आज, किसी भी विशेषज्ञ के लिए सबसे महत्वपूर्ण कौशल में से एक अंतर समीकरणों को हल करने की क्षमता है। विभेदक समीकरणों का समाधान - इसके बिना एक भी लागू कार्य नहीं हो सकता है, चाहे वह किसी भौतिक पैरामीटर की गणना हो या अपनाई गई व्यापक आर्थिक नीति के परिणामस्वरूप परिवर्तनों का मॉडलिंग हो। ये समीकरण कई अन्य विज्ञानों जैसे रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, चिकित्सा आदि के लिए भी महत्वपूर्ण हैं। नीचे हम अर्थशास्त्र में अवकल समीकरणों के उपयोग का एक उदाहरण देंगे, लेकिन इससे पहले हम संक्षेप में मुख्य प्रकार के समीकरणों के बारे में बात करेंगे।

विभेदक समीकरण - सरलतम प्रकार

ऋषियों ने कहा कि हमारे ब्रह्मांड के नियम गणितीय भाषा में लिखे गए हैं। बेशक, बीजगणित में विभिन्न समीकरणों के कई उदाहरण हैं, लेकिन ये ज्यादातर शैक्षिक उदाहरण हैं जो व्यवहार में लागू नहीं होते हैं। वास्तव में दिलचस्प गणित तब शुरू होता है जब हम वास्तविक जीवन में होने वाली प्रक्रियाओं का वर्णन करना चाहते हैं। लेकिन समय कारक को कैसे प्रतिबिंबित किया जाए, जो वास्तविक प्रक्रियाओं के अधीन है - मुद्रास्फीति, उत्पादन या जनसांख्यिकीय संकेतक?

किसी फलन के अवकलज के संबंध में गणित पाठ्यक्रम की एक महत्वपूर्ण परिभाषा याद कीजिए। व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है, इसलिए यह समीकरण में समय कारक को प्रतिबिंबित करने में हमारी सहायता कर सकता है।

यही है, हम एक फ़ंक्शन के साथ एक समीकरण बनाते हैं जो हमारे लिए ब्याज के संकेतक का वर्णन करता है और इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को समीकरण में जोड़ता है। यह अंतर समीकरण है। अब सबसे सरल पर चलते हैं डमी के लिए अंतर समीकरणों के प्रकार.

सबसे सरल अंतर समीकरण का रूप $y'(x)=f(x)$ है, जहां $f(x)$ कुछ फ़ंक्शन है, और $y'(x)$ वांछित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न या परिवर्तन की दर है . इसे साधारण एकीकरण द्वारा हल किया जाता है: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

दूसरे सरलतम प्रकार को वियोज्य अंतर समीकरण कहा जाता है। ऐसा समीकरण इस तरह दिखता है $y'(x)=f(x)\cdot g(y)$। यह देखा जा सकता है कि आश्रित चर $y$ भी निर्मित फ़ंक्शन का हिस्सा है। समीकरण को बहुत ही सरलता से हल किया जाता है - आपको "चरों को अलग करना" की आवश्यकता है, अर्थात, इसे $y'(x)/g(y)=f(x)$ या $dy/g(y)= के रूप में लाएं। एफ (एक्स) डीएक्स $। यह दोनों भागों को एकीकृत करने के लिए बनी हुई है $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - यह एक वियोज्य प्रकार के अंतर समीकरण का समाधान है।

अंतिम सरल प्रकार पहला क्रम रैखिक अंतर समीकरण है। इसका रूप $y'+p(x)y=q(x)$ है। यहां $p(x)$ और $q(x)$ कुछ फ़ंक्शन हैं, और $y=y(x)$ वांछित फ़ंक्शन है। इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, पहले से ही विशेष विधियों का उपयोग किया जाता है (एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की लैग्रेंज विधि, बर्नौली प्रतिस्थापन विधि)।

अधिक जटिल प्रकार के समीकरण हैं - दूसरे, तीसरे और आम तौर पर मनमाने क्रम के समीकरण, सजातीय और अमानवीय समीकरण, साथ ही साथ अंतर समीकरणों की प्रणाली। उन्हें हल करने के लिए, आपको सरल समस्याओं को हल करने में प्रारंभिक तैयारी और अनुभव की आवश्यकता होती है।

भौतिकी के लिए बहुत महत्व है और आश्चर्यजनक रूप से, वित्त तथाकथित आंशिक अंतर समीकरण हैं। इसका मतलब है कि वांछित कार्य एक ही समय में कई चर पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, वित्तीय इंजीनियरिंग के क्षेत्र से ब्लैक-स्कोल्स समीकरण इसकी उपज, भुगतान की राशि, साथ ही भुगतान की शुरुआत और समाप्ति के समय के आधार पर एक विकल्प (सुरक्षा का प्रकार) के मूल्य का वर्णन करता है। आंशिक अंतर समीकरण को हल करना काफी जटिल है, आमतौर पर आपको मैटलैब या मेपल जैसे विशेष कार्यक्रमों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

