इस लेख में . के बारे में बुनियादी जानकारी है वास्तविक संख्या. सबसे पहले, वास्तविक संख्याओं की परिभाषा दी गई है और उदाहरण दिए गए हैं। निर्देशांक रेखा पर वास्तविक संख्याओं की स्थिति को आगे दिखाया गया है। और निष्कर्ष में, इसका विश्लेषण किया जाता है कि वास्तविक संख्याएँ संख्यात्मक व्यंजकों के रूप में कैसे दी जाती हैं।

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वास्तविक संख्याओं की परिभाषा और उदाहरण

व्यंजक के रूप में वास्तविक संख्याएँ

वास्तविक संख्याओं की परिभाषा से यह स्पष्ट है कि वास्तविक संख्याएँ हैं:

• कोई भी प्राकृतिक संख्या;
• कोई पूर्णांक;
• कोई भी साधारण अंश (सकारात्मक और नकारात्मक दोनों);
• कोई मिश्रित संख्या;
• कोई भी दशमलव अंश (धनात्मक, ऋणात्मक, परिमित, अनंत आवर्त, अनंत गैर-आवधिक)।

लेकिन बहुत बार वास्तविक संख्याओं को रूप आदि में देखा जा सकता है। इसके अलावा, वास्तविक संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल भी वास्तविक संख्याएँ हैं (देखें .) वास्तविक संख्याओं के साथ संचालन) उदाहरण के लिए, ये वास्तविक संख्याएँ हैं।

और यदि आप और आगे जाते हैं, तो अंकगणितीय चिह्नों, मूल चिह्नों, अंशों, लघुगणक, त्रिकोणमितीय फलनों आदि का प्रयोग करते हुए वास्तविक संख्याओं से। आप सभी प्रकार के संख्यात्मक भावों की रचना कर सकते हैं, जिनके मान भी वास्तविक संख्याएँ होंगे। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति मान और वास्तविक संख्याएँ हैं।

इस लेख के अंत में, हम ध्यान दें कि संख्या की अवधारणा के विस्तार में अगला कदम वास्तविक संख्याओं से में संक्रमण है जटिल आंकड़े.

ग्रंथ सूची।

• विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 8 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

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जूनियर हाई स्कूल की पुनरावृत्ति

अभिन्न

यौगिक

निकायों की मात्रा

क्रांति के ठोस

अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि

आयताकार समन्वय प्रणाली। वेक्टर निर्देशांक और बिंदु निर्देशांक के बीच संबंध। निर्देशांक में सबसे सरल समस्याएं। वैक्टर के स्केलर उत्पाद।

एक सिलेंडर की अवधारणा। एक सिलेंडर का सतह क्षेत्र। शंकु की अवधारणा।

एक शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल। गोला और गेंद। गोले का क्षेत्रफल। गोले और तल की पारस्परिक व्यवस्था।

मात्रा की अवधारणा। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आयतन। एक सीधे प्रिज्म का आयतन, बेलन। पिरामिड और शंकु का आयतन। गेंद की मात्रा।

खंड III। गणितीय विश्लेषण की शुरुआत

व्युत्पन्न। एक शक्ति समारोह का व्युत्पन्न। विभेदन नियम। कुछ प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न। व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

कार्यों के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोगबढ़ते और घटते कार्य। समारोह का चरम। रेखांकन की साजिश रचने के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा, सबसे छोटा मान।

प्राचीन। आदिम खोजने के नियम। एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज और अभिन्न का क्षेत्र। इंटीग्रल की गणना। इंटीग्रल का उपयोग कर क्षेत्रों की गणना।

परीक्षा के लिए प्रशिक्षण कार्य

खंड I. बीजगणित

संख्या एक अमूर्त है जिसका उपयोग वस्तुओं को मापने के लिए किया जाता है। आदिम समाज में वस्तुओं को गिनने के लिए लोगों की आवश्यकता के संबंध में संख्याएँ उत्पन्न हुईं। समय के साथ, विज्ञान के विकास के साथ, संख्या सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा बन गई है।

समस्याओं को हल करने और विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि संख्याएँ किस प्रकार की होती हैं। मुख्य प्रकार की संख्याओं में शामिल हैं: प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ।

प्राकृतिक संख्याएँ वस्तुओं की प्राकृतिक गिनती से प्राप्त संख्याएँ हैं, या बल्कि, उनकी संख्या ("पहला", "दूसरा", "तीसरा" ...) द्वारा प्राप्त की जाती हैं। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर N (आप अंग्रेजी शब्द प्राकृतिक के आधार पर याद कर सकते हैं) द्वारा निरूपित किया जाता है। हम कह सकते हैं कि एन =(1,2,3,....)

