एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण मुख्य विकर्ण के परस्पर लंबवत होते हैं। समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण

एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड आधारों के अंतर के आधे के बराबर होता है
समलम्ब चतुर्भुज के आधारों द्वारा गठित त्रिभुज और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु तक विकर्णों के खंड समान होते हैं
एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के खंडों द्वारा निर्मित त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ समलम्बाकार के किनारों पर स्थित होती हैं - समान क्षेत्रफल (समान क्षेत्रफल होता है)
यदि हम समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं को छोटे आधार की ओर बढ़ाते हैं, तो वे आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे।
ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को जोड़ने वाला खंड, और ट्रेपोज़ॉइड के विकर्णों के चौराहे के बिंदु से गुजरने वाला, इस बिंदु से ट्रेपोज़ॉइड के आधारों की लंबाई के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित होता है।
समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर और विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से खींचा गया एक खंड इस बिंदु से विभाजित होता है, और इसकी लंबाई 2ab / (a + b) के बराबर होती है, जहाँ a और b समलम्बाकार के आधार होते हैं

एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के गुण

ट्रेपेज़ॉइड एबीसीडी के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को कनेक्ट करें, जिसके परिणामस्वरूप हमारे पास एक खंड एलएम होगा।
एक रेखाखंड जो एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिन्दुओं को मिलाता है समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा पर स्थित है.

यह खंड समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर.

एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उसके आधारों के आधे अंतर के बराबर होती है।

एलएम = (एडी - बीसी)/2
या
एलएम = (ए-बी) / 2

समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों से बने त्रिभुजों के गुण

समलम्ब चतुर्भुज के आधारों और समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से बनने वाले त्रिभुज - समान है.
त्रिभुज BOC और AOD समान हैं। क्योंकि कोण BOC और AOD लंबवत हैं, वे बराबर हैं।
कोण OCB और OAD आंतरिक क्रॉसवाइज समानांतर रेखा AD और BC पर स्थित हैं (ट्रेपेज़ियम के आधार एक दूसरे के समानांतर हैं) और छेदक रेखा AC, इसलिए, वे समान हैं।
कोण ओबीसी और ओडीए एक ही कारण (आंतरिक क्रॉस-लेटिंग) के बराबर हैं।

चूँकि एक त्रिभुज के तीनों कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों के बराबर होते हैं, इसलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

इससे क्या होता है?

ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए त्रिभुजों की समरूपता का प्रयोग इस प्रकार किया जाता है। यदि हम समरूप त्रिभुजों के दो संगत तत्वों की लंबाई जानते हैं, तो हम समरूपता गुणांक (हम एक को दूसरे से विभाजित करते हैं) पाते हैं। जहाँ से अन्य सभी तत्वों की लम्बाइयाँ एक दूसरे से ठीक उसी मान से संबंधित हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व पक्ष और विकर्णों पर स्थित त्रिभुजों के गुण

समलम्ब चतुर्भुज AB और CD की भुजाओं पर स्थित दो त्रिभुजों पर विचार कीजिए। ये त्रिभुज AOB और COD हैं। इस तथ्य के बावजूद कि इन त्रिभुजों के अलग-अलग पक्षों के आकार पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं, लेकिन पक्षों द्वारा गठित त्रिभुजों के क्षेत्रफल और समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैंअर्थात् त्रिभुज बराबर होते हैं।

यदि समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं को छोटे आधार की ओर बढ़ाया जाता है, तो भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा एक सीधी रेखा के साथ मेल खाता है जो आधारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरती है.

इस प्रकार, किसी भी समलम्ब को त्रिभुज तक बढ़ाया जा सकता है। जिसमें:

विस्तारित भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों द्वारा निर्मित त्रिभुज समान होते हैं
समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा, उसी समय, निर्मित त्रिभुज की माध्यिका होती है।

एक समलम्ब के आधारों को जोड़ने वाले खंड के गुण

यदि आप एक खंड खींचते हैं जिसका सिरा समलम्बाकार के आधारों पर स्थित होता है, जो समलम्ब चतुर्भुज (KN) के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होता है, तो आधार के किनारे से इसके घटक खंडों का प्रतिच्छेदन बिंदु तक अनुपात विकर्ण (KO / ON) समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के अनुपात के बराबर होगा(बीसी/एडी)।

KO/ON=BC/AD

यह गुण संगत त्रिभुजों (ऊपर देखें) की समानता से अनुसरण करता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर एक खंड के गुण