अर्थशास्त्र में अंतर समीकरण लागू करने का एक उदाहरण

जैसा कि वादा किया गया था, हम एक अंतर समीकरण को हल करने का एक सरल उदाहरण देते हैं। आइए पहले कार्य निर्धारित करें।

कुछ फर्म के लिए, अपने उत्पादों की बिक्री से सीमांत राजस्व का कार्य $MR=10-0.2q$ रूप में होता है। यहाँ $MR$ फर्म का सीमांत राजस्व है और $q$ आउटपुट है। हमें कुल आय का पता लगाना होगा।

जैसा कि समस्या से देखा जा सकता है, यह सूक्ष्मअर्थशास्त्र से एक लागू उदाहरण है। कई फर्मों और उद्यमों को अपनी गतिविधियों के दौरान लगातार ऐसी गणनाओं का सामना करना पड़ता है।

आइए निर्णय पर आते हैं। जैसा कि सूक्ष्मअर्थशास्त्र से जाना जाता है, सीमांत राजस्व कुल राजस्व का व्युत्पन्न है, और राजस्व शून्य बिक्री पर शून्य है।

गणितीय दृष्टिकोण से, समस्या $R'=10-0.2q$ की स्थिति $R(0)=0$ के तहत अंतर समीकरण $R'=10-0.2q$ को हल करने के लिए कम हो गई थी।

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं, दोनों भागों के एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन को लेते हुए, हमें सामान्य समाधान मिलता है: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C। $$

स्थिर $C$ खोजने के लिए, शर्त $R(0)=0$ को याद करें। स्थानापन्न: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ तो C=0 और हमारा कुल राजस्व फलन $R(q)=10q-0.1q^2$ हो जाता है। समस्या हल हो गई।

विभिन्न प्रकार के रिमोट कंट्रोल के अन्य उदाहरण पृष्ठ पर एकत्र किए गए हैं:

आवेदन पत्र

छात्रों के लिए अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए साइट पर ऑनलाइन अंतर समीकरणों को हल करना। और अपने व्यावहारिक कौशल का अभ्यास करें। अंतर समीकरण ऑनलाइन। Difuras ऑनलाइन, ऑनलाइन गणित समाधान। ऑनलाइन गणितीय समस्याओं का चरणबद्ध समाधान। एक अवकल समीकरण का क्रम, या डिग्री, इसमें शामिल व्युत्पन्नों का उच्चतम क्रम है। अंतर समीकरण ऑनलाइन। अवकल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं। एक अंतर समीकरण को एकीकृत करने की समस्या को हल माना जाता है यदि अज्ञात फ़ंक्शन को चतुर्भुज किया जा सकता है, भले ही परिणामी अभिन्न ज्ञात कार्यों के संदर्भ में अंतिम रूप में व्यक्त किया गया हो या नहीं। डिफरेंशियल इक्वेशन्स का स्टेप बाय स्टेप सॉल्यूशन ऑनलाइन। सभी अंतर समीकरणों को साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) में विभाजित किया जा सकता है, जिसमें एक तर्क के केवल कार्य (और उनके डेरिवेटिव) और आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) शामिल हैं, जिसमें इनपुट फ़ंक्शन कई चर पर निर्भर करते हैं। अंतर समीकरण ऑनलाइन। यादृच्छिक प्रक्रियाओं को शामिल करने वाले स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण (एसडीई) भी हैं। डिफरेंशियल इक्वेशन्स का स्टेप बाय स्टेप सॉल्यूशन ऑनलाइन। अवकलजों, फलनों, स्वतंत्र चरों के संयोजन के आधार पर, अवकल समीकरणों को रैखिक और अरैखिक में विभाजित किया जाता है, जिसमें स्थिर या चर गुणांक, सजातीय या गैर-सजातीय होते हैं। अनुप्रयोगों के महत्व के कारण, क्वासिलिनियर (उच्च डेरिवेटिव के संबंध में रैखिक) आंशिक अंतर समीकरणों को एक अलग वर्ग में अलग किया जाता है। विभेदक समीकरणों के समाधान सामान्य और विशेष समाधानों में विभाजित होते हैं। अंतर समीकरण ऑनलाइन। सामान्य समाधानों में अनिश्चित स्थिरांक शामिल हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के लिए - स्वतंत्र चर के मनमाने कार्य, जिन्हें अतिरिक्त एकीकरण स्थितियों (साधारण अंतर समीकरणों के लिए प्रारंभिक स्थिति, आंशिक अंतर समीकरणों के लिए प्रारंभिक और सीमा की स्थिति) से परिष्कृत किया जा सकता है। डिफरेंशियल इक्वेशन्स का स्टेप बाय स्टेप सॉल्यूशन ऑनलाइन। इन अचर और अनिश्चित फलनों के रूप का निर्धारण करने के बाद, समाधान विशिष्ट हो जाते हैं। साधारण अंतर समीकरणों के समाधान की खोज ने विशेष कार्यों के एक वर्ग की स्थापना की - ऐसे कार्यों का अक्सर सामना करना पड़ता है जो ज्ञात प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किए जाते हैं। अंतर समीकरण ऑनलाइन। उनके गुणों का विस्तार से अध्ययन किया गया, मूल्यों की तालिकाएँ संकलित की गईं, अंतर्संबंधों का निर्धारण किया गया, आदि। . प्रगणित संख्याओं के समुच्चय का पता लगाया जा सकता है। दी गई समस्या का सबसे अच्छा उत्तर। पाया ऊपरी सीमा को स्पष्ट किए बिना अंतर समीकरणों के बारे में अभिसरण के क्षेत्र में आउटगोइंग वेक्टर को पहले सन्निकटन में कैसे खोजें। गणितीय कार्यों को बढ़ाने के लिए विकल्प स्पष्ट है। अनुसंधान के स्तर से ऊपर एक प्रगतिशील विधि है। समस्या की प्रारंभिक स्थिति के साथ संरेखित करने के लिए, अंतर का समाधान एकल-मूल्यवान चुने हुए मूल्य को खोजने में मदद करेगा। हो सकता है कि वह अज्ञात का तुरंत पता लगा सके। गणितीय समस्या के समाधान को इंगित करने के पिछले उदाहरण की तरह, रैखिक अंतर समीकरण एक निर्दिष्ट समय सीमा में एक विशिष्ट समस्या का उत्तर हैं। अध्ययन प्रक्रिया का रखरखाव स्थानीय रूप से परिभाषित नहीं है। ऐसा होगा कि प्रत्येक छात्र के लिए एक उदाहरण है और अंतर समीकरणों का समाधान जिम्मेदार निष्पादक को कम से कम दो मूल्यों से निर्धारित व्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाएगा। एक निश्चित खंड पर सामान्य मूल्य का एक कार्य लें और चेतावनी दें कि किस अक्ष पर अंतराल होगा। अंतर समीकरणों का ऑनलाइन अध्ययन करने के बाद, यह स्पष्ट रूप से दिखाना संभव है कि परिणाम कितना महत्वपूर्ण है, यदि कोई प्रारंभिक स्थितियों से प्रदान किया जाता है। किसी क्षेत्र को फ़ंक्शन परिभाषा से काटना असंभव है, क्योंकि स्थानीय रूप से कोई कार्य परिभाषा नहीं है। समीकरणों की प्रणाली से पाया जा रहा है, उत्तर में एक चर होता है जिसे सामान्य अर्थों में गणना की जा सकती है, लेकिन स्वाभाविक रूप से उक्त स्थिति को निर्धारित करने के लिए इस क्रिया के बिना अंतर समीकरण को ऑनलाइन हल करना संभव होगा। खंड के अंतराल के पास, यह देखा जा सकता है कि ऑनलाइन अंतर समीकरणों का समाधान छात्रों के ज्ञान के कटऑफ के समय शोध के परिणाम को सकारात्मक दिशा में कैसे आगे बढ़ा सकता है। सर्वोत्तम हमेशा व्यवसाय के लिए सामान्य स्वीकृत दृष्टिकोण से प्राप्त नहीं होता है। 