इस पाठ में, हम एक बहुपद के गुणनखंडन के पहले अध्ययन किए गए सभी तरीकों को याद करेंगे और उनके आवेदन के उदाहरणों पर विचार करेंगे, इसके अलावा, हम एक नई विधि - पूर्ण वर्ग विधि का अध्ययन करेंगे और सीखेंगे कि विभिन्न समस्याओं को हल करने में इसे कैसे लागू किया जाए।

विषय:फैक्टरिंग बहुपद

पाठ:बहुपदों का गुणनखंडन। पूर्ण वर्ग चयन विधि। विधियों का संयोजन

पहले अध्ययन किए गए बहुपद के गुणनखंडन की मुख्य विधियों को याद कीजिए:

कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने की विधि, जो बहुपद के सभी सदस्यों में मौजूद गुणनखंड है। एक उदाहरण पर विचार करें:

याद रखें कि एकपदी घातों और संख्याओं का गुणनफल होता है। हमारे उदाहरण में, दोनों सदस्यों में कुछ समान, समान तत्व हैं।

तो, आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

;

याद रखें कि रेंडर किए गए गुणक को ब्रैकेट से गुणा करके, आप रेंडरिंग की शुद्धता की जांच कर सकते हैं।

समूहन विधि। बहुपद में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, आपको इसके सदस्यों को समूहों में इस तरह विभाजित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक समूह में आप एक सामान्य कारक निकाल सकते हैं और इसे तोड़ने का प्रयास कर सकते हैं ताकि समूहों में कारकों को निकालने के बाद, एक सामान्य कारक दिखाई दे पूरी अभिव्यक्ति, और विस्तार जारी रखा जा सकता है। एक उदाहरण पर विचार करें:

पहले पद को चौथे के साथ, दूसरे को पांचवें के साथ, और तीसरे को क्रमशः छठे के साथ समूहित करें:

आइए समूहों में सामान्य कारकों को निकालें:

अभिव्यक्ति में एक सामान्य कारक है। आइए इसे बाहर निकालें:

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग। एक उदाहरण पर विचार करें:

;

आइए अभिव्यक्ति को विस्तार से लिखें:

जाहिर है, हमारे सामने अंतर के वर्ग का सूत्र है, क्योंकि दो भावों के वर्गों का योग होता है और उनके दोहरे गुणन को उसमें से घटा दिया जाता है। आइए सूत्र द्वारा रोल करें:

आज हम एक और तरीका सीखेंगे - पूर्ण वर्ग चयन विधि। यह योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्रों पर आधारित है। उन्हें याद करें:

योग के वर्ग के लिए सूत्र (अंतर);

इन सूत्रों की ख़ासियत यह है कि इनमें दो भावों के वर्ग और उनके दोहरे गुणनफल होते हैं। एक उदाहरण पर विचार करें:

आइए अभिव्यक्ति लिखें:

तो पहली अभिव्यक्ति है , और दूसरी ।

योग या अंतर के वर्ग का सूत्र बनाने के लिए, व्यंजकों का दोहरा गुणनफल पर्याप्त नहीं है। इसे जोड़ने और घटाने की जरूरत है:

आइए योग के पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करें:

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम वर्ग सूत्र के अंतर को लागू करते हैं, याद रखें कि दो भावों के वर्गों का अंतर उनके अंतर से गुणनफल और योग है:

तो, इस पद्धति में, सबसे पहले, इस तथ्य में शामिल है कि अभिव्यक्ति ए और बी की पहचान करना आवश्यक है जो कि चुकता है, अर्थात यह निर्धारित करने के लिए कि इस उदाहरण में कौन से भाव चुकता हैं। उसके बाद, आपको एक दोहरे उत्पाद की उपस्थिति की जांच करने की आवश्यकता है, और यदि यह नहीं है, तो इसे जोड़ें और घटाएं, इससे उदाहरण का अर्थ नहीं बदलेगा, लेकिन वर्ग के लिए सूत्रों का उपयोग करके बहुपद को फैक्टर किया जा सकता है योग या अंतर और वर्गों का अंतर, यदि संभव हो तो।

आइए उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें।

उदाहरण 1 - गुणनखंड करें:

ऐसे व्यंजक खोजें जो चुकता हों:

आइए नीचे लिखें कि उनका दोहरा उत्पाद क्या होना चाहिए:

आइए दोहरा उत्पाद जोड़ें और घटाएं:

आइए योग के पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करें और समान अंक दें:

हम वर्गों के अंतर के सूत्र के अनुसार लिखेंगे:

उदाहरण 2 - समीकरण को हल करें:

;

समीकरण के बाईं ओर एक त्रिपद है। आपको इसे कारक बनाने की जरूरत है। हम अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास पहली अभिव्यक्ति का वर्ग और दोहरा उत्पाद है, दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग गायब है, आइए इसे जोड़ें और घटाएं:

आइए हम पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करें और समान पद दें:

आइए वर्गों का अंतर सूत्र लागू करें:

तो हमारे पास समीकरण है

हम जानते हैं कि गुणनफल शून्य के बराबर होता है, यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो। इसके आधार पर, हम समीकरण लिखेंगे:

आइए पहले समीकरण को हल करें:

आइए दूसरा समीकरण हल करें:

उत्तर: या

;

हम पिछले उदाहरण के समान कार्य करते हैं - अंतर के वर्ग का चयन करें।

ऑनलाइन कैलकुलेटर।
द्विपद के वर्ग का चयन और वर्ग त्रिपद का गुणनखंड।

यह गणित कार्यक्रम द्विपद के वर्ग को वर्ग त्रिपद से निकालता है, अर्थात। रूप का परिवर्तन करता है:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) and वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करता है: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

वे। संख्याओं \(p, q \) और \(n, m \) को खोजने में समस्याएं कम हो जाती हैं

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को भी प्रदर्शित करता है।

गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए माता-पिता के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह कार्यक्रम उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप वर्ग त्रिपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनसे स्वयं को परिचित कर लें।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, भिन्नात्मक भाग को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा पूर्णांक से अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप इस तरह दशमलव दर्ज कर सकते हैं: 2.5x - 3.5x^2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

विस्तृत समाधान उदाहरण

द्विपद के वर्ग का चयन।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\बाएं(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ जवाब:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ गुणनखंडन।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\बाएं(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \बाएं(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \ दाएँ) = $$ $$ 2 \ बाएँ (x -1 \ दाएँ) \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) $$ जवाब:$$2x^2+2x-4 = 2 \ बाएँ (x -1 \ दाएँ) \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) $$

निर्णय करना

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं हुईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को कैसे सक्षम करें, इस पर निर्देश यहां दिए गए हैं।

क्योंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

एक वर्ग त्रिपद से एक वर्ग द्विपद का निष्कर्षण

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 + bx + c को a (x + p) 2 + q के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, तो वे कहते हैं कि वर्ग ट्रिनोमियल, द्विपद का वर्ग हाइलाइट किया गया है.

आइए त्रिपद 2x 2 +12x+14 से द्विपद का वर्ग निकालें।

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ऐसा करने के लिए, हम 2 * 3 * x के गुणनफल के रूप में 6x का प्रतिनिधित्व करते हैं, और फिर 3 2 जोड़ते और घटाते हैं। हम पाते हैं:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

उस। हम वर्ग त्रिपद से द्विपद का वर्ग चुना गया, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c को a(x+n)(x+m) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n और m वास्तविक संख्याएं हैं, तो संक्रिया को निष्पादित कहा जाता है एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड.

आइए एक उदाहरण का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि यह परिवर्तन कैसे किया जाता है।

आइए वर्ग त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करें।

आइए हम गुणांक को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं, अर्थात। 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

आइए व्यंजक को कोष्ठकों में रूपांतरित करें।
ऐसा करने के लिए, हम 2x को 3x-1x के अंतर के रूप में और -3 को -1*3 के रूप में दर्शाते हैं। हम पाते हैं:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

उस। हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करें, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ध्यान दें कि एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन तभी संभव है जब इस त्रिपद के संगत द्विघात समीकरण के मूल हों।
वे। हमारे मामले में, त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करना संभव है यदि द्विघात समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के मूल हैं। फैक्टरिंग की प्रक्रिया में, हमने पाया कि समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के दो मूल 1 और -3 हैं, क्योंकि इन मानों के साथ, समीकरण 2(x-1)(x+3)=0 एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

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जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, समाकलन में भिन्न को समाकलित करने का कोई सुविधाजनक सूत्र नहीं है। और इसलिए, एक दुखद प्रवृत्ति है: अंश जितना अधिक "फैंसी" होता है, उतना ही मुश्किल होता है कि इससे अभिन्न का पता लगाया जा सके। इस संबंध में, किसी को विभिन्न तरकीबों का सहारा लेना पड़ता है, जिसकी मैं अब चर्चा करूंगा। तैयार पाठक तुरंत उपयोग कर सकते हैं विषयसूची:

