जटिल व्युत्पन्न उदाहरण ढूँढना। एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का प्रमाण

यदि हम परिभाषा का पालन करते हैं, तो एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के वृद्धि अनुपात की सीमा है आपतर्क की वृद्धि के लिए एक्स:

ऐसा लगता है कि सब कुछ स्पष्ट हो गया है। लेकिन इस सूत्र द्वारा गणना करने का प्रयास करें, मान लीजिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+ 3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप परिभाषा के अनुसार सब कुछ करते हैं, तो गणना के कुछ पन्नों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।

आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि तथाकथित प्राथमिक कार्यों को विभिन्न प्रकार के कार्यों से अलग किया जा सकता है। ये अपेक्षाकृत सरल भाव हैं, जिनके डेरिवेटिव की गणना लंबे समय से की गई है और उन्हें तालिका में दर्ज किया गया है। इस तरह के कार्यों को उनके डेरिवेटिव के साथ याद रखना काफी आसान है।

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

प्राथमिक कार्य नीचे सूचीबद्ध सब कुछ हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्न को दिल से जाना जाना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद करना मुश्किल नहीं है - इसलिए वे प्राथमिक हैं।

तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:

नाम	समारोह	यौगिक
नियत	एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर	0 (हाँ, हाँ, शून्य!)
तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री	एफ(एक्स) = एक्स एन	एन · एक्स एन − 1
साइनस	एफ(एक्स) = पाप एक्स	क्योंकि एक्स
कोज्या	एफ(एक्स) = कोस एक्स	- पाप एक्स(माइनस साइन)
स्पर्शरेखा	एफ(एक्स) = टीजी एक्स	1/कोस 2 एक्स
कोटैंजेंट	एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स	- 1/पाप2 एक्स
प्राकृतिक	एफ(एक्स) = लॉग एक्स	1/एक्स
मनमाना लघुगणक	एफ(एक्स) = लॉग एक एक्स	1/(एक्सएलएन एक)
घातांक प्रकार्य	एफ(एक्स) = इ एक्स	इ एक्स(कुछ नहीं बदला)

यदि एक प्राथमिक फलन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फलन का व्युत्पन्न भी आसानी से परिकलित किया जाता है:

(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.

सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए:

(2एक्स 3)' = 2 ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .

जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है, और बहुत कुछ। इस तरह से नए कार्य दिखाई देंगे, जो अब बहुत प्राथमिक नहीं हैं, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार अलग-अलग भी हैं। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।

योग और अंतर का व्युत्पन्न

कार्यों को करने दें एफ(एक्स) तथा जी(एक्स), जिनके डेरिवेटिव हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। तब आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

(एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
(एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.

कड़ाई से बोलते हुए, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की अवधारणा है। इसलिए, अंतर एफ − जीयोग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र शेष रहता है - योग का व्युत्पन्न।

एफ(एक्स) = एक्स 2 + सिनक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 2+ पाप एक्स)’ = (एक्स 2)'+ (पाप .) एक्स)’ = 2एक्स+ कॉक्स;

हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क देते हैं जी(एक्स) केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):

जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ कॉक्स;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न धरना"\u003e डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन आपके लिए अंजीर! उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:

(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’

सूत्र सरल है, लेकिन अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।

एक कार्य। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 कॉक्स; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स .

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का एक उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' कोस एक्स + एक्स 3 (कोस एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (-sin एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)

समारोह जी(एक्स) पहला गुणक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजना इससे नहीं बदलती है। जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला गुणक जी(एक्स) एक बहुपद है, और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स- 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स- 7) ( इ एक्स)’ = (2एक्स+ 7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स = इ एक्स(2 .) एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+ 9) · इ एक्स .

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+ 9) · इ एक्स .

