7 वीं कक्षा

"पहचान। अभिव्यक्तियों की पहचान परिवर्तन ”।

अब्दुलकेरीमोवा खदीज़हत मखमुदोव्ना,

गणित शिक्षक

पाठ मकसद

परिचित और शुरू में "समान रूप से समान भाव", "पहचान", "समान परिवर्तन" की अवधारणाओं को समेकित करना;

पहचान साबित करने के तरीकों पर विचार करने के लिए, पहचान साबित करने के लिए कौशल के विकास में योगदान करने के लिए;

कवर की गई सामग्री के छात्रों के आत्मसात की जाँच करने के लिए, नए की धारणा के लिए अध्ययन किए गए को लागू करने के कौशल को बनाने के लिए।

पाठ प्रकार: नई सामग्री सीखना

उपकरण : बोर्ड, पाठ्यपुस्तक, कार्यपुस्तिका।

पी लैन पाठ

आयोजन का समय

होमवर्क की जाँच करना

ज्ञान अद्यतन

नई सामग्री का अध्ययन ("पहचान", "समान परिवर्तन") की अवधारणाओं का परिचय और प्राथमिक समेकन।

प्रशिक्षण अभ्यास ("पहचान", "समान परिवर्तन") की अवधारणाओं का गठन।

पाठ का प्रतिबिंब (पाठ में प्राप्त सैद्धांतिक जानकारी को सारांशित करें)।

होमवर्क संदेश (होमवर्क की सामग्री की व्याख्या करें)

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय . गृहकार्य की जाँच। (सामने)

तृतीय . ज्ञान अद्यतन।

अंकीय व्यंजक और चरों वाले व्यंजक का उदाहरण दीजिए

x=-4 पर व्यंजकों x+3 और 3x के मानों की तुलना करें; 1.5; 5

किस संख्या से विभाजित नहीं किया जा सकता है? (0)

गुणन परिणाम? (काम)

दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या? (99)

-200 से 200 तक का उत्पाद क्या है? (0)

घटाव का परिणाम। (अंतर)

एक किलोग्राम में कितने ग्राम होते हैं? (1000)

जोड़ की कम्यूटेटिव संपत्ति। (शर्तों के स्थानों की पुनर्व्यवस्था से योग नहीं बदलता है)

गुणन की कम्यूटेटिव संपत्ति। (उत्पाद कारकों के स्थानों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है)

जोड़ की साहचर्य संपत्ति। (दो संख्याओं के योग में एक संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी का योग जोड़ सकते हैं)

गुणन की साहचर्य संपत्ति। (दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)

वितरण संपत्ति। (किसी संख्या को दो संख्याओं के योग से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं)

चतुर्थ। नए विषय की व्याख्या:

x=5 और y=4 . पर व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

हमें वही परिणाम मिला। यह वितरण संपत्ति से इस प्रकार है कि, सामान्य रूप से, चर के किसी भी मूल्य के लिए, भावों के मान 3(x + y) और 3x + 3y बराबर हैं।

अब व्यंजकों 2x + y और 2xy पर विचार करें। x=1 और y=2 के लिए वे समान मान लेते हैं:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे कि इन भावों के मान समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=3, y=4, तो

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

परिभाषा: दो व्यंजक जिनके मान चर के किसी भी मान के लिए समान हैं, समान रूप से समान कहलाते हैं।

व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y समान रूप से समान हैं, लेकिन व्यंजक 2x+y और 2xy समान रूप से समान नहीं हैं।

समानता 3(x + y) और 3x + 3y x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है। ऐसी समानताएं पहचान कहलाती हैं।

परिभाषा: एक समानता जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान कहलाती है।

वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं। हम पहले ही पहचान के साथ मिल चुके हैं। सर्वसमिकाएँ वे समानताएँ हैं जो क्रियाओं के मूल गुणों को संख्याओं पर व्यक्त करती हैं (छात्र प्रत्येक गुण का उच्चारण करके उस पर टिप्पणी करते हैं)।

ए + बी = बी + ए अब = बीए (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (एबी) सी = ए (बीसी) ए (बी + सी) = एबी + एसी

सर्वसमिकाओं के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं (छात्र प्रत्येक संपत्ति पर टिप्पणी करते हैं, उसका उच्चारण करते हैं)।

ए + 0 = ए

ए * 1 = ए

ए + (-ए) = 0

एक * (- बी ) = - अब

एक - बी = एक + (- बी )

(- एक ) * (- बी ) = अब

परिभाषा: एक व्यंजक का दूसरे व्यंजक के स्थान पर, जो उसके समान रूप से समान हो, समरूप रूपान्तरण या केवल व्यंजक का रूपान्तरण कहलाता है।

शिक्षक:

संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।

अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना और अन्य समस्याओं को हल करने में अभिव्यक्तियों के पहचान परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। आपको पहले से ही कुछ समान परिवर्तन करने थे, उदाहरण के लिए, समान शब्दों की कमी, कोष्ठक का विस्तार। इन परिवर्तनों के नियमों को याद करें:

छात्र:

समान पदों को लाने के लिए, उनके गुणांकों को जोड़ना और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना आवश्यक है;

यदि कोष्ठक के सामने धन का चिह्न है, तो कोष्ठकों में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बनाए रखते हुए कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है;

यदि कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बदलकर कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है।

शिक्षक:

उदाहरण 1. हम समान पद प्रस्तुत करते हैं

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

हमने किस नियम का इस्तेमाल किया?

विद्यार्थी:

हमने समान पदों के न्यूनीकरण के नियम का प्रयोग किया है। यह परिवर्तन गुणन के वितरण गुण पर आधारित है।

शिक्षक:

उदाहरण 2. व्यंजक 2a + में कोष्ठकों का विस्तार कीजिए।बी-3 सी) = 2 एक + बी – 3 सी

हमने धन चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने का नियम लागू किया।

विद्यार्थी:

किया गया परिवर्तन जोड़ की साहचर्य संपत्ति पर आधारित है।

शिक्षक:

उदाहरण 3. आइए व्यंजक a - (4 .) में कोष्ठक खोलेंबी- सी) =एक – 4 बी + सी

हमने कोष्ठक खोलने के नियम का उपयोग किया है, जो ऋण चिह्न से पहले होता है।

यह परिवर्तन किस गुण पर आधारित है?

विद्यार्थी:

किया गया परिवर्तन गुणन के वितरण गुण और योग के साहचर्य गुण पर आधारित है।

वी . व्यायाम कर रहा या कर रही हूं।

№85 मौखिक रूप से

№86 मौखिक रूप से

№88 मौखिक रूप से

№93

№94

№90av

№96

№97

छठी . सबक प्रतिबिंब .

शिक्षक प्रश्न पूछता है, और छात्र अपनी इच्छानुसार उनका उत्तर देते हैं।

किन दो भावों को समान रूप से समान कहा जाता है? उदाहरण दो।

किस समानता को पहचान कहा जाता है? एक उदाहरण दें।

आप कौन से समान परिवर्तन जानते हैं?

सातवीं . गृहकार्य . पी.5, नंबर 95, 98,100 (ए, सी)

पाठ सामग्री

द्विपद को घात में बढ़ाना

द्विपद एक बहुपद है जिसमें दो पद होते हैं। पिछले पाठों में, हमने द्विपद को दूसरी और तीसरी घात तक बढ़ा दिया, जिससे संक्षिप्त गुणन सूत्र प्राप्त हुए:

(ए+बी) 2 = एक 2 + 2अब + बी 2

(एक + बी) 3 = एक 3 + 3एक 2 बी + 3अब 2 + बी 3

लेकिन द्विपद को न केवल दूसरी और तीसरी शक्तियों तक बढ़ाया जा सकता है, बल्कि चौथी, पांचवीं या उच्च शक्तियों तक भी बढ़ाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए एक द्विपद का निर्माण करें ए+बीचौथी डिग्री तक:

(ए+बी) 4

हम इस व्यंजक को द्विपद के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं ए+बीऔर एक ही द्विपद का घन

(ए+बी)(एक+बी) 3

कारक ( ए+बी) 3 को दो भावों के योग के घन सूत्र के दाईं ओर से बदला जा सकता है। तब हमें मिलता है:

(ए+बी)(एक 3 + 3एक 2 बी + 3अब 2 + बी 3)

और यह बहुपदों का सामान्य गुणन है। आइए इसे निष्पादित करें:

अर्थात्, द्विपद का निर्माण करते समय ए+बीचौथी शक्ति के लिए बहुपद एक 4 + 4एक 3 बी + 6एक 2 बी 2 + 4अब 3 + बी 4

(ए+बी) 4 = एक 4 + 4एक 3 बी + 6एक 2 बी 2 + 4अब 3 + बी 4

द्विपद का निर्माण ए+बीचौथी शक्ति के लिए, आप यह भी कर सकते हैं: अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करें ( ए+बी) 4 शक्तियों के उत्पाद के रूप में (ए+बी) 2 (ए+बी) 2

(ए+बी) 2 (ए+बी) 2

लेकिन अभिव्यक्ति ( ए+बी) 2 बराबर है एक 2 + 2अब + बी 2 . आइए अभिव्यक्ति में बदलें (ए+बी) 2 (ए+बी) 2 बहुपद योग वर्ग एक 2 + 2अब + बी 2

