एक आंकड़ा एक विमान पर बिंदुओं का एक मनमाना सेट है। एक बिंदु, एक रेखा, एक रेखा खंड, एक किरण, एक त्रिभुज, एक वृत्त, एक वर्ग, आदि सभी ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण हैं।

समतल पर मुख्य ज्यामितीय आकृतियाँ बिंदु और रेखा हैं। ज्यामिति में इन आंकड़ों की परिभाषा नहीं दी गई है।

समतल पर अपरिभाषित ज्यामितीय आकृतियाँ एक बिंदु और एक रेखा होती हैं।

यह बड़े लैटिन अक्षरों में अंक निर्दिष्ट करने के लिए प्रथागत है: ए, बी, सी, डी .... सीधी रेखाओं को लोअरकेस लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: a, b, c, d ....

प्लानिमेट्री द्वारा अध्ययन किए गए आंकड़े:

3. समांतर चतुर्भुज (विशेष मामले: वर्ग, आयत, समचतुर्भुज)

4. ट्रेपेज़

5. सर्किल

6. त्रिभुज

7. बहुभुज

ज्यामिति, टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, एक बिंदु अंतरिक्ष में एक अमूर्त वस्तु है जिसमें न तो मात्रा होती है, न ही क्षेत्र, न ही लंबाई, और न ही बड़े आयामों की कोई अन्य समान विशेषताएं होती हैं। इस प्रकार, एक शून्य-आयामी वस्तु को एक बिंदु कहा जाता है। बिंदु गणित में मूलभूत अवधारणाओं में से एक है।

एक बिंदु ज्यामिति की मूलभूत अवधारणाओं में से एक है, इसलिए "बिंदु" की कोई परिभाषा नहीं है। यूक्लिड ने एक बिंदु को ऐसी चीज के रूप में परिभाषित किया जिसे विभाजित नहीं किया जा सकता है।

इसके अलावा ज्यामिति में "सीधी रेखा" (अर्थात् एक सीधी रेखा) की कोई परिभाषा नहीं है।

सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है।

एक ज्यामितीय सीधी रेखा (सीधी रेखा) दोनों तरफ एक गैर-बंद, विस्तारित गैर-घुमावदार ज्यामितीय वस्तु है, जिसका क्रॉस सेक्शन शून्य हो जाता है, और विमान पर अनुदैर्ध्य प्रक्षेपण एक बिंदु देता है।

ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर प्रारंभिक अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जो केवल अप्रत्यक्ष रूप से ज्यामिति के स्वयंसिद्धों द्वारा निर्धारित की जाती है।

यदि ज्यामिति के निर्माण का आधार अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की अवधारणा है, तो एक सीधी रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके साथ पथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर हो।

3) समांतर चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़ी में समान्तर होती हैं, अर्थात वे समानांतर रेखाओं पर स्थित होती हैं। एक समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले एक आयत, एक वर्ग और एक समचतुर्भुज हैं।

विशेष स्थितियां:

एक वर्ग एक नियमित चतुर्भुज या समचतुर्भुज होता है, जिसमें सभी कोण समकोण होते हैं, या एक समांतर चतुर्भुज, जिसमें सभी भुजाएँ और कोण समान होते हैं।

एक वर्ग को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

एक आयत जिसकी दो आसन्न भुजाएँ समान हों

सभी समकोणों वाला एक समचतुर्भुज (कोई भी वर्ग एक समचतुर्भुज होता है, लेकिन प्रत्येक समचतुर्भुज एक वर्ग नहीं होता)।

आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण समकोण (90 डिग्री के बराबर) होते हैं।

एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं। समकोण वाले समचतुर्भुज को वर्ग कहा जाता है।

4) ट्रेपेज़

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है।

कभी-कभी एक समलम्ब चतुर्भुज को एक चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है (दूसरा निर्दिष्ट नहीं होता है), इस मामले में समांतर चतुर्भुज एक समलम्बाकार का एक विशेष मामला है। विशेष रूप से, एक वक्रतापूर्ण समलम्बाकार के रूप में एक अवधारणा है।

आयताकार समलम्ब

5) सर्कल

एक वृत्त एक समतल में बिंदुओं का एक स्थान है जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होता है, जिसे केंद्र कहा जाता है, एक दी गई गैर-शून्य दूरी पर, जिसे इसकी त्रिज्या कहा जाता है।

6) त्रिभुज

एक त्रिभुज सबसे सरल बहुभुज है जिसमें 3 शीर्ष (कोण) और 3 भुजाएँ होती हैं; तीन बिंदुओं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन रेखा खंडों से घिरा एक विमान का एक हिस्सा।

यदि किसी त्रिभुज के तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर हों, तो इसे अध: पतन कहते हैं।

7) बहुभुज

एक बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है, जिसे एक बंद टूटी हुई रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है। तीन अलग-अलग परिभाषाएँ हैं:

सपाट बंद टूटी हुई रेखाएं;

स्व-चौराहों के बिना सपाट बंद टूटी हुई लाइनें;