ध्यान दें कि अंतिम चरण में, व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, यह आवश्यक नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन का पता लगाने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो जाएगा, इसके संकेत मिल जाएंगे, और इसी तरह। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करना बेहतर है।

यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) तथा जी(एक्स), तथा जी(एक्स) 0 हमारे लिए रुचि के सेट पर, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स) ऐसे फ़ंक्शन के लिए, आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:

कमजोर नहीं, है ना? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? लेकिन इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।

एक कार्य। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

प्रत्येक अंश के अंश और हर में प्राथमिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें केवल भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की आवश्यकता होती है:

परंपरा से, हम अंश को कारकों में विभाजित करते हैं - यह उत्तर को बहुत सरल करेगा:

एक जटिल फलन जरूरी नहीं कि आधा किलोमीटर लंबा एक सूत्र हो। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर चर बदलें एक्स, कहना, पर एक्स 2+एलएन एक्स. यह पता चला है एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एलएन एक्स) एक जटिल कार्य है। उसके पास एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन यह ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इसे खोजने के लिए काम नहीं करेगा।

हो कैसे? ऐसे मामलों में, एक चर के प्रतिस्थापन और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र मदद करता है:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', यदि एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).

एक नियम के रूप में, इस सूत्र की समझ के साथ स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, प्रत्येक चरण के विस्तृत विवरण के साथ, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसकी व्याख्या करना भी बेहतर है।

एक कार्य। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एलएन एक्स)

ध्यान दें कि यदि समारोह में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 . के बजाय एक्स+3 आसान हो जाएगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: मान लीजिए 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र द्वारा एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’

और अब - ध्यान! एक रिवर्स प्रतिस्थापन करना: टी = 2एक्स+ 3. हमें मिलता है:

एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+ 3 (2 .) एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3

अब फंक्शन को देखते हैं जी(एक्स) जाहिर है प्रतिस्थापित करने की जरूरत है। एक्स 2+एलएन एक्स = टी. हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी' = (पाप टी)’ · टी' = कोस टी · टी ’

रिवर्स रिप्लेसमेंट: टी = एक्स 2+एलएन एक्स. फिर:

जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स) · ( एक्स 2+एलएन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स) · (2 .) एक्स + 1/एक्स).

बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या को योग के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए कम कर दिया गया है।

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2 इ 2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स).

बहुत बार मेरे पाठों में, "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय, मैं "स्ट्रोक" शब्द का उपयोग करता हूं। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर है। क्या यह स्पष्ट है? यह अच्छी बात है।

इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इन बहुत स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए व्युत्पन्न की गणना नीचे आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक परिमेय घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर लौटते हैं:

(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1

कम ही लोग जानते हैं कि भूमिका में एनएक भिन्नात्मक संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. लेकिन क्या होगा अगर जड़ के नीचे कुछ मुश्किल है? फिर से, एक जटिल कार्य होगा - वे परीक्षण और परीक्षा में ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं।

एक कार्य। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

सबसे पहले, आइए रूट को एक परिमेय घातांक के साथ एक घात के रूप में फिर से लिखें:

एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .

अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: let एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र द्वारा व्युत्पन्न पाते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' टी' = 0.5 टी-0.5 टी ’.

हम एक रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं: टी = एक्स 2 + 8एक्स- 7. हमारे पास है:

एफ ’(एक्स) = 0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स- 7) -0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स- 7)' = 0.5 (2 .) एक्स+ 8) ( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .

अंत में, वापस जड़ों की ओर:

प्रारंभिक तोपखाने की तैयारी के बाद, कार्यों के 3-4-5 संलग्नक वाले उदाहरण कम डरावने होंगे। शायद निम्नलिखित दो उदाहरण कुछ के लिए जटिल प्रतीत होंगे, लेकिन अगर उन्हें समझा जाता है (किसी को पीड़ा होती है), तो अंतर कलन में लगभग बाकी सब कुछ एक बच्चे के मजाक की तरह लगेगा।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने पर, सबसे पहले, यह आवश्यक है सहीनिवेश को समझें। उन मामलों में जहां संदेह हैं, मैं आपको एक उपयोगी चाल की याद दिलाता हूं: उदाहरण के लिए, हम प्रयोगात्मक मान "x" लेते हैं, और इस मान को "भयानक अभिव्यक्ति" में बदलने के लिए (मानसिक रूप से या मसौदे पर) प्रयास करते हैं।