2x स्तर पर, कोई भी सभी आवश्यक प्राकृतिक रैखिक अंतर समीकरणों को उपयोगी रूप से देख सकता है, लेकिन संख्यात्मक मान की गणना करने की क्षमता से ज्ञान में वृद्धि होगी। गणित में किसी भी तकनीक के अनुसार, अवकल समीकरण होते हैं जो अनिवार्य रूप से भिन्न अभिव्यक्तियों में प्रस्तुत किए जाते हैं, जैसे सजातीय या जटिल। फ़ंक्शन के अध्ययन का एक सामान्य विश्लेषण करने के बाद, यह स्पष्ट हो जाएगा कि संभावनाओं के एक सेट के रूप में अंतर का समाधान मूल्यों में एक स्पष्ट त्रुटि का प्रतिनिधित्व करता है। इसमें सच्चाई भुज रेखाओं के ऊपर के स्थान में है। किसी जटिल फलन के क्षेत्र में कहीं, इसकी परिभाषा के किसी बिंदु पर, रैखिक अवकल समीकरण एक विश्लेषणात्मक रूप में उत्तर का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम होंगे। अर्थात्, सामान्य शब्दों में, सार के रूप में। चर बदलते समय कुछ भी नहीं बदलेगा। हालांकि, विशेष रुचि के साथ उत्तर की जांच करना आवश्यक है। तथ्य की बात के रूप में, कैलकुलेटर अंत में अनुपात को बदलता है, अर्थात, अंतर समीकरणों का समाधान वैश्विक मूल्य के आनुपातिक है, वांछित समाधान के भीतर इंगित किया गया है। कुछ मामलों में, एक सामूहिक त्रुटि चेतावनी अपरिहार्य है। अंतर समीकरण ऑनलाइन समस्या के एक सामान्य विचार को लागू करते हैं, लेकिन अंत में, आपको जितनी जल्दी हो सके क्रॉस उत्पाद के सकारात्मक पहलुओं को प्रदान करने की आवश्यकता है। गणित में, संख्या सिद्धांत में त्रुटि के मामले असामान्य नहीं हैं। निश्चित रूप से जाँच की जानी चाहिए। स्वाभाविक रूप से, अपने क्षेत्र के पेशेवरों को यह अधिकार देना बेहतर है और यह वे हैं जो ऑनलाइन अंतर समीकरण को हल करने में मदद करेंगे, क्योंकि उनका अनुभव बहुत बड़ा और सकारात्मक है। आकृतियों और क्षेत्रफल की सतहों पर अंतर ऐसा है कि यह ऑनलाइन अंतर समीकरणों का समाधान नहीं है जो आपको देखने की अनुमति देगा, लेकिन गैर-अंतर्विभाजक वस्तुओं का सेट ऐसा है कि रेखा अक्ष के समानांतर है। नतीजतन, आप दो गुना अधिक मूल्य प्राप्त कर सकते हैं। निहित होने के नाते, औपचारिक संकेतन की शुद्धता की हमारी धारणा देखने के क्षेत्र में और परिणाम की गुणवत्ता के जानबूझकर overestimation के संबंध में रैखिक अंतर समीकरण प्रदान करती है। सभी छात्रों के लिए दिलचस्प विषय पर एक चर्चा समीक्षा में कई बार प्रकाशित की जाती है। व्याख्यान के पूरे पाठ्यक्रम के अध्ययन के दौरान, हम अपना ध्यान अंतर समीकरणों और विज्ञान के अध्ययन के संबंधित क्षेत्रों पर केंद्रित करेंगे, यदि सत्य का खंडन न करें। यात्रा की शुरुआत में कई चरणों से बचा जा सकता है। यदि अंतर समाधान अभी भी छात्रों के लिए मौलिक रूप से कुछ नया है, तो पुराने को बिल्कुल भी नहीं भुलाया जाता है, लेकिन विकास की उच्च दर से भविष्य में प्रगति होती है। प्रारंभ में, गणित में एक समस्या के लिए स्थितियां अलग हो जाती हैं, लेकिन यह दाईं ओर के पैराग्राफ में इंगित किया गया है। परिभाषा द्वारा निर्दिष्ट समय की समाप्ति के बाद, वेक्टर की गति के विभिन्न विमानों पर आनुपातिक निर्भर परिणाम की संभावना से इंकार नहीं किया जाता है। इस तरह के एक साधारण मामले को उसी तरह से ठीक किया जाता है जैसे कि एक सामान्य रूप में एक कैलकुलेटर पर रैखिक अंतर समीकरणों का वर्णन किया जाता है, इसलिए यह तेज़ होगा और गणना के ऑफसेट से गलत राय नहीं होगी। सिद्धांत के अनुसार नामित केवल पांच मामले जो हो रहा है उसकी सीमाओं को धक्का दे सकते हैं। विभेदक समीकरणों का हमारा समाधान कार्यात्मक स्थान के अपघटन के पहले चरणों में पहले से ही संख्याओं में मूल्य की मैन्युअल रूप से गणना करने में मदद करेगा। सही जगहों पर चार रेखाओं के संपर्क