प्राकृत संख्याओं को शून्य और ऋणात्मक संख्याओं (अर्थात प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्या) के साथ पूरक करके, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांकों के समुच्चय तक विस्तारित किया जाता है।

पूर्णांक सेट (0, 1, -1, 2, -2, ....) से संख्याएं हैं। इस समुच्चय में तीन भाग होते हैं - प्राकृत संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) और संख्या 0 (शून्य)। पूर्णांकों को लैटिन अक्षर Z द्वारा निरूपित किया जाता है। हम कह सकते हैं कि Z=(1,2,3,....) परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है।

उदाहरण के लिए, ऐसी परिमेय संख्याएँ हैं जिन्हें परिमित दशमलव अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यदि, उदाहरण के लिए, आप प्रसिद्ध डिवीज़न कॉर्नर एल्गोरिथम का उपयोग करके एक संख्या को दशमलव अंश के रूप में लिखने का प्रयास करते हैं, तो आपको एक अनंत दशमलव अंश मिलता है। अनंत दशमलव कहलाता है नियत कालीन,दोहराव संख्या 3 - उसका अवधि।एक आवर्त भिन्न को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाता है: 0, (3); पढ़ता है: "शून्य पूर्णांक और आवर्त में तीन।"

सामान्य तौर पर, एक आवधिक अंश एक अनंत दशमलव अंश होता है, जिसमें एक निश्चित दशमलव स्थान से शुरू होकर, एक ही अंक या कई अंक दोहराए जाते हैं - अंश की अवधि।

उदाहरण के लिए, एक दशमलव 56 की अवधि के साथ आवधिक है; पढ़ता है "23 पूर्णांक, 14 सौवां और 56 अवधि में।"

अत: प्रत्येक परिमेय संख्या को अनंत आवर्त दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

विलोम कथन भी सत्य है: प्रत्येक अनंत आवधिक दशमलव अंश एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां एक पूर्णांक है, एक प्राकृतिक संख्या है।

वास्तविक (वास्तविक) संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग निरंतर मात्राओं को मापने के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर R द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो परिमेय संख्याओं पर विभिन्न संक्रियाएँ करके प्राप्त की जाती हैं (उदाहरण के लिए, एक मूल निकालना, लघुगणक की गणना करना), लेकिन एक ही समय में परिमेय नहीं हैं। अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

किसी भी वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है:

ऊपर सूचीबद्ध संख्याओं के समुच्चय के लिए, निम्नलिखित कथन सत्य है: प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांकों के समुच्चय में शामिल किया जाता है, पूर्णांकों के समुच्चय को परिमेय संख्याओं के समुच्चय में शामिल किया जाता है, और परिमेय संख्याओं के समुच्चय को इसमें शामिल किया जाता है। वास्तविक संख्याओं का समूह। इस कथन को यूलर सर्कल का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है।

आत्म-समाधान के लिए व्यायाम

यदि संख्या α को एक अपरिमेय अंश $$\frac(p)(q)$$ के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, तो इसे अपरिमेय कहा जाता है।
एक अपरिमेय संख्या को अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है।