यदि आप समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर एक खंड खींचते हैं और समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हैं, तो इसमें निम्नलिखित गुण होंगे:

पूर्व निर्धारित दूरी (किमी) समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करता है
लंबाई में कटौती, समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हुए और आधारों के समानांतर, बराबर है केएम = 2ab/(ए + बी)

समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात करने के सूत्र

ए, बी- एक समलम्बाकार आधार

सी, डी- समलम्ब चतुर्भुज के किनारे

d1 d2- एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण

α β - समलम्ब चतुर्भुज के बड़े आधार वाले कोण

आधार पर आधारों, भुजाओं और कोणों के माध्यम से एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को खोजने के सूत्र

सूत्रों का पहला समूह (1-3) समलम्बाकार विकर्णों के मुख्य गुणों में से एक को दर्शाता है:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है और इसके आधारों के गुणनफल का दोगुना होता है। एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के इस गुण को एक पृथक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जा सकता है

2 . यह सूत्र पिछले सूत्र को परिवर्तित करके प्राप्त किया जाता है। दूसरे विकर्ण के वर्ग को समान चिह्न के ऊपर फेंका जाता है, जिसके बाद व्यंजक के बाएँ और दाएँ पक्षों से वर्गमूल निकाला जाता है।

3 . एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने का यह सूत्र पिछले एक के समान है, इस अंतर के साथ कि व्यंजक के बाईं ओर एक और विकर्ण बचा है

सूत्रों का अगला समूह (4-5) अर्थ में समान है और समान संबंध व्यक्त करता है।

सूत्रों का समूह (6-7) आपको समलंब चतुर्भुज के विकर्ण को खोजने की अनुमति देता है यदि आप समलंब के बड़े आधार, एक तरफ और आधार पर कोण को जानते हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को ऊँचाई के पदों में ज्ञात करने के सूत्र

टिप्पणी. इस पाठ में समलम्ब चतुर्भुज के बारे में ज्यामिति की समस्याओं का समाधान दिया गया है। यदि आपको उस प्रकार की ज्यामिति समस्या का समाधान नहीं मिला है जिसमें आप रुचि रखते हैं - मंच पर एक प्रश्न पूछें.

एक कार्य.
समलम्ब चतुर्भुज ABCD (AD | | BC) के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। समलंब के आधार BC की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि आधार AD = 24 सेमी, लंबाई AO = 9 सेमी, लंबाई OS = 6 सेमी।

समाधान.
विचारधारा की दृष्टि से इस कार्य का समाधान बिल्कुल पिछले कार्यों के समान है।

त्रिभुज AOD और BOC तीन कोणों में समान हैं - AOD और BOC लंबवत हैं, और शेष कोण जोड़ीदार समान हैं, क्योंकि वे एक रेखा और दो समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनते हैं।

चूँकि त्रिभुज समान होते हैं, इसलिए उनके सभी ज्यामितीय आयाम एक दूसरे से संबंधित होते हैं, क्योंकि AO और OC खंडों के ज्यामितीय आयाम समस्या की स्थिति से हमें ज्ञात होते हैं। वह है

एओ/ओसी=एडी/बीसी
9/6 = 24 / ई.पू.
ईसा पूर्व = 24 * 6/9 = 16

उत्तर: 16 सेमी

एक कार्य ।
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में यह ज्ञात है कि AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान ।
छोटे आधार B और C के शीर्षों से समलम्बाकार की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम बड़े आधार पर दो ऊँचाई कम करते हैं। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज असमान है, हम लंबाई AM = a, लंबाई KD = b ( सूत्र में प्रतीकों के साथ भ्रमित न होंएक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करना)। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज के आधार समानांतर हैं और हमने बड़े आधार के लंबवत दो ऊँचाइयों को छोड़ दिया है, तो MBCK एक आयत है।

माध्यम
एडी=एएम+बीसी+केडी
ए + 8 + बी = 24
ए = 16 - बी

त्रिभुज DBM और ACK समकोण हैं, इसलिए उनके समकोण समलंब की ऊँचाई से बनते हैं। आइए समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई को h के रूप में निरूपित करें। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

एच 2 + (24 - ए) 2 \u003d (5√17) 2
तथा
एच 2 + (24 - बी) 2 \u003d 13 2

विचार करें कि a \u003d 16 - b, फिर पहले समीकरण में
एच 2 + (24 - 16 + बी) 2 \u003d 425
ज 2 \u003d 425 - (8 + ख) 2