1) सबसे पहले हमें अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है, इसलिए योग सबसे गहरा घोंसला है।

2) फिर आपको लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है:

4) फिर कोसाइन को घन करें:

5) पांचवें चरण में, अंतर:

6) और अंत में, सबसे बाहरी कार्य वर्गमूल है:

कॉम्प्लेक्स फंक्शन डिफरेंशियल फॉर्मूला सबसे बाहरी फ़ंक्शन से अंतरतम तक उल्टे क्रम में लागू होते हैं। हमने निर्णय किया:

त्रुटि रहित लगता है:

1) हम वर्गमूल का अवकलज लेते हैं।

2) हम नियम का उपयोग करके अंतर का व्युत्पन्न लेते हैं

3) ट्रिपल का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। दूसरे पद में, हम घात (घन) का अवकलज लेते हैं।

4) हम कोज्या का अवकलज लेते हैं।

6) और अंत में, हम सबसे गहरे घोंसले का व्युत्पन्न लेते हैं।

यह बहुत कठिन लग सकता है, लेकिन यह सबसे क्रूर उदाहरण नहीं है। उदाहरण के लिए, कुज़नेत्सोव के संग्रह को लें और आप विश्लेषण किए गए व्युत्पन्न के सभी आकर्षण और सादगी की सराहना करेंगे। मैंने देखा कि वे यह जांचने के लिए परीक्षा में एक समान चीज देना पसंद करते हैं कि क्या छात्र समझता है कि एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को कैसे खोजना है, या समझ में नहीं आता है।

निम्नलिखित उदाहरण एक स्टैंडअलोन समाधान के लिए है।

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

संकेत: पहले हम रैखिकता के नियम और उत्पाद के विभेदन के नियम को लागू करते हैं

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

यह कुछ अधिक कॉम्पैक्ट और सुंदर करने के लिए आगे बढ़ने का समय है।
यह ऐसी स्थिति के लिए असामान्य नहीं है जहां एक उदाहरण में दो नहीं, बल्कि तीन कार्यों का गुणनफल दिया गया हो। तीन कारकों के उत्पाद के व्युत्पन्न को कैसे खोजें?

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

सबसे पहले, हम देखते हैं, लेकिन क्या तीन कार्यों के उत्पाद को दो कार्यों के उत्पाद में बदलना संभव है? उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास उत्पाद में दो बहुपद हैं, तो हम कोष्ठक खोल सकते हैं। लेकिन इस उदाहरण में, सभी कार्य भिन्न हैं: डिग्री, घातांक और लघुगणक।

ऐसे मामलों में, यह आवश्यक है क्रमिकउत्पाद विभेदन नियम लागू करें दो बार

चाल यह है कि "y" के लिए हम दो कार्यों के उत्पाद को निरूपित करते हैं: , और "ve" के लिए - लघुगणक:। ऐसा क्यों किया जा सकता है? यह है - यह दो कारकों का गुणनफल नहीं है और नियम काम नहीं करता है?! कुछ भी जटिल नहीं है:

अब दूसरी बार नियम लागू करना बाकी है ब्रैकेट के लिए:

आप अभी भी विकृत कर सकते हैं और कोष्ठक से कुछ निकाल सकते हैं, लेकिन इस मामले में उत्तर को इस रूप में छोड़ना बेहतर है - इसे जांचना आसान होगा।

उपरोक्त उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है:

दोनों समाधान बिल्कुल समकक्ष हैं।

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, नमूने में इसे पहले तरीके से हल किया जाता है।

भिन्नों के साथ समान उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप कई तरीकों से जा सकते हैं:

या इस तरह:

लेकिन हल को अधिक सघनता से लिखा जा सकता है यदि, सबसे पहले, हम भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करते हैं , पूरे अंश के लिए लेना:

सिद्धांत रूप में, उदाहरण हल हो गया है, और यदि इसे इस रूप में छोड़ दिया जाता है, तो यह कोई गलती नहीं होगी। लेकिन अगर आपके पास समय है, तो हमेशा मसौदे की जांच करने की सलाह दी जाती है, लेकिन क्या उत्तर को सरल बनाना संभव है?