(एक 2 + 2अब + बी 2)(एक 2 + 2अब + बी 2)

और यह फिर से बहुपदों का सामान्य गुणन है। आइए इसे निष्पादित करें। हमें पहले जैसा ही परिणाम मिलेगा:

एक शक्ति के लिए एक ट्रिनोमियल उठाना

एक त्रिपद एक बहुपद है जिसमें तीन पद होते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति ए+बी+सीएक त्रिपद है।

कभी-कभी एक त्रयी को सत्ता में लाने के लिए समस्या उत्पन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, आइए त्रिपद का वर्ग करें ए+बी+सी

(ए+बी+सी) 2

कोष्ठक के अंदर दो शब्दों को कोष्ठक में रखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम योग का निष्कर्ष निकालते हैं एक+ बीकोष्ठक के भीतर:

((ए+बी) + सी) 2

इस मामले में, राशि ए+बीएक सदस्य के रूप में माना जाएगा। तब यह पता चलता है कि हम एक त्रिपद नहीं, बल्कि एक द्विपद का वर्ग कर रहे हैं। जोड़ ए+बीपहला सदस्य होगा, और सदस्य सी- दूसरा सदस्य। और हम पहले से ही जानते हैं कि द्विपद का वर्ग कैसे किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आप दो भावों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

(ए+बी) 2 = एक 2 + 2अब + बी 2

आइए इस सूत्र को हमारे उदाहरण पर लागू करें:

इसी प्रकार, आप चार या अधिक पदों वाले बहुपद का वर्ग बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए बहुपद का वर्ग करें ए+बी+सी+डी

(ए+बी+सी+डी) 2

हम बहुपद को दो व्यंजकों के योग के रूप में निरूपित करते हैं: ए+बीतथा सी + डी. ऐसा करने के लिए, उन्हें कोष्ठक में संलग्न करें:

((ए+बी) + (सी + डी)) 2

अब हम दो व्यंजकों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

एक वर्ग त्रिपद से एक पूर्ण वर्ग का चयन

एक और पहचान परिवर्तन जो समस्याओं को हल करने में उपयोगी हो सकता है, वह है एक वर्ग त्रिपद से एक पूर्ण वर्ग का चयन।

एक वर्ग ट्रिनोमियल दूसरी डिग्री का ट्रिनोमियल है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित त्रिपद वर्ग हैं:

ऐसे त्रिपदों से पूर्ण वर्ग निकालने का विचार मूल वर्ग त्रिपद को व्यंजक के रूप में निरूपित करना है ( ए+बी) 2 + सी, कहाँ पे ( ए+बी) 2 पूर्ण वर्ग, और सी-कुछ संख्यात्मक या शाब्दिक अभिव्यक्ति।

उदाहरण के लिए, हम त्रिपद से पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 .

सबसे पहले आपको फॉर्म की अभिव्यक्ति बनाने की जरूरत है एक 2 + 2अब+ बी 2 . हम इसे एक त्रिपद से बनाएंगे 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 . सबसे पहले, आइए तय करें कि कौन से सदस्य चर की भूमिका निभाएंगे एकतथा बी

चर की भूमिका एकडिक खेलेंगे 2 एक्स, त्रिपद के पहले कार्यकाल के बाद से 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 , अर्थात् 4 एक्स 2 प्राप्त होता है यदि 2 एक्सवर्ग:

(2एक्स) 2 = 4एक्स 2

तो चर एक 2 . के बराबर एक्स

एक = 2एक्स

अब हम मूल त्रिपद पर लौटते हैं और तुरंत अभिव्यक्ति 16 . पर ध्यान देते हैं एक्स. यह व्यंजक प्रथम व्यंजक के गुणनफल का दोगुना है एक(हमारे मामले में यह 2 . है एक्स) और दूसरी अभी तक अज्ञात अभिव्यक्ति बी।इसके स्थान पर अस्थायी रूप से प्रश्नवाचक चिन्ह लगाएं:

2×2 एक्स × ? = 16एक्स

2 × 2 व्यंजक को करीब से देखने पर एक्स × ? = 16एक्स , यह सहज रूप से स्पष्ट हो जाता है कि सदस्य बीइस स्थिति में संख्या 4 है, क्योंकि व्यंजक 2 × 2 एक्सबराबर 4 एक्स, और प्राप्त करने के लिए 16 एक्स 4 . गुणा करने की आवश्यकता है एक्स 4 द्वारा।

2×2 एक्स × 4 = 16एक्स

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि चर बीबराबर 4

बी = 4

तो हमारा पूरा वर्ग व्यंजक होगा (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2

अब हम त्रिपद से पूर्ण वर्ग निकालने के लिए पूरी तरह तैयार हैं 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 .

तो, मूल त्रिपद पर वापस जाएं 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 और हमने जो पूर्ण वर्ग प्राप्त किया है उसे ध्यान से एम्बेड करने का प्रयास करें (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2

4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 =

4 . के बजाय एक्स 2 लिखो (2 .) एक्स) 2

4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 = (2एक्स) 2

4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 = (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स×4

4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 = (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2

और अभी के लिए, हम सदस्य 19 को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

4एक्स 2 + 16एक्स + 19 = (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2 + 19

अब आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि हमने जो बहुपद प्राप्त किया है (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2 + 19मूल त्रिपद के समान नहीं 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 . आप बहुपद लाकर इसकी पुष्टि कर सकते हैं (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2 + 19मानक दृश्य के लिए:

(2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2 + 19 = 4 एक्स 2 + 16एक्स + 4 2 + 19

हम देखते हैं कि हमें एक बहुपद प्राप्त होता है 4एक्स 2 + 16एक्स+ 4 2 + 19 , लेकिन यह निकला होना चाहिए था 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 . यह इस तथ्य के कारण है कि ट्रिनोमियल से एक पूर्ण वर्ग को व्यवस्थित करने के लिए शब्द 4 2 को कृत्रिम रूप से मूल ट्रिनोमियल में पेश किया गया था। 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 .

4एक्स 2 + 16एक्स + 19 = (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2 − 4 2 + 19

अब अभिव्यक्ति (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2को ध्वस्त किया जा सकता है, अर्थात् फॉर्म में लिखा गया है ( ए+बी) 2. हमारे मामले में, हमें अभिव्यक्ति मिलती है (2 एक्स+ 4) 2

4एक्स 2 + 16एक्स + 19 = (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2 - 4 2 + 19 = (2एक्स + 4) 2 − 4 2 + 19

शेष पदों −4 2 और 19 को जोड़ा जा सकता है। −4 2 −16 है, इसलिए −16 + 19 = 3

4एक्स 2 + 16एक्स + 19 = (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 4 + 4 2 - 4 2 + 19 = (2एक्स + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2एक्स+ 4) 2 + 3

माध्यम, 4एक्स 2 + 16एक्स+ 19 = (2एक्स + 4) 2 + 3

उदाहरण 2. एक वर्ग त्रिपद में से एक पूर्ण वर्ग का चयन करें एक्स 2 + 2एक्स+ 2

सबसे पहले, हम फॉर्म की अभिव्यक्ति का निर्माण करते हैं एक 2 + 2 एबी+बी 2. चर की भूमिका एकइस मामले में x खेलता है क्योंकि एक्स 2 = एक्स 2 .

मूल त्रिपद का अगला पद 2 एक्सपहली अभिव्यक्ति के दोहरे उत्पाद के रूप में फिर से लिखें (यह हमारा है एक्स) और दूसरी अभिव्यक्ति बी(यह 1 होगा)।

2× एक्स× 1 = 2 एक्स

यदि एक बी= 1 , तो व्यंजक एक पूर्ण वर्ग होगा एक्स 2 + 2एक्स+ 1 2 .

अब हम मूल वर्ग त्रिपद पर वापस जाते हैं और इसमें एक पूर्ण वर्ग एम्बेड करते हैं एक्स 2 + 2एक्स+ 1 2

एक्स 2 + 2एक्स+ 2 = एक्स 2 + 2एक्स+ 1 2 − 1 2 + 2 = (एक्स+ 1) 2 + 1

पिछले उदाहरण की तरह, सदस्य बी(इस उदाहरण में, यह 1 है) मूल ट्रिनोमियल के मूल्य को संरक्षित करने के लिए जोड़ के तुरंत बाद घटाया गया था।

निम्नलिखित संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें:

9 + 6 + 2

इस व्यंजक का मान 17 . है

9 + 6 + 2 = 17

आइए इस संख्यात्मक व्यंजक में एक पूर्ण वर्ग का चयन करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले फॉर्म की अभिव्यक्ति का निर्माण करते हैं एक 2 + 2अब+ बी 2 . चर की भूमिका एकइस मामले में, संख्या 3 चलती है, क्योंकि व्यंजक 9 + 6 + 2, अर्थात् 9 के पहले पद को 3 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हम दूसरे पद 6 को पहले पद 3 और दूसरे 1 . के दोहरे गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं

2 x 3 x 1 = 6

यह एक चर है बीएक के बराबर होगा। तब व्यंजक 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 एक पूर्ण वर्ग होगा। आइए इसे मूल अभिव्यक्ति में लागू करें:

− 1 2 + 2

हम पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करते हैं, और −1 2 और 2 शब्दों को जोड़ते हैं:

3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

परिणाम (3 + 1) 2 + 2 है, जो अभी भी 17 . है

(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17

मान लीजिए कि हमारे पास एक वर्ग और दो आयत हैं। एक वर्ग जिसकी भुजा 3 सेमी है, एक आयत जिसकी भुजाएँ 2 सेमी और 3 सेमी हैं, और एक आयत जिसकी भुजाएँ 1 सेमी और 2 सेमी हैं

प्रत्येक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें। वर्ग का क्षेत्रफल 3 2 = 9 सेमी 2 होगा, गुलाबी आयत का क्षेत्रफल 2 × 3 = 6 सेमी 2 होगा, बकाइन का क्षेत्रफल 1 × 2 = 2 सेमी होगा 2

इन आयतों के क्षेत्रफलों का योग लिखिए:

9 + 6 + 2

इस व्यंजक को एक वर्ग और दो आयतों के एक ही आकृति में मिलन के रूप में समझा जा सकता है:

फिर एक आकृति प्राप्त होती है, जिसका क्षेत्रफल 17 सेमी 2 है। दरअसल, प्रस्तुत आकृति में 1 सेमी की भुजा वाले 17 वर्ग हैं।

आइए मौजूदा आकृति से एक वर्ग बनाने का प्रयास करें। और सबसे बड़ा संभव वर्ग। ऐसा करने के लिए, हम गुलाबी और बकाइन आयत से भागों का उपयोग करेंगे।

मौजूदा आकार से सबसे बड़ा संभव वर्ग बनाने के लिए, आप पीले वर्ग को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं, और गुलाबी आयत के आधे हिस्से को पीले वर्ग के नीचे से जोड़ सकते हैं:

हम देखते हैं कि एक पूर्ण वर्ग बनने से पहले एक और वर्ग सेंटीमीटर गायब है। हम इसे बकाइन आयत से ले सकते हैं। तो, आइए बकाइन आयत से एक वर्ग लें और इसे गठित बड़े वर्ग से जोड़ दें:

आइए अब हम इस पर करीब से नज़र डालें कि हम क्या आए हैं। अर्थात्, आकृति के पीले भाग और गुलाबी भाग पर, जो अनिवार्य रूप से पिछले पीले वर्ग को बढ़ाता है। क्या इसका मतलब यह नहीं है कि वर्ग की एक भुजा 3 सेमी के बराबर थी, और इस भुजा को 1 सेमी बढ़ा दिया गया, जिससे अंततः क्षेत्रफल में वृद्धि हुई?

(3 + 1) 2

व्यंजक (3 + 1) 2 16 है क्योंकि 3 + 1 = 4 और 4 2 = 16। दो भावों के योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके एक ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है:

(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

दरअसल, परिणामी वर्ग में 16 वर्ग होते हैं।

बकाइन आयत से शेष एक वर्ग को परिणामी बड़े वर्ग से जोड़ा जा सकता है। आखिरकार, यह मूल रूप से एक ही आकृति के बारे में था:

(3 + 1) 2 + 1

मौजूदा बड़े वर्ग में एक छोटे वर्ग को जोड़ने का वर्णन व्यंजक (3 + 1) 2 + 1 द्वारा किया जाता है। और यह व्यंजक 9 + 6 + 2 . से पूर्ण वर्ग का चयन है

9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 - 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

व्यंजक (3 + 1) 2 + 1 , व्यंजक 9 + 6 + 2 की तरह, 17 के बराबर है। दरअसल, परिणामी आकृति का क्षेत्रफल 17 सेमी 2 है।

उदाहरण 4. आइए वर्ग त्रिपद से पूर्ण वर्ग का चयन करें एक्स 2 + 6एक्स + 8

एक्स 2 + 6एक्स + 8 = एक्स 2+2× एक्स× 3 + 3 2 - 3 2 + 8 = ( एक्स + 3) 2 − 1

कुछ उदाहरणों में, व्यंजक बनाते समय एक 2 + 2अब+ बी 2 चर के मूल्यों को तुरंत निर्धारित करना संभव नहीं है एकतथा बी .

उदाहरण के लिए, आइए एक वर्ग ट्रिनोमियल से एक पूर्ण वर्ग की निकासी करें एक्स 2 + 3एक्स+ 2

चर एकमेल खाती है एक्स. दूसरा सदस्य 3 एक्सपहली अभिव्यक्ति और दूसरे के दोहरे उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, दूसरे पद को 2 से गुणा किया जाना चाहिए, और ताकि मूल बहुपद का मान परिवर्तित न हो, तुरंत 2 से विभाजित करें। यह इस तरह दिखेगा।

मान लीजिए कि दो बीजीय व्यंजक दिए गए हैं:

आइए अक्षर x के विभिन्न संख्यात्मक मानों के लिए इनमें से प्रत्येक भाव के मूल्यों की एक तालिका बनाएं।

हम देखते हैं कि उन सभी मानों के लिए जो अक्षर x को दिए गए थे, दोनों भावों के मान समान निकले। वही x के किसी अन्य मान के लिए भी सत्य होगा।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम पहली अभिव्यक्ति को रूपांतरित करते हैं। वितरण कानून के आधार पर, हम लिखते हैं:

संख्याओं पर संकेतित संचालन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

तो, पहली अभिव्यक्ति, इसके सरलीकरण के बाद, दूसरी अभिव्यक्ति के समान ही निकली।

अब यह स्पष्ट है कि x के किसी भी मान के लिए दोनों व्यंजकों का मान बराबर होता है।

वे भाव जिनके मान उनमें शामिल अक्षरों के किसी भी मान के लिए समान हैं, समान रूप से समान या समरूप कहलाते हैं।

इसलिए, वे समान अभिव्यक्ति हैं।

आइए एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करें। आइए भाव लेते हैं:

पिछले एक के समान एक तालिका संकलित करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि x के किसी भी मान के लिए, दोनों व्यंजकों में समान संख्यात्मक मान हों। केवल जब दूसरा व्यंजक 6 के बराबर हो, और पहला अपना अर्थ खो देता है, क्योंकि हर शून्य है। (याद रखें कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते।) क्या हम कह सकते हैं कि ये व्यंजक समरूप हैं?

हम पहले सहमत थे कि प्रत्येक अभिव्यक्ति को केवल अक्षरों के स्वीकार्य मूल्यों के लिए माना जाएगा, अर्थात उन मूल्यों के लिए जिनके लिए अभिव्यक्ति अपना अर्थ नहीं खोती है। इसका मतलब यह है कि यहाँ, दो भावों की तुलना करते समय, हम केवल उन अक्षर मानों को ध्यान में रखते हैं जो दोनों भावों के लिए मान्य हैं। इसलिए, हमें मूल्य को बाहर करना चाहिए। और चूंकि x के अन्य सभी मानों के लिए दोनों व्यंजकों का संख्यात्मक मान समान है, इसलिए हमें उन्हें समान मानने का अधिकार है।

जो कहा गया है उसके आधार पर, हम समान अभिव्यक्तियों की निम्नलिखित परिभाषा देते हैं:

1. अभिव्यक्तियों को समान कहा जाता है यदि उनमें शामिल अक्षरों के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए समान संख्यात्मक मान हैं।

यदि हम दो समान व्यंजकों को एक समान चिह्न से जोड़ते हैं, तो हमें एक सर्वसमिका प्राप्त होती है। माध्यम:

2. एक पहचान एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए सत्य है।

हम पहले भी पहचान का सामना कर चुके हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, सभी समानताएं पहचान हैं, जिसके साथ हमने जोड़ और गुणा के बुनियादी नियमों को व्यक्त किया।

उदाहरण के लिए, जोड़ के कम्यूटेटिव कानून को व्यक्त करने वाली समानताएं

और गुणन का साहचर्य नियम

अक्षरों के किसी भी मान के लिए मान्य हैं। इसलिए, ये समानताएं पहचान हैं।

सभी वास्तविक अंकगणितीय समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं, उदाहरण के लिए:

बीजगणित में, अक्सर एक व्यंजक को उसके समान दूसरे व्यंजक से बदलना पड़ता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, व्यंजक का मान ज्ञात करना आवश्यक है

यदि हम दिए गए व्यंजक को उसके समरूप व्यंजक से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम परिकलन को बहुत आसान कर देंगे। वितरण कानून के आधार पर, हम लिख सकते हैं:

लेकिन कोष्ठक में दी गई संख्याओं का योग 100 तक होता है। इसलिए, हमारी एक पहचान है:

इसके दाहिनी ओर a के स्थान पर 6.53 रखने पर हम तुरंत (मन में) इस व्यंजक का संख्यात्मक मान (653) ज्ञात करते हैं।

एक व्यंजक को उसके समान दूसरे व्यंजक से प्रतिस्थापित करना इस व्यंजक का समरूप परिवर्तन कहलाता है।

याद रखें कि अक्षरों के किसी भी स्वीकार्य मूल्यों के लिए कोई बीजीय अभिव्यक्ति कुछ है

संख्या। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पिछले अध्याय में दिए गए अंकगणितीय संक्रियाओं के सभी नियम और गुण बीजीय व्यंजकों पर लागू होते हैं। इसलिए, अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों और गुणों का अनुप्रयोग किसी दिए गए बीजीय व्यंजक को उसके समान व्यंजक में बदल देता है।

बीजगणित के अध्ययन के दौरान, हमें बहुपद (उदाहरण के लिए ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ इत्यादि) और बीजीय भिन्न (उदाहरण के लिए $\frac(x+5)(x) की अवधारणाओं का पता चला। )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ आदि) इन अवधारणाओं की समानता यह है कि बहुपद और बीजीय भिन्न दोनों में चर और संख्यात्मक मान, अंकगणितीय क्रियाएं: जोड़, घटाव, गुणा, घातांक इन अवधारणाओं के बीच अंतर यह है कि बहुपद में एक चर द्वारा विभाजन नहीं किया जाता है, और बीजीय भिन्न में एक चर द्वारा विभाजन किया जा सकता है।

गणित में बहुपद और बीजीय भिन्न दोनों को परिमेय बीजीय व्यंजक कहा जाता है। लेकिन बहुपद पूर्णांक परिमेय व्यंजक होते हैं, और बीजीय भिन्नात्मक व्यंजक भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं।

समान परिवर्तन का उपयोग करके भिन्नात्मक-तर्कसंगत व्यंजक से संपूर्ण बीजीय व्यंजक प्राप्त करना संभव है, जो इस मामले में भिन्न का मुख्य गुण होगा - भिन्नों की कमी। आइए इसे व्यवहार में देखें:

उदाहरण 1

रूपांतरण:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

समाधान:इस भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण को भिन्न-रद्दीकरण की मूल संपत्ति का उपयोग करके रूपांतरित किया जा सकता है, अर्थात। अंश और हर को $0$ के अलावा समान संख्या या व्यंजक से विभाजित करना।

इस भिन्न को तुरंत कम नहीं किया जा सकता है, अंश को परिवर्तित करना आवश्यक है।

हम भिन्न के अंश में व्यंजक को रूपांतरित करते हैं, इसके लिए हम अंतर के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

अंश का रूप है

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\बाएं(x-2\दाएं)(x-2))(x-2)\]

अब हम देखते हैं कि अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है - यह व्यंजक $x-2$ है, जिस पर हम भिन्न को घटाएंगे

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\बाएं(x-2\दाएं)(x-2))(x-2)=x-2\]

कमी के बाद, हमने प्राप्त किया है कि मूल भिन्नात्मक-तर्कसंगत व्यंजक $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ एक बहुपद $x-2$ बन गया है, अर्थात। संपूर्ण तर्कसंगत।

अब आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि भाव $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ और $x-2\ $ को चर के सभी मूल्यों के लिए समान नहीं माना जा सकता है, क्योंकि एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत व्यंजक के अस्तित्व में रहने के लिए और बहुपद $x-2$ को कम करने के लिए संभव होने के लिए, भिन्न का हर $0$ के बराबर नहीं होना चाहिए (साथ ही वह कारक जिसके द्वारा हम कम करते हैं। में यह उदाहरण, भाजक और गुणनखंड समान हैं, लेकिन यह हमेशा ऐसा नहीं होता है)।

वेरिएबल मान जिनके लिए बीजीय भिन्न मौजूद होगा, वेरिएबल वेरिएबल मान कहलाते हैं।

हम भिन्न के हर पर एक शर्त लगाते हैं: $x-2≠0$, फिर $x≠2$।

तो भाव $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ और $x-2$ $2$ को छोड़कर चर के सभी मूल्यों के लिए समान हैं।

परिभाषा 1

समान रूप से समानभाव वे हैं जो चर के सभी संभावित मूल्यों के लिए समान हैं।

एक समान परिवर्तन मूल अभिव्यक्ति के किसी भी समान समान के साथ कोई भी प्रतिस्थापन है। इस तरह के परिवर्तनों में प्रदर्शन क्रियाएं शामिल हैं: जोड़, घटाव, गुणा, एक सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर निकालना, बीजीय अंशों को एक सामान्य हर में लाना, बीजीय अंशों को कम करना, लाना जैसे शर्तें, आदि। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कई परिवर्तन, जैसे कमी, समान शर्तों में कमी, चर के स्वीकार्य मूल्यों को बदल सकते हैं।

पहचान साबित करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक

पहचान परिवर्तन का उपयोग करके पहचान के बाईं ओर दाईं ओर या इसके विपरीत रूपांतरित करें

समान परिवर्तनों का उपयोग करके दोनों भागों को एक ही अभिव्यक्ति में कम करें

व्यंजक के एक भाग के व्यंजकों को दूसरे भाग में स्थानांतरित करें और सिद्ध करें कि परिणामी अंतर $0$ . के बराबर है

दी गई पहचान को साबित करने के लिए उपरोक्त में से कौन सी विधि का उपयोग करना मूल पहचान पर निर्भर करता है।

उदाहरण 2

पहचान साबित करें $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

समाधान:इस पहचान को साबित करने के लिए, हम उपरोक्त विधियों में से पहली का उपयोग करते हैं, अर्थात्, हम पहचान के बाईं ओर को तब तक बदल देंगे जब तक कि यह दाईं ओर के बराबर न हो जाए।

पहचान के बाईं ओर पर विचार करें: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- यह दो बहुपदों का अंतर है। इस मामले में, पहला बहुपद तीन पदों के योग का वर्ग है। कई पदों के योग का वर्ग करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

ऐसा करने के लिए, हमें एक संख्या को एक बहुपद से गुणा करना होगा। याद रखें कि इसके लिए हमें कोष्ठक के बाहर के सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक में बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा। तब हमें प्राप्त होता है:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

अब मूल बहुपद पर वापस, यह रूप लेगा:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

ध्यान दें कि ब्रैकेट के सामने एक "-" चिन्ह है, जिसका अर्थ है कि जब कोष्ठक खोले जाते हैं, तो कोष्ठक में मौजूद सभी चिन्ह उलट जाते हैं।

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

यदि हम समान शब्द लाते हैं, तो हम पाते हैं कि मोनोमियल $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ और $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, अर्थात उनका योग $0$ के बराबर है।

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

तो, समान परिवर्तनों द्वारा, हमने मूल पहचान के बाईं ओर समान अभिव्यक्ति प्राप्त की

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

ध्यान दें कि परिणामी अभिव्यक्ति दर्शाती है कि मूल पहचान सत्य है।

ध्यान दें कि मूल पहचान में, चर के सभी मूल्यों की अनुमति है, जिसका अर्थ है कि हमने समान परिवर्तनों का उपयोग करके पहचान को साबित कर दिया है, और यह चर के सभी अनुमत मूल्यों के लिए सही है।

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स्लाइड कैप्शन:

पहचान। अभिव्यक्तियों की पहचान परिवर्तन। 7 वीं कक्षा।

x=5 और y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 पर व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए। x=6 और y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33 पर व्यंजक

निष्कर्ष: हमें वही परिणाम मिला। यह वितरण संपत्ति से इस प्रकार है कि, सामान्य रूप से, चर के किसी भी मूल्य के लिए, भावों के मान 3(x + y) और 3x + 3y बराबर हैं। 3(x+y) = 3x+3y

अब व्यंजकों 2x + y और 2xy पर विचार करें। x=1 और y=2 के लिए वे समान मान लेते हैं: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 x=3 के लिए, y=4 व्यंजक मान भिन्न हैं 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

निष्कर्ष: व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y समान रूप से समान हैं, लेकिन व्यंजक 2x+y और 2xy समान रूप से समान नहीं हैं। परिभाषा: दो व्यंजक जिनके मान चर के किसी भी मान के लिए समान हैं, समान रूप से समान कहलाते हैं।

पहचान x और y के किसी भी मान के लिए समानता 3(x+y) और 3x+3y सत्य है। ऐसी समानताएं पहचान कहलाती हैं। परिभाषा: एक समानता जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान कहलाती है। वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं। हम पहले ही पहचान के साथ मिल चुके हैं।

सर्वसमिकाएँ वे समानताएँ हैं जो संख्याओं पर क्रियाओं के मूल गुणों को व्यक्त करती हैं। ए + बी = बी + ए एबी = बीए (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (एबी) सी = ए (बीसी) ए (बी + सी) = एबी + एसी

सर्वसमिकाओं के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * (- b) = ab एक व्यंजक को समान रूप से समान रूप से किसी अन्य व्यंजक से प्रतिस्थापित करने को पहचान परिवर्तन या केवल व्यंजक परिवर्तन कहा जाता है।

समान पदों को लाने के लिए, आपको उनके गुणांकों को जोड़ना होगा और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना होगा। उदाहरण 1. हम समान पद 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x देते हैं

यदि कोष्ठक के सामने धन का चिह्न है, तो कोष्ठकों में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बनाए रखते हुए कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है। उदाहरण 2. व्यंजक 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c . में कोष्ठकों का विस्तार कीजिए

यदि कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बदलकर कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है। उदाहरण 3. आइए व्यंजक a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c में कोष्ठक खोलें।

गृहकार्य: पृष्ठ 5, संख्या 91, 97, 99 पाठ के लिए धन्यवाद!

विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स

"अभिव्यक्तियाँ और अभिव्यक्ति का परिवर्तन" अनुभाग में छात्रों को परीक्षा के लिए तैयार करने के तरीके

इस परियोजना को ग्रेड 9 में राज्य परीक्षाओं के लिए छात्रों को तैयार करने के उद्देश्य से विकसित किया गया था और बाद में ग्रेड 11 में एक एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए ....