1. चलो उपस्थान एल = एल(ए 1 , ए 2 , …, और एम) , वह है एल- सिस्टम का रैखिक खोल ए 1 , ए 2 , …, और एम; वैक्टर ए 1 , ए 2 , …, और एम- इस उपस्थान के जनरेटर की प्रणाली। फिर आधार एलसदिशों की प्रणाली का आधार है ए 1 , ए 2 , …, और एम, यानी जनरेटर की प्रणाली का आधार। आयाम एलजनरेटर की प्रणाली के रैंक के बराबर।

2. चलो उपस्थान एलउप-स्थानों का योग है एल 1 और एल 2. किसी योग के लिए उप-स्थान उत्पन्न करने की एक प्रणाली उप-स्थान उत्पन्न करने की प्रणालियों को मिलाकर प्राप्त की जा सकती है, जिसके बाद योग का आधार पाया जाता है। राशि का आयाम निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

धुंधला(एल 1 + एल 2) = dimL 1 + dimL 2 – धुंधला(एल 1 Ç एल 2).

3. मान लीजिए कि उप-स्थानों का योग है एल 1 और एल 2 सीधा है, यानी एल = एल 1 Å एल 2. जिसमें एल 1 Ç एल 2 = {हे) और धुंधला(एल 1 Ç एल 2) = 0. प्रत्यक्ष योग का आधार पदों के आधारों के मिलन के बराबर है। प्रत्यक्ष योग का आयाम पदों के आयामों के योग के बराबर होता है।

4. आइए हम एक उप-स्थान और एक रैखिक मैनिफोल्ड का एक महत्वपूर्ण उदाहरण दें।

एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात। अनेक समाधान एमइस प्रणाली का 0 समुच्चय का एक उपसमुच्चय है आर एनऔर सदिशों को जोड़ने और वास्तविक संख्या से गुणा करने के अंतर्गत बंद कर दिया जाता है। इसका मतलब है कि बहुत सारे हैं एम 0 - अंतरिक्ष का उपस्थान आर एन. उप-स्थान का आधार एक सजातीय प्रणाली के समाधानों का मूलभूत सेट है; उप-स्थान का आयाम सिस्टम के समाधानों के मूलभूत सेट में वैक्टर की संख्या के बराबर है।

गुच्छा एमसामान्य सिस्टम समाधान एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात भी समुच्चय का एक उपसमुच्चय है आर एनऔर सेट के योग के बराबर एम 0 और वेक्टर ए, कहाँ एमूल प्रणाली और सेट का कुछ विशेष समाधान है एम 0 - इस प्रणाली के साथ रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का सेट (यह मूल से केवल मुक्त शब्दों में भिन्न है),

एम = ए + एम 0 = {ए = एम, एम Î एम 0 }.

इसका मतलब है कि बहुत सारे एमअंतरिक्ष का एक रैखिक अनेक गुना है आर एनशिफ्ट वेक्टर के साथ एऔर दिशा एम 0 .

उदाहरण 8.6.रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली द्वारा परिभाषित उप-स्थान का आधार और आयाम खोजें:

समाधान. आइए इस प्रणाली और इसके मूलभूत समाधानों का एक सामान्य समाधान खोजें: साथ 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), साथ 2 = (12, –8, 0, 1, 0), साथ 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

उपस्थान का आधार सदिशों द्वारा बनता है साथ 1 , साथ 2 , साथ 3, इसका आयाम तीन है.

काम का अंत -

यह विषय अनुभाग से संबंधित है:

लीनियर अलजेब्रा

कोस्त्रोमा स्टेट यूनिवर्सिटी का नाम एन. नेक्रासोव के नाम पर रखा गया।

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बीबीके 22.174ya73-5
एम350 केएसयू के संपादकीय और प्रकाशन परिषद के निर्णय द्वारा प्रकाशित। एन. ए. नेक्रासोवा समीक्षक ए. वी. चेरेडनिकोव

बीबीके 22.174ya73-5
ã टी. एन. मतित्सिना, ई. के. कोरज़ेविना 2013 ã केएसयू के नाम पर। एन. ए. नेक्रासोवा, 2013

संघ (या योग)
परिभाषा 1.9. सेट ए और बी का मिलन एक सेट ए È बी है, जिसमें वे और केवल वे तत्व शामिल हैं जो हालांकि संबंधित हैं

प्रतिच्छेदन (या उत्पाद)
परिभाषा 1.10. सेट ए और बी का प्रतिच्छेदन एक सेट ए Ç बी है, जिसमें वे और केवल वे तत्व शामिल हैं जो समान हैं

अंतर
परिभाषा 1.11। सेट ए और बी के बीच का अंतर सेट ए बी है, जिसमें वे और केवल वे तत्व शामिल हैं जो सेट ए से संबंधित हैं

कार्तीय उत्पाद (या प्रत्यक्ष उत्पाद)
परिभाषा 1.14. एक क्रमित युग्म (या युग्म) (ए, बी) एक निश्चित क्रम में लिए गए दो तत्व ए, बी है। जोड़े (a1

सेट संचालन के गुण
संघ, प्रतिच्छेदन और पूरक के संचालन के गुणों को कभी-कभी सेट बीजगणित के नियम कहा जाता है। आइए हम सेट पर संचालन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करें। मान लीजिए कि एक सार्वत्रिक समुच्चय U दिया गया है

गणितीय प्रेरण की विधि
गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग उन कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है जिनके निर्माण में प्राकृतिक पैरामीटर n शामिल होता है। गणितीय आगमन की विधि - गणित सिद्ध करने की विधि

जटिल आंकड़े
संख्या की अवधारणा मानव संस्कृति की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है। सबसे पहले, प्राकृतिक संख्याएँ N = (1, 2, 3, …, n, …) दिखाई दीं, फिर पूर्णांक Z = (…, -2, -1, 0, 1, 2, …), परिमेय Q

जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या
यह ज्ञात है कि ऋणात्मक संख्याओं को एक चर में रैखिक समीकरणों के समाधान के संबंध में पेश किया गया था। विशिष्ट कार्यों में, एक नकारात्मक उत्तर की व्याख्या दिशात्मक मात्रा के मूल्य के रूप में की गई थी (

सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप
एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक वेक्टर को न केवल निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, बल्कि लंबाई और द्वारा भी निर्दिष्ट किया जा सकता है

त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ
बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं के साथ जोड़ और घटाव करना और त्रिकोणमितीय रूप में गुणा और भाग करना अधिक सुविधाजनक है। 1. गुणन। मान लीजिए कि दो k दिए गए हैं

घातांक
यदि z = r(cosj + i×sinj), तो zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), जहां n Î

सम्मिश्र संख्या का घातांकीय रूप
गणितीय विश्लेषण से ज्ञात होता है कि e = , e एक अपरिमेय संख्या है। ईले

संबंध अवधारणा
परिभाषा 2.1. सेट A1, A2, …, An पर एक n-ary (या n-ary) संबंध P कोई उपसमुच्चय है

द्विआधारी संबंधों के गुण
मान लीजिए कि एक गैर-रिक्त सेट A, यानी P Í A2 पर एक द्विआधारी संबंध P परिभाषित किया गया है। परिभाषा 2.9. एक समुच्चय पर द्विआधारी संबंध पी