हम अंश के व्यंजक को एक सामान्य हर में लाते हैं और तीन-मंजिला भिन्न से छुटकारा पाते हैं:

अतिरिक्त सरलीकरण का नुकसान यह है कि व्युत्पन्न खोजने पर गलती करने का जोखिम नहीं होता है, लेकिन जब सामान्य स्कूल परिवर्तन होता है। दूसरी ओर, शिक्षक अक्सर कार्य को अस्वीकार कर देते हैं और व्युत्पन्न को "इसे ध्यान में रखने" के लिए कहते हैं।

स्वयं करें समाधान के लिए एक सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम व्युत्पन्न खोजने के लिए तकनीकों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं, और अब हम एक विशिष्ट मामले पर विचार करेंगे जब भेदभाव के लिए "भयानक" लघुगणक प्रस्तावित है

व्युत्पन्न और इसकी गणना के तरीकों के बारे में ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज के लेख को इस मौलिक विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह होने दें एफ (एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए, बी) . बिंदु x और x0 इसी अंतराल के हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - इसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा जाता है डेल्टा x और तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? पर कौनसा:

किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा और दिए गए बिंदु पर फलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: पथ का समय व्युत्पन्न सरल रेखीय गति की गति के बराबर होता है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं कि गति एक निजी रास्ता है। एक्स = एफ (टी) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

एक बार में गति की गति का पता लगाने के लिए t0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: स्थिरांक निकालें

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए। गणित में उदाहरण हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप व्यंजक को सरल बना सकते हैं, तो सरल करना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान:

यहां जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पांचवीं शक्ति के लिए 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर नुकसान होते हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन नियंत्रण को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।

किसी जटिल फलन के अवकलज के सूत्र का प्रमाण दिया गया है। जिन मामलों में एक जटिल कार्य एक या दो चर पर निर्भर करता है, उन पर विस्तार से विचार किया जाता है। चरों की मनमानी संख्या के मामले में एक सामान्यीकरण किया जाता है।

विषय

यह सभी देखें: एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करने के उदाहरण

मूल सूत्र

यहां हम एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए निम्नलिखित सूत्रों की व्युत्पत्ति प्रस्तुत करते हैं।
तो अगर
.
तो अगर
.
तो अगर
.

एक चर के एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

मान लीजिए कि एक चर x के एक फलन को निम्नलिखित रूप में एक जटिल फलन के रूप में दर्शाया जाता है:
,
जहां और कुछ कार्य हैं। चर x के कुछ मान के लिए फलन अवकलनीय है। फ़ंक्शन चर के मान के लिए अवकलनीय है।
तब जटिल (समग्र) फ़ंक्शन बिंदु x पर अवकलनीय होता है और इसका व्युत्पन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(1) .

सूत्र (1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
;
.

सबूत

आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें।
;
.
यहां चर का एक कार्य है और चर का एक कार्य है और। लेकिन हम इन कार्यों के तर्कों को छोड़ देंगे ताकि गणनाओं को अव्यवस्थित न करें।

चूँकि फलन और बिंदु x और , पर अवकलनीय हैं, तो इन बिंदुओं पर इन फलनों के अवकलज हैं, जो निम्नलिखित सीमाएँ हैं:
;
.

निम्नलिखित फ़ंक्शन पर विचार करें:
.
चर u के एक निश्चित मान के लिए, का एक फलन है। जाहिर सी बात है
.
फिर
.

