दुर्भाग्य से, आधुनिक शैक्षिक कार्यक्रम में हमेशा छात्रों को प्रत्येक विषय की व्याख्या करना शामिल नहीं होता है, विशेष रूप से इस तरह के एक जटिल एक कॉलम द्वारा विभाजन के रूप में। ऐसे में अभिभावकों को खुद घर पर ही छात्रों से निपटना पड़ता है।

कॉलम से विभाजित करना सीखने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश

सबसे पहले आपको बच्चे का आधार निर्धारित करने की आवश्यकता है: उसके साथ विभाजन तत्वों (विभाज्य, भाजक, भागफल, शेष), संख्या के अंक और गुणन तालिका के नाम दोहराएं। इस ज्ञान के बिना, बच्चा विभाजन में महारत हासिल नहीं कर पाएगा। सबसे पहले आपको गुणन तालिका से सरल उदाहरणों पर ऑपरेशन दिखाने की जरूरत है, यानी 56: 7 = 8। इसके बाद, तीन अंकों की संख्या को बिना शेष के विभाजित करने का एक उदाहरण दिखाएं, जब लाभांश का पहला अंक इससे बड़ा हो भाजक, उदाहरण के लिए, 422: 2. भाजक द्वारा प्रत्येक अंक को इस प्रकार विभाजित करना आवश्यक है: 4 को 2 से विभाजित करने पर 2 होगा, हम लिखते हैं, 2 बटा 2 है 1, हम लिखते हैं, 2 बटा 2 है फिर से एक, हम इसे लिखते हैं। परिणाम 211 है। परिणाम को व्युत्क्रम गुणा द्वारा फिर से जांचना चाहिए।

एक कॉलम से विभाजित करना सीखने के व्यवसाय में, प्रत्येक चरण का अभ्यास और पुनरावृत्ति आवश्यक है। समान सरल संक्रियाओं में से कुछ और चुनें, उदाहरण के लिए, 936 को 3 से भाग देना, 488 को 4 से भाग देना, आदि। अपने कार्यों पर हर बार उसी तरह टिप्पणी करें, ताकि वे बच्चे के सिर में अंकित हो जाएं, और वह उन्हें विभाजित करते समय खुद को दोहराता है:

• हम संख्या का पहला अंक लेते हैं, इसे भाजक से विभाजित करते हैं। भाजक कितनी बार लाभांश में हो सकता है?
• यदि पहला अंक भाजक से छोटा है, तो हम पहले दो अंकों से संख्या लेते हैं, विभाजित करते हैं, परिणाम लिखते हैं।
• हम भाजक को भागफल से गुणा करते हैं और लाभांश से घटाते हैं, घटाव के परिणाम पर हस्ताक्षर करते हैं।
• हम लाभांश के अगले अंक को ध्वस्त कर देते हैं: क्या इसे भाजक द्वारा विभाजित किया जा सकता है? यदि नहीं, तो हम एक और अंक को तोड़ते हैं और विभाजित करते हैं, परिणाम लिखते हैं।
• हम भागफल के अंतिम अंक को भाजक से गुणा करते हैं और शेष लाभांश से घटाते हैं। हमें बाकी मिलता है।

एक उदाहरण पर, यह इस तरह दिखता है: हम 563 को 11 से विभाजित करते हैं। 5 को 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है, हम 56 लेते हैं। 11 56 में 5 बार फिट हो सकता है, हम इसे भागफल में लिखते हैं। 5 को 11 से गुणा करने पर 55 होता है। 56 घटा 55 होगा 1. 1 को 11 से विभाजित नहीं किया जा सकता है, हम ध्वस्त करते हैं 3. 13 में 11 केवल 1 बार फिट होगा, हम इसे लिखते हैं। 1 को 11 से गुणा करने पर 11 होगा, 13 में से घटाया जाएगा, 2 प्राप्त होगा। उत्तर: भागफल 51, शेष 2।

यह बहुत महत्वपूर्ण है कि बच्चा घटाव के परिणाम पर सही हस्ताक्षर करता है और संख्याओं को नीचे ले जाता है, और भागफल का प्रत्येक अंक हमेशा संख्याओं के चयन से ही निर्धारित होता है। अपने बच्चे के साथ नियमित रूप से काम करें, लेकिन बहुत लंबे समय तक नहीं: धीरे-धीरे वह अपना हाथ भरेगा और नट्स जैसे कार्यों पर क्लिक करेगा।

आपको चाहिये होगा:

गणित की मूल बातें

सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि आपके बच्चे ने सरल कार्यों में महारत हासिल कर ली है: जोड़, घटाव, गुणा। इन बुनियादी बातों के बिना, उसके लिए विभाजन को समझना मुश्किल होगा।

यदि आप ज्ञान में कोई अंतराल देखते हैं, तो पिछली सामग्री को दोहराएं।

विभाजन सिद्धांत

विभाजन एल्गोरिथम की व्याख्या के साथ आगे बढ़ने से पहले, बच्चे को प्रक्रिया की समझ स्वयं बनानी चाहिए।

छोटे छात्र को समझाएं कि "विभाजन" एक पूरे का समान भागों में विभाजन है।

पेंसिल का एक बॉक्स लें जो एक पूरे के रूप में कार्य करेगा (आप कोई भी आइटम ले सकते हैं - क्यूब्स, माचिस, सेब, आदि), और बच्चे को उन्हें अपने और अपने बीच समान रूप से विभाजित करने के लिए आमंत्रित करें। फिर, उसे गिनने के लिए कहें कि मूल रूप से बॉक्स में कितनी पेंसिलें थीं और उसने प्रत्येक को कितनी पेंसिलें वितरित कीं।