तुल्यता संबंध
परिभाषा 2.15. समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध को तुल्यता संबंध कहा जाता है यदि यह प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है। अनुपात समतुल्य

कार्य
परिभाषा 2.20। एक द्विआधारी संबंध ƒ Í A ´ B को सेट A से सेट B तक एक फ़ंक्शन कहा जाता है यदि किसी x के लिए

सामान्य अवधारणाएँ
परिभाषा 3.1. मैट्रिक्स संख्याओं की एक आयताकार तालिका है जिसमें m पंक्तियाँ और n कॉलम होते हैं। संख्याएँ m और n को क्रम (या) कहा जाता है

एक ही प्रकार के आव्यूहों का योग
केवल एक ही प्रकार के मैट्रिक्स जोड़े जा सकते हैं। परिभाषा 3.12. दो आव्यूहों का योग A = (aij) और B = (bij), जहां i = 1,

मैट्रिक्स जोड़ के गुण
1) क्रमविनिमेयता: "ए, बी: ए + बी = बी + ए; 2) साहचर्यता: "ए, बी, सी: (ए + बी) + सी = ए

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना
परिभाषा 3.13. एक वास्तविक संख्या k द्वारा मैट्रिक्स A = (aij) का गुणनफल एक मैट्रिक्स C = (сij) होता है, जिसके लिए

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के गुण
1) " ए: 1×ए = ए; 2) " α, β ओ आर, " ए: (αβ)×ए = α×(β×ए) = β×

मैट्रिक्स गुणन
आइए दो आव्यूहों के गुणन को परिभाषित करें; ऐसा करने के लिए, कुछ अतिरिक्त अवधारणाओं को प्रस्तुत करना आवश्यक है। परिभाषा 3.14. आव्यूह A और B को सुसंगत कहा जाता है

मैट्रिक्स गुणन के गुण
1) मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है: A×B ≠ B×A। इस संपत्ति को उदाहरणों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण 3.6. ए)

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िंग
परिभाषा 3.16. किसी दिए गए मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को समान संख्या वाले कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त मैट्रिक्स को दिए गए मैट्रिक्स ए में ट्रांसपोज़्ड कहा जाता है

दूसरे और तीसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक
क्रम n का प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स A एक संख्या से जुड़ा होता है, जिसे इस मैट्रिक्स का निर्धारक कहा जाता है। पदनाम: डी, ​​|ए|, डेट ए,

परिभाषा 4.6.
1. n = 1 के लिए, मैट्रिक्स A में एक संख्या होती है: |A| = ए11. 2. मान लीजिए कि क्रम (n – 1) के मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात है। 3. परिभाषित करें

निर्धारकों के गुण
3 से अधिक आदेशों के निर्धारकों की गणना करने के लिए, निर्धारकों के गुणों और लाप्लास के प्रमेय का उपयोग किया जाता है। प्रमेय 4.1 (लाप्लास)। एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक

निर्धारकों की व्यावहारिक गणना
तीन से ऊपर के क्रम के निर्धारकों की गणना करने का एक तरीका यह है कि इसे किसी स्तंभ या पंक्ति में विस्तारित किया जाए। उदाहरण 4.4. सारणिक D = की गणना करें

मैट्रिक्स रैंक की अवधारणा
मान लीजिए A आयाम m ´ n का एक मैट्रिक्स है। आइए हम इस मैट्रिक्स में मनमाने ढंग से k पंक्तियों और k कॉलम का चयन करें, जहां 1 ≤ k ≤ min(m, n)।

अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना
मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने की एक विधि अवयस्कों की गणना करने की विधि है। यह विधि मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने पर आधारित है। विधि का सार इस प्रकार है. यदि कम से कम एक तत्व मा है

प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना
आइए मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के दूसरे तरीके पर विचार करें। परिभाषा 5.4. निम्नलिखित परिवर्तनों को प्रारंभिक मैट्रिक्स परिवर्तन कहा जाता है: 1. गुणा करें

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा और इसे खोजने की विधियाँ
मान लीजिए कि एक वर्ग मैट्रिक्स A दिया गया है। परिभाषा 5.7। मैट्रिक्स A-1 को मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि A×A-1

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम
आइए बीजीय योगों का उपयोग करके किसी दिए गए मैट्रिक्स का व्युत्क्रम खोजने के तरीकों में से एक पर विचार करें। मान लीजिए कि एक वर्ग मैट्रिक्स A दिया गया है। 1. मैट्रिक्स |A| का सारणिक ज्ञात कीजिए। यूरोपीय संघ

प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना
आइए प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। आइए हम आवश्यक अवधारणाएँ और प्रमेय तैयार करें। परिभाषा 5.11. मैट्रिक्स नाम से

क्रैमर विधि
आइए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, यानी, एम = एन और प्रणाली का रूप है:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि
व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर लागू होती है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होता है। सिस्टम नोटेशन का मैट्रिक्स रूप

गॉस विधि
इस पद्धति का वर्णन करने के लिए, जो रैखिक समीकरणों की मनमानी प्रणालियों को हल करने के लिए उपयुक्त है, कुछ नई अवधारणाओं की आवश्यकता है। परिभाषा 6.7. फॉर्म का समीकरण 0×

गॉस विधि का विवरण
गॉस विधि - अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि - इस तथ्य में शामिल है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, मूल प्रणाली को चरणबद्ध या टी के समकक्ष प्रणाली में घटा दिया जाता है

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अध्ययन
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अध्ययन करने का अर्थ है, प्रणाली को हल किए बिना, इस प्रश्न का उत्तर देना: क्या प्रणाली सुसंगत है या नहीं, और यदि यह सुसंगत है, तो इसके कितने समाधान हैं? इसका उत्तर इसमें दें

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ
परिभाषा 6.11. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है यदि इसके मुक्त पद शून्य के बराबर हों। एम रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान के गुण
1. यदि वेक्टर a = (a1, a2, …, an) एक सजातीय प्रणाली का समाधान है, तो वेक्टर k×a = (k×a1, k&t

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का मौलिक सेट
मान लीजिए M0 रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली (4) के समाधानों का समुच्चय है। परिभाषा 6.12. सदिश c1, c2, ..., c

सदिशों की प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता
मान लीजिए a1, a2, …, am m n-आयामी वैक्टर का एक सेट है, जिसे आमतौर पर वैक्टर की एक प्रणाली के रूप में जाना जाता है, और k1

सदिशों की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता के गुण
1) शून्य सदिश वाले सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। 2) सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि इसकी कोई उपप्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है। परिणाम। यदि सी

यूनिट वेक्टर प्रणाली
परिभाषा 7.13. अंतरिक्ष Rn में इकाई सदिशों की एक प्रणाली सदिशों e1, e2,…, en की एक प्रणाली है

रैखिक निर्भरता के बारे में दो प्रमेय
प्रमेय 7.1. यदि सदिशों की एक बड़ी प्रणाली को एक छोटी प्रणाली के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, तो बड़ी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है। आइए इस प्रमेय को और अधिक विस्तार से तैयार करें: मान लीजिए a1

वेक्टर प्रणाली का आधार और रैंक
मान लीजिए S अंतरिक्ष Rn में सदिशों की एक प्रणाली है; यह या तो सीमित या अनंत हो सकता है। S" सिस्टम S, S" Ì S का एक सबसिस्टम है। आइए दो दें

वेक्टर सिस्टम रैंक
आइए हम सदिशों की एक प्रणाली की रैंक की दो समकक्ष परिभाषाएँ दें। परिभाषा 7.16. सदिशों की एक प्रणाली की रैंक इस प्रणाली के किसी भी आधार पर सदिशों की संख्या है।

सदिशों की प्रणाली की रैंक और आधार का व्यावहारिक निर्धारण
सदिशों की इस प्रणाली से हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं, सदिशों को इस मैट्रिक्स की पंक्तियों के रूप में व्यवस्थित करते हैं। हम इस मैट्रिक्स की पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को सोपानक रूप में कम करते हैं। पर

एक मनमाना क्षेत्र पर एक सदिश स्थान की परिभाषा
माना P एक मनमाना क्षेत्र है। हमें ज्ञात क्षेत्रों के उदाहरण तर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याओं के क्षेत्र हैं। परिभाषा 8.1. सेट V को बुलाया गया है

सदिश स्थानों के सबसे सरल गुण
1) ओ - शून्य वेक्टर (तत्व), क्षेत्र पर एक मनमाना वेक्टर स्थान में विशिष्ट रूप से परिभाषित। 2) किसी भी सदिश a О V के लिए एक अद्वितीय है

उपस्थान। रैखिक अनेक गुना
मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है, L М V (L, V का एक उपसमुच्चय है)। परिभाषा 8.2. वेक्टर प्रो का सबसेट एल

उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन और योग
मान लीजिए V क्षेत्र P, L1 और L2 के उपस्थानों पर एक सदिश समष्टि है। परिभाषा 8.3. सबक्वेस्ट को पार करके

रैखिक अनेक गुना
मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है, L एक उपसमष्टि है, a अंतरिक्ष V से एक मनमाना सदिश है। परिभाषा 8.6। रैखिक मैनिफोल्ड

परिमित-आयामी वेक्टर स्थान
परिभाषा 8.7. एक सदिश समष्टि V को n-आयामी कहा जाता है यदि इसमें n सदिशों से युक्त सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली होती है, और इसके लिए

एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान का आधार
V क्षेत्र P के ऊपर एक परिमित आयामी सदिश समष्टि है, S सदिशों (परिमित या अनंत) की एक प्रणाली है। परिभाषा 8.10. प्रणाली का आधार एस

वेक्टर किसी दिए गए आधार के सापेक्ष समन्वय करता है
आयाम n के एक परिमित आयामी सदिश समष्टि V पर विचार करें, सदिश e1, e2, …, en इसका आधार बनाते हैं। चलो एक उत्पाद बनें

वेक्टर विभिन्न आधारों में समन्वय करता है
मान लीजिए V एक n-आयामी सदिश समष्टि है जिसमें दो आधार दिए गए हैं: e1, e2, …, en - पुराना आधार, e"1, e

यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि V दिया गया है। यह स्थान या तो आयाम n का एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान या अनंत-आयामी हो सकता है

निर्देशांक में डॉट उत्पाद
आयाम n के यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस V में, आधार e1, e2, …, en दिया गया है। सदिश x और y सदिशों में विघटित हो जाते हैं

मीट्रिक अवधारणाएँ
यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान में, प्रस्तुत अदिश उत्पाद से हम वेक्टर मानदंड और वैक्टर के बीच कोण की अवधारणाओं पर आगे बढ़ सकते हैं। परिभाषा 8.16. नोर्मा (

आदर्श के गुण
1) ||ए|| = 0 Û ए = ओ. 2) ||ला|| = |एल|×||ए||, क्योंकि ||ला|| =

यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस का ऑर्थोनॉर्मल आधार
परिभाषा 8.21. यूक्लिडियन सदिश समष्टि के आधार को ओर्थोगोनल कहा जाता है यदि आधार सदिश जोड़ीवार ओर्थोगोनल हैं, अर्थात यदि a1, a

ऑर्थोगोनलाइज़ेशन प्रक्रिया
प्रमेय 8.12. प्रत्येक एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एक ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है। सबूत। चलो a1, a2

ऑर्थोनॉर्मल आधार पर डॉट उत्पाद
यूक्लिडियन स्पेस V का ऑर्थोनॉर्मल आधार e1, e2, …, en दिया गया है। चूंकि (ei, ej) = 0 i के लिए

उपस्थान का ऑर्थोगोनल पूरक
V एक यूक्लिडियन सदिश समष्टि है, L इसका उपसमष्टि है। परिभाषा 8.23. एक सदिश a को उपसमष्टि L के लिए ओर्थोगोनल कहा जाता है यदि सदिश

एक वेक्टर के निर्देशांक और उसकी छवि के निर्देशांक के बीच संबंध
स्पेस V में एक रैखिक ऑपरेटर j दिया गया है, और इसका मैट्रिक्स M(j) कुछ आधार e1, e2,…, en में पाया जाता है। इसे आधार बनायें

समान मैट्रिक्स
आइए एक मनमाना क्षेत्र P के तत्वों के साथ क्रम n के वर्ग आव्यूहों के समुच्चय Рn´n पर विचार करें। इस समुच्चय पर हम संबंध प्रस्तुत करते हैं

मैट्रिक्स समानता संबंधों के गुण
1. रिफ्लेक्सिविटी। कोई भी मैट्रिक्स स्वयं के समान होता है, अर्थात A ~ A. 2. समरूपता। यदि मैट्रिक्स A, B के समान है, तो B, A के समान है, अर्थात।

eigenvectors के गुण
1. प्रत्येक eigenvector केवल एक eigenvalue से संबंधित है। सबूत। मान लीजिए x दो eigenvalues ​​​​के साथ एक eigenvector है

मैट्रिक्स का अभिलक्षणिक बहुपद
एक मैट्रिक्स A О Рn´n (या A О Rn´n) दिया गया है। परिभाषित करना

वे स्थितियाँ जिनके अंतर्गत एक मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान होता है
माना A एक वर्ग आव्यूह है। हम मान सकते हैं कि यह किसी आधार पर परिभाषित कुछ रैखिक ऑपरेटर का मैट्रिक्स है। यह ज्ञात है कि दूसरे आधार पर रैखिक ऑपरेटर का मैट्रिक्स

जॉर्डन सामान्य रूप
परिभाषा 10.5. संख्या l0 से संबंधित क्रम k का एक जॉर्डन सेल क्रम k, 1 ≤ k ≤ n का एक मैट्रिक्स है,

मैट्रिक्स को जॉर्डन (सामान्य) रूप में कम करना
प्रमेय 10.3. जॉर्डन सामान्य रूप मुख्य विकर्ण पर जॉर्डन कोशिकाओं की व्यवस्था के क्रम तक एक मैट्रिक्स के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। वगैरह

द्विरेखीय रूप
परिभाषा 11.1. एक द्विरेखीय रूप एक फ़ंक्शन (मैपिंग) f: V ´ V ® R (या C) है, जहां V एक मनमाना वेक्टर है

द्विरेखीय रूपों के गुण
किसी भी द्विरेखीय रूप को सममित और तिरछा-सममित रूपों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। वेक्टर में चयनित आधार e1, e2,…, en के साथ

नए आधार पर जाने पर द्विरेखीय रूप के मैट्रिक्स का परिवर्तन। द्विरेखीय रूप की रैंक
माना दो आधार e = (e1, e2, …, en) और f = (f1, f2,

द्विघात आकार
मान लीजिए A(x, y) सदिश समष्टि V पर परिभाषित एक सममित द्विरेखीय रूप है। परिभाषा 11.6। द्विघात रूप

द्विघात रूप को विहित रूप में कम करना
द्विघात रूप दिया गया है (2) A(x, x) = , जहां x = (x1

द्विघात रूपों की जड़ता का नियम
यह स्थापित किया गया है कि एक द्विघात रूप के गैर-शून्य विहित गुणांकों की संख्या उसके रैंक के बराबर होती है और यह एक गैर-पतित परिवर्तन की पसंद पर निर्भर नहीं करती है जिसकी सहायता से फॉर्म A(x)

द्विघात रूप के चिन्ह के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त
कथन 11.1. एन-आयामी वेक्टर स्पेस वी में परिभाषित द्विघात रूप ए (एक्स, एक्स) के लिए, साइन-निश्चित होने के लिए, यह आवश्यक है

अर्ध-वैकल्पिक द्विघात रूप के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त
कथन 11.3. एन-आयामी वेक्टर स्पेस वी में परिभाषित द्विघात रूप ए (एक्स, एक्स) के लिए, अर्ध-चिह्न-वैकल्पिक होने के लिए (अर्थात्,

द्विघात रूप के निश्चित चिह्न के लिए सिल्वेस्टर मानदंड
मान लें कि आधार e = (e1, e2, …, en) में फॉर्म A(x, x) मैट्रिक्स A(e) = (aij) द्वारा निर्धारित किया जाता है

निष्कर्ष
रैखिक बीजगणित किसी भी उच्च गणित कार्यक्रम का एक अनिवार्य हिस्सा है। कोई भी अन्य अनुभाग इस अनुशासन के शिक्षण के दौरान विकसित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की उपस्थिति को मानता है

ग्रन्थसूची
बर्मिस्ट्रोवा ई.बी., लोबानोव एस.जी. विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्वों के साथ रैखिक बीजगणित। - एम.: एचएसई पब्लिशिंग हाउस, 2007। बेक्लेमिशेव डी.वी. विश्लेषणात्मक ज्यामिति और रैखिक बीजगणित का पाठ्यक्रम।

लीनियर अलजेब्रा
शैक्षिक और कार्यप्रणाली मैनुअल संपादक और प्रूफ़रीडर जी. डी. नेगानोवा कंप्यूटर टाइपिंग टी. एन. मैटित्सिना, ई. के. कोरज़ेविना द्वारा

एक रैखिक समष्टि का एक उपसमुच्चय एक उपसमष्टि बनाता है यदि इसे सदिशों के योग और अदिशों द्वारा गुणन के अंतर्गत बंद किया जाता है।

उदाहरण 6.1. क्या किसी समतल में कोई उप-स्थान सदिशों का एक समूह बनाता है जिसके सिरे निम्नलिखित हैं: a) पहली तिमाही में; ख) मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा पर? (वेक्टर की उत्पत्ति निर्देशांक की उत्पत्ति पर स्थित है)

समाधान।

ए) नहीं, चूंकि सेट को स्केलर द्वारा गुणा के तहत बंद नहीं किया जाता है: जब नकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो वेक्टर का अंत तीसरी तिमाही में आता है।

बी) हाँ, चूँकि सदिशों को जोड़ने और उन्हें किसी भी संख्या से गुणा करने पर उनके सिरे एक ही सीधी रेखा पर रहते हैं।

व्यायाम 6.1. क्या संगत रैखिक स्थानों के निम्नलिखित उपसमुच्चय एक उपस्थान बनाते हैं:

ए) समतल सदिशों का एक समूह जिसके सिरे पहली या तीसरी तिमाही में होते हैं;

बी) समतल सदिशों का एक समूह जिसके सिरे एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं जो मूल बिंदु से नहीं गुजरती;

ग) निर्देशांक रेखाओं का एक सेट ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

घ) निर्देशांक रेखाओं का सेट ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

ई) निर्देशांक रेखाओं का एक सेट ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2)।

एक रैखिक स्थान L का आयाम इसके किसी भी आधार में शामिल वैक्टरों की संख्या dim L है।

योग के आयाम और उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन संबंध से संबंधित हैं

मंद (यू + वी) = मंद यू + मंद वी - मंद (यू Ç वी)।

उदाहरण 6.2. वैक्टर की निम्नलिखित प्रणालियों द्वारा फैले उप-स्थानों के योग और प्रतिच्छेदन का आधार और आयाम खोजें:

समाधान। उप-स्थान यू और वी उत्पन्न करने वाले वैक्टर की प्रत्येक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, जिसका अर्थ है कि यह संबंधित उप-स्थान का आधार है। आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से एक मैट्रिक्स बनाएं, उन्हें कॉलम में व्यवस्थित करें और एक सिस्टम को दूसरे से एक लाइन से अलग करें। आइए परिणामी मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करें।

~ ~ ~ .

आधार यू + वी वैक्टर द्वारा बनता है, , , जिससे चरण मैट्रिक्स में अग्रणी तत्व मेल खाते हैं। इसलिए dim (U + V) = 3. फिर

मंद (UÇV) = मंद U + मंद V - मंद (U + V) = 2 + 2 - 3 = 1.

उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन सदिशों का एक समूह बनाता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है (इस समीकरण के बाईं और दाईं ओर खड़ा है)। हम इस वेक्टर समीकरण के अनुरूप रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान की मौलिक प्रणाली का उपयोग करके प्रतिच्छेदन आधार प्राप्त करते हैं। इस प्रणाली के मैट्रिक्स को पहले ही चरणबद्ध रूप में कम कर दिया गया है। इसके आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि y 2 एक स्वतंत्र चर है, और हम y 2 = c निर्धारित करते हैं। तब 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. और उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन प्रपत्र के सदिशों का एक समूह बनाता है = सी (3, 6, 3, 4). नतीजतन, आधार UÇV वेक्टर (3, 6, 3, 4) बनाता है।

टिप्पणियाँ। 1. यदि हम सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं, चर x के मान ज्ञात करते हैं, तो हमें x 2 = c, x 1 = c मिलता है, और वेक्टर समीकरण के बाईं ओर हमें ऊपर प्राप्त वेक्टर के बराबर एक वेक्टर मिलता है .