विमान के कुछ हिस्से टूटी हुई रेखाओं से बंधे हैं।

पॉलीलाइन के कोने बहुभुज के कोने कहलाते हैं, और खंड बहुभुज के किनारे कहलाते हैं।

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§एक। परीक्षण प्रश्न
प्रश्न 1. ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण दीजिए।
जवाब।ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण: त्रिभुज, वर्ग, वृत्त।

प्रश्न 2।समतल पर मूल ज्यामितीय आकृतियों के नाम लिखिए।
जवाब।समतल पर मुख्य ज्यामितीय आकृतियाँ बिंदु और रेखा हैं।

प्रश्न 3।बिंदुओं और रेखाओं को कैसे परिभाषित किया जाता है?
जवाब।अंक बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा इंगित किए जाते हैं: ए, बी, सी, डी, .... सीधी रेखाओं को लोअरकेस लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: a, b, c, d, ....
एक रेखा को उस पर पड़े दो बिंदुओं से निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आकृति 4 में रेखा a को AC लेबल किया जा सकता है, और रेखा b को BC लेबल किया जा सकता है।

प्रश्न 4.बिन्दुओं और रेखाओं की सदस्यता के मूल गुणों का निरूपण कीजिए।
जवाब।रेखा जो भी हो, ऐसे बिंदु हैं जो इस रेखा से संबंधित हैं, और ऐसे बिंदु हैं जो इससे संबंधित नहीं हैं।
किन्हीं दो बिंदुओं से आप एक रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
प्रश्न 5.बताएं कि दिए गए बिंदुओं पर समाप्त होने वाला खंड क्या है।
जवाब।एक खंड एक सीधी रेखा का एक हिस्सा है जिसमें इस सीधी रेखा के सभी बिंदु होते हैं जो इसके दो दिए गए बिंदुओं के बीच स्थित होते हैं। इन बिंदुओं को खंड के सिरे कहा जाता है। एक खंड को इसके सिरों को इंगित करके इंगित किया जाता है। जब वे कहते हैं या लिखते हैं: "खंड एबी", उनका मतलब बिंदु ए और बी पर समाप्त होने वाले खंड से है।

प्रश्न 6.एक सीधी रेखा पर बिंदुओं के स्थान का मुख्य गुण सूत्र बनाइए।
जवाब।एक रेखा पर तीन बिंदुओं में से एक और केवल एक अन्य दो के बीच स्थित है।
प्रश्न 7.खंडों को मापने के मुख्य गुण तैयार करें।
जवाब।प्रत्येक खंड की एक निश्चित लंबाई शून्य से अधिक होती है। एक खंड की लंबाई उन भागों की लंबाई के योग के बराबर होती है जिनमें इसे इसके किसी भी बिंदु से विभाजित किया जाता है।
प्रश्न 8.दिए गए दो बिंदुओं के बीच की दूरी क्या है?
जवाब।खंड AB की लंबाई बिंदु A और B के बीच की दूरी कहलाती है।
प्रश्न 9.एक समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करने के क्या गुण हैं?
जवाब।एक समतल के दो अर्ध-तलों में विभाजन में निम्नलिखित गुण होते हैं। यदि किसी खंड के सिरे एक ही अर्ध-तल के हों, तो वह खंड रेखा को नहीं काटता है। यदि किसी खंड के अंतिम बिंदु अलग-अलग अर्ध-तलों से संबंधित हैं, तो खंड रेखा को काटता है।

ज्यामितीय आंकड़े बिंदुओं, रेखाओं, ठोसों या सतहों का एक समूह होते हैं। ये तत्व समतल और अंतरिक्ष दोनों में स्थित हो सकते हैं, जिससे एक सीमित संख्या में रेखाएँ बन सकती हैं।

"आकृति" शब्द का अर्थ है बिंदुओं के कई सेट। उन्हें एक या एक से अधिक विमानों पर स्थित होना चाहिए और साथ ही साथ एक विशिष्ट संख्या में पूर्ण लाइनों तक सीमित होना चाहिए।

मुख्य ज्यामितीय आंकड़े बिंदु और रेखा हैं। वे सपाट हैं। उनके अलावा, साधारण आकृतियों में, एक किरण, एक टूटी हुई रेखा और एक खंड को प्रतिष्ठित किया जाता है।

दूरसंचार विभाग

यह ज्यामिति के मुख्य आंकड़ों में से एक है। यह बहुत छोटा है, लेकिन इसका उपयोग हमेशा एक विमान पर विभिन्न रूपों को बनाने के लिए किया जाता है। बिंदु बिल्कुल सभी निर्माणों के लिए मुख्य आंकड़ा है, यहां तक ​​​​कि उच्चतम जटिलता भी। ज्यामिति में, इसे आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, ए, बी, के, एल।

गणित के दृष्टिकोण से, बिंदु एक अमूर्त स्थानिक वस्तु है जिसमें क्षेत्र, आयतन जैसी विशेषताएं नहीं होती हैं, लेकिन साथ ही ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा बनी रहती है। इस शून्य-आयामी वस्तु की कोई परिभाषा नहीं है।

सीधा

यह आंकड़ा पूरी तरह से एक विमान में रखा गया है। सीधी रेखा की कोई विशिष्ट गणितीय परिभाषा नहीं होती है, क्योंकि इसमें एक अंतहीन रेखा पर स्थित बड़ी संख्या में बिंदु होते हैं, जिनकी कोई सीमा और सीमा नहीं होती है।