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व के तथ्य को एक उदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया जाएगा।
उदाहरण 1.4.1।सिद्ध कीजिए कि ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसका वर्ग 2 हो।
फेसला।मान लीजिए कि एक अपरिवर्तनीय अंश मौजूद है $$\frac(p)(q)$$ जैसे कि $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
या $$p^(2)=2q^(2)$$। यह इस प्रकार है कि $$p^(2)$$ 2 का गुणज है, और इसलिए p 2 का गुणज है। अन्यथा, यदि p 2 से विभाज्य नहीं है, अर्थात, $$p=2k-1$$, फिर $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ 2 से भी विभाज्य नहीं है। इसलिए, $ $p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ राइटएरो$$ $$q^(2)=2k^(2)$$।
चूँकि $$q^(2)$$ 2 का गुणज है, तो q भी 2 का गुणज है, अर्थात। $$q=2m$$।
तो, संख्या p और q का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है - संख्या 2, जिसका अर्थ है कि अंश $$\frac(p)(q)$$ कम हो गया है।
इस विरोधाभास का अर्थ है कि की गई धारणा असत्य है, इस प्रकार कथन सिद्ध होता है।
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को वास्तविक संख्याओं का समुच्चय कहते हैं।
वास्तविक संख्याओं के सेट में, जोड़ और गुणा के संचालन को स्वयंसिद्ध रूप से पेश किया जाता है: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b को संख्या $$a+b$$ और उत्पाद $$a\cdot b$$ असाइन किया जाता है।
इसके अलावा, इस सेट में "से बड़ा", "से कम" और समानता के संबंध पेश किए गए हैं:
$$a>b$$ यदि और केवल यदि a - b एक धनात्मक संख्या है;
$$ए ए = बी अगर और केवल अगर ए - बी = 0।
आइए संख्यात्मक असमानताओं के मुख्य गुणों की सूची बनाएं।
1. अगर $$a>b$$ और $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$।
2. अगर $$a>b$$ और $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$।
3. यदि $$a>b$$ और $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac4. यदि $$a>b$$ और c कोई भी संख्या $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+c$$ है।
5. यदि a, b, c, d धनात्मक संख्याएँ हैं जैसे $$a>b$$ और $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$।
परिणाम। यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं और $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$।
6. अगर $$a>b$$ और $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$।
7. अगर $$a>0$$, $$b>0$$ और $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.

वास्तविक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या।
आइए एक सीधी रेखा लें मैं, अंजीर देखें। 1.4.1, और उस पर एक बिंदु 0 तय करें - मूल।
बिंदु O रेखा को दो भागों में विभाजित करता है - किरणें। दायीं ओर निर्देशित किरण धनात्मक किरण कहलाती है, और बायीं ओर निर्देशित किरण ऋणात्मक किरण कहलाती है। सीधी रेखा पर, हम लंबाई की एक इकाई के रूप में लिए गए खंड को चिह्नित करते हैं, अर्थात। पैमाना दर्ज करें।

चावल। 1.4.1. वास्तविक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या।

चयनित मूल, धनात्मक दिशा और पैमाने वाली एक सीधी रेखा को संख्या रेखा कहा जाता है।
निम्नलिखित नियम के अनुसार संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु को वास्तविक संख्या से जोड़ा जा सकता है:

- बिंदु O को शून्य दिया जाएगा;
- धनात्मक किरण पर प्रत्येक बिंदु N को एक धनात्मक संख्या a निर्दिष्ट किया जाता है, जहाँ a खंड की लंबाई ON है;
- ऋणात्मक किरण पर प्रत्येक बिंदु M को एक ऋणात्मक संख्या b नियत की जाती है, जहाँ $$b=-\left | OM \right |$$ (ऋण चिह्न के साथ लिया गया खंड OM की लंबाई)।
इस प्रकार, वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं के समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित होता है, अर्थात्। :
1) संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु को एक और केवल एक वास्तविक संख्या दी गई है;
2) अलग-अलग अंक अलग-अलग नंबर दिए गए हैं;
3) ऐसी कोई भी वास्तविक संख्या नहीं है जो संख्या रेखा के किसी भी बिंदु से मेल न खाती हो।

उदाहरण 1.4.2।संख्या रेखा पर संख्याओं के संगत बिन्दुओं को अंकित कीजिए।
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
फेसला। 1) भिन्नात्मक संख्या $$\frac(12)(7)$$ को चिह्नित करने के लिए, आपको $$\frac(12)(7)$$ के अनुरूप एक बिंदु बनाने की आवश्यकता है।
ऐसा करने के लिए, आपको लंबाई 1 के एक खंड को 7 बराबर भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है। हम इस समस्या को इस तरह से हल करते हैं।
हम t.O से एक मनमाना किरण खींचते हैं और इस किरण पर 7 बराबर खंड अलग करते हैं। पाना
खंड OA, और बिंदु A से हम 1 के साथ प्रतिच्छेदन के लिए एक सीधी रेखा खींचते हैं।

चावल। 1.4.2. एक खंड का 7 बराबर भागों में विभाजन।

निर्धारित खंडों के सिरों के माध्यम से सीधी रेखा A1 के समानांतर खींची गई सीधी रेखाएं इकाई लंबाई के खंड को 7 बराबर भागों में विभाजित करती हैं (चित्र 1.4.2)। इससे $$1\frac(5)(7)$$ (चित्र 1.4.3) संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु का निर्माण संभव हो जाता है।

