा दिखा रहा है। भौतिकी में, तापमान प्रवणता, दबाव प्रवणता आदि जैसी अवधारणाएँ हैं। वे। ग्रेडिएंट की दिशा फ़ंक्शन के सबसे तेज़ विकास की दिशा है।
ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के संदर्भ में, ग्रेडिएंट फ़ंक्शन के स्तर की सतह के लंबवत होता है।
1) दो चरों के एक फलन का मामला। दिशा एक वेक्टर द्वारा दी गई है। हम एक इकाई वेक्टर चुनते हैं जो विमान पर दिशा निर्दिष्ट करता है: 
. यह सदिश OX अक्ष की धनात्मक दिशा वाला कोण बनाता है। दो चरों वाले फलन के दिशात्मक अवकलज को व्यंजक कहा जाता है 
.
2) तीन चर के एक समारोह का मामला। मान लीजिए कि एक इकाई वेक्टर दिया गया है जो क्रमशः OX, OY और OZ अक्षों के साथ कोण बनाता है। यदि हम सदिश के निर्देशांकों को इस रूप में निर्दिष्ट करते हैं, तो दो सदिशों के बीच के कोण के कोज्या के लिए सूत्र द्वारा और हमें प्राप्त होता है। वैसे ही, । , कुल्हाड़ियों OX, OY और OZ के साथ कोण बनाने वाले इकाई वेक्टर में निर्देशांक होते हैं। तीन चरों वाले फलन के दिशात्मक अवकलज को व्यंजक कहा जाता है
.
परिभाषा।ढालकार्यों को आमतौर पर वेक्टर कहा जाता है 
. इस कारण से, इकाई वेक्टर द्वारा दी गई दिशा में एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है 
, जहां सूत्र में दाईं ओर फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट और इकाई दिशा वेक्टर का अदिश उत्पाद है।
ढाल की मुख्य संपत्ति: सभी संभावित दिशाओं के बीच, दिशा में व्युत्पन्न का सबसे बड़ा और सकारात्मक मान ढाल की दिशा में ले जाता है। यह गुण अदिश उत्पाद की परिभाषा का अनुसरण करता है। चूँकि व्युत्पन्न की सकारात्मकता का अर्थ है फलन की वृद्धि, बिंदु पर ढाल की दिशा है फ़ंक्शन की सबसे बड़ी वृद्धि की दिशा.
उच्च ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव.
चरों के किसी फलन का कोई आंशिक अवकलज 
स्वयं भी चर का एक कार्य है। अनेक चरों वाले फलन के आंशिक अवकलज का आंशिक अवकलज कहलाता है दूसरा क्रम आंशिक व्युत्पन्नकार्य। इस मामले में, यदि वे चर जिनके संबंध में पहले फ़ंक्शन से व्युत्पन्न लिया जाता है और फिर फ़ंक्शन से मेल नहीं खाता है, तो ऐसे आंशिक व्युत्पन्न को आमतौर पर मिश्रित कहा जाता है। दूसरा क्रम आंशिक व्युत्पन्न संकेतन: 
. मामले में जब और किसी बिंदु के पड़ोस में निरंतर कार्य कर रहे हैं, इस बिंदु पर।
इसी तरह, किसी भी ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव पेश किए जाते हैं।
उदाहरण
Ref.rf . पर होस्ट किया गया
फ़ंक्शन से खोजें। हमारे पास है 
.
MAXIM का उपयोग करके समान व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम कमांड का उपयोग करते हैं अंतर (लॉग (एक्स + 3 * वाई), एक्स, 2, वाई, 1).
उच्च क्रम अंतर.
डेरिवेटिव के साथ समानता से, उच्च ऑर्डर के अंतर पेश किए जाते हैं, यानी अंतर से अंतर। तीन चर के एक समारोह पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का अंतर अभिव्यक्ति है। ध्यान दें कि अंतिम व्यंजक में शामिल अवकलज , के फलन हैं और चरों के अंतर इस पर निर्भर नहीं करते हैं। इस कारण से, मिश्रित डेरिवेटिव की निरंतरता की स्थिति के तहत, दूसरे क्रम के अंतर का रूप होता है
अंतिम सूत्र में, हमने मिश्रित व्युत्पन्नों की समानता के गुण का उपयोग किया है। यह देखना आसान है कि दूसरे क्रम के अंतर का सूत्र तीन पदों के योग की दूसरी डिग्री के सूत्र के समान है। दो चरों के फलन के दूसरे और तीसरे क्रम के अंतरों की गणना करना मुश्किल नहीं है:
एक व्यायाम।पाना बिंदु पर फलन के लिए (1,1)।
अनेक चरों के फलन के लिए टेलर सूत्र.