• साधारण भिन्नों के लिए अंतर के चिन्ह के नीचे समाहित करने की विधि

अंश कृत्रिम परिवर्तन विधि

उदाहरण 1

वैसे, माना गया अभिन्न भी परिवर्तनीय विधि के परिवर्तन से हल किया जा सकता है, जो दर्शाता है, लेकिन समाधान बहुत लंबा होगा।

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। एक चेक चलाएँ।

यह स्वयं का उदाहरण है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि अब काम नहीं करेगी।

ध्यान महत्वपूर्ण! उदाहरण संख्या 1, 2 विशिष्ट हैं और सामान्य हैं. विशेष रूप से, इस तरह के इंटीग्रल अक्सर अन्य इंटीग्रल को हल करने के दौरान उत्पन्न होते हैं, विशेष रूप से, जब अपरिमेय कार्यों (जड़ों) को एकीकृत करते हैं।

उपरोक्त विधि भी मामले में काम करती है यदि अंश की उच्चतम शक्ति हर की उच्चतम शक्ति से अधिक है.

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। एक चेक चलाएँ।

आइए अंश से शुरू करते हैं।

अंश चयन एल्गोरिथ्म कुछ इस तरह है:

1) अंश में मुझे व्यवस्थित करने की आवश्यकता है, लेकिन वहाँ। क्या करें? मैं कोष्ठक में संलग्न करता हूं और इससे गुणा करता हूं: ।

2) अब मैं इन कोष्ठकों को खोलने का प्रयास करता हूँ, क्या होता है? . हम्म ... पहले से ही बेहतर है, लेकिन शुरू में अंश के साथ कोई ड्यूस नहीं है। क्या करें? आपको इससे गुणा करना होगा:

3) कोष्ठकों को फिर से खोलना: . और यहाँ पहली सफलता है! जरूरत निकली! लेकिन समस्या यह है कि एक अतिरिक्त शब्द सामने आया है। क्या करें? अभिव्यक्ति में परिवर्तन न हो, इसके लिए मुझे इसे अपने निर्माण में जोड़ना होगा:
. जीवन आसान हो गया है। क्या अंश में फिर से व्यवस्थित करना संभव है?

4) आप कर सकते हैं। हम कोशिश करेंगे: . दूसरे पद के कोष्ठक का विस्तार करें:
. क्षमा करें, लेकिन मेरे पास वास्तव में पिछले चरण में था, न कि . क्या करें? हमें दूसरे पद को इससे गुणा करना होगा:

5) फिर से, सत्यापन के लिए, मैं दूसरे कार्यकाल में कोष्ठक खोलता हूं:
. अब यह सामान्य है: पैराग्राफ 3 के अंतिम निर्माण से प्राप्त! लेकिन फिर से एक छोटा "लेकिन" है, एक अतिरिक्त शब्द सामने आया है, जिसका अर्थ है कि मुझे अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ना होगा:

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो सभी कोष्ठक खोलते समय, हमें पूर्णांक का मूल अंश प्राप्त करना चाहिए। हम जाँच:
अच्छा।

इस प्रकार:

तैयार। पिछले टर्म में, मैंने फंक्शन को डिफरेंशियल के तहत लाने की विधि को लागू किया।

यदि हम उत्तर का अवकलज पाते हैं और व्यंजक को एक सार्व भाजक तक घटा देते हैं, तो हमें वास्तव में मूल समाकलन प्राप्त होता है। एक योग में विस्तार की मानी गई विधि व्यंजक को एक सामान्य हर में लाने के लिए विपरीत क्रिया से अधिक कुछ नहीं है।

ऐसे उदाहरणों में अंश चयन एल्गोरिथम एक मसौदे पर सबसे अच्छा प्रदर्शन किया जाता है। कुछ कौशल के साथ यह मानसिक रूप से भी काम करेगा। मुझे एक रिकॉर्ड समय याद है जब मैंने 11वीं शक्ति के लिए चयन किया था, और अंश के विस्तार ने वर्ड की लगभग दो पंक्तियाँ लीं।

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। एक चेक चलाएँ।

यह स्वयं का उदाहरण है।

साधारण भिन्नों के लिए अवकलन के चिह्न के नीचे समाविष्ट करने की विधि

आइए अगले प्रकार के भिन्नों पर चलते हैं।
, , , (गुणांक और शून्य के बराबर नहीं हैं)।