जैसा कि बच्चा समझता है, वस्तुओं की संख्या और प्रतिभागियों की संख्या में वृद्धि करें। इसके अलावा, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समान रूप से विभाजित करना हमेशा संभव नहीं होता है और कुछ आइटम "नो मैन्स" रहते हैं। उदाहरण के लिए, दादी, दादा, पिताजी और माँ के बीच 9 नाशपाती बांटने की पेशकश करें। बच्चे को सीखना चाहिए कि सभी को 2 नाशपाती मिलेगी, और एक शेष राशि में होगा।

गुणन तालिका के साथ संबंध

अपने बच्चे को दिखाएं कि "विभाजन" "गुणा" के विपरीत है।

• गुणन तालिका लें और छात्र को दो संक्रियाओं के बीच संबंध दिखाएं।
• उदाहरण के लिए, 4x5=20। अपने बच्चे को याद दिलाएं कि संख्या 20 दो संख्याओं 4 और 5 का गुणनफल है।
• फिर, दिखाएँ कि विभाजन विपरीत प्रक्रिया है: 20/5=4, 20/4=5।

बच्चे पर ध्यान दें कि सही उत्तर हमेशा एक ऐसा कारक होगा जो विभाजन में शामिल नहीं है।

• अन्य उदाहरणों का अन्वेषण करें।

यदि आपका बच्चा गुणन तालिका को पूरी तरह से जानता है, और दो गणितीय संक्रियाओं के बीच संबंध को समझता है, तो वह आसानी से विभाजन में महारत हासिल कर लेगा। इसे उल्टे क्रम में याद रखना है या नहीं, यह आपकी पसंद है।

अवधारणाओं की परिभाषा

कक्षाएं शुरू करने से पहले, विभाजन प्रक्रिया में शामिल तत्वों के नाम पहचानें और सीखें।

"लाभांश"विभाजित होने वाली संख्या है।

"विभक्त" -यह वह संख्या है जिससे "लाभांश" विभाजित होता है।

"निजी"वह परिणाम है जो हमें गणना की प्रक्रिया में मिलता है।

स्पष्टता के लिए, आप एक उदाहरण दे सकते हैं:

अपने बेटे/बेटी के जन्मदिन के लिए, आपने बच्चे के दोस्तों के इलाज के लिए 96 कैंडी खरीदीं। कुल आमंत्रित - 8.

बता दें कि 96 कैंडीज का बैग "विभाजित" होता है। आठ बच्चे - "विभक्त"। और प्रत्येक बच्चे को मिलने वाली मिठाइयों की संख्या "निजी" होगी।

शेषफल के बिना कॉलम में विभाजन के लिए एल्गोरिदम

अब मिठाई के बारे में एक उदाहरण का उपयोग करके बच्चे को गणना एल्गोरिथ्म दिखाएं।

• कागज/नोटबुक की एक खाली शीट लें और संख्या 96 और 8 लिखें।
• उन्हें लंबवत रेखाओं से अलग करें।

• तत्वों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
• इंगित करें कि गणना का परिणाम "भाजक" के तहत लिखा गया है, और गणना - "लाभांश" के तहत।
• एक युवा छात्र को संख्या 96 देखने और 8 से बड़ी संख्या निर्धारित करने के लिए आमंत्रित करें।
• दो संख्याओं 9 और 6 में से यह संख्या 9 होगी।
• बच्चे से पूछें कि 9 में 8 अंक कितने "फिट" हो सकते हैं। बच्चा, गुणन तालिका को याद करते हुए, आसानी से केवल एक बार निर्धारित करेगा। इसलिए अंक 1 को अंडरस्कोर के नीचे लिखें।
• इसके बाद, भाजक 8 को परिणाम 1 से गुणा करें। परिणामी आकृति 8 को विभाज्य संख्या के पहले अंक के नीचे लिखें।
• उनके बीच, "घटाव" चिह्न लगाएं, और योग करें। यानी अगर आप 9 में से 8 घटाते हैं, तो आपको 1 मिलता है। परिणाम लिखिए।

इस बिंदु पर, अपने बच्चे को समझाएं कि घटाव का परिणाम हमेशा भाजक से कम होना चाहिए। यदि यह दूसरी तरफ निकला, तो बच्चे ने गलत तरीके से निर्धारित किया कि 9 में कितने 8 निहित हैं।

• बच्चे को फिर से भाजक 8 से बड़ी संख्या निर्धारित करने के लिए कहें। जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 1 8 से कम है। इसलिए, हमें इसे विभाज्य संख्या - 6 के अगले अंक के साथ जोड़ना चाहिए।
• एक में 6 जोड़ें और 16 प्राप्त करें।
• इसके बाद, बच्चे से पूछें कि 16 में कितने 8 हैं। पहले में सही उत्तर 2 जोड़ें।

• 8 को फिर से 2 से गुणा करें। 16 नंबर के नीचे परिणाम लिखें।
• "घटाना" (16-16) से हमें 0 मिलता है, जिसका अर्थ है कि हमारा गणना परिणाम 12 है।