2. संकेतित विधि का उपयोग करके, आप योग का आधार प्राप्त कर सकते हैं, भले ही वैक्टर की जनरेटिंग प्रणालियाँ रैखिक रूप से स्वतंत्र हों। लेकिन प्रतिच्छेदन आधार सही ढंग से तभी प्राप्त होगा जब कम से कम दूसरा उपस्थान उत्पन्न करने वाला सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र हो।

3. यदि यह निर्धारित किया जाता है कि चौराहे का आयाम 0 है, तो चौराहे का कोई आधार नहीं है और इसे खोजने की कोई आवश्यकता नहीं है।

व्यायाम 6.2. वैक्टर की निम्नलिखित प्रणालियों द्वारा फैले उप-स्थानों के योग और प्रतिच्छेदन का आधार और आयाम खोजें:

ए)

बी)

यूक्लिडियन स्थान

यूक्लिडियन स्पेस एक क्षेत्र के ऊपर एक रैखिक स्थान है आर, जिसमें एक अदिश गुणन को परिभाषित किया गया है जो सदिशों के प्रत्येक जोड़े को एक अदिश राशि प्रदान करता है, और निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

2) (ए + बी) = ए() + बी();

3) ¹Þ > 0.

मानक अदिश उत्पाद की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है

(ए 1 , … , ए एन) (बी 1 , … , बी एन) = ए 1 बी 1 + … + ए एन बी एन।

सदिश और ऑर्थोगोनल कहलाते हैं, जिन्हें ^ लिखा जाता है यदि उनका अदिश गुणनफल 0 के बराबर हो।

सदिशों की एक प्रणाली को ओर्थोगोनल कहा जाता है यदि इसमें सदिश जोड़ीदार ओर्थोगोनल हों।

सदिशों की एक ओर्थोगोनल प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

वैक्टरों की एक प्रणाली के ऑर्थोगोनलाइजेशन की प्रक्रिया, ..., एक समतुल्य ऑर्थोगोनल प्रणाली में संक्रमण से युक्त होती है, ..., जो सूत्रों के अनुसार की जाती है:

, जहाँ , k = 2, … , n.

उदाहरण 7.1. सदिशों की एक प्रणाली को ओर्थोगोनलाइज़ करें

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

समाधान: हमारे पास = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

व्यायाम 7.1. वेक्टर सिस्टम को ओर्थोगोनलाइज़ करें:

ए) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

बी) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1)।

उदाहरण 7.2. सदिशों की पूर्ण प्रणाली = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), अंतरिक्ष के ओर्थोगोनल आधार पर।

समाधान: मूल प्रणाली ऑर्थोगोनल है, इसलिए समस्या समझ में आती है। चूँकि सदिश चार-आयामी अंतरिक्ष में दिए गए हैं, इसलिए हमें दो और सदिश खोजने की आवश्यकता है। तीसरा वेक्टर = (x 1, x 2, x 3, x 4) शर्तों = 0, = 0 से निर्धारित होता है। ये स्थितियाँ समीकरणों की एक प्रणाली देती हैं, जिसका मैट्रिक्स वैक्टर की समन्वय रेखाओं से बनता है और . हम सिस्टम को हल करते हैं:

~ ~ .

मुक्त चर x 3 और x 4 को शून्य के अलावा मानों का कोई भी सेट दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम मानते हैं, x 3 = 0, x 4 = 1. फिर x 2 = 0, x 1 = 1, और = (1, 0, 0, 1)।

इसी प्रकार, हम पाते हैं = (y 1, y 2, y 3, y 4)। ऐसा करने के लिए, हम ऊपर प्राप्त चरणबद्ध मैट्रिक्स में एक नई समन्वय रेखा जोड़ते हैं और इसे चरणबद्ध रूप में कम करते हैं:

~ ~ .

मुक्त चर y 3 के लिए हम y 3 = 1 निर्धारित करते हैं। फिर y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, और = (0, 1, 1, 0)।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वेक्टर का मानदंड एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है।

एक वेक्टर को सामान्यीकृत कहा जाता है यदि इसका मानदंड 1 है।

किसी वेक्टर को सामान्य करने के लिए, उसे उसके मानदंड से विभाजित किया जाना चाहिए।

सामान्यीकृत सदिशों की एक ऑर्थोगोनल प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल कहा जाता है।

व्यायाम 7.2. अंतरिक्ष के लंबात्मक आधार पर सदिशों की प्रणाली को पूरा करें:

ए) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

बी) = (1/3, -2/3, 2/3)।

रेखीय मानचित्रण

मान लीजिए कि फ़ील्ड F पर U और V रैखिक स्थान हैं। एक मानचित्रण f: U® V को रैखिक कहा जाता है यदि और।

उदाहरण 8.1. क्या त्रि-आयामी अंतरिक्ष के परिवर्तन रैखिक हैं:

ए) एफ(एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3) = (2एक्स 1, एक्स 1 – एक्स 3, 0);

बी) एफ(एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3) = (1, एक्स 1 + एक्स 2, एक्स 3)।

समाधान।

a) हमारे पास f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) = है

= (2(एक्स 1 + वाई 1), (एक्स 1 + वाई 1) - (एक्स 3 + वाई 3), 0) = (2एक्स 1, एक्स 1 - एक्स 3, 0) + (2वाई 1, वाई 1 - य 3 , 0) =

एफ((एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3) + एफ(वाई 1, वाई 2, वाई 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0)=

एल एफ(एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3)।

इसलिए, परिवर्तन रैखिक है.

बी) हमारे पास f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 )=

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

इसलिए, परिवर्तन रैखिक नहीं है.

एक रेखीय मानचित्रण f: U® V की छवि U से सदिशों की छवियों का समूह है, अर्थात

Im (f) = (f() ï О U). +… + एक एम1

व्यायाम 8.1. मैट्रिक्स द्वारा दिए गए रैखिक मैपिंग एफ के रैंक, दोष, छवि के आधार और कर्नेल का पता लगाएं:

ए) ए = ; बी) ए = ; ग) ए = .

रैखिक सजातीय समीकरणों की प्रणाली

समस्या का निरूपण. कुछ आधार खोजें और सिस्टम के रैखिक समाधान स्थान का आयाम निर्धारित करें

समाधान योजना.

1. सिस्टम मैट्रिक्स लिखें:

और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके हम मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में बदल देते हैं, अर्थात। ऐसे रूप में जब मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य के बराबर हों। सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या के बराबर है, यानी, हमारे मामले में, पंक्तियों की संख्या जिसमें गैर-शून्य तत्व रहते हैं:

समाधान स्थान का आयाम है। यदि, तो एक सजातीय प्रणाली में एक शून्य समाधान होता है, यदि, तो प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

2. बुनियादी और मुक्त चर का चयन करें। मुक्त चर को द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करते हैं, इस प्रकार रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का एक सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं।

3. हम क्रमिक रूप से एक मुक्त चर को एक के बराबर और बाकी को शून्य के बराबर सेट करके सिस्टम के समाधान स्थान का आधार लिखते हैं। सिस्टम के रैखिक समाधान स्थान का आयाम आधार वैक्टर की संख्या के बराबर है।

टिप्पणी। प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों में शामिल हैं:

1. किसी स्ट्रिंग को गैर-शून्य गुणनखंड से गुणा करना (विभाजित करना);