वास्तव में, आर्क्सिन और आर्कटेंजेंट वाले कुछ मामले पहले ही पाठ में फिसल चुके हैं अनिश्चित समाकल में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि. इस तरह के उदाहरणों को फ़ंक्शन को अंतर के संकेत के तहत लाकर और फिर तालिका का उपयोग करके एकीकृत करके हल किया जाता है। यहां लंबे और उच्च लघुगणक के साथ कुछ और विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 5

उदाहरण 6

यहाँ यह सलाह दी जाती है कि आप समाकलकों की एक तालिका चुनें और किन सूत्रों का पालन करें और जैसापरिवर्तन होता है। टिप्पणी, कैसे और क्योंइन उदाहरणों में वर्गों पर प्रकाश डाला गया है। विशेष रूप से, उदाहरण 6 में, हमें पहले हर को निरूपित करने की आवश्यकता है: , फिर अंतर के संकेत के तहत लाओ। और आपको मानक सारणीबद्ध सूत्र का उपयोग करने के लिए यह सब करने की आवश्यकता है .

लेकिन क्या देखना है, उदाहरण संख्या 7,8 को अपने दम पर हल करने का प्रयास करें, खासकर जब से वे काफी कम हैं:

उदाहरण 7

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यदि आप इन उदाहरणों की भी जाँच कर सकते हैं, तो आपके विभेदीकरण कौशल का सबसे अच्छा सम्मान है।

पूर्ण वर्ग चयन विधि

फॉर्म के इंटीग्रल, (गुणांक और शून्य के बराबर नहीं हैं) हल हो जाते हैं पूर्ण वर्ग चयन विधि, जो पहले ही पाठ में दिखाई दे चुका है ज्यामितीय प्लॉट परिवर्तन.

वास्तव में, ऐसे समाकलन उन चार तालिका समाकलनों में से एक बन जाते हैं जिन पर हमने अभी विचार किया है। और यह परिचित संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

सूत्रों को इस दिशा में लागू किया जाता है, अर्थात, विधि का विचार हर या में भावों को कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करना है, और फिर उन्हें क्रमशः, या में परिवर्तित करना है।

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह सबसे सरल उदाहरण है जहाँ पद के साथ - इकाई गुणांक(और कुछ संख्या या ऋण नहीं)।

हम हर को देखते हैं, यहाँ पूरी बात स्पष्ट रूप से मामले में सिमट गई है। आइए हर को परिवर्तित करना शुरू करें:

जाहिर है, आपको 4 जोड़ने की जरूरत है। और ताकि अभिव्यक्ति न बदले - वही चार और घटाएं:

अब आप सूत्र लागू कर सकते हैं:

रूपांतरण समाप्त होने के बाद हमेशारिवर्स मूव करना वांछनीय है: सब कुछ ठीक है, कोई त्रुटि नहीं है।

प्रश्न में उदाहरण का साफ डिजाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

तैयार। अंतर चिह्न के तहत एक "मुक्त" जटिल कार्य लाना: सिद्धांत रूप में, उपेक्षित किया जा सकता है

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है, इसका उत्तर पाठ के अंत में है।

उदाहरण 11

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

सामने माइनस हो तो क्या करें? इस मामले में, आपको माइनस को कोष्ठक से बाहर निकालने और शर्तों को उस क्रम में व्यवस्थित करने की आवश्यकता है जिसकी हमें आवश्यकता है:। नियत(इस मामले में "डबल") छुओ मत!

अब हम कोष्ठक में एक जोड़ते हैं। व्यंजक का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि हमें कोष्ठक के पीछे एक की आवश्यकता है - जोड़ें:

यहाँ सूत्र है, लागू करें:

हमेशाहम मसौदे पर एक जाँच करते हैं:
जिसका सत्यापन किया जाना था।

उदाहरण का साफ डिजाइन कुछ इस तरह दिखता है:

हम कार्य को जटिल करते हैं

उदाहरण 12

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यहां, शब्द के साथ, यह अब एक गुणांक नहीं है, बल्कि "पांच" है।

(1) यदि एक स्थिरांक पर पाया जाता है, तो हम तुरंत उसे कोष्ठक से निकाल देते हैं।

(2) सामान्य तौर पर, इस स्थिरांक को अभिन्न से बाहर निकालना हमेशा बेहतर होता है, ताकि यह रास्ते में न आए।