चूँकि फलन बिंदु पर अवकलनीय फलन है, तो यह उस बिंदु पर सतत होता है। इसीलिए
.
फिर
.

अब हम व्युत्पन्न पाते हैं।

.

सूत्र सिद्ध हुआ है।

परिणाम

यदि चर x के किसी फलन को किसी सम्मिश्र फलन के सम्मिश्र फलन के रूप में निरूपित किया जा सकता है
,
तब इसका व्युत्पन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
.
यहां, और कुछ अलग-अलग कार्य हैं।

इस सूत्र को सिद्ध करने के लिए, हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम के अनुसार क्रमिक रूप से अवकलज की गणना करते हैं।
एक जटिल कार्य पर विचार करें
.
इसका व्युत्पन्न
.
मूल कार्य पर विचार करें
.
इसका व्युत्पन्न
.

दो चरों में एक जटिल फलन का व्युत्पन्न

अब एक जटिल फलन को कई चरों पर निर्भर होने दें। पहले विचार करें दो चर के एक जटिल कार्य का मामला.

मान लें कि चर x के आधार पर फलन को निम्नलिखित रूप में दो चरों के सम्मिश्र फलन के रूप में निरूपित किया जाता है:
,
कहाँ पे
और चर x के कुछ मान के लिए अवकलनीय फलन हैं;
बिंदु पर अवकलनीय दो चरों का एक फलन है। फिर जटिल कार्य को बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया जाता है और इसका एक व्युत्पन्न होता है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(2) .

सबूत

चूंकि कार्य और बिंदु पर अलग-अलग हैं, वे इस बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित हैं, बिंदु पर निरंतर हैं, और बिंदु पर उनके डेरिवेटिव मौजूद हैं, जो निम्नलिखित सीमाएं हैं:
;
.
यहां
;
.
एक बिंदु पर इन कार्यों की निरंतरता के कारण, हमारे पास है:
;
.

चूंकि फ़ंक्शन बिंदु पर अलग-अलग है, इसे इस बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, इस बिंदु पर निरंतर है, और इसकी वृद्धि निम्न रूप में लिखी जा सकती है:
(3) .
यहां

- फ़ंक्शन इंक्रीमेंट जब इसके तर्कों को मानों द्वारा बढ़ाया जाता है और;
;

- चर के संबंध में फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न और .
और के निश्चित मूल्यों के लिए, और चर और के कार्य हैं। वे शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं और :
;
.
तब से और , तब
;
.

समारोह वृद्धि:

. :
.
स्थानापन्न (3):

.

सूत्र सिद्ध हुआ है।

कई चर के एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

उपरोक्त व्युत्पत्ति को आसानी से उस मामले में सामान्यीकृत किया जाता है जब एक जटिल फ़ंक्शन के चर की संख्या दो से अधिक होती है।

उदाहरण के लिए, यदि f है तीन चर का कार्य, फिर
,
कहाँ पे
, और चर x के कुछ मान के लिए अवकलनीय फलन हैं;
एक अवकलनीय फलन है, तीन चरों में, बिंदु पर , , ।
फिर, फ़ंक्शन की भिन्नता की परिभाषा से, हमारे पास है:
(4)
.
चूंकि, निरंतरता के कारण,
; ; ,
फिर
;
;
.

(4) को सीमा से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
.

और अंत में, विचार करें सबसे सामान्य मामला.
मान लीजिए कि एक चर x के एक फलन को निम्नलिखित रूप में n चरों के एक जटिल फलन के रूप में दर्शाया जाता है:
,
कहाँ पे
चर x के कुछ मान के लिए अवकलनीय फलन हैं;
- एक बिंदु पर n चर के अवकलनीय कार्य
, , ... , .
फिर
.

