दो तलों पर बिंदुओं के प्रक्षेपणों पर विचार करें, जिसके लिए हम दो लंबवत तल (चित्र 4) लेते हैं, जिसे हम क्षैतिज ललाट और तल कहते हैं। इन विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा को प्रक्षेपण अक्ष कहा जाता है। हम एक फ्लैट प्रोजेक्शन का उपयोग करके एक बिंदु ए को माना विमानों पर प्रोजेक्ट करते हैं। ऐसा करने के लिए, विचार किए गए विमानों पर दिए गए बिंदु से लंबवत एए और ए को कम करना आवश्यक है।

एक क्षैतिज तल पर प्रक्षेपण को कहा जाता है योजना देखेंअंक लेकिन, और प्रक्षेपण ए?ललाट तल पर कहा जाता है सामने प्रक्षेपण.

जिन बिंदुओं को वर्णनात्मक ज्यामिति में प्रक्षेपित किया जाना है, उन्हें आमतौर पर बड़े लैटिन अक्षरों का उपयोग करके दर्शाया जाता है। ए, बी, सी. बिंदुओं के क्षैतिज अनुमानों को निर्दिष्ट करने के लिए छोटे अक्षरों का उपयोग किया जाता है। ए, बी, सी... ललाट अनुमानों को शीर्ष पर एक स्ट्रोक के साथ छोटे अक्षरों में दर्शाया गया है ए ?, बी ?, सी?…

रोमन अंकों I, II, ... के साथ अंकों के पदनाम का भी उपयोग किया जाता है, और उनके अनुमानों के लिए - अरबी अंकों 1, 2 ... और 1?, 2 के साथ? ...

जब क्षैतिज तल को 90° घुमाया जाता है, तो एक चित्र प्राप्त किया जा सकता है जिसमें दोनों तल एक ही तल में हों (चित्र 5)। इस तस्वीर को कहा जाता है प्वाइंट प्लॉट.

लंबवत रेखाओं के माध्यम से एएचऔर आह?एक समतल खींचिए (चित्र 4)। परिणामी विमान ललाट और क्षैतिज विमानों के लंबवत है क्योंकि इसमें इन विमानों के लंबवत होते हैं। इसलिए, यह तल समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है। परिणामी सीधी रेखा क्षैतिज तल को एक सीधी रेखा में काटती है आ x, और ललाट तल - एक सीधी रेखा में हुह?एक्स। सीधे आह और हुह? x समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष के लंबवत हैं। अर्थात आह?एक आयत है।

क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण विमानों का संयोजन करते समय एऔर ए?विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के एक लंबवत पर स्थित होगा, क्योंकि जब क्षैतिज विमान घूमता है, तो खंडों की लंबवतता आएक्स और हुह?एक्स टूटा नहीं है।

हम इसे प्रक्षेपण आरेख पर प्राप्त करते हैं एऔर ए?एक समय पर लेकिनहमेशा समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष के समान लंब पर स्थित होते हैं।

दो अनुमान ए और ए?किसी बिंदु पर A अंतरिक्ष में अपनी स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित कर सकता है (चित्र 4)। इसकी पुष्टि इस तथ्य से होती है कि प्रक्षेपण a से क्षैतिज तल पर लंबवत का निर्माण करते समय, यह बिंदु A से होकर गुजरेगा। इसी तरह, प्रक्षेपण से लंबवत ए?ललाट तल बिंदु से होकर गुजरेगा लेकिन, यानी बिंदु लेकिनएक ही समय में दो निश्चित रेखाओं पर स्थित है। बिंदु A उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है, अर्थात यह निश्चित है।

एक आयत पर विचार करें एएएएक्स ए?(चित्र 5), जिसके लिए निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1) बिंदु दूरी लेकिनललाट तल से समतल के प्रतिच्छेदन के अक्ष से उसके क्षैतिज प्रक्षेपण की दूरी के बराबर है, अर्थात।

आह? = आएक्स;

2) बिंदु दूरी लेकिनअनुमानों के क्षैतिज तल से इसके ललाट प्रक्षेपण की दूरी के बराबर है ए?विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी से, अर्थात्।

एएच = हुह?एक्स।

दूसरे शब्दों में, यहां तक ​​​​कि भूखंड पर बिंदु के बिना, केवल इसके दो अनुमानों का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि यह बिंदु प्रत्येक प्रक्षेपण विमान से कितनी दूरी पर स्थित है।

दो प्रक्षेपण विमानों का प्रतिच्छेदन अंतरिक्ष को चार भागों में विभाजित करता है, जिन्हें कहा जाता है तिमाहियों(चित्र 6)।

विमानों के चौराहे की धुरी क्षैतिज विमान को दो तिमाहियों में विभाजित करती है - आगे और पीछे, और ललाट विमान ऊपरी और निचले क्वार्टर में। ललाट तल के ऊपरी भाग और क्षैतिज तल के अग्र भाग को प्रथम तिमाही की सीमाएँ माना जाता है।

आरेख प्राप्त होने पर, क्षैतिज तल घूमता है और ललाट तल के साथ मेल खाता है (चित्र 7)। इस मामले में, क्षैतिज विमान का अगला भाग ललाट तल के निचले भाग के साथ, और क्षैतिज तल का पिछला भाग ललाट तल के शीर्ष के साथ मेल खाएगा।

आंकड़े 8-11 अंतरिक्ष के विभिन्न क्वार्टरों में स्थित बिंदु ए, बी, सी, डी दिखाते हैं। बिंदु A पहली तिमाही में है, बिंदु B दूसरे में है, बिंदु C तीसरे में है, और बिंदु D चौथे में है।

जब अंक उनकी पहली या चौथी तिमाही में स्थित हों क्षैतिज अनुमानक्षैतिज तल के सामने स्थित है, और आरेख पर वे विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के नीचे स्थित होंगे। जब एक बिंदु दूसरी या तीसरी तिमाही में स्थित होता है, तो इसका क्षैतिज प्रक्षेपण क्षैतिज तल के पीछे होगा, और भूखंड पर यह विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के ऊपर होगा।

सामने के अनुमानपहली या दूसरी तिमाही में स्थित बिंदु ललाट तल के ऊपरी भाग पर स्थित होंगे, और आरेख पर वे विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के ऊपर स्थित होंगे। जब एक बिंदु तीसरी या चौथी तिमाही में स्थित होता है, तो इसका ललाट प्रक्षेपण विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी के नीचे होता है।

सबसे अधिक बार, वास्तविक निर्माणों में, आकृति को अंतरिक्ष की पहली तिमाही में रखा जाता है।

कुछ विशेष मामलों में, बिंदु ( इ) एक क्षैतिज तल पर स्थित हो सकता है (चित्र 12)। इस मामले में, इसका क्षैतिज प्रक्षेपण ई और बिंदु स्वयं ही मेल खाएगा। ऐसे बिंदु का ललाट प्रक्षेपण विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी पर होगा।

मामले में जहां बिंदु सेवाललाट तल पर स्थित है (चित्र 13), इसका क्षैतिज प्रक्षेपण कविमानों के चौराहे की धुरी पर स्थित है, और ललाट क?उस बिंदु का वास्तविक स्थान दिखाता है।

ऐसे बिंदुओं के लिए, यह संकेत है कि यह प्रक्षेपण विमानों में से एक पर स्थित है, इसका एक प्रक्षेपण विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी पर है।

यदि कोई बिंदु प्रक्षेपण तलों के प्रतिच्छेदन अक्ष पर स्थित है, तो वह और उसके दोनों प्रक्षेपण संपाती होते हैं।

जब कोई बिंदु प्रक्षेपण तल पर स्थित नहीं होता है, तो उसे कहा जाता है सामान्य स्थिति का बिंदु. निम्नलिखित में, यदि कोई विशेष अंक नहीं हैं, तो विचाराधीन बिंदु सामान्य स्थिति में एक बिंदु है।

2. प्रक्षेपण अक्ष का अभाव

यह समझाने के लिए कि लंबवत प्रक्षेपण विमानों (चित्र 4) पर एक बिंदु के मॉडल अनुमानों को कैसे प्राप्त किया जाए, एक लम्बी आयत के रूप में मोटे कागज का एक टुकड़ा लेना आवश्यक है। इसे अनुमानों के बीच झुकाने की जरूरत है। गुना रेखा विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी को दर्शाएगी। यदि उसके बाद मुड़े हुए कागज के टुकड़े को फिर से सीधा किया जाता है, तो हमें चित्र में दिखाए गए चित्र के समान एक आरेख प्राप्त होता है।

ड्रॉइंग प्लेन के साथ दो प्रोजेक्शन प्लेन को मिलाकर आप फोल्ड लाइन नहीं दिखा सकते हैं, यानी डायग्राम पर प्लेन के इंटरसेक्शन की एक्सिस को ड्रा न करें।

आरेख पर निर्माण करते समय, आपको हमेशा अनुमान लगाना चाहिए एऔर ए?एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर बिंदु A (चित्र 14), जो समतलों के प्रतिच्छेदन की धुरी के लंबवत है। इसलिए, भले ही विमानों के चौराहे के अक्ष की स्थिति अपरिभाषित रहती है, लेकिन इसकी दिशा निर्धारित होती है, विमानों के चौराहे की धुरी केवल आरेख पर सीधी रेखा के लंबवत हो सकती है आह?.

यदि बिंदु आरेख पर कोई प्रक्षेपण अक्ष नहीं है, जैसा कि पहले चित्र 14a में है, तो आप अंतरिक्ष में इस बिंदु की स्थिति की कल्पना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, रेखा के लंबवत किसी भी स्थान पर ड्रा करें आह?प्रक्षेपण अक्ष, जैसा कि दूसरी आकृति (चित्र 14) में है और इस अक्ष के साथ चित्र को मोड़ें। यदि हम बिंदुओं पर लंबों को पुनर्स्थापित करते हैं एऔर ए?इससे पहले कि वे प्रतिच्छेद करें, आप एक बिंदु प्राप्त कर सकते हैं लेकिन. प्रक्षेपण अक्ष की स्थिति बदलते समय, प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदु के विभिन्न स्थान प्राप्त होते हैं, लेकिन प्रक्षेपण अक्ष की स्थिति की अनिश्चितता अंतरिक्ष में कई बिंदुओं या आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति को प्रभावित नहीं करती है।

3. तीन प्रक्षेपण विमानों पर एक बिंदु का प्रक्षेपण

अनुमानों के प्रोफाइल विमान पर विचार करें। दो लंबवत विमानों पर अनुमान आमतौर पर आकृति की स्थिति निर्धारित करते हैं और इसके वास्तविक आयामों और आकार का पता लगाना संभव बनाते हैं। लेकिन ऐसे समय होते हैं जब दो अनुमान पर्याप्त नहीं होते हैं। फिर तीसरे प्रक्षेपण के निर्माण को लागू करें।

तीसरा प्रक्षेपण विमान किया जाता है ताकि यह एक ही समय में दोनों प्रक्षेपण विमानों के लंबवत हो (चित्र 15)। तीसरे विमान को कहा जाता है प्रोफ़ाइल.

ऐसे निर्माणों में, क्षैतिज और ललाट तलों की उभयनिष्ठ रेखा कहलाती है एक्सिस एक्स , क्षैतिज और प्रोफ़ाइल विमानों की सामान्य रेखा - एक्सिस पर , और ललाट और प्रोफ़ाइल विमानों की सामान्य सीधी रेखा - एक्सिस जेड . दूरसंचार विभाग हे, जो तीनों तलों से संबंधित है, उद्गम बिंदु कहलाता है।

चित्र 15a बिंदु को दर्शाता है लेकिनऔर इसके तीन अनुमान। प्रोफाइल प्लेन पर प्रोजेक्शन ( ए??) कहा जाता है प्रोफ़ाइल प्रक्षेपणऔर निरूपित करें ए??.

बिंदु A का आरेख प्राप्त करने के लिए, जिसमें तीन अनुमान होते हैं ए, ए ए, y अक्ष के साथ सभी विमानों द्वारा गठित त्रिभुज को काटना आवश्यक है (चित्र 15b) और इन सभी विमानों को ललाट प्रक्षेपण के विमान के साथ जोड़ दें। क्षैतिज विमान को अक्ष के बारे में घुमाया जाना चाहिए एक्स, और प्रोफ़ाइल विमान अक्ष के निकट है जेडचित्र 15 में तीर द्वारा इंगित दिशा में।

चित्र 16 अनुमानों की स्थिति दिखाता है आह, हुह?और ए??अंक लेकिन, तीनों विमानों को ड्राइंग प्लेन के साथ मिलाने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।

कट के परिणामस्वरूप, आरेख पर y-अक्ष दो अलग-अलग स्थानों पर होता है। एक क्षैतिज तल पर (चित्र 16), यह एक ऊर्ध्वाधर स्थिति लेता है (अक्ष के लंबवत .) एक्स), और प्रोफ़ाइल तल पर - क्षैतिज (अक्ष के लंबवत .) जेड).

चित्र 16 तीन अनुमान दिखाता है आह, हुह?और ए??अंक ए की आरेख पर कड़ाई से परिभाषित स्थिति है और स्पष्ट शर्तों के अधीन हैं:

एऔर ए?हमेशा अक्ष के लंबवत एक लंबवत सीधी रेखा पर स्थित होना चाहिए एक्स;

ए?और ए??हमेशा अक्ष के लंबवत समान क्षैतिज रेखा पर स्थित होना चाहिए जेड;

3) जब एक क्षैतिज प्रक्षेपण और एक क्षैतिज रेखा के माध्यम से खींचा जाता है, लेकिन एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण के माध्यम से ए??- एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा, निर्मित रेखाएं अनिवार्य रूप से प्रक्षेपण अक्षों के बीच के कोण के द्विभाजक पर प्रतिच्छेद करेंगी, क्योंकि आकृति ओएपर ए 0 ए n एक वर्ग है।

एक बिंदु के तीन अनुमानों का निर्माण करते समय, प्रत्येक बिंदु के लिए तीनों शर्तों की पूर्ति की जांच करना आवश्यक है।

4. बिंदु निर्देशांक

अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को तीन संख्याओं का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिन्हें इसकी . कहा जाता है COORDINATES. प्रत्येक निर्देशांक कुछ प्रक्षेपण विमान से एक बिंदु की दूरी से मेल खाता है।

बिंदु दूरी लेकिनप्रोफ़ाइल विमान के लिए निर्देशांक है एक्स, जिसमें एक्स = हुह?(चित्र 15), ललाट तल की दूरी - निर्देशांक y द्वारा, और y = हुह?, और क्षैतिज तल की दूरी निर्देशांक है जेड, जिसमें जेड = आ.

चित्र 15 में, बिंदु A एक आयताकार बॉक्स की चौड़ाई पर कब्जा कर लेता है, और इस बॉक्स की माप इस बिंदु के निर्देशांक के अनुरूप होती है, अर्थात, प्रत्येक निर्देशांक चित्र 15 में चार बार प्रस्तुत किया जाता है, अर्थात:

एक्स \u003d ए? ए \u003d ओए एक्स \u003d ए वाई ए \u003d ए जेड ए?;

वाई \u003d ए? ए \u003d ओए वाई \u003d ए एक्स ए \u003d ए जेड ए?;

जेड = एए = ओए जेड = ए एक्स ए? = ए वाई ए?.

आरेख (चित्र 16) पर, x और z निर्देशांक तीन बार आते हैं:

एक्स \u003d ए जेड ए? \u003d ओए एक्स \u003d ए वाई ए,

जेड = ए एक्स ए? = ओए जेड = ए वाई ए?।

निर्देशांक के अनुरूप सभी खंड एक्स(या जेड) एक दूसरे के समानांतर हैं। कोआर्डिनेट परऊर्ध्वाधर अक्ष द्वारा दो बार दर्शाया गया है:

वाई \u003d ओए वाई \u003d ए एक्स ए

और दो बार - क्षैतिज रूप से स्थित:

वाई \u003d ओए वाई \u003d ए जेड ए?।

यह अंतर इस तथ्य के कारण प्रकट हुआ कि y-अक्ष दो अलग-अलग स्थितियों में भूखंड पर मौजूद है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक प्रक्षेपण की स्थिति आरेख पर केवल दो निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात्:

1) क्षैतिज - निर्देशांक एक्सऔर पर,

2) ललाट - निर्देशांक एक्सऔर जेड,

3) प्रोफाइल - निर्देशांक परऔर जेड.

निर्देशांक का उपयोग करना एक्स, वाईऔर जेड, आप आरेख पर एक बिंदु के अनुमान बना सकते हैं।

यदि बिंदु A को निर्देशांक द्वारा दिया जाता है, तो उनका रिकॉर्ड निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है: A ( एक्स; वाई; जेड).

बिंदु अनुमानों का निर्माण करते समय लेकिननिम्नलिखित शर्तों की जाँच की जानी चाहिए:

1) क्षैतिज और ललाट अनुमान एऔर ए? एक्स एक्स;

2) ललाट और प्रोफ़ाइल अनुमान ए?और ए?अक्ष के समान लंबवत पर स्थित होना चाहिए जेड, क्योंकि उनके पास एक सामान्य समन्वय है जेड;

3) क्षैतिज प्रक्षेपण और अक्ष से भी हटा दिया गया एक्स, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण की तरह एधुरी से दूर जेडप्रक्षेपण के बाद से आह? और हुह? एक सामान्य समन्वय है पर.

यदि बिंदु किसी भी प्रक्षेपण तल में स्थित है, तो इसका एक निर्देशांक शून्य के बराबर होता है।

जब कोई बिंदु प्रक्षेपण अक्ष पर स्थित होता है, तो उसके दो निर्देशांक शून्य होते हैं।

यदि कोई बिंदु मूल बिंदु पर स्थित है, तो उसके तीनों निर्देशांक शून्य हैं।

बिंदु अनुमान।

अनुमानों की दो योजनाओं की ओर्थोगोनल प्रणाली।

ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन विधि का सार इस तथ्य में निहित है कि वस्तु को इन विमानों के लिए ओर्थोगोनल (लंबवत) किरणों द्वारा दो परस्पर लंबवत विमानों पर प्रक्षेपित किया जाता है।

प्रक्षेपण विमानों में से एक एच क्षैतिज रूप से रखा गया है, और दूसरा वी लंबवत रखा गया है। विमान एच को अनुमानों का क्षैतिज तल कहा जाता है, वी - ललाट। विमान एच और वी अनंत और अपारदर्शी हैं। प्रक्षेपण विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा को समन्वय अक्ष कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है बैल. प्रोजेक्शन प्लेन अंतरिक्ष को चार डायहेड्रल कोणों - क्वार्टरों में विभाजित करते हैं।

ओर्थोगोनल अनुमानों को ध्यान में रखते हुए, यह माना जाता है कि प्रेक्षक प्रक्षेपण विमानों से असीम रूप से बड़ी दूरी पर पहली तिमाही में है। चूंकि ये विमान अपारदर्शी हैं, केवल वही बिंदु, रेखाएं और आंकड़े जो एक ही पहली तिमाही के भीतर स्थित हैं, पर्यवेक्षक को दिखाई देंगे।

अनुमानों का निर्माण करते समय, यह याद रखना आवश्यक है कि बिंदु ओर्थोगोनल प्रक्षेपणकिसी समतल पर दिए गए बिंदु से गिराए गए लंब का आधार कहलाता हैइस विमान को।

आंकड़ा डॉट दिखाता है लेकिनऔर इसके ओर्थोगोनल अनुमान एक 1और एक 2।

बिंदु एक 1बुलाया योजना देखेंअंक लेकिन,बिंदु एक 2- उसकी सामने प्रक्षेपण. उनमें से प्रत्येक बिंदु से गिराए गए लंबवत का आधार है लेकिनविमान पर क्रमशः एचऔर वी.

यह सिद्ध किया जा सकता है कि बिंदु प्रक्षेपणहमेशा सीधी रेखाओं पर स्थित, लंबवतकोशिकीय अक्षओह और इस धुरी को पार करनाएक ही बिंदु पर।दरअसल, प्रक्षेपित किरणें लेकिनएक 1और लेकिनएक 2अनुमानों के विमानों और उनके चौराहे की रेखाओं के लंबवत एक विमान को परिभाषित करें - कुल्हाड़ियों ओह।यह विमान प्रतिच्छेद करता है एचऔर वीसीधी रेखाओं में एक 1 एएक्सऔर एक 1 एएक्स, अक्ष के साथ कौन सा रूप बैलऔर एक दूसरे के साथ एक बिंदु पर शीर्ष के साथ समकोण एएक्स.

इसके विपरीत भी सत्य है, अर्थात्। अगर प्रक्षेपण विमानों पर अंक दिए गए हैंए 1 और ए 2 , प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं पर स्थित हैएक्सिस बैलइस बिंदु पर एक समकोण पर,तो वे कुछ के अनुमान हैंअंक ए.यह बिंदु बिंदुओं से निर्मित लंबों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किया जाता है ए 1 और ए 2 विमानों के लिए एचऔर वी.

ध्यान दें कि अंतरिक्ष में प्रक्षेपण विमानों की स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, दोनों तल, परस्पर लंबवत होने के कारण, लंबवत हो सकते हैं।लेकिन इस मामले में, अक्ष के सापेक्ष बिंदुओं के विपरीत अनुमानों के उन्मुखीकरण के बारे में उपरोक्त धारणा मान्य रहती है।

उपरोक्त अनुमानों से युक्त एक सपाट चित्र प्राप्त करने के लिए, समतल एचएक अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा संरेखित बैलविमान के साथ वीजैसा कि चित्र में तीरों द्वारा दिखाया गया है। नतीजतन, सामने आधा विमान एचनिचले आधे विमान के साथ गठबंधन किया जाएगा वी, और पिछला आधा विमान एच- ऊपरी आधे विमान के साथ वी.

एक प्रोजेक्शन ड्राइंग, जिसमें प्रोजेक्शन प्लेन उन सभी चीजों के साथ जो उन पर दर्शाया गया है, एक निश्चित तरीके से एक दूसरे के साथ संयुक्त होते हैं, कहलाते हैं आरेख(फ्रांसीसी युग से - ड्राइंग)। चित्र एक बिंदु का आरेख दिखाता है लेकिन।

विमानों के संयोजन की इस विधि के साथ एचऔर वीअनुमानों ए 1 और ए 2 अक्ष के समान लंबवत पर स्थित होगा बैल. उसी समय, दूरी ए 1 एक एक्स — बिंदु के क्षैतिज प्रक्षेपण से अक्ष तक बैल लेकिनविमान तक वी, और दूरी ए 2 एक एक्स — बिंदु के ललाट प्रक्षेपण से अक्ष तक बैलबिंदु से दूरी के बराबर लेकिनविमान तक एच.

आरेख पर एक बिंदु के विपरीत अनुमानों को जोड़ने वाली सीधी रेखाएं, हम कॉल करने के लिए सहमत हैं प्रक्षेपण संचार लाइनें.

आरेख पर बिंदुओं के अनुमानों की स्थिति उस तिमाही पर निर्भर करती है जिसमें दिया गया बिंदु स्थित है। तो अगर बिंदु परदूसरी तिमाही में स्थित है, फिर विमानों के संरेखण के बाद, दोनों अनुमान अक्ष के ऊपर होंगे बैल।

अगर बिंदु साथ मेंतीसरी तिमाही में है, तो विमानों के संरेखण के बाद इसका क्षैतिज प्रक्षेपण अक्ष के ऊपर होगा, और ललाट प्रक्षेपण अक्ष के नीचे होगा बैल. अंत में, यदि बिंदु डीचौथी तिमाही में स्थित है, तो इसके दोनों अनुमान अक्ष के नीचे होंगे बैल. आंकड़ा अंक दिखाता है एमऔर एनप्रक्षेपण विमानों पर झूठ बोलना। इस स्थिति में, बिंदु अपने प्रक्षेपणों में से एक के साथ मेल खाता है, जबकि इसका अन्य प्रक्षेपण धुरी पर स्थित होता है बैल. यह विशेषता पदनाम में भी परिलक्षित होती है: उस प्रक्षेपण के पास जिसके साथ बिंदु स्वयं मेल खाता है, एक सूचकांक के बिना एक बड़ा अक्षर लिखा जाता है।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि मामला जब बिंदु के दोनों अनुमान मेल खाते हैं। यह तब होगा जब बिंदु प्रक्षेपण विमानों से समान दूरी पर दूसरी या चौथी तिमाही में हो। दोनों अनुमानों को बिंदु के साथ ही जोड़ दिया जाता है, यदि बाद वाला अक्ष पर स्थित है बैल.

अनुमानों की तीन योजनाओं की ओर्थोगोनल प्रणाली।

यह ऊपर दिखाया गया था कि एक बिंदु के दो अनुमान अंतरिक्ष में उसकी स्थिति निर्धारित करते हैं। चूंकि प्रत्येक आकृति या शरीर बिंदुओं का एक संग्रह है, इसलिए यह तर्क दिया जा सकता है कि किसी वस्तु के दो ओर्थोगोनल अनुमान (अक्षर पदनामों की उपस्थिति में) पूरी तरह से उसके आकार को निर्धारित करते हैं।

हालांकि, भवन संरचनाओं, मशीनों और विभिन्न इंजीनियरिंग संरचनाओं को चित्रित करने के अभ्यास में, अतिरिक्त अनुमान बनाना आवश्यक हो जाता है। वे प्रोजेक्शन ड्राइंग को स्पष्ट, अधिक पठनीय बनाने के एकमात्र उद्देश्य के लिए ऐसा करते हैं।

तीन प्रक्षेपण विमानों का मॉडल चित्र में दिखाया गया है। तीसरा तल, लंबवत और एचऔर वी, पत्र द्वारा निरूपित वूऔर बुलाया प्रोफ़ाइल।

इस तल पर बिंदुओं के अनुमानों को भी प्रोफ़ाइल कहा जाएगा, और उन्हें बड़े अक्षरों या संख्याओं द्वारा सूचकांक 3 . के साथ दर्शाया जाता है (एएच,बीएच,सीएच, ...1h, 2h, 3 3 ...)।

प्रोजेक्शन प्लेन, जोड़ियों में प्रतिच्छेद करते हैं, तीन अक्षों को परिभाषित करते हैं: हेएक्स, ओयूऔर हेजेड, जिसे बिंदु ओ पर मूल के साथ अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। आंकड़े में संकेतित संकेतों की प्रणाली निर्देशांक की "सही प्रणाली" से मेल खाती है।

तीन प्रक्षेपण विमान अंतरिक्ष को आठ त्रिभुज कोणों में विभाजित करते हैं - ये तथाकथित हैं अष्टक. अष्टक की संख्या चित्र में दी गई है।

प्लेन का प्लॉट पाने के लिए एचऔर वूविमान के साथ संरेखित होने तक चित्र में दिखाए अनुसार घुमाएं वी. रोटेशन के परिणामस्वरूप, सामने का आधा विमान एचनिचले आधे विमान के साथ संरेखित हो जाता है वी, और पिछला आधा विमान एच- ऊपरी आधे विमान के साथ वी. जब अक्ष के चारों ओर 90° घुमाया जाता है हेजेडसामने आधा विमान वूदाहिने आधे विमान के साथ मेल खाता है वी, और पिछला आधा विमान वू- बाएं आधे विमान के साथ वी.

सभी संयुक्त प्रक्षेपण विमानों का अंतिम दृश्य चित्र में दिया गया है। इस चित्र में, कुल्हाड़ियों हेएक्सऔर हेजेड, एक निश्चित विमान में झूठ बोलना वी, केवल एक बार दिखाया जाता है, और अक्ष हेयूदो बार दिखाया गया। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि, विमान के साथ घूमना एच, एक्सिस हेयूआरेख पर अक्ष के साथ गठबंधन किया गया है हेजेड, विमान के साथ घूमते समय वू, एक ही अक्ष अक्ष के साथ संरेखित है हेएक्स.

भविष्य में, आरेख पर कुल्हाड़ियों को नामित करते समय, ऋणात्मक अर्ध-अक्ष (- हेएक्स, — हेयू, — हेजेड) इंगित नहीं किया जाएगा।

एक बिंदु और उसके त्रिज्या-वेक्टर के तीन निर्देशांक और तीन अनुमान।

निर्देशांक वे संख्याएँ हैं जोनिर्धारित करने के लिए एक बिंदु के साथ पत्राचार करनाअंतरिक्ष में या पर अपनी स्थिति का नियासतहें।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करके एक बिंदु की स्थिति निर्धारित की जाती है एक्स, वाईऔर जेड.

कोआर्डिनेट एक्सबुलाया सूच्याकार आकृति का भुज, पर— तालमेलऔर जेड — पिपलीसूच्याकार आकृति का भुज एक्सकिसी दिए गए बिंदु से विमान तक की दूरी को परिभाषित करता है वू, समन्वय वाई -विमान तक वीऔर तालियाँ जेड - विमान तक एच. एक बिंदु के निर्देशांक गिनने के लिए चित्र में दिखाई गई प्रणाली को अपनाने के बाद, हम सभी आठ अष्टक में निर्देशांक के संकेतों की एक तालिका संकलित करेंगे। अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु लेकिन,निर्देशांक द्वारा दिया गया, निम्नानुसार दर्शाया जाएगा: ए(एक्स, वाई,जेड).

यदि x = 5, y = 4 और z = 6, तो प्रविष्टि निम्नलिखित रूप में होगी लेकिन(5, 4, 6)। इस बिंदु लेकिन,सभी निर्देशांक जिनमें से सकारात्मक हैं, पहले अष्टक में हैं

बिंदु निर्देशांक लेकिनउसी समय, इसकी त्रिज्या-सदिश के निर्देशांक हैं

ओएनिर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में। यदि एक मैं, जे, कनिर्देशांक अक्षों के साथ क्रमशः निर्देशित इकाई सदिश हैं एक्स, वाई,जेड(तस्वीर), तो

ओए =हेए एक्स आई+ओएआपजे + ओएजेडक , कहाँ पे ओए एक्स, ओए यू, ओए जी -वेक्टर निर्देशांक ओए

एक समन्वय आयताकार समानांतर चतुर्भुज का उपयोग करके एक स्थानिक मॉडल (आकृति) पर बिंदु की एक छवि और उसके अनुमानों का निर्माण करने की अनुशंसा की जाती है। सबसे पहले, बिंदु से निर्देशांक अक्षों पर हेसेगमेंट को बंद करें, क्रमशः बराबर 5, 4 और 6लंबाई की इकाइयां। इन खंडों पर (ओएक एक्स , ओएक तुम , हेएक ज़ू ), किनारों पर, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का निर्माण करें। इसका शीर्ष, मूल बिंदु के विपरीत, दिए गए बिंदु को निर्धारित करेगा लेकिन।यह देखना आसान है कि बिंदु निर्धारित करने के लिए लेकिनयह समानांतर चतुर्भुज के केवल तीन किनारों का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए हेएक एक्स , एक एक्स ए 1 और ए 1 लेकिनया हेएक तुम , एक y a 1 और ए 1 एऔर इसी तरह। ये किनारे एक समन्वय पॉलीलाइन बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक लिंक की लंबाई बिंदु के संबंधित समन्वय द्वारा निर्धारित की जाती है।

हालांकि, एक समानांतर चतुर्भुज का निर्माण हमें न केवल बिंदु निर्धारित करने की अनुमति देता है लेकिन,लेकिन इसके तीनों ओर्थोगोनल अनुमान भी।

एक समतल पर एक बिंदु प्रक्षेपित करने वाली किरणें एच, वी, वूसमांतर चतुर्भुज के तीन किनारे हैं जो बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं लेकिन।

बिंदु के प्रत्येक ओर्थोगोनल अनुमान लेकिन,एक समतल पर स्थित होना, केवल दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

हाँ, क्षैतिज प्रक्षेपण ए 1 निर्देशांक द्वारा निर्धारित एक्सऔर वाई,सामने प्रक्षेपण ए 2 - निर्देशांक एक्स औरजेड, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ए 3 — COORDINATES परऔर जेड. लेकिन किन्हीं दो अनुमानों को तीन निर्देशांकों द्वारा निर्धारित किया जाता है। यही कारण है कि दो अनुमानों के साथ एक बिंदु निर्दिष्ट करना तीन निर्देशांक वाले बिंदु को निर्दिष्ट करने के बराबर है।

आरेख (आकृति) पर, जहां सभी प्रक्षेपण विमान संयुक्त होते हैं, अनुमान ए 1 और ए 2 अक्ष के समान लंबवत पर होगा हेएक्स, और अनुमान ए 2 और ए 3 — अक्ष पर एक लंबवत आउंस.

अनुमानों के लिए ए 1 और ए 3 , तब वे सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं ए 1 एक तुमऔर ए 3 एक तुम , अक्ष के लंबवत हेयू. लेकिन चूंकि यह अक्ष आरेख पर दो स्थान रखता है, खंड ए 1 एक तुमएक खंड की निरंतरता नहीं हो सकती ए 3 एक तुम .

बिंदु अनुमानों का निर्माण ए (5, 4, 6)दिए गए निर्देशांक पर आरेख पर, उन्हें निम्नलिखित क्रम में किया जाता है: सबसे पहले, मूल से एब्सिस्सा अक्ष पर, एक खंड रखा जाता है हेएक एक्स = एक्स(हमारे मामले में एक्स =5), फिर डॉट के माध्यम से एक एक्सअक्ष पर लंबवत खींचें हेएक्स, जिस पर, संकेतों को ध्यान में रखते हुए, हम खंडों को स्थगित कर देते हैं एक एक्स ए 1 = y(हम पाते हैं ए 1 ) और एक एक्स ए 2 = जेड(हम पाते हैं ए 2 ) यह बिंदु के प्रोफाइल प्रोजेक्शन का निर्माण करना बाकी है ए 3 . चूंकि बिंदु का प्रोफ़ाइल और ललाट अनुमान अक्ष के समान लंबवत पर स्थित होना चाहिए आउंस , फिर के माध्यम से ए 3 सीधे ए 2 एक ज़ू ^ आउंस.

अंत में, अंतिम प्रश्न उठता है: अक्ष से कितनी दूरी पर हेजेडएक 3 होना चाहिए?

निर्देशांक बॉक्स (आकृति देखें) को ध्यान में रखते हुए, जिसके किनारे ए जेड ए 3 = ओ एक तुम = एक एक्स ए 1 = आपहम निष्कर्ष निकालते हैं कि वांछित दूरी ए जेड ए 3 बराबरी वाईरेखा खंड ए जेड ए 3 OZ अक्ष के दाईं ओर सेट करें यदि y>0, और बाईं ओर यदि y

आइए देखें कि जब बिंदु अंतरिक्ष में अपनी स्थिति बदलना शुरू करेगा तो भूखंड पर क्या परिवर्तन होंगे।

आइए, उदाहरण के लिए, एक बिंदु ए (5, 4, 6)समतल के लंबवत सीधी रेखा में गति करेगा वी. इस तरह के आंदोलन से केवल एक समन्वय बदलेगा वाई,एक बिंदु से एक विमान की दूरी दिखा रहा है वी. निर्देशांक स्थिर रहेंगे। एक्स औरजेड , और इन निर्देशांकों द्वारा परिभाषित बिंदु का प्रक्षेपण, अर्थात्। ए 2 अपनी स्थिति नहीं बदलेगा।

अनुमानों के लिए ए 1 और ए 3 , तो पहले अक्ष के करीब पहुंचना शुरू हो जाएगा हेएक्स, दूसरा - अक्ष के लिए हेजेड. आंकड़ों में, बिंदु की नई स्थिति पदनामों से मेल खाती है ए 1 (ए 1 1 ए 2 1 ए 3 1 ) जब बिंदु समतल पर हो वी(y = 0), तीन में से दो अनुमान ( ए 1 2 और ए 3 2 ) कुल्हाड़ियों पर झूठ होगा।

से चले गए मैंअष्टक में द्वितीय, बिंदु विमान से दूर जाने लगेगा वी, समन्वय परऋणात्मक हो जाता है, तो इसका निरपेक्ष मान बढ़ जाएगा। इस बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण, पिछले आधे तल पर स्थित होना एच, भूखंड पर अक्ष के ऊपर होगा हेएक्स, और प्रोफाइल प्रोजेक्शन, पिछले हाफ-प्लेन पर होने के कारण वू, आरेख पर अक्ष के बाईं ओर होगा हेजेड. हमेशा की तरह, कट एक ज़ूए 3 3 = वाई।

बाद के आरेखों में, हम प्रक्षेपण कनेक्शन की रेखाओं के साथ समन्वय अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को अक्षरों द्वारा निरूपित नहीं करेंगे। यह कुछ हद तक ड्राइंग को सरल करेगा।

भविष्य में, निर्देशांक अक्षों के बिना आरेख होंगे। यह व्यवहार में वस्तुओं को चित्रित करते समय किया जाता है, जब केवल छवि ही आवश्यक हैवस्तु, उसके सापेक्ष उसकी स्थिति नहींप्रक्षेपण विमान।

इस मामले में प्रक्षेपण विमानों को केवल समानांतर अनुवाद (आंकड़ा) तक सटीकता के साथ निर्धारित किया जाता है। वे आमतौर पर अपने आप के समानांतर इस तरह से स्थानांतरित होते हैं कि वस्तु के सभी बिंदु विमान के ऊपर होते हैं। एचऔर विमान के सामने वी. चूंकि एक्स 12 अक्ष की स्थिति अनिश्चित हो जाती है, इस मामले में एक आरेख के गठन को समन्वय अक्ष के चारों ओर विमानों के घूर्णन से जुड़े होने की आवश्यकता नहीं है। प्लेन प्लॉट में स्विच करते समय एचऔर वीसंयुक्त हैं ताकि बिंदुओं के विपरीत अनुमान लंबवत रेखाओं पर स्थित हों।

बिंदुओं A और B . का अक्षविहीन प्लॉट(चित्र) नहींअंतरिक्ष में उनकी स्थिति निर्धारित करता है,लेकिन हमें उनके सापेक्ष अभिविन्यास का न्याय करने की अनुमति देता है।तो, खंड △x बिंदु के विस्थापन को दर्शाता है लेकिनबिंदु के संबंध में परएच और वी विमानों के समानांतर दिशा में। दूसरे शब्दों में, x इंगित करता है कि बिंदु कितना है लेकिनबिंदु के बाईं ओर स्थित पर।वी विमान के लंबवत दिशा में बिंदु के सापेक्ष ऑफसेट को खंड y, यानी बिंदु द्वारा निर्धारित किया जाता है और मेंहमारे उदाहरण में, बिंदु से पर्यवेक्षक के करीब पर, y के बराबर दूरी।

अंत में, खंड z बिंदु की अधिकता को दर्शाता है लेकिनबिंदु के ऊपर पर।

वर्णनात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम के अक्षहीन अध्ययन के समर्थकों ने ठीक ही कहा है कि कई समस्याओं को हल करते समय, कोई समन्वय अक्षों के बिना कर सकता है। हालाँकि, उनकी पूर्ण अस्वीकृति को समीचीन नहीं माना जा सकता है। वर्णनात्मक ज्यामिति को भविष्य के इंजीनियर को न केवल चित्र के सक्षम निष्पादन के लिए, बल्कि विभिन्न तकनीकी समस्याओं को हल करने के लिए तैयार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जिनमें से स्थानिक स्थैतिक और यांत्रिकी की समस्याएं अंतिम स्थान पर नहीं हैं। और इसके लिए कार्तीय निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष इस या उस वस्तु को उन्मुख करने की क्षमता विकसित करना आवश्यक है। परिप्रेक्ष्य और अक्षतंतुमिति के रूप में वर्णनात्मक ज्यामिति के ऐसे वर्गों का अध्ययन करते समय भी ये कौशल आवश्यक होंगे। इसलिए, इस पुस्तक में कई आरेखों पर, हम निर्देशांक अक्षों की छवियों को सहेजते हैं। इस तरह के चित्र न केवल वस्तु के आकार को निर्धारित करते हैं, बल्कि प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष उसका स्थान भी निर्धारित करते हैं।

कई विवरणों की छवियों का निर्माण करने के लिए, व्यक्तिगत बिंदुओं के अनुमानों को खोजने में सक्षम होना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, अंजीर में दिखाए गए हिस्से का शीर्ष दृश्य बनाना मुश्किल है। 139 बिंदु A, B, C, D, E, F, आदि के क्षैतिज प्रक्षेपणों के निर्माण के बिना।

वस्तु की सतह पर दिए गए बिंदुओं के अनुमानों को खोजने की समस्या को निम्नानुसार हल किया जाता है। सबसे पहले, सतह के अनुमान जिस पर बिंदु स्थित है, पाए जाते हैं। फिर, प्रक्षेपण के लिए एक कनेक्शन रेखा खींचना, जहां सतह को एक रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, बिंदु का दूसरा प्रक्षेपण पाया जाता है। तीसरा प्रक्षेपण संचार लाइनों के चौराहे पर स्थित है।

एक उदाहरण पर विचार करें।

भाग के तीन अनुमान दिए गए हैं (चित्र 140, ए)। दृश्य सतह पर स्थित बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण दिया गया है। हमें इस बिंदु के अन्य अनुमानों को खोजने की जरूरत है।

सबसे पहले, आपको एक सहायक रेखा खींचने की आवश्यकता है। यदि दो दृश्य दिए गए हैं, तो चित्र में सहायक रेखा का स्थान मनमाने ढंग से, शीर्ष दृश्य के दाईं ओर चुना जाता है, ताकि बाईं ओर का दृश्य मुख्य दृश्य से आवश्यक दूरी पर हो (चित्र 141)।

यदि तीन दृश्य पहले ही बनाए जा चुके हैं (चित्र 142, ए), तो सहायक लाइन की जगह को मनमाने ढंग से नहीं चुना जा सकता है; आपको उस बिंदु को खोजने की जरूरत है जिसके माध्यम से वह गुजरेगा। ऐसा करने के लिए, यह समरूपता के अक्ष के क्षैतिज और प्रोफ़ाइल अनुमानों के पारस्परिक चौराहे तक जारी रखने के लिए पर्याप्त है और परिणामी बिंदु k (चित्र 142, b) के माध्यम से 45 ° के कोण पर एक सीधी रेखा खंड खींचते हैं, जो एक सहायक सीधी रेखा होगी।

यदि समरूपता की कोई कुल्हाड़ियाँ नहीं हैं, तो तब तक जारी रखें जब तक कि बिंदु k 1 क्षैतिज और सीधी रेखा खंडों के रूप में प्रक्षेपित किसी भी चेहरे के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण (चित्र। 142, बी) पर चौराहे न हो।

एक सहायक सीधी रेखा खींचकर, वे बिंदु के अनुमानों का निर्माण करना शुरू करते हैं (चित्र 140, बी देखें)।

ललाट ए" और प्रोफाइल ए" बिंदु ए के अनुमानों को सतह के संबंधित अनुमानों पर स्थित होना चाहिए जिससे बिंदु ए संबंधित है। ये अनुमान पाए जाते हैं। अंजीर पर। 140, बी वे रंग में हाइलाइट किए गए हैं। तीरों द्वारा दर्शाए अनुसार संचार रेखाएँ बनाएँ। सतह के अनुमानों के साथ संचार लाइनों के चौराहों पर, वांछित अनुमान ए" और ए" पाए जाते हैं।

अंक बी, सी, डी के अनुमानों का निर्माण अंजीर में दिखाया गया है। 140, तीरों के साथ संचार की तर्ज पर। दिए गए बिंदुओं के अनुमान रंगीन हैं। संचार रेखाएँ उस प्रक्षेपण के लिए खींची जाती हैं जिस पर सतह को एक रेखा के रूप में दर्शाया जाता है, न कि एक आकृति के रूप में। इसलिए, बिंदु C से ललाट प्रक्षेपण पहले पाया जाता है। बिंदु C से प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण संचार लाइनों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि किसी प्रक्षेपण पर सतह को एक रेखा द्वारा चित्रित नहीं किया गया है, तो बिंदुओं के अनुमानों के निर्माण के लिए एक सहायक विमान का उपयोग किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक शंकु की सतह पर स्थित बिंदु A का एक ललाट प्रक्षेपण d दिया गया है (चित्र 143, a)। आधार के समानांतर एक बिंदु के माध्यम से एक सहायक विमान खींचा जाता है, जो एक सर्कल में शंकु को काटेगा; इसका ललाट प्रक्षेपण एक सीधी रेखा खंड है, और इसका क्षैतिज प्रक्षेपण एक वृत्त है जिसका व्यास इस खंड की लंबाई के बराबर है (चित्र। 143, बी)। बिंदु a से इस वृत्त तक एक संचार रेखा खींचकर, बिंदु A का एक क्षैतिज प्रक्षेपण प्राप्त किया जाता है।

प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण a" बिंदु A संचार लाइनों के चौराहे पर सामान्य तरीके से पाया जाता है।

उसी तरह, एक बिंदु के अनुमानों को पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, पिरामिड या गेंद की सतह पर। जब एक पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है और दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है, तो आधार के समान एक आकृति बनती है। दिए गए बिंदु के अनुमान इस आंकड़े के अनुमानों पर आधारित हैं।

प्रश्नों के उत्तर दें

1. सहायक रेखा किस कोण पर खींची गई है?

2. यदि सामने और ऊपर के दृश्य दिए गए हैं तो सहायक रेखा कहाँ खींची जाती है, लेकिन आपको बाईं ओर से एक दृश्य बनाने की आवश्यकता है?

3. तीन प्रकार की उपस्थिति में सहायक रेखा का स्थान कैसे निर्धारित करें?

4. यदि किसी वस्तु की किसी एक सतह को एक रेखा द्वारा निरूपित किया जाता है, तो किसी दिए गए बिंदु के अनुसार किसी बिंदु के प्रक्षेपणों को बनाने की विधि क्या है?

5. किन ज्यामितीय निकायों के लिए और किन मामलों में एक सहायक विमान का उपयोग करके उनकी सतह पर दिए गए बिंदु के प्रक्षेपण पाए जाते हैं?

20 . को असाइनमेंट

व्यायाम 68

कार्यपुस्तिका में लिखें कि विचारों पर संख्याओं द्वारा इंगित बिंदुओं के अनुमान शिक्षक द्वारा आपको बताए गए उदाहरण में दृश्य छवि में अक्षरों द्वारा इंगित बिंदुओं के अनुरूप हैं (चित्र 144, ए-डी)।

व्यायाम 69

अंजीर पर। 145, a-b अक्षर कुछ शीर्षों के केवल एक प्रक्षेपण को दर्शाते हैं। शिक्षक द्वारा आपको दिए गए उदाहरण में, इन शीर्षों के शेष प्रक्षेपणों को खोजें और उन्हें अक्षरों से नामित करें। किसी एक उदाहरण में वस्तु के किनारों पर दिए गए बिंदुओं के लापता प्रक्षेपणों की रचना करें (चित्र 145, डी और ई)। उन किनारों के प्रक्षेपणों को रंग से हाइलाइट करें जिन पर बिंदु स्थित हैं। पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ पर इसे ओवरले करके पारदर्शी कागज पर कार्य पूरा करें। चित्र 145 को फिर से बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है।

व्यायाम 70

वस्तु के दृश्य सतहों पर एक प्रक्षेपण द्वारा दिए गए बिंदुओं के लापता प्रक्षेपणों का पता लगाएं (चित्र 146)। उन्हें अक्षरों से लेबल करें। बिंदुओं के दिए गए अनुमानों को रंग से हाइलाइट करें। एक दृश्य छवि आपको समस्या को हल करने में मदद करेगी। कार्य को पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ पर ओवरले करके कार्यपुस्तिका और पारदर्शी कागज दोनों में पूरा किया जा सकता है। बाद के मामले में, अंजीर को फिर से बनाएं। 146 आवश्यक नहीं है।

व्यायाम 71

शिक्षक द्वारा आपको दिए गए उदाहरण में तीन प्रकार के चित्र बनाइए (चित्र 147)। वस्तु की दृश्य सतहों पर दिए गए बिंदुओं के लापता प्रक्षेपणों का निर्माण करें। बिंदुओं के दिए गए अनुमानों को रंग से हाइलाइट करें। सभी बिंदु अनुमानों को लेबल करें। बिंदुओं के अनुमान बनाने के लिए, एक सहायक सीधी रेखा का उपयोग करें। एक तकनीकी ड्राइंग बनाएं और उस पर दिए गए बिंदुओं को चिह्नित करें।

वर्णनात्मक ज्यामिति में एक लघु पाठ्यक्रम

व्याख्यान इंजीनियरिंग और तकनीकी विशिष्टताओं के छात्रों के लिए अभिप्रेत हैं

मोंग विधि

यदि प्रक्षेपण तल के सापेक्ष किसी बिंदु की दूरी की जानकारी अंकीय चिह्न की सहायता से नहीं, बल्कि दूसरे प्रक्षेपण तल पर बने बिंदु के दूसरे प्रक्षेपण की सहायता से दी जाती है, तो आरेखण को दो कहते हैं- चित्र या जटिल। इस तरह के चित्र बनाने के मूल सिद्धांत जी. मोंगे द्वारा निर्धारित किए गए हैं।
मोंगे द्वारा निर्धारित विधि - ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण की विधि, और दो अनुमानों को दो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों पर लिया जाता है - एक विमान पर वस्तुओं की छवियों की अभिव्यक्ति, सटीकता और पठनीयता प्रदान करना, तकनीकी चित्र बनाने के लिए मुख्य विधि थी और बनी हुई है

चित्र 1.1 तीन प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में बिंदु

तीन प्रक्षेपण विमानों का मॉडल चित्र 1.1 में दिखाया गया है। तीसरा तल, P1 और P2 दोनों के लंबवत, P3 अक्षर से निरूपित होता है और इसे प्रोफाइल प्लेन कहा जाता है। इस तल पर बिंदुओं के अनुमानों को बड़े अक्षरों या सूचकांक 3 के साथ संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है। प्रक्षेपण विमान, जोड़ियों में प्रतिच्छेद करते हैं, तीन अक्षों 0x, 0y और 0z को परिभाषित करते हैं, जिन्हें मूल के साथ अंतरिक्ष में कार्टेशियन निर्देशांक की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। बिंदु 0 पर। तीन प्रक्षेपण विमान अंतरिक्ष को आठ त्रिभुज कोणों - अष्टक में विभाजित करते हैं। पहले की तरह, हम मानेंगे कि वस्तु को देखने वाला दर्शक पहले अष्टक में है। एक आरेख प्राप्त करने के लिए, P1 और P3 विमानों के तीन प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में बिंदुओं को तब तक घुमाया जाता है जब तक कि वे P2 विमान के साथ मेल नहीं खाते। आरेख पर कुल्हाड़ियों को नामित करते समय, नकारात्मक अर्ध-अक्ष आमतौर पर इंगित नहीं किए जाते हैं। यदि केवल वस्तु की छवि ही महत्वपूर्ण है, और प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष उसकी स्थिति नहीं है, तो आरेख पर कुल्हाड़ियों को नहीं दिखाया गया है। निर्देशांक वे संख्याएँ होती हैं जो अंतरिक्ष में या सतह पर अपनी स्थिति निर्धारित करने के लिए एक बिंदु के अनुरूप होती हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक x, y, और z (एब्सिस्सा, कोर्डिनेट, और एप्लिकेट) का उपयोग करके एक बिंदु की स्थिति निर्धारित की जाती है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा की स्थिति निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित विधियाँ हैं: 1. दो बिंदु (A और B)। अंतरिक्ष ए और बी में दो बिंदुओं पर विचार करें (चित्र 2.1)। इन बिंदुओं के माध्यम से हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, हमें एक खंड मिलता है। प्रक्षेपण तल पर इस खंड के अनुमानों को खोजने के लिए, बिंदु A और B के अनुमानों को खोजना और उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़ना आवश्यक है। प्रक्षेपण विमान पर प्रत्येक खंड अनुमान खंड से ही छोटा है:<; <; <.

चित्र 2.1 दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा की स्थिति का निर्धारण

2. दो विमान (ए; बी)। सेटिंग की यह विधि इस तथ्य से निर्धारित होती है कि दो गैर-समानांतर विमान एक सीधी रेखा में अंतरिक्ष में प्रतिच्छेद करते हैं (इस विधि पर प्राथमिक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में विस्तार से चर्चा की गई है)।

3. प्रक्षेपण विमानों के झुकाव के बिंदु और कोण। रेखा से संबंधित एक बिंदु के निर्देशांक और प्रक्षेपण विमानों के झुकाव के कोण को जानने के बाद, आप अंतरिक्ष में रेखा की स्थिति का पता लगा सकते हैं।

प्रक्षेपण विमानों के संबंध में सीधी रेखा की स्थिति के आधार पर, यह सामान्य और विशेष दोनों स्थितियों पर कब्जा कर सकता है। 1. एक सीधी रेखा जो किसी प्रक्षेपण तल के समानांतर नहीं होती, सामान्य स्थिति में सीधी रेखा कहलाती है (चित्र 3.1)।

2. प्रक्षेपण विमानों के समानांतर सीधी रेखाएं अंतरिक्ष में एक विशेष स्थान पर होती हैं और उन्हें समतल रेखाएं कहा जाता है। दी गई रेखा किस प्रक्षेपण तल के समानांतर है, इसके आधार पर निम्नलिखित हैं:

2.1. क्षैतिज तल के समांतर प्रत्यक्ष प्रक्षेपणों को क्षैतिज या समोच्च रेखाएँ (चित्र 3.2) कहा जाता है।

चित्र 3.2 क्षैतिज सीधी रेखा

2.2. ललाट तल के समानांतर प्रत्यक्ष प्रक्षेपणों को ललाट या ललाट कहा जाता है (चित्र 3.3)।

चित्र 3.3 ललाट सीधा

2.3. प्रोफाइल प्लेन के समानांतर सीधे प्रोजेक्शन को प्रोफाइल प्रोजेक्शन (चित्र। 3.4) कहा जाता है।

चित्र 3.4 सीधे प्रोफ़ाइल

3. प्रक्षेपण तलों के लंबवत सीधी रेखाओं को प्रक्षेपित करना कहा जाता है। एक प्रक्षेपण तल के लंबवत रेखा अन्य दो के समानांतर होती है। किस प्रक्षेपण विमान के आधार पर जांच की गई रेखा लंबवत है, वहां हैं:

3.1. सामने की ओर प्रक्षेपित सीधी रेखा - AB (चित्र 3.5)।

चित्र 3.5 फ्रंट प्रोजेक्शन लाइन

3.2. सीधी रेखा प्रक्षेपित करने वाली प्रोफ़ाइल - AB (चित्र 3.6)।

चित्र 3.6 प्रोफाइल-प्रोजेक्टिंग लाइन

3.3. क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित सीधी रेखा - AB (चित्र। 3.7)।

चित्र 3.7 क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित रेखा

समतल ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक विमान की अवधारणा को आमतौर पर प्रारंभिक अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जो केवल अप्रत्यक्ष रूप से ज्यामिति के स्वयंसिद्धों द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक समतल के कुछ अभिलक्षणिक गुण: 1. समतल एक ऐसा पृष्ठ है जिसमें उसके किसी भी बिंदु को जोड़ने वाली प्रत्येक रेखा पूरी तरह से समाहित होती है; 2. एक समतल दो दिए गए बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह है।

विमानों की चित्रमय परिभाषा के तरीके अंतरिक्ष में एक विमान की स्थिति निर्धारित की जा सकती है:

1. तीन बिंदु जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं (आकृति 4.1)।

चित्र 4.1 तीन बिंदुओं द्वारा परिभाषित तल जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं

2. एक सीधी रेखा और एक बिंदु जो इस सीधी रेखा से संबंधित नहीं है (चित्र 4.2)।

चित्र 4.2 एक सीधी रेखा द्वारा परिभाषित समतल और एक बिंदु जो इस रेखा से संबंधित नहीं है

3. दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ (चित्र 4.3)।

चित्र 4.3 दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं द्वारा परिभाषित समतल

4. दो समांतर रेखाएं (आकृति 4.4)।

चित्र 4.4 दो समानांतर सीधी रेखाओं द्वारा परिभाषित समतल

प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष विमान की विभिन्न स्थिति

प्रक्षेपण विमानों के संबंध में विमान की स्थिति के आधार पर, यह सामान्य और विशेष दोनों स्थितियों पर कब्जा कर सकता है।

1. वह तल जो किसी प्रक्षेपण तल के लंबवत न हो, सामान्य स्थिति वाला तल कहलाता है। ऐसा विमान सभी प्रक्षेपण विमानों को काटता है (इसमें तीन निशान हैं: - क्षैतिज एस 1; - ललाट एस 2; - प्रोफाइल एस 3)। सामान्य विमान के निशान कुल्हाड़ियों पर जोड़े में बिंदुओं ax,ay,az पर प्रतिच्छेद करते हैं। इन बिंदुओं को लुप्त बिंदु कहा जाता है, इन्हें तीन में से दो प्रक्षेपण विमानों के साथ दिए गए विमान द्वारा गठित त्रिभुज कोणों के शिखर के रूप में माना जा सकता है। विमान के प्रत्येक निशान एक ही नाम के प्रक्षेपण के साथ मेल खाते हैं, और विपरीत नामों के अन्य दो अनुमान अक्षों पर स्थित हैं (चित्र 5.1)।

2. प्रक्षेपणों के विमानों के लंबवत विमान - अंतरिक्ष में एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेते हैं और प्रक्षेपण कहलाते हैं। इस पर निर्भर करता है कि दिया गया विमान किस प्रोजेक्शन प्लेन के लंबवत है, ये हैं:

2.1. क्षैतिज प्रक्षेपण तल (S ^ 1) के लंबवत तल को क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित तल कहा जाता है। ऐसे समतल का क्षैतिज प्रक्षेपण एक सीधी रेखा है, जो इसका क्षैतिज निशान भी है। इस तल में किसी भी आकृति के सभी बिंदुओं के क्षैतिज प्रक्षेपण क्षैतिज निशान के साथ मेल खाते हैं (चित्र 5.2)।

चित्र 5.2 क्षैतिज प्रक्षेपण विमान

2.2. अनुमानों के ललाट तल के लंबवत तल (S ^ P2) सामने का प्रक्षेपित तल है। विमान S का ललाट प्रक्षेपण एक सीधी रेखा है जो ट्रेस S 2 (चित्र 5.3) के साथ मेल खाती है।

चित्र 5.3 फ्रंट प्रोजेक्शन प्लेन

2.3. प्रोफाइल प्लेन के लंबवत प्लेन (S ^ 3) प्रोफाइल-प्रोजेक्टिंग प्लेन है। ऐसे समतल का एक विशेष मामला द्विभाजक तल है (चित्र 5.4)।

चित्र 5.4 प्रोफाइल-प्रोजेक्टिंग प्लेन

3. प्रक्षेपणों के विमानों के समानांतर विमान - अंतरिक्ष में एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेते हैं और स्तर के विमान कहलाते हैं। अध्ययन के तहत विमान किस विमान के समानांतर है, इस पर निर्भर करता है:

3.1. हॉरिजॉन्टल प्लेन - हॉरिजॉन्टल प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर एक प्लेन (S //P1) - (S ^P2, S ^P3)। इस विमान में किसी भी आकृति को बिना विरूपण के विमान P1 पर और विमान P2 और P3 पर सीधी रेखाओं में प्रक्षेपित किया जाता है - विमान S 2 और S 3 (चित्र। 5.5) के निशान।

चित्र 5.5 क्षैतिज तल

3.2. फ्रंटल प्लेन - ललाट प्रोजेक्शन प्लेन (S //P2), (S ^P1, S ^P3) के समानांतर एक प्लेन। इस विमान में किसी भी आकृति को बिना विरूपण के विमान P2 पर और विमान P1 और P3 पर सीधी रेखाओं में प्रक्षेपित किया जाता है - विमान S 1 और S 3 (चित्र। 5.6) के निशान।

चित्र 5.6 ललाट तल

3.3. प्रोफाइल प्लेन - प्रोजेक्शन के प्रोफाइल प्लेन के समानांतर एक प्लेन (S //P3), (S ^P1, S ^P2)। इस विमान में किसी भी आकृति को बिना विरूपण के विमान P3 पर और विमान P1 और P2 पर सीधी रेखाओं में प्रक्षेपित किया जाता है - विमान S 1 और S 2 (चित्र। 5.7) के निशान।

चित्र 5.7 प्रोफ़ाइल समतल

विमान के निशान

विमान का निशान प्रक्षेपण विमानों के साथ विमान के चौराहे की रेखा है। दिए गए प्रक्षेपण विमानों में से किस पर निर्भर करता है, वे भेद करते हैं: विमान के क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल निशान।

विमान का प्रत्येक निशान एक सीधी रेखा है, जिसके निर्माण के लिए दो बिंदुओं, या एक बिंदु और सीधी रेखा की दिशा (किसी भी सीधी रेखा के निर्माण के लिए) को जानना आवश्यक है। चित्र 5.8 में समतल S (ABC) के चिह्नों का पता लगाना दिखाया गया है। विमान S 2 के ललाट निशान का निर्माण दो बिंदुओं 12 और 22 को जोड़ने वाली रेखा के रूप में किया गया है, जो कि विमान S से संबंधित संबंधित रेखाओं के ललाट निशान हैं। क्षैतिज ट्रेस एस 1 एक सीधी रेखा है जो सीधी रेखा एबी और एस एक्स के क्षैतिज निशान से गुजरती है। प्रोफ़ाइल ट्रेस एस 3 - अक्षों के साथ क्षैतिज और ललाट निशान के चौराहे के बिंदुओं (एस वाई और एस जेड) को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा।

चित्र 5.8 समतल निशानों का निर्माण

एक सीधी रेखा और एक तल की सापेक्ष स्थिति का निर्धारण एक स्थितिगत समस्या है, जिसके समाधान के लिए सहायक काटने वाले विमानों की विधि का उपयोग किया जाता है। विधि का सार इस प्रकार है: रेखा के माध्यम से एक सहायक सेकेंट प्लेन Q को ड्रा करें और दो लाइनों a और b की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करें, जिनमें से अंतिम सहायक सेकेंड प्लेन Q और इस प्लेन T के प्रतिच्छेदन की रेखा है ( चित्र 6.1)।

चित्र 6.1 सहायक कटिंग प्लेन विधि

इन रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के तीन संभावित मामलों में से प्रत्येक रेखा और तल की पारस्परिक स्थिति के समान मामले से मेल खाता है। इसलिए, यदि दोनों रेखाएँ मेल खाती हैं, तो रेखा a समतल T में स्थित है, रेखाओं की समांतरता रेखा और समतल की समानांतरता को इंगित करती है, और, अंत में, रेखाओं का प्रतिच्छेदन उस स्थिति से मेल खाता है जब रेखा एक प्रतिच्छेद करती है विमान टी। इस प्रकार, रेखा और विमान की सापेक्ष स्थिति के तीन मामले हैं: विमान के अंतर्गत आता है; रेखा तल के समानांतर है; एक सीधी रेखा एक विमान को काटती है, एक विशेष मामला - एक सीधी रेखा विमान के लंबवत होती है। आइए प्रत्येक मामले पर विचार करें।

विमान से संबंधित सीधी रेखा

अभिगृहीत 1. एक रेखा एक समतल की होती है यदि उसके दो बिंदु एक ही तल के हों (चित्र 6.2)।

काम। एक विमान (एन, के) और लाइन एम 2 का एक प्रक्षेपण दिया गया है। यदि यह ज्ञात हो कि यह रेखा n और k को प्रतिच्छेद करने वाले समतल से संबंधित है, तो रेखा m के लुप्त प्रक्षेपों को ज्ञात करना आवश्यक है। रेखा m2 का प्रक्षेपण, n और k को बिंदु B2 और C2 पर प्रतिच्छेद करता है, रेखा के लापता अनुमानों को खोजने के लिए, बिंदुओं B और C के लापता अनुमानों को लाइनों n और k पर स्थित बिंदुओं के रूप में खोजना आवश्यक है। , क्रमश। इस प्रकार, बिंदु B और C प्रतिच्छेदी रेखाओं n और k द्वारा दिए गए समतल के हैं, और रेखा m इन बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसका अर्थ है कि, अभिगृहीत के अनुसार, रेखा इस तल की है।

अभिगृहीत 2. एक रेखा एक समतल से संबंधित होती है यदि उसका समतल के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु हो और वह इस तल में स्थित किसी भी रेखा के समानांतर हो (चित्र 6.3)।

काम। बिंदु B से होकर जाने वाली एक रेखा m खींचिए, यदि यह ज्ञात हो कि यह रेखा n और k को प्रतिच्छेद करने वाले तल से संबंधित है। माना B, रेखा n से संबंधित है, जो प्रतिच्छेदी रेखाओं n और k द्वारा दिए गए तल में स्थित है। प्रोजेक्शन बी 2 के माध्यम से हम लाइन एम 2 के प्रोजेक्शन को लाइन के 2 के समानांतर खींचते हैं, लाइन के लापता अनुमानों को खोजने के लिए, बी 1 के प्रोजेक्शन को लाइन एन 1 के प्रोजेक्शन पर स्थित एक बिंदु के रूप में बनाना आवश्यक है। प्रोजेक्शन k1 के समानांतर इसके माध्यम से लाइन m1 का प्रोजेक्शन ड्रा करें। इस प्रकार, बिंदु B, प्रतिच्छेदी रेखाओं n और k द्वारा दिए गए समतल से संबंधित हैं, और रेखा m इस बिंदु से होकर गुजरती है और रेखा k के समानांतर है, जिसका अर्थ है कि, स्वयंसिद्ध के अनुसार, रेखा इस तल से संबंधित है।

चित्र 6.3 एक सीधी रेखा में एक समतल के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है और यह इस तल में स्थित एक सीधी रेखा के समानांतर होता है

विमान में मुख्य लाइनें

समतल से संबंधित सीधी रेखाओं के बीच, एक विशेष स्थान पर सीधी रेखाएँ होती हैं जो अंतरिक्ष में एक विशेष स्थान पर होती हैं:

1. क्षैतिज एच - किसी दिए गए विमान में स्थित सीधी रेखाएं और प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल के समानांतर (एच / / पी 1) (चित्र। 6.4)।

चित्र 6.4 क्षैतिज

2. ललाट f - समतल में स्थित सीधी रेखाएँ और अनुमानों के ललाट तल के समानांतर (f / / P2) (चित्र। 6.5)।

चित्र 6.5 ललाट

3. प्रोफाइल सीधी रेखाएं पी - सीधी रेखाएं जो किसी दिए गए विमान में हैं और प्रोजेक्शन के प्रोफाइल विमान के समानांतर हैं (पी / / पी 3) (चित्र। 6.6)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विमान के निशान को मुख्य लाइनों के लिए भी जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। क्षैतिज ट्रेस प्लेन का हॉरिजॉन्टल है, ललाट सामने है और प्रोफाइल प्लेन की प्रोफाइल लाइन है।

