असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल की विधि को एक सार्वभौमिक विधि माना जाता है। एक चर के साथ द्विघात असमानताओं को हल करने के लिए इसका उपयोग करने का यह सबसे आसान तरीका है। इस सामग्री में, हम द्विघात असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग करने के सभी पहलुओं पर विचार करेंगे। सामग्री को आत्मसात करने की सुविधा के लिए, हम जटिलता की अलग-अलग डिग्री के उदाहरणों की एक बड़ी संख्या पर विचार करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

अंतराल विधि लागू करने के लिए एल्गोरिदम

आइए हम एक अनुकूलित संस्करण में अंतराल विधि को लागू करने के लिए एक एल्गोरिदम पर विचार करें, जो द्विघात असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है। यह अंतराल पद्धति के इस संस्करण के साथ है कि छात्रों को बीजगणित के पाठों से परिचित कराया जाता है। आइए कार्य और हम को जटिल न करें।

आइए एल्गोरिथ्म पर ही चलते हैं।

हमारे पास वर्ग असमानता के बाईं ओर से एक वर्ग त्रिपद a x 2 + b x + c है। हम इस त्रिपद से शून्य पाते हैं।

एक समन्वय प्रणाली में एक समन्वय रेखा खींचें। हम उस पर जड़ों को चिह्नित करते हैं। सुविधा के लिए, हम सख्त और गैर-सख्त असमानताओं के लिए अंक निर्धारित करने के विभिन्न तरीकों को पेश कर सकते हैं। आइए सहमत हों कि हम सख्त असमानता को हल करते समय निर्देशांक को "खाली" बिंदुओं के साथ चिह्नित करेंगे, और सामान्य बिंदुओं के साथ - एक गैर-सख्त। बिंदुओं को चिह्नित करने से हमें निर्देशांक अक्ष पर कई अंतराल मिलते हैं।

यदि पहले चरण में हमें शून्य मिले, तो हम प्रत्येक प्राप्त अंतराल के लिए ट्रिनोमियल के मूल्यों के संकेत निर्धारित करते हैं। यदि हमें शून्य प्राप्त नहीं होता है, तो हम यह क्रिया पूरी संख्या रेखा के लिए करते हैं। हम "+" या "-" संकेतों के साथ अंतराल को चिह्नित करते हैं।

इसके अतिरिक्त, हम उन मामलों में छायांकन का परिचय देंगे जब हम असमानताओं को संकेतों> या और . के साथ हल करते हैं< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

ट्रिनोमियल के मूल्यों के संकेतों को चिह्नित करके और खंडों पर हैचिंग करके, हम एक निश्चित संख्यात्मक सेट की एक ज्यामितीय छवि प्राप्त करते हैं, जो वास्तव में असमानता का समाधान है। हमें सिर्फ जवाब लिखने की जरूरत है।

आइए हम एल्गोरिथम के तीसरे चरण पर अधिक विस्तार से ध्यान दें, जिसमें अंतराल के संकेत को निर्धारित करना शामिल है। संकेतों को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। आइए उन पर विचार करें, सबसे सटीक से शुरू करते हुए, हालांकि सबसे तेज़ नहीं। इस पद्धति में प्राप्त अंतराल के कई बिंदुओं पर ट्रिनोमियल के मूल्यों की गणना करना शामिल है।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, त्रिपद x 2 + 4 · x - 5 लें।

इस त्रिपद 1 और - 5 के मूल निर्देशांक अक्ष को तीन अंतरालों (- ∞ , - 5) , (− 5 , 1) और (1 , + ∞) में विभाजित करते हैं।

आइए अंतराल (1 , + ) से शुरू करें। अपने लिए कार्य को सरल बनाने के लिए, आइए x \u003d 2 लें। हमें 2 2 + 4 2 - 5 = 7 मिलता है।

7 एक सकारात्मक संख्या है। इसका अर्थ है कि अंतराल (1 , + ) पर इस वर्ग त्रिपद का मान धनात्मक है और इसे "+" चिह्न द्वारा दर्शाया जा सकता है।

अंतराल (− 5 , 1) का चिह्न ज्ञात करने के लिए हम x = 0 लेते हैं। हमारे पास 0 2 + 4 0 - 5 = - 5 है। हम अंतराल के ऊपर "-" चिन्ह लगाते हैं।

अंतराल (− ∞ , − 5) के लिए हम x = − 6 लेते हैं, हमें (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 प्राप्त होता है। हम इस अंतराल को "+" चिह्न से चिह्नित करते हैं।

निम्नलिखित तथ्यों को ध्यान में रखते हुए संकेतों को निर्धारित करना बहुत तेज़ है।

एक सकारात्मक विभेदक के साथ, दो जड़ों वाला एक वर्ग ट्रिनोमियल अंतराल पर अपने मूल्यों के संकेतों का एक विकल्प देता है जिसमें संख्यात्मक अक्ष को इस ट्रिनोमियल की जड़ों से विभाजित किया जाता है। इसका मतलब है कि हमें प्रत्येक अंतराल के लिए संकेतों को परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है। प्रत्यावर्तन के सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, एक के लिए गणना करना और बाकी के लिए संकेत देना पर्याप्त है।

यदि वांछित है, तो आप गणना के बिना पूरी तरह से कर सकते हैं, प्रमुख गुणांक के मूल्य से संकेतों के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं। यदि a > 0 , तो हमें वर्णों का एक क्रम + , − , + , और यदि a . मिलता है< 0 – то − , + , − .

एक मूल वाले वर्ग त्रिपदों के लिए, जब विभेदक शून्य होता है, तो हमें समान चिह्नों के साथ समन्वय अक्ष पर दो अंतराल मिलते हैं। इसका मतलब है कि हम एक अंतराल के लिए संकेत निर्धारित करते हैं और दूसरे के लिए समान सेट करते हैं।

यहां हम गुणांक a के मान के आधार पर चिह्न निर्धारित करने की विधि भी लागू करते हैं: यदि a > 0 , तो यह + , + होगा, और यदि a< 0 , то − , − .