यह सभी देखें:

जटिल डेरिवेटिव। लॉगरिदमिक व्युत्पन्न।
घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

हम अपनी विभेदीकरण तकनीक में सुधार करना जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम कवर की गई सामग्री को समेकित करेंगे, अधिक जटिल डेरिवेटिव पर विचार करेंगे, और विशेष रूप से लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के साथ व्युत्पन्न खोजने के लिए नई चाल और चाल से परिचित होंगे।

जिन पाठकों के पास निम्न स्तर की तैयारी है, उन्हें लेख का संदर्भ लेना चाहिए व्युत्पन्न कैसे खोजें? समाधान उदाहरणजो आपको अपने कौशल को लगभग खरोंच से बढ़ाने की अनुमति देगा। अगला, आपको पृष्ठ का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने की आवश्यकता है एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न, समझो और हल करो सबमैंने जो उदाहरण दिए हैं। यह पाठ तार्किक रूप से लगातार तीसरा है, और इसमें महारत हासिल करने के बाद, आप आत्मविश्वास से काफी जटिल कार्यों में अंतर करेंगे। स्थिति से चिपके रहना अवांछनीय है "और कहाँ? हाँ, और यह काफी है! ”, चूंकि सभी उदाहरण और समाधान वास्तविक परीक्षणों से लिए गए हैं और अक्सर व्यवहार में पाए जाते हैं।

आइए दोहराव से शुरू करें। सबक पर एक जटिल कार्य का व्युत्पन्नहमने विस्तृत टिप्पणियों के साथ कई उदाहरणों पर विचार किया है। डिफरेंशियल कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण के अन्य वर्गों के अध्ययन के दौरान, आपको बहुत बार अंतर करना होगा, और उदाहरणों को बहुत विस्तार से चित्रित करना हमेशा सुविधाजनक (और हमेशा आवश्यक नहीं) होता है। इसलिए, हम डेरिवेटिव की मौखिक खोज में अभ्यास करेंगे। इसके लिए सबसे उपयुक्त "उम्मीदवार" जटिल कार्यों के सरलतम व्युत्पन्न हैं, उदाहरण के लिए:

एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार :

भविष्य में अन्य मतन विषयों का अध्ययन करते समय, इस तरह के विस्तृत रिकॉर्ड की सबसे अधिक आवश्यकता नहीं होती है, यह माना जाता है कि छात्र ऑटोपायलट पर समान डेरिवेटिव खोजने में सक्षम है। आइए कल्पना करें कि सुबह 3 बजे फोन की घंटी बजी, और एक सुखद आवाज ने पूछा: "दो x की स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न क्या है?"। इसके बाद लगभग तात्कालिक और विनम्र प्रतिक्रिया दी जानी चाहिए: .

पहला उदाहरण तुरंत एक स्वतंत्र समाधान के लिए अभिप्रेत होगा।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, एक चरण में मौखिक रूप से निम्नलिखित अवकलज ज्ञात कीजिए: . कार्य को पूरा करने के लिए, आपको केवल उपयोग करने की आवश्यकता है प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका(अगर उसे पहले से याद नहीं है)। यदि आपको कोई कठिनाई है, तो मैं पाठ को फिर से पढ़ने की सलाह देता हूँ एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न.

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पाठ के अंत में उत्तर

जटिल डेरिवेटिव

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

2) फिर आपको लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है:

4) फिर कोसाइन को घन करें:

5) पांचवें चरण में, अंतर:

6) और अंत में, सबसे बाहरी कार्य वर्गमूल है:

ऐसा लगता है कि कोई त्रुटि नहीं है ...