जैसा कि एक चर के फलनों के मामले में, कई चरों के फलनों के लिए टेलर का सूत्र एक बिंदु पर किसी फलन की वृद्धि और उसी बिंदु पर उसके अंतरों के बीच संबंध देता है:
कहाँ पे 
.
विशेष रूप से, दो चर के एक समारोह के लिए हमारे पास है:
यहां 
.
दिशात्मक व्युत्पन्न। - अवधारणा और प्रकार। "दिशात्मक व्युत्पन्न" श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं। 2017, 2018।
(x, y, z) और बिंदु М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz) पर फलन u(x, y, z) पर विचार करें। आइए बिंदुओं M और M1 से होकर एक सदिश बनाएं। निर्देशांक अक्षों x, y, z की दिशा में इस वेक्टर के झुकाव के कोणों को क्रमशः a, b, g द्वारा दर्शाया जाएगा। इन कोणों की कोज्याएँ सदिश की दिक्-कोसाइन कहलाती हैं। ....
(x, y, z) और बिंदु М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz) पर फलन u(x, y, z) पर विचार करें। आइए बिंदुओं M और M1 से होकर एक सदिश बनाएं। निर्देशांक अक्षों x, y, z की दिशा में इस वेक्टर के झुकाव के कोणों को क्रमशः a, b, g द्वारा दर्शाया जाएगा। इन कोणों की कोज्याएँ सदिश की दिक्-कोसाइन कहलाती हैं। ....
अदिश क्षेत्र U(M) की एक महत्वपूर्ण विशेषता निर्दिष्ट दिशा में क्षेत्र फलन के परिवर्तन की दर है। यदि यह दिशा निर्देशांक अक्षों में से किसी एक की दिशा से मेल खाती है, तो हमें संबंधित आंशिक व्युत्पन्न का मान प्राप्त होगा। वेक्टर बीजगणित से ....
मान लीजिए फलन U = F (X, Y, Z) कुछ डोमेन D में सतत है और इस डोमेन में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है। हम विचाराधीन क्षेत्र में एक बिंदु M(X,Y,Z) चुनते हैं और उसमें से एक सदिश S खींचते हैं, जिसकी दिशा कोसाइन cosA, cosB, cosG है। सदिश S पर अपने मूल से कुछ दूरी पर DS...
दिशा के साथ एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को सीमा कहा जाता है जहां सीमा मौजूद होती है। यदि फ़ंक्शन अवकलनीय है, तो दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है (1) जहां वेक्टर की दिशा कोसाइन हैं विशेष रूप से, यदि दो चर का एक फ़ंक्शन है,... ।
अदिश क्षेत्र। स्तर की सतहें। गणितीय क्षेत्र सिद्धांत के तत्व गणितीय भौतिकी के विकास में मुख्य चरण गणितीय भौतिकी 18वीं सदी के अंत और 19वीं शताब्दी के प्रारंभ में एक स्वतंत्र विज्ञान के रूप में उभरा। इसमें है...
कई चरों के एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न की अवधारणा का परिचय देते हुए, हमने अन्य सभी तर्कों को अपरिवर्तित छोड़कर, व्यक्तिगत रूप से चरों को बढ़ाया। विशेष रूप से, यदि हम दो चर z = f(x, y) के एक फ़ंक्शन पर विचार करते हैं, तो या तो चर x को वृद्धि Δx दिया गया था, और फिर फ़ंक्शन के डोमेन में निर्देशांक (x) के साथ एक बिंदु से एक संक्रमण था। , y) निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर (x + x ;y); या चर y को एक वृद्धि y दिया गया था, और फिर फ़ंक्शन के डोमेन में निर्देशांक (x, y) के साथ एक बिंदु से निर्देशांक (x; y + Δy) के साथ एक बिंदु से एक संक्रमण था (चित्र 5.6 देखें)। इस प्रकार, जिस बिंदु पर हमने फलन का आंशिक अवकलज लिया, वह समतल पर निर्देशांक अक्षों के समानांतर दिशाओं में चला गया (या तो भुज अक्ष के समानांतर या कोटि अक्ष के समानांतर)। आइए अब उस मामले पर विचार करें जब निर्देश मनमाने ढंग से लिया जा सकता है, अर्थात। एक साथ कई चरों को वेतन वृद्धि दी जाती है। दो चरों के फलन के मामले में, हम बिंदु (x + x; y + y) पर जाएंगे, जबकि विस्थापन होगा। मैं(चित्र 5.6 देखें)।
इस दिशा में आगे बढ़ने पर, फ़ंक्शन z को एक वृद्धि प्राप्त होगी मैं z = f(x + Δx; y + y) – f(x,y), जिसे दी गई दिशा में फलन z का इंक्रीमेंट कहा जाता है मैं.
व्युत्पन्न z मैं`दिशा में मैं
दो चर के कार्य
z = f(x,y) इस दिशा में फलन की वृद्धि और विस्थापन की मात्रा के अनुपात की सीमा है मैंजब उत्तरार्द्ध शून्य हो जाता है, अर्थात। .
व्युत्पन्न z मैं` दिशा में फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है मैं.
दिशात्मक व्युत्पन्न की अवधारणा को किसी भी संख्या में चर के साथ कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
चित्र 5.6 - एक बिंदु को दिशा में ले जाना मैं
यह सिद्ध किया जा सकता है कि z मैं` = जेड एक्स `कॉस α + z y `cos β, जहां α और β निर्देशांक अक्षों के साथ बिंदु की गति की दिशा से बनने वाले कोण हैं (चित्र 5.6 देखें)।
उदाहरण के लिए, आइए बिंदु . पर फ़ंक्शन z = ln (x 2 + xy) का अवकलज ज्ञात करें
(3; 1) इस बिंदु से बिंदु (6; -3) तक जाने की दिशा में (देखिए आकृति 5.7)।
ऐसा करने के लिए, पहले बिंदु (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3) पर इस फलन का आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए। *1) = 7/12;
z y ` \u003d x / (x 2 + xy) \u003d 3 / (3 2 + 3 * 1) \u003d 3/12 \u003d 1/4।
ध्यान दें कि x = 6 - 3 = 3; y \u003d -3 - 1 \u003d -4; (Δ मैं) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ मैं| = 5. तब cos α = 3/5; cos β = -4/5; जेड मैं` =
जेड एक्स `कॉस α +
z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 - 1*4)/(4*5) = 3/20।
फंक्शन ग्रेडिएंट
एक स्कूली गणित पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि समतल पर एक सदिश एक निर्देशित खंड होता है। इसके आरंभ और अंत के दो निर्देशांक हैं। वेक्टर निर्देशांक की गणना अंत निर्देशांक से प्रारंभ निर्देशांक घटाकर की जाती है।
एक वेक्टर की अवधारणा को एक n-आयामी स्थान तक भी बढ़ाया जा सकता है (दो निर्देशांक के बजाय n निर्देशांक होंगे)।
ढालफलन z = f(х 1 , х 2 , …х n) का ग्रेड z, बिंदु पर फलन के आंशिक अवकलज का सदिश है, अर्थात्। निर्देशांक के साथ वेक्टर 
.
यह साबित किया जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट एक बिंदु पर फ़ंक्शन के स्तर की सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा को दर्शाता है।
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन z \u003d 2x 1 + x 2 (चित्र 5.8 देखें) के लिए, किसी भी बिंदु पर ढाल में निर्देशांक (2; 1) होंगे। इसे किसी भी बिंदु को वेक्टर की शुरुआत के रूप में लेते हुए, विभिन्न तरीकों से एक विमान पर बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप बिंदु (0; 0) को बिंदु (2; 1), या बिंदु (1; 0) से बिंदु (3; 1), या बिंदु (0; 3) को बिंदु (2; 4) से जोड़ सकते हैं, या टी.पी. (चित्र 5.8 देखें)। इस तरह से निर्मित सभी सदिशों के निर्देशांक होंगे (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
चित्र 5.8 स्पष्ट रूप से दिखाता है कि फ़ंक्शन का स्तर ढाल की दिशा में बढ़ता है, क्योंकि निर्मित स्तर की रेखाएँ स्तर मान 4> 3> 2 के अनुरूप होती हैं।
चित्र 5.8 - ग्रेडिएंट फ़ंक्शन z \u003d 2x 1 + x 2
एक अन्य उदाहरण पर विचार करें - फलन z = 1/(x 1 x 2)। इस फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट अब अलग-अलग बिंदुओं पर हमेशा समान नहीं रहेगा, क्योंकि इसके निर्देशांक सूत्रों (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
चित्र 5.9 स्तर 2 और 10 के लिए फ़ंक्शन z = 1/(x 1 x 2) की स्तर रेखाएँ दिखाता है (पंक्ति 1/(x 1 x 2) = 2 एक बिंदीदार रेखा द्वारा इंगित की जाती है, और रेखा
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - ठोस रेखा)।
चित्र 5.9 - विभिन्न बिंदुओं पर फ़ंक्शन z \u003d 1 / (x 1 x 2) के ग्रेडिएंट
उदाहरण के लिए, बिंदु (0.5; 1) लें और इस बिंदु पर ढाल की गणना करें: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . ध्यान दें कि बिंदु (0.5; 1) स्तर रेखा 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 पर स्थित है, क्योंकि z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. करने के लिए चित्र 5.9 में सदिश (-4; -2) को चित्रित करें, हम बिंदु (0.5; 1) को बिंदु (-3.5; -1) से जोड़ते हैं, क्योंकि
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
आइए समान स्तर रेखा पर एक और बिंदु लें, उदाहरण के लिए, बिंदु (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2)। इस बिंदु पर ढाल की गणना करें
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4)। इसे चित्र 5.9 में दर्शाने के लिए, हम बिंदु (1; 0.5) को बिंदु (-1; -3.5) से जोड़ते हैं, क्योंकि (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - चार)।
आइए समान स्तर की रेखा पर एक और बिंदु लें, लेकिन केवल अब एक गैर-सकारात्मक समन्वय तिमाही में। उदाहरण के लिए, बिंदु (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2)। इस बिंदु पर ढाल होगी
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2)। आइए इसे बिंदु (-0.5; -1) को बिंदु (3.5; 1) से जोड़कर चित्र 5.9 में चित्रित करें, क्योंकि (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4; 2)।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी तीन मामलों में, ग्रेडिएंट फ़ंक्शन के स्तर की वृद्धि की दिशा को दर्शाता है (लेवल लाइन 1/(x 1 x 2) = 10> 2) की ओर।
यह सिद्ध किया जा सकता है कि ढाल हमेशा दिए गए बिंदु से गुजरने वाली समतल रेखा (स्तर की सतह) के लंबवत होती है।
अदिश क्षेत्रअंतरिक्ष का एक भाग (या संपूर्ण स्थान) कहलाता है, प्रत्येक बिंदु, जो किसी अदिश राशि के संख्यात्मक मान से मेल खाता है।
उदाहरण
एक पिंड जिसका प्रत्येक बिंदु पर एक निश्चित तापमान मान होता है, एक अदिश क्षेत्र होता है।
एक अमानवीय पिंड, जिसका प्रत्येक बिंदु एक निश्चित घनत्व से मेल खाता है - एक अदिश घनत्व क्षेत्र।
इन सभी मामलों में, अदिश मान U समय पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि अंतरिक्ष में बिंदु M की स्थिति (निर्देशांक) पर निर्भर करता है, अर्थात यह तीन चर का एक कार्य है, इसे कहा जाता है क्षेत्र समारोह. और इसके विपरीत, तीन चरों का कोई भी फलन यू = एफ (एक्स, वाई, जेड)कुछ अदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है।
समतलीय अदिश क्षेत्र फलन दो चरों पर निर्भर करता है जेड = एफ (एक्स, वाई).
एक अदिश क्षेत्र पर विचार करें यू = एफ (एक्स, वाई, जेड)।
एक सदिश जिसके निर्देशांक किसी दिए गए बिंदु पर परिकलित फलन के आंशिक अवकलज होते हैं, कहलाते हैं ढालइस बिंदु पर कार्य करें या अदिश क्षेत्र का ढाल।
एक वेक्टर पर विचार करें जिस पर दो बिंदु हैं एम 0 (एक्स 0, वाई 0, जेड 0)तथा । आइए दिशा में फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं:
दिशात्मक व्युत्पन्नअगली सीमा कहा जाता है अगर यह मौजूद है:
वेक्टर की दिशा कोसाइन कहां हैं; α, β, वे कोण हैं जो वेक्टर निर्देशांक अक्षों के साथ बनाते हैं, यदि ।
दो चरों के एक फलन के लिए, ये सूत्र रूप लेते हैं:
या 
,
इसलिये ।
एक ही बिंदु पर ढाल और दिशात्मक व्युत्पन्न के बीच एक संबंध है।
प्रमेय।किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट और किसी दिशा के वेक्टर का अदिश उत्पाद इस वेक्टर की दिशा में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होता है:
.