2. किसी पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ना, किसी भी संख्या से गुणा करना;

3. रेखाओं की पुनर्व्यवस्था;

4. स्तंभों के लिए परिवर्तन 1-3 (रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के मामले में, स्तंभों के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग नहीं किया जाता है)।

कार्य 3.कुछ आधार खोजें और सिस्टम के रैखिक समाधान स्थान का आयाम निर्धारित करें।

हम सिस्टम का मैट्रिक्स लिखते हैं और, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, इसे त्रिकोणीय रूप में कम करते हैं:

हम तो मान लेते हैं

जब हमने एन-डायमेंशनल वेक्टर की अवधारणाओं की जांच की और वैक्टर पर ऑपरेशन पेश किया, तो हमें पता चला कि सभी एन-डायमेंशनल वैक्टर का सेट एक रैखिक स्थान उत्पन्न करता है। इस लेख में हम सबसे महत्वपूर्ण संबंधित अवधारणाओं के बारे में बात करेंगे - एक वेक्टर समष्टि का आयाम और आधार। हम एक आधार में एक मनमाना वेक्टर के विस्तार और एन-आयामी अंतरिक्ष के विभिन्न आधारों के बीच संबंध पर प्रमेय पर भी विचार करेंगे। आइए विशिष्ट उदाहरणों के समाधानों की विस्तार से जाँच करें।

पेज नेविगेशन.

सदिश समष्टि और आधार के आयाम की अवधारणा।

एक सदिश समष्टि के आयाम और आधार की अवधारणाएं सीधे तौर पर सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली की अवधारणा से संबंधित होती हैं, इसलिए यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप सदिशों की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता, रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के गुणों वाले लेख का संदर्भ लें। .

परिभाषा।

सदिश समष्टि का आयामइस स्थान में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की अधिकतम संख्या के बराबर एक संख्या है।

परिभाषा।

वेक्टर स्पेस आधारइस स्थान के रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक क्रमबद्ध सेट है, जिसकी संख्या अंतरिक्ष के आयाम के बराबर है।

आइए इन परिभाषाओं के आधार पर कुछ तर्क दें।

एन-आयामी वैक्टर के स्थान पर विचार करें।

आइए हम दिखाते हैं कि इस स्थान का आयाम n है।

आइए हम प्रपत्र के n इकाई सदिशों की एक प्रणाली लें

आइए इन वैक्टरों को मैट्रिक्स ए की पंक्तियों के रूप में लें। इस मामले में, मैट्रिक्स A आयाम n बटा n का एक पहचान मैट्रिक्स होगा। इस मैट्रिक्स की रैंक n है (यदि आवश्यक हो तो लेख देखें)। इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इसकी रैखिक स्वतंत्रता का उल्लंघन किए बिना इस प्रणाली में एक भी वेक्टर नहीं जोड़ा जा सकता है। चूंकि सिस्टम में वैक्टर की संख्या तो, n के बराबर है n-आयामी सदिशों के स्थान का आयाम n है, और इकाई सदिश इस स्थान का आधार हैं.

अंतिम कथन और आधार की परिभाषा से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं n-आयामी सदिशों की कोई भी प्रणाली, जिसमें सदिशों की संख्या n से कम हो, आधार नहीं है.

अब सिस्टम के पहले और दूसरे वैक्टर की अदला-बदली करते हैं . यह दिखाना आसान है कि वैक्टर की परिणामी प्रणाली यह n-आयामी सदिश समष्टि का भी आधार है। आइए इस सिस्टम के वैक्टर को इसकी पंक्तियों के रूप में लेकर एक मैट्रिक्स बनाएं। यह मैट्रिक्स पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करके पहचान मैट्रिक्स से प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए इसकी रैंक n होगी। इस प्रकार, n सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है और n-आयामी वेक्टर समष्टि का आधार है।

यदि हम सिस्टम के अन्य वैक्टर को पुनर्व्यवस्थित करते हैं , तो हमें दूसरा आधार मिलता है।

यदि हम गैर-इकाई सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लेते हैं, तो यह एक n-आयामी सदिश समष्टि का आधार भी है।

इस प्रकार, आयाम n के एक सदिश समष्टि में उतने ही आधार होते हैं जितने n-आयामी सदिशों की रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणालियाँ होती हैं।

यदि हम द्वि-आयामी सदिश समष्टि (अर्थात एक समतल के बारे में) की बात करें तो इसका आधार कोई दो असंरेख सदिश होते हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार कोई तीन गैर-समतलीय सदिश हैं।

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण।

क्या सदिश त्रि-आयामी सदिश समष्टि का आधार हैं?

समाधान।

आइए हम रैखिक निर्भरता के लिए सदिशों की इस प्रणाली की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, आइए एक मैट्रिक्स बनाएं जिसकी पंक्तियाँ वैक्टर के निर्देशांक होंगी, और इसकी रैंक ज्ञात करें:


इस प्रकार, सदिश a, b और c रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और उनकी संख्या सदिश समष्टि के आयाम के बराबर है, इसलिए, वे इस समष्टि का आधार हैं।

उत्तर:

हां, वे।

उदाहरण।

क्या सदिशों की कोई प्रणाली सदिश समष्टि का आधार हो सकती है?

समाधान।

वैक्टर की यह प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, क्योंकि रैखिक रूप से स्वतंत्र त्रि-आयामी वैक्टर की अधिकतम संख्या तीन है। परिणामस्वरूप, सदिशों की यह प्रणाली त्रि-आयामी सदिश समष्टि का आधार नहीं हो सकती (हालाँकि सदिशों की मूल प्रणाली का एक उपप्रणाली एक आधार है)।

उत्तर:

नहीं वह नहीं कर सकता।

उदाहरण।

सुनिश्चित करें कि वेक्टर

चार-आयामी वेक्टर समष्टि का आधार हो सकता है।

समाधान।

आइए मूल वैक्टर को इसकी पंक्तियों के रूप में लेकर एक मैट्रिक्स बनाएं:

पता लगाते हैं:

इस प्रकार, वैक्टर ए, बी, सी, डी की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है और उनकी संख्या वेक्टर स्पेस के आयाम के बराबर है, इसलिए, ए, बी, सी, डी इसका आधार हैं।

उत्तर:

मूल सदिश वास्तव में चार-आयामी अंतरिक्ष का आधार हैं।

उदाहरण।

क्या सदिश आयाम 4 के सदिश समष्टि का आधार बनाते हैं?

समाधान।

भले ही सदिशों की मूल प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र हो, इसमें सदिशों की संख्या चार-आयामी स्थान का आधार बनने के लिए पर्याप्त नहीं है (ऐसे स्थान के आधार में 4 सदिश होते हैं)।

उत्तर:

नहीं, ऐसा नहीं है.

सदिश समष्टि के आधार पर सदिश का अपघटन।

चलो मनमाना वैक्टर एन-आयामी वेक्टर समष्टि का आधार हैं। यदि हम उनमें कुछ n-आयामी वेक्टर x जोड़ते हैं, तो वैक्टर की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होगी। रैखिक निर्भरता के गुणों से हम जानते हैं कि रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली का कम से कम एक वेक्टर दूसरों के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त होता है। दूसरे शब्दों में, रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली के कम से कम एक वेक्टर को शेष वैक्टर में विस्तारित किया जाता है।

यह हमें एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेय पर लाता है।

प्रमेय.

