\[(\बड़ा(\पाठ(क्षेत्र के बारे में बुनियादी तथ्य)))\]

हम कह सकते हैं कि बहुभुज का क्षेत्रफल एक मान है जो विमान के उस भाग को इंगित करता है जिस पर दिए गए बहुभुज का कब्जा है। क्षेत्र इकाई को \(1\) सेमी, \(1\) मिमी, आदि की भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल के रूप में लिया जाता है। (एकल वर्ग)। फिर क्षेत्रफल को क्रमशः cm\(^2\) , mm\(^2\) में मापा जाएगा।

दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि एक आकृति का क्षेत्रफल एक ऐसा मान है जिसका संख्यात्मक मान दर्शाता है कि एक इकाई वर्ग किसी दिए गए आंकड़े में कितनी बार फिट बैठता है।

क्षेत्र गुण

1. किसी भी बहुभुज का क्षेत्रफल एक धनात्मक मान होता है।

2. समान बहुभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं।

3. यदि एक बहुभुज कई बहुभुजों से बना है, तो इसका क्षेत्रफल इन बहुभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

4. \(a\) भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल \(a^2\) है।

\[(\बड़ा(\पाठ(आयत और समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल)))\]

प्रमेय: एक आयत का क्षेत्रफल

\(a\) और \(b\) भुजाओं वाले आयत का क्षेत्रफल \(S=ab\) है।

प्रमाण

आइए एक आयत \(ABCD\) का निर्माण करें जिसकी भुजा \(a+b\) है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

इस वर्ग में एक आयत \(ABCD\) है, इसके बराबर एक और आयत है, और दो वर्ग \(a\) और \(b\) हैं। इस प्रकार,

\(\begin(multiline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(मल्टीलाइन*)\)

परिभाषा

समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई समांतर चतुर्भुज के शीर्ष से उस भुजा (या भुजा के विस्तार) पर खींचा गया लंबवत है जिसमें वह शीर्ष नहीं होता है।
उदाहरण के लिए, ऊंचाई \(BK\) किनारे पर गिरती है \(AD\) , और ऊंचाई \(BH\) पक्ष के विस्तार पर गिरती है \(CD\) :

प्रमेय: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उस ऊँचाई और उस भुजा के गुणनफल के बराबर होता है जिससे यह ऊँचाई खींची जाती है।

प्रमाण

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, लंबवत \(AB"\) और \(DC"\) खींचिए। ध्यान दें कि ये लंबवत समांतर चतुर्भुज \(ABCD\) की ऊंचाई के बराबर हैं।

तब \(AB"C"D\) एक आयत है, इसलिए \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) ।

ध्यान दें कि समकोण त्रिभुज \(ABB"\) और \(DCC"\) बराबर हैं। इस प्रकार,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\बड़ा(\पाठ(त्रिकोण का क्षेत्रफल)))\]

परिभाषा

हम उस भुजा को त्रिभुज का आधार कहेंगे जिससे त्रिभुज में ऊँचाई खींची जाती है।

प्रमेय

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार के गुणनफल और उस आधार तक खींची गई ऊँचाई का आधा होता है।

प्रमाण

मान लीजिए \(S\) त्रिभुज का क्षेत्रफल है \(ABC\) । आइए भुजा \(AB\) को त्रिभुज के आधार के रूप में लें और ऊंचाई \(CH\) खींचें। आइए साबित करें कि \ जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम त्रिभुज \(ABC\) को समांतर चतुर्भुज \(ABDC\) तक पूरा करते हैं:

त्रिभुज \(ABC\) और \(DCB\) तीन भुजाओं में बराबर हैं (\(BC\) उनकी उभयनिष्ठ भुजा है, \(AB = CD\) और \(AC = BD\) समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के रूप में \ (ABDC\ ) ), इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसलिए, त्रिभुज \(ABC\) का क्षेत्रफल \(S\) समांतर चतुर्भुज \(ABDC\) के आधे क्षेत्रफल के बराबर है, अर्थात। \(एस = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

प्रमेय

यदि दो त्रिभुज \(\triangle ABC\) और \(\triangle A_1B_1C_1\) की ऊंचाई समान है, तो उनके क्षेत्रफल उन आधारों से संबंधित हैं जिनसे ये ऊंचाई खींची गई है।

परिणाम

किसी त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

प्रमेय

यदि दो त्रिभुज \(\triangle ABC\) और \(\triangle A_2B_2C_2\) में से प्रत्येक का कोण समान है, तो उनके क्षेत्र इस कोण को बनाने वाली भुजाओं के उत्पाद के रूप में संबंधित हैं।

प्रमाण

चलो \(\angle A=\angle A_2\) । आइए इन कोनों को जोड़ दें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है (बिंदु \(A\) बिंदु \(A_2\) के साथ संरेखित है):

ऊँचाई \(BH\) और \(C_2K\) ड्रा करें।

त्रिभुज \(AB_2C_2\) और \(ABC_2\) की ऊंचाई समान है \(C_2K\) इसलिए: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

त्रिभुज \(ABC_2\) और \(ABC\) की ऊंचाई समान है \(BH\) इसलिए: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

अंतिम दो समानताओं को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( or ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (एबीसी))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

पाइथागोरस प्रमेय

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है:

विलोम भी सत्य है: यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर हो, तो ऐसा त्रिभुज समकोण होता है।

प्रमेय

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों के उत्पाद का आधा है।

प्रमेय: हीरोन का सूत्र

मान लीजिए \(p\) एक त्रिभुज का अर्धपरिमाण है, \(a\) , \(b\) , \(c\) इसकी भुजाओं की लंबाई है, तो इसका क्षेत्रफल बराबर है \

\[(\बड़ा(\पाठ(एक समचतुर्भुज और एक समलम्ब का क्षेत्रफल)))\]

टिप्पणी

क्योंकि समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो उसके लिए भी यही सूत्र सत्य है, अर्थात्। एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उस ऊँचाई और उस भुजा के गुणनफल के बराबर होता है जिससे यह ऊँचाई खींची जाती है।

प्रमेय

एक उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण लंबवत हैं, विकर्णों का आधा गुणनफल है।

प्रमाण

चतुर्भुज \(ABCD\) पर विचार करें। निरूपित करें \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

ध्यान दें कि यह चतुर्भुज चार समकोण त्रिभुजों से बना है, इसलिए इसका क्षेत्रफल इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है:

\(\begin(multiline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multiline*)\)

उपफल: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों का आधा गुणनफल होता है: \

परिभाषा

एक समलंब की ऊंचाई एक आधार के शीर्ष से दूसरे आधार तक खींचा गया लंबवत है।

प्रमेय: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों के योग से गुणा ऊँचाई का आधा होता है।

प्रमाण

आधारों \(BC\) और \(AD\) के साथ एक समलम्बाकार \(ABCD\) पर विचार करें। चित्र में दिखाए अनुसार \(CD"\parallel AB\) ड्रा करें:

तब \(ABCD"\) एक समांतर चतुर्भुज है।

हम \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) भी खींचते हैं (\(BH"=CH\) समलंब की ऊंचाई हैं)।

फिर \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

क्योंकि एक समलम्ब चतुर्भुज में एक समांतर चतुर्भुज \(ABCD"\) और एक त्रिभुज \(CDD"\) होता है, तो इसका क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है, अर्थात्:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

स्कूल में गणित और ज्यामिति का अध्ययन करने वाला प्रत्येक व्यक्ति इन विज्ञानों को कम से कम सतही तौर पर जानता है। लेकिन समय के साथ इनका अभ्यास न करने पर ज्ञान को भुला दिया जाता है। बहुत से लोग यह भी मानते हैं कि उन्होंने अपना समय सिर्फ ज्यामितीय गणनाओं का अध्ययन करने में बर्बाद किया। हालाँकि, वे गलत हैं। तकनीकी कर्मचारी ज्यामितीय गणनाओं से संबंधित दैनिक कार्य करते हैं। जहां तक ​​बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना का संबंध है, यह ज्ञान जीवन में भी अपना आवेदन पाता है। कम से कम भूमि के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए उनकी आवश्यकता होगी। तो आइए जानें कि बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

बहुभुज परिभाषा

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि बहुभुज क्या है। यह एक सपाट ज्यामितीय आकृति है, जो तीन या अधिक रेखाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बनाई गई थी। एक और सरल परिभाषा: बहुभुज एक बंद पॉलीलाइन है। स्वाभाविक रूप से, रेखाओं के चौराहे पर, प्रतिच्छेदन बिंदु बनते हैं, उनकी संख्या बहुभुज बनाने वाली रेखाओं की संख्या के बराबर होती है। प्रतिच्छेदन बिंदुओं को शीर्ष कहते हैं, और सीधी रेखाओं से बनने वाले खंडों को बहुभुज की भुजाएँ कहते हैं। एक बहुभुज के आसन्न खंड एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। गैर-आसन्न रेखा खंड वे हैं जो सामान्य बिंदुओं से नहीं गुजरते हैं।

त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग

बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? बहुभुज का क्षेत्रफल समतल का आंतरिक भाग होता है, जो बहुभुज के खंडों या भुजाओं के चौराहे पर बना होता है। चूँकि एक बहुभुज त्रिभुज, समचतुर्भुज, वर्ग, समलम्ब चतुर्भुज जैसी आकृतियों का एक संयोजन है, इसलिए इसके क्षेत्रफल की गणना के लिए कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है। व्यवहार में, सबसे सार्वभौमिक विधि एक बहुभुज को सरल आकृतियों में विभाजित करना है, जिसका क्षेत्र खोजना मुश्किल नहीं है। इन साधारण आकृतियों के क्षेत्रफलों का योग जोड़ने पर हमें बहुभुज का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

सर्कल के क्षेत्र के माध्यम से

ज्यादातर मामलों में, बहुभुज का एक नियमित आकार होता है और उनके बीच समान भुजाओं और कोणों के साथ एक आकृति बनाता है। इस मामले में क्षेत्र की गणना खुदा या परिबद्ध सर्कल का उपयोग करके बहुत सरल है। यदि सर्कल का क्षेत्र ज्ञात है, तो इसे बहुभुज की परिधि से गुणा किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी उत्पाद को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए। नतीजतन, ऐसे बहुभुज के क्षेत्र की गणना करने का सूत्र प्राप्त होता है। : S = ½∙P∙r।, जहाँ P वृत्त का क्षेत्रफल है, और r बहुभुज का परिमाप है।

बहुभुज को "सुविधाजनक" आकृतियों में विभाजित करने की विधि ज्यामिति में सबसे लोकप्रिय है, यह आपको बहुभुज के क्षेत्र को जल्दी और सही ढंग से खोजने की अनुमति देती है। हाई स्कूल की चौथी कक्षा आमतौर पर ऐसे तरीके सीखती है।

इस लेख में, हम इस बारे में बात करेंगे कि एक बहुभुज के क्षेत्र को कैसे व्यक्त किया जाए जिसमें इस वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। यह तुरंत ध्यान देने योग्य है कि प्रत्येक बहुभुज को एक वृत्त में अंकित नहीं किया जा सकता है। हालांकि, यदि यह संभव है, तो वह सूत्र जिसके द्वारा ऐसे बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना की जाती है, बहुत सरल हो जाता है। इस लेख को अंत तक पढ़ें या संलग्न वीडियो ट्यूटोरियल देखें और आप सीखेंगे कि बहुभुज के क्षेत्रफल को उसके उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में कैसे व्यक्त किया जाए।

खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के पदों में बहुभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

आइए एक बहुभुज बनाएं ए 1 ए 2 ए 3 ए 4 ए 5, जरूरी नहीं कि सही हो, लेकिन एक जिसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। मैं आपको याद दिला दूं कि एक खुदा हुआ वृत्त एक वृत्त है जो बहुभुज के सभी पक्षों को स्पर्श करता है। आकृति में, यह एक बिंदु पर केंद्रित एक हरा वृत्त है हे:

हमने यहां एक उदाहरण के रूप में 5-गॉन लिया है। लेकिन वास्तव में इसका कोई आवश्यक महत्व नहीं है, क्योंकि आगे का प्रमाण 6-गॉन और 8-गॉन दोनों के लिए मान्य है, और सामान्य रूप से किसी भी "गॉन" के लिए मनमाने ढंग से।

यदि आप खुदे हुए वृत्त के केंद्र को बहुभुज के सभी शीर्षों से जोड़ते हैं, तो यह उतने ही त्रिभुजों में विभाजित हो जाएगा, जितने दिए गए बहुभुज में शीर्ष हैं। हमारे मामले में: 5 त्रिकोण। अगर हम डॉट को जोड़ते हैं हेबहुभुज के किनारों के साथ उत्कीर्ण सर्कल के संपर्क के सभी बिंदुओं के साथ, आपको 5 खंड मिलते हैं (नीचे दिए गए आंकड़े में, ये खंड हैं ओह 1 , ओह 2 , ओह 3 , ओह 4 और ओह 5), जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर हैं और उस बहुभुज की भुजाओं के लंबवत हैं जिससे वे खींचे गए हैं। उत्तरार्द्ध सत्य है, क्योंकि संपर्क के बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है:

हमारे परिचालित बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? उत्तर सीधा है। बंटवारे के परिणामस्वरूप प्राप्त सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़ना आवश्यक है:

विचार करें कि त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है। नीचे दी गई तस्वीर में, इसे पीले रंग में हाइलाइट किया गया है:

यह आधार के आधे उत्पाद के बराबर है ए 1 ए 2 ऊंचाई तक ओह 1 इस आधार पर खींचा गया। लेकिन, जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, यह ऊंचाई खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। अर्थात्, त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र रूप लेता है: , कहाँ पे आरउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है। इसी प्रकार, शेष सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफल पाए जाते हैं। नतीजतन, बहुभुज का वांछित क्षेत्र इसके बराबर है:

यह देखा जा सकता है कि इस योग के सभी पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जिसे कोष्ठक से निकाला जा सकता है। परिणाम निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

यही है, कोष्ठक में बहुभुज के सभी पक्षों का योग होता है, अर्थात इसकी परिधि पी. अक्सर, इस सूत्र में, व्यंजक को बस द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है पीऔर इस अक्षर को "आधा-परिधि" कहते हैं। नतीजतन, अंतिम सूत्र बन जाता है:

अर्थात्, एक बहुभुज का क्षेत्रफल जिसमें ज्ञात त्रिज्या का एक वृत्त अंकित होता है, इस त्रिज्या के गुणनफल और बहुभुज के अर्धवृत्ताकार के बराबर होता है। यह वह परिणाम है जिसके लिए हम लक्ष्य बना रहे थे।

अंत में, उन्होंने नोट किया कि एक वृत्त को हमेशा एक त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है, जो एक बहुभुज का एक विशेष मामला है। इसलिए, एक त्रिभुज के लिए, यह सूत्र हमेशा लागू किया जा सकता है। 3 से अधिक भुजाओं वाले अन्य बहुभुजों के लिए, आपको पहले यह सुनिश्चित करना होगा कि उनमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। यदि हां, तो आप इस सरल सूत्र का सुरक्षित रूप से उपयोग कर सकते हैं और इससे इस बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

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• आप कीबोर्ड पर दाएँ और बाएँ कुंजियाँ दबाकर इनपुट फ़ील्ड के बीच जा सकते हैं।

लिखित। चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें चार बिंदु (कोने) होते हैं, जिनमें से कोई भी तीन एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और चार खंड (पक्ष) इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। एक चतुर्भुज उत्तल कहलाता है यदि इस चतुर्भुज के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उसके अंदर होगा।

बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए सूत्र बहुभुज AB के प्रत्येक किनारे को लेकर और कोने के निर्देशांक के माध्यम से मूल O पर एक शीर्ष के साथ त्रिभुज ABO के क्षेत्र की गणना करके निर्धारित किया जाता है। बहुभुज के चारों ओर घूमते समय, त्रिभुज बनते हैं, जिसमें बहुभुज के अंदर और उसके बाहर स्थित होते हैं। इन क्षेत्रों के योग के बीच का अंतर स्वयं बहुभुज का क्षेत्रफल है।

इसलिए, सूत्र को सर्वेक्षक का सूत्र कहा जाता है, क्योंकि "कार्टोग्राफर" मूल में है; यदि यह क्षेत्र वामावर्त चलता है, तो क्षेत्रफल जोड़ा जाता है यदि यह बाईं ओर है और घटाया जाता है यदि यह मूल के संदर्भ में दाईं ओर है। क्षेत्र सूत्र किसी भी गैर-प्रतिच्छेद (सरल) बहुभुज के लिए मान्य है, जो उत्तल या अवतल हो सकता है। विषय

• 1 परिभाषा
• 2 उदाहरण
• 3 अधिक जटिल उदाहरण
• 4 नाम स्पष्टीकरण
• 5 देखें

बहुभुज क्षेत्र

ध्यान

यह हो सकता था:

• त्रिकोण;
• चतुर्भुज;
• पांच- या षट्भुज और इतने पर।

ऐसा आंकड़ा निश्चित रूप से दो पदों की विशेषता होगी:

1. आसन्न भुजाएँ एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं।
2. गैर-आसन्न वाले में कोई सामान्य बिंदु नहीं होते हैं, अर्थात वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

यह समझने के लिए कि कौन से शीर्ष आसन्न हैं, आपको यह देखना होगा कि क्या वे एक ही भुजा के हैं। यदि हां, तो पड़ोसी। अन्यथा, उन्हें एक खंड द्वारा जोड़ा जा सकता है, जिसे विकर्ण कहा जाना चाहिए। उन्हें केवल उन बहुभुजों में खींचा जा सकता है जिनमें तीन से अधिक शीर्ष होते हैं।

उनमें से किस प्रकार मौजूद हैं? चार से अधिक कोनों वाला बहुभुज उत्तल या अवतल हो सकता है। उत्तरार्द्ध का अंतर यह है कि इसके कुछ कोने बहुभुज के एक मनमाना पक्ष के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा के विभिन्न पक्षों पर स्थित हो सकते हैं।

एक नियमित और अनियमित षट्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

• भुजा की लंबाई जानने के बाद, इसे 6 से गुणा करें और षट्भुज की परिधि प्राप्त करें: 10 सेमी x 6 \u003d 60 सेमी
• परिणामों को हमारे सूत्र में बदलें:
क्षेत्र \u003d 1/2 * परिधि * एपोथेमा क्षेत्र \u003d ½ * 60cm * 5√3 हल करें: अब यह वर्गमूल से छुटकारा पाने के लिए उत्तर को सरल बनाने के लिए बनी हुई है, और परिणाम को वर्ग सेंटीमीटर में इंगित करें: ½ * 60 सेमी * 5 3 सेमी \u003d 30 * 5√3 सेमी =150 √3 सेमी = 259.8 सेमी² एक नियमित षट्भुज के क्षेत्र को खोजने के तरीके पर वीडियो एक अनियमित षट्भुज के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए कई विकल्प हैं:

• ट्रेपोजॉइड विधि।
• निर्देशांक अक्ष का उपयोग करके अनियमित बहुभुजों के क्षेत्रफल की गणना करने की एक विधि।
• एक षट्भुज को अन्य आकृतियों में विभाजित करने की एक विधि।

प्रारंभिक डेटा के आधार पर जो आपको पता चल जाएगा, उपयुक्त विधि का चयन किया जाता है।

जरूरी

कुछ अनियमित षट्भुज में दो समांतर चतुर्भुज होते हैं। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसकी लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें और फिर पहले से ज्ञात दो क्षेत्रों को जोड़ें। बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें इस पर वीडियो एक समबाहु षट्भुज की छह बराबर भुजाएँ होती हैं और यह एक नियमित षट्भुज है।

एक समबाहु षट्भुज का क्षेत्रफल उन त्रिभुजों के 6 क्षेत्रफलों के बराबर होता है जिनमें एक नियमित षट्भुज आकृति विभाजित होती है। एक नियमित षट्भुज में सभी त्रिभुज समान होते हैं, इसलिए ऐसे षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कम से कम एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जानना पर्याप्त होगा। एक समभुज षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, निश्चित रूप से, ऊपर वर्णित एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है।

404 नहीं मिला

घर की सजावट, कपड़े, चित्र बनाना ज्यामिति के क्षेत्र में सूचना के निर्माण और संचय की प्रक्रिया में योगदान देता है, जिसे उस समय के लोगों ने अनुभवजन्य रूप से प्राप्त किया, थोड़ा-थोड़ा करके और पीढ़ी से पीढ़ी तक पारित किया। आज एक कटर, एक निर्माता, एक वास्तुकार और रोजमर्रा की जिंदगी में हर आम व्यक्ति के लिए ज्यामिति का ज्ञान आवश्यक है। इसलिए, आपको सीखना होगा कि विभिन्न आंकड़ों के क्षेत्र की गणना कैसे करें, और याद रखें कि प्रत्येक सूत्र बाद में अभ्यास में उपयोगी हो सकता है, जिसमें नियमित षट्भुज का सूत्र भी शामिल है।
एक षट्भुज एक ऐसी बहुभुज आकृति है, जिसके कोणों की कुल संख्या छह होती है। एक नियमित षट्भुज एक षट्कोणीय आकृति है जिसमें समान भुजाएँ होती हैं। एक नियमित षट्भुज के कोण भी एक दूसरे के बराबर होते हैं।
रोजमर्रा की जिंदगी में, हम अक्सर ऐसी वस्तुएं पा सकते हैं जिनमें एक नियमित षट्भुज का आकार होता है।

पक्षों द्वारा अनियमित बहुभुज क्षेत्र कैलकुलेटर

आपको चाहिये होगा

• - रूले;
• - इलेक्ट्रॉनिक रेंजफाइंडर;
• - कागज की एक शीट और एक पेंसिल;
• - कैलकुलेटर।

निर्देश 1 यदि आपको किसी अपार्टमेंट या अलग कमरे के कुल क्षेत्रफल की आवश्यकता है, तो बस अपार्टमेंट या घर के लिए तकनीकी पासपोर्ट पढ़ें, यह प्रत्येक कमरे के फुटेज और अपार्टमेंट के कुल फुटेज को दिखाता है। 2 एक आयताकार या वर्गाकार कमरे का क्षेत्रफल मापने के लिए एक टेप माप या एक इलेक्ट्रॉनिक रेंजफाइंडर लें और दीवारों की लंबाई नापें। रेंजफाइंडर के साथ दूरियों को मापते समय, सुनिश्चित करें कि बीम की दिशा लंबवत है, अन्यथा माप परिणाम विकृत हो सकते हैं। 3 फिर कमरे की परिणामी लंबाई (मीटर में) को चौड़ाई (मीटर में) से गुणा करें। परिणामी मूल्य फर्श क्षेत्र होगा, इसे वर्ग मीटर में मापा जाता है।

गॉस क्षेत्र सूत्र

यदि आपको अधिक जटिल संरचना के फर्श क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है, जैसे कि एक पंचकोणीय कमरा या एक गोल मेहराब वाला कमरा, कागज के एक टुकड़े पर एक योजनाबद्ध स्केच स्केच करें। फिर जटिल आकृति को कई साधारण आकृतियों में विभाजित करें, जैसे कि एक वर्ग और एक त्रिभुज, या एक आयत और एक अर्धवृत्त। एक टेप माप या रेंजफाइंडर के साथ परिणामी आंकड़ों के सभी पक्षों के आकार को मापें (एक सर्कल के लिए आपको व्यास जानने की जरूरत है) और अपने ड्राइंग पर परिणाम दर्ज करें।

5 अब प्रत्येक आकृति के क्षेत्रफल की अलग-अलग गणना करें। आयतों और वर्गों के क्षेत्रफल की गणना भुजाओं को गुणा करके की जाती है। एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, व्यास को आधा और वर्ग में विभाजित करें (इसे अपने आप से गुणा करें), फिर परिणाम को 3.14 से गुणा करें।
यदि आप केवल आधा वृत्त चाहते हैं, तो परिणामी क्षेत्र को आधे में विभाजित करें। किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सभी भुजाओं के योग को 2 से भाग देकर P ज्ञात कीजिए।

एक अनियमित बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र

यदि बिंदुओं को क्रमानुसार वामावर्त दिशा में क्रमांकित किया जाता है, तो उपरोक्त सूत्र में निर्धारक धनात्मक होते हैं और इसमें मापांक छोड़ा जा सकता है; यदि उन्हें दक्षिणावर्त दिशा में क्रमांकित किया जाता है, तो निर्धारक ऋणात्मक होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि सूत्र को ग्रीन के प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। सूत्र को लागू करने के लिए, आपको कार्तीय तल में बहुभुज शीर्षों के निर्देशांकों को जानना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए निर्देशांक ((2, 1), (4, 5), (7, 8)) के साथ एक त्रिभुज लें। पहले शीर्ष का पहला x-निर्देशांक लें और इसे दूसरे शीर्ष के y-निर्देशांक से गुणा करें, और फिर दूसरे शीर्ष के x-निर्देशांक को तीसरे के y-निर्देशांक से गुणा करें। हम इस प्रक्रिया को सभी शीर्षों के लिए दोहराते हैं। परिणाम निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है: एक त्रि।

एक अनियमित चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र

ए) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) जहां xi और y संबंधित निर्देशांक को दर्शाते हैं। यह सूत्र स्थिति n = 3 के लिए सामान्य सूत्र में कोष्ठक खोलकर प्राप्त किया जा सकता है। इस सूत्र का उपयोग करके, आप पा सकते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 10 + 32 + 7 - 4 के योग के आधे के बराबर है - 35 - 16, जो 3 देता है। सूत्र में चरों की संख्या बहुभुज की भुजाओं की संख्या पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक पंचभुज के क्षेत्रफल का सूत्र x5 और y5 तक के चर का उपयोग करेगा: एक पेंट। = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 - x 2 y 1 - x 3 y 2 - x 4 y 3 - x 5 y 4 - x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (ए) _(\text(पेंट.))=(1 \ओवर 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A क्वाड के लिए - x4 और y4 तक के चर: एक क्वाड।

1.1 पुरातनता में क्षेत्रों की गणना

1.2 "क्षेत्र", "बहुभुज", "बहुभुज का क्षेत्रफल" की अवधारणाओं के अध्ययन के लिए विभिन्न दृष्टिकोण

1.2.1 क्षेत्रफल की अवधारणा। क्षेत्र गुण

1.2.2 बहुभुज की अवधारणा

1.2.3 बहुभुज के क्षेत्रफल की अवधारणा। वर्णनात्मक परिभाषा

1.3 बहुभुजों के क्षेत्रफल के लिए विभिन्न सूत्र

1.4 बहुभुज क्षेत्र सूत्रों की व्युत्पत्ति

1.4.1 त्रिभुज का क्षेत्रफल। हीरोन का सूत्र

1.4.2 एक आयत का क्षेत्रफल

1.4.3 समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

1.4.4 चतुर्भुज का क्षेत्रफल

1.4.5 सार्वभौमिक सूत्र

1.4.6 n-gon . का क्षेत्रफल

1.4.7 एक बहुभुज का क्षेत्रफल उसके शीर्षों के निर्देशांकों से परिकलित करना

1.4.8 फॉर्मूला चुनें

1.5 एक समकोण त्रिभुज की टांगों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग पर पाइथागोरस प्रमेय

1.6 त्रिभुजों की तुल्यता। बोगलिया-गेर्विन प्रमेय

1.7 समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात

1.8 सबसे बड़े क्षेत्रफल वाले आंकड़े

1.8.1 समलम्ब चतुर्भुज या आयत

1.8.2 वर्ग का एक उल्लेखनीय गुण

1.8.3 विभिन्न आकार के भूखंड

1.8.4 सबसे बड़े क्षेत्रफल वाला त्रिभुज

अध्याय 2. गणितीय कक्षाओं में बहुभुजों के क्षेत्रों के अध्ययन की पद्धतिगत विशेषताएं

2.1 गणित के गहन अध्ययन के साथ कक्षाओं में शिक्षण की विषयगत योजना और विशेषताएं

2.2 पाठ पद्धति

2.3 प्रयोगात्मक कार्य के परिणाम

निष्कर्ष

साहित्य

परिचय

विषय "बहुभुज का क्षेत्र" स्कूल गणित पाठ्यक्रम का एक अभिन्न अंग है, जो काफी स्वाभाविक है। दरअसल, ऐतिहासिक रूप से, ज्यामिति का उद्भव एक या दूसरे रूप के भूमि भूखंडों की तुलना करने की आवश्यकता से जुड़ा है। इसी समय, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि माध्यमिक विद्यालय में इस विषय के प्रकटीकरण के लिए शैक्षिक अवसर पूरी तरह से उपयोग किए जाने से बहुत दूर हैं।

स्कूल में गणित पढ़ाने का मुख्य कार्य आधुनिक समाज के प्रत्येक सदस्य के लिए दैनिक जीवन और कार्य में आवश्यक गणितीय ज्ञान और कौशल की प्रणाली की एक मजबूत और सचेत महारत सुनिश्चित करना है, जो संबंधित विषयों का अध्ययन करने और शिक्षा जारी रखने के लिए पर्याप्त है।

मुख्य कार्य के समाधान के साथ, गणित का गहन अध्ययन छात्रों में विषय में एक स्थिर रुचि के गठन, उनकी गणितीय क्षमताओं की पहचान और विकास, उन व्यवसायों की ओर एक अभिविन्यास प्रदान करता है जो गणित से महत्वपूर्ण रूप से संबंधित हैं, और एक विश्वविद्यालय में अध्ययन की तैयारी।

योग्यता कार्य में एक सामान्य शिक्षा विद्यालय के गणित पाठ्यक्रम की सामग्री और कई अतिरिक्त प्रश्न शामिल हैं जो सीधे इस पाठ्यक्रम से सटे हुए हैं और इसे मुख्य वैचारिक रेखाओं के साथ गहरा करते हैं।

अतिरिक्त प्रश्नों का समावेश दो परस्पर संबंधित उद्देश्यों को पूरा करता है। एक ओर, यह पाठ्यक्रम के मुख्य वर्गों के संयोजन के साथ, हितों को पूरा करने और गणित के लिए एक रुचि के साथ छात्रों की क्षमताओं को विकसित करने के लिए एक आधार की रचना है, दूसरी ओर, इसमें सार्थक अंतराल की पूर्ति मुख्य पाठ्यक्रम, गहन अध्ययन की सामग्री को आवश्यक अखंडता प्रदान करना।

अर्हक कार्य में एक परिचय, दो अध्याय, एक निष्कर्ष और उद्धृत साहित्य शामिल हैं। पहला अध्याय बहुभुज के क्षेत्रों के अध्ययन की सैद्धांतिक नींव पर चर्चा करता है, और दूसरा अध्याय क्षेत्रों के अध्ययन की पद्धति संबंधी विशेषताओं से सीधे संबंधित है।

अध्याय 1

1.1 पुरातनता में क्षेत्रों की गणना

क्षेत्रों की माप से संबंधित ज्यामितीय ज्ञान की मूल बातें सहस्राब्दियों की गहराई में खो जाती हैं।

4-5 हजार साल पहले, बेबीलोन के लोग वर्ग इकाइयों में एक आयत और एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने में सक्षम थे। वर्ग लंबे समय से अपने कई उल्लेखनीय गुणों के कारण क्षेत्रों को मापने के लिए एक मानक के रूप में कार्य करता है: समान पक्ष, समान और समकोण, समरूपता और रूप की सामान्य पूर्णता। वर्ग बनाना आसान है, या आप बिना अंतराल के एक विमान भर सकते हैं।

प्राचीन चीन में क्षेत्रफल का माप एक आयत था। जब राजमिस्त्रियों ने एक आयताकार घर की दीवार का क्षेत्रफल निर्धारित किया, तो उन्होंने दीवार की ऊँचाई और चौड़ाई को कई गुना बढ़ा दिया। यह ज्यामिति में स्वीकृत परिभाषा है: एक आयत का क्षेत्रफल उसके आसन्न पक्षों के गुणनफल के बराबर होता है। इन दोनों पक्षों को समान रैखिक इकाइयों में व्यक्त किया जाना चाहिए। उनका उत्पाद संबंधित वर्ग इकाइयों में व्यक्त आयत का क्षेत्रफल होगा। मान लीजिए, यदि दीवार की ऊंचाई और चौड़ाई को डेसीमीटर में मापा जाता है, तो दोनों मापों का गुणनफल वर्ग डेसीमीटर में व्यक्त किया जाएगा। और यदि प्रत्येक फेसिंग प्लॉट का क्षेत्रफल एक वर्ग डेसीमीटर है, तो परिणामी उत्पाद सामना करने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या को इंगित करेगा। यह क्षेत्रफलों के मापन के अंतर्निहित कथन का अनुसरण करता है: गैर-प्रतिच्छेदन आकृतियों से बनी एक आकृति का क्षेत्रफल उनके क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

4,000 साल पहले प्राचीन मिस्रवासियों ने लगभग उसी तकनीक का उपयोग किया था जैसा कि हम एक आयत, त्रिभुज और समलंब चतुर्भुज के क्षेत्र को मापने के लिए करते हैं: त्रिभुज का आधार आधा में विभाजित किया गया था, और ऊंचाई से गुणा किया गया था; समलम्ब चतुर्भुज के लिए, समानांतर भुजाओं के योग को आधे में विभाजित किया गया और ऊंचाई से गुणा किया गया, और इसी तरह। क्षेत्रफल की गणना करने के लिए

भुजाओं वाला चतुर्भुज (चित्र 1.1), सूत्र (1.1) लागू किया गया था

वे। विपरीत पक्षों के आधे योग को गुणा किया गया।

यह सूत्र स्पष्ट रूप से किसी भी चतुर्भुज के लिए गलत है; इससे यह पता चलता है, विशेष रूप से, सभी समचतुर्भुज के क्षेत्रफल समान हैं। इस बीच, यह स्पष्ट है कि ऐसे समचतुर्भुज का क्षेत्रफल शीर्षों पर कोणों के परिमाण पर निर्भर करता है। यह सूत्र केवल एक आयत के लिए मान्य है। इसकी सहायता से, आप लगभग उन चतुर्भुजों के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं, जिनमें कोण समकोण के निकट होते हैं।

क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए

एक समद्विबाहु त्रिभुज (चित्र 1.2), जिसमें मिस्रवासियों ने अनुमानित सूत्र का उपयोग किया था:
(1.2) अंजीर। 1.2 इस मामले में की गई त्रुटि छोटी है, त्रिभुज की भुजा और ऊँचाई के बीच का अंतर जितना छोटा है, दूसरे शब्दों में, ऊँचाई के आधार के शीर्ष (और) के करीब। यही कारण है कि अनुमानित सूत्र (1.2) केवल अपेक्षाकृत छोटे शीर्ष कोण वाले त्रिभुजों के लिए लागू होता है।

लेकिन पहले से ही प्राचीन यूनानियों को पता था कि बहुभुज के क्षेत्रों को सही तरीके से कैसे खोजना है। अपने तत्वों में, यूक्लिड "क्षेत्र" शब्द का उपयोग नहीं करता है, क्योंकि "आकृति" शब्द से ही वह एक या किसी अन्य बंद रेखा से बंधे हुए विमान के एक हिस्से को समझता है। यूक्लिड क्षेत्र को एक संख्या के रूप में मापने के परिणाम को व्यक्त नहीं करता है, लेकिन विभिन्न आंकड़ों के क्षेत्रों की एक दूसरे के साथ तुलना करता है।

पुरातनता के अन्य वैज्ञानिकों की तरह, यूक्लिड कुछ आंकड़ों के दूसरों में परिवर्तन से संबंधित है, वे आकार में बराबर हैं। एक मिश्रित आकृति का क्षेत्रफल नहीं बदलेगा यदि इसके भागों को अलग तरीके से व्यवस्थित किया जाए, लेकिन बिना क्रॉसिंग के। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक आयत के क्षेत्रफल के सूत्रों के आधार पर, अन्य आंकड़ों के क्षेत्रों के लिए सूत्र खोजना संभव है। तो, त्रिभुज को ऐसे भागों में विभाजित किया जाता है, जिनसे आप फिर उसके बराबर क्षेत्रफल का आयत बना सकते हैं। इस रचना से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है। इस तरह के एक पुन: आरेखण का सहारा लेते हुए, वे पाते हैं कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर है, समलम्ब का क्षेत्रफल आधारों और ऊंचाई के आधे योग का गुणनफल है।

जब राजमिस्त्री को जटिल विन्यास की दीवार को टाइल करना होता है, तो वे टाइलों की संख्या की गणना करके दीवार के क्षेत्र को निर्धारित कर सकते हैं जो टाइलिंग में गए थे। बेशक, कुछ टाइलों को काटना होगा ताकि क्लैडिंग के किनारे दीवार के किनारे के साथ मेल खाते हों। काम में जाने वाली सभी टाइलों की संख्या दीवार के क्षेत्र का मूल्यांकन एक अतिरिक्त के साथ करती है, अखंड टाइलों की संख्या - एक नुकसान के साथ। जैसे-जैसे कोशिकाओं का आकार घटता जाता है, कचरे की मात्रा कम होती जाती है, और टाइलों की संख्या से निर्धारित दीवार के क्षेत्र की गणना अधिक से अधिक सटीक रूप से की जाती है।

देर से ग्रीक गणितज्ञों में से एक - विश्वकोश, जिनके काम मुख्य रूप से प्रकृति में लागू होते थे, अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन थे, जो पहली शताब्दी में रहते थे। एन। इ। एक उत्कृष्ट इंजीनियर होने के कारण, उन्हें "हेरॉन द मैकेनिक" भी कहा जाता था। अपने काम डायोपट्रिक्स में, हेरॉन विभिन्न मशीनों और व्यावहारिक माप उपकरणों का वर्णन करता है।

हेरॉन की पुस्तकों में से एक का नाम उनके द्वारा "ज्यामिति" रखा गया था और यह सूत्रों और संबंधित समस्याओं का एक प्रकार का संग्रह है। इसमें वर्गों, आयतों और त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की गणना के लिए उदाहरण हैं। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बारे में, हेरॉन लिखता है: "उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई 13 मापी गई डोरियों की है, दूसरी 14 और तीसरी 15. क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इस प्रकार आगे बढ़ें अनुसरण करता है। 13, 14 और 15 जोड़ें; आपको 42 मिलते हैं। उसमें से आधा 21 है। इन तीनों पक्षों से एक-एक करके घटाएं; पहले 13 घटाएं - यह 8 रहेगा, फिर 14 - यह 7 रहेगा, और अंत में 15 - यह 6 रहेगा। अब उन्हें गुणा करें: 21 गुणा 8 168 देगा, इसे 7 गुना लें - आपको 1176 मिलते हैं, और यह 6 और गुना - आपको 7056 मिलते हैं। यहाँ से वर्गमूल 84 होगा। त्रिभुज के क्षेत्रफल में इस प्रकार मापने वाले तार होंगे।