चावल। 1.4.3. संख्या अक्ष पर एक बिंदु संख्या $$1\frac(5)(7)$$ के अनुरूप।

2) संख्या $$\sqrt(2)$$ इस तरह प्राप्त की जा सकती है। हम इकाई पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। तब कर्ण की लंबाई है $$\sqrt(2)$$; यह खंड O से संख्या रेखा पर अलग रखा गया है (चित्र 1.4.4)।
3) $$\sqrt(3)$$ (दाईं ओर) की दूरी पर PO से एक बिंदु रिमोट बनाने के लिए, लंबाई 1 और $$\sqrt(2) के पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाना आवश्यक है। $$। फिर इसके कर्ण की लंबाई $$\sqrt(2)$$ है, जो आपको वास्तविक अक्ष पर वांछित बिंदु निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है।
वास्तविक संख्याओं के लिए, एक मॉड्यूल (या निरपेक्ष मान) की अवधारणा को परिभाषित किया गया है।

चावल। 1.4.4. संख्या $$\sqrt(2)$$ के अनुरूप संख्या अक्ष पर बिंदु।

वास्तविक संख्या a का मापांक कहलाता है:
संख्या ही है, अगर एएक सकारात्मक संख्या है;
- शून्य अगर ए- शून्य;
– -ए, अगर ए- एक नकारात्मक संख्या।
किसी संख्या का निरपेक्ष मान ए$$\बाएं | . द्वारा निरूपित एक \ सही | $$।
मॉड्यूल की परिभाषा (या निरपेक्ष मान) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\बाएं | ए \राइट |=\बाएं\(\begin(मैट्रिक्स)ए, ए\geq0\\-ए, ए<0\end{matrix}\right.$$

(1.4.1)

ज्यामितीय रूप से, संख्या के मॉड्यूल का अर्थ है संख्या रेखा पर मूल O से संख्या के संगत बिंदु तक की दूरी ए.
हम मॉड्यूल के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं।
1. किसी भी संख्या के लिए एसमानता $$\बाएं | एक \दाएं |=\बाएं | -ए \ सही | $$।
2. किसी भी संख्या के लिए एऔर बीसमानताएं सत्य हैं

$$\बाएं | एबी \दाएं |=\बाएं | एक \दाएं |\cdot \बाएं | बी \ सही | $$; $$\बाएं | \frac(a)(b) \right |=\frac(\left | a \right |)(\left | b \right |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\बाएं | a \right |^(2)=a^(2)$$।

3. किसी भी संख्या के लिए एअसमानता $$\बाएं | एक \ सही |\geq 0$$।
4. किसी भी संख्या के लिए एअसमानता $$-\बाएं | a\दाएं |\leq a\leq \बाएं | एक \ सही | $$।
5. किसी भी संख्या के लिए एऔर बीअसमानता

$$\बाएं | ए+बी \दाएं |\leq \बाएं | ए \दाएं |+\बाएं | बी \दाएं |$$

निम्नलिखित संख्यात्मक सेटों पर विचार करें।
अगर $$a 1) एक खंड सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है α जिनमें से प्रत्येक के लिए निम्नलिखित सत्य है: $$a\leq \alpha \leq b$$;
2) अंतराल (ए; बी) सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है α , जिनमें से प्रत्येक सत्य है: $$a<\alpha 3) एक अर्ध-अंतराल (a; b] सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है α जिनमें से प्रत्येक के लिए सत्य है: $$a<\alpha \leq b$$.
इसी तरह, आप आधे अंतराल में प्रवेश कर सकते हैं।
कुछ मामलों में, कोई "अंतराल" की बात करता है, जिसका अर्थ है या तो एक किरण, या एक खंड, या एक अंतराल, या आधा अंतराल।

गुच्छा आरसभी वास्तविक संख्याओं को निम्नानुसार दर्शाया गया है: $$(-\infty; \infty)$$।
किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, हम एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं एन, अर्थात्

$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ और $$a^(1)=a$$।

रहने दो एकोई गैर-शून्य संख्या है, तो परिभाषा के अनुसार $$a^(0)=1$$।
शून्य की शून्य शक्ति परिभाषित नहीं है।
रहने दो ए- कोई भी गैर-शून्य संख्या, एमकोई पूर्णांक है। फिर संख्या $$a^(m)$$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है:

$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\right.$$

जिसमें हूँपूर्णांक घातांक वाली घात कहलाती है।

एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करने से पहले, हम एक अंकगणितीय मूल की अवधारणा का परिचय देते हैं।
अंकगणित मूल डिग्री एन (एन नहीं, एन > 2) गैर-ऋणात्मक संख्या एएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहा जाता है बीऐसा है कि बी एन = ए. संख्या बी$$b\sqrt[n](a)$$ के रूप में दर्शाया गया है।
अंकगणितीय जड़ों के गुण ( ए > 0, बी > 0, एन, एम, के- पूर्णांक।)

1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$	5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$
2. $$(ए)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$	6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$
3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$	7. $$\sqrt(a^(2))=\बाएं | एक \सही |$$
4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$	8. $$\sqrt(a^(2n))=\बाएं | एक \सही |$$

रहने दो ए< 0 , ए एन 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है। यदि एनएक सम संख्या है, तो समानता बी एन = एकिसी भी वास्तविक मूल्य के लिए धारण नहीं करता है बी. इसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में ऋणात्मक संख्या से सम अंश का मूल ज्ञात करना असंभव है। अगर एनएक विषम संख्या है, तो केवल एक वास्तविक संख्या होती है बीऐसा है कि बी एन = ए. इस संख्या को n a से दर्शाया जाता है और इसे ऋणात्मक संख्या का विषम मूल कहते हैं।
एक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाने की परिभाषा और एक अंकगणितीय मूल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा देते हैं।
रहने दो एएक धनात्मक संख्या है और $$r=\frac(p)(q)$$ एक परिमेय संख्या है, और क्यू- प्राकृतिक संख्या।

सकारात्मक संख्या

$$b=\sqrt[q](a^(p))$$

घातांक r के साथ a की घात कहलाती है और इसे के रूप में दर्शाया जाता है

$$b=a^(r)$$, या $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, यहां $$q\in N $$, $$q\geq2$$।

एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के मूल गुणों पर विचार करें।

रहने दो एऔर बीकोई धनात्मक संख्याएँ हैं, r 1 और r 2 कोई परिमेय संख्याएँ हैं। तब निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$
2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$
3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$
4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$
5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$	(1.4.2)
6. $$a^(0)=1$$
7. अगर $$a>1$$ और $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$
8. अगर $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\दायां तीर 0< a^{r_{1}}< 1$$
9. अगर $$a>1$$ और $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$
10. यदि $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$

किसी भी वास्तविक घातांक के लिए एक सकारात्मक संख्या की डिग्री की अवधारणा को सामान्यीकृत किया जाता है α .
वास्तविक घातांक के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात ज्ञात करना α .

1. अगर $$\alpha > 0$$ और

1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$

2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, जहां पीऔर क्यू- प्राकृतिक संख्या $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$

3) α एक अपरिमेय संख्या है, तो

ए) यदि ए> 1, तो एक α- संख्या r i से बड़ी और से कम एक आर को, कहाँ पे मैं α नुकसान के साथ आरके- किसी संख्या का कोई तर्कसंगत सन्निकटन α अधिक मात्रा में;
बी) अगर 0< ए< 1, то एक α- से बड़ी संख्या एक आर कोऔर इससे कम एक आर मैं;
सी) अगर ए= 1, फिर एक α = 1।

2. अगर $$\alpha=0$$, तो एक α = 1।

3. अगर $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.

संख्या एक αडिग्री कहा जाता है, संख्या ए डिग्री का आधार है, संख्या α - प्रतिपादक।
वास्तविक घातांक वाली धनात्मक संख्या की घात में परिमेय घातांक वाली घात के समान गुण होते हैं।

उदाहरण 1.4.3।$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$ की गणना करें।

फेसला।आइए रूट प्रॉपर्टी का उपयोग करें:

$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$

जवाब। 6.