एन-आयामी वेक्टर स्पेस के किसी भी वेक्टर को विशिष्ट रूप से एक आधार में विघटित किया जा सकता है।

सबूत।

होने देना - एन-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस का आधार। आइए इन सदिशों में एक n-आयामी सदिश x जोड़ें। तब सदिशों की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होगी और सदिश x को सदिशों के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है : , कुछ संख्याएँ कहाँ हैं। इस प्रकार हमने आधार के संबंध में वेक्टर x का विस्तार प्राप्त किया। यह साबित करना बाकी है कि यह अपघटन अद्वितीय है।

आइए मान लें कि एक और विघटन है, जहां - कुछ संख्याएँ. आइए हम अंतिम समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों से क्रमशः समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को घटाएँ:

आधार वैक्टर की प्रणाली के बाद से रैखिक रूप से स्वतंत्र है, तो वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार, परिणामी समानता तभी संभव है जब सभी गुणांक शून्य के बराबर हों। इसलिए, जो आधार के संबंध में वेक्टर अपघटन की विशिष्टता को साबित करता है।

परिभाषा।

गुणांक कहलाते हैं आधार में वेक्टर x के निर्देशांक .

एक वेक्टर के आधार में अपघटन के बारे में प्रमेय से परिचित होने के बाद, हम अभिव्यक्ति के सार को समझना शुरू करते हैं "हमें एक एन-आयामी वेक्टर दिया गया है " इस अभिव्यक्ति का अर्थ है कि हम x n-आयामी वेक्टर समष्टि के एक वेक्टर पर विचार कर रहे हैं, जिसके निर्देशांक कुछ आधार पर निर्दिष्ट हैं। साथ ही, हम समझते हैं कि एन-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस के दूसरे आधार में समान वेक्टर x के निर्देशांक भिन्न होंगे।

आइए निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।

आइए हमें n-आयामी सदिश समष्टि के कुछ आधारों में n रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की एक प्रणाली दी जाए

और वेक्टर . फिर वेक्टर इस सदिश समष्टि का आधार भी हैं।

आइए हमें आधार में वेक्टर x के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है . आइए हम इन निर्देशांकों को इस प्रकार निरूपित करें .

आधार में वेक्टर x एक विचार है. आइए इस समानता को निर्देशांक रूप में लिखें:

यह समानता n अज्ञात चर वाले n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के बराबर है :

इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है

आइए इसे अक्षर A से निरूपित करें। मैट्रिक्स ए के कॉलम वैक्टर की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली के वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं , इसलिए इस मैट्रिक्स की रैंक n है, इसलिए इसका सारणिक गैर-शून्य है। यह तथ्य इंगित करता है कि समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है जिसे किसी भी विधि द्वारा पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

इस प्रकार आवश्यक निर्देशांक मिल जायेंगे आधार में वेक्टर x .

आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिद्धांत को देखें।

उदाहरण।

त्रि-आयामी सदिश समष्टि के कुछ आधारों में, सदिश

सुनिश्चित करें कि सदिशों की प्रणाली भी इस स्थान का एक आधार है और इस आधार पर सदिश x के निर्देशांक ज्ञात करें।

समाधान।

सदिशों की एक प्रणाली को त्रि-आयामी सदिश समष्टि का आधार बनाने के लिए, इसे रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए। आइए मैट्रिक्स ए की रैंक निर्धारित करके इसका पता लगाएं, जिसकी पंक्तियाँ वेक्टर हैं। आइए गॉसियन पद्धति का उपयोग करके रैंक ज्ञात करें


इसलिए, रैंक(ए) = 3, जो वैक्टर की प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता को दर्शाता है।

तो, वेक्टर आधार हैं। माना कि इस आधार पर सदिश x के निर्देशांक हैं। फिर, जैसा कि हमने ऊपर दिखाया, इस वेक्टर के निर्देशांक के बीच संबंध समीकरणों की प्रणाली द्वारा दिया गया है

इसमें स्थिति से ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें:

इस प्रकार, आधार में वेक्टर x के निर्देशांक हैं .

उत्तर:

उदाहरण।

किसी आधार पर चार-आयामी सदिश समष्टि में, सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली दी गई है

ह ज्ञात है कि . आधार में सदिश x के निर्देशांक ज्ञात कीजिए .

समाधान।

सदिशों की प्रणाली के बाद से स्थिति से रैखिक रूप से स्वतंत्र, तो यह चार आयामी अंतरिक्ष का आधार है। फिर समानता इसका मतलब है कि आधार में वेक्टर x निर्देशांक हैं. आइए आधार में वेक्टर x के निर्देशांक को निरूपित करें कैसे ।

आधारों में वेक्टर x के निर्देशांक के बीच संबंध को परिभाषित करने वाले समीकरणों की प्रणाली और की तरह लगता है

हम इसमें ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और आवश्यक निर्देशांक ढूंढते हैं:

उत्तर:

.

आधारों के बीच संबंध.

मान लीजिए कि किसी n-आयामी सदिश समष्टि के किसी आधार पर सदिशों की दो रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणालियाँ दी गई हैं

और

अर्थात् वे इस स्थान के आधार भी हैं।

अगर - आधार में वेक्टर के निर्देशांक , फिर समन्वय कनेक्शन और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दिया गया है (हमने पिछले पैराग्राफ में इस बारे में बात की थी):

, जिसे मैट्रिक्स रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है

इसी प्रकार एक वेक्टर के लिए हम लिख सकते हैं

पिछली मैट्रिक्स समानताओं को एक में जोड़ा जा सकता है, जो अनिवार्य रूप से दो अलग-अलग आधारों के वैक्टरों के बीच संबंध को परिभाषित करता है

इसी प्रकार, हम सभी आधार वैक्टर को व्यक्त कर सकते हैं आधार के माध्यम से :

परिभाषा।

आव्यूह बुलाया आधार से संक्रमण मैट्रिक्स आधार तक , तो समानता सत्य है

इस समानता के दोनों पक्षों को दाईं ओर से गुणा करना

हम पाते हैं

आइए संक्रमण मैट्रिक्स खोजें, लेकिन हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने और मैट्रिक्स को गुणा करने पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे (लेख देखें और यदि आवश्यक हो):

दिए गए आधारों में वेक्टर x के निर्देशांक के बीच संबंध का पता लगाना बाकी है।

मान लीजिए कि वेक्टर x के आधार में निर्देशांक हैं

और आधार में वेक्टर x के निर्देशांक हैं

चूँकि अंतिम दो समानताओं के बाएँ पक्ष समान हैं, हम दाएँ पक्षों की बराबरी कर सकते हैं:

यदि हम दाहिनी ओर के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें

तो हम पाते हैं


दूसरी ओर

(व्युत्क्रम मैट्रिक्स स्वयं खोजें)।
अंतिम दो समानताएं हमें आधारों और में वेक्टर x के निर्देशांक के बीच आवश्यक संबंध प्रदान करती हैं।

उत्तर:

आधार से आधार में संक्रमण मैट्रिक्स का रूप होता है
;
आधारों में वेक्टर x के निर्देशांक और संबंधों द्वारा संबंधित हैं

या
.

हमने एक सदिश समष्टि के आयाम और आधार की अवधारणाओं की जांच की, एक सदिश को एक आधार में विघटित करना सीखा, और संक्रमण मैट्रिक्स के माध्यम से एन-आयामी सदिश समष्टि के विभिन्न आधारों के बीच संबंध की खोज की।

पी और ए- का भाग एल. अगर एस्वयं क्षेत्र के ऊपर एक रैखिक स्थान का निर्माण करता है पीके समान संचालन के संबंध में एल, वह एअंतरिक्ष का उपस्थान कहा जाता है एल.

रैखिक अंतरिक्ष की परिभाषा के अनुसार, तो एएक उप-स्थान था जिसमें व्यवहार्यता की जांच करना आवश्यक है एसंचालन:

1) :
;

2)
:
;

और जांचें कि परिचालन चालू है एआठ सिद्धांतों के अधीन हैं। हालाँकि, उत्तरार्द्ध निरर्थक होगा (इस तथ्य के कारण कि ये सिद्धांत एल में हैं), यानी। निम्नलिखित सत्य है

प्रमेय.मान लीजिए L एक क्षेत्र P पर एक रैखिक स्थान है
. एक समुच्चय A, L का उप-स्थान है यदि और केवल यदि निम्नलिखित आवश्यकताएँ पूरी होती हैं:

कथन।अगर एल – एन-आयामी रैखिक स्थान और एतो, इसका उपस्थान एयह भी एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान है और इसका आयाम इससे अधिक नहीं है एन.

पी उदाहरण 1। क्या खंड सदिश V 2 के स्थान का एक उपस्थान सभी समतल सदिशों का समुच्चय S है, जिनमें से प्रत्येक निर्देशांक अक्ष 0x या 0y में से किसी एक पर स्थित है?

समाधान: होने देना
,
और
,
. तब
. इसलिए S एक उपसमष्टि नहीं है .

उदाहरण 2.एक रैखिक स्थान का एक रैखिक उपस्थान है वी 2 कई समतल खंड सदिश हैं एससभी समतल सदिश जिनकी शुरुआत और अंत एक दी गई रेखा पर होते हैं एलयह विमान?

समाधान.

इ sli वेक्टर
वास्तविक संख्या से गुणा करें क, तो हमें वेक्टर मिलता है
, एस. इफ से भी संबंधित है और तो फिर, S से दो सदिश हैं
(एक सीधी रेखा पर सदिश जोड़ने के नियम के अनुसार)। इसलिए S एक उपसमष्टि है .

उदाहरण 3.एक रैखिक स्थान का एक रैखिक उपस्थान है वी 2 गुच्छा एसभी समतल सदिश जिनके सिरे एक दी गई रेखा पर स्थित हैं एल, (मान लें कि किसी भी वेक्टर की उत्पत्ति निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है)?

आर फ़ैसला।

ऐसे मामले में जहां सीधी रेखा एलसमुच्चय मूल बिन्दु से होकर नहीं गुजरता है एअंतरिक्ष का रैखिक उपस्थान वी 2 नहीं है, क्योंकि
.

ऐसे मामले में जहां सीधी रेखा एल मूल, समुच्चय से होकर गुजरता है एअंतरिक्ष का एक रैखिक उपस्थान है वी 2 , क्योंकि
और किसी भी वेक्टर को गुणा करते समय
एक वास्तविक संख्या के लिए α मैदान से आरहम पाते हैं
. इस प्रकार, एक सेट के लिए रैखिक स्थान की आवश्यकताएं एपुरा होना।

उदाहरण 4.मान लीजिए सदिशों की एक प्रणाली दी गई है
रैखिक स्थान से एलमैदान के ऊपर पी. सिद्ध कीजिए कि सभी संभावित रैखिक संयोजनों का समुच्चय
बाधाओं के साथ
से पीएक उपस्थान है एल(यह एक उपस्थान है एसदिशों की एक प्रणाली द्वारा उत्पन्न उपस्थान कहा जाता है या रैखिक खोल यह वेक्टर सिस्टम, और इस प्रकार दर्शाया गया है:
या
).

समाधान. वास्तव में, तब से, किसी भी तत्व के लिए एक्स, यएहमारे पास है:
,
, कहाँ
,
. तब

के बाद से
, इसीलिए
.

आइए जाँच करें कि क्या प्रमेय की दूसरी शर्त संतुष्ट है। अगर एक्स– कोई भी वेक्टर से एऔर टी– से कोई भी संख्या पी, वह । क्योंकि
और
,, वह
, , इसीलिए
. इस प्रकार, प्रमेय के अनुसार, समुच्चय ए- रैखिक स्थान का उपस्थान एल.

परिमित-आयामी रैखिक स्थानों के लिए इसका विपरीत भी सत्य है।

प्रमेय.कोई भी उपस्थान एरैखिक स्थान एलमैदान के ऊपर सदिशों की कुछ प्रणाली का रैखिक विस्तार है।

एक रैखिक कोश का आधार और आयाम ज्ञात करने की समस्या को हल करते समय, निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय.रैखिक शैल आधार
वेक्टर सिस्टम के आधार से मेल खाता है। रैखिक कोश का आयाम सदिशों की प्रणाली की रैंक के साथ मेल खाता है।

उदाहरण 4.उपस्थान का आधार और आयाम ज्ञात कीजिए
रैखिक स्थान आर 3 [ एक्स] , अगर
,
,
,
.

समाधान. यह ज्ञात है कि वैक्टर और उनकी समन्वय पंक्तियों (स्तंभों) में समान गुण होते हैं (रैखिक निर्भरता के संबंध में)। एक मैट्रिक्स बनाना ए=
सदिशों के निर्देशांक स्तंभों से
आधार में
.

आइए मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें ए.

. एम 3 =
.
.

इसलिए, रैंक आर(ए)= 3. तो, सदिशों की प्रणाली की रैंक 3 है। इसका मतलब है कि उप-स्थान S का आयाम 3 है, और इसके आधार में तीन सदिश शामिल हैं
(चूंकि मूल नाबालिग में
केवल इन सदिशों के निर्देशांक शामिल हैं)।

उदाहरण 5.सिद्ध कीजिए कि समुच्चय एचअंकगणितीय अंतरिक्ष वैक्टर
, जिसका पहला और अंतिम निर्देशांक 0 है, एक रैखिक उपसमष्टि का निर्माण करता है। इसका आधार एवं आयाम खोजें।

समाधान. होने देना
.

फिर , और . इस तरह,
किसी के लिए । अगर
,
, वह । इस प्रकार, रैखिक उपसमष्टि प्रमेय के अनुसार, समुच्चय एचअंतरिक्ष का एक रैखिक उपस्थान है। आइए आधार खोजें एच. निम्नलिखित सदिशों पर विचार करें एच:
,
, . सदिशों की यह प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वास्तव में, इसे रहने दो।