(1) हम वर्गमूल का अवकलज लेते हैं।

(2) हम नियम का उपयोग करके अंतर का व्युत्पन्न लेते हैं

(3) ट्रिपल का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। दूसरे पद में, हम घात (घन) का अवकलज लेते हैं।

(4) हम कोसाइन का व्युत्पन्न लेते हैं।

(5) हम लघुगणक का व्युत्पन्न लेते हैं।

(6) अंत में, हम सबसे गहरे घोंसले का व्युत्पन्न लेते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण एक स्टैंडअलोन समाधान के लिए है।

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

संकेत: पहले हम रैखिकता के नियम और उत्पाद के विभेदन के नियम को लागू करते हैं

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

ऐसे मामलों में, यह आवश्यक है क्रमिकउत्पाद विभेदन नियम लागू करें दो बार

अब दूसरी बार नियम लागू करना बाकी है ब्रैकेट के लिए:

उपरोक्त उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है:

दोनों समाधान बिल्कुल समकक्ष हैं।

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

भिन्नों के साथ समान उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप कई तरीकों से जा सकते हैं:

या इस तरह:

स्वयं करें समाधान के लिए एक सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम का उपयोग करके एक लंबा सफर तय कर सकते हैं:

लेकिन पहला कदम आपको तुरंत निराशा में डाल देता है - आपको एक भिन्नात्मक डिग्री का एक अप्रिय व्युत्पन्न लेना होगा, और फिर एक अंश से भी।

इसीलिए इससे पहले"फैंसी" लघुगणक का व्युत्पन्न कैसे लें, इसे पहले प्रसिद्ध स्कूल गुणों का उपयोग करके सरल बनाया गया है:

! यदि आपके पास अभ्यास नोटबुक है, तो इन सूत्रों को वहीं कॉपी करें। यदि आपके पास नोटबुक नहीं है, तो उन्हें कागज के एक टुकड़े पर बनाएं, क्योंकि पाठ के बाकी उदाहरण इन सूत्रों के इर्द-गिर्द घूमेंगे।

समाधान स्वयं इस तरह तैयार किया जा सकता है:

आइए फ़ंक्शन को रूपांतरित करें:

हम व्युत्पन्न पाते हैं:

फ़ंक्शन के प्रारंभिक परिवर्तन ने ही समाधान को बहुत सरल बना दिया। इस प्रकार, जब भेदभाव के लिए एक समान लघुगणक प्रस्तावित किया जाता है, तो हमेशा "इसे तोड़ने" की सलाह दी जाती है।

और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पाठ के अंत में सभी परिवर्तन और उत्तर।

लघुगणक व्युत्पन्न

यदि लघुगणक का व्युत्पन्न इतना मधुर संगीत है, तो प्रश्न उठता है कि क्या कुछ मामलों में लघुगणक को कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करना संभव है? कर सकना! और जरूरी भी।

उदाहरण 11

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

इसी तरह के उदाहरणों पर हमने हाल ही में विचार किया है। क्या करें? कोई व्यक्ति भागफल के विभेदन के नियम को क्रमिक रूप से लागू कर सकता है, और फिर उत्पाद के विभेदन के नियम को लागू कर सकता है। इस पद्धति का नुकसान यह है कि आपको एक विशाल तीन-मंजिला अंश मिलता है, जिससे आप बिल्कुल भी निपटना नहीं चाहते हैं।

लेकिन सिद्धांत और व्यवहार में लॉगरिदमिक व्युत्पन्न जैसी अद्भुत चीज है। लघुगणक को दोनों तरफ "लटका" कर कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जा सकता है:

टिप्पणी : इसलिये फ़ंक्शन नकारात्मक मान ले सकता है, फिर, आम तौर पर बोलते हुए, आपको मॉड्यूल का उपयोग करने की आवश्यकता होती है: , जो भेदभाव के परिणामस्वरूप गायब हो जाते हैं। हालाँकि, वर्तमान डिज़ाइन भी स्वीकार्य है, जहाँ डिफ़ॉल्ट रूप से जटिलमूल्य। लेकिन अगर पूरी कठोरता के साथ, तो दोनों ही मामलों में आरक्षण करना आवश्यक है कि.