आइए पहले विभाजन के सरल मामलों पर विचार करें, जब भागफल एक अंक की संख्या है।

आइए निजी संख्याओं 265 और 53 का मान ज्ञात करें।

प्राइवेट नंबर चुनना आसान बनाने के लिए, हम 265 को 53 से नहीं, बल्कि 50 से भाग देते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 265 को 10 से विभाजित करते हैं, यह 26 (शेष 5) होगा। और हम 26 को 5 से विभाजित करते हैं, यह 5 होगा। संख्या 5 को तुरंत निजी तौर पर नहीं लिखा जा सकता है, क्योंकि यह एक परीक्षण संख्या है। पहले आपको यह जांचना होगा कि क्या यह फिट बैठता है। चलो गुणा करें। हम देखते हैं कि संख्या 5 ऊपर आई। और अब हम इसे निजी तौर पर रिकॉर्ड कर सकते हैं।

निजी संख्या 265 और 53 का मान 5 है। कभी-कभी, विभाजित करते समय, निजी का परीक्षण अंक फिट नहीं होता है, और फिर इसे बदलने की आवश्यकता होती है।

आइए निजी संख्याओं 184 और 23 का मान ज्ञात करें।

भागफल एक अंक होगा।

निजी नंबर को चुनना आसान बनाने के लिए, हम 184 को 23 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 184 को 10 से विभाजित करते हैं, यह 18 (शेष 4) होगा। और हम 18 को 2 से विभाजित करते हैं, यह 9 होगा। 9 एक परीक्षण संख्या है, हम इसे तुरंत निजी तौर पर नहीं लिखेंगे, लेकिन हम जांच करेंगे कि यह फिट बैठता है या नहीं। चलो गुणा करें। और 207 184 से बड़ा है। हम देखते हैं कि संख्या 9 फिट नहीं बैठती है। भागफल 9 से कम होगा। देखते हैं कि संख्या 8 उपयुक्त है या नहीं। गुणा करें। हम देखते हैं कि संख्या 8 उपयुक्त है। हम इसे निजी तौर पर रिकॉर्ड कर सकते हैं।

निजी संख्याओं 184 और 23 का मान 8 है।

आइए विभाजन के अधिक कठिन मामलों पर विचार करें। निजी संख्याओं 768 और 24 का मान ज्ञात कीजिए।

पहला अधूरा लाभांश 76 दहाई है। अतः भागफल में 2 अंक होंगे।

आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। आइए 76 को 24 से भाग दें। निजी संख्या को खोजना आसान बनाने के लिए, हम 76 को 24 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करते हैं। यानी, हमें 76 को 10 से विभाजित करने की आवश्यकता है, 7 (शेष 6) होगा। 7 को 2 से भाग देकर 3 प्राप्त करें (शेष 1)। 3 भागफल का परीक्षण अंक है। आइए देखें कि क्या यह पहले फिट बैठता है। चलो गुणा करें। . शेष भाजक से कम है। इसका मतलब है कि संख्या 3 आ गई है और अब हम इसे दसियों भागफलों के स्थान पर लिख सकते हैं।

चलो विभाजन जारी रखें। अगला अधूरा लाभांश 48 इकाई है। आइए 48 को 24 से भाग दें। प्राइवेट नंबर को चुनना आसान बनाने के लिए, हम 48 को 24 से नहीं, बल्कि 20 से भाग देते हैं। यानी हम 48 को 10 से भाग देते हैं, 4 (शेष 8) होगा। और 4 को 2 से भाग देने पर 2 होगा। यह प्राइवेट का ट्रायल डिजिट है। हमें पहले जांचना होगा कि यह फिट होगा या नहीं। चलो गुणा करें। हम देखते हैं कि संख्या 2 आ गई है और इसलिए, हम इसे भागफल की इकाइयों के स्थान पर लिख सकते हैं।

निजी संख्या 768 और 24 का मान 32 है।

आइए निजी संख्याओं 15 344 और 56 का मान ज्ञात करें।

पहला अधूरा लाभांश 153 सौ है, जिसका अर्थ है कि निजी में तीन अंक होंगे।

आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। आइए 153 को 56 से विभाजित करें। निजी संख्या को खोजना आसान बनाने के लिए, हम 153 को 56 से नहीं, बल्कि 50 से विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 153 को 10 से विभाजित करते हैं, 15 (शेष 3) होगा। और 15 को 5 से भाग देने पर 3 होगा। 3 भागफल का परीक्षण अंक है। याद रखें: आप इसे तुरंत निजी तौर पर नहीं लिख सकते हैं, लेकिन आपको पहले यह जांचना होगा कि यह फिट बैठता है या नहीं। चलो गुणा करें। और 168, 153 से बड़ा है। तो, भागफल में यह 3 से कम होगा। आइए देखें कि संख्या 2 उपयुक्त है या नहीं। गुणा करें। लेकिन . शेष भाजक से कम है, जिसका अर्थ है कि संख्या 2 उपयुक्त है, इसे भागफल में सैकड़ों के स्थान पर लिखा जा सकता है।

हम निम्नलिखित अपूर्ण लाभांश बनाते हैं। वह 414 दहाई है। आइए 414 को 56 से विभाजित करें। भागफल आकृति को चुनना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, हम 414 को 56 से नहीं, बल्कि 50 से विभाजित करेंगे। . याद रखें: 8 एक परीक्षण संख्या है। चलो पता करते हैं। . और 448 414 से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि भागफल में यह 8 से कम होगा। आइए देखें कि क्या संख्या 7 उपयुक्त है। 56 को 7 से गुणा करें, हमें 392 मिलता है। . शेष भाजक से कम है। तो, संख्या आ गई और भागफल में दहाई के स्थान पर हम 7 लिख सकते हैं।

चलो विभाजन जारी रखें। अगला अधूरा लाभांश 224 यूनिट है। 224 को 56 से भाग दें। भागफल को आसान बनाने के लिए, 224 को 50 से भाग दें। यानी पहले 10 से, यह 22 (शेष 4) होगा। और 22 को 5 से भाग देने पर 4 होगा (शेष 2)। 4 एक परीक्षण संख्या है, देखते हैं कि यह काम करता है या नहीं। . और हम देखते हैं कि आंकड़ा ऊपर आ गया है। हम भागफल में इकाई के स्थान पर 4 लिखते हैं।

निजी संख्याओं का मान 15 344 और 56 - 274।

आज हमने लिखित रूप में दो अंकों की संख्या से भाग करना सीखा।

ग्रन्थसूची

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गृहकार्य

प्रदर्शन विभाजन

एक कॉलम में विभाजन एक युवा छात्र की शैक्षिक सामग्री का एक अभिन्न अंग है। गणित में आगे की प्रगति इस बात पर निर्भर करेगी कि वह इस क्रिया को कितनी सही ढंग से करना सीखता है।

नई सामग्री की धारणा के लिए बच्चे को ठीक से कैसे तैयार करें?

कॉलम विभाजन एक जटिल प्रक्रिया है जिसके लिए बच्चे से कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है। भाग करने के लिए, आपको पता होना चाहिए और जल्दी से घटाना, जोड़ना, गुणा करने में सक्षम होना चाहिए। अंकों के अंकों का ज्ञान भी जरूरी है।

इनमें से प्रत्येक क्रिया को स्वचालितता में लाया जाना चाहिए। बच्चे को लंबे समय तक नहीं सोचना चाहिए, और घटाना भी सक्षम होना चाहिए, न केवल पहले दस की संख्याएं, बल्कि कुछ सेकंड में सौ के भीतर जोड़ें।

गणितीय संक्रिया के रूप में विभाजन की सही अवधारणा बनाना महत्वपूर्ण है। गुणा और भाग सारणी का अध्ययन करते समय भी, बच्चे को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि लाभांश वह संख्या है जिसे समान भागों में विभाजित किया जाएगा, भाजक इंगित करता है कि संख्या को कितने भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है, भागफल ही उत्तर है।

गणितीय क्रिया के एल्गोरिथम को चरण दर चरण कैसे समझाएं?

प्रत्येक गणितीय क्रिया का तात्पर्य एक निश्चित एल्गोरिथम के सख्त पालन से है। इस क्रम में लंबे विभाजन के उदाहरण किए जाने चाहिए:

1. एक कोने में एक उदाहरण लिखना, जबकि लाभांश और भाजक के स्थानों का कड़ाई से पालन किया जाना चाहिए। पहले चरण में बच्चे को भ्रमित न होने में मदद करने के लिए, हम कह सकते हैं कि हम बाईं ओर एक बड़ी संख्या और दाईं ओर एक छोटी संख्या लिखते हैं।
2. प्रथम श्रेणी के लिए एक भाग आवंटित करें। इसे लाभांश द्वारा शेष के साथ विभाजित किया जाना चाहिए।
3. गुणन तालिका का उपयोग करके, हम निर्धारित करते हैं कि भाजक कितनी बार चयनित भाग में फिट हो सकता है। बच्चे को यह बताना महत्वपूर्ण है कि उत्तर 9 से अधिक नहीं होना चाहिए।
4. परिणामी संख्या को भाजक से गुणा करें और इसे कोने के बाईं ओर लिखें।
5. इसके बाद, आपको लाभांश के हिस्से और परिणामी उत्पाद के बीच अंतर खोजने की जरूरत है।
6. परिणामी संख्या को लाइन के नीचे लिखा जाता है और अगली बिट संख्या को नीचे ले लिया जाता है। इस तरह की क्रियाएं तब तक की जाती हैं जब तक कि शेष 0 न रह जाए।

छात्रों और अभिभावकों के लिए एक अच्छा उदाहरण

कॉलम में विभाजन को इस उदाहरण से स्पष्ट रूप से समझाया जा सकता है।

1. एक कॉलम में 2 नंबर लिखे गए हैं: लाभांश 536 है और भाजक 4 है।
2. भाग के लिए पहला भाग 4 से विभाज्य होना चाहिए और भागफल 9 से कम होना चाहिए। संख्या 5 इसके लिए उपयुक्त है।
3. 4 केवल 1 बार 5 में फिट होता है, इसलिए हम उत्तर में 1 लिखते हैं, और 4 अंडर 5 लिखते हैं।
4. अगला, घटाव किया जाता है: 5 में से 4 घटाया जाता है और 1 रेखा के नीचे लिखा जाता है।
5. अगला बिट नंबर - 3 - एक को ध्वस्त कर दिया जाता है। तेरह (13) में - 4 3 बार फिट होगा। 4x3 \u003d 12. बारह को 13वें के नीचे लिखा जाता है, और 3 - निजी तौर पर, अगले बिट नंबर के रूप में।
6. 13 में से 12 घटा दिया जाता है, उत्तर में 1 प्राप्त होता है। अगली बिट संख्या को फिर से ध्वस्त कर दिया जाता है - 6.
7. 16 को फिर से 4 से विभाजित किया जाता है। प्रत्युत्तर में 4 लिखिए, और भाग के कॉलम - 16 में एक रेखा खींचिए और अंतर में 0 लिखिए।

अपने बच्चे के साथ कई बार स्टैकिंग की समस्याओं को हल करके, आप हाई स्कूल में कार्यों को जल्दी से पूरा करने में सफलता प्राप्त कर सकते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन, विशेष रूप से बहु-मूल्यवान, एक विशेष विधि द्वारा आसानी से किया जाता है, जिसे कहा जाता है एक कॉलम द्वारा विभाजन (एक कॉलम में). आप नाम भी देख सकते हैं कोने का विभाजन. तुरंत, हम ध्यान दें कि कॉलम को शेष के बिना प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन और शेष के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन दोनों किया जा सकता है।

इस लेख में, हम समझेंगे कि कॉलम द्वारा विभाजन कैसे किया जाता है। यहां हम लेखन नियमों और सभी मध्यवर्ती गणनाओं के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, आइए हम एक बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्या को एक एकल-अंकीय संख्या से एक स्तंभ द्वारा भाग देने पर ध्यान दें। उसके बाद, हम उन मामलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जहां लाभांश और भाजक दोनों बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याएं हैं। इस लेख के पूरे सिद्धांत को प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा समाधान और दृष्टांतों की विस्तृत व्याख्या के साथ विभाजन के विशिष्ट उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।

पृष्ठ नेविगेशन।

कॉलम द्वारा विभाजित करते समय रिकॉर्डिंग के नियम

आइए एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणनाओं और परिणामों को लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरू करें। मान लीजिए कि एक चेकर लाइन के साथ कागज पर लिखित रूप में एक कॉलम में विभाजित करना सबसे सुविधाजनक है - इसलिए वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम है।

सबसे पहले, भाजक और भाजक को एक पंक्ति में बाएं से दाएं लिखा जाता है, जिसके बाद लिखित संख्याओं के बीच प्रपत्र का एक प्रतीक प्रदर्शित होता है। उदाहरण के लिए, यदि लाभांश संख्या 6 105 है, और भाजक 5 5 है, तो एक कॉलम में विभाजित होने पर उनका सही संकेतन होगा:

निम्नलिखित आरेख को देखें, जो एक कॉलम से विभाजित करते समय लाभांश, भाजक, भागफल, शेष और मध्यवर्ती गणना लिखने के स्थानों को दिखाता है।

उपरोक्त आरेख से यह देखा जा सकता है कि वांछित भागफल (या शेष भाग से विभाजित होने पर अपूर्ण भागफल) क्षैतिज रेखा के नीचे भाजक के नीचे लिखा जाएगा। और मध्यवर्ती गणना लाभांश के नीचे की जाएगी, और आपको पहले से पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता का ध्यान रखना होगा। इस मामले में, किसी को नियम द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: लाभांश और भाजक की प्रविष्टियों में वर्णों की संख्या में जितना अधिक अंतर होगा, उतनी ही अधिक जगह की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, जब एक प्राकृतिक संख्या 614,808 को 51,234 से एक कॉलम से विभाजित किया जाता है (614,808 एक छह अंकों की संख्या है, 51,234 पांच अंकों की संख्या है, रिकॉर्ड में वर्णों की संख्या में अंतर 6−5 = 1) है, मध्यवर्ती गणनाओं को संख्याओं 8 058 और 4 को विभाजित करने की तुलना में कम स्थान की आवश्यकता होगी (यहां वर्णों की संख्या में अंतर 4−1=3 है)। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम इन प्राकृतिक संख्याओं के एक कॉलम द्वारा विभाजन के पूर्ण रिकॉर्ड प्रस्तुत करते हैं:

अब आप सीधे प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने की प्रक्रिया पर जा सकते हैं।

एक प्राकृतिक संख्या के एक स्तंभ द्वारा एक एकल-अंकों की प्राकृतिक संख्या से विभाजन, एक स्तंभ द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म

यह स्पष्ट है कि एक अंक वाली प्राकृत संख्या को दूसरे से विभाजित करना काफी सरल है, और इन संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने का कोई कारण नहीं है। हालांकि, इन सरल उदाहरणों पर एक कॉलम द्वारा विभाजन के प्रारंभिक कौशल का अभ्यास करना उपयोगी होगा।

उदाहरण।

आइए हमें कॉलम 8 को 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है।

फेसला।

बेशक, हम गुणन तालिका का उपयोग करके भाग कर सकते हैं, और तुरंत उत्तर 8:2=4 लिख सकते हैं।

लेकिन हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इन नंबरों को एक कॉलम से कैसे विभाजित किया जाए।

सबसे पहले, हम विधि के अनुसार भाज्य 8 और भाजक 2 लिखते हैं:

अब हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि भाजक लाभांश में कितनी बार है। ऐसा करने के लिए, हम विभाजक को संख्याओं 0, 1, 2, 3, ... से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं जब तक कि परिणाम लाभांश के बराबर संख्या न हो (या लाभांश से अधिक संख्या, यदि शेष के साथ एक विभाजन है ) यदि हमें लाभांश के बराबर संख्या मिलती है, तो हम इसे तुरंत लाभांश के तहत लिखते हैं, और निजी के स्थान पर हम वह संख्या लिखते हैं जिससे हम भाजक को गुणा करते हैं। यदि हमें विभाज्य से बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो भाजक के नीचे हम अंतिम चरण पर गणना की गई संख्या लिखते हैं, और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम वह संख्या लिखते हैं जिससे भाजक को अंतिम चरण में गुणा किया गया था।

चलो चलें: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 । हमें लाभांश के बराबर संख्या मिली है, इसलिए हम इसे लाभांश के तहत लिखते हैं, और निजी के स्थान पर हम संख्या 4 लिखते हैं। फिर रिकॉर्ड इस तरह दिखेगा:

एक अंक वाली प्राकृत संख्याओं को एक स्तंभ से विभाजित करने का अंतिम चरण शेष रहता है। लाभांश के तहत लिखी गई संख्या के तहत, आपको एक क्षैतिज रेखा खींचनी होगी, और इस रेखा के ऊपर की संख्याओं को उसी तरह घटाना होगा जैसे किसी स्तंभ के साथ प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय किया जाता है। घटाव के बाद प्राप्त संख्या भाग का शेष भाग होगी। यदि यह शून्य के बराबर है, तो मूल संख्याओं को शेषफल के बिना विभाजित किया जाता है।

हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है

अब हमारे पास संख्या 8 बटा 2 के एक कॉलम द्वारा विभाजन का एक पूरा रिकॉर्ड है। हम देखते हैं कि भागफल 8:2 4 है (और शेषफल 0 है)।

जवाब:

8:2=4 .

अब विचार करें कि शेषफल के साथ एकल अंकों वाली प्राकृत संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन कैसे किया जाता है।

उदाहरण।

कॉलम 7 को 3 से विभाजित करें।

फेसला।

प्रारंभिक चरण में, प्रविष्टि इस तरह दिखती है:

हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि लाभांश में कितनी बार भाजक होता है। हम 3 को 0, 1, 2, 3, आदि से गुणा करेंगे। जब तक हमें लाभांश 7 के बराबर या उससे अधिक संख्या नहीं मिलती। हमें मिलता है 3 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना लेख देखें)। लाभांश के तहत हम संख्या 6 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त हुआ था), और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (इसे अंतिम चरण में गुणा किया गया था)।

यह घटाव करना बाकी है, और एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्या 7 और 3 के एक कॉलम से विभाजन पूरा हो जाएगा।

तो आंशिक भागफल 2 है, और शेष 1 है।

जवाब:

7:3=2 (बाकी 1) ।

अब हम बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्याओं को एक-अंकीय प्राकृत संख्याओं से एक स्तंभ से भाग देने की ओर बढ़ सकते हैं।

अब हम विश्लेषण करेंगे कॉलम डिवीजन एल्गोरिदम. प्रत्येक चरण में, हम बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 140 288 को एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित करके प्राप्त परिणामों को प्रस्तुत करेंगे। यह उदाहरण संयोग से नहीं चुना गया था, क्योंकि इसे हल करते समय, हम सभी संभावित बारीकियों का सामना करेंगे, हम उनका विस्तार से विश्लेषण करने में सक्षम होंगे।

सबसे पहले, हम लाभांश प्रविष्टि में बाईं ओर से पहले अंक को देखते हैं। यदि इस आकृति द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें अगले अंक को लाभांश रिकॉर्ड में बाईं ओर जोड़ने की आवश्यकता है, और दो अंकों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ आगे काम करना चाहिए। सुविधा के लिए, हम अपने रिकॉर्ड में उस नंबर का चयन करते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।

लाभांश 140,288 में बाईं ओर से पहला अंक संख्या 1 है। संख्या 1 भाजक 4 से कम है, इसलिए हम लाभांश रिकॉर्ड में बाईं ओर के अगले अंक को भी देखते हैं। वहीं हमें 14 नंबर दिखाई देता है, जिससे हमें आगे काम करना है। हम लाभांश के अंकन में इस संख्या का चयन करते हैं।

दूसरे से चौथे तक निम्नलिखित बिंदुओं को चक्रीय रूप से तब तक दोहराया जाता है जब तक कि एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन पूरा नहीं हो जाता।

अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि जिस संख्या के साथ हम काम कर रहे हैं उसमें भाजक कितनी बार समाहित है (सुविधा के लिए, आइए इस संख्या को x के रूप में निरूपित करें)। ऐसा करने के लिए, हम भाजक को 0, 1, 2, 3, ... से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं, जब तक कि हमें संख्या x या x से बड़ी संख्या प्राप्त न हो जाए। जब एक संख्या x प्राप्त होती है, तो हम इसे प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा घटाते समय प्रयुक्त अंकन नियमों के अनुसार चयनित संख्या के नीचे लिखते हैं। जिस संख्या से गुणा किया गया था, वह एल्गोरिथ्म के पहले पास के दौरान भागफल के स्थान पर लिखा जाता है (एल्गोरिदम के 2-4 बिंदुओं के बाद के पास के दौरान, यह संख्या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर लिखी जाती है)। जब एक संख्या प्राप्त होती है जो संख्या x से बड़ी होती है, तो चयनित संख्या के नीचे हम अंतिम चरण में प्राप्त संख्या लिखते हैं, और भागफल के स्थान पर (या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर) हम संख्या लिखते हैं जिसे अंतिम चरण में गुणा किया गया था। (हमने ऊपर चर्चा किए गए दो उदाहरणों में इसी तरह की कार्रवाई की)।

हम 4 के भाजक को 0 , 1 , 2 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें 14 के बराबर या 14 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। हमारे पास 4 0 = 0 . है<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>चौदह । चूँकि अंतिम चरण में हमें संख्या 16 मिली, जो 14 से बड़ी है, तो चयनित संख्या के तहत हम 12 नंबर लिखते हैं, जो अंतिम चरण में निकला, और भागफल के स्थान पर हम संख्या 3 लिखते हैं, क्योंकि में अंतिम पैराग्राफ गुणन ठीक उसी पर किया गया था।


इस स्तर पर, चयनित संख्या में से, उसके नीचे की संख्या को एक कॉलम में घटाएं। क्षैतिज रेखा के नीचे घटाव का परिणाम है। हालाँकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि इस बिंदु पर घटाव अंतिम क्रिया नहीं है जो एक कॉलम द्वारा विभाजन को पूरी तरह से पूरा करता है)। यहां, आपके नियंत्रण के लिए, भाजक के साथ घटाव के परिणाम की तुलना करना और यह सुनिश्चित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि यह भाजक से कम है। नहीं तो कहीं चूक हो गई है।

हमें एक कॉलम में संख्या 14 से संख्या 12 घटाना है (सही अंकन के लिए, आपको घटाई गई संख्याओं के बाईं ओर ऋण चिह्न लगाना नहीं भूलना चाहिए)। इस क्रिया के पूरा होने के बाद क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 2 दिखाई दी। अब हम परिणामी संख्या की तुलना भाजक से करके अपनी गणना की जांच करते हैं। चूंकि संख्या 2 भाजक 4 से कम है, आप सुरक्षित रूप से अगले आइटम पर जा सकते हैं।


अब, क्षैतिज रेखा के नीचे वहां स्थित संख्याओं के दाईं ओर (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हमने शून्य नहीं लिखा था), हम उसी कॉलम में स्थित संख्या को लाभांश के रिकॉर्ड में लिखते हैं। यदि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है, तो कॉलम द्वारा विभाजन यहां समाप्त होता है। उसके बाद, हम क्षैतिज रेखा के नीचे गठित संख्या का चयन करते हैं, इसे एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथ्म के 2 से 4 बिंदुओं को दोहराते हैं।

पहले से मौजूद संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 0 लिखते हैं, क्योंकि यह संख्या 0 है जो इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 20 बनती है।


हम इस संख्या 20 का चयन करते हैं, इसे एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे बिंदुओं की क्रियाओं को दोहराते हैं।

हम 4 के भाजक को 0 , 1 , 2 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें संख्या 20 या 20 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। हमारे पास 4 0 = 0 . है<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


हम एक कॉलम द्वारा घटाव करते हैं। चूँकि हम समान प्राकृत संख्याओं को घटाते हैं, तो समान प्राकृत संख्याओं को घटाने के गुण के कारण परिणाम में हमें शून्य प्राप्त होता है। हम शून्य नहीं लिखते हैं (चूंकि यह एक कॉलम से विभाजित करने का अंतिम चरण नहीं है), लेकिन हमें वह जगह याद है जहां हम इसे लिख सकते थे (सुविधा के लिए, हम इस जगह को एक काले आयत के साथ चिह्नित करेंगे)।


याद किए गए स्थान के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह वह है जो इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे हमारे पास संख्या 2 है।


हम संख्या 2 को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और एक बार फिर हमें एल्गोरिथम के 2-4 बिंदुओं से चरणों को पूरा करना होगा।

हम भाजक को 0 , 1 , 2 इत्यादि से गुणा करते हैं और परिणामी संख्याओं की तुलना अंकित संख्या 2 से करते हैं। हमारे पास 4 0 = 0 . है<2 , 4·1=4>2. इसलिए, चिह्नित संख्या के तहत, हम संख्या 0 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और पहले से ही संख्या के दाईं ओर भागफल के स्थान पर, हम संख्या 0 लिखते हैं (हमने 0 से गुणा किया है। कदम)।


हम एक कॉलम द्वारा घटाव करते हैं, हमें क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 2 मिलती है। हम परिणामी संख्या की भाजक 4 से तुलना करके स्वयं को जाँचते हैं। 2 . के बाद से<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 8 जोड़ते हैं (क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है)। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 28 है।


हम इस संख्या को एक कार्यकर्ता के रूप में स्वीकार करते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और पैराग्राफ के चरण 2-4 दोहराते हैं।

यदि आप अब तक सावधान रहे हैं तो यहां कोई समस्या नहीं होनी चाहिए। सभी आवश्यक क्रियाओं को करने के बाद, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है।

यह आखिरी बार अंक 2, 3, 4 (हम इसे आपको प्रदान करते हैं) से क्रियाओं को करने के लिए रहता है, जिसके बाद आपको एक कॉलम में प्राकृतिक संख्या 140 288 और 4 को विभाजित करने की पूरी तस्वीर मिल जाएगी:

कृपया ध्यान दें कि लाइन के बिल्कुल नीचे नंबर 0 लिखा होता है। यदि यह किसी कॉलम से विभाजित करने का अंतिम चरण नहीं होता (अर्थात यदि लाभांश के रिकॉर्ड में दाईं ओर के कॉलम में संख्याएँ होतीं), तो हम यह शून्य नहीं लिखेंगे।

इस प्रकार, बहु-अंकीय प्राकृत संख्या 140 288 को एकल-मान प्राकृत संख्या 4 से विभाजित करने के पूर्ण रिकॉर्ड को देखते हुए, हम देखते हैं कि संख्या 35 072 निजी है (और शेष भाग शून्य है, यह बहुत ही में है जमीनी स्तर)।

बेशक, प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करते समय, आप अपने सभी कार्यों का इतने विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे। आपके समाधान निम्न उदाहरणों की तरह कुछ दिखाई देंगे।

उदाहरण।

यदि भाज्य 7136 है और भाजक एक अंक वाली प्राकृत संख्या 9 है, तो लंबा विभाजन करें।

फेसला।

प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के पहले चरण में, हमें फॉर्म का रिकॉर्ड मिलता है

एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे बिंदुओं से क्रिया करने के बाद, एक कॉलम द्वारा विभाजन का रिकॉर्ड रूप लेगा

चक्र को दोहराते हुए, हमारे पास होगा

एक और पास हमें प्राकृत संख्याओं 7 136 और 9 . के एक स्तंभ द्वारा विभाजन की पूरी तस्वीर देगा

इस प्रकार, आंशिक भागफल 792 है, और शेष भाग 8 है।

जवाब:

7 136:9=792 (बाकी 8)।

और यह उदाहरण दर्शाता है कि विभाजन कितना लंबा दिखना चाहिए।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 7 042 035 को एक अंक वाली प्राकृत संख्या 7 से भाग दें।

फेसला।

कॉलम द्वारा विभाजन करना सबसे सुविधाजनक है।

जवाब:

7 042 035:7=1 006 005 .

बहुमान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन

हम आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करते हैं: यदि आपने इस लेख के पिछले पैराग्राफ से एक कॉलम द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म में अच्छी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप पहले से ही लगभग जानते हैं कि कैसे प्रदर्शन करना है बहुमान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन. यह सच है, क्योंकि एल्गोरिथम के चरण 2 से 4 अपरिवर्तित रहते हैं, और पहले चरण में केवल मामूली परिवर्तन दिखाई देते हैं।

बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्याओं के कॉलम में विभाजित करने के पहले चरण में, आपको लाभांश प्रविष्टि में बाईं ओर के पहले अंक को नहीं, बल्कि उनमें से जितने अंक भाजक प्रविष्टि में हैं, देखने की आवश्यकता है। यदि इन संख्याओं द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें लाभांश के रिकॉर्ड में बाईं ओर के अगले अंक को जोड़ने की आवश्यकता है। उसके बाद, अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक एल्गोरिथम के पैराग्राफ 2, 3 और 4 में इंगित क्रियाएं की जाती हैं।

यह केवल उदाहरणों को हल करते समय व्यवहार में बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म के अनुप्रयोग को देखने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण।

आइए बहुमान प्राकृत संख्याओं 5562 और 206 के एक स्तंभ द्वारा भाग करते हैं।

फेसला।

चूंकि भाजक 206 के रिकॉर्ड में 3 वर्ण शामिल हैं, हम लाभांश 5 562 के रिकॉर्ड में बाईं ओर पहले 3 अंकों को देखते हैं। ये संख्याएँ संख्या 556 के अनुरूप हैं। चूँकि 556 भाजक 206 से बड़ा है, हम 556 को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चुनते हैं, और एल्गोरिथ्म के अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।

अब हम भाजक 206 को संख्याओं 0 , 1 , 2 , 3 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें एक ऐसी संख्या न मिल जाए जो या तो 556 के बराबर हो या 556 से बड़ी हो। हमारे पास है (यदि गुणा कठिन है, तो एक कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं का गुणन करना बेहतर है): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. चूँकि हमें एक संख्या मिली है जो 556 से अधिक है, तो चयनित संख्या के तहत हम संख्या 412 लिखते हैं (इसे अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (चूंकि इसे अंतिम पर गुणा किया गया था) कदम)। कॉलम डिवीजन प्रविष्टि निम्नलिखित रूप लेती है:

कॉलम घटाव करें। हमें 144 का अंतर मिलता है, यह संख्या भाजक से कम है, इसलिए आप सुरक्षित रूप से आवश्यक क्रियाएं करना जारी रख सकते हैं।

वहां उपलब्ध संख्या के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 5 562 के रिकॉर्ड में है:

अब हम संख्या 1442 के साथ काम करते हैं, इसे चुनते हैं, और चरण दो से चार तक फिर से चलते हैं।

हम भाजक 206 को 0 , 1 , 2 , 3 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें संख्या 1442 या 1442 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। आइए चलें: 206 0 = 0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

हम एक कॉलम से घटाते हैं, हमें शून्य मिलता है, लेकिन हम इसे तुरंत नहीं लिखते हैं, लेकिन केवल इसकी स्थिति को याद रखते हैं, क्योंकि हम नहीं जानते कि विभाजन यहाँ समाप्त होता है, या हमें एल्गोरिथम के चरणों को दोहराना होगा। दोबारा:

अब हम देखते हैं कि कंठस्थ स्थिति के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे हम कोई संख्या नहीं लिख सकते हैं, क्योंकि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है। इसलिए, कॉलम द्वारा यह विभाजन समाप्त हो गया है, और हम प्रविष्टि को पूरा करते हैं:

• गणित। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 1, 2, 3, 4 के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।
• गणित। शैक्षणिक संस्थानों की 5 कक्षाओं के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।