उदाहरण 1.4.4।$$6.25^(1.5)-2.25^(1.5)$$ . की गणना करें

1) 4

2) 8

3) 8,25

4) 12,25

लेकिन क्या ये भिन्न हमेशा आवधिक होते हैं? इस प्रश्न का उत्तर नकारात्मक है: ऐसे खंड हैं जिनकी लंबाई एक अनंत आवधिक अंश (अर्थात, एक सकारात्मक परिमेय संख्या) द्वारा लंबाई की चुनी गई इकाई के साथ व्यक्त नहीं की जा सकती है। यह गणित में सबसे महत्वपूर्ण खोज थी, जिससे यह पता चला कि परिमेय संख्याएँ खंडों की लंबाई को मापने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

यदि लंबाई का मात्रक एक वर्ग की भुजा की लंबाई है, तो इस वर्ग के विकर्ण की लंबाई को धनात्मक परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

इस कथन से यह पता चलता है कि ऐसे खंड हैं जिनकी लंबाई को धनात्मक संख्या (लंबाई की चुनी हुई इकाई के साथ) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, या, दूसरे शब्दों में, अनंत आवधिक अंश के रूप में लिखा जा सकता है। इसका मतलब है कि खंडों की लंबाई को मापने से प्राप्त अनंत दशमलव अंश गैर-आवधिक हो सकते हैं।

यह माना जाता है कि अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश नई संख्याओं का रिकॉर्ड हैं - सकारात्मक अपरिमेय संख्याएँ।चूँकि किसी संख्या की अवधारणा और उसके अंकन को अक्सर पहचाना जाता है, वे कहते हैं कि अनंत आवधिक दशमलव अंश धनात्मक अपरिमेय संख्याएँ हैं।

धनात्मक अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक J+ द्वारा दर्शाया जाता है।

संख्याओं के दो समुच्चयों का मिलन: धनात्मक परिमेय और धनात्मक अपरिमेय, धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक R+ द्वारा निरूपित किया जाता है।

किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश द्वारा दर्शाया जा सकता है - आवधिक (यदि यह तर्कसंगत है) या गैर-आवधिक (यदि यह तर्कहीन है)।

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर क्रियाएँ धनात्मक परिमेय संख्याओं पर क्रियाओं में सिमट जाती हैं। इस संबंध में, प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए, इसके अनुमानित मूल्यों को कमी और अधिकता के संदर्भ में पेश किया जाता है।

मान लीजिए कि दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं एऔर बी, एकऔर अरब- कमी के संदर्भ में उनके सन्निकटन के अनुसार, आनीऔर बनीउनके सन्निकटन अधिक हैं।

वास्तविक संख्याओं का योग एऔर बी ए+ बी एनअसमानता को संतुष्ट करता है एक+ अरब ≤ ए + बी< a¢n + बिन।

वास्तविक संख्याओं का गुणनफल एऔर बीऐसी वास्तविक संख्या कहलाती है ए× बी, जो किसी भी प्राकृतिक . के लिए एनअसमानता को संतुष्ट करता है एक× अरब ≤ ए बी × बिन।

सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का अंतर एऔर बीऐसी वास्तविक संख्या कहलाती है साथ, क्या ए= बी + सी।

सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का भागफल एऔर बीऐसी वास्तविक संख्या कहलाती है साथ, क्या ए= बी × एस।

धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और शून्य से मिलन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R होता है।

वास्तविक संख्याओं और उन पर संचालन की तुलना स्कूल गणित पाठ्यक्रम से ज्ञात नियमों के अनुसार की जाती है।

समस्या 60. 0.333… + 1.57079… के योग के पहले तीन दशमलव स्थान ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए चार दशमलव स्थानों वाले पदों के दशमलव सन्निकटन लें:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

जोड़ें: 1.9040 0.333… + 1.57079…< 1,9042.

इसलिए, 0.333… + 1.57079…= 1.904…

कार्य 61.गुणनफल के पहले दो दशमलव स्थानों को खोजें एक एक्स बी, अगर ए= 1.703604… और बी = 2,04537…

फेसला।हम इन संख्याओं के दशमलव सन्निकटन को तीन दशमलव स्थानों के साथ लेते हैं:

1,703 < ए <1,704 и 2,045 < बी < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1.703 × 2.045 एक एक्स बी < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ अब < 3,486.

इस प्रकार, एक एक्स बी= 3,48…

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. अपरिमेय संख्या = 3.1415 ... के दशमलव सन्निकटन को सटीकता के साथ कमी और अधिकता के संदर्भ में लिखें:

क) 0.1; बी) 0.01; ग) 0.001।

2. योग के प्रथम तीन दशमलव स्थान ज्ञात कीजिए ए+ बी, अगर:

ए) ए = 2,34871…, बी= 5.63724…; बी) ए = , बी= ; में) ए = ; बी=; जी) ए = ; बी = .