अब आपको यथासंभव दाईं ओर के लघुगणक को "तोड़ने" की आवश्यकता है (आपकी आंखों के सामने सूत्र?) मैं इस प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा:

आइए भेदभाव से शुरू करें।
हम दोनों भागों को एक स्ट्रोक के साथ समाप्त करते हैं:

दाईं ओर का व्युत्पत्ति काफी सरल है, मैं इस पर कोई टिप्पणी नहीं करूंगा, क्योंकि यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आपको इसे आत्मविश्वास से संभालने में सक्षम होना चाहिए।

बाईं ओर के बारे में क्या?

बाईं ओर हमारे पास है जटिल कार्य. मैं इस प्रश्न का पूर्वाभास करता हूं: "क्यों, लघुगणक के तहत एक अक्षर" y "है?"।

तथ्य यह है कि यह "एक अक्षर y" - अपने आप में एक कार्य है(यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है, तो एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न लेख को देखें जो स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट है)। इसलिए, लघुगणक एक बाहरी कार्य है, और "y" एक आंतरिक कार्य है। और हम यौगिक फलन विभेदन नियम का उपयोग करते हैं :

बाईं ओर, मानो जादू से, हमारे पास एक व्युत्पन्न है। इसके अलावा, अनुपात के नियम के अनुसार, हम "y" को बाईं ओर के हर से दाईं ओर के शीर्ष पर फेंकते हैं:

और अब हम याद करते हैं कि किस तरह का "खेल" - अंतर करते समय हमने किस प्रकार की बात की थी? आइए स्थिति को देखें:

अंतिम उत्तर:

उदाहरण 12

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में इस प्रकार के उदाहरण का नमूना डिजाइन।

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न की मदद से, किसी भी उदाहरण संख्या 4-7 को हल करना संभव था, एक और बात यह है कि वहां के कार्य सरल हैं, और, शायद, लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग बहुत उचित नहीं है।

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

हमने अभी तक इस समारोह पर विचार नहीं किया है। घातांकीय फलन एक ऐसा फलन है जिसमें और डिग्री और आधार "x" पर निर्भर करता है. एक उत्कृष्ट उदाहरण जो आपको किसी पाठ्यपुस्तक या किसी व्याख्यान में दिया जाएगा:

एक घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को कैसे खोजें?

केवल मानी जाने वाली तकनीक का उपयोग करना आवश्यक है - लघुगणक व्युत्पन्न। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं:

एक नियम के रूप में, दायीं ओर लघुगणक के नीचे से डिग्री निकाली जाती है:

नतीजतन, दाईं ओर हमारे पास दो कार्यों का एक उत्पाद है, जिसे मानक सूत्र के अनुसार विभेदित किया जाएगा .

हम व्युत्पन्न पाते हैं, इसके लिए हम दोनों भागों को स्ट्रोक के तहत संलग्न करते हैं:

अगले चरण आसान हैं:

आखिरकार:

यदि कुछ परिवर्तन पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, तो कृपया उदाहरण 11 की व्याख्याओं को ध्यानपूर्वक पढ़ें।

व्यावहारिक कार्यों में, घातीय कार्य हमेशा माना व्याख्यान उदाहरण से अधिक जटिल होगा।

उदाहरण 13

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं।

दाईं ओर हमारे पास एक स्थिरांक और दो कारकों का गुणनफल है - "x" और "x के लघुगणक का लघुगणक" (एक अन्य लघुगणक लघुगणक के अंतर्गत निहित है)। एक स्थिरांक को अलग करते समय, जैसा कि हमें याद है, इसे तुरंत व्युत्पन्न के संकेत से बाहर निकालना बेहतर है ताकि यह रास्ते में न आए; और, ज़ाहिर है, परिचित नियम लागू करें :

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

योग और अंतर का व्युत्पन्न

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

नियम एक: स्थिरांक निकालें

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

मूल सूत्र

एक चर के एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

सबूत

परिणाम

दो चरों में एक जटिल फलन का व्युत्पन्न

सबूत

कई चर के एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

जटिल डेरिवेटिव। लॉगरिदमिक व्युत्पन्न। घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

जटिल डेरिवेटिव

लघुगणक व्युत्पन्न

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

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