(3) यह स्पष्ट है कि सब कुछ सूत्र में सिमट जाएगा। शब्द को समझना आवश्यक है, अर्थात्, "दो" प्राप्त करने के लिए

(4) हाँ, . इसलिए, हम व्यंजक में जोड़ते हैं, और उसी भिन्न को घटाते हैं।

(5) अब एक पूर्ण वर्ग चुनें। सामान्य स्थिति में, गणना करना भी आवश्यक है, लेकिन यहाँ हमारे पास एक लंबा लघुगणक सूत्र है , और कार्रवाई करने का कोई मतलब नहीं है, क्यों - यह थोड़ा कम स्पष्ट हो जाएगा।

(6) वास्तव में, हम सूत्र लागू कर सकते हैं , केवल "x" के बजाय हमारे पास है, जो सारणीबद्ध अभिन्न की वैधता को नकारता नहीं है। कड़ाई से बोलते हुए, एक कदम गायब है - एकीकरण से पहले, फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के तहत लाया जाना चाहिए था: , लेकिन, जैसा कि मैंने बार-बार नोट किया है, इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है।

(7) मूल के नीचे के उत्तर में, सभी कोष्ठकों को वापस खोलना वांछनीय है:

जटिल? यह अभिन्न कलन में सबसे कठिन नहीं है। हालांकि, विचाराधीन उदाहरण इतने जटिल नहीं हैं क्योंकि उन्हें अच्छी गणना तकनीक की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 13

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में उत्तर दें।

हर में जड़ों के साथ इंटीग्रल होते हैं, जो एक प्रतिस्थापन की मदद से विचारित प्रकार के इंटीग्रल में कम हो जाते हैं, आप उनके बारे में लेख में पढ़ सकते हैं। जटिल समाकलन, लेकिन यह अत्यधिक तैयार छात्रों के लिए बनाया गया है।

अंश को डिफरेंशियल के चिन्ह के नीचे लाना

यह पाठ का अंतिम भाग है, हालाँकि, इस प्रकार के समाकलन काफी सामान्य हैं! अगर थकान जमा हो गई है, तो शायद कल पढ़ना बेहतर होगा? ;)

हम जिन समाकलनों पर विचार करेंगे, वे पिछले अनुच्छेद के समाकलों के समान हैं, उनका रूप है: या (गुणांक , और शून्य के बराबर नहीं हैं)।

यही है, हमारे पास अंश में एक रैखिक कार्य है। ऐसे इंटीग्रल को कैसे हल करें?

एक्स नाम-

1.2.3. संक्षिप्त गुणन पहचान का उपयोग करना

उदाहरण। कारक x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4।

1.2.4. इसकी जड़ों का उपयोग करके बहुपद का गुणनखंडन करना

प्रमेय। माना बहुपद P x का एक मूल x 1 है। तब इस बहुपद का गुणनखंड निम्न प्रकार से किया जा सकता है: P x x x 1 S x, जहाँ S x कुछ बहुपद है जिसकी घात एक से कम है

मान वैकल्पिक रूप से P x के व्यंजक में। हम पाते हैं कि x 2 के लिए आप-

व्यंजक 0 में बदल जाएगा, अर्थात P 2 0, जिसका अर्थ है कि x 2 बहु का मूल है-

सदस्य। बहुपद P x को x 2 से भाग दें।

एक्स 3 3x 2 10x 24
एक्स 32 एक्स 2	24 10 x	x2 x12

12x2412x24

पी x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

एक्स 2 एक्स3 एक्स4

1.3. पूर्ण वर्ग चयन

पूर्ण वर्ग चयन विधि सूत्रों पर आधारित है: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2।

पूर्ण वर्ग का चयन एक ऐसा समान परिवर्तन है जिसमें दिए गए ट्रिनोमियल को द्विपद के वर्ग के योग या अंतर और कुछ संख्यात्मक या शाब्दिक अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जाता है।

एक चर के संबंध में एक वर्ग ट्रिनोमियल फॉर्म की अभिव्यक्ति है

ax 2 bx c , जहाँ a , b और c को संख्याएँ दी गई हैं, और a 0 ।

हम वर्ग त्रिपदीय कुल्हाड़ी 2 bx c को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं।

x2 :

गुणक

तब हम व्यंजक b x को 2b x के रूप में निरूपित करते हैं (दोहरा गुणनफल

एक्स):एक एक्स

कोष्ठक में दिए गए व्यंजक में संख्या जोड़ें और घटाएं

जो एक संख्या का वर्ग है

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

अब ध्यान दें कि

पाना

4ए 2

उदाहरण। एक पूर्ण वर्ग चुनें।

2 एक्स 12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

2 एक्स 12 7.