चित्र 6.6 सीधे प्रोफ़ाइल

4. सबसे बड़े ढलान की रेखा और उसके क्षैतिज प्रक्षेपण से एक रैखिक कोण j बनता है, जो इस तल द्वारा बनाए गए डायहेड्रल कोण और प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल को मापता है (चित्र 6.7)। जाहिर है, यदि किसी रेखा के समतल के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं, तो वह या तो समतल के समानांतर होती है या उसे काटती है।

चित्र 6.7 सबसे बड़े ढलान की रेखा

एक बिंदु और एक तल की पारस्परिक स्थिति

एक बिंदु और एक तल की पारस्परिक व्यवस्था के लिए दो विकल्प हैं: या तो बिंदु समतल का है, या यह नहीं है। यदि बिंदु विमान का है, तो अंतरिक्ष में बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाले तीन अनुमानों में से केवल एक को मनमाने ढंग से सेट किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण पर विचार करें (अंजीर। 6.8): दो समानांतर सीधी रेखाओं a(a//b) द्वारा दिए गए सामान्य स्थिति के एक विमान से संबंधित बिंदु A के प्रक्षेपण का निर्माण।

काम। दिया गया है: समतल T(a,b) और बिंदु A2 का प्रक्षेपण। प्रक्षेपण A1 का निर्माण करना आवश्यक है यदि यह ज्ञात है कि बिंदु A समतल c,a में स्थित है। बिंदु A2 के माध्यम से हम रेखा m2 का प्रक्षेपण खींचते हैं, जो बिंदुओं a2 और b2 के प्रक्षेपणों को बिंदु C2 और B2 पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु C1 और B1 के अनुमानों का निर्माण करने के बाद, जो m1 की स्थिति निर्धारित करते हैं, हम बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण पाते हैं।

चित्र 6.8। विमान से संबंधित बिंदु

अंतरिक्ष में दो विमान या तो परस्पर समानांतर हो सकते हैं, एक विशेष मामले में जो एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं, या प्रतिच्छेद करते हैं। परस्पर लंबवत तल समतलों को प्रतिच्छेद करने का एक विशेष मामला है।

1. समानांतर विमान। विमान समानांतर होते हैं यदि एक विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाएं क्रमशः दूसरे विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर होती हैं। इस परिभाषा को दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं ab (चित्र 7.1) द्वारा दिए गए समतल के समानांतर एक समतल खींचने के लिए, बिंदु B से होकर जाने वाले कार्य द्वारा अच्छी तरह से स्पष्ट किया गया है। काम। दिया गया है: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं ab और बिंदु B द्वारा दी गई सामान्य स्थिति में एक विमान। समतल ab के समानांतर बिंदु B से होकर एक विमान खींचना और इसे दो प्रतिच्छेदी रेखाओं c और d द्वारा परिभाषित करना आवश्यक है। परिभाषा के अनुसार, यदि एक तल की दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ क्रमशः दूसरे तल की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हों, तो ये तल एक दूसरे के समानांतर होते हैं। आरेख पर समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए, समानांतर प्रक्षेपण की संपत्ति का उपयोग करना आवश्यक है - समानांतर रेखाओं के अनुमान एक दूसरे के समानांतर होते हैं d||a,c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

चित्र 7.1। समानांतर विमान

2. इंटरसेक्टिंग प्लेन, एक विशेष केस - परस्पर लंबवत प्लेन। दो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा एक सीधी रेखा है, जिसके निर्माण के लिए यह दोनों विमानों के लिए सामान्य दो बिंदुओं, या एक बिंदु और विमानों के चौराहे की रेखा की दिशा निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है। दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के निर्माण पर विचार करें, जब उनमें से एक प्रक्षेपित हो रहा हो (चित्र 7.2)।

काम। दिया गया है: सामान्य स्थिति में एक विमान एक त्रिभुज एबीसी द्वारा दिया जाता है, और दूसरा विमान एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित टी है। विमानों के चौराहे की एक रेखा का निर्माण करना आवश्यक है। समस्या का समाधान इन तलों में उभयनिष्ठ दो बिंदु ज्ञात करना है जिससे होकर एक सीधी रेखा खींची जा सके। त्रिभुज ABC द्वारा परिभाषित समतल को सीधी रेखाओं (AB), (AC), (BC) के रूप में दर्शाया जा सकता है। समतल T - बिंदु D, रेखा (AC) -F के साथ रेखा (AB) का प्रतिच्छेदन बिंदु। खंड विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा को परिभाषित करता है। चूंकि T एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान है, प्रक्षेपण D1F1 विमान T1 के निशान के साथ मेल खाता है, इसलिए यह केवल P2 और P3 पर लापता अनुमानों का निर्माण करने के लिए रहता है।

चित्र 7.2. क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान के साथ एक सामान्य विमान का प्रतिच्छेदन

आइए सामान्य मामले पर चलते हैं। मान लीजिए अंतरिक्ष में दो सामान्य तल a(m,n) और b (ABC) दिए गए हैं (चित्र 7.3)।

चित्र 7.3। सामान्य स्थिति में विमानों का प्रतिच्छेदन

समतल a(m//n) और b(ABC) के प्रतिच्छेदन रेखा के निर्माण के क्रम पर विचार करें। पिछली समस्या के अनुरूप, इन विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा को खोजने के लिए, हम सहायक छेदक विमान g और d खींचते हैं। आइए हम विचाराधीन विमानों के साथ इन विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखाएं खोजें। समतल g समतल a को एक सीधी रेखा (12), और समतल b - को एक सीधी रेखा (34) के साथ प्रतिच्छेद करता है। बिंदु K - इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक साथ तीन समतलों a, b और g से संबंधित है, इस प्रकार यह एक बिंदु है जो समतल a और b के प्रतिच्छेदन की रेखा से संबंधित है। समतल d समतल a और b को क्रमशः रेखाओं (56) और (7C) के साथ प्रतिच्छेद करता है, उनका प्रतिच्छेदन बिंदु M एक साथ तीन समतल a, b, d में स्थित है और समतल a और b के प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा के अंतर्गत आता है। इस प्रकार, समतल a और b के प्रतिच्छेदन रेखा से संबंधित दो बिंदु पाए जाते हैं - एक सीधी रेखा (KM)।

विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के निर्माण में कुछ सरलीकरण प्राप्त किया जा सकता है यदि सहायक छेदक विमानों को सीधी रेखाओं के माध्यम से खींचा जाता है जो विमान को परिभाषित करते हैं।

परस्पर लंबवत विमान। स्टीरियोमेट्री से यह ज्ञात होता है कि दो विमान परस्पर लंबवत होते हैं यदि उनमें से एक दूसरे के लंबवत से होकर गुजरता है। बिंदु ए के माध्यम से, आप दिए गए विमान ए (एफ, एच) के लंबवत विमानों का एक सेट खींच सकते हैं। ये विमान अंतरिक्ष में विमानों का एक बंडल बनाते हैं, जिसकी धुरी बिंदु A से विमान a पर गिरा हुआ लंबवत है। बिंदु A से दो प्रतिच्छेदी रेखाओं hf द्वारा दिए गए समतल के लंबवत समतल को खींचने के लिए, बिंदु A से समतल hf के लंबवत सीधी रेखा n खींचना आवश्यक है (क्षैतिज प्रक्षेपण n क्षैतिज प्रक्षेपण के लंबवत है क्षैतिज एच, ललाट प्रक्षेपण n ललाट f के ललाट प्रक्षेपण के लंबवत है)। रेखा n से गुजरने वाला कोई भी तल समतल hf के लंबवत होगा, इसलिए, बिंदु A से होकर जाने वाले तल को सेट करने के लिए, हम एक मनमाना रेखा m खींचते हैं। दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं mn द्वारा दिया गया तल hf तल के लंबवत होगा (चित्र 7.4)।

चित्र 7.4. परस्पर लंबवत विमान

समतल-समानांतर संचलन विधि

समतल-समानांतर गति की विधि द्वारा प्रक्षेपित वस्तु और प्रक्षेपण विमानों की सापेक्ष स्थिति को बदलकर ज्यामितीय वस्तु की स्थिति को बदलकर किया जाता है ताकि उसके बिंदुओं का प्रक्षेपवक्र समानांतर विमानों में हो। गतिमान बिंदुओं के प्रक्षेप पथ के वाहक तल किसी भी प्रक्षेपण तल के समानांतर होते हैं (चित्र 8.1)। प्रक्षेपवक्र एक मनमाना रेखा है। प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष एक ज्यामितीय वस्तु के समानांतर हस्तांतरण के साथ, आकृति का प्रक्षेपण, हालांकि यह अपनी स्थिति बदलता है, अपनी मूल स्थिति में आकृति के प्रक्षेपण के अनुरूप रहता है।

चित्र 8.1 समतल-समानांतर गति की विधि द्वारा खंड के प्राकृतिक आकार का निर्धारण

समतल-समानांतर गति के गुण:

1. समतल P1 के समांतर तल में बिंदुओं की किसी भी गति के साथ, इसका ललाट प्रक्षेपण x अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के साथ चलता है।

2. P2 के समांतर तल में एक बिंदु की मनमानी गति के मामले में, इसका क्षैतिज प्रक्षेपण x अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के साथ चलता है।

प्रक्षेपण विमान के लंबवत अक्ष के चारों ओर घूमने की विधि

बिंदु गति प्रक्षेपवक्र के वाहक विमान प्रक्षेपण विमान के समानांतर हैं। प्रक्षेपवक्र - एक वृत्त का एक चाप, जिसका केंद्र अनुमानों के तल के लंबवत अक्ष पर स्थित होता है। सामान्य स्थिति AB (चित्र 8.2) में एक रेखा खंड के प्राकृतिक आकार को निर्धारित करने के लिए, हम रोटेशन की धुरी (i) क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के लंबवत और B1 से गुजरते हुए चुनते हैं। आइए खंड को घुमाएं ताकि यह ललाट प्रक्षेपण विमान के समानांतर हो जाए (खंड का क्षैतिज प्रक्षेपण x-अक्ष के समानांतर है)। इस स्थिति में, बिंदु A1 A "1 पर चला जाएगा, और बिंदु B अपनी स्थिति नहीं बदलेगा। बिंदु A" 2 की स्थिति बिंदु A की गति के प्रक्षेपवक्र के ललाट प्रक्षेपण के चौराहे पर है (एक सीधी रेखा समानांतर) एक्स अक्ष के लिए) और ए "1 से खींची गई संचार रेखा। परिणामी प्रक्षेपण बी 2 ए "2 खंड के वास्तविक आकार को ही निर्धारित करता है।

चित्र 8.2 प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर घूर्णन करके एक खंड के प्राकृतिक आकार का निर्धारण करना

प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर अक्ष के चारों ओर घूमने की विधि