यदि वर्ग ट्रिनोमियल की कोई जड़ें नहीं हैं, तो संपूर्ण समन्वय रेखा के लिए इसके मूल्यों के संकेत प्रमुख गुणांक के संकेत और मुक्त शब्द सी के संकेत दोनों के साथ मेल खाते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक वर्ग त्रिपद - 4 x 2 - 7 लेते हैं, तो इसकी कोई जड़ नहीं होती है (इसका विभेदक ऋणात्मक होता है)। x 2 पर गुणांक एक ऋणात्मक संख्या - 4 है, और मुक्त पद - 7 भी ऋणात्मक है। इसका अर्थ है कि अंतराल (− , + ∞) पर इसके मान ऋणात्मक होते हैं।

ऊपर चर्चा की गई एल्गोरिथम का उपयोग करके द्विघात असमानताओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2

असमानता को हल करें 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 ।

फेसला

हम असमानता को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम वर्ग त्रिपद 8 · x 2 − 4 · x − 1 के मूल ज्ञात करते हैं। इस तथ्य के कारण कि x पर गुणांक सम है, हमारे लिए विवेचक की नहीं, बल्कि विवेचक के चौथे भाग की गणना करना अधिक सुविधाजनक होगा: D "= (- 2) 2 - 8 (- 1) = 12.

विवेचक शून्य से बड़ा है। यह हमें वर्ग त्रिपद के दो मूल ज्ञात करने देता है: x 1 = 2 - 12 9, x 1 = 1 - 3 4 और x 2 = 2 + 12 8, x 2 = 1 + 3 4। इन मानों को संख्या रेखा पर नोट करें। चूंकि समीकरण सख्त नहीं है, हम ग्राफ पर सामान्य बिंदुओं का उपयोग करते हैं।

अब, अंतराल विधि का उपयोग करके, हम प्राप्त तीन अंतरालों के संकेत निर्धारित करते हैं। x 2 पर गुणांक 8 के बराबर है, अर्थात यह धनात्मक है, इसलिए चिह्नों का क्रम + , - , + होगा।

चूंकि हम चिह्न के साथ असमानता को हल कर रहे हैं, हम प्लस चिह्नों के साथ अंतराल पर हैचिंग करते हैं:

आइए विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त ग्राफिक छवि के अनुसार संख्यात्मक सेट लिखें। हम इसे दो तरह से कर सकते हैं:

जवाब:(- ; 1 - 3 4 ] [ 1 + 3 4 , + ∞ ) या x 1 - 3 4 , x 1 + 3 4 ।

उदाहरण 3

द्विघात असमानता को हल करें - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

फेसला

सबसे पहले, आइए असमानता के बाईं ओर से वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करें:

डी " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7

यह एक सख्त असमानता है, इसलिए हम ग्राफ़ पर "खाली" बिंदु का उपयोग करते हैं। समन्वय के साथ 7.

अब हमें प्राप्त अंतरालों (− , 7) और (7 , + ) पर संकेतों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूँकि वर्ग त्रिपद का विभेदक शून्य के बराबर है, और अग्रणी गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए हम चिह्नों को नीचे रखते हैं - , - :

चूंकि हम एक हस्ताक्षरित असमानता को हल कर रहे हैं< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

इस मामले में, समाधान दोनों अंतराल (− ∞ , 7) , (7 , + ) हैं।

जवाब:(- ∞ , 7) ∪ (7 , + ) या अन्य अंकन x ≠ 7 में।

उदाहरण 4

क्या द्विघात असमानता x 2 + x + 7 . है< 0 решения?

फेसला

आइए असमानता के बाईं ओर से वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम विभेदक पाते हैं: D = 1 2 - 4 1 7 = 1 - 28 = - 27। विभेदक शून्य से कम है, इसलिए कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

ग्राफिक छवि उस पर चिह्नित बिंदुओं के बिना एक संख्या रेखा की तरह दिखेगी।

आइए हम वर्ग त्रिपद के मानों का चिह्न निर्धारित करें। डी में< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

इस मामले में, हम "-" चिह्न के साथ अंतराल पर हैचिंग लागू कर सकते हैं। लेकिन हमारे पास ऐसे अंतराल नहीं हैं। तो चित्र इस तरह दिखता है:

गणना के परिणामस्वरूप, हमें एक खाली सेट मिला। इसका मतलब है कि इस द्विघात असमानता का कोई समाधान नहीं है।

जवाब:नहीं।

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प्राचीन काल से ही व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में मूल्यों और मात्राओं की तुलना करना आवश्यक रहा है। उसी समय, अधिक और कम, उच्च और निम्न, हल्का और भारी, शांत और जोर से, सस्ता और अधिक महंगा आदि जैसे शब्द दिखाई दिए, जो सजातीय मात्राओं की तुलना के परिणामों को दर्शाते हैं।

वस्तुओं की गिनती, माप और मात्राओं की तुलना के संबंध में अधिक और कम की अवधारणा उत्पन्न हुई। उदाहरण के लिए, प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञ जानते थे कि किसी भी त्रिभुज की भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है और त्रिभुज की बड़ी भुजा बड़े कोण के विपरीत होती है। आर्किमिडीज ने एक वृत्त की परिधि की गणना करते हुए पाया कि किसी भी वृत्त की परिधि व्यास के तीन गुना के बराबर होती है, जो कि व्यास के सातवें से कम है, लेकिन व्यास के दस सत्तर से अधिक है।

> और b चिन्हों का प्रयोग करके संख्याओं और मात्राओं के बीच सांकेतिक रूप से संबंध लिखिए। प्रविष्टियाँ जिनमें दो संख्याएँ किसी एक चिन्ह से जुड़ी हुई हैं: > (इससे अधिक), आप प्राथमिक ग्रेड में संख्यात्मक असमानताओं से भी मिले। आप जानते हैं कि असमानताएँ सच हो भी सकती हैं और नहीं भी। उदाहरण के लिए, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) एक वैध संख्यात्मक असमानता है, 0.23 > 0.235 एक अमान्य संख्यात्मक असमानता है।

जिन असमानताओं में अज्ञात शामिल हैं, वे अज्ञात के कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकती हैं और दूसरों के लिए गलत हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, असमानता 2x+1>5 x = 3 के लिए सही है, लेकिन x = -3 के लिए गलत है। एक अज्ञात के साथ असमानता के लिए, आप कार्य निर्धारित कर सकते हैं: असमानता को हल करें। व्यवहार में असमानताओं को हल करने की समस्याओं को हल किया जाता है और समीकरणों को हल करने की समस्याओं से कम बार हल नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के अध्ययन और समाधान के लिए कई आर्थिक समस्याएं कम हो जाती हैं। गणित की कई शाखाओं में, समीकरणों की तुलना में असमानताएँ अधिक सामान्य हैं।

कुछ असमानताएँ किसी निश्चित वस्तु के अस्तित्व को सिद्ध या अस्वीकृत करने के लिए एकमात्र सहायक साधन के रूप में काम करती हैं, उदाहरण के लिए, एक समीकरण की जड़।

संख्यात्मक असमानता

आप पूर्णांक और दशमलव की तुलना कर सकते हैं। साधारण भिन्नों की समान हर लेकिन भिन्न-भिन्न अंशों से तुलना करने के नियमों को जानें; एक ही अंश के साथ लेकिन अलग-अलग भाजक। यहां आप सीखेंगे कि किन्हीं दो संख्याओं के अंतर का चिह्न ज्ञात करके उनकी तुलना कैसे की जाती है।

व्यवहार में संख्याओं की तुलना का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अर्थशास्त्री वास्तविक संकेतकों के साथ नियोजित संकेतकों की तुलना करता है, एक डॉक्टर एक मरीज के तापमान की तुलना सामान्य से करता है, एक टर्नर एक मशीनी हिस्से के आयामों की तुलना एक मानक से करता है। ऐसे सभी मामलों में कुछ संख्याओं की तुलना की जाती है। संख्याओं की तुलना के परिणामस्वरूप संख्यात्मक असमानताएँ उत्पन्न होती हैं।

परिभाषा।संख्या a, संख्या b से बड़ी है यदि अंतर a-b धनात्मक है। संख्या a, संख्या b से कम है यदि अंतर a-b ऋणात्मक है।

यदि a, b से बड़ा है, तो वे लिखते हैं: a > b; यदि a, b से कम है, तो वे लिखते हैं: a इस प्रकार, असमानता a> b का अर्थ है कि अंतर a - b धनात्मक है, अर्थात। a - b > 0. असमानता a निम्नलिखित तीन संबंधों में से किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए a > b, a = b, a प्रमेय।यदि a > b और b > c, तो a > c.

प्रमेय।यदि असमानता के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ दी जाए, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है।
परिणाम।इस पद के चिन्ह को विपरीत में बदलकर किसी भी पद को असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है।

प्रमेय।यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है। यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।
परिणाम।यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है। यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।

आप जानते हैं कि संख्यात्मक समानताओं को पद दर पदों में जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। इसके बाद, आप सीखेंगे कि असमानताओं के साथ समान कार्य कैसे करें। शब्द के आधार पर असमानताओं को जोड़ने और गुणा करने की क्षमता अक्सर व्यवहार में उपयोग की जाती है। ये क्रियाएं आपको अभिव्यक्ति मूल्यों के मूल्यांकन और तुलना की समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं।

विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, असमानताओं के बाएँ और दाएँ भागों को जोड़कर या गुणा करना अक्सर आवश्यक होता है। कभी-कभी यह कहा जाता है कि असमानताओं को जोड़ा या गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई पर्यटक पहले दिन 20 किमी से अधिक और दूसरे दिन 25 किमी से अधिक चला, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि दो दिनों में वह 45 किमी से अधिक चला। इसी तरह, यदि किसी आयत की लंबाई 13 सेमी से कम और चौड़ाई 5 सेमी से कम है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि इस आयत का क्षेत्रफल 65 सेमी से कम है।

इन उदाहरणों पर विचार करते हुए निम्नलिखित असमानताओं के जोड़ और गुणा पर प्रमेय:

प्रमेय।एक ही चिन्ह की असमानताओं को जोड़ने पर, हमें एक ही चिन्ह की असमानता प्राप्त होती है: यदि a > b और c > d, तो a + c > b + d।

प्रमेय।एक ही चिन्ह की असमानताओं को गुणा करने पर, जिसके लिए बाएँ और दाएँ भाग धनात्मक होते हैं, उसी चिन्ह की असमानता प्राप्त होती है: यदि a > b, c > d और a, b, c, d धनात्मक संख्याएँ हैं, तो ac > बी.डी.

चिन्ह के साथ असमानताएँ > (से अधिक) और 1/2, 3/4 b, c सख्त असमानताओं के साथ > और इसी तरह, असमानता \(a \geq b \) का अर्थ है कि संख्या a से बड़ी है या बी के बराबर, यानी और बी से कम नहीं।

चिह्न \(\geq \) या चिह्न \(\leq \) वाली असमानताओं को गैर-सख्त कहा जाता है। उदाहरण के लिए, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) सख्त असमानताएं नहीं हैं।

सख्त असमानताओं के सभी गुण गैर-सख्त असमानताओं के लिए भी मान्य हैं। इसके अलावा, यदि सख्त असमानताओं के लिए संकेतों को विपरीत माना जाता है, और आप जानते हैं कि कई लागू समस्याओं को हल करने के लिए, आपको समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के रूप में गणितीय मॉडल तैयार करना होगा। इसके अलावा, आप सीखेंगे कि कई समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय मॉडल अज्ञात के साथ असमानताएं हैं। हम एक असमानता को हल करने की अवधारणा का परिचय देंगे और दिखाएंगे कि कैसे जांचा जाए कि दी गई संख्या किसी विशेष असमानता का समाधान है या नहीं।

फॉर्म की असमानताएं
\(ax > b, \quad ax जहां a और b को संख्याएं दी गई हैं और x अज्ञात है, कहा जाता है एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताएं.

परिभाषा।एक अज्ञात के साथ असमानता का समाधान अज्ञात का मान है जिसके लिए यह असमानता एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल जाती है। असमानता को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

आपने समीकरणों को सरलतम समीकरणों में घटाकर हल किया। इसी तरह, असमानताओं को हल करते समय, व्यक्ति गुणों की सहायता से उन्हें सरलतम असमानताओं के रूप में कम कर देता है।

एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताओं का समाधान

फॉर्म की असमानताएं
\(ax^2+bx+c >0 \) और \(ax^2+bx+c जहां x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएं हैं और \(a \neq 0 \) कहलाते हैं एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताएं.

असमानता का समाधान
\(ax^2+bx+c >0 \) या \(ax^2+bx+c \) को अंतराल खोजने के रूप में माना जा सकता है जहां फ़ंक्शन \(y= ax^2+bx+c \) सकारात्मक लेता है या नकारात्मक मान ऐसा करने के लिए, यह विश्लेषण करने के लिए पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) समन्वय विमान में कैसे स्थित है: जहां परवलय की शाखाएं निर्देशित होती हैं - ऊपर या नीचे , क्या परवलय x अक्ष को काटता है और यदि करता है, तो किन बिंदुओं पर।

एक चर के साथ दूसरी डिग्री असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1) वर्ग त्रिपद \(ax^2+bx+c\) का विभेदक ज्ञात कीजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या त्रिपद के मूल हैं;
2) यदि ट्रिनोमियल की जड़ें हैं, तो उन्हें एक्स अक्ष पर चिह्नित करें और योजनाबद्ध रूप से चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से एक परवलय बनाएं, जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर> 0 या नीचे की ओर 0 या नीचे की ओर 3 पर निर्देशित होती हैं) खोजें x अक्ष पर अंतराल जिसके लिए बिंदु परवलय x-अक्ष के ऊपर स्थित हैं (यदि वे असमानता को हल करते हैं \(ax^2+bx+c >0 \)) या x-अक्ष के नीचे (यदि वे असमानता को हल करते हैं)
\(ax^2+bx+c अंतराल की विधि द्वारा असमानताओं का समाधान

समारोह पर विचार करें
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

इस फ़ंक्शन का डोमेन सभी संख्याओं का समूह है। फ़ंक्शन के शून्य संख्या -2, 3, 5 हैं। वे फ़ंक्शन के डोमेन को अंतराल \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) में विभाजित करते हैं। ) \) और \( (5; +\infty) \)

आइए जानें कि प्रत्येक संकेतित अंतराल में इस फ़ंक्शन के संकेत क्या हैं।

व्यंजक (x + 2)(x - 3)(x - 5) तीन कारकों का गुणनफल है। इन कारकों में से प्रत्येक का संकेत माना अंतराल में तालिका में दर्शाया गया है:

सामान्य तौर पर, फ़ंक्शन को सूत्र द्वारा दिया जाता है
एफ (एक्स) = (एक्स-एक्स 1) (एक्स-एक्स 2) ... (एक्स-एक्स एन),
जहाँ x एक चर है, और x 1 , x 2 , ..., x n समान संख्याएँ नहीं हैं। संख्याएँ x 1, x 2 , ..., x n फलन के शून्यक हैं। प्रत्येक अंतराल में जिसमें परिभाषा के क्षेत्र को फ़ंक्शन के शून्य से विभाजित किया जाता है, फ़ंक्शन का संकेत संरक्षित होता है, और जब शून्य से गुजरता है, तो इसका संकेत बदल जाता है।

इस गुण का उपयोग प्रपत्र की असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) जहां x 1 , x 2 , ..., x n समान संख्याएं नहीं हैं

माना विधि असमानताओं को हल करना अंतरालों की विधि कहलाती है।

आइए हम अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करने के उदाहरण दें।

असमानता को हल करें:

\(x(0.5-x)(x+4) जाहिर है, फलन के शून्यक f(x) = x(0.5-x)(x+4) बिंदु हैं \frac(1)(2) , \; एक्स=-4 \)

हम वास्तविक अक्ष पर फ़ंक्शन के शून्य को प्लॉट करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर संकेत की गणना करते हैं:

हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जिन पर फलन शून्य से कम या उसके बराबर होता है और उत्तर लिख देते हैं।

जवाब:
\(x \in \ left (-\infty; \; 1 \right) \ cup \ left [4; \; +\infty \ right) \)

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "वर्ग असमानताएं, समाधान के उदाहरण"

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दोस्तों, हम पहले से ही जानते हैं कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। अब आइए जानें कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए।
वर्ग असमानताइस तरह की असमानता को कहा जाता है:

$ax^2+bx+c>0$।

असमानता का चिन्ह कोई भी हो सकता है, गुणांक a, b, c कोई भी संख्या है ($a≠0$)।
रैखिक असमानताओं के लिए हमने जिन सभी नियमों को परिभाषित किया है, वे यहां भी काम करते हैं। इन नियमों को स्वयं दोहराएं!

आइए एक और महत्वपूर्ण नियम पेश करें:
यदि ट्रिनोमियल $ax^2+bx+c$ में एक ऋणात्मक विभेदक है, तो यदि हम x के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करते हैं, तो ट्रिनोमियल का चिह्न गुणांक a के y के चिह्न के समान होगा।

द्विघात असमानता को हल करने के उदाहरण

आलेखों को आलेखित करके या अंतरालों को आलेखित करके हल किया जा सकता है। आइए असमानताओं के समाधान के उदाहरण देखें।

उदाहरण।
1. असमानता को हल करें: $x^2-2x-8
फेसला:
समीकरण $x^2-2x-8=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।
$x_1=4$ और $x_2=-2$।

आइए एक द्विघात समीकरण प्लॉट करें। भुजिका अक्ष 4 और -2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
हमारा वर्ग ट्रिनोमियल शून्य से कम मान लेता है जहां फ़ंक्शन का ग्राफ x-अक्ष के नीचे स्थित होता है।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखते हुए, हमें उत्तर मिलता है: $x^2-2x-8 उत्तर: $-2

2. असमानता को हल करें: $5x-6

फेसला:
आइए असमानता को बदलें: $-x^2+5x-6 असमानता को घटाकर एक से विभाजित करें। आइए चिह्न बदलना न भूलें: $x^2-5x+6>0$।
आइए त्रिपद के मूल ज्ञात करें: $x_1=2$ और $x_2=3$।

आइए एक द्विघात समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं, भुज अक्ष बिंदु 2 और 3 पर प्रतिच्छेद करता है।


हमारा वर्ग ट्रिनोमियल शून्य से अधिक मान लेता है जहां फ़ंक्शन का ग्राफ x-अक्ष के ऊपर स्थित होता है। फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखते हुए, हमें उत्तर मिलता है: $5x-6 उत्तर: $x 3$।

3. असमानता को हल करें: $2^2+2x+1≥0$।

फेसला:
आइए अपने ट्रिनोमियल की जड़ों को खोजें, इसके लिए हम विवेचक की गणना करते हैं: $D=2^2-4*2=-4 विवेचक शून्य से कम है। आइए उस नियम का उपयोग करें जिसे हमने शुरुआत में पेश किया था। असमानता का चिन्ह वर्ग गुणांक के चिन्ह के समान होगा। हमारे मामले में, गुणांक धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि x के किसी भी मान के लिए हमारा समीकरण धनात्मक होगा।
उत्तर: सभी x के लिए, असमानता शून्य से अधिक है।

4. असमानता को हल करें: $x^2+x-2
फेसला:
आइए त्रिपद के मूल ज्ञात करें और उन्हें निर्देशांक रेखा पर रखें: $x_1=-2$ और $x_2=1$।

यदि $x>1$ और $x यदि $x>-2$ और $x उत्तर: $x>-2$ और $x

द्विघात असमानताओं को हल करने की समस्याएं

असमानताओं को हल करें:
क) $x^2-11x+30 ख) $2x+15≥x^2$।
ग) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$।

इस लेख में विषय को कवर करने वाली सामग्री है " वर्ग असमानताओं का समाधान". सबसे पहले, यह दिखाया गया है कि एक चर के साथ द्विघात असमानताएं क्या हैं, उनका सामान्य रूप दिया गया है। और फिर इसका विस्तार से विश्लेषण किया जाता है कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए। समाधान के लिए मुख्य दृष्टिकोण दिखाए गए हैं: ग्राफिकल विधि, अंतराल की विधि, और असमानता के बाईं ओर द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके। विशिष्ट उदाहरणों के समाधान दिए गए हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

द्विघात असमानता क्या है?

स्वाभाविक रूप से, द्विघात असमानताओं को हल करने के बारे में बात करने से पहले, किसी को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि द्विघात असमानता क्या है। दूसरे शब्दों में, आपको रिकॉर्ड के प्रकार द्वारा वर्ग असमानताओं को अन्य प्रकार की असमानताओं से अलग करने में सक्षम होना चाहिए।

परिभाषा।

वर्ग असमानता a x 2 +b x+c . के रूप की असमानता है<0 (вместо знака >कोई अन्य असमानता चिह्न ≤, >, ) हो सकता है, जहां a, b और c कुछ संख्याएं हैं, और a≠0, और x एक चर है (चर को किसी अन्य अक्षर से दर्शाया जा सकता है)।

आइए तुरंत द्विघात असमानताओं को दूसरा नाम दें - दूसरी डिग्री की असमानता. यह नाम इस तथ्य से समझाया गया है कि असमानताओं के बाईं ओर a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

आप कभी-कभी यह भी सुन सकते हैं कि द्विघात असमानताएँ द्विघात असमानताएँ कहलाती हैं। यह पूरी तरह से सही नहीं है: "द्विघात" की परिभाषा y=a x 2 +b x+c रूप के समीकरणों द्वारा दिए गए कार्यों को संदर्भित करती है। तो द्विघात असमानताएँ हैं और द्विघात कार्य, लेकिन द्विघात असमानताएं नहीं।

आइए वर्ग असमानताओं के कुछ उदाहरण दिखाएं: 5 x 2 −3 x+1>0 , यहां a=5 , b=−3 और c=1 ; −2.2 z 2 −0.5 z−11≤0, इस द्विघात असमानता के गुणांक a=−2.2 , b=−0.5 और c=−11 हैं; , इस मामले में .

ध्यान दें कि द्विघात असमानता की परिभाषा में, x 2 पर गुणांक a को गैर-शून्य माना जाता है। यह समझ में आता है, गुणांक ए से शून्य की समानता वास्तव में वर्ग को "हटा" देगी, और हम चर के वर्ग के बिना फॉर्म बी एक्स + सी> 0 की रैखिक असमानता से निपटेंगे। लेकिन गुणांक बी और सी शून्य के बराबर हो सकते हैं, दोनों अलग-अलग और एक साथ। ऐसी वर्ग असमानताओं के उदाहरण यहां दिए गए हैं: x 2 −5≥0, यहां चर x के लिए गुणांक b शून्य के बराबर है; −3 x 2 −0.6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 और बी और सी शून्य हैं।

द्विघात असमानताओं को कैसे हल करें?

अब आप इस प्रश्न से हैरान हो सकते हैं कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए। मूल रूप से, हल करने के लिए तीन मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है:

• चित्रमय विधि (या, ए.जी. मोर्दकोविच के रूप में, कार्यात्मक-चित्रमय),
• अंतराल विधि,
• और बायीं ओर द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके द्विघात असमानताओं को हल करना।

रेखांकन

आइए तुरंत एक आरक्षण करें कि द्विघात असमानताओं को हल करने की विधि, जिस पर हम विचार करना शुरू कर रहे हैं, बीजगणित स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में ग्राफिकल नहीं कहा जाता है। हालाँकि, संक्षेप में, वह यही है। इसके अलावा, के साथ पहला परिचित असमानताओं को हल करने का चित्रमय तरीकाआमतौर पर तब शुरू होता है जब सवाल उठता है कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए।

द्विघात असमानताओं को हल करने का आलेखीय तरीका a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) द्विघात फलन के ग्राफ का विश्लेषण करना है y=a x 2 +b x+c उन अंतरालों को खोजने के लिए जिनमें निर्दिष्ट फ़ंक्शन नकारात्मक, सकारात्मक, गैर-सकारात्मक या गैर-ऋणात्मक मान लेता है। ये अंतराल द्विघात असमानताओं के समाधान का गठन करते हैं a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0 , a x 2 +b x+c≤0 और a x 2 +b x+c≥0 क्रमशः।

अंतराल विधि

एक चर के साथ वर्ग असमानताओं को हल करने के लिए, चित्रमय विधि के अलावा, अंतराल विधि काफी सुविधाजनक है, जो अपने आप में बहुत बहुमुखी है, और विभिन्न असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है, न कि केवल वर्ग वाले। इसका सैद्धांतिक पक्ष कक्षा 8, 9 के बीजगणित पाठ्यक्रम से बाहर है, जब वे द्विघात असमानताओं को हल करना सीखते हैं। इसलिए, यहां हम अंतराल विधि के सैद्धांतिक औचित्य में नहीं जाएंगे, बल्कि इस बात पर ध्यान देंगे कि इसकी सहायता से द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाता है।

वर्ग असमानताओं के समाधान के संबंध में अंतराल विधि का सार a x 2 +b x + c<0 (≤, >, ), उन संकेतों को निर्धारित करने में शामिल हैं जिनके पास अंतराल पर वर्ग ट्रिनोमियल a x 2 + b x + c का मान है जिसमें समन्वय अक्ष को इस ट्रिनोमियल (यदि कोई हो) के शून्य से विभाजित किया गया है। ऋण चिह्नों के साथ अंतराल द्विघात असमानता का समाधान बनाते हैं a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , और गैर-सख्त असमानताओं को हल करते समय, ट्रिनोमियल के शून्य के अनुरूप अंक संकेतित अंतराल में जोड़े जाते हैं।

आप इस पद्धति के सभी विवरणों, इसके एल्गोरिदम, अंतराल पर संकेत रखने के नियमों से परिचित हो सकते हैं और विशिष्ट उदाहरणों के लिए तैयार किए गए समाधानों पर विचार कर सकते हैं, जो लेख की सामग्री को अंतराल द्वारा द्विघात असमानताओं को हल करने के संदर्भ में दिए गए हैं। तरीका।

द्विपद के वर्ग को पृथक करके

चित्रमय विधि और अंतराल विधि के अलावा, अन्य दृष्टिकोण भी हैं जो द्विघात असमानताओं को हल करने की अनुमति देते हैं। और हम उनमें से एक पर आते हैं, जो पर आधारित है द्विपद का वर्ग करनाद्विघात असमानता के बाईं ओर।

द्विघात असमानताओं को हल करने की इस पद्धति का सिद्धांत असमानता के समतुल्य परिवर्तन करना है, जिससे व्यक्ति को (x−p) 2 के रूप की एक समान असमानता के समाधान पर जाने की अनुमति मिलती है। , ), जहाँ p और q कुछ संख्याएँ हैं।

और असमानता में संक्रमण कैसे होता है (x−p) 2 , ) और इसे कैसे हल करें, लेख की सामग्री द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके द्विघात असमानताओं के समाधान की व्याख्या करती है। इस तरह से द्विघात असमानताओं को हल करने के उदाहरण भी हैं और आवश्यक ग्राफिक चित्र दिए गए हैं।

द्विघात असमानताएँ

व्यवहार में, बहुत बार किसी को उन असमानताओं से निपटना पड़ता है जिन्हें x 2 +b x + c के रूप की द्विघात असमानताओं के समतुल्य परिवर्तनों की सहायता से कम किया जा सकता है।<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

आइए सबसे सरल असमानताओं के उदाहरणों से शुरू करें जिन्हें वर्ग में घटाया जा सकता है। कभी-कभी, द्विघात असमानता को पारित करने के लिए, इस असमानता में शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने या उन्हें एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यदि हम असमानता 5≤2 x−3 x 2 के दाईं ओर से सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो हमें 3 x 2 −2 x+5≤0 के ऊपर निर्दिष्ट रूप में एक द्विघात असमानता प्राप्त होती है। . एक अन्य उदाहरण: असमानता 5+0.6 x 2 −x को बाईं ओर पुनर्व्यवस्थित करना<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

स्कूल में, बीजगणित के पाठों में, जब वे द्विघात असमानताओं को हल करना सीखते हैं, तो वे एक साथ व्यवहार करते हैं तर्कसंगत असमानताओं का समाधान, वर्ग को कम करना। उनके समाधान में सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करना शामिल है, जिसके बाद वहां बने व्यंजक के रूप में x 2 +b x + c को क्रियान्वित करके रूपांतरण किया जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

असमानता के समाधान का एक सेट खोजें 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .तर्कहीन असमानता द्विघात असमानता के बराबर है x 2 −6 x−9<0 , а लघुगणक असमानता - असमानता x 2 +x−2≥0 ।

ग्रंथ सूची।

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• मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच। - 11 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।
• मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - 13 वां संस्करण, सीनियर। - एम .: मेनेमोसिन, 2011. - 222 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01752-3।
• मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 11। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर) / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - दूसरा संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2008. - 287 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01027-2।

मध्य स्तर

वर्ग असमानताएँ। व्यापक गाइड (2019)

द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका जानने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि द्विघात फलन क्या है और इसके क्या गुण हैं।

निश्चित रूप से आपने सोचा होगा कि द्विघात फलन की आवश्यकता ही क्यों है? इसका ग्राफ (पैराबोला) कहाँ लागू होता है? हाँ, आपको बस अपने चारों ओर देखने की ज़रूरत है, और आप देखेंगे कि रोज़मर्रा की ज़िंदगी में आप हर दिन इसका सामना करते हैं। क्या आपने देखा है कि शारीरिक शिक्षा में एक फेंकी गई गेंद कैसे उड़ती है? "एक चाप में"? सबसे सही उत्तर "एक परवलय में" होगा! और फव्वारा में जेट किस प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है? हाँ, एक परवलय में भी! और गोली या प्रक्षेप्य कैसे उड़ता है? यह सही है, परवलय में भी! इस प्रकार, द्विघात फलन के गुणों को जानकर, कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करना संभव होगा। उदाहरण के लिए, सबसे बड़ी रेंज प्रदान करने के लिए गेंद को किस कोण पर फेंका जाना चाहिए? या एक निश्चित कोण पर दागे जाने पर प्रक्षेप्य कहाँ समाप्त होगा? आदि।

द्विघात फंक्शन

तो, चलिए इसका पता लगाते हैं।

उदाहरण के लिए, । यहाँ क्या समान हैं, और? खैर, बिल्कुल, और!

क्या होगा अगर, यानी। शून्य से कम? ठीक है, निश्चित रूप से, हम "उदास" हैं, जिसका अर्थ है कि शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाएगा! आइए चार्ट को देखें।

यह आंकड़ा एक फ़ंक्शन का ग्राफ दिखाता है। चूंकि, अर्थात्। शून्य से कम, परवलय की शाखाएं नीचे की ओर इंगित करती हैं। इसके अलावा, आपने शायद पहले ही देखा है कि इस परवलय की शाखाएं अक्ष को काटती हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरण में 2 जड़ें हैं, और फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लेता है!

प्रारंभ में, जब हमने द्विघात फलन की परिभाषा दी थी, तो कहा गया था कि और कुछ संख्याएँ हैं। क्या वे शून्य के बराबर हो सकते हैं? खैर, बेशक वे कर सकते हैं! मैं एक और भी बड़ा रहस्य प्रकट करूंगा (जो बिल्कुल भी रहस्य नहीं है, लेकिन यह ध्यान देने योग्य है): इन नंबरों (और) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है!

खैर, देखते हैं कि ग्राफ़ का क्या होता है यदि और शून्य के बराबर हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माना कार्यों (यू) के ग्राफ स्थानांतरित हो गए हैं ताकि उनके शिखर अब निर्देशांक के साथ बिंदु पर हों, यानी, कुल्हाड़ियों के चौराहे पर और, इससे शाखाओं की दिशा प्रभावित नहीं हुई। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे समन्वय प्रणाली के साथ परवलय ग्राफ के "आंदोलन" के लिए जिम्मेदार हैं।

फ़ंक्शन ग्राफ़ अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करता है। तो समीकरण की एक जड़ है। इस प्रकार, फ़ंक्शन शून्य से अधिक या उसके बराबर मान लेता है।

हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ उसी तर्क का पालन करते हैं। यह एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है। तो समीकरण की एक जड़ है। इस प्रकार, फ़ंक्शन शून्य से कम या उसके बराबर मान लेता है, अर्थात।

इस प्रकार, किसी व्यंजक के चिह्न को निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले समीकरण के मूल ज्ञात करना है। यह हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा।

वर्ग असमानता

ऐसी असमानताओं को हल करते समय, हमें यह निर्धारित करने की क्षमता की आवश्यकता होगी कि द्विघात फलन कहाँ अधिक, कम या शून्य के बराबर है। अर्थात:

• यदि हमारे पास फॉर्म की असमानता है, तो वास्तव में समस्या उन मानों की संख्यात्मक सीमा निर्धारित करने के लिए कम हो जाती है जिनके लिए परवलय अक्ष के ऊपर स्थित होता है।
• यदि हमारे पास रूप की असमानता है, तो वास्तव में समस्या x मानों के संख्यात्मक अंतराल को निर्धारित करने के लिए नीचे आती है जिसके लिए परवलय अक्ष के नीचे स्थित है।

यदि असमानताएँ सख्त (u) नहीं हैं, तो जड़ें (अक्ष के साथ परवलय के चौराहों के निर्देशांक) को वांछित संख्यात्मक अंतराल में शामिल किया जाता है, सख्त असमानताओं के साथ उन्हें बाहर रखा जाता है।

यह सब काफी औपचारिक है, लेकिन निराश न हों और डरें! अब आइए उदाहरणों को देखें, और सब कुछ ठीक हो जाएगा।

द्विघात असमानताओं को हल करते समय, हम उपरोक्त एल्गोरिथम का पालन करेंगे, और हम अनिवार्य रूप से सफल होंगे!