4 ए 2,

1.4. कई चरों में बहुपद

कई चरों में बहुपद, जैसे एक चर में बहुपद, को जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है और एक प्राकृतिक शक्ति में बढ़ाया जा सकता है।

कई चरों में एक बहुपद का एक महत्वपूर्ण पहचान परिवर्तन गुणनखंड है। यहाँ, ऐसी गुणनखंडन तकनीकों का उपयोग कोष्ठकों से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालने, समूहीकरण, संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाओं का उपयोग करने, पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करने, सहायक चरों को प्रस्तुत करने के रूप में किया जाता है।

1. बहुपद P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 का गुणनखंड कीजिए।

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. पी एक्स, वाई, जेड 20x 2 3yz 15xy 4xz का गुणनखंड करें। समूहीकरण विधि लागू करें

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4x3 y5xz।

3. P x ,y x 4 4y 4 का गुणनखंड कीजिए। आइए एक पूर्ण वर्ग चुनें:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. किसी भी तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री गुण

किसी भी परिमेय घातांक वाली डिग्री में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. ए आर 1ए आर 2ए आर 1आर 2,

	एक आर 1ए आर 2ए आर 1आर 2,
3. ए आर 1आर 2 ए आर 1आर 2,
4. एब्र 1 एआर 1 बीआर 1,
	एक आर 1				एआर 1
					बीआर 1

जहाँ a 0;b 0;r 1 ;r 2 मनमानी परिमेय संख्याएँ हैं।

1. गुणा 8

x3 12x7.

24x23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. गुणनखंड

a2x3

1.6. आत्म-पूर्ति के लिए व्यायाम

1. संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग करके क्रियाएँ करें। एक)एक 52;

2) 3 ए 72;

3) एक नायब n2।

4) 1 एक्स 3;

	3 वाई 3 ;

7) 8ए 2 8ए 2;

8) एक नायब का केबी ना नायब का केबी एन।

9) ए 2 बी ए 2 2 एबी 4 बी 2;

10) ए 3ए 2 3ए 9;

11) ए 2बी 2ए 4ए 2बी 2बी 4। 3

2. संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गणना करें:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. सर्वसमिका सिद्ध करें:

एक)। x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) ए 2बी 2 2 2 एबी 2 ए 2बी 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 ।

4. निम्नलिखित बहुपदों का गुणनखंड कीजिए:

1) 3 x a2 a2;

2) एसी 7 बीसी3 ए21 बी;

3) 63 मीटर 4एन 327 मीटर 3एन 445 मीटर 5एन 7;

4) 5 बी 2 सी 3 2 बीसी 2 के 2 के 2;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24ax38bx12a19b;

7) 25 ए ​​21 बी 2क्यू 2;

8) 9 5 ए 4बी 2 64ए 2;

9) 121 एन 2 3एन 2टी 2;

10) 4 टी 2 20 टन 25एन 2 36;

11) पी 4 6 पी2 के9 के2;

12) 16 पी 3 क्यू 8 72पी 4 क्यू 7 81पी 5 क्यू 6;

13) 6x3 36x 2 72x 48;

14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;

15) 9 ए 3 एन 1 4.5ए 2 एन 1;

16) 5 पी 2 एन क्यू एन 15पी 5 एन क्यू 2 एन;

17) 4 ए 7बी 232 ए 4बी 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 टी 3 27टी 6।

5. सबसे सरल तरीके से गणना करें:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. एक बहुपद को विभाजित करने का भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिएबहुपद Q x द्वारा P x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x;

2) पी एक्स 2 एक्स 2; क्यू एक्स एक्स 3 2 एक्स 2 एक्स; 3) पी एक्स x6 1; Qxx4 4x2।

7. सिद्ध कीजिए कि बहुपद x 2 2x 2 का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

8. एक बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए:

1) एक्स 3 4 एक्स;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. गुणनखंडन करें:

1) 6 ए 2 ए 5 5 ए 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. पूर्ण वर्ग चुनकर समीकरणों को हल करें:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0।

11. व्यंजक मान ज्ञात कीजिए:

		4 3 85
		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. गणना करें:

16 0,25

16 0,25

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