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा प्राप्त दूसरे समीकरण में ऊंचाई के वर्ग के मान को रखें। हम पाते हैं:
425 - (8 + बी) 2 + (24 - बी) 2 = 169
-(64 + 16बी + बी) 2 + (24 - बी) 2 = -256
-64 - 16 बी - बी 2 + 576 - 48 बी + बी 2 = -256
-64बी = -768
बी = 12

अत: केडी = 12
कहाँ पे
एच 2 \u003d 425 - (8 + बी) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
एच = 5

इसकी ऊंचाई और आधारों के आधे योग का उपयोग करके एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
, जहाँ a b - समलम्बाकार आधार, h - समलंब की ऊँचाई
एस \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 सेमी 2

उत्तर: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 80 cm2 है।

यदि समद्विबाहु समलम्ब में विकर्ण लंबवत हैं, तो निम्नलिखित सैद्धांतिक सामग्री समस्या को हल करने में उपयोगी होगी।

1. यदि एक समद्विबाहु समलम्ब में विकर्ण लंबवत हैं, तो समलंब की ऊंचाई आधारों के योग की आधी है।

आइए हम बिंदु C से होकर BD के समांतर रेखा CF खींचते हैं और रेखा AD को तब तक बढ़ाते हैं जब तक कि वह CF को काट न दे।

चतुर्भुज BCFD एक समांतर चतुर्भुज है (BC∥ DF एक समलंब के आधार के रूप में, BD∥ CF निर्माण द्वारा)। तो CF=BD, DF=BC और AF=AD+BC।

त्रिभुज ACF समकोण है (यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो वह दूसरी रेखा पर भी लंबवत है)। चूँकि एक समद्विबाहु समलम्ब में विकर्ण बराबर होते हैं, और CF=BD, फिर CF=AC, अर्थात् त्रिभुज ACF आधार AF के साथ समद्विबाहु है। अत: इसकी ऊँचाई CN भी माध्यिका है। और चूँकि कर्ण पर खींचे गए समकोण त्रिभुज की माध्यिका उसके आधे के बराबर होती है, तो

जिसे सामान्य रूप से के रूप में लिखा जा सकता है

जहाँ h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है, a और b इसके आधार हैं।

2. यदि एक समद्विबाहु समलम्ब में विकर्ण लंबवत हैं, तो इसकी ऊंचाई मध्य रेखा के बराबर होती है।

चूँकि समलम्ब चतुर्भुज m की मध्य रेखा आधारों के योग के आधे के बराबर है, तो

3. यदि विकर्ण समद्विबाहु समलम्ब में लंबवत हैं, तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई के वर्ग के बराबर है (या आधारों के आधे योग का वर्ग, या मध्य रेखा का वर्ग) )

चूँकि समलम्ब का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

और ऊंचाई, आधारों का आधा योग और लंबवत विकर्णों के साथ समद्विबाहु समलंब की मध्य रेखा एक दूसरे के बराबर हैं:

4. यदि एक समद्विबाहु समलम्ब में विकर्ण लंबवत हैं, तो इसके विकर्ण का वर्ग आधारों के योग के आधे वर्ग के बराबर होता है, साथ ही ऊंचाई के वर्ग का दोगुना और मध्य रेखा के वर्ग का दोगुना होता है।

चूँकि एक उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों और उनके बीच के कोण द्वारा सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है

फिर से पाइथागोरस त्रिभुज :))) यदि बड़े आधार से प्रतिच्छेदन बिंदु तक बड़े विकर्ण का एक टुकड़ा x द्वारा निरूपित किया जाता है, तो समान कोण वाले समकोण त्रिभुजों की स्पष्ट समानता से यह अनुसरण करता है। x / 64 = 36 / x, इसलिए x = 48; 48/64 = 3/4, इसलिए आधारों, विकर्णों और आधार के लंबवत एक भुजा से बनने वाले सभी समकोण त्रिभुज 3,4,5 भुजाओं वाले त्रिभुज के समान होते हैं। एकमात्र अपवाद एक त्रिभुज है जो विकर्णों के टुकड़ों और एक तिरछी तरफ से बनता है, लेकिन हमें इसमें कोई दिलचस्पी नहीं है :)। (स्पष्ट होने के लिए, प्रश्न में समानता कोणों के सिर्फ एक अन्य नामित त्रिकोणमितीय कार्य है :) हम पहले से ही बड़े विकर्ण और बड़े आधार के बीच कोण के स्पर्शरेखा को जानते हैं, यह 3/4 है, इसलिए साइन 3/5 है, और कोज्या 4/5 :)) आप तुरंत लिख सकते हैं

उत्तर। निचला आधार 80 है, समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 60 होगी, और ऊपरी वाली 45 होगी। (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

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