परिणाम।दिशा के संबंध में व्युत्पन्न का सबसे बड़ा मूल्य होता है यदि यह दिशा ढाल की दिशा के साथ मेल खाती है (डॉट उत्पाद की परिभाषा का उपयोग करके स्वयं को उचित ठहराएं और यह मानते हुए)।
निष्कर्ष:
1. एक ढाल एक वेक्टर है जो किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन में सबसे बड़ी वृद्धि की दिशा दिखाता है और इस वृद्धि की दर के बराबर एक मापांक होता है:
.
2. दिशा में व्युत्पन्न दिशा में कार्य के परिवर्तन की दर है: यदि, तो इस दिशा में कार्य बढ़ता है, यदि, तो कार्य घटता है।
3. यदि सदिश किसी एक सदिश के साथ संपाती हो, तो इस सदिश की दिशा में अवकलज संबंधित आंशिक अवकलज के साथ संपाती होता है।
उदाहरण के लिए, यदि, तो।
उदाहरण
एक समारोह दिया 
, डॉट ए(1, 2)और वेक्टर।
खोजें: 1);
समाधान
1) फलन के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए और बिंदु A पर उनकी गणना कीजिए।
, .
फिर 
.
2) सदिश की दिशा कोज्या ज्ञात कीजिए:
उत्तर: ; .
साहित्य [ 1,2]
आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न:
1. दो चरों का फलन क्या कहलाता है, इसकी परिभाषा का क्षेत्र?
2. आंशिक डेरिवेटिव कैसे निर्धारित किए जाते हैं?
3. आंशिक व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
4. किसी दिए गए बिंदु पर अदिश क्षेत्र की प्रवणता क्या कहलाती है?
5. एक दिशात्मक व्युत्पन्न क्या कहलाता है?
6. दो चरों वाले फलन का चरम ज्ञात करने के लिए नियम बनाइए।
विकल्प 1
टास्क नंबर 1
एक) 
; बी) 
;
में) ; जी) 
.
टास्क नंबर 2निरंतरता के लिए एक फ़ंक्शन की जांच करें: फ़ंक्शन के ब्रेकपॉइंट ढूंढें और उनके प्रकार का निर्धारण करें। फ़ंक्शन का एक योजनाबद्ध ग्राफ बनाएं।
कार्य संख्याएक सम्मिश्र संख्या Z दिया गया है। आवश्यक: संख्या Z को बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूपों में लिखें। .
टास्क नंबर 4.
1) y \u003d 3x 5 - sinx, 2) y \u003d tgx, 3) y \u003d, 4) ।
टास्क नंबर 5.डिफरेंशियल कैलकुलस के तरीकों का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें और अध्ययन के परिणामों का उपयोग करके एक ग्राफ बनाएं। .
टास्क नंबर 6.फलन z=f(x,y) दिया गया है। जाँच करें कि क्या पहचान F≡0 पूरी हुई है? 
टास्क नंबर 7एक समारोह दिया Z=x2+xy+y2, बिंदु और वेक्टर। पाना:
1) ग्रेड्ज़बिंदु पर लेकिन;
2) एक बिंदु पर व्युत्पन्न लेकिनवेक्टर की दिशा में .
विकल्प 2
टास्क नंबर 1 L'Hopital के नियम का उपयोग किए बिना फलनों की सीमाओं की गणना कीजिए।
एक) 
; बी) 
;
में) 
; जी) 
.
टास्क नंबर 2निरंतरता के लिए एक फ़ंक्शन की जांच करें: फ़ंक्शन के ब्रेकपॉइंट ढूंढें और उनके प्रकार का निर्धारण करें। फ़ंक्शन का एक योजनाबद्ध ग्राफ़ बनाएं।
टास्क नंबर 3एक सम्मिश्र संख्या Z दिया गया है। आवश्यक: संख्या Z को बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूपों में लिखें।
टास्क नंबर 4.इन फलनों का प्रथम कोटि अवकलज ज्ञात कीजिए।