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण को निर्धारित करने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें (चित्र 8.3)। प्रतिच्छेदी रेखाओं के दो अनुमानों पर विचार करें और जिसमें बिंदु K पर प्रतिच्छेद करें। इन रेखाओं के बीच के कोण के प्राकृतिक मूल्य को निर्धारित करने के लिए, ऑर्थोगोनल अनुमानों को बदलना आवश्यक है ताकि रेखाएं प्रक्षेपण विमान के समानांतर हो जाएं। आइए स्तर रेखा के चारों ओर घूमने की विधि का उपयोग करें - क्षैतिज। आइए ऑक्स अक्ष के समानांतर क्षैतिज h2 का एक मनमाना ललाट प्रक्षेपण बनाएं, जो बिंदुओं को 12 और 22 पर काटता है। अनुमानों 11 और 11 को परिभाषित करने के बाद, हम क्षैतिज h1 के क्षैतिज प्रक्षेपण का निर्माण करते हैं। क्षैतिज के चारों ओर घूर्णन के दौरान सभी बिंदुओं की गति का प्रक्षेपवक्र एक वृत्त है जिसे P1 तल पर क्षैतिज के क्षैतिज प्रक्षेपण के लंबवत सीधी रेखा के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है।

चित्र 8.3 प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण, क्षैतिज प्रक्षेपण तल के समानांतर एक अक्ष के चारों ओर घूमना

इस प्रकार, बिंदु K1 का प्रक्षेपवक्र सीधी रेखा K1O1 द्वारा निर्धारित किया जाता है, बिंदु O वृत्त का केंद्र है - बिंदु K के प्रक्षेपवक्र। इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम खंड KO का प्राकृतिक मान पाते हैं त्रिभुज विधि द्वारा। बिंदु K "1 बिंदु K से मेल खाता है, जब रेखाएँ a और b एक समतल में P1 के समानांतर होती हैं और क्षैतिज - रोटेशन की धुरी के माध्यम से खींची जाती हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, हम बिंदु K "1 और बिंदु 11 और 21 के माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचते हैं, जो अब P1 के समानांतर एक समतल में स्थित हैं, और इसलिए कोण phi, रेखाओं a और b के बीच के कोण का प्राकृतिक मान है।

प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि

प्रोजेक्शन प्लेन को बदलकर प्रोजेक्शन प्लेन और प्रोजेक्शन प्लेन की सापेक्ष स्थिति को बदलकर P1 और P2 प्लेन को नए P4 प्लेन (चित्र। 8.4) से बदल दिया जाता है। नए विमानों को पुराने के लंबवत चुना जाता है। कुछ प्रक्षेपण परिवर्तनों के लिए प्रक्षेपण विमानों के दोहरे प्रतिस्थापन की आवश्यकता होती है (चित्र 8.5)। प्रक्षेपण विमानों की एक प्रणाली से दूसरे में क्रमिक संक्रमण निम्नलिखित नियम का पालन करके किया जाना चाहिए: नए बिंदु प्रक्षेपण से नए अक्ष तक की दूरी प्रतिस्थापित बिंदु प्रक्षेपण से प्रतिस्थापित अक्ष तक की दूरी के बराबर होनी चाहिए।

कार्य 1: सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा के खंड AB का वास्तविक आकार निर्धारित करें (चित्र 8.4)। समानांतर प्रक्षेपण की संपत्ति से, यह ज्ञात है कि एक खंड को एक विमान पर पूर्ण आकार में प्रक्षेपित किया जाता है यदि वह इस विमान के समानांतर है। हम एक नया प्रक्षेपण विमान P4, खंड AB के समानांतर और समतल P1 के लंबवत चुनते हैं। एक नया विमान पेश करके, हम विमानों की प्रणाली P1P2 से सिस्टम P1P4 तक जाते हैं, और विमानों की नई प्रणाली में खंड A4B4 का प्रक्षेपण खंड AB का प्राकृतिक मूल्य होगा।

चित्र 8.4. प्रक्षेपण विमानों को बदलकर एक सीधी रेखा खंड के प्राकृतिक आकार का निर्धारण

कार्य 2: खंड AB (चित्र 8.5) द्वारा दी गई सामान्य स्थिति में बिंदु C से रेखा तक की दूरी निर्धारित करें।

चित्र 8.5. प्रक्षेपण विमानों को बदलकर एक सीधी रेखा खंड के प्राकृतिक आकार का निर्धारण

अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को उसके दो ओर्थोगोनल अनुमानों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, क्षैतिज और ललाट, ललाट और प्रोफ़ाइल। किसी भी दो ओर्थोगोनल अनुमानों का संयोजन आपको एक बिंदु के सभी निर्देशांक के मूल्य का पता लगाने, तीसरा प्रक्षेपण बनाने, उस अष्टक को निर्धारित करने की अनुमति देता है जिसमें यह स्थित है। आइए वर्णनात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम से कुछ विशिष्ट कार्यों पर विचार करें।

बिंदु A और B के दिए गए जटिल आरेखण के अनुसार, यह आवश्यक है:

आइए पहले बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात करें, जिसे A (x, y, z) के रूप में लिखा जा सकता है। बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण बिंदु A " है, जिसके निर्देशांक x, y हैं। बिंदु A से x, y अक्षों पर लंबवत् खीचें और क्रमशः A x, A y खोजें। बिंदु A के लिए x-निर्देशांक एक प्लस चिह्न के साथ खंड A x O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि A x धनात्मक x-अक्ष मानों के क्षेत्र में स्थित है। ड्राइंग के पैमाने को ध्यान में रखते हुए, हम x \u003d 10 पाते हैं। y निर्देशांक एक ऋण चिह्न के साथ खंड A y O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि t। A y नकारात्मक y- अक्ष मानों के क्षेत्र में स्थित है। . ड्राइंग के पैमाने को देखते हुए, y = -30। बिंदु A - बिंदु A"" के ललाट प्रक्षेपण में x और z निर्देशांक हैं। आइए A"" से z-अक्ष पर लम्बवत छोड़ें और A z खोजें। बिंदु A का z-निर्देशांक एक ऋण चिह्न के साथ खंड A z O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि A z z-अक्ष के ऋणात्मक मानों के क्षेत्र में स्थित है। ड्राइंग के पैमाने को देखते हुए, z = -10। इस प्रकार, बिंदु A के निर्देशांक (10, -30, -10) हैं।

बिंदु B के निर्देशांकों को B (x, y, z) के रूप में लिखा जा सकता है। बिंदु B - बिंदु B के क्षैतिज प्रक्षेपण पर विचार करें। "चूंकि यह x अक्ष पर स्थित है, तो B x \u003d B" और निर्देशांक B y \u003d 0. बिंदु B का भुज x खंड की लंबाई के बराबर है बी एक्स ओ प्लस चिह्न के साथ। ड्राइंग के पैमाने को ध्यान में रखते हुए, x = 30. बिंदु B - बिंदु B˝ के ललाट प्रक्षेपण में निर्देशांक x, z हैं। B"" से z-अक्ष पर एक लंब खींचिए, इस प्रकार B z ज्ञात कीजिए। बिंदु B का अनुप्रयुक्त z एक ऋण चिह्न के साथ खंड B z O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि B z z-अक्ष के ऋणात्मक मानों के क्षेत्र में स्थित है। ड्राइंग के पैमाने को ध्यान में रखते हुए, हम मान z = -20 निर्धारित करते हैं। तो बी निर्देशांक हैं (30, 0, -20)। सभी आवश्यक निर्माण नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

बिंदुओं के अनुमानों का निर्माण

P 3 तल में बिंदु A और B के निम्नलिखित निर्देशांक हैं: A""" (y, z); B""" (y, z)। इस स्थिति में, A"" और A""" z-अक्ष के समान लंब पर स्थित हैं, क्योंकि उनके पास एक उभयनिष्ठ z-निर्देशांक है। उसी तरह, B"" और B""" एक उभयनिष्ठ लंबवत पर स्थित हैं जेड-अक्ष के लिए। t. A का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ज्ञात करने के लिए, हम y-अक्ष के अनुदिश पहले पाए गए संगत निर्देशांक के मान को अलग रखते हैं। आकृति में, यह त्रिज्या A y O के एक वृत्त के चाप का उपयोग करके किया जाता है। उसके बाद, हम बिंदु A "" से z अक्ष पर बहाल किए गए लंबवत के साथ A y से चौराहे पर एक लंबवत खींचते हैं। इन दो लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु A""" की स्थिति निर्धारित करता है।

बिंदु B""" z-अक्ष पर स्थित है, क्योंकि इस बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है। इस समस्या में बिंदु B का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ज्ञात करने के लिए, केवल B"" से z पर लंबवत खींचना आवश्यक है। -अक्ष। z-अक्ष के साथ इस लंबवत का प्रतिच्छेदन बिंदु B """ है।

अंतरिक्ष में बिंदुओं की स्थिति का निर्धारण

प्रक्षेपण विमानों पी 1, पी 2 और पी 3, अष्टक के स्थान के साथ-साथ आरेखों में लेआउट के परिवर्तन के क्रम से बना एक स्थानिक लेआउट की कल्पना करते हुए, आप सीधे यह निर्धारित कर सकते हैं कि टी। ए ऑक्टेंट III में स्थित है, और टी। बी विमान पी 2 में स्थित है।

इस समस्या को हल करने का एक अन्य विकल्प अपवादों की विधि है। उदाहरण के लिए, बिंदु A के निर्देशांक (10, -30, -10) हैं। सकारात्मक एब्सिस्सा एक्स यह न्याय करना संभव बनाता है कि बिंदु पहले चार अष्टक में स्थित है। एक ऋणात्मक y-ऑर्डिनेट इंगित करता है कि बिंदु दूसरे या तीसरे अष्टक में है। अंत में, z का ऋणात्मक अनुप्रयोग इंगित करता है कि बिंदु A तीसरे अष्टक में है। दिए गए तर्क को निम्न तालिका द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है।

अष्टक	निर्देशांक संकेत
	एक्स	आप	जेड
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

बिंदु बी निर्देशांक (30, 0, -20)। चूँकि t. B की कोटि शून्य के बराबर है, यह बिंदु प्रक्षेपण तल П 2 में स्थित है। पॉज़िटिव एब्सिस्सा और पॉइंट बी के नेगेटिव एप्लीकेट से संकेत मिलता है कि यह तीसरे और चौथे अष्टक की सीमा पर स्थित है।

विमान पी 1, पी 2, पी 3 . की प्रणाली में बिंदुओं की एक दृश्य छवि का निर्माण

ललाट आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन का उपयोग करके, हमने तीसरे ऑक्टेंट का एक स्थानिक लेआउट बनाया। यह एक आयताकार त्रिभुज है, जिसके फलक P 1, P 2, P 3 तल हैं और कोण (-y0x) 45 है। इस प्रणाली में, x, y, z अक्षों के साथ खंडों को विरूपण के बिना पूर्ण आकार में प्लॉट किया जाएगा।

बिंदु A (10, -30, -10) की एक दृश्य छवि का निर्माण इसके क्षैतिज प्रक्षेपण A " से शुरू होगा। भुज और निर्देशांक के साथ संबंधित निर्देशांक को अलग करने के बाद, हम बिंदु A x और A y पाते हैं। A x और A y से क्रमशः x और y अक्षों पर पुनर्स्थापित लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु A की स्थिति निर्धारित करता है। A" को z अक्ष के समानांतर उसके ऋणात्मक मान खंड AA की ओर रखते हुए, जिसकी लंबाई 10 के बराबर है, हम बिंदु A की स्थिति पाते हैं।

बिंदु बी (30, 0, -20) की एक दृश्य छवि इसी तरह से बनाई गई है - पी 2 विमान में, संबंधित निर्देशांक x और z अक्षों के साथ प्लॉट किए जाने चाहिए। B x और B z से पुनर्निर्मित लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु B की स्थिति निर्धारित करेगा।