कलन विधि	उदाहरण:
1) आइए असमानता के अनुरूप द्विघात समीकरण लिखें (बस असमानता चिह्न को समान चिह्न "=" में बदलें)।
2) इस समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
3) अक्ष पर जड़ों को चिह्नित करें और परवलय ("ऊपर" या "नीचे") की शाखाओं के उन्मुखीकरण को योजनाबद्ध रूप से दिखाएं
4) आइए अक्ष पर द्विघात फ़ंक्शन के संकेत के अनुरूप चिह्न रखें: जहां परवलय अक्ष के ऊपर है, हम "" डालते हैं, और जहां यह कम है - ""।
5) हम असमानता चिह्न के आधार पर "" या "" के अनुरूप अंतराल (ओं) को लिखते हैं। यदि असमानता सख्त नहीं है, तो जड़ों को अंतराल में शामिल किया जाता है, यदि यह सख्त है, तो वे शामिल नहीं हैं।

समझ गया? फिर आगे उपवास करो!

उदाहरण:

अच्छा, क्या यह काम किया? कोई परेशानी हो तो उसका समाधान समझ लें।

फेसला:

आइए चिह्न " " के संगत अंतरालों को लिखें, क्योंकि असमानता चिह्न " " है। असमानता सख्त नहीं है, इसलिए जड़ों को अंतराल में शामिल किया गया है:

हम संबंधित द्विघात समीकरण लिखते हैं:

इस द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:

हम अक्ष पर प्राप्त जड़ों को योजनाबद्ध रूप से चिह्नित करते हैं और संकेतों को व्यवस्थित करते हैं:

आइए चिह्न " " के संगत अंतरालों को लिखें, क्योंकि असमानता चिह्न " " है। असमानता सख्त है, इसलिए अंतराल में जड़ें शामिल नहीं हैं:

हम संबंधित द्विघात समीकरण लिखते हैं:

इस द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:

इस समीकरण का एक मूल है

हम अक्ष पर प्राप्त जड़ों को योजनाबद्ध रूप से चिह्नित करते हैं और संकेतों को व्यवस्थित करते हैं:

आइए चिह्न " " के संगत अंतरालों को लिखें, क्योंकि असमानता चिह्न " " है। किसी भी फ़ंक्शन के लिए गैर-ऋणात्मक मान लेता है। चूँकि असमानता सख्त नहीं है, इसका उत्तर है

आइए इसी द्विघात समीकरण को लिखें:

इस द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:

एक परवलय का आरेखीय रूप से आलेख खींचिए और चिह्न लगाइए:

आइए चिह्न " " के संगत अंतरालों को लिखें, क्योंकि असमानता चिह्न " " है। किसी के लिए, फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है, इसलिए असमानता का समाधान अंतराल होगा:

वर्ग असमानताएँ। मध्य स्तर

द्विघात फंक्शन।

"वर्ग असमानताओं" के विषय के बारे में बात करने से पहले, आइए याद करें कि द्विघात फलन क्या है और इसका ग्राफ क्या है।

द्विघात फलन फॉर्म का एक फलन है

दूसरे शब्दों में, यह दूसरी डिग्री बहुपद.

द्विघात फलन का आलेख एक परवलय है (याद रखें कि वह क्या है?) इसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं यदि "ए) फ़ंक्शन सभी के लिए केवल सकारात्मक मान लेता है, और दूसरे में () - केवल नकारात्मक:

मामले में जब समीकरण () में ठीक एक जड़ होती है (उदाहरण के लिए, यदि विवेचक शून्य है), तो इसका मतलब है कि ग्राफ अक्ष को छूता है:

फिर, पिछले मामले की तरह, " के लिए।

तो, आखिरकार, हमने हाल ही में यह निर्धारित करना सीख लिया है कि द्विघात फलन शून्य से अधिक है, और कहाँ कम है:

यदि द्विघात असमानता सख्त नहीं है, तो जड़ों को संख्यात्मक अंतराल में शामिल किया जाता है, यदि सख्त है, तो वे नहीं हैं।

यदि केवल एक जड़ है, तो ठीक है, हर जगह एक ही चिन्ह होगा। यदि कोई मूल नहीं है, तो सब कुछ केवल गुणांक पर निर्भर करता है: यदि "25((x)^(2))-30x+9

उत्तर:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

कोई जड़ें नहीं हैं, इसलिए बाईं ओर का संपूर्ण व्यंजक पहले गुणांक का चिह्न लेता है:

• यदि आप एक संख्या अंतराल खोजना चाहते हैं जिस पर वर्ग त्रिपद शून्य से अधिक है, तो यह वह संख्या अंतराल है जहां परवलय अक्ष के ऊपर स्थित होता है।
• यदि आप एक संख्या अंतराल खोजना चाहते हैं जिस पर वर्ग त्रिपद शून्य से कम है, तो यह संख्या अंतराल है जहां परवलय अक्ष के नीचे स्थित है।

वर्ग असमानताएँ। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात फंक्शनप्रपत्र का एक कार्य है:

द्विघात फलन का आलेख एक परवलय होता है। इसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं यदि, और नीचे की ओर यदि:

वर्ग असमानताओं के प्रकार:

सभी द्विघात असमानताओं को निम्न चार प्रकारों में घटाया जाता है:

समाधान एल्गोरिथ्म:

कलन विधि	उदाहरण:
1) आइए असमानता के अनुरूप द्विघात समीकरण लिखें (बस असमानता चिह्न को समान चिह्न "" में बदलें)।
2) इस समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
3) अक्ष पर जड़ों को चिह्नित करें और परवलय ("ऊपर" या "नीचे") की शाखाओं के उन्मुखीकरण को योजनाबद्ध रूप से दिखाएं
4) आइए अक्ष पर द्विघात फ़ंक्शन के संकेत के अनुरूप चिह्न रखें: जहां परवलय अक्ष के ऊपर है, हम "" डालते हैं, और जहां यह कम है - ""।
5) हम असमानता चिह्न के आधार पर (ओं) "" या "" के अनुरूप अंतराल (ओं) को लिखते हैं। यदि असमानता सख्त नहीं है, तो जड़ों को अंतराल में शामिल किया जाता है; यदि असमानता सख्त है, तो वे शामिल नहीं हैं।