एक कट भी है। यह भी एक सीधी रेखा है, लेकिन यह एक बिंदु से शुरू और समाप्त होती है, जिसका अर्थ है कि इसमें ज्यामितीय प्रतिबंध हैं।

इसके अलावा, रेखा एक दिशात्मक बीम में बदल सकती है। यह तब होता है जब रेखा एक बिंदु से शुरू होती है, लेकिन उसका स्पष्ट अंत नहीं होता है। यदि आप रेखा के बीच में एक बिंदु डालते हैं, तो यह दो किरणों (अतिरिक्त) में विभाजित हो जाएगा, इसके अलावा, एक दूसरे के विपरीत दिशा में।

कई खंड जो एक ही बिंदु पर एक दूसरे से क्रमिक रूप से जुड़े होते हैं और एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं होते हैं, आमतौर पर टूटी हुई रेखा कहलाते हैं।

इंजेक्शन

ज्यामितीय आकार, जिनके नामों पर हमने ऊपर चर्चा की है, अधिक जटिल मॉडल के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले प्रमुख तत्व माने जाते हैं।

कोण एक निर्माण है जिसमें एक शीर्ष और उससे निकलने वाली दो किरणें होती हैं। यानी इस आकृति की भुजाएँ एक बिंदु पर जुड़ी हुई हैं।

विमान

एक अन्य प्राथमिक अवधारणा पर विचार करें। एक विमान एक ऐसी आकृति है जिसका कोई अंत या शुरुआत नहीं है, साथ ही एक सीधी रेखा और एक बिंदु भी है। इस ज्यामितीय तत्व पर विचार करते समय, इसका केवल एक हिस्सा, एक टूटी हुई बंद रेखा की आकृति द्वारा सीमित, को ध्यान में रखा जाता है।

किसी भी चिकनी बंधी हुई सतह को समतल माना जा सकता है। यह एक इस्त्री बोर्ड, कागज की एक शीट या एक दरवाजा भी हो सकता है।

चतुर्भुजों

एक समांतर चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़े में एक दूसरे के समानांतर होती हैं। इस डिजाइन के निजी प्रकारों में, एक समचतुर्भुज, एक आयत और एक वर्ग प्रतिष्ठित हैं।

आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएँ समकोण पर स्पर्श करती हैं।

एक वर्ग एक चतुर्भुज है जिसमें समान भुजाएँ और कोण होते हैं।

समचतुर्भुज एक ऐसी आकृति है जिसमें सभी फलक समान होते हैं। इस मामले में, कोण पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं, लेकिन जोड़े में। प्रत्येक वर्ग को एक समचतुर्भुज माना जाता है। लेकिन विपरीत दिशा में यह नियम हमेशा काम नहीं करता। प्रत्येक समचतुर्भुज एक वर्ग नहीं होता है।

ट्रापेज़

ज्यामितीय आकार पूरी तरह से अलग और विचित्र हैं। उनमें से प्रत्येक का एक अनूठा आकार और गुण है।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक आकृति है जो कुछ हद तक एक चतुर्भुज के समान है। इसकी दो समानांतर विपरीत भुजाएँ हैं और इसे वक्राकार माना जाता है।

एक क्षेत्र में

यह ज्यामितीय आकृति अपने केंद्र से समान दूरी के बिंदुओं के एक ही तल पर स्थित स्थान को दर्शाती है। इस मामले में, दिए गए गैर-शून्य खंड को आमतौर पर त्रिज्या कहा जाता है।

त्रिकोण

यह एक साधारण ज्यामितीय आकृति है जिसका अक्सर सामना किया जाता है और अध्ययन किया जाता है।

एक त्रिभुज को एक बहुभुज की उप-प्रजाति माना जाता है, जो एक ही तल पर स्थित होता है और तीन फलकों और संपर्क के तीन बिंदुओं द्वारा सीमित होता है। ये तत्व जोड़े में जुड़े हुए हैं।

बहुभुज

बहुभुज के शीर्ष खंडों को जोड़ने वाले बिंदु हैं। और बाद में, बदले में, पार्टियों के रूप में माना जाता है।

वॉल्यूमेट्रिक ज्यामितीय आकार

• प्रिज्म;
• वृत्त;
• शंकु;
• सिलेंडर;
• पिरामिड;

इन निकायों में कुछ समान है। वे सभी एक बंद सतह तक सीमित हैं, जिसके अंदर कई बिंदु हैं।

वॉल्यूमेट्रिक निकायों का अध्ययन न केवल ज्यामिति में किया जाता है, बल्कि क्रिस्टलोग्राफी में भी किया जाता है।

जिज्ञासु तथ्य

निश्चित रूप से आप नीचे दी गई जानकारी को पढ़ने के लिए इच्छुक होंगे।

• ज्यामिति का निर्माण प्राचीन काल में एक विज्ञान के रूप में हुआ था। यह घटना आमतौर पर कला और विभिन्न शिल्पों के विकास से जुड़ी होती है। और ज्यामितीय आकृतियों के नाम समानता और समानता को निर्धारित करने के सिद्धांतों के उपयोग का संकेत देते हैं।
• प्राचीन ग्रीक से अनुवादित, "ट्रेपेज़ॉइड" शब्द का अर्थ भोजन के लिए एक मेज है।
• यदि आप अलग-अलग आंकड़े लेते हैं जिनकी परिधि समान है, तो वृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होने की गारंटी है।
• ग्रीक से अनुवादित, "शंकु" शब्द का अर्थ पाइन शंकु है।
• काज़मीर मालेविच की एक प्रसिद्ध पेंटिंग है, जिसने पिछली शताब्दी से कई चित्रकारों का ध्यान आकर्षित किया है। "ब्लैक स्क्वायर" का काम हमेशा रहस्यमय और रहस्यमय रहा है। एक सफेद कैनवास पर ज्यामितीय आकृति एक ही समय में प्रसन्न और विस्मित करती है।

बड़ी संख्या में ज्यामितीय आकार हैं। वे सभी मापदंडों में भिन्न होते हैं, और कभी-कभी रूपों से आश्चर्यचकित भी होते हैं।

1. एक ज्यामितीय आकृति की अवधारणा।

3. समांतर और लंबवत रेखाएं।

4. त्रिकोण।

5. चतुर्भुज।

6. बहुभुज।

7. वृत्त और वृत्त।

8. समतल पर ज्यामितीय आकृतियों का निर्माण।

9. ज्यामितीय आकृतियों का परिवर्तन। परिवर्तन की अवधारणा

मुख्य साहित्य;

अतिरिक्त साहित्य

एक ज्यामितीय आकृति की अवधारणा

ज्यामितीय आकृतिबिंदुओं के किसी भी सेट के रूप में परिभाषित।

खंड, सीधी रेखा, वृत्त, गेंद- ज्यामितीय आंकड़े।

यदि किसी ज्यामितीय आकृति के सभी बिंदु एक ही तल के हों, तो इसे कहते हैं समतल .

उदाहरण के लिए, एक खंड, एक आयत समतल आकृतियाँ हैं। ऐसे आंकड़े हैं जो सपाट नहीं हैं। यह, उदाहरण के लिए, एक घन, एक गेंद, एक पिरामिड है।

चूंकि एक ज्यामितीय आकृति की अवधारणा को एक सेट की अवधारणा के माध्यम से परिभाषित किया गया है, हम कह सकते हैं कि एक आंकड़ा दूसरे में शामिल है (या दूसरे में निहित है), हम संघ, चौराहे और आंकड़ों के अंतर पर विचार कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए,दो बीमों का मिलन अबऔर एमके(चित्र 1) एक सीधी रेखा है के। वी,और उनका चौराहा एक खंड है हूँ।

के ए एम वी

उत्तल आकृतियाँ एक समतल, एक रेखा, एक किरण, एक खंड, एक बिंदु हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि उत्तल आकृति एक वृत्त है (चित्र 3)। यदि हम खंड XY को वृत्त के प्रतिच्छेदन तक जारी रखते हैं, तो हमें एक जीवा प्राप्त होती है एबी.चूँकि जीवा वृत्त में समाहित है, खंड XY भी वृत्त में समाहित है और इसलिए, वृत्त एक उत्तल आकृति है।

बहुभुज के लिए, एक और परिभाषा ज्ञात है: एक बहुभुज उत्तल कहलाता है यदि वह अपनी भुजा वाली प्रत्येक रेखा के एक तरफ स्थित हो। .

चूँकि इस परिभाषा की तुल्यता और एक बहुभुज के लिए ऊपर दी गई परिभाषा सिद्ध हो चुकी है, दोनों का उपयोग किया जा सकता है।

इन संकल्पनाओं के आधार पर, हम विद्यालय योजनामिति पाठ्यक्रम में अध्ययन की गई अन्य ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करेंगे। आइए हम उनकी परिभाषाओं और बुनियादी गुणों पर विचार करें, उन्हें बिना प्रमाण के स्वीकार करें। इस सामग्री का ज्ञान और सरल ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए इसे लागू करने की क्षमता ही वह आधार है जिसके आधार पर आप युवा छात्रों को प्राथमिक ज्यामिति पढ़ाने के लिए एक पद्धति का निर्माण कर सकते हैं।

कोने

याद करें कि कोण एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक बिंदु और उस बिंदु से निकलने वाली दो किरणें होती हैं।

किरणों को कोण की भुजाएँ कहा जाता है, और उनकी सामान्य शुरुआत इसका शीर्ष है।

कोण को अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जाता है: या तो इसके शीर्ष, या इसके पक्षों, या तीन बिंदुओं को इंगित करें: शीर्ष और कोण के किनारों पर दो बिंदु: Ð ए, Ð (के, एल), Ð एबीसी।

कोण कहलाता है तैनात , यदि इसकी भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर हों।

एक कोण जो आधा सीधा कोण होता है, कहलाता है सीधे। समकोण से छोटे कोण को कहते हैं तेज़।एक समकोण से बड़ा लेकिन एक सीधे कोण से छोटा कोण कहलाता है बेवकूफ .

ऊपर दिए गए कोण की अवधारणा के अलावा, एक समतल कोण की अवधारणा को ज्यामिति में माना जाता है।

समतल कोण एक समतल का वह भाग होता है जो एक ही बिंदु से निकलने वाली दो भिन्न किरणों से घिरा होता है।

प्लानिमेट्री में माने गए कोण विकसित कोण से अधिक नहीं होते हैं।

दो कोनों को कहा जाता है सटा हुआ, यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ है, और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हैं।

आसन्न कोणों का योग 180 . है°. इस संपत्ति की वैधता आसन्न कोणों की परिभाषा से होती है।

दो कोनों को कहा जाता है खड़ा,यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक अर्ध-रेखाएँ हैं। कोण AOB और SOV, साथ ही कोण AOC और D0B, लंबवत हैं (चित्र 4)।

2.1. विमान पर ज्यामितीय आंकड़े

हाल के वर्षों में, गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में महत्वपूर्ण मात्रा में ज्यामितीय सामग्री को शामिल करने की प्रवृत्ति रही है। लेकिन छात्रों को विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों से परिचित कराने में सक्षम होने के लिए, उन्हें यह सिखाने के लिए कि उन्हें सही तरीके से कैसे चित्रित किया जाए, उन्हें उपयुक्त गणितीय प्रशिक्षण की आवश्यकता है। शिक्षक को ज्यामिति पाठ्यक्रम के प्रमुख विचारों से परिचित होना चाहिए, ज्यामितीय आकृतियों के मूल गुणों को जानना चाहिए और उनका निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए।

एक सपाट आकृति का चित्रण करते समय, कोई ज्यामितीय समस्या नहीं होती है। चित्र या तो मूल की एक सटीक प्रति के रूप में कार्य करता है, या इसके समान आकृति का प्रतिनिधित्व करता है। ड्राइंग में एक सर्कल की छवि को ध्यान में रखते हुए, हमें वही दृश्य प्रभाव मिलता है जैसे कि हम मूल सर्कल पर विचार कर रहे थे।

इसलिए, ज्यामिति का अध्ययन प्लानिमेट्री से शुरू होता है।

प्लानिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो एक समतल पर आकृतियों का अध्ययन करती है।

एक ज्यामितीय आकृति को बिंदुओं के किसी भी सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है।

खंड, रेखा, वृत्त - ज्यामितीय आकार।

यदि किसी ज्यामितीय आकृति के सभी बिंदु एक ही तल के हों, तो इसे समतल कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, एक खंड, एक आयत समतल आकृतियाँ हैं।

ऐसे आंकड़े हैं जो सपाट नहीं हैं। यह, उदाहरण के लिए, एक घन, एक गेंद, एक पिरामिड है।

चूंकि एक ज्यामितीय आकृति की अवधारणा को एक सेट की अवधारणा के माध्यम से परिभाषित किया गया है, हम कह सकते हैं कि एक आकृति दूसरे में शामिल है, हम संघ, चौराहे और आंकड़ों के अंतर पर विचार कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, दो किरणों AB और MK का मिलन सीधी रेखा KB है, और उनका प्रतिच्छेदन खंड AM है।

उत्तल और गैर-उत्तल आंकड़े हैं। एक आकृति उत्तल कहलाती है यदि, इसके किन्हीं दो बिंदुओं के साथ, इसमें उन्हें जोड़ने वाला एक खंड भी हो।

चित्र F 1 उत्तल है, और आकृति F 2 गैर-उत्तल है।

उत्तल आकृतियाँ एक समतल, एक रेखा, एक किरण, एक खंड, एक बिंदु हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि उत्तल आकृति एक वृत्त है।

यदि हम खंड XY को वृत्त के प्रतिच्छेदन तक जारी रखते हैं, तो हमें जीवा AB प्राप्त होती है। चूँकि जीवा वृत्त में समाहित है, खंड XY भी वृत्त में समाहित है, और इसलिए, वृत्त एक उत्तल आकृति है।

समतल पर सरलतम आकृतियों के मुख्य गुण निम्नलिखित स्वयंसिद्धों में व्यक्त किए गए हैं:

1. रेखा जो भी हो, इस रेखा से संबंधित बिंदु होते हैं और इससे संबंधित नहीं होते हैं।

किन्हीं दो बिंदुओं से आप एक रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।

यह अभिगृहीत तल में स्थित बिंदुओं और रेखाओं के संबंध के मुख्य गुण को व्यक्त करता है।

2. एक रेखा पर तीन बिंदुओं में से एक और केवल एक अन्य दो के बीच स्थित है।

यह अभिगृहीत एक रेखा पर बिंदुओं के स्थान के मुख्य गुण को व्यक्त करता है।

3. प्रत्येक खंड की एक निश्चित लंबाई शून्य से अधिक होती है। एक खंड की लंबाई उन भागों की लंबाई के योग के बराबर होती है जिनमें इसे इसके किसी भी बिंदु से विभाजित किया जाता है।

जाहिर है, अभिगृहीत 3 खंडों की माप की मुख्य संपत्ति को व्यक्त करता है।

यह वाक्य एक समतल पर एक सीधी रेखा के सापेक्ष बिंदुओं के स्थान के मुख्य गुण को व्यक्त करता है।

5. प्रत्येक कोण का एक निश्चित डिग्री माप होता है, जो शून्य से अधिक होता है। विस्तारित कोण 180 o है। किसी कोण का डिग्री माप कोणों के डिग्री मापों के योग के बराबर होता है जिसमें वह अपनी भुजाओं के बीच से गुजरने वाली किसी भी किरण से विभाजित होता है।

यह अभिगृहीत कोणों को मापने के मूल गुण को व्यक्त करता है।

6. किसी भी अर्ध-रेखा पर उसके आरंभिक बिंदु से, दी गई लंबाई का एक खंड खींचा जा सकता है, और केवल एक।

7. दिए गए अर्ध-तल में किसी भी अर्ध-रेखा से, आप 180 O से कम दिए गए डिग्री माप वाले कोण को अलग रख सकते हैं, और केवल एक।

ये स्वयंसिद्ध कोणों और खंडों को बिछाने के मूल गुणों को दर्शाते हैं।

सरलतम आकृतियों के मुख्य गुणों में दिए गए त्रिभुज के बराबर त्रिभुज का अस्तित्व शामिल है।

8. त्रिभुज जो भी हो, किसी दिए गए स्थान पर दी गई अर्ध-रेखा के संबंध में एक समान त्रिभुज होता है।

समानांतर रेखाओं के मुख्य गुण निम्नलिखित स्वयंसिद्ध द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।

9. एक बिंदु के माध्यम से जो दी गई रेखा पर नहीं है, विमान पर दी गई रेखा के समानांतर अधिकतम एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

कुछ ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें जिनका अध्ययन प्राथमिक विद्यालय में किया जाता है।

कोण एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक बिंदु और इस बिंदु से निकलने वाली दो किरणें होती हैं। किरणों को कोण की भुजाएँ कहा जाता है, और उनकी सामान्य शुरुआत इसका शीर्ष है।

एक कोण को सीधा कहा जाता है यदि उसकी भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर हों।

वह कोण जो आधा सीधा कोण हो, समकोण कहलाता है। समकोण से छोटा कोण न्यून कोण कहलाता है। एक समकोण से बड़ा लेकिन एक सीधे कोण से कम कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

ऊपर दिए गए कोण की अवधारणा के अलावा, एक समतल कोण की अवधारणा को ज्यामिति में माना जाता है।

समतल कोना एक समतल का वह भाग होता है जो एक ही बिंदु से निकलने वाली दो भिन्न किरणों से घिरा होता है।

एक उभयनिष्ठ उद्गम वाली दो किरणों से दो समतल कोण बनते हैं। उन्हें अतिरिक्त कहा जाता है। आकृति OA और OB भुजाओं वाले दो समतल कोनों को दिखाती है, जिनमें से एक छायांकित है।

कोने आसन्न और लंबवत हैं।

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की अन्य भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।

आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है।

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।

AOD और SOV कोण, साथ ही AOS और DOV कोण, लंबवत हैं।

लंबवत कोण बराबर होते हैं।

समानांतर और लंबवत रेखाएँ।

एक समतल में दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे प्रतिच्छेद न करें।

यदि रेखा a, रेखा b के समानांतर है, तो a II c लिखिए।

दो रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं यदि वे एक समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यदि रेखा a, रेखा b के लंबवत है, तो a लिखिए।

त्रिभुज।

एक त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन जोड़े खंड जो उन्हें जोड़ते हैं।

कोई भी त्रिभुज समतल को दो भागों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाह्य।

किसी भी त्रिभुज में, निम्नलिखित तत्व प्रतिष्ठित हैं: भुजाएँ, कोण, ऊँचाई, समद्विभाजक, माध्यिकाएँ, मध्य रेखाएँ।

किसी दिए गए शीर्ष से गिराए गए त्रिभुज की ऊंचाई इस शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लंबवत है।

एक त्रिभुज का द्विभाजक त्रिभुज के कोण के द्विभाजक का खंड होता है जो एक शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ता है।

किसी दिए गए शीर्ष से खींचे गए त्रिभुज की माध्यिका वह खंड है जो इस शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा वह रेखाखंड है जो इसकी दोनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ता है।

चतुर्भुज।

चतुर्भुज एक आकृति है जिसमें चार बिंदु और चार खंड होते हैं जो उन्हें श्रृंखला में जोड़ते हैं, और इनमें से कोई भी तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर नहीं होना चाहिए, और उन्हें जोड़ने वाले खंड प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए। इन बिंदुओं को त्रिभुज के शीर्ष कहा जाता है, और जोड़ने वाले खंड इसकी भुजाएँ कहलाते हैं।

चतुर्भुज की भुजाएँ जो एक ही शीर्ष से निकलती हैं, सम्मुख भुजाएँ कहलाती हैं।

चतुर्भुज ABCD में, शीर्ष A और B आसन्न हैं, और शीर्ष A और C विपरीत हैं; भुजाएँ AB और BC आसन्न हैं, BC और AD विपरीत हैं; खंड AC और BD इस चतुर्भुज के विकर्ण हैं।

उत्तल और गैर-उत्तल चतुर्भुज हैं। इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD उत्तल है, जबकि चतुर्भुज KRMT गैर-उत्तल है।

उत्तल चतुर्भुजों में, समांतर चतुर्भुज और ट्रेपेज़ॉइड प्रतिष्ठित हैं।

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें केवल दो विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं। इन समानांतर भुजाओं को समलम्ब चतुर्भुज का आधार कहा जाता है। अन्य दो पक्षों को पार्श्व कहा जाता है। भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले खंड को समलंब की मध्य रेखा कहते हैं।

BC और AD समलंब के आधार हैं; एबी और एसडी - पार्श्व पक्ष; केएम - ट्रेपोजॉइड की मध्य रेखा।

कई समांतर चतुर्भुजों में से, आयत और समचतुर्भुज प्रतिष्ठित हैं।

एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी समकोण होते हैं।

एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं।

आयतों के सेट से, वर्गों का चयन किया जाता है।

वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

घेरा।

वृत्त एक ऐसी आकृति है जिसमें किसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ तल के सभी बिंदु होते हैं, जिसे केंद्र कहा जाता है।

बिंदुओं से इसके केंद्र तक की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को जीवा कहते हैं। केंद्र से गुजरने वाली जीवा को व्यास कहते हैं। OA त्रिज्या है, SD जीवा है, AB व्यास है।

एक वृत्त में एक केंद्रीय कोण एक समतल कोण होता है जिसके केंद्र में एक शीर्ष होता है। समतल कोण के अंदर स्थित वृत्त का भाग इस केंद्रीय कोण के संगत वृत्त का चाप कहलाता है।

नए कार्यक्रमों में नई पाठ्यपुस्तकों के अनुसार एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा, जी.वी. बेल्त्युकोवा, एस.आई. वोल्कोवा, एस.वी. 4 वीं कक्षा में स्टेपानोवा को निर्माण कार्य दिए जाते हैं, जैसे कि प्राथमिक विद्यालय में गणित कार्यक्रम में पहले नहीं थे। ये कार्य हैं जैसे:

रेखा के लंबवत का निर्माण करें;

खंड को आधा में विभाजित करें;

तीन भुजाओं पर एक त्रिभुज की रचना कीजिए;

एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए;

एक षट्भुज का निर्माण करें;

एक वर्ग के विकर्णों के गुणों का उपयोग करके एक वर्ग की रचना कीजिए;

आयत के विकर्ण गुण का उपयोग करके एक आयत की रचना कीजिए।

समतल पर ज्यामितीय आकृतियों के निर्माण पर विचार करें।

ज्यामिति का वह भाग जो ज्यामितीय निर्माणों का अध्ययन करता है, रचनात्मक ज्यामिति कहलाता है। रचनात्मक ज्यामिति की मूल अवधारणा "एक आकृति का निर्माण" की अवधारणा है। मुख्य प्रस्ताव स्वयंसिद्धों के रूप में बनते हैं और निम्नलिखित तक कम हो जाते हैं।

1. प्रत्येक दी गई आकृति का निर्माण किया गया है।

2. यदि दो (या अधिक) आकृतियों का निर्माण किया जाता है, तो इन आकृतियों का संघ भी निर्मित होता है।

3. यदि दो आकृतियों का निर्माण किया जाता है, तो यह निर्धारित करना संभव है कि उनका प्रतिच्छेदन एक खाली सेट होगा या नहीं।

4. यदि दो निर्मित आकृतियों का प्रतिच्छेदन रिक्त न हो, तो उसका निर्माण किया जाता है।

5. यदि दो आकृतियों का निर्माण किया जाता है, तो यह निर्धारित करना संभव है कि उनका अंतर एक खाली सेट होगा या नहीं।

6. यदि दो निर्मित आकृतियों का अंतर एक खाली समुच्चय नहीं है, तो इसे बनाया जाता है।

7. आप खींची गई आकृति से संबंधित एक बिंदु बना सकते हैं।

8. आप एक बिंदु बना सकते हैं जो निर्मित आकृति से संबंधित नहीं है।

ज्यामितीय आकृतियों के निर्माण के लिए जिनमें कुछ निर्दिष्ट गुण होते हैं, विभिन्न ड्राइंग टूल्स का उपयोग किया जाता है। उनमें से सबसे सरल हैं: एक तरफा शासक (बाद में केवल एक शासक), एक दो तरफा शासक, एक वर्ग, एक कंपास इत्यादि।

विभिन्न ड्राइंग टूल आपको विभिन्न निर्माण करने की अनुमति देते हैं। ज्यामितीय निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले ड्राइंग टूल्स के गुण भी स्वयंसिद्ध के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।

चूँकि स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में एक कम्पास और एक रूलर की सहायता से ज्यामितीय आकृतियों के निर्माण पर विचार किया जाता है, इसलिए हम इन विशेष चित्रों द्वारा उपकरणों के साथ किए गए बुनियादी निर्माणों पर भी ध्यान देंगे।

अतः, एक रूलर की सहायता से, आप निम्नलिखित ज्यामितीय रचनाएँ कर सकते हैं।

1. दो निर्मित बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड का निर्माण करें;

2. दो निर्मित बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें;

3. एक किरण की रचना कीजिए जो निर्मित बिंदु से शुरू होकर निर्मित बिंदु से होकर गुजरती है।

कम्पास आपको निम्नलिखित ज्यामितीय निर्माण करने की अनुमति देता है:

1. एक वृत्त की रचना करें यदि उसका केंद्र और वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक खंड का निर्माण किया गया हो;

2. दो अतिरिक्त वृत्त चापों में से किसी एक की रचना कीजिए, यदि वृत्त का केंद्र और इन चापों के सिरों का निर्माण किया गया है।

निर्माण के लिए प्राथमिक कार्य।

निर्माण कार्य शायद सबसे प्राचीन गणितीय समस्याएं हैं, वे ज्यामितीय आकृतियों के गुणों को बेहतर ढंग से समझने में मदद करते हैं, ग्राफिक कौशल के विकास में योगदान करते हैं।

निर्माण समस्या को हल माना जाता है यदि आकृति के निर्माण की विधि निर्दिष्ट की जाती है और यह साबित होता है कि निर्दिष्ट निर्माणों के परिणामस्वरूप, आवश्यक गुणों वाला एक आंकड़ा वास्तव में प्राप्त होता है।

कुछ प्रारंभिक निर्माण कार्यों पर विचार करें।

1. दी गई सीधी रेखा पर दिए गए खंड AB के बराबर एक खंड SD की रचना कीजिए।

केवल निर्माण की संभावना एक खंड को स्थगित करने के स्वयंसिद्ध से अनुसरण करती है। एक कंपास और एक रूलर की सहायता से इसे निम्न प्रकार से किया जाता है। मान लीजिए कि एक रेखा a और एक खंड AB दिया गया है। हम सीधी रेखा पर बिंदु C को चिह्नित करते हैं और बिंदु C पर केंद्रित सीधी रेखा के साथ एक वृत्त बनाते हैं और D को निरूपित करते हैं। हमें AB के बराबर खंड SD मिलता है।

2. किसी दिए गए बिंदु से होकर, दी गई रेखा पर लंबवत एक रेखा खींचिए।

मान लीजिए बिंदु O और एक रेखा a दी गई है। दो मामले संभव हैं:

1. बिंदु O रेखा a पर स्थित है;

2. बिंदु 0 रेखा a पर स्थित नहीं है।

पहले मामले में हम एक बिंदु C को निरूपित करते हैं जो रेखा a पर नहीं है। बिंदु C से केंद्र के रूप में हम मनमाना त्रिज्या के एक वृत्त को लिखते हैं। मान लीजिए कि A और B इसके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। बिंदु A और B से हम एक त्रिज्या वाले वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए कि बिंदु O उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु है, जो C से भिन्न है। फिर अर्ध-रेखा CO विकसित कोण का समद्विभाजक है, साथ ही रेखा a का लंब भी है।

दूसरी स्थिति में, बिंदु O से केंद्र से हम एक वृत्त खींचते हैं जो सीधी रेखा a को काटता है, और फिर समान त्रिज्या वाले बिंदुओं A और B से हम दो और वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए O उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु है जो आधे तल में स्थित है, जो उस बिंदु से भिन्न है जिसमें बिंदु O स्थित है। रेखा OO/ दी गई रेखा a के लंबवत है। आइए इसे साबित करें।

AB और OO/ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को C से निरूपित करें। त्रिभुज AOB और AO/B की तीन बराबर भुजाएँ हैं। इसलिए, कोण OAC बराबर कोण O/AC दो पक्षों पर बराबर होता है और उनके बीच का कोण होता है। अत: कोणों से ACO और ACO/ बराबर हैं। और चूंकि कोण आसन्न हैं, वे समकोण हैं। इस प्रकार, OS रेखा a पर लंबवत है।

3. किसी दिए गए बिंदु से होकर, दिए गए बिंदु के समानांतर एक रेखा खींचिए।

मान लीजिए इस रेखा के बाहर एक रेखा a और एक बिंदु A दिया गया है। आइए हम रेखा a पर कुछ बिंदु B लेते हैं और इसे बिंदु A से जोड़ते हैं। बिंदु A से होकर एक रेखा C खींचते हैं, AB के साथ वही कोण बनाते हैं, जो AB दी गई रेखा a के साथ बनाता है, लेकिन AB से विपरीत दिशा में। निर्मित रेखा रेखा a के समानांतर होगी, जो रेखा a के प्रतिच्छेदन पर बने अनुप्रस्थ कोणों की समानता और छेदक AB के साथ अनुसरण करती है।

4. वृत्त पर दिए गए बिंदु से होकर जाने वाली स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।

दिया गया है: 1) सर्कल एक्स (ओ, एच)

2) बिंदु ए x

रचना: स्पर्शरेखा AB।

निर्माण।

2. वृत्त X (A, h), जहाँ h एक मनमाना त्रिज्या है (कम्पास का अभिगृहीत 1)

3. वृत्त x 1 के प्रतिच्छेदन के बिंदु M और N, और सीधी रेखा AO, यानी (M, N) = x 1 AO (अभिगृहीत 4 सामान्य है)

4. वृत्त x (M, r 2), जहाँ r 2 एक मनमाना त्रिज्या है, जैसे कि r 2 r 1 (कम्पास का अभिगृहीत 1)

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