बिंदु को सामान्य अर्थ में प्रस्तुत करना आवश्यक है। लेकिन अगर आपको कार्य को जबरदस्ती करना है, तो जटिलता की बराबरी करना आसान होगा। प्रारंभिक डेटा आसन्न पैर को डिजाइन करने के लिए पर्याप्त है और ऑनलाइन अंतर समीकरण बाएं-संरेखित दिखते हैं और एक तरफा सतह वेक्टर रोटर की ओर निर्देशित होती है। ऊपरी सीमा से ऊपर, संकेतित स्थिति से अधिक संख्यात्मक मान संभव हैं। अनुपात के सामान्य मूल्य में तीन अज्ञात के कारण गणितीय सूत्र को ध्यान में रखना और अंतर समीकरण को ऑनलाइन हल करना संभव है। गणना की स्थानीय पद्धति को मान्य माना जाता है। समतल की सापेक्ष गति में निर्देशांक प्रणाली आयताकार है। विभेदक समीकरणों का सामान्य ऑनलाइन समाधान स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित संपूर्ण सीधी रेखा पर मैट्रिक्स परिभाषाओं के माध्यम से एक कम्प्यूटेशनल स्वीप के पक्ष में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है। यदि आप गति सदिश को तीन गोलार्द्धों के संपर्क बिंदु पर लागू करते हैं तो समाधान देखा जाता है। बेलन को आयत को भुजा के चारों ओर घुमाकर प्राप्त किया जाता है और रैखिक अंतर समीकरण गति के नियम के दिए गए भावों के अनुसार बिंदु की गति की दिशा दिखा सकते हैं। प्रारंभिक डेटा सही हैं और गणित में समस्या एक साधारण शर्त के तहत विनिमेय है। हालांकि, परिस्थितियों के कारण, सेटिंग उप-समस्या की जटिलता को देखते हुए, अंतर समीकरण त्रि-आयामी अंतरिक्ष के स्तर पर गणना किए गए संख्यात्मक रिक्त स्थान की प्रक्रिया को सरल बनाते हैं। अन्यथा साबित करना आसान है, लेकिन इससे बचना संभव है, जैसा कि ऊपर के उदाहरण में है। उच्च गणित में, निम्नलिखित बिंदु प्रदान किए जाते हैं: जब कोई समस्या सरलीकृत रूप में कम हो जाती है, तो छात्रों की ओर से सबसे बड़ा संभव प्रयास उस तक बढ़ाया जाना चाहिए। एक दूसरे पर आरोपित रेखाएं ऑफसेट में आती हैं। प्रो डिफरेंशियल सॉल्यूशन अभी भी एक घुमावदार रेखा पर उक्त पद्धति के लाभ को फिर से शुरू करता है। यदि आप पहली बार में पहचानते हैं कि आपको क्या चाहिए, तो गणितीय सूत्र अभिव्यक्ति का एक नया मूल्य बना देगा। लक्ष्य प्रोफेसर द्वारा निर्धारित कार्यों को हल करने के लिए इष्टतम दृष्टिकोण है। आपको यह नहीं मानना ​​​​चाहिए कि सरलीकृत रूप में रैखिक अंतर समीकरण अपेक्षित परिणाम से अधिक होंगे। हम तीन सदिशों को एक सूक्ष्म रूप से निर्मित सतह पर रखते हैं। एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल। आइए उत्पाद की गणना करें। आइए बड़ी संख्या में प्रतीकों को जोड़ते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति से फ़ंक्शन के सभी चर लिखते हैं। एक अनुपात होता है। गणना के अंत से पहले की कई क्रियाएं अंतर समीकरणों के समाधान के लिए तुरंत एक स्पष्ट उत्तर नहीं देंगी, लेकिन केवल y- अक्ष के साथ आवंटित समय बीत जाने के बाद ही। फ़ंक्शन से परोक्ष रूप से दिए गए असंततता बिंदु के बाईं ओर, हम सबसे अच्छे बढ़ते वेक्टर के लिए एक अक्ष ऑर्थोगोनल खींचते हैं और ऑनलाइन अंतर समीकरणों को गणितीय वस्तु की निचली सीमा के कम से कम सीमा मान के साथ रखते हैं। आइए फ़ंक्शन के ब्रेक क्षेत्र में एक अतिरिक्त तर्क जोड़ें। वक्र रेखा के बिंदुओं के दाईं ओर, एक सामान्य हर को कम करने के लिए हमारे द्वारा लिखे गए सूत्र अंतर समीकरण को ऑनलाइन हल करने में मदद करेंगे। एकमात्र सही दृष्टिकोण वह है जो सिद्धांत से व्यवहार तक अनसुलझी समस्याओं पर प्रकाश डालेगा, सामान्य मामले में स्पष्ट रूप से। दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक की दिशा में रेखाओं ने कभी भी वर्ग की चरम स्थिति को बंद नहीं किया है, हालांकि, ऑनलाइन अंतर समीकरणों का समाधान छात्रों और हमें, और इस क्षेत्र में शुरुआती लोगों को गणित का अध्ययन करने में मदद करेगा। हम एक क्षेत्र के सभी महत्वपूर्ण सबलाइनों में मूल्य तर्क को प्रतिस्थापित करने की संभावना के बारे में बात कर रहे हैं। सिद्धांत रूप में, जैसा कि कोई उम्मीद करेगा, हमारे रैखिक अंतर समीकरण कम अर्थ की एकल अवधारणा में अलग-थलग हैं। छात्रों की मदद करने के लिए, समान सेवाओं में से एक कैलकुलेटर है। सभी पाठ्यक्रमों के माध्यम से जाएं और अपने लिए सबसे अच्छा चुनें।

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अक्सर सिर्फ एक जिक्र विभेदक समीकरणछात्रों को असहज करता है। ये क्यों हो रहा है? सबसे अधिक बार, क्योंकि सामग्री की मूल बातें का अध्ययन करते समय, ज्ञान में एक अंतराल उत्पन्न होता है, जिसके कारण आगे का अध्ययन केवल यातना बन जाता है। कुछ भी स्पष्ट नहीं है कि क्या किया जाए, कैसे तय किया जाए कि कहां से शुरू किया जाए?

हालाँकि, हम आपको यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि difurs उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है।

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ

स्कूल से, हम सबसे सरल समीकरणों को जानते हैं जिनमें हमें अज्ञात x को खोजने की आवश्यकता होती है। वास्तव में विभेदक समीकरणकेवल उनसे थोड़ा अलग - एक चर के बजाय एक्स उन्हें एक समारोह खोजने की जरूरत है वाई (एक्स) , जो समीकरण को एक पहचान में बदल देगा।

डी विभेदक समीकरणबड़े व्यावहारिक महत्व के हैं। यह अमूर्त गणित नहीं है जिसका हमारे आसपास की दुनिया से कोई लेना-देना नहीं है। अवकल समीकरणों की सहायता से अनेक वास्तविक प्राकृतिक प्रक्रियाओं का वर्णन किया जाता है। उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग कंपन, एक हार्मोनिक थरथरानवाला की गति, यांत्रिकी की समस्याओं में अंतर समीकरणों के माध्यम से, एक शरीर की गति और त्वरण का पता लगाएं। भी ड्यूजीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और कई अन्य विज्ञानों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अंतर समीकरण (ड्यू) एक समीकरण है जिसमें फ़ंक्शन y(x) के व्युत्पन्न, स्वयं फ़ंक्शन, स्वतंत्र चर और विभिन्न संयोजनों में अन्य पैरामीटर शामिल हैं।

कई प्रकार के अंतर समीकरण हैं: साधारण अंतर समीकरण, रैखिक और गैर-रैखिक, सजातीय और गैर-सजातीय, पहले और उच्च क्रम के अंतर समीकरण, आंशिक अंतर समीकरण, और इसी तरह।

एक विभेदक समीकरण का समाधान एक ऐसा फलन है जो इसे एक पहचान में बदल देता है। रिमोट कंट्रोल के सामान्य और विशेष समाधान हैं।

विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान समाधान का सामान्य सेट है जो समीकरण को एक पहचान में बदल देता है। विभेदक समीकरण का एक विशेष समाधान एक ऐसा समाधान है जो प्रारंभ में निर्दिष्ट अतिरिक्त शर्तों को पूरा करता है।

अवकल समीकरण का क्रम इसमें शामिल व्युत्पन्नों के उच्चतम क्रम से निर्धारित होता है।

सामान्य अवकल समीकरण

सामान्य अवकल समीकरणएक स्वतंत्र चर वाले समीकरण हैं।

प्रथम कोटि के सरलतम साधारण अवकल समीकरण पर विचार कीजिए। ऐसा लग रहा है:

इस समीकरण को केवल इसके दाहिने पक्ष को एकीकृत करके हल किया जा सकता है।

ऐसे समीकरणों के उदाहरण:

वियोज्य चर समीकरण

सामान्य तौर पर, इस प्रकार का समीकरण इस तरह दिखता है:

यहाँ एक उदाहरण है:

इस तरह के समीकरण को हल करते हुए, आपको चर को अलग करने की जरूरत है, इसे फॉर्म में लाएं:

उसके बाद, यह दोनों भागों को एकीकृत करने और समाधान प्राप्त करने के लिए रहता है।

पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

ऐसे समीकरण रूप लेते हैं:

यहाँ p(x) और q(x) स्वतंत्र चर के कुछ फलन हैं, और y=y(x) वांछित फलन है। इस तरह के समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है:

इस तरह के समीकरण को हल करते हुए, अक्सर वे एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करते हैं या दो अन्य कार्यों के उत्पाद के रूप में वांछित फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं y(x)=u(x)v(x)।

ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, एक निश्चित तैयारी की आवश्यकता होती है, और उन्हें "मजबूत" पर लेना काफी मुश्किल होगा।

वियोज्य चर के साथ DE को हल करने का एक उदाहरण

इसलिए हमने सबसे सरल प्रकार के रिमोट कंट्रोल पर विचार किया है। आइए अब उनमें से एक पर एक नजर डालते हैं। इसे वियोज्य चरों के साथ एक समीकरण होने दें।

सबसे पहले, हम व्युत्पन्न को अधिक परिचित रूप में फिर से लिखते हैं:

फिर हम चर को अलग करेंगे, अर्थात समीकरण के एक भाग में हम सभी "गेम" एकत्र करेंगे, और दूसरे में - "xes":

अब यह दोनों भागों को एकीकृत करने के लिए बनी हुई है:

हम इस समीकरण के सामान्य समाधान को एकीकृत और प्राप्त करते हैं:

बेशक, अंतर समीकरणों को हल करना एक तरह की कला है। आपको यह समझने में सक्षम होना चाहिए कि एक समीकरण किस प्रकार का है, और यह भी देखना है कि इसे एक या दूसरे रूप में लाने के लिए आपको इसके साथ कौन से परिवर्तन करने की आवश्यकता है, न कि केवल अंतर करने और एकीकृत करने की क्षमता का उल्लेख करने के लिए। और DE को हल करने में सफल होने के लिए अभ्यास (हर चीज की तरह) की आवश्यकता होती है। और अगर इस समय आपके पास यह पता लगाने का समय नहीं है कि अंतर समीकरणों को कैसे हल किया जाता है या कॉची समस्या आपके गले की हड्डी की तरह बढ़ गई है या आप नहीं जानते हैं, तो हमारे लेखकों से संपर्क करें। थोड़े समय में, हम आपको एक तैयार और विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे, जिसका विवरण आप अपने लिए सुविधाजनक किसी भी समय समझ सकते हैं। इस बीच, हम "अंतर समीकरणों को कैसे हल करें" विषय पर एक वीडियो देखने का सुझाव देते हैं:

यह लेख अंतर समीकरणों के सिद्धांत के अध्ययन में एक प्रारंभिक बिंदु है। यहां मुख्य परिभाषाएं और अवधारणाएं एकत्र की गई हैं जो पाठ में लगातार दिखाई देंगी। बेहतर आत्मसात और समझ के लिए, उदाहरण के साथ परिभाषाएँ प्रदान की जाती हैं।

विभेदक समीकरण (DE)- यह एक समीकरण है जिसमें व्युत्पन्न या अंतर के संकेत के तहत एक अज्ञात फ़ंक्शन शामिल है।

यदि अज्ञात फलन एक चर का फलन है, तो अवकल समीकरण कहलाता है साधारण(संक्षिप्त ओडीई - साधारण अंतर समीकरण)। यदि अज्ञात फलन अनेक चरों का फलन है, तो अवकल समीकरण कहलाता है आंशिक विभेदक समीकरण.

अवकल समीकरण में शामिल किसी अज्ञात फलन के अवकलज का अधिकतम क्रम कहलाता है अंतर समीकरण का क्रम.

यहां क्रमशः पहले, दूसरे और पांचवें क्रम के ओडीई के उदाहरण दिए गए हैं

दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरणों के उदाहरण के रूप में, हम प्रस्तुत करते हैं

इसके अलावा, हम फॉर्म के nवें क्रम के केवल साधारण अंतर समीकरणों पर विचार करेंगे या , जहां (x, y) = 0 एक अज्ञात फलन है जिसे परोक्ष रूप से परिभाषित किया गया है (जब संभव हो, हम इसे स्पष्ट प्रतिनिधित्व y = f(x) में लिखेंगे)।

अवकल समीकरण के हल खोजने की प्रक्रिया कहलाती है अंतर समीकरण का एकीकरण.

एक विभेदक समीकरण को हल करनाएक निहित रूप से दिया गया फ़ंक्शन है (x, y) = 0 (कुछ मामलों में, फ़ंक्शन y को तर्क x के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है), जो अंतर समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

टिप्पणी।

एक अवकल समीकरण का हल हमेशा एक पूर्व निर्धारित अंतराल X पर मांगा जाता है।

हम इसके बारे में अलग से क्यों बात कर रहे हैं? हां, क्योंकि कई समस्याओं की स्थितियों में अंतराल X का उल्लेख नहीं किया जाता है। यही है, समस्याओं की स्थिति आमतौर पर निम्नानुसार तैयार की जाती है: "साधारण अंतर समीकरण का समाधान खोजें" ". इस मामले में, यह समझा जाता है कि सभी x के लिए समाधान मांगा जाना चाहिए जिसके लिए वांछित कार्य y और मूल समीकरण दोनों समझ में आते हैं।

अवकल समीकरण के हल को अक्सर कहा जाता है अंतर समीकरण अभिन्न.

फलन या अवकल समीकरण का हल कहा जा सकता है।

विभेदक समीकरण के समाधानों में से एक फलन है। वास्तव में, इस फ़ंक्शन को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पहचान प्राप्त करते हैं . यह देखना आसान है कि इस ODE का एक अन्य समाधान है, उदाहरण के लिए, . इस प्रकार, अवकल समीकरणों के कई हल हो सकते हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य हलबिना किसी अपवाद के इस अंतर समीकरण के सभी समाधानों वाले समाधानों का समूह है।

अवकल समीकरण का सामान्य हल भी कहा जाता है अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन.

आइए उदाहरण पर वापस जाएं। अवकल समीकरण के सामान्य हल का रूप या है, जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। ऊपर, हमने इस ओडीई के दो समाधानों का संकेत दिया, जो क्रमशः सी = 0 और सी = 1 को प्रतिस्थापित करके अंतर समीकरण के सामान्य अभिन्न से प्राप्त होते हैं।

यदि किसी अवकल समीकरण का हल प्रारंभ में दी गई अतिरिक्त शर्तों को पूरा करता है, तो इसे कहते हैं अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान.

अवकल समीकरण का एक विशेष हल जो y(1)=1 शर्त को संतुष्ट करता है, वह है। सचमुच, तथा .

अवकल समीकरणों के सिद्धांत की मुख्य समस्याएँ हैं कॉची समस्याएँ, सीमा मान समस्याएँ और किसी दिए गए अंतराल X पर किसी अवकल समीकरण का सामान्य हल ढूँढ़ने की समस्याएँ।

कौची समस्याएक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या है जो दिए गए को संतुष्ट करता है आरंभिक स्थितियां, संख्याएं कहां हैं।

सीमा समस्याएक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या है जो सीमा बिंदुओं x 0 और x 1 पर अतिरिक्त शर्तों को पूरा करती है:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, जहां f 0 और f 1 दिए गए नंबर हैं।

सीमा मूल्य समस्या को अक्सर कहा जाता है सीमा मूल्य समस्या.

nवें क्रम का एक साधारण अवकल समीकरण कहलाता है रैखिक, अगर इसका रूप है, और गुणांक एकीकरण अंतराल पर तर्क x के निरंतर कार्य हैं।

या तो पहले से ही व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

अंतराल पर प्रकार के अंतर समीकरणों का सामान्य समाधान एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेकर पाया जा सकता है।

प्राप्त .

यदि हम अनिश्चित समाकल के गुणों को देखें, तो हमें वांछित सामान्य हल प्राप्त होता है:

वाई = एफ (एक्स) + सी,

कहाँ पे एफ (एक्स)- फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक एफ (एक्स)के बीच में एक्स, एक सेएक मनमाना स्थिरांक है।

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश कार्यों में अंतराल एक्सइंगित न करें। इसका मतलब है कि सभी के लिए एक समाधान खोजना होगा। एक्स, जिसके लिए और वांछित कार्य आप, और मूल समीकरण समझ में आता है।

यदि आपको प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतर समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है y(x0) = y0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना के बाद वाई = एफ (एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी0प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करना। यानी एक स्थिरांक सी = सी0समीकरण से निर्धारित एफ (एक्स 0) + सी = वाई 0, और अवकल समीकरण का वांछित विशेष समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ (एक्स) + सी0.

एक उदाहरण पर विचार करें:

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए, परिणाम की शुद्धता की जाँच कीजिए। आइए इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक शर्त को पूरा करेगा।

समाधान:

दिए गए अवकल समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

.

हम इस अभिन्न को भागों द्वारा एकीकरण की विधि से लेते हैं:

उस।, अवकल समीकरण का एक सामान्य हल है।

आइए यह सुनिश्चित करने के लिए जांचें कि परिणाम सही है। ऐसा करने के लिए, हम उस समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं जो हमें दिए गए समीकरण में मिला है:

.

अर्थात्, अत मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अवकल समीकरण का सामान्य हल सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो समाधान पाया वह तर्क के प्रत्येक वास्तविक मूल्य के लिए अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है एक्स.

यह ओडीई के एक विशेष समाधान की गणना करने के लिए बनी हुई है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगी। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है से, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापित करना सी = 2ओडीई के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण समीकरण के 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है एफ (एक्स). यह परिवर्तन समतुल्य होगा यदि एफ (एक्स)किसी के लिए शून्य पर नहीं जाता एक्सअंतर समीकरण के एकीकरण के अंतराल से एक्स.

स्थितियाँ तब संभव हैं, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्यों एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)एक ही समय में शून्य की ओर मुड़ें। समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल कोई फलन होता है आप, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

अगर तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सशर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

अन्य सभी के लिए एक्सअंतराल से एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल रूपांतरित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

आइए हम ODE का सामान्य हल खोजें: .

समाधान।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से, यह स्पष्ट है कि तर्क के गैर-ऋणात्मक मूल्यों के लिए प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है, इसलिए, अभिव्यक्ति का डोमेन लॉग (एक्स+3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण समझ में आता है एक्स > -3 . तर्क के इन मूल्यों के साथ, अभिव्यक्ति एक्स + 3गायब नहीं होता है, इसलिए 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में ओडीई को हल किया जा सकता है एक्स + 3.

हम पाते हैं .

अगला, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस समाकल को लेने के लिए, हम अवकलन के चिह्न के नीचे समाकलन की विधि का प